Resolução

1◦ Teste14 de Novembro, 2014 (18H00)

Duração do teste: 1H30

Mestrado em Eng. Electrotécnica e de Computadores (MEEC)Electromagnetismo e Óptica

1o semestre de 2013-14

Prof. Fernando Barão (Responsável)Prof. Filipe Mendes

Prof. Ana Maria Martins

Avisos:

• Durante a realização do teste/exame não é permitido o uso de telemóveis e calculadoras.

• Identifique claramente todas as folhas do teste/exame.

• Inicie a resolução de cada um dos grupo numa nova página.

• Realize sempre em primeiro lugar os cálculos analíticos e só no final substitua pelos valoresnuméricos.

Problema 1Uma esfera condutora de raio a possui uma carga eléc-trica +Q no seu interior. À sua volta, concêntrica coma esfera, existe uma coroa esférica dieléctrica, de permi-tividade eléctrica ε e raios interior b e exterior c, ondefoi depositada carga eléctrica que se encontra unifor-memente distribuida na coroa, com densidade ρ C/m3.Entre a esfera condutora e a coroa esférica existe ar (ε0).

[0.5] a) Diga, justificando, onde se encontra distribuída acarga eléctrica no condutor de raio a?

Em equilíbrio electrostático, o campo eléctrico no in-terior da esfera condutora é nulo e por isso a cargaeléctrica desloca-se para a sua superfície. Usandouma superfície de gauss esférica S de raio r → a,podemos justificar a carga à superfície.

ε a

b

c

ε0

[1.5] b) Determine detalhadamente o campo eléctrico no interior da esfera (r < a) e na região entre aesfera e a coroa a < r < b.−→E (r < a) =

−→0

∮ −→E · d

−→S = +Q

ε0⇒ E4πr2 = +Q

ε0⇒ −→

E = +Q4πε0r2

−→e r

[1.0] c) Sabendo que o campo eléctrico no exterior da coroa esférica dieléctrica (r > c) é nulo, deter-mine a carga total existente na coroa e a sua densidade volúmica de carga, ρ.

Designando a carga na coroa esférica por Qc, tem-se:∮ −→

E · d−→S = +Q+Qc

ε0= 0 ⇒ Qc = −Q

ρ = −Q4/3π(c3−b3)

= − 3Q4π(c3−b3)

[1.0] d) Determine o potencial eléctrico da esfera condutora, impondo φ(r = c) = 0.

Antes de mais, determinemos o campo eléctrico no interior da coroa usando para tal uma super-fície esférica de raio b < r < c, dado que na alínea b) já obtivémos o campo entre a e b:∮ −→

D · d−→S = Qlivre

int = +Q + ρ4/3π(r3 − b3) = +Q − Q r3−b3

c3−b3 = Q(

1 − r3−b3

c3−b3

)

D4πr2 = Q(

c3−r3

c3−b3

)

⇒ ~D = Q4πr2

(

c3−r3

c3−b3

)

~er ⇒ ~E = Q16ε0π

1c3−b3

(

c3

r2 − r)

~er

O potencial vem então:

φa =∫ c

a

−→E · d

−→ℓ =

+Q

4πε0

[

∫ b

a

1r2~er · dr~er +

14(c3 − b3)

∫ c

b

(

c3

r2 − r

)

~er · dr~er

]

=+Q

4πε0

(

[

−1r

]b

a

+1

4(c3 − b3)

[

− c3

r

]c

b

− 14(c3 − b3)

[

r2

2

]c

b

)

=+Q

4πε0

[

1a− 1

b+

14(c3 − b3)

(

c3

b+

b2

2− 3

2c2)]

[0.5] e) Diga, justificando qualitativamente, como variaria a energia electrostática do dispositivo caso odieléctrico se transformasse num condutor, conservando a mesma carga eléctrica.

Nesse caso, as cargas poder-se-iam mover livremente e naturalmente sob a acção do campo eléc-trico, deslocar-se-iam para a superfície interna da coroa esférica. Dessa forma deixaríamos de tercarga livre no interior do dieléctrico, garantindo um campo eléctrico nulo. Como existiria traba-lho relaizado pelo campo eléctrico, haveria uma diminuição da energia electrostática do sistema.

Problema 2

Dois condensadores 1© e 2© de faces paralelas e geometria idêntica estão ligados entre si, sendocada um deles constituído por dois planos condutores de área A, separados por uma distância L

(L <<√

A). O condensador 1© possui ar entre as placas (ε0) e o condensador 2© possui um die-léctrico de mica de permitividade ε = 4ε0. Os dois condensadores foram carregados electricamentecom uma carga total Q1 + Q2 = 2Q.Nota: neste problema conhece-se somente à partida a carga total 2Q, sendo desconhecida a carga existente emcada condensador.

AL 1 2

[1.0] a) Determine a capacidade de cada um dos condensadores, justificando os cálculos.

Tendo em conta que os dois condensadores se encontram à mesma diferença de potencialV1 = V2 = Vestes possuem o mesmo campo eléctrico: V =

∫ L

0~E · d~ℓ ⇒ E = V

L :As capacidades escrevem-se então:C1,2 =

Q1,2V

O deslocamento do campo eléctrico na região entre as placas pode-se determinar utilisando alei de Gauss generalizada e utilizando uma superfície cilíndrica com as faces na regiao interna eexterna do condensador:∮

S

−→D · d~S = Qlivre ⇒ D∆S = σlivre

∆S ⇒ D = σlivre

Podemos assim escrever a carga existente nos condensadores em termos do campo eléctrico E:Q1,2 = σ1,2 A = D1,2 A = ε1,2 E Atem-se para as capacidades:

C1,2 =ε1,2 ✁E A

✁E L= ε1,2 A

L

[1.0] b) Determine a carga eléctrica existente nos condensadores 1© e 2©.

Necessitamos de duas equações para determinar as cargas dos condensadores. A primeira dasequações é:2Q = Q1 + Q2

A segunda equação resulta da igualdade dos potenciais nos condensadores:V1 = V2 ⇒ Q1

C1= Q2

C2⇒ Q2 = Q1

C2C1

= Q1εε0

Obtém-se então, substituindo na primeira equação a carga Q1 agora obtida:Q1

εε0+ Q1 = 2Q ⇒ Q1 = 2Q ε0

ε0+ε = 25 Q

e também para Q2:Q2 = Q1

εε0

= 2Q εε0+ε = 8

5 Q

[1.0] c) Determine a energia electrostática armazenada no condensador 2© e a força existente entre asplacas do condensador, admitindo Q2 constante. Interprete o sinal obtido.

A energia armazenada pelo condensador é dada por:

U2 =12 C2V2 =

Q22

2C2= 8

25ε0Q2 L

APara o cálculo da força entre as placas:

F2 = − ∂U2∂z = − ∂

∂z

(

825ε0

Q2 zA

)

= − 825ε0

Q2 1A

A força é atractiva.

[1.0] d) Determine a densidade de carga de polarização existente no dieléctrico do condensador 2©.

Como o dieléctrico é uniforme, ρpol = −−→∇ ·−→P = 0. A densidade de polarização à superfície:

σpol =−→P · −→n = (ε − ε0)

−→E ·~n = 3ε0

−→E ·~n

Utilizando o vector deslocamento do campo eléctrico no interior do condensador derivado ema), tem-se:D = σlivre

2 ⇒ D = 85

QA ⇒ E = 8

20Q

Aε0Admitindo que a placa superior do condensador está

carregada positivamente e a de baixo negativamente, tem-se ~E = 820

QAε0

(−~ez)e as cargas de polarização:σpol(z = 0) = 3ε0

820

QAε0

(−~ez) · (−~ez) = + 65

QA

σpol(z = L) = 3ε08

20Q

Aε0(−~ez) · (+~ez) = − 6

5QA

Admita agora que o dieléctrico de mica não é um iso-lante perfeito e que possui uma condutividade eléctricaσc, sendo ligado a uma bateria de tensão V0. Existiráassim uma corrente eléctrica estacionária no circuito.

2+

−V0

[0.5] e) Escreva a equação de conservação de carga no dieléctrico e derive daí as características docampo eléctrico existente no seu interior.

Em situação de corrente estacionária observa-se a seguinte equação no condutor:−→∇ ·~J = 0 ⇒ σc

−→∇ ·~E = 0Como as linhas de corrente no interior do dieléctrico são verticais (paralelas ao eixo dos z), tem-se:∂Ez∂z = 0 ⇒ Ez = constante

[1.0] f) Determine a densidade de corrente eléctrica e a resistência eléctrica do circuito.

Uma vez que a resistência de forma cilíndrica possui uma diferença de potencial aplicada V0 euma vez que E = cte, obtém-se ~E = V0

L (−~ez)

Vem então para a densidade de corrente eléctrica: ~J = σcV0L (−~ez)

E a resistência eléctrica: R = V /I = V0JA = L

σc A

Formulário de Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008-2013)

Electrostática

• ~E =1

4πε0

q

r2~ur

• 14πε0

= 9 × 109N .m2.C−2

•∮

Γ

~E · d~ℓ = 0

∇×~E = 0

•∮

S

~D ·~n dS =∫

Vρliv dv

~∇ · ~D = ρliv

•∮

S

~P ·~n dS = −∫

Vρpoldv

ρpol = −~∇ · ~Pσpol = ~P ·~next

• φP =∫ Re f

P

~E · d~ℓ

~E = −~∇φ

• ~D = ~P + ε0~E

~D = ε0(1 + χE)~E = ε~E

• Q = CV

• UE =

[

12

]

∑i

qi φi

• uE =12

εE2

UE =∫

VuEdv

• ~Fs = ± dUE

ds~us

Corrente eléctrica estacionária

• ~J = Nq~v

• ~J = σc~E

• I =∫

S

~J ·~n dS

• p = ~J ·~E

•∮

S

~J ·~n dS = − d

dt

∫

Vρdv

~∇ ·~J = − dρ

dt

Magnetostática

• ~B =∫

Γ

µ0

4π

Id~ℓ×~ur

r2

µ0

4π= 10−7 H /m

• d~F = Id~ℓ× ~B

•∮

S

~B ·~n dS = 0

~∇ · ~B = 0

•∮

Γ

~H · d~ℓ =∫

S

~J ·~n dS

~∇× ~H = ~J

• ~B = µ0( ~M + ~H)

~B = µ0(1+ χm)~H = µ~H

•∮

Γ

~M · d~ℓ =∫

S

~JM ·~n dS

~JM = ~∇× ~M

~J′

M = ~M ×~next

Interacção de partículas e campos

• ~F = q(

~E +~v × ~B)

Campos variáveis e indução

•∮

Γ

~E · d~ℓ = − d

dt

∫

S

~B ·~n dS

~∇×~E = − ∂~B

∂t

• Φi = Li Ii + Mij Ij

• UM =

[

12

]

∑i

Φi Ii

• uM =12

B2

µ

UM =∫

VuMdv

• ~Fs = ± dUM

ds~us

•∮

Γ

~H · d~ℓ =∫

S

~J ·~n dS +d

dt

∫

S

~D ·~n dS

~∇× ~H = ~J +∂~D

∂tOndas electromagnéticas

• ~S = ~E × ~H

• ~n =~κ

κ=

~E

E×

~B

B

• E

B= v

• v =1√εµ

• u = uE + uM

• I =⟨

~S ·~n⟩

Óptica

• n1senθ1 = n2senθ2

• tgθB =n2

n1

interferência entre fendas

• dsenθmax = mλ

• dsenθmin = mλ +λ

m′ (m

′ ≤ N e par)

difracção

• asenθmin = mλ

F.Barao, L.F.Mendes Dep. de Física, IST

Formulário de Matemática para Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008-2013)

Algumas Primitivas

∫

dx

(x2 + b)3/2 =1b

x√x2 + b

∫

xdx

(x2 + b)3/2 = − 1√x2 + b

∫

xdx√x2 + b

=√

x2 + b

∫

dx√x2 + b

= ln(

x +√

x2 + b)

∫

dx

x(x + a)=

1a

ln(x

x + a)

Para o cálculo analítico de integrais pode ser consultado o endereço web: http://integrals.wolfram.com

Coordenadas cartesianas (x, y, z)

d~ℓ = dx ~ux + dy ~uy + dz ~uz

dS = dx dy

dV = dx dy dz

~∇F =

(

∂F

∂x,

∂F

∂y,

∂F

∂z

)

~∇ · ~A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

~∇× ~A =

(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)

× (Ax, Ay, Az)

Coordenadas polares (r, θ)

d~ℓ = dr ~ur + r dθ~uθ

dS = r dr dθ

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z)

d~ℓ = dr ~ur + r dθ~uθ + dz ~uz

dV = r dr dθ dz

~∇F =

(

∂F

∂r,

1r

∂F

∂θ,

∂F

∂z

)

~∇ · ~A =1r

∂(r Ar)

∂r+

1r

∂Aθ

∂θ+

∂Az

∂z

~∇× ~A =

(

1r

∂Az

∂θ− ∂Aθ

∂z

)

~ur +

(

∂Ar

∂z− ∂Az

∂r

)

~uθ +

(

1r

∂(r Aθ)

∂r− 1

r

∂Ar

∂θ

)

~uz

Coordenadas esféricas (r, θ, φ)

d~ℓ = dr ~ur + r dθ~uθ + r senθ dφ ~uφ

dV = r2 dr senθ dθ dφ

~∇F =

(

∂F

∂r,

1r

∂F

∂θ,

1rsenθ

∂F

∂φ

)

~∇ · ~A =1r2

∂

∂r

(

r2 Ar

)

+1

rsenθ

∂

∂θ(senθAθ) +

1rsenθ

∂

∂φ

(

Aφ

)

~∇× ~A =

[

1rsenθ

∂(senθAφ)

∂θ− ∂(senθAθ)

∂φ

]

~ur +1r

[

1senθ

∂Ar

∂φ− ∂(rAφ)

∂r

]

~uθ +1r

[

∂(rAθ)

∂r− ∂Ar

∂θ

]

~uφ

Teorema da Divergência

∫

V

~∇ · ~A dV =∮

S

~A ·~n dS

Teorema da Stokes

∫

S

~∇× ~A · d~S =∮

Γ

~A · d~ℓ

Identidades vectoriais

~∇ · (~A × ~B) = ~B · (~∇× ~A)− ~A · (~∇× ~B)

~∇ · (~∇× ~A) = 0

~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∇2~A

F.Barao, L.F.Mendes Dep. de Física, IST