Equações e inequações trigonométricas

Veja como resolvê-las Carlos Alberto Campagner* Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Equações trigonométricas

Normalmente as equações trigonométricas dependem de algumas identidades fundamentais e também de reduções básicas dos arcos ao primeiro quadrante. Identidades fundamentais e derivações básicas (note-se que a primeira delas é a equação fundamental da trigonometria):

As reduções básicas ao primeiro quadrante são: Para o seno:

Pela figura acima pode-se notar que: sin(π – α) = sin α da mesma maneira: sin(π + α) = –sin α sin(2π – α) = –sin α Analogamente: cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos α cos(2π + α) = cos α e tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan α tan(2π + α) = –tan α

Algoritmo de resolução Existem várias maneiras de se resolver uma equação trigonométrica, das quais podemos destacar algumas. Eis alguns exemplos, para o caso de haver somente uma incógnita, ou seja, um ângulo a ser encontrado: a) A equação apresenta mais de uma função trigonométrica envolvida. Neste caso, utilizam-se as identidades fundamentais e eventuais relações derivadas que se fizerem necessárias. Exemplo: tan α + cot α = 2 com 0 ≤ α ≤ 2π - tenta-se reduzir todos os termos a seno e cosseno:

- tenta-se reduzir a equação a termos mais simples:

lembrando a equação fundamental temos:

2 sin α cos α = 1 Lembrando que temos uma relação derivado onde: sin 2 α = 2sin α cos α Teremos: sin 2 α = 1 ∴ 2 α = 90

o e α = 45

o

Devemos lembrar também que para valores de sin2 α ≠ 1 (inclusive para sin2 α = 0), teremos sempre dois valores do ângulo para o intervalo considerado (0 ≤ α ≤ 2π), no primeiro e segundo quadrantes (v. acima, a primeira redução básica do seno). b) A equação apresenta apenas uma função trigonométrica. Neste caso, podemos resolver a equação por meio de uma mudança de variável. Exemplo:

2 sin2 α + 5 sin α = 3 com α ∈ |R

Substitui-se sin α = y: 2y

2 + 5y – 3 = 0

Resolve-se a equação de segundo grau em y:

Retornando a substituição: y = sin α – 3 = sin α → não serve pois –1 ≤ sin α ≤ 1

2. Inequações trigonométricas

As inequações trigonométricas seguem as mesmas técnicas de resoluções que as equações. A resposta, porém, deve levar em consideração o círculo trigonométrico. Por exemplo: a) Para o seno: Suponhamos que após a aplicação dos algoritmos propostos acima resulte:

Nosso ângulo de referência será . Mais uma vez, utilizando a primeira redução acima, teremos como outra solução:

Observando então o círculo trigonométrico, tendo assinalado

e

Para que o seno seja maior ou igual precisa estar entre 45

o e 135

o, então:

b) Para o cosseno:

O círculo trigonométrico ficará para :

Nosso outro valor de referência é (v. acima reduções para o cosseno).