Matemática

Editora Exato 5

EQUAÇÃO DO 2° GRAU 1. DEFINIÇÃO

Dados Rcba ∈,, com 0≠a , chamamos equa-

ção do 2° grau a toda equação que pode ser colocada na

forma 02 =++ cbxax , onde :

� ba , são os coeficientes respectivamente de 2

x

e x ; � c é o termo independente.

Exemplo:

� 01322 =−− xx é uma equação do 2° grau

com

2=a 3−=b 1−=c

Observação: Uma equação do 2° grau pode aparecer na forma

normal 02 =++ cbxax ou não.

Exemplos:

� 01322 =++ xx Está na forma normal;

� 22

4232 xxx =+− Não está na forma nor-mal. Nesse caso devemos colocá-la na forma

normal assim: 0232

04232

2

22

=+−−

=−+−

xx

xxx.

2. EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Uma equação do 2° grau pode ser completa ou in-completa:

2.1) Completa: Uma equação está na forma completa, quando

0≠b e 0≠c . Nesse caso a equação será:

02 =++ cbxax .

2.2) Incompleta: Uma equação está incompleta, quando 0=b ou

0=c :

� Quando 002 =+⇒= caxb ;

� Quando 002 =+⇒= bxaxc .

3. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2° GRAU

Resolver uma equação do 2° grau, é encontrar os va-lores da variável que torna a igualdade verdadeira.

3.1) Raízes de uma equação do 2° grau

Dada a equação 02 =++ cbxax chama-se raiz

dessa equação a todo valor de x que torna essa igualdade verdadeira.

Exemplo: Verificar se –3 e 3 são raízes da equação

092 =−x .

Para verificar se –3 e 3 são raízes da equação dada, basta substituí-los pela variável.

Veja:

� Para 3−=x temos

( ) 000990932

=→=−→=−− (verdadeira);

� Para 3=x temos

000990932 =→=−→=− (verdadeira).

Logo, -3 e 3 são raízes da equação 092 =−x .

Resolver uma equação do 2° grau significa encontrar suas raí-zes.

3.2) Na forma normal, isto é, na forma

02 =++ cbxax

Nesse caso usaremos a fórmula de Bhaskara:

bx

2a− ± ∆

=

onde cab ⋅⋅−=∆ 42

Observações:

� Se 0>∆ então a equação 02 =++ cbxax

terá duas raízes reais diferentes;

� Se 0=∆ então a equação 02 =++ cbxax

terá duas raízes reais e iguais;

� Se 0<∆ então a equação 02 =++ cbxax

não terá raízes reais.

Exemplos:

� Resolver a equação 022 =−+ xx

temos que 1=a , 1=b e 2−=c

1°)1°)1°)1°) Calculando o valor de ∆ temos:

acb 42 −=∆

( )21412 −⋅⋅−=∆

81+=∆

9=∆ 2°)2°)2°)2°) Para encontrar as raízes basta aplicar a fórmula de Bhas-kara:

bx

2a

− ± ∆=

bx

2a

− + ∆′ =

bx

2a

− − ∆′′ =

Daí:

1 9 1 3 2x 1

2 1 2 2

− + − +′ = = = =

⋅ e

1 9 1 3 4x 2

2 1 2 2

− − − − −′ = = = = −

⋅.

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Logo }1,2{−=S .

� Resolver a equação

=

=

=

=++

2

1

4

0242

c

b

a

xx

Achando o valor de acb 42 −=∆ :

24412 ⋅⋅−=∆

321−=∆

031 <−=∆ . A equação não tem raiz real.

4. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO INCOM-PLETA

Para resolvermos uma equação incompleta, devemos seguir as seguintes etapas:

4.1) Na forma

02 =+ bxax

Nesse caso, basta colocar x em evidência:

02 =+ bxax

( ) 0=+ baxx

e fazer:

0=x ou a

bxbax −=⇒=+ 0

Quando temos um produto de dois fatores iguais a ze-ro, pelo menos um dos fatores será igual a zero.

Exemplo:

Resolver a equação 042 =− xx .

Temos que : 042 =− xx colocando x em evidên-

cia:

( ) 04 =−xx

0=x ou x 4 0

x 4

− = ⇒

=

Então, }4,0{=S

4.2) Na forma

02 =+ cax

Nesse caso, isolamos 2

x e extraímos a raiz quadrada

de c .(sempre que 0≥c ).

Exemplo:

Resolver 042 =−x .

Temos que : 042 =−x ;

→= 42

x isolamos 2

x ;

→±= 4x extraímos a raiz quadrada

de 4 ; 2±=x .

Então, { }2,2−=S

5. SOMA E PRODUTO

Para encontrarmos a soma das raízes da equação, do

tipo; 02 =++ cbxax , basta seguir a seguinte relação:

a

bxx

−=′′+′

Para encontrarmos o produto das raízes da equação

do tipo: 02 =++ cbxax , basta seguir a seguinte relação:

a

cxx =′′⋅′

Exemplo: Encontre a soma e o produto das raízes da equação

022 =−+ xx .

11

1−=

−=′′+′ xx e 2

1

2−=

−=′′⋅′ xx

6. EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Toda equação que possui uma incógnita no radican-do, é chamada equação irracional.

Exemplos:

� xx =+ 2 É uma equação irracional;

� 0123 =−x É uma equação irracional.

6.1) Resolução Para resolvermos uma equação irracional, devemos

elevar os dois membros dessa equação a um expoente igual ao índice da raiz e resolvermos a equação obtida. No entan-to, a equação obtida nem sempre é equivalente a equação dada, por isso devemos verificar entre as soluções obtidas à-quelas que são raízes verdadeiras.

Exemplo:

� Resolver a equação xx =+ 2

( ) →=+ 22

2 xx Eleva ao quadrado os dois

membros da equação.

→=+ 22 xx Elimina as raízes.

→

−=

−=

=

=−−

2

1

1

022

c

b

a

xx Colocamos a equa-

ção obtida na sua forma normal e resolvemos.

( ) ( )

9

2141

4

2

2

=∆

−⋅⋅−−=∆

−=∆ acb

a

bx

2

∆±−= então: 2=′x e 1−=′′x

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Verificação: � Para 2=x temos:

2224222 =→=→=+ (verdadeira);

� Para 1−=x temos:

1111121 −=→−=→−=+− (falso).

Logo o conjunto solução dessa equação é }2{=S .

7. SISTEMA DO 2° GRAU

Um sistema do 2° grau é todo sistema em que sua so-lução e encontrada na resolução de uma equação do 2° grau.

7.1) Resolução Para resolvermos um sistema do 2° grau basta utilizar

o método da substituição ou da adição.

Exemplo:

Resolver o sistema

=+

=−

IIyx

Iyx

13

1

22

1°) 1°) 1°) 1°) →+= yx 1 isolamos x na I equação;

2°)2°)2°)2°) ( ) →=++ 13122

yy substituímos yx += 1

na equação II e resolvemos a equação obtida:

( ) 13122

=++ yy

0132122 =−+++ yyy

0622 =−+ yy .

Resolvendo essa equação encontramos 2=′y e

3−=′′y para encontrar os valores de x devemos substituir

o valor de y na equação yx += 1 :

� Para 3212 =′⇒+=⇒=′ xxy

� Para 2313 −=′′⇒−=⇒−=′′ xxy

Logo ( ) ( ){ }3,2,2,3 −−=S .

EXERCÍCIOS

1 Verifique se:

a) xxderaizé 422 − ;

b) 3432 +− xxderaizé ;

c) 1642 −− xderaizé .

2 Resolva as equações abaixo:

a) 0362 =−x ;

b) 052 =− xx ;

c) ( ) 8122

=−x ;

d) ( ) 49322

=−x .

3 Determine o numero real, tal que seu quadrado é igual seu dobro.

4 Resolva as seguintes equações, sendo U = R.

a) 0892 =+− xx ;

b) 018162 =−+− xx ;

c) xxx 69222 −=+ ;

d) ( ) ( ) 10122222

++=+− xx ;

e) xxx +=

−⋅

2

1

4

3.

5 Resolva as seguintes equações irracionais:

a) 332 =+x

b) 432 −=+ xx

c) 137 =−− xx

d) 55 =+− xx

6 (U. Caxias do Sul(U. Caxias do Sul(U. Caxias do Sul(U. Caxias do Sul----RS)RS)RS)RS) Se uma das raízes da equação

040322 =+− pxx é 8, então o valor de p é:

a) 5

b) 3

13

c) 7 d) -5 e) -7

7 (PUC(PUC(PUC(PUC----MG)MG)MG)MG) Um valor de B, para que a equação

0222 =++ Bxx tenha duas raízes reais e iguais é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8 (FGV(FGV(FGV(FGV----SP)SP)SP)SP) Se a soma das raízes da equação

0432 =−+ xKx é 10, podemos afirmar que o pro-

duto das raízes é:

a) 3

40

b) 3

40−

c) 3

80

d) 3

80−

e) 10

3−

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9 (ULBRA(ULBRA(ULBRA(ULBRA----RS)RS)RS)RS) O(s) valor(s) de B na equação

042 =+− Bxx para que o discriminante seja igual a

65 é(são): a) 0 b) 9 c) -9 d) -9 ou 9 e) 16

10 (U.F.FLUMINENSE)(U.F.FLUMINENSE)(U.F.FLUMINENSE)(U.F.FLUMINENSE) Cortando-se pedaços quarados iguais nos cantos de uma cartolina retangular de 80cm de com-primento por 60cm de largura,obtém-se uma figura em forma de cruz. Se a área da cruz for a terça parte da área retangular original, o tamanho do lado de cada quadra-do é igual a:

a) 5 2 cm

b) 10 2 cm

c) 15 2 cm

d) 20 2 cm

e) 25 2 cm

11 (MACK(MACK(MACK(MACK----SP)SP)SP)SP) Sendo x’ e x’’ as raízes reais da equação 26x x 1 0− − = , o valor da expressão ( ) ( )x ' 1 x '' 1+ + é:

a) 0 b) 1

c) 1

3

d) 2

3

12 (PUC(PUC(PUC(PUC----SPSPSPSP)))) A equação 24x x m 0+ + = tem uma única raiz. Então, m é igual a: a) 0

b) 1

16

c) 1

d) 1

32

13 (FUVEST)(FUVEST)(FUVEST)(FUVEST) A equação do 2º grau 2ax 4x 16 0− − = tem uma raiz cujo valor é 4. A outra raiz é: a) 1 b) 2 c) –1 d) –2

14 (FAAP(FAAP(FAAP(FAAP----SP)SP)SP)SP) A raiz da equação x x 12 6+ + = é um número: a) divisor e 12. b) natural maior que 4. c) múltiplo de 3 d) ímpar.

15 (FEI(FEI(FEI(FEI----SP)SP)SP)SP) O valor negativo a incógnita y no sistema de e-

quações x y 1

1 1 1

x y 6

− =

− = −

é:

a) –2 b) –3 c) –4 d) –1 e) –6

16 (FCC(FCC(FCC(FCC----RJ)RJ)RJ)RJ) Se Rx ∈ é tal que o inverso de 3−x é

3+x , então 2

x vale:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e)0.

17 (MACK(MACK(MACK(MACK----SP) SP) SP) SP) A soma das idades de n pessoas é 468 a-nos. Se aumentarmos 3 anos à idade de cada pessoas, a nova soma será 573 anos. Então n vale: a) 27 b) 29 c) 31 d) 33 e) 35

GABARITO

1 a) Não b) Sim c) Sim

2 a) { }S 6,6= −

b) { }S 0,5=

c) { }S 7,11= −

d) { }S 2,5= −

3 0 ou 2

4 a) { }S 1,8=

b) 1

S4

=

c) { }S 3= −

d) S = ∅ e) S = ∅

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5 a) { }S 3=

b) 7

S 2,9

=

c) { }S 1,4=

d) { }S 9=

6 C

7 C

8 B

9 D

10 D

11 B

12 B

13 D

14 A

15 B

16 A

17 E