Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 11.1 – Ângulos Trigonométricos

Amintas Paiva Afonso

ÂNGULO TRIGONOMÉTRICO• OBTEMOS O ÂNGULO

TRIGONOMÉTRICO GIRANDO UM RAIO AO REDOR DE SUA ORIGEM.

SENTIDO DE GIRO HORÁRIO

SENTIDO DE GIRO ANTIHORÁRIO

OA : LADO INICIAL

)OA

B

<

)< POSITIVO

)< NEGATIVOOB : LADO FINALO: VÉRTICE

SISTEMAS DE MEDIÇÃO ANGULAR

• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÊS)o1 GRADO: MINUTO: '1 SEGUNDO: "1

'o 601 "' 601 "o 36001

1 volta = o360

EQUIVALÊNCIAS

No sistema sexagesimal os ângulos podem ser expressos em graus, minutose segundos

oA B 'C '' oA B ' C '' Los números B y C deben ser menores de 60

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRAUS MINUTOS SEGUNDOS

x 60 x 60

x 3600

: 60 : 60

: 3600

< <

<<

<

<

<

<<<

< <

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60

Para converter de minutos a graus se divide por 60

Para converter de minutos a segundos se multiplica por 60

Para converter de segundos a minutos se divide por 60

Para converter de graus a segundos se multiplica por 3600

Para converter de segundos a graus se divide por 3600

EXEMPLO:o20 36 ' 45 ''

EXPRESSAR EM GRAUS SEXAGESIMAISo ' ''20 36 45

o oo 36 4520 60 3600

o oo 3 120 5 80

o164980 CONCLUSIÓN:

RELACÃO ENTRE OS NÚMEROS DE GRAUS, MINUTOS E SEGUNDOS

NÚMERO DE GRAUS SEXAGESIMAIS = SNÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMAIS ( m ) = 60 SNÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMAIS ( p ) = 3600 S

Ao número 36 se divide por 60 e Ao número 45 se divide por 3600

EXEMPLOCalcular a medida de um ângulo no sistema sexagesimal,sabendo que seu número de minutos sexagesimais mais o dobro de seu número de grados sexagesimais é igual a 155.

SOLUÇÃOSeja S = número de graus sexagesimaisEntão o número de minutos sexagesimais = 60 SDado :

155 5(31)S 62 2(31)

60S 2S 155 62S 155

5S 2

O ângulo mede: 5º 4º60 ' 22 2 º30 '

ESTÃO ENTENDENDO?

NÃO REPITA POR FAVOR

SISTEMAS DE MEDIÇÃO ANGULAR

• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÊS)g1 GRAU: MINUTO:

m1 SEGUNDO: s1

g m1 100 m s1 100 g s1 10000

1volta = g400

EQUIVALÊNCIAS

No sistema centesimal os ângulos podem expressar em graus ,minutos e segundos

g m sA B C g m sA B C Los números B y C deben ser menores de 100

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRAUS MINUTOS SEGUNDOS

x 100 x 100

x 10 000

: 100 : 100

: 10 000

< <

<<

<

<

<

<<<

< <

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100

Para converter de minutos a graus se divide entre 100

Para converter de minutos a segundos se multiplica por 100

Para converter de segundos a minutos se divide entre 100

Para converter de graus a segundos se multiplica por 10000

Para converter de segundos a graus se divide entre 10000

RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS DE GRAUS, MINUTOS E SEGUNDOS

NÚMERO DE GRAUS CENTESIMAIS = CNÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C

NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMAIS ( q ) = 10 000C

RELAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS SEXAGESIMAL E CENTESIMAL

gO 109 m' 5027 s" 25081

GRAUS MINUTOS SEGUNDOS

109CS

5027nm

25081qp

SABEMOS QUE SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

g180º 200

g9º 10

SABES QUE :

g9(1º) 10(1 )' m9(60 ) 10(100 )

g9º 10

' m27 50

SABES QUE :g9º 10

g9(1º) 10(1 )'' S9(3600 ) 10(10000 )'' s81 250

SISTEMAS DE MEDIÇÃO ANGULAR• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)

UM RADIANO É A MEDIDA DO ÂNGULO CENTRAL QUE SUBTENDE EM QUALQUER CIRCUNFERÊNCIA UM ARCO DE LONGITUDE IGUAL AO RAIO.

