Equação do movimento de uma viga sobre base elástica

8/18/2019 Equação do movimento de uma viga sobre base elástica

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2Formulação do Problema

2.1.Dedução da Equação de Movimento de uma Viga sobre FundaçãoElástica.

Seja a porção de viga infinita de seção transversal constante mostrada na

Figura 2.1, apoiada sobre uma base elástica e submetida à ação de uma carga

transversal q(x,t), variando arbitrariamente no tempo e no espaço, e a uma força

axial de magnitude constante P.

Figura 2.1 – Porção de viga prismática, apoiada sobre fundação elástica com

amortecimento viscoso, submetida a carregamento transversal e força axial.

Figura 2.2 – Diagrama de corpo livre de um elemento diferencial de viga

sobre base elástica.

w(x,t)

q(x,t).dx

M(x,t)+ dx x

t x M

∂

∂ ),(

V(x,t)+ dx x

t xV

∂

∂ ),(

M(x,t)

θ (x,t)

P

P

Fi(x,t)

Fa(x,t)

Rf(x,t)

V(x,t)

dx

w(x,t)+ dx x

t xw

∂

∂ ),(

P U C - R i o

- C e r t i f i c a ç ã o D i g i t a l N º 0 8 1 2 4 0 9 / C A


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Considere-se o elemento diferencial de viga mostrado na Figura 2.2

submetido a um deslocamento transversal w(x,t) e uma rotação θ (x,t). As cargas

transversais atuantes são: q(x,t).dx, que representa o carregamento transversal

arbitrário; Fi(x,t), que representa a força de inércia oposta ao deslocamento;

Fa(x,t), a força de amortecimento; V(x,t), o esforço de corte e Rf(x,t), a reação dafundação. Atuam também no elemento a força axial P e o momento fletor M(x,t).

Do equilíbrio de momentos, e desprezando os termos diferenciais de ordem

superior, tem-se que:

),(),(),(

t xV x

t xwP

x

t x M =

∂

∂−

∂

∂ (2.1)

As forças de inércia e de amortecimento são definidas como:

2

2 ),(

t

t xwmFi

∂

∂= (2.2)

t

t xwC Fa

∂

∂=

),( (2.3)

onde m é a massa da viga por unidade de comprimento e C é o coeficiente de

amortecimento.

Fazendo o equilíbrio de forças transversais no elemento da Figura 2.2, e

usando as equações (2.2) e (2.3), obtém-se:

),(),(),(),(),(),(

2

2

2

2

2

2

t xqt x Rf t

t xwC

t

t xwm

x

t xwP

x

t x M =+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂ (2.4)

Da teoria de vigas de Euler-Bernoulli têm-se as seguintes relações:

2

2 ),(),(

x

t xw EI t x M

∂

∂= (2.5)

x

t xwt x ∂

∂

=

),(),(θ (2.6)

sendo E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção

transversal. Se considerada também a inércia rotacional da seção da viga, um

momento dependente da rotação da seção da viga e do raio de giração da seção, r ,

surge e atua no sentido oposto à rotação. Neste caso, deve ser acrescentado o

P U C - R i o



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termo22

42 ),(

t x

t xwmr

∂∂

∂− ao lado esquerdo da equação (2.4). Substituindo a equação

(2.5) na equação (2.4) e somando os termos devidos à força axial e à inércia

rotacional no lado esquerdo da equação (2.4), obtém-se finalmente a equação de

movimento que governa o problema e que é dada pela seguinte expressão:

),(),(),(),(),(),(),(

22

42

2

2

2

2

4

4

t xqt x Rf t x

t xwmr

t

t xwC

t

t xwm

x

t xwP

x

t xw EI =+

∂∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂ (2.7)

2.2.Consideração da Fundação Elástica

Estruturas apoiadas sobre fundação elástica são comuns na engenharia. A

obtenção de modelos que representem adequadamente a fundação elástica e ao

mesmo tempo sejam simples quanto à sua manipulação matemática são de

fundamental importância neste tipo de problema. A seguir são apresentados

alguns dos modelos de fundação elástica mais usados na literatura (Selvadurai,

1979; Aristizábal-Ochoa, 2003).

2.2.1.Modelo de Winkler

Winkler propôs que a reação da fundação elástica em qualquer ponto da

superfície da fundação em contato com a estrutura seja linearmente proporcionalao deslocamento da estrutura neste ponto e independente dos deslocamentos em

outros pontos de contato. Isto corresponde a um sistema de molas lineares

independentes, tal como mostrado na Figura 2.3.

Figura 2.3 – Modelo de fundação elástica de Winklxer.

P U C - R i o



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Na Figura 2.3 observa-se que no modelo de Winkler os deslocamentos de

uma região carregada uniformemente são constantes quando a estrutura é

infinitamente flexível ou infinitamente rígida.

Usando a teoria de Winkler, a reação da fundação Rf(x,t) num ponto de

contato, pode ser expresso pela seguinte relação:),(.),( t xwk t x Rf = (2.8)

onde k é o coeficiente de rigidez linear da fundação ou simplesmente a rigidez da

fundação.

2.2.2.Modelos de dois parâmetros

Os modelos de dois parâmetros são chamados assim porque consideram que

a reação da fundação Rf(x,t) depende de dois parâmetros elásticos, sendo o

primeiro a constante elástica linear de mola proposto por Winkler e o parâmetro

adicional corresponde a características mecânicas da fundação.

2.2.2.1.Modelo de Filonenko-Borodich

O modelo de Filonenko-Borodich supõe que a fundação é composta de

molas lineares conectadas a uma membrana fina e submetida a uma tração T .Neste caso a reação Rf(x,t) é dada pela seguinte equação:

2

2 ),(),(.),(

x

t xwT t xwk t x Rf

∂

∂−= (2.9)

A Figura 2.4 ilustra o modelo de Filonenko-Borodich.

Figura 2.4 – Modelo de fundação elástica de Filonenko-Borodich.

Viga flexível submetidaa carregamento uniforme

Viga rígida submetidaa caga concentrada

Membrana finaMembrana fina

P U C - R i o



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2.2.2.2.Modelo de Hetenyi

Hetenyi (1946) propôs que a fundação seja composta por molas lineares

interligadas a uma viga elástica, no caso de problemas unidimensionais, ou molas

interligadas a uma placa elástica para problemas bidimensionais. Neste caso aforça Rf(x,t) pode ser definida da seguinte forma:

4

4 ),(),(.),(

x

t xw Dt xwk t x Rf

∂

∂−= (2.10)

onde D é a rigidez a flexão da viga elástica ligada ao sistema de molas.

2.2.2.3.Modelo de Pasternak

Pasternak em 1954 propôs que a fundação seja composta por molas lineares

com iteração de cisalhamento entre elas. Para tal consideração, adota-se que a

fundação é composta de molas conectadas a uma camada incompressível de

espessura unitária que só se deforma por cisalhamento, tal como mostrado na

Figura 2.5.

Figura 2.5 – Modelo de fundação elástica de Pasternak.

No caso do modelo de Pasternak, a reação da fundação elástica é dada por:

2

2 ),(),(.),(

x

t xwGt xwk t x Rf

∂

∂−= (2.11)

onde G é a rigidez a cisalhamento da fundação elástica.

Camada incompressívelDeformável só por cisalhamento

q

P U C - R i o



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2.2.3.Escolha do modelo de fundação elástica

Na presente dissertação a fundação é considerada segundo a hipótese de

Winkler, dado que, apesar de não considerar interação entre as molas, é factível a

determinação de valores de k mediante ensaios simples que são de grandeutilidade e fornecem resultados de boa qualidade em muitos casos práticos. Já a

determinação dos parâmetros considerados pelos modelos de duas constantes

elásticas demanda procedimentos experimentais de maior complexidade. Além

disso, do ponto de vista matemático, a utilização de modelos de dois parâmetros

suporia apenas mudança do coeficiente que multiplica o termo diferencial de

segunda ordem2

2 ),(

x

t xw

∂

∂ na equação de movimento, que, no caso, é dada pelo

valor negativo da força axial P.Adotada a teoria de Winkler, substitui-se a equação (2.8) na equação (2.7),

obtendo-se assim a equação:

),(),(),(),(),(),(),(

22

42

2

2

2

2

4

4

t xqt xkwt x

t xwmr

t

t xwC

t

t xwm

x

t xwP

x

t xw EI =+

∂∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂ (2.12)

2.3.Mudança de Coordenada do Espaço para Consideração de CargasMóveis

A carga móvel pode ser definida como um carregamento que se desloca no

espaço com velocidade de translação V(x,t). Sua consideração é de suma

importância em problemas onde a mudança da posição da carga tem grande

influência no comportamento dos sistemas estruturais, como é o caso das pontes,

trilhos, estruturas de pavimentos, entre outros. Frýba (1972) realizou uma série de

estudos detalhados de sistemas estruturais unidimensionais e bidimensionais

submetidos a cargas móveis.

Para o tratamento do carregamento móvel, faz-se muito útil uma mudançade coordenadas de um espaço fixo para um espaço móvel, i.e., uma mudança de

variável de uma coordenada fixa no espaço para uma coordenada móvel, com o

objetivo de transformar a função de carregamento móvel em uma função de

carregamento com posição fixa na coordenada móvel. Para o caso de uma

velocidade de valor constante V pode-se definir a coordenada móvel η como:

P U C - R i o



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Vt x −=η (2.13)

Definida a coordenada móvel η, o campo de deslocamento w(x,t) que

depende da coordenada fixa do espaço x pode ser redefinido pelo campo de

deslocamentos w(η ,t ) e a função de carregamento q(x,t) transformada para afunção q(n,t) (Frýba, 1972); Kim, 2005). Usando a equação (2.13), a equação

(2.9) pode ser reescrita da seguinte forma:

∂

∂+

∂∂

∂−

∂∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂−

∂

∂

2

22

3

4

22

42

2

22

2

2

2 ),(),(2

),(),(),(2

),(

η

η

η

η

η

η

η

η

η

η η t wV

t

t wV

t

t wmr

t wV

t

t wV

t

t wm

),(),(),(),(),(),(

2

2

4

42

t qt kwt w

Pt w

EI t w

V t

t wC η η

η

η

η

η

η

η η =+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+ (2.14)

Dada a presença de termos diferenciais cruzados na equação (2.14), não é

possível resolvê-la pelo método tradicional da separação das variáveis. Aresolução desta equação dependerá da complexidade da função de carregamento

q(n,t). Dependendo do caso, podem-se obter soluções analíticas exatas por meio

de transformações integrais ou expansões em série de potências, dentre outros. É

possível também obter soluções aproximadas mediante métodos que permitam

trabalhar diretamente com a equação diferencial, como é o caso do método dos

resíduos ponderados ou pelos métodos das diferencias finitas e dos elementos

finitos. Na presente dissertação trabalha-se com o método dos resíduos ponde-

rados de Galerkin.

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