Equações do PlanoEquações do PlanoSejam um ponto e os

vetores e não paralelos (LI). Então existe um único plano que passa por A e possui representantes de e .

: , ,AP u v R ��������������

: , ,P A u v R

: , ,P A u v R

3R

1 2 3( , , )u u u u

1 2 3( , , )v v v v0 0 0( , , )A x y z

u

v

u

v

u

v

PA

Equação Vetorial do Equação Vetorial do PlanoPlano

Equações Cartesianas do Plano

Equação Vetorial: Dados ,

, e , temos que a equação vetorial do plano é:

, ,P x y z

0 0 0, ,A x y z 1 2 3, ,v v v v

, ,P A u v R :

1 2 3, ,u u u u

0 0 0 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,x y z x y z u u u v v v

, R

Exercício

Determinar a equação vetorial do plano que passa pelos pontos A(3,0,-5), B(7,4,-7) e C(1,1,-1)

Equações Cartesianas

Equações ParamétricasConsiderando a equação vetorial do plano

Temos as equações paramétricas do plano dadas por:

0 0 0 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,x y z x y z u u u v v v

, R

0 1 1

0 2 2

0 3 3

, ,

x x u v

y y u v R

z z u v

:

Equações Cartesianas

Equação GeralDadas as condições iniciais temos que os

vetores e são coplanares, assim:

0 0 0

1 2 3

1 2 3

, , 0

x x y y z z

AP u v u u u

v v v

��������������

,AP u�������������� v

Equações Cartesianas

Equação Geral:

: 0ax by cz d

2 3

2 3

u ua

v v 3 1

3 1

u ub

v v

1 2

1 2

u uc

v v

0 0 0d ax by cz

Onde:

Exercícios

1. Dar representações geométricas dos seguintes planos.

1. Plano

2. Plano

3. Plano

4. Plano

5. Plano

1 : 3 4 2 12 0x y z

2 : 3 4 2 0x y z

3 : 4 2 12 0y z

4 : 4 2 0y z

5 : 2 12 0z

Exercício 1: Plano 1

x

y

z

Exercício 1: Plano 2

x

y

z

Exercício 1: Plano 3

x

y

z

Exercício 1: Plano 4

x

y

z

Exercício 1: Plano 5

x

y

z(0,0,6)P

Exercícios

2. Determine o plano que contém os pontos A(3,1,3), B(5,5,5), C(5,1,-2) e D(8,3,-6). Mostre ainda que as retas AB e CD são concorrentes.

3. Dados os pontos A(1,1,2), B(1,2,3) e C(-1,2,1), obtenhas as coordenadas de um ponto P tal que o segmento OP seja perpendicular ao plano ABC. Determine uma equação geral para o plano ABC.

4. Obtenha uma equação para o plano que contém os pontos A(1,1,1), B(3,5,2) e C(7,1,12).

5. Obtenha uma equação geral e uma vetorial para o plano que contém a origem do sistema coordenado e os pontos A(1,2,3) e B(2,-1,7).

Importante

1 2 3

1 2 3

x

i j k

u v u u u ai bj ck

v v v

Da Equação Geral do Plano temos que:

2 3

2 3

u ua

v v 3 1

3 1

u ub

v v

1 2

1 2

u uc

v v

: 0ax by cz d

Observe que o vetor abaixo pode ser também descrito através dos coeficientes, ou seja:

Importante

O que nos dá o vetor normal que é ortogonal aos vetores diretores do plano dado, simultaneamente, ou seja, ortogonal ao plano dado, assim temos que:

, ,n a b c

xn u v