.. 1rad

1vuelta 2 rad o ' ''1rad 57 17 45

R

R

R)

NESTE SISTEMA A UNIDADE DE MEDIDA É OL RADIANO.

RELAÇÃO ENTRE OS TRÊS SISTEMAS0 g180 200 rad

ESTA RELAÇÃO SE USA PARA CONVERTER DE UM SISTEMA A OUTRO.

EM CADA UM DOS SIGUINTES CASOS CONVERTER A RADIANOS0A) 54

O54o

rad180

3 rad10

gB) 125

grad

200

5 rad8g125

EXEMPLOS

SABES QUE O ÂNGULO DE UMA VOLTA MEDE :

SIMPLIFICANDO SE OBTÉM:

g360º 400 2 rad

EM CADA UMO DOS SIGUINTES CASOS CONVERTER AO SISTEMA SEXAGESIMAL

A) 2 rad3 ...........

o2(180 )3 o120

gB)70 ................. g70o

g9

10

o63EM CADA UM DOS SIGUINTES CASOS CONVERTEIR AO SISTEMA CENTESIMAL

A) 3 rad4

...........g3(200 )

4 g150oB)27 ................ o27

g

o109

g30

FACTORES DE CONVERSÃODE GRAUS SEXAGESIMAIS A RADIANOS

DE GRAUS SEXAGESIMAIS A CENTESIMAIS

DE GRAUS CENTESIMAIS A RADIANOS

DE GRAUS CENTESIMAIS A SEXAGESIMAIS

DE RADIANOS A GRAUS SEXAGESIMAIS

DE RADIANOES A GRAUS CENTESIMAIS

orad

180

g

o109

grad

200

o

g9

10orad 180

grad 200

ESTÃO ENTENDENDO?

NÃO REPITA POR FAVOR

FÓRMULA DE CONVERSÃO

S180 C

200 R

S : NÚMERO DE GRAUS SEXAGESIMAISC : NÚMERO DE GRAUS CENTESIMAISR : NÚMERO DE RADIANES

EXEMPLOCALCULAR O NÚMERO DE RADIANOS DE UM ÂNGULO, SE:

8R3S 2C 37

NESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEVE USAR A FÓRMULA DE CONVERSÃO

SOLUÇÃO

S C R180 200

K S k180

C k200R k

SE SUBSTITUI NO DADO DO PROBLEMA8( k)3(180k) 2(200k) 37

, SIMPLIFICANDO OBTEMOS

148k 37 1k 4

FINALMENTE O NÚMERO DE RADIANOS É: R 14

4

S k9C k10

R 0k2

NOTA: A FÓRMULA DE CONVERSÃO, EM ALGUNS CASOS, CONVÉM EXPRESSA-LA DA SEGUINTE MANEIRA

S9 C

10 20R

OUTRAS RELAÇÕES IMPORTANTES* ÂNGULOS COMPLEMENTARES SOMAM: o g90 100 rad2

* ÂNGULOS SUPLEMENTARES SOMAM: O g180 200 rad

* EQUIVALÊNCIAS USUAIS:

orad 603

orad 306

orad 454

SISTEMASEXAGESIMALCENTESIMAL

RADIAL

COMPLEMENTO SUPLEMENTOSC

R

90 - S 180 - S100 - C 200 - C

R2

R

EXERCÍCIOS1. CALCULAR :

g

45º rad12E 50 33º

SOLUÇÃOPara resolver este exercício a idéia é converter cada um dos valores dados a um só sistema, escolhemos o SISTEMA SEXAGESIMAL

rad12

180º12 15º g50; 45º

Substituindo em E

45º 15ºE 45º 33º

60º12º 5

g9º( )10

2. O número de graus sexagesimais de um ângulo mais o triplo de seu número de graus centesimais é 78, calcular seu número de radianos

SOLUÇÃOSeja S = número de graus sexagesimais

C = número de graus centesimaisSabes que: S C

9 10 = K y

Dado: S + 3C = 78

S = 9K C = 10K

9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2O número de radianos é:

kR 20

2R 20

10

3. Determinar se é verdadeiro ou falso

A ) rad 180 B ) O complemento de ég30 g70C )

g g24º 2º36 3

D )rad

Os ângulos interiores de um triângulo somam

E ) 180º

F ) g1º 1

G ) O número de graus sexagesimais de um ângulo é igual a 90% de seu número de graus centesimais