rev-E-I-D2006/11/17page1iiiiiiiiEqua coes,Inequa coeseDesigualdadesAdanJ.Corcho&KrerleyOliveira17denovembrode2006rev-E-I-D2006/11/17page2iiiiiiii2rev-E-I-D2006/11/17page3iiiiiiiiOsautoresAdan Corcho: e LicenciadoemMatematicapelaUnivesidaddeOriente-Cuba(1994), mestrepeloIMPA(1998)edoutoremMatematicapeloIMPA(2003). Suasatividadesdepesquisaconcentram-senaareadeEqua c oes Diferenciais Parciais, naqual tempublicadoartigos cientcos.Atualmente e professor da Universidade Federal de Alagoas, onde e membrofundadordoprogramadeMestradoemMatematicaeparticipaativamentenoprogramadaOlimpadaAlagoanadeMatematica.Krerley Oliveira: e bacharel emMatematica pela UFRJ(2001),mestre pelo IMPA (2001) e doutor em Matematica pelo IMPA (2002). Seusinteresses de pesquisa concentram-se na area de Sistemas Dinamicos, na qualtem publicado livros e artigos cientcos. Atualmente e professor da Univer-sidadeFederal deAlagoas, ondeemembrofundadordoprogramadePos-gradua c aoemMatematica. FundouaOlimpadaAlagoanadeMatematicaevemdesde2003treinandoestudanteseprofessoresemAlagoas. Quandomais jovem, participoude Olimpadas de Matematica, obtendomedalhadebronzenaOBMepratanaIbero-americanaUniversitaria. TambemetorcedordoFluminenseetriatleta,tendocompletadodoisironmans.3rev-E-I-D2006/11/17page4iiiiiiii4rev-E-I-D2006/11/17page5iiiiiiiiPrefacioEstas notas abordamumtema matematico extremamente im-portantedevido`assuasaplica c oesemdiversosproblemasdeordempratica. Resolverequa c oeseinequa c oesemuitasvezesensinadonocolegiomedianteaplica c aoderegraseformulas, semapreocupa c aode ilustrar a import ancia de deduzi-las. Nossa proposta neste texto ediscutirastecnicasenvolvidasnaresolu c aodosproblemasen aoso-menteresolve-losmecanicamente. Umaparteimportantedestetra-balho consiste em entender a tradu c ao matematica de problemas queencontramosemnossocotidianoequepodemsermodeladosmedi-anteequa c oeseinequa c oes.Aapostila edivididaem4captulos,contendovariosexemploseproblemasresolvidos,expostosdeacordocomograudediculdade.Osdoisprimeiroscaptulostratamsobreequa c oeseinequa c oesdoprimeiroe dosegundograus e s aodestinados aalunos doEnsinoFundamental (grupo1)edoEnsinoMedio(grupo2), entretantoeimportantequeoprofessorinstrutortomeocuidadonecess arioparaseparar alguns exemplos mais complicados, ques aodestinados so-mente para o grupo 2. O captulo 3 trata sobre desigualdades classicase aplica c oes das mesmas,sendo destinado somente ao grupo2,assimcomoamaiorpartedocaptulo4, queeumpoucomaisavan cadoeabordapropriedadesdasequa c oespolinomiais. Inclumostambemumapendice tratandodoTeoremaFundamental daAlgebra, cuja5rev-E-I-D2006/11/17page6iiiiiiii6leitura eopcional.No nal de cada captulo s ao propostos varios exerccios, querecomendamos sejamtodos discutidos, e cujas algumas soluc oes esugestoes s ao dadas no nal do material, apesar de que n ao se esperaqueoestudanteresolvatodos.Finalmente, gostaramos de agradecer aos alunos de inicia c aocientca Isnaldo Isaac, Karla Barbosa e Adriano Oliveira, pela ajudanaescolhadosproblemas. Agradecemostambem`aMarcelaOliveirapela leitura cuidadosa, que evitou muitos desprazeres dos leitores comoserrosdenossoportugues.Esperamosquedivirtam-seeaguardamossugest oesecrticas.Maceio,24deAgostode2006AdanCorcho&KrerleyOliveirarev-E-I-D2006/11/17page7iiiiiiiiSumario1 Equa c oes 131.1 Equa c oesdoPrimeiroGrau . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 SistemasdeEqua c oesdoPrimeiroGrau . . . . . . . . 231.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 Equa c aodoSegundoGrau. . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 CompletandoQuadrados . . . . . . . . . . . . 301.4.2 Rela c aoentreCoecienteseRazes . . . . . . . 351.4.3 Equa c oesBiquadradas . . . . . . . . . . . . . . 381.4.4 OMetododeVi`eti . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Inequa c oes 452.1 Inequa c aodoPrimeiroGrau . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Inequa c aodoSegundoGrau. . . . . . . . . . . . . . . 522.2.1 MaximoseMnimos . . . . . . . . . . . . . . . 572.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 DesigualdadesClassicaseAplica c oes 613.1 DesigualdadesClassicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Aplica c oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707rev-E-I-D2006/11/17page8iiiiiiii8 SUMARIO4 Polin omios 734.1 Opera c oescomPolin omios . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.1 AlgoritmodeEuclides . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815 Apendice 875.1 N umeroscomplexoserazesdepolin omios. . . . . . . 885.1.1 Opera c oescomn umeroscomplexos. . . . . . . 896 Parasabermais 91rev-E-I-D2006/11/17page9iiiiiiiiIntroducaoNaantiguidade, todoconhecimentomatematicoerapassadodegera c ao para gera c ao atraves de receitas. Afalta de smbolos enota c aoadequadacomplicavasubstancialmenteavidadequempre-cisava usar a Matematica e de quem apreciava sua beleza. Por exem-plo,o uso de letras (x,y,z,etc) para representar n umeros desconhe-cidosn aotinhasidoinventadoainda. IssosoveioocorrerporvoltadosmeadosdoseculoXVI,ouseja,amenosde500anosatras.Apesar disso, o conhecimento matematico das antigas civiliza c oeserasurpreendente. Osegpcios, babil onios, mesopot amios, gregosevariosoutrostinhamconhecimentosdemetodosetecnicasques aoempregadoshoje, comosolu c oesdeequa c oesdoprimeiroesegundograus, inteirosques aosomadequadradosevariosoutrosconheci-mentos. Especialmenteosgregos, cujaculturamatematicaresistiuaostemposcomapreserva c aodeOsElementosdeEuclides,tinhamdesenvolvidoecatalizadomuitosdosavan cosda epoca.Entretanto, todos os resultados tinhamumalinguagematravesdoselementosdegeometria, mesmoaquelesquesoenvolviampro-priedades sobreos n umeros. Essadiculdadedeve-seemparteaosistemadenumera c aoromano, utilizadotambempelosgregos, queeramuitopoucopraticopararealizaropera c oesmatematicas.Por voltade1.100, viveunaIndiaBhaskara, umdos mais im-portantesmatematicosdesuaepoca. Apesardesuascontribui c oesteremsidomuitoprofundasnaMatematica, incluindo-sea resulta-9rev-E-I-D2006/11/17page10iiiiiiii10 SUMARIOdossobreequa c oesdiofantinas, tudoindicaqueBhaskaran aofoi oprimeiroadescobriraformula, quenoBrasil chamamosdef ormulade Bhaskara, assim como Pitagoras n ao deve ter sido o primeiro a des-cobrir o Teorema que leva o seu nome, ja que 3.000 a.C os babil oniostinhamconhecimentodeternaspitagoricasden umerosinteirosbemgrandes.Apesardeterconhecimentodecomosolucionarumaequa c aodosegundo grau, a formula que Bhaskara usava n ao era exatamente iguala que usamos hoje em dia, sendo mais uma receita de como encontrarasrazesdeumaequa c ao. Paraencontraressasrazes, osindianosusavamaseguinteregra:Multipliqueambososmembrosdaequa c aopelon umeroquevalequatro vezes o coeciente do quadrado e some a eles um n umero igualaoquadradodocoecienteoriginaldainc ognita. Asolu c aodesejadaearaizquadradadisso.Ousode letras pararepresentar as quantidades desconhecidassoveioase tornar mais popular comos arabes, que tambemde-senvolveramumoutrosistemadenumera c ao. Destaca-setambemaparticipa c aodomatematicofrancesFran coisVi`eti,queaprimorouesseusodos smbolos algebricos emsuaobraInartemanalyticamisagogeedesenvolveuumoutrometodopararesolveraequa c aodosegundograu.Namesmaepoca, umoutrograndedesaoestavaperturbandoasmentesmatematicasdetodaaEuropa, emespecial asdaItalia.Asolu c aoexplicitautilizandoasopera c oeselementares(soma, sub-tra c ao, multiplica c ao, divis ao, radicia c aoepotencia c ao)daequa c aodo terceiro grau n ao era conhecida e muitos dos melhores matematicosda epoca trabalharam neste problema, destacando-se entre eles NicoloFontana, o Tartaglia (gago, em italiano). A historia da solu c ao destaequa c aoestarepletade intrigas, disputas e acusa c oes, envolvendoTartagliaeCardano. HojeoshistoriadoresatribuemaTartagliaarev-E-I-D2006/11/17page11iiiiiiiiSUMARIO 11primazia na descoberta da solu c ao da equa c ao do terceiro grau comoconhecemos.Edesta epocatambemasolu c aodaequa c aodoquartograu,atribudaaLudovicoFerrari.Entretanto, apesardosmuitosesfor cosempreendidosnadire c aode encontrar asolu c aogeral daequa c aodoquintograu, mais deduzentos anos se passaram sem nenhum sucesso. Ate que em 1824,omatematiconorueguesNielsAbelmostrouqueeimpossvel resolverasequa c oesdegraucincoemsuaformageral. Ouseja, nemtodasas equa c oes de graucincopodemser resolvidas comas opera c oeselementares. Mais ainda, em1830omatematicofrances EvaristeGaloisdescobreummetodoquedeterminaquandoumaequa c aodegrauqualquereresol uvel comasopera c oeselementares, encerrandoumbelssimocaptulodahistoriadaMatematica.rev-E-I-D2006/11/17page12iiiiiiii12 SUMARIOrev-E-I-D2006/11/17page13iiiiiiiiCaptulo1EquacoesParaentenderalgumasdascoisasquetratamosnestabrevein-trodu c ao, vamos come car este captulo estudando umobjeto ma-tematicodemuitaimport anciaequeapareceemsitua c oes ondeaMatematicae aplicada: os polin omios. Reveremos umpoucodassuas propriedades, estudadas no Ensino Fundamental e veremos comopodemos aplicar essas propriedades para resolver e obter informa c oessobrealgumasequa c oesalgebricas. Primeiramente,vamosrelembraroque eumpolin omio:Deni cao 1.1. Umpolin omio navariavel xe umaexpress aodotipop(x) =anxn+ an1xn1+ + a1x + a0ondea0, a1, . . . , ans aon umeros. Sean =0, dizemos queneograu dopolin omioea0, a1, . . . , ans aoseus coecientes. Ocoecienteanechamadodecoecientelderdopolin omio.Observa cao1.2. N aosedeneograudopolin omionulo, quetemtodososcoecientesiguaisazero.Porexemplo, p(x) = 3x 1 eumpolin omiodegrau1; q(x) = 4x3+ 7x + 1 eumpolin omiodegrau3;13rev-E-I-D2006/11/17page14iiiiiiii14 [CAP.1: EQUACOES t(x) =2x4eummon omiodegrau4; v(x) = 2x4+ 5x2+ 1 eumpolin omiodegrau4; u(x) = 7 eumpolin omiodegrau0.Uma equa c ao polinomial de grau n, ou simplesmente uma equa c aodegraun, eumasenten cap(x)=0, ondep(x)eumpolin omiodegrau n com coecientes reais. Por exemplo, 2x1 = 0 e uma equa c aodoprimeirograu,enquanto, x5+ 4x3+ 5x 1 = 0eumaequa c aode grau 5. Note que nem todos os coecientes precisam ser diferentesdezero.Paraobtermosovalor dopolin omiop(x)=anxn+ an1xn1+ +a1x+a0no n umero real r, devemos substituir x por r para obteron umerorealp(r) = anrn+ an1rn1+ + a1r + a0.Por exemplo, o valor do polin omio p(x) =4x37x+1 em2ep(2) = 4 237 2 + 1 = 19.Dizemosqueumn umerorealreumaraizparaaequa c aoanxn+ an1xn1+ + a1x + a0= 0seovalordep(x)=anxn+ an1xn1+ + a1x + a0emrezero,ouseja,servericaanrn+ an1rn1+ + a1r + a0= 0.Porexemplo,5 eraizdaequa c ao:2x 10 = 0.Na se c ao seguinte estudaremos com detalhe a equa c ao do primeirograu, ecomopodemosutiliza-lapararesolveralgunsproblemasemMatematica.rev-E-I-D2006/11/17page15iiiiiiii[SEC.1.1: EQUACOESDOPRIMEIROGRAU 151.1 Equa coesdoPrimeiroGrauPara ilustrar o tema que iremos discutir, comece pensando no seguinteproblema:Exemplo1.3. Qual eon umerocujodobrosomadocomsuaquintaparte eiguala121?Solu c ao: Vamosutilizarumaletraqualquer,digamosaletrax,paradesignaressen umerodesconhecido. Assim, odobrodexe2xesuaquinta parte ex5. Logo, usando as informa c oes do enunciado, obtemosque:2x +x5= 121,ouainda,10x + x = 605,onde11x = 605. Resolvendo,temosquex = 605/11 = 55.Se voce ja teve contato com o procedimento de resolu c ao do exem-plo acima,notou que o principal ingrediente e a equa c aodoprimeirograuemumavariavel. Vamoscome carexplicandoqueobjeto eesse.Aequa c aodoprimeirograunavariavelx eumaexpress aodotipo:ax + b = 0,ondeaebs aon umeros reais ea =0. Por exemplo, as seguintesequa c oess aodoprimeirograu:2x 3 = 04x + 1 = 032x = 0.Paratrabalharcomequa c oeseresolve-las,vamospensarnomo-delodabalan cadedoispratos. Quandocolocamosdoisobjetoscomrev-E-I-D2006/11/17page16iiiiiiii16 [CAP.1: EQUACOESomesmopesoemcadapratodabalan ca, os pratos seequilibram.Quando os pratos est ao equilibrados, podemos adicionar ou reti-raramesmaquantidadedeambos ospratos, queaindaassimelespermaneceraoequilibrados. Essaeumadasprincipaispropriedadesquandoestamostrabalhandocomumaequa c ao. Emgeral, parare-solverumaequa c ao, utilizamosasseguintespropriedadesdaigual-dadeentredoisn umeros: Sedoisn umeross aoiguais, aoadicionarmosamesmaquanti-dade a cada um destes n umeros, eles ainda permanecem iguais;Emoutraspalavras, escrevendoemtermosdeletras, seaebs aodoisn umerosiguais,ent aoa + c eigualab + c. Ouseja:a = b a + c = b + c.Note que podemos tomar c um n umero negativo, o que signicaque estamos subtraindo a mesma quantidade dos dois n umeros.Porexemplo,sex eumn umeroqualquerquesatisfaz:5x 3 = 6,somando-se 3 a ambos os lados da equa c ao acima, obtemos quexdevesatisfazer:(5x 3) + 3 = 6 + 3,ouseja,5x = 9.Podemosaindausaroutrapropriedade: Sedoisn umeross aoiguais, aomultiplicarmosamesmaquan-tidade por cadaumdestes n umeros, eles aindapermanecemiguais;Emoutraspalavras, escrevendoemtermosdeletras, seaebs aodoisn umerosiguais,ent aoa c eigualab c.rev-E-I-D2006/11/17page17iiiiiiii[SEC.1.1: EQUACOESDOPRIMEIROGRAU 17a = b ac = bc.Novamente, se5x=9podemosmultiplicarambososladosdaigualdadepor1/5paraobter:x =5x5=95,encontrandoon umeroquesatisfazaequa c ao5x 3 = 6.Paranosfamiliarizarmosumpoucomaiscomalinguagemdasequa c oes,vamospensarnoseguinteproblema:Exemplo 1.4.Para impressionar Pedro, Lucas prop os a seguintebrincadeira:-Escolhaumn umeroqualquer.-Jaescolhi,dissePedro.-Multipliqueesten umeropor6. Aseguir, some12. Dividaoquevoceobtevepor3. Subtraiaodobrodon umeroquevoceescolheu. Oquesobrou eiguala4!Pedro realmente cou impressionado com a habilidade de Lucas.Mas n ao ha nada de magico nisso. Voce consegue explicar o queLucasfez?Solu c ao: Naverdade,Lucastinhaconhecimentodecomoope-rarcomequa c oes. VamosveroqueLucasfezdeperto,passo-a-passo, utilizando a linguagem das equa c oes. Para isso, vamoschamaraquantidadequePedroescolheudex:Escolhaumn umero:x.Multipliqueesten umeropor6:6x.rev-E-I-D2006/11/17page18iiiiiiii18 [CAP.1: EQUACOESAseguir,some12:6x + 12.Dividaoquevoceobtevepor3:6x + 123= 2x + 4.Subtraiaodobrodon umeroquevoceescolheu.2x + 4 2x = 4.Oquesobrou eiguala4!Observa cao1.5. Devemostercuidadonahoradeefetuardi-visoesemambososladosdeumaequa c ao,paran aocometeroerrodedividirosladosdeumaigualdadeporzero. Porexem-plo, podemosdarumaprova(obviamente)falsadeque1=2,utilizando o seguinte tipo de argumento: Sempre e verdade quex + 2x = 2x + x.Logo,x x = 2x 2xColocando(x x)emevidencia:1(x x) = 2(x x)Dividindopor(x x)osdoisladosdaigualdadeacima,temosque1 = 2. Encontrouoerro?Voltandoparanossaequa c aodoprimeirograu,paraencontrara solu c ao da equa c ao ax+b = 0, procedemos do seguinte modo:rev-E-I-D2006/11/17page19iiiiiiii[SEC.1.1: EQUACOESDOPRIMEIROGRAU 19 Somamos baambososladosdaequa c ao,obtendoax + b + (b) = ax = b.Note que como somamos a mesma quantidade aos dois lados daequa c ao,elan aosealterou. Dividimososdoisladosdaequa c aopora =0. Issotambemn aoalteraaigualdadeenosdaqueovalordex e:x =axa= ba.Assim,asolu c aodaequa c aoax + b = 0 ex = ba.Vamosveragoraalgunsproblemasquepodemserresolvidosuti-lizandoasequa c oesdoprimeirograu:Exemplo 1.6. Se xrepresenta umdgito na base 10 e a somax11 + 11x + 1x1 = 777,quem ex?Solu c ao: Para resolver este problema, precisamos nos recordar que seabc e a escrita de um n umero qualquer na base 10, ent ao esse n umeroeiguala102a + 10b + c. Assim,temosquex11 = 100x + 1111x = 110 + x1x1 = 101 + 10xLogo,temosaseguinteequa c aodoprimeirograu:100x + 11 + 110 + x + 101 + 10x = 777ou111x + 222 = 777Logo,x =777 222111= 5.rev-E-I-D2006/11/17page20iiiiiiii20 [CAP.1: EQUACOESExemplo1.7. Determineseepossvel completaropreenchimentodo tabuleiro abaixo com os n umeros naturais de 1 a 9, sem repeti c ao,de modo que a soma de qualquer linha seja igual a de qualquer colunaoudiagonal.1 69Solu c ao: Primeiro, observe que a soma de todos os n umeros naturaisde 1 a 9 e 45. Assim, se denotamos por s o valor comum da soma doselementosdeumalinha, somandoastreslinhasdotabuleiro, temosque:45 = 1 + 2 + + 9 = 3s,Ondesdeveserigual a15. Assim, chamandodexoelementodaprimeiralinhaquefaltaserpreenchido,1 x 69temosque1 + x + 6 = 15. Logo,x = 8. Assim,observandoacolunaquecontem8e9, temosquesuasomaemaiorque15. Logo, n aoepossvelpreencherotabuleirodemodoquetodasaslinhasecolunastenhamamesmasoma.Os quadrados den umeros comestas propriedades sechamamquadradosm agicos. Tentefazerumquadradomagico. Vocejadeveter percebido que no centro do quadrado n ao podemos colocar on umero9. De fato, vamos descobrir noexemploabaixoqual e on umeroquedevesercolocadonocentrodeumquadradomagico.Exemplo1.8. Descubraosvaloresdexdemodoquesejapossvelcompletaropreenchimentodoquadradomagicoabaixo:rev-E-I-D2006/11/17page21iiiiiiii[SEC.1.1: EQUACOESDOPRIMEIROGRAU 21xSolu c ao: Paradescobrirx, vamosutilizarofatodequeasomadequalquer linha, colunaoudiagonal e igual a15, jaobtidonoex-emploanterior. Sesomarmos todas as linhas, colunas ediagonaisquecontemx, teremos queasomasera4 15=60, pois existemexatamenteumalinha, umacolunaeduasdiagonaisquecontemx.Notetambemquecadaelementodoquadradomagicoserasomadoexatamente uma vez, exceto x que sera somado quatro vezes. Assim:1 + 2 + 3 + 4 + + 9 + 3x = 60,ondetemosque45 + 3x = 60,ondex = 5.O exemplo a seguir e um fato curioso que desperta nossa aten c aopara como a nossa intui c ao `as vezes e falha. Imagine que voce possuiumodecobreextremamentelongo, mast aolongo, quevocecon-segue dar a volta na Terra com este o. Para simplicar a nossa vidae nossas contas,vamos supor que a Terra e uma bola redonda (o quen aoeexatamenteverdade)semnenhumamontanhaoudepress aoequeseuraio edeexatamente6.378.000metros.Oocomseusmilh oesdemetrosestaajustado`aTerra, candobemcoladoaoch aoaolongodoequador. Digamosagoraquevoceacrescente1metroaooemoldeesteodemodoqueeleformeum crculo enorme, cujo raio e um pouco maior que o raio da Terra etenha o mesmo centro. Voce acha que essa folga sera de que tamanho?Nossaintui c aonos levaaacreditar quecomoaumentamos taopouco o o, a folga que ele vai ter sera tambemmuito pequena,digamosalgunspoucosmilmetros. Masveremosqueissoestacom-pletamenteerrado!rev-E-I-D2006/11/17page22iiiiiiii22 [CAP.1: EQUACOESUtilizaremos para isso a formula que diz que o comprimento CdeumcrculoderaioreC= 2r,onde(le-sepi )eumn umeroirracionalquevaleaproximadamente3, 1415(vejaaobserva c aoabaixo).Defato,ocomprimentodaTerraCTcalculadocomessaformulaeaproximadamente:CT= 2rT = 2 3, 1415 6.378.000 = 40.072.974metros,onderTeoraiodaTerra.Se chamamos de x o tamanho da folga obtida em metros e rfo raiodo o, temos que a folga sera igual a x = rfrT. Logo, basta calcularrf. Por um lado, o comprimento do o e igual a CT +1 = 40.072.975.Logo,40.072.975 = 2rfonderf=40.072.9752.Fazendoocalculoacima,temosquerfeaproximadamenteiguala6.378.000, 16metros. Assim, xeaproximadamenteigual ax=rf rT= 0, 16metros,ouseja,16centmetros!Observa cao1.9. Vale observar que a folga obtida aumentando o on aodependedoraioemconsidera c ao. Porexemplo,serepetssemosesseprocessoenvolvendoaLuaaoinves daTerra, obteramos queaoaumentarooemummetro,afolgaobtidaseriadosmesmos16centmetros. Veriqueisso!Observa cao1.10. Defato,podemosdenir(ecalcular!) on umerodevariasmaneiraspraticas. Vamosconsiderardoisexperimentos(quesevocen aoconhecedevefazer): Experimento1: Pegar umcintoe fazer umcrculocomele.Calculeocomprimentodocintur aoedividapelodi ametrodocrculoobtido.rev-E-I-D2006/11/17page23iiiiiiii[SEC.1.2: SISTEMASDEEQUACOESDOPRIMEIROGRAU 23 Pegar uma tampa de um lata e medir o comprimento do crculodatampaedividirpelodi ametrodatampa.Sevoceefetuouos calculos acimacomcapricho, vocedeveternotadoqueon umeroobtidoeaproximadamenteomesmo. Senos-sos crculos fossemperfeitos (eles nuncas ao: sempretemalgumasimperfei c oes)obteramoson umero. Umaaproxima c aoparae = 3, 1415926535897932384626433832795.1.2 SistemasdeEqua coesdoPrimeiroGrauNestase c aoiremosdiscutirsitua c oesondequeremosdescobrirmaisde uma quantidade, que se relacionam de modo linear, ou seja, atravesde equa c oes doprimeirograu. Por exemplo, considere oseguinteproblema:Exemplo 1.11. Jo ao possui 14 reais e deseja gastar esse dinheiro emchocolatesesanduchesparadistribuircomseus6amigos, demodoquecadaumqueexatamentecomumchocolateouumsanduche.Sabendoquecadachocolatecusta2reaisecadasanduchecusta3reais,quantoschocolatesesanduchesJo aodevecomprar?Pararesolver esseproblema, vamos chamar dexaquantidadedechocolatesqueJo aodevecomprareyon umerodesanduches.Assim,comoJo aodesejagastar14reais,temosque2x + 3y= 14. (1.1)Como Jo ao comprara exatamente 6 guloseimas, uma para cada amigo,temosquex + y= 6. (1.2)Note que n ao encontramos uma equa c ao do primeiro grau em umavariavel e sim duasequa c oes do primeiro grau em duasvariaveis. Esserev-E-I-D2006/11/17page24iiiiiiii24 [CAP.1: EQUACOESe um caso particular de um sistema de equa c oes do primeiro grau emvariasvariaveis.Uma equa c ao do primeiro grau nas variaveis x1, x2, . . . , xne umaexpress aodaformaa1x1 + a2x2 + + anxn + b = 0,ondeosn umerosa1, a2, . . . , ans aodiferentesdezero.Porexemplo:2x 3y= 0eumaequa c aodoprimeirograunasvariaveisxey2a b +c3= 5eumaequa c aodoprimeirograunasvariaveisa, bec.Dizemosqueosn umeros(r1, r2, . . . , rn)formamumasolu c aodaequa c ao,sesubstituindox1porr1,x2porr2,. . . ,xnporrn,temosque a equa c ao acima e satisfeita, isto e, a1r1+a2r2+ +anrn+b = 0.Por exemplo,(3, 2) e uma solu c ao da equa c ao 2x 3y= 0 acima,pois2 3 3 2 = 0.Notequeaordemqueapresentamos os n umeros importa, pois(2, 3) n ao e solu c ao da equa c ao 2x3y= 0, ja que 2233 = 5 = 0.Domesmomodo,(2, 0, 3) esolu c aodaequa c ao2a b +c3= 5,pois2 2 0 +33= 5.Umsistema de equa c oes do primeiro grauemnvariaveis x1,x2, . . . , xneumconjuntodeequa c oesdoprimeirograunasvariaveisx1, x2, . . . , xn. Dizemosqueosn umeros(r1, r2, . . . , rn)formamumasolu c ao do sistema de equa c oes, se (r1, r2, . . . , rn) e solu c ao para todasasequa c oessimultaneamente.Paraencontrarsolu c oesdeumsistemadeequa c oes,procedemosdoseguintemodo:rev-E-I-D2006/11/17page25iiiiiiii[SEC.1.2: SISTEMASDEEQUACOESDOPRIMEIROGRAU 25 Isolamos o valor de uma das variaveis (digamos x1) como fun c aodas demais variaveis em uma das equa c oes (digamos na primeiraequa c ao); Substitumosessevalornasegundaequa c ao,encontrandoumaequa c aocomn 1variaveis. Repetimos esse processo ate encontrarmos uma equa c ao do pri-meirograuemumavariavel.Observa cao 1.12.Quando consideramos um sistema de equa c oes doprimeirograu, podemacontecertressitua c oes: osistematemuma unicasolu c ao,variassolu c oesounenhumasolu c ao.Vamos ilustrar esse metodo resolvendo o sistema proposto noExemplo1.11:_2x + 3y= 14x + y= 6Isolamosovalordeumadasvariaveisnumadasequa c oes. Porcon-veniencia, emelhorisolarovalordexnasegundaequa c ao,obtendo:x = 6 y.Aseguir, substitumos esse valor naoutraequa c ao, obtendoumaequa c aodoprimeirograu. Resolvendotemos:2(6 y) + 3y= 1412 2y + 3y= 14y= 2Assim,y= 2. Imediatamente,encontramos o valor de x = 6 2 = 4.Vamosagoraresolveralgunsproblemassemelhantes.OproblemaaseguirfoipropostonaprimeirafasedaOlimpadaBrasileiradeMatematica.rev-E-I-D2006/11/17page26iiiiiiii26 [CAP.1: EQUACOESExemplo1.13. Passarinhos brincam em volta de uma velha arvore.Se dois passarinhos pousam em cada galho, um passarinho ca voando.Setodosospassarinhospousam, comtresemcadagalho, umgalhocavazio. Quantoss aoospassarinhos?Solu c ao: Vamoschamardepon umerodepassarinhosegon umerode galhos da arvore. Temos que se dois passarinhos pousam em cadagalho,umpassarinhocavoando,ouseja,2g= p 1.Alem disso, se todos os passarinhos pousam, com tres em um mesmogalho,umgalhocavazio:3(g 1) = p.Substituindonaequa c aoanterior, temosque2g=3g 3 1, ondesegue-sequeg= 4ep = 9.Exemplo1.14. Quantomedemasareasnaguraabaixo,sabendoS1S2BAFigura1.1:queoquadradotemlado1eas curvas s aoarcos decrculos comcentrosnosverticesAeBdoquadrado,respectivamente.Solu c ao: Daguratemosque_S1 + S2=24S1 + 2S2= 1rev-E-I-D2006/11/17page27iiiiiiii[SEC.1.2: SISTEMASDEEQUACOESDOPRIMEIROGRAU 27ouseja, chegamosaumsistemadeequa c oesdoprimeirograucomduasincognitasS1eS2. Daprimeiraequa c aotemosqueS1=24S2;substituindoestanasegundaequa c aoobtemos24S2 + 2S2= 1,deonde24S2= 1.Logo,S2= 1 24eS1=24_1 24_ =221Exemplo1.15. CarloseClaudios aodoisirm aostemperamentaisque trabalhamcarregandoe descarregandocaminh oes de cimento.ParaCarloseClaudiotantofazcarregaroudescarregarocaminh ao,otrabalhorealizadopor eles e omesmo. Quandoest aode bem,trabalham juntos e conseguem carregar um caminh ao em 15 minutos.Claudioe mais forte e trabalhamais rapidoconseguindocarregarsozinhoumcaminh aoem20minutos.1. Umdia, ClaudioadoeceueCarlostevequecarregaroscami-nh oessozinho. Quantotempoelelevaparacarregarcadaum?2. Quando os dois brigam, Carlos costuma se vingar descarregandoo caminh ao, enquanto Claudio o carrega com sacos de cimento.QuantotempoClaudiolevariaparacarregarocaminh aocomCarlosdescarregando?rev-E-I-D2006/11/17page28iiiiiiii28 [CAP.1: EQUACOESSolu c ao: Vamos chamar de x a quantidade de sacos que Claudio car-regaporminutoeyaquantidadedesacosqueCarloscarregaporminuto. Como Claudio carrega mais que Carlos,sabemos que y< x.Doenunciado, sabemos queos dois juntos carregamumcaminh aoem 15 minutos. Se um caminh ao tem capacidade para c sacos, temosque:15x + 15y= c.Alem disso, sabemos que Claudio sozinho carrega o mesmo caminh aoem20minutos. Logo,20x = c.Assim,igualandoasduasequa c oes,temosque15x + 15y= 20x, onde 15y= 20x 15x = 5x.Logo, dividindoambos os lados por 5, temos que3y=x. Assim,Claudiocarregatres vezes mais sacos que Carlos e arespostadoprimeiroitem e20 3minutos,jaque60y= 20 3y= 20x = c.Para descobrir quanto tempo os dois levam para carregar o cami-nh ao quando est ao brigados,observamos que a cada minuto eles car-regamx ysacos,ouseja,3y y= 2ysacos. Logo,precisamde30minutos,jaque30 2y= 60y= c.1.3 Exerccios1. Observeasmultiplica c oesaseguir:(a) 12.345.679 18 = 222.222.222(b) 12.345.679 27 = 333.333.333(c) 12.345.679 54 = 666.666.666Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quan-to?rev-E-I-D2006/11/17page29iiiiiiii[SEC.1.3: EXERCICIOS 292. Outro dia ganhei 250reais,incluindoopagamentodehorasextras. Osalario(semhoras extras) excede em200reais oquerecebipelashorasextras. Qualeomeusalariosemhorasextras?3. Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10 h, uma torneiraBencheomesmotanquesozinhaem15 h. Emquantashorasasduastorneirasjuntasencher aootanque?4. Odobrodeumn umero, mais asuater caparte, mais asuaquartapartesomam31. Determineon umero.5. Umacertaimport anciadeveserdivididaentre10pessoasempartesiguais. Seapartilhafossefeitasomenteentre8dessaspessoas,cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais. Calculeaimport ancia.6. Roberto disse a Valeria: pense um n umero, dobre esse n umero,some12aoresultado, dividaonovoresultadopor2. Quantodeu? Valeria disse 15ao Roberto, que imediatamente reve-louon umerooriginalqueValeriahaviapensado. Calculeessen umero.7. Por 2/3de umlote de pe cas iguais, umcomerciante pagouR$8.000,00amais doque pagariapelos 2/5domesmolote.Qualopre codolotetodo?8. Determine umn umeroreal aparaque as express oes3a+68e2a+106sejamiguais.9. Sevocemultiplicarumn umeroreal xporelemesmoedore-sultadosubtrair14, vocevai obteroquntuplodon umerox.Qual eessen umero?10. Eutenhoodobrodaidadequetutinhas quandoeutinhaatua idade. Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossasidadesserade45anos. Quaiss aoasnossasidades?rev-E-I-D2006/11/17page30iiiiiiii30 [CAP.1: EQUACOES11. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em tres lojas. Emcadaumagastou1real amaisdoqueametadedoquetinhaaoentrar. Quantoohomemtinhaaoentrarnaprimeiraloja?12. Comosalgarismosx, yezformam-seosn umerosdedoisal-garismos xye yx, cuja soma e o n umero de tres algarismos zxz.Quantovalemx,yez?1.4 Equa caodoSegundoGrauComojamencionamosemnossaintrodu c ao,oconhecimentodeme-todos para solucionar as equa c oes do segundo grau remontam `as civ-iliza c oes da antiguidade, como os babil onios e egpcios. Apesar disso,aformulaqueconhecemosporf ormuladeBhaskara,emhomenagemaomatematicoindianodemesmonomeequedeterminaassoluc oesdeumaequa c aodosegundograu, soveioaaparecerdomodoqueusamosmuitomaistarde, comofrancesVi`eti. Nestase c aoiremosdeduzirestaformulaeaplica-laaalgunsproblemasinteressantes.1.4.1 CompletandoQuadradosUmmododeresolverumaequa c aodosegundograueometododecompletar quadrados. Ele consiste em escrever a equa c ao numa formaequivalentequenos permitaconcluir quems aoas solu c oes direta-mente. Vamosilustrarissocomumexemplo,resolvendoaequa c aox26x 8 = 0.Podemosescreveressaequa c aocomo:x26x = 8.Somando 9 ao lado esquerdo, obtemos x26x+9 que e o mesmo que(x 3)2. Assim,somando9aambososladosdaequa c ao,obtemos:(x 3)2= 9 + 8 = 17.rev-E-I-D2006/11/17page31iiiiiiii[SEC.1.4: EQUACAODOSEGUNDOGRAU 31Logo,x 3 =17oux 3 = 17. Logo,assolu c oess ao:x1= 3 +17 ex2= 3 17.Nasuaformageral,aequa c aodosegundograucomcoecientesa, bec eaequa c ao:ax2+ bx + c = 0, onde a = 0. (1.3)Para encontrar as solu c oes desta equa c ao, vamos proceder doseguinte modo: isolandootermoquen aocontemavariavel xdoladodireitodaigualdadenaequa c ao(1.3)ax2+ bx = cedividindoosdoisladospora,obtemos:x2+bax = ca.Agora vamos acrescentar uma n umero emambos os lados daequa c aoacima, demodoqueoladoesquerdodaigualdadesejaumquadradoperfeito. Paraisso,observequeenecessarioadicionarb24a2aosdoisladosdaigualdade. Assim,temosque:_x +b2a_2= x2+ 2b2ax +_b2a_2=b24a2 ca=b24ac4a2.Em geral, chamamos a express ao b24ac de discriminante da equa c ao(1.3) edenotamos pelaletramai uscula(le-sedelta) doalfabetogrego. Assim,podemosescreveraigualdadeanteriorcomo:_x +b2a_2=b24ac4a2=4a2. (1.4)Porisso,paraqueexistaalgumn umerorealsatisfazendoaigual-dadeacima,devemosterque 0,jaqueotermodaesquerdanarev-E-I-D2006/11/17page32iiiiiiii32 [CAP.1: EQUACOESigualdade e maior ou igual a zero. Extraindo a raiz quadrada quando 0,temosassolu c oes:x +b2a=b24ac2ae x +b2a= b24ac2a.Assim,obtemosasduassoluc oes:x1= b2a+b24ac2a= b +2aex2= b2a b24ac4a2= b 2a.Observequesoexistemsolu c oesreaisquando 0. Quando > 0temosduassolu c oesdiferentesequando = 0assolu c oesx1ex2coincidem. Caso < 0solu c oesreaisn aoexistem.Emresumo: > 0 duassolu c oesreais = 0 umasolu c aoreal < 0 semsolu c aorealVamosfazeralgunsexemplos:Exemplo1.16. Encontreassolu c oesdaequa c ao2x24x = 0.Solu c ao: Observequea = 2, b = 4ec = 0. Logo, = b24ac = (4)24 2 0 = 16.Assim,assolu c oess ao:x1= b +2a=4 +164= 2 e x2= b 2a=4 164= 0.rev-E-I-D2006/11/17page33iiiiiiii[SEC.1.4: EQUACAODOSEGUNDOGRAU 33Exemplo1.17. Encontreasrazesdaseguinteequa c aodosegundograu:x2x 1 = 0.Solu c ao: Bastaaplicarmosdiretamenteaformulaqueacabamosdededuzir. Comoa = 1,b = 1ec = 1,calculandotemos: = b24ac = (1)24. 1 (1) = 5.Logo,assolu c oess ao:x1= b +2a=1 +52ex2= b 2a=1 52Observa cao1.18. O n umero (1+5)/2 e chamado de raz ao aurea.Esten umerorecebeessadenomina c aopois, freq uentemente, aspro-por c oesmaisbelasequeanaturezanosproporcionaest aoproximasdarazaoaurea. Porexemplo, noarranjodaspetalasdeumarosa,nasespiraisqueaparecemnoabacaxi,naarquiteturadoParthenon,nos quadros de daVinci e nos ancestrais de umzang aopodemosencontrararazaoaurea.Oproblema a seguir esta relacionado coma seq uencia de Fi-bonaccie com a razao aurea. Dizemos que uma seq uencia de n umerosansatisfazarela c aodeFibonaccise,paratodon 0,temosquean+2= an+1 + an. (1.5)Exemplo1.19. Encontretodasasseq uenciasandaformaan= xnparaalgumx = 0quesatisfazemarela c aodeFibonacci.rev-E-I-D2006/11/17page34iiiiiiii34 [CAP.1: EQUACOESSolu c ao: Sabendoqueansatisfazarela c aodeFibonacci equeanedaformaxn,podemosconcluirqueparatodon 0:xn+2xn+1xn= 0.Colocandoxnemevidencianaequa c aoacima,temosque:xn(x2x 1) = 0Logo, temosduaspossibilidades: ouxnezero, oux2 x 1=0.Como x = 0, temos que xn= 0 e que x2x1 = 0. Logo, observandoasolu c aodoExemplo1.17,temosqueas unicasseq uenciass ao:an=_1 +52_nou an=_1 52_n.Exemplo1.20. Sabendoquex eumn umerorealquesatisfazx = 1 +11 +1x,determineosvalorespossveisdex.Solu c ao: Asolu c aodesseproblemaconsistenumasimplesmanipu-la c aoalgebrica, quefeitacomcuidadonoslevaraaumaequa c aodosegundograu. Vejamos:1 +1x=x + 1x 1 +11 +1x= 1 +x1 + x=1 + 2x1 + xLogo,nostemosque:x =1 + 2x1 + x x2+ x = 1 + 2x x2x 1 = 0,rev-E-I-D2006/11/17page35iiiiiiii[SEC.1.4: EQUACAODOSEGUNDOGRAU 35deondesegue-sequex1=1 +52e x2=1 52Observa cao1.21. Se ane bnsatisfazem a rela c ao de Fibonacci 1.5,ent aodadosn umerosreaisced,qualquerseq uenciadaformacan +dbnsatisfazarela c ao. Pode-seprovarqueasseq uenciasdessaformacoman=xn1e bn=xn2calculados anteriormente, s aoas unicasseq uenciasquesatisfazemarela c ao.1.4.2 RelacaoentreCoecienteseRazesDadaaequa c aoax2+ bx + c = 0,coma = 0,jacalculamosexplici-tamenteassuasrazes,x1ex2. Vamosestabeleceragoraasrela c oesentrea, beceasrazesx1ex2. Comojaobtivemos,temosque:x1= b +2ae x2= b 2a.Assim,somandox1comx2:x1 + x2= b +2a+ b 2a= 2b2a= ba. (1.6)Poroutrolado,fazendooprodutox1x2temos:x1x2=_b +2a__b 2a_ ==_b +__b _4a2==b24a2=4ac4a2=ca.(1.7)rev-E-I-D2006/11/17page36iiiiiiii36 [CAP.1: EQUACOESEmparticular, quandoa =1, se escrevemos SparaasomaS=x1 + x2ePparaoprodutoP=x1x2, temosquex1ex2s aorazesdex2Sx + P= 0.Exemplo1.22. Paulocercouumaregi aoretangulardearea28m2com24metrosdecorda. Encontreasdimens oesdessaregi ao.Solu c ao: Sechamamosdeaebosladosdoret anguloconstrudoporPaulo, ascondi c oessobreopermetroeaareadesseret angulonoslevam`asseguintesequa c oes:_a + b = 12ab = 28Comojaobservamos,aebs aorazesdaequa c aox212x + 28 = 0.Calculando o discriminante, obtemos = 122428 = 32. Utilizandoaformula,temosqueassolu c oess ao:a =12 +322= 6 + 22eb =12 322= 6 22.Exemplo1.23. Mostrequeaequa c aox2+ bx + pn aopossui raizinteira,seb eumn umeronaturalep eumprimopositivo.Solu c ao: Observequeseneumaraizinteiradaequa c aoacimaeaeaoutraraiz, ent aon + a= b, ondeadevesernecessariamenteumn umerointeiro. Issonoslevaaconcluirquean=poquesoepossvel sea=1oun=1. Comob 0, temosquenemanemnpodem ser iguais a 1, ja que ambos s ao razes da equa c ao x2+bx+p.Isso eumacontradi c ao.rev-E-I-D2006/11/17page37iiiiiiii[SEC.1.4: EQUACAODOSEGUNDOGRAU 37Exemplo1.24. Numareuni aohaviapelomenos12pessoasetodosospresentesapertaramasm aosentresi. Descubraquantaspessoasestavam presentes na festa, sabendo que houve menos que 75 apertosdemao.Solu c ao: Vamosdenotarporaon umerodeapertosdem aoeenu-merar as pessoas comos n umeros doconjunto P = {1, 2, . . . , n}.Acadaapertodem aoassociaremosumpar(i, j), signicandoqueapessoai apertouam aodapessoaj. Assim, os apertos dem aoenvolvendoapessoa1foram:A1= {(1, 2), (1, 3), . . . , (1, n)}.Domesmomodo, denimososapertosdem aoenvolvendoapessoa2quen aoenvolvemapessoa1,como:A2= {(2, 3), (2, 4), . . . , (2, n)}.Notequeoaperto(2, 1)eomesmoqueoaperto(1, 2), jaquese1apertaamaode2,ent ao2apertaam aode1. Analogamente,Ai= {(i, i + 1), (i, i + 2), . . . , (i, n)}, para1 i n 1NotequeAi Aj= parai =j. ObservetambemquetodososapertosaparecememumdosconjuntosAi. Assim, A1 An1contemtodososapertosdem ao. Logo,#(A1 A2 An1) = #A1 + #A2 + + #An1= (n 1) + (n 2) + + 2 + 1=(n 1)n2= a.Logo, n2n2a = 0 admite uma raiz inteira, maior ou igual a 12.Destemodo, bastadescobrirmosparaquevaloresdeamenoresque75aequa c aoacimaadmiterazesmaioresouiguaisa12. Observequeoprodutodasrazesdevesermenoremmoduloque150,jaquerev-E-I-D2006/11/17page38iiiiiiii38 [CAP.1: EQUACOESa e menor que 75. Se denotarmos essas razes por n1e n2, temos quen1en2s aointeiroscomn1 12epelasrela c oesentreasrazes_n1n2= 2an1 + n2= 1conclumosque n2=n1 1 11. Assim, podemosdeduzirquen2n1emaiorouiguala11 12 = 132,jaquen2 12.Observe que o mesmo raciocnio nos leva a concluir que sen1 13, n2n1= 2a 12 13 = 156,ondeadevesermaiorque78.Assim, araizpositivaparatal equa c aon aopodesermaiorque13,restandosomente12comosolu c ao. Defato, essasolu c aoepossvel,seconsiderarmosa = 66. Logo,havia12pessoasnafesta.Umfatoimportanteequemerecedestaqueequesees aorazesdaequa c aodosegundograux2Sx + P= 0jasabemosque + = Se= P. Assim,temosqueoproduto(x )(x ) = x2( + )x + = x2Sx + P. (1.8)Emgeral, dadaaequa c aoax2+ bx + c=0, coma =0, podemosescreve-la como a(x2Sx +P) = 0,com S= b/a e P= c/a. Noteque se e s ao as razes da equa c ao do segundo grau x2Sx+P= 0,ent aoes aorazesdaequa c aoax2+ bx + c=0. Issonoslevaaconcluir,pelaequa c ao(1.8),que:ax2+ bx + c = a(x2Sx + P) = a(x )(x ). (1.9)Aequa c ao(1.9)mostraquese eumaraizdeumpolin omiodosegundo grau, ent ao a divis ao desse polin omio pelo polin omio (x) euma divisao exata. Voltaremos a tratar desse assunto no Teorema 4.4.1.4.3 EquacoesBiquadradasAdedu c aodasolu c aodaequa c aodosegundograunospermitere-solver equa c oes de grau mais alto, desde que elas se apresentem numarev-E-I-D2006/11/17page39iiiiiiii[SEC.1.4: EQUACAODOSEGUNDOGRAU 39forma peculiar, que nos permita reduzi-las a uma equa c ao do segundograu. Porexemplo:Exemplo1.25. Resolvaaequa c aox42x2+ 1 = 0. (1.10)Apesar da equa c ao acima ser de grau quatro, podemos soluciona-la utilizando o que aprendemos ate agora. O truque sera denotar poryovalorx2.Solu c ao: Denote por y= x2. Neste caso, temos que 0 = y22y+1 =(y 1)2. Logo,y 1 = 0. Assim,x2= y= 1ex = 1oux = 1.1.4.4 OMetododeVi`etiAmaneiraqueFran coisVi`eti (1540-1603)descobriupararesolveraequa c aodosegundograubaseia-seemrelacionaraequa c aoax2+ bx + c = 0 (1.11)comoumaequa c aodotipoAy2+ B= 0, (1.12)ondeAeBs aon umerosquedependemdea, b, c,demodoquequal-quersolu c aodaequa c ao(1.12)determinaraumasolu c aodaequa c ao(1.11). Notequea ultimaequa c aopossuisolu c oesy1=_BAe y2= _BA, se BA 0.Para fazer isso, usamos o seguinte truque: escrevendo x = u+v comoa soma de duas novas variaveis u e v, a equa c ao (1.11) se escreve como:a(u + v)2+ b(u + v) + c = 0ouau2+ 2auv + av2+ bu + bv + c = 0.rev-E-I-D2006/11/17page40iiiiiiii40 [CAP.1: EQUACOESSeescrevemosaexpress aoacimacomoumaequa c aonavariavel vtemosque:av2+ (2au + b)v + au2+ bu + c = 0.Assim, podemosobterumaequa c aodotipodaEqua c ao(1.12),escolhendoovalorde udemodoqueotermoquecontemvseanule.Escolhendou = b/2atemosque:av2+ a_b2a_2bb2a+ c = 0ouaindaav2+b24a b22a+ c = 0,oque eequivalenteaav2+ b2+ 4ac4a= 0.Observandoqueaequa c aoassumiuaformadaEqua c ao(1.12),temosquesuassolu c oess ao:v1=_b24ac4a2e v2= _b24ac4a2, se = b24ac 0.Lembrandoqueu = b/2aequex = u + vtemosassolu c oesdaequa c ao(1.11):x1= b2a+ v1e x2= b2a+ v2,comojaobtivemosanteriormente.1.5 Exerccios1. Quantos s ao os n umeros inteiros de 2 algarismos que s ao iguaisaodobrodoprodutodeseusalgarismos?2. Obterdoisn umerosconsecutivosinteiroscujasomasejaiguala57.rev-E-I-D2006/11/17page41iiiiiiii[SEC.1.5: EXERCICIOS 413. Qual eon umeroque, adicionadoaotriplodoseuquadrado,vale14?4. Oprodutodeumn umeropositivopelasuater caparteeiguala12. Qual eessen umero?5. Determine dois n umeros consecutivos mpares cujo produto seja195.6. A diferen ca entre as idades de dois irm aos e 3 anos e o produtodesuasidades e270. Qual eaidadedecadaum?7. Calculeasdimens oesdeumret angulode16 cmdepermetroe15 cm2dearea.8. Adiferen cadeumn umeroeoseuinversoe83. Qual eessen umero?9. Asomadedoisn umeros e12easomadeseusquadrados e74.Determineosdoisn umeros.10. Umpaitinha30anosquandoseulhonasceu. Semultiplicar-mosasidadesquepossuemhoje, obtem-seumprodutoqueeigual atresvezesoquadradodaidadedolho. Quaiss aoassuasidades?11. Os elefantes de um zoologico est ao de dieta juntos. Num perodode10diasdevemcomerumaquantidadedecenourasigual aoquadradodaquantidadequeumcoelhocomeem30dias. Emumdiaos elefantes eocoelhocomemjuntos 1.444 kgdece-noura. Quantoskgdecenouraoselefantescomemem1dia?12. Sejam1e2asrazesdopolin omioax2+ bx + c,coma = 0.Calculeasseguintesexpress oes,emfun c aodea, bec:(a)1 + 22;rev-E-I-D2006/11/17page42iiiiiiii42 [CAP.1: EQUACOES(b) 1 +2;(c)41 +42.13. On umero 3earaizdaequa c aox2 7x 2c=0. Nessascondi c oes,determineovalordocoecientec.14. Encontre o polin omio p(x) = 2x4+bx3+cx2+dx+e que satisfazaequa c aop(x) = p(1 x).Osproblemasaseguirs aodeOlimpadasdeMatematicaedeRevistasespecializadaseest aopropostoscomodesaoparaosleitores:15. (OBM) Dois meninos jogamoseguintejogo. Oprimeiroes-colhe dois n umeros inteiros diferentes de zero e o segundo montauma equa c ao do segundo grau usando como coecientes os doisn umeros escolhidos pelo primeiro jogador e 1998, na ordemquequiser(ouseja, seoprimeirojogadorescolheaebose-gundojogadorpodemontaraequa c ao1998x2+ ax + b = 0ouax2+ 1998x + b=0, etc.) Oprimeirojogadoreconsideradovencedor se a equa c ao tiver duas razes racionais diferentes.Mostrequeoprimeirojogadorpodeganharsempre.16. (OBM) Mostre que a equa c ao x2+y2+z2= 3xyztem innitassolu c oesondex, y, zs aon umerosinteiros.17. (Gazeta Matematica, Romenia) Considere a equa c aoa2x2(b22ac)x+c2=0, onde a, b e c s aon umeros in-teirospositivos. Sen Netal quep(n)=0, mostrequeneumquadradoperfeito.18. (Gazeta Matematica,Romenia) Sejam a, b Z. Sabendo que aequa c ao(ax b)2+ (bx a)2= x,temumaraizinteira,encontreosvaloresdesuasrazes.rev-E-I-D2006/11/17page43iiiiiiii[SEC.1.5: EXERCICIOS 4319. (GazetaMatematica,Romenia)Resolvaaequa c ao:_2x2x2+ 1_ = x.Obs.: [x] eomenorinteiromaiorouigualax.20. Demonstrarque:(a) n4+ 4n ao eprimosen > 1;(b) Generalize, mostrando que n4+4nn ao e primo, para todon > 1.rev-E-I-D2006/11/17page44iiiiiiii44 [CAP.1: EQUACOESrev-E-I-D2006/11/17page45iiiiiiiiCaptulo2InequacoesInequa c oesaparecemdemaneiranaturalemvariassituac oesdentrodocontextomatematico,assimcomonopropriodia-a-dia.Exemplo2.1. NumalojadeesportesasbolasdetenisWelsonen-traramempromo c ao,passandoacustarcadaumatresreais. Pedroque e um assduo jogador de tenis quer aproveitar ao maximo a ofertadaloja, maselesodisp oedecemreais. QualeamaiorquantidadepossveldebolasquePedropodecomprar?Solu c ao. Sedenotamosporxon umerodebolasquePedrocompra,ent aodevemosacharomaiorvalorpossveldextalque3x 100. (2.1)Notemosqueoproblemasereduzaencontraromaiorm ultiplopositivo de 3 que seja menor ou igual a 100. Listemos agora m ultiplospositivosde3menoresouiguaisa100,isto e,3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48,51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93,96, 99 ,102,105,. . .45rev-E-I-D2006/11/17page46iiiiiiii46 [CAP.2: INEQUACOESClaramente, 99 = 3 33 e o maior m ultiplo de 3 menor ou igual a 100,pois3 34=102>100ePedron aoteriaor camentoparaefetuaracompra. Logo,a solu c ao e x = 33,ou seja,Pedro podera comprar 33bolas.Observemosquenoexemploanterioroquetemosfeito eacharomaior valor inteiro de x tal que 3x100 < 0. Isto e um caso particularde resolu c ao de uma inequa c ao, chamada inequa c ao do primeiro grau.2.1 Inequa caodoPrimeiroGrauUmainequa c aodoprimeirograueumarela c aodeumadasformasabaixo_ax + b < 0, ax + b > 0,ax + b 0, ax + b 0,(2.2)ondea, b Rea = 0.Oconjuntosolu c aodeumainequa c aodoprimeirograueocon-junto Sden umerosreaisquesatisfazemumadasdesigualdadesem(2.2). Paraachartal conjuntoseradevital import anciatomaremconta as seguintes propriedades das desigualdades entre dois n umeros Invarianciadosinalporadi caoden umerosreais: Sejamaebn umerosreaistaisquea b, ent aoa + c b + cparaqualquern umeroreal c. Omesmovalecomasdesigualdadesdotipo: . Invarianciadosinalpormultiplica caoden umerosreaispositivos: Sejamaebn umerosreaistaisquea b, ent aoacbc para qualquer n umero real positivo c. Resultadosanalogosvalemparaasdesigualdadesdotipo: . Mudan cadosinal pormultiplica caoden umerosreaisnegativos: Sejamaebn umerosreaistaisquea b, ent aorev-E-I-D2006/11/17page47iiiiiiii[SEC.2.1: INEQUACAODOPRIMEIROGRAU 47acbc para qualquer n umero real negativoc. Resultadosanalogosvalemparaasdesigualdadesdotipo: .Vejamoscomosolucionarasinequa c oesestritasax + b < 0 e ax + b > 0.Paraisto,dividimosaanaliseemdoiscasos. Caso1: a > 0Inequa caoax +b b/a},representadonodesenhoabaixo:b/aS Caso2: a < 0Inequa caoax +b 0,logotemosquex > b/ae,conseq uentemente,S = {x R; x > b/a},cujarepresenta c aonareta easeguinte:rev-E-I-D2006/11/17page48iiiiiiii48 [CAP.2: INEQUACOESb/aSInequa caoax +b>0: similarmente, oconjuntosolu c aovemdadoporS = {x R; x < b/a},cujarepresenta c ao easeguinte:b/aSObserva cao2.2. Notemosquesequeremosresolverasinequa c oesax + b 0eax + b 0, ent aooconjuntosolu c aoSemcadaumdos casos acimacontinuaomesmoacrescentadoapenas dopontox = b/a.Vejamosagoraumexemplosimples.Exemplo2.3. Pararesolverainequa c ao8x 4 0,primeiramentedividimospor8ainequa c ao(prevalecendoosinal dadesigualdade)eimediatamenteadicionamos1/2emambososmembrosdamesma,paraobterx 4/8 + 1/2 1/2,ouseja,S = {x R; x 1/2}.A seguir damos alguns exemplos que podem ser resolvidos usandoinequa c oeslineares.Exemplo 2.4. Semfazer os calculos, diga qual dos n umerosa = 3456784 3456786 + 3456785eb = 345678523456788 emaior?Solu c ao. Se chamamos de x ao n umero 3456784 temos quea = x (x+2) +(x+1) e b = (x+1)2(x+4). Logo, a = x2+3x+1eb = x2+ x 3. Sesupomosquea b,ent aox2+ 3x + 1 x2+ x 3,rev-E-I-D2006/11/17page49iiiiiiii[SEC.2.1: INEQUACAODOPRIMEIROGRAU 49e somando x2x+3aambos os membros destadesigualdadeobtemos2x + 4 0.Asolu c aodestainequa c aodoprimeirograueoconjuntodosx Rtais quex 2, mas istoefalso, desdequex=3456784. Logo,nossasuposi c aoinicial de aser menor ouigual abe falsa, sendoent aoa > b.Oproximoexemplojafoi tratadonocaptulo1(ver Exemplo1.8), porem apresentamos a seguir uma solu c ao diferente usando ine-qua c oesdoprimeirograu.Exemplo2.5. Um quadrado magico 3 3 e um quadrado de lado 3divididoem9quadradinhosdelado1deformatal queosn umerosde1ate9s aocolocadosum-a-umemcadaquadradinhocomapro-priedadedequeasomadoselementosdequalquerlinha, colunaoudiagonal e sempre a mesma. Provar que no quadradinho do centro detalquadradomagicodeveraaparecer,obrigatoriamente,on umero5.Solu c ao. Primeiramente observamos que a soma 1+2+3+ +9 = 45,logocomohatres linhas e emcadaumadestas guramn umerosdiferentestemosqueasomadoselementosdecadalinha e15. Logo,asomadoselementosdecadacolunaoudiagonaltambem e15.Chamemos dexon umeroqueaparecenocentrodoquadradomagico,comomostraodesenhoabaixo.xAgorafazemosasseguintesobserva c oes: On umeroxn aopodeser9, poisnessecasoemalgumalinha,colunaoudiagonal quecontemoquadradocentral aparecer aon umero8, quesomadocom9da17>15eiston aopodeacontecer.rev-E-I-D2006/11/17page50iiiiiiii50 [CAP.2: INEQUACOES O n umero x n ao pode ser 1, pois nesse caso formaria uma linha,colunaoudiagonal comon umero2eumoutron umeroquechamamos dey, ent ao1 + 2 + y =15 y =12, oqual eimpossvel.Feitas as observa c oes anteriores, temos ent aoque on umeroxformaumalinha,colunaoudiagonalcomon umero9ealgumoutron umeroquechamamosdez,logoz= 15 (x + 9) 1 6 x 1,deondeseguequex 5.Por outro lado, o n umero x aparece numa linha, coluna ou diago-nalcomon umero1ealgumoutron umeroquechamamosdes,logos = 15 (x+1) = 14 x 9, de onde temos que x 5. Finalmente,como5 x 5segue-sequex = 5.Exemplo2.6. Numtri angulocomladosdecomprimentoa, bectra camosperpendicularesdesdeumpontoarbitrarioP,sobreoladode comprimento c, ate cada um dos lados restantes (ver a Figura 2.1).Seestasperpendicularesmedemxeyea > b,ent ao(a) Qual aposi c aoondedevesercolocadoPdemaneiraque=x + ysejamnimo?(b) Qual aposi c aoondedevesercolocadoPdemaneiraque=x + ysejamaximo?Solu c ao. Denotemos por Saareadotri anguloe notemos que di-vidindo este em dois tri angulos menores: um com base a e altura x eoutrocombasebealturay,temosqueax2+by2= S,rev-E-I-D2006/11/17page51iiiiiiii[SEC.2.1: INEQUACAODOPRIMEIROGRAU 51abcPxyB ACFigura2.1::deondeseseguequeax = 2S byx =2S bya.Somandoyemambososladosda ultimaigualdade,obtemosx + y=2S bya+ y=2S by + aya=2Sa+a bay,logo =+y, onde =2Sae =aba. Agoranotemos que0 y hb,onde hbdenota a altura relativa ao lado de comprimentobnotri angulodado. Comoepositivo, porsera>b, temosent aoque0 y hbe,portanto, + y + hb,deonde0 + hb.Resumindo, ovalormnimodeeatingidoquandoy=0, portantoPdevesercolocadonoverticeA,eovalormaximo eobtidoquandoy= hb,portantoPdevesercolocadonoverticeB.rev-E-I-D2006/11/17page52iiiiiiii52 [CAP.2: INEQUACOES2.2 Inequa caodoSegundoGrauAgora passamos a discutir a solu c ao das inequa c oes de segundo grau,que possuem um maior grau de diculdade. Sera de vital import anciao uso das propriedades do trin omio quadratico ax2+bx+c, estudadasnocaptuloanterior.Uma inequa c ao do segundo grau e uma rela c ao de uma das formasabaixo_ax2+ bx + c < 0, ax2+ bx + c > 0,ax2+ bx + c 0, ax2+ bx + c 0,(2.3)ondea, b, c Rea =0. Porsimplicidade, chamaremoson umeroadecoecientelderdotrin omioquadraticoax2+ bx + c.Por exemplo, para resolver a inequa c ao x23x+2 > 0 fatoramosotrin omiousandoqueasrazesdaequa c aox2 3x + 2 = 0s ao1e2,isto e,x23x + 2 = (x 1)(x 2).Otrin omiotomavalorespositivosquandooproduto(x 1)(x 2)forpositivo, ouseja, quandoosfatores(x 1)e(x 2)tenhamomesmosinal: Ambospositivos:x 1 > 0 x > 1ex 2 > 0 x > 2,logox > 2. Ambosnegativos:x 1 < 0 x < 1ex 2 < 0 x < 2,logox < 1.rev-E-I-D2006/11/17page53iiiiiiii[SEC.2.2: INEQUACAODOSEGUNDOGRAU 53Portanto,x23x + 2 > 0se,esomentese,x < 1oux > 2.Aseguirexplicamoscomopodemosresolverainequa c aodose-gundograudeformageral.Suponhamosprimeiramentequequeremosresolverainequa c aoax2+ bx + c > 0. (2.4)Notemosquevalemasseguintesigualdades:ax2+ bx + c = a_x2+bax +ca_= a_x2+bax +b24a2 b24a2+ca_= a_x2+bax +b24a2_a_b24a2 ca_= a_x +b2a_24a ,(2.5)onde = b24ac. Considerando esta igualdade, dividimos em varioscasos:Caso1: = b24ac > 0. Nestasitua c aoprocedemostomandoemcontaosinaldea. (a>0). Usando (2.5) notamos que basta resolver a inequa c aoa_x +b2a_24a> 0.Comoa>0, multiplicandopor1/aemambososmembrosdadesigualdade anterior o sinal desta n ao muda, obtendo-se ent ao_x +b2a_24a2> 0.Agorausamosque > 0paraobtermosquerev-E-I-D2006/11/17page54iiiiiiii54 [CAP.2: INEQUACOES_x +b2a_24a2=_x +b2a_2_2a_2=_x +b +2a__x +b 2a_=_x b 2a__x b +2a_= (x )(x ) > 0,onde =b2ae =b+2as ao as razes de ax2+bx+c = 0.Agoranotamosque(x )(x )>0seosfatores(x )e(x )s aoambospositivosouambosnegativos. Noprimeirocaso(ambospositivos)temosquex>ex>, mascomo < , ent ao x > . No segundo caso (ambos negativos), temosquex < ex < ,logox < ,novamenteporser < .Resumindo,asolu c aodainequa c aovemdadapeloconjuntoS = {x R; x < ou x > },comaseguinterepresenta c aonareta: S S (a0ex 0,ent aodevemosprovarquex +1x 2.Partimosdaseguintedesigualdade, quesabemosvaleparaqualquerx R:(x 1)2 0logox22x + 1 0 x2+ 1 2x.Sexepositivo, podemosdividirambososmembrosda ultimade-sigualdadesemalterarosinaldamesma,ouseja,x +1x 2,conformequeramosprovar.rev-E-I-D2006/11/17page57iiiiiiii[SEC.2.2: INEQUACAODOSEGUNDOGRAU 572.2.1 MaximoseMnimosOtrin omioquadraticof(x)=ax2+ bx + c, comojafoi observadoanteriormente,satisfazaidentidadeax2+ bx + c = a_x +b2a_24a, (2.6)onde = b24ac. O valor mnimo(m aximo) do trin omio quadraticof(x) e o menor (maior) valor possvel que pode assumir f(x) quandofazemosxpercorreroconjuntodosreais.Daigualdade(2.6)segue-seque, quandoa>0ovalormnimodotrin omioeobtidoquandox= b2aeestevalef(b2a) = 4a.Similarmente, quandoa n.73rev-E-I-D2006/11/17page74iiiiiiii74 [CAP.4: POLINOMIOSPorexemplo,sep(x) = 3x 1q(x) = 4x3+ 7x + 1t(x) =2x4v(x) =2x4+ 5x2+ 1s aoospolin omiosdenidosacima,ent ao: p(x) + q(x) = 4x3+ (3 + 7)x 1 + 1 = 4x3+ 10x v(x) + t(x) = (2 2)x4+ 5x2+ 1 = 5x2+ 1Aseguir,enumeramosalgumaspropriedadessimplesdasomadepolin omiosquedecorremdadeni c aodadaedaspropriedadessimi-laresvalidasparaosn umerosreais:1. Associatividade: Dadospolin omiosp(x), q(x)et(x),vale(p(x) + q(x)) + t(x) = p(x) + (q(x) + t(x))2. ElementoNeutro: Se0denotaopolin omionuloep(x)eumpolin omioqualquer:0 + p(x) = p(x).3. ElementoSimetrico: Sep(x) =a0+ a1x + + anxneumpolin omio, ent aoopolin omioq(x)= a0 a1x anxnsatisfaz:p(x) + q(x) = 0.4. Comutatividade: Sep(x)eq(x)s aopolin omios,ent ao:p(x) + q(x) = q(x) + p(x).rev-E-I-D2006/11/17page75iiiiiiii[SEC.4.1: OPERACOESCOMPOLINOMIOS 75Note que os n umeros inteiros possuem propriedades similares paraaopera c aodesomaden umerosinteiros. Vamosagoradeniropro-duto de dois polin omios. Para isso, vamos primeiramente deniroprodutodedoismon omios, comojazemosnocasodesomadepolin omios. Sen, ms aon umerosnaturais, denimosoprodutodosmon omiosp(x) = anxneq(x) = bmxmcomo:p(x)q(x) = anbmxn+m.Tendo isto em mente, para efetuarmos o produto do polin omio degraun, p(x)=a0 + a1x + a2x2+ + anxnpelopolin omioq(x)=b0 + b1x + + bmxmdegraum,comn m,devemos: Completamosaescritadep(x) edeq(x) ateotermon + mcolocandoak= 0parak > nebk= 0parak > m; Denimost(x) = p(x)q(x) = c0 + c1x + + cn+mxn+monde, ci= a0bi+a1bi1+ +ai1b1+aib0para 0 i n + m.Apesar de parecer complicada, adeni c aon aoe t aodifcil deseraplicada. Paratentarvisualizaroprocessodemultiplica c aodedoispolin omiosvamospensarqueosmon omioss aoseresaliengenasvindosdodistanteplanetadeAlgebrumepossuamm aos. Quandodoismon omiosseencontram, invariavelmenteelesapertamasm aosedesseapertoapareceoprodutodessesmon omios.Assim, paramultiplicarospolin omiosp(x)eq(x), ques aofor-mados por dois grupos demon omios, devemos escolher oprimeiromon omiodep(x)efaze-loapertaram aodecadaumdosmon omiosdeq(x), somandoosmon omiosobtidos. Aposisso, tomamosose-gundomon omiodep(x) efazemos eleapertar am aodecadaumdosmon omiosdeq(x),somandoosmon omiosobtidosaosmon omiosanteriores. Repetimosoprocessoateo ultimomon omiodep(x).rev-E-I-D2006/11/17page76iiiiiiii76 [CAP.4: POLINOMIOSDestemodo, sep(x)=x2+ 2x 3eq(x)= x2+ 5x + 1, paraobterp(x)q(x)fazemos:p(x)q(x) = x4+ 5x3+ x22x3+ 10x2+ 2x + 3x215x 3= x4+ 3x3+ 14x213x 3.Observe que com a deni c ao de multiplica c ao de polin omios dadaacima,ocoecientec0eigualaa0b0. Domesmomodo,ocoecientedotermoxn+me cn+m=anbm. Comop(x) temgraun(istoe,an = 0)eq(x)temgraum(bm = 0),ocoecientecn+m= anbm = 0.Logo, o polin omio p(x)q(x) tem grau n+m. Com isso, demonstramososeguintefato:Proposi cao4.1. Se o polin omio p(x) tem grau n e o polin omio q(x)temgraum,ent aoopolin omiop(x)q(x)temgraun + m.Umcasoparticularinteressanteequandomultiplicamosumn u-meroc, quepodemosconsiderarcomosendoumpolin omiodegrauzero q(x) = c,por um polin omio p(x) = a0 +a1x + +anxn. Nestecaso,nosobtemosopolin omio:cp(x) = ca0 + ca1x + + canxn.Domesmomodoemquepodemos vericar as propriedades dasomadepolin omiosapartirdaspropriