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Equao de Lotka-VolterraOrigem: Wikipdia,a enciclopdia livre.

Na matemtica, as equaes de Lotka-Volterraso um par equaes diferenciais, no lineares e de

primeira ordem, frequentemente utilizadas para descrever dinmicas nos sistemas biolgicos,especialmente quando duas espcies interagem: uma como presa o outra como predadora. SegundoLTZ (2011), modelos mais bsicos para predador-presa de duas espcies so chamados de Lokta-Volterra, e consideram que a nica fonte de alimento da espcie predadora a populao da presa e que

no h competio alguma entre indivduos da mesma espcie. [1]

Percebe-se ento que esse modelo no descreve de fato uma relao completa desses seres no meioambiente, uma vez que no considera nenhum outro fator externo, como condies climticas porexemplo, porm compreender esse modelo simples facilita o entendimento de modelos mais complexos.[2]

ndice

1 Histria

2 Interpretao das equaes

3 Analisando a Equao

4 Aplicao

5 Referncias

Histria

Estas mesmas equaes foram propostas independentemente por dois estudiosos. O matemtico VitoVolterra (1860-1940) desenvolveu em 1925 o modelo de equaes ao tomar conhecimento do trabalhodo zoologista Umberto d'Ancona, que analisou o crescimento da populao de tubares e o decrscimoda populao dos demais peixes em um mar da Itlia. O biofsico Alfred J. Lotka (1880-1949), nomesmo ano de 1925 estudou a interao predador-caa e publicou um livro chamado "Elements of

Physical Biology"apresentando a mesma modelagem. Como ambos publicaram a mesma equao, o

modelo foi chamado de Lotka-Volterra. [3]

Trata-se do primeiro modelo que tenta compreender a relao entre duas espcies (presa e predador).

Diversos modelos podem utilizar esta frmula como os que envolvem as relaes entre o linces e alebres, raposas e coelhos, joaninhas e pulges, tubares e peixes, etc.

Interpretao das equaes

https://pt.wikipedia.org/wiki/Lebrehttps://pt.wikipedia.org/wiki/Raposahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Coelhohttps://pt.wikipedia.org/wiki/Joaninhahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Pulg%C3%B5eshttp://-/?-https://pt.wikipedia.org/wiki/It%C3%A1liahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Alfred_J._Lotkahttps://pt.wikipedia.org/wiki/1880https://pt.wikipedia.org/wiki/1949https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Zoologista&action=edit&redlink=1https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Umberto_d%27Ancona&action=edit&redlink=1https://pt.wikipedia.org/wiki/Peixehttps://pt.wikipedia.org/wiki/Tubar%C3%B5eshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Pulg%C3%B5eshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Joaninhahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Coelhohttps://pt.wikipedia.org/wiki/Raposahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Lebrehttps://pt.wikipedia.org/wiki/Lincehttp://-/?-https://pt.wikipedia.org/wiki/1949https://pt.wikipedia.org/wiki/1880https://pt.wikipedia.org/wiki/Alfred_J._Lotkahttps://pt.wikipedia.org/wiki/It%C3%A1liahttps://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Umberto_d%27Ancona&action=edit&redlink=1https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Zoologista&action=edit&redlink=1https://pt.wikipedia.org/wiki/1925https://pt.wikipedia.org/wiki/1940https://pt.wikipedia.org/wiki/1860https://pt.wikipedia.org/wiki/Vito_Volterrahttp://-/?-http://-/?-https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciaishttps://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

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Devido a essa relao de presa/predador, podemos ter as seguintes situaes finais [2]:

Extino de predadoresExtino de presasCoexistncia de predadores e presas.

Analisaremos as hipteses consideradas acima para concluir a forma da equao, definindo antes:

y o nmero de indivduos da populao de algum predador (exemplo: lobo)x o nmero da indivduos da populao da sua presa (exemplo coelho)trepresenta tempo.

Predadores extintos

Se os predadores forem extintos, a populao da presa cresce a uma taxa proporcional a populao atual.A constante : representa essa proporo, temos:

Presas extintas

Se as presas forem extintas, como o modelo considera que se trata do nico alimento dos predadores, apopulao de predadores deve se extinguir tambm, a uma taxa proporcional a sua populao atual.Sendo : a constante de proporcionalidade, temos:

Ambas populaes existem

Os encontros entre presa e predador, que levam a morte de uma presa, diretamente proporcional aoproduto das suas populaes.

Entendendo melhor, se tivssemos os indivduos ae bda populao de presas e ce dda populao depredadores, os seus encontros seriam:

Logo, o produto das duas populaes. Como os encontros tentem a gerar morte da presa e alimentaodo predador, temos alteraes nas populaes. No caso do modelo, temos duas constatantes positivas de

proporcionalidade envolvidas nesse produto, sendo que representa taxa de predao e de conversoda caa em novos predadores. Temos:

Populao da presa sofre reduo: :Populao do predador sofre aumento: :

Geral

https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3ohttps://pt.wikipedia.org/wiki/Coelhohttps://pt.wikipedia.org/wiki/Lobohttp://-/?-

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Considerando todas as trs hipteses, temos como equao desse modelos o que segue:

Ondey o nmero de indivduos de algum predador (exemplo: lobo)x o nmero da indivduos da sua presa (exemplo coelho)trepresenta o tempo e,, e so parmetros (positivos) representando a interao entre as duas espcies. Sendo:

taxa de crescimento da populao de presastaxa de decrscimo da populao de predadorestaxa de decrscimo da populao de presastaxa de crescimento da populao de predadores.

Analisando a Equao

Vamos relacionar as equaes e ter uma que contemple a relao entre as duas espcies: [3]

Integrando chegamos a:

Encontramos a soluo geral da equao:

Sendo C e D constantes.

Aplicao

Para compreender uma aplicao, iremos usar um exemplo. Supe-se que exista um modelo que possaser representado de tal forma que :

Ento temos a equao:

Onde a constante depende das condies iniciais e , que so positivas por serempopulaes.

Temos esboado o plano de fases dessa equao ao lado para diversas condies iniciais: ele apresenta aperiodicidade da variao do nmero de presas e predadores.

http://-/?-https://pt.wikipedia.org/wiki/Coelhohttps://pt.wikipedia.org/wiki/Lobo

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Espao de fase da equao de Lotka-

Volterra com os parmetros

e

diferentes condies iniciais,

mostrando que a variao do nmero

de presas e predadores peridica.

As populaes de presas e predadores

em funo do tempo obtida utilizando

o modelo de Lotka-Volterra. Os

parmetros utilizados so

Referncias

1. LTZ, Alessandra Friedrich. 2011. Competio e Coexistncia em Populaes Biolgicas.Trabalho deconcluso de curso-Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Instituto de Fsica. Porto Alegre.

2. DANTAS, Mrcio Paixo. 2005 Seleo Natural Espontnea em Sistemas Presa-Predador com Difuso.Monografia de concluso de curso - Universidade Federal de Lavras, Cincias da Computao. Minas Gerais.

3. PINHEIRO, Felipe Lus Pereira. 2010. Influncia das Leis de Escala sobre Dinmica de PopulaesDissertao de Mestrado - Universidade de Braslia, Instituto de Fsica. Braslia. Erro de citao: Invalidtag name "multiplas" defined multiple times with different content

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