Ensino Superior

2.5.3 Equações Diferenciaiscomo Modelos Matemáticos

Amintas Paiva Afonso

Introdução aos Sistemas de Controle

Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos

Amintas Paiva Afonso

Modelos Matemáticos

A construção de um modelo matemático de um sistema começa com

2) Elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer leis empíricas aplicáveis ao sistema.

1) A identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a princípio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa estamos especificando o nível de resolução do modelo.

Modelos Matemáticos

Como as hipóteses de um sistema envolvem frequentemente uma

taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações

envolvendo derivadas.

Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Um modelo matemático de um sistema físico frequentemente

envolve a variável tempo t. Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da variável (ou

variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no

passado, presente e futuro.

Modelos Matemáticos

HipótesesExpresse as hipóteses

em termos de equações diferenciais

Formulação Matemática

Compare as predições do

modelo com os fatos conhecidos

Exponha as predições do modelo

(por exemplo, graficamente)

Obtenha as Soluções

Se necessário altere as hipóteses ou aumente a

resolução do modelo Resolva as EDs

Modelos Matemáticos

Dinâmica Populacional (crescimento populacional – Thomas Malthus)

É a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população do país naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro.

kPdt

dPouα P

dt

dP

k é uma constante de proporcionalidade.

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Decaimento Radioativo

O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e neutrons. Muitas dessas combinações são instáveis. Esses núcleos são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio radioativo, Rn-222. Na modelagem do decaimento

radioativo, supõe-se que a taxa de decaimento do núcleo de uma substância dA/dt, é proporcional à quantidade (número de núcleos) A(t) de substâncias remanescentes no instante t.

kAdt

dAouα A

dt

dA

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Crescimento de um Capital

O mesmo modelo pode descrever o crescimento de um capital S quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente.

rSdt

dSouα S

dt

dS

Este mesmo modelo descreve a determinação da meia-vida de uma droga, assim como, na descrição de uma reação química de primeira ordem.

Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para vários fenômenos diferentes.

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Lei de Newton do Esfriamento/Aquecimento

A taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia (temperatura ambiente).

)( mm TTkdt

dTouTα T

dt

dT

T(t): Temperatura de um corpo no instante t,

Tm: Temperatura do meio que o rodeia e ...

dT/dt: Taxa de variação da temperatura do corpo.

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Disseminação de uma Doença

x(t): número de pessoas que contraíram uma doença contagiosa;

y(t): número de pessoas que ainda não foram expostas;

dx/dt: a taxa segundo a qual a doença se espalha é proporcional ao número de encontros ou interações entre esses dois grupos de pessoas.

Se o número de interações for proporcional a x(t) e y(t) – isto é,

proporcional ao produto xy - então

kxydt

dx

Modelos Matemáticos

Disseminação de uma Doença – Exemplo:

Suponha que uma pequena comunidade tenha uma população

fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na

comunidade, pode-se argumentar que x(t) e y(t) estão

relacionados por x + y = n + 1. Usando essa única equação para

eliminar y em dx/dt = kxy, obtemos o modelo

)1( xnkxdt

dx

Uma condição óbvia que acompanha essa equação é x(0) = 1.

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Misturas

A mistura de duas soluções salinas com concentrações diferentes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura.

Ex: Um tanque de mistura contém 300 galões de salmoura (água com sal dissolvido). Uma outra salmoura é bombeada para dentro

do tanque a uma taxa de 3 galões por minuto; a concentração de

sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por galão. Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora à mesma taxa em que a segunda salmoura entrar. Veja a figura.

Modelos Matemáticos

se RRdt

dA

sal de

saída de taxasal de entrada de taxa

lb/min 6 lb/gal) 2( . gal/min) 3( eR

Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras)

no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa líquida:

min/ 100

A /

300

A . gal/min) 3( lbgallbRs

1006

A

dt

dA

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Drenando um Tanque

Em hidrodinâmica, a lei de Torricelli, estabelece que a velocidade v do fluxo de água em um buraco com bordas na base de um tanque

cheio até a altura h é igual à velocidade com que um corpo (no

caso, uma gota d’água) adquiriria em queda livre de uma altura h – isto é,

Essa expressão origina-se de igualar a energia cinética (½ mv2) com a

energia potencial (mgh) e resolver para v.

ghv 2

Suponha que um tanque cheio com água seja drenado por um buraco sob a influência de um buraco.

Modelos Matemáticos

tanquedo buraco do Área hA

tinstante no tanqueno água de saída de Volume )( tV

tanquedo água da saída de Velocidade 2 ghv

h

Aw

Ah

Queremos encontrar a altura h de água remanescente no

tanque no instante t.

segundopor tanquedo água de saída de Volume 2 ghAh

ghAdt

dVh 2

O sinal de subtração indica

que v está decrescendo.

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água desuperior superfície da constante Área wA

tinstante no tanqueno água de saída de Volume )( tV

tanquedo água da saída de Velocidade 2 ghv

h

Aw

Ah

Estamos ignorando a possibilidade de atrito no buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo.

segundopor tanquedo água de saída de Volume 2 ghAh

dt

dhA

dt

dVw

Substituindo em

hAtV w)(

ghAdt

dVh 2 gh

A

A

dt

dh

w

h 2

Obtemos a ED desejada para h

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Circuito em SérieConsidere o circuito em série de malha simples

i(t): corrente no circuito depois que a chave é fechada

L

E(t) R

C

Li

Ri

Ci

IndutorIndutância L: henrys (h)Queda de voltagem: L di/dt

ResistorResistência R: ohms ()Queda de voltagem: iR

CapacitorCapacitância C: farads (f)Queda de voltagem: i/c . q

q(t): carga em um capacitor no instante t

L, R e C: em geral são constantes

E(t): voltagem aplicada em uma malha fechada que, de acordo com a 2ª lei de Kirchhoff, deve ser igual à soma das quedas de voltagem na malha.

Modelos Matemáticos

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

dqRiR q

C

1

Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem

e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial de segunda ordem

)(1

2

2

tEqCdt

dqR

dt

qdL

indutor resistor capacitor

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Corpos em Queda

Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, iniciamos com a 2ª lei de Newton.

1ª lei de Newton: o corpo permanecerá em repouso ou continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele uma força externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das forças F = Fk –

isto é, a força líquida resultante – que age sobre o corpo for zero, a aceleração a do corpo será zero.

Modelos Matemáticos

Corpos em Queda

Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, iniciamos com a 2ª lei de Newton.

2ª lei de Newton: quando a força líquida que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força líquida será proporcional à sua aceleração a ou, mais precisamente, F = ma, onde m é a massa do corpo.

Modelos Matemáticos

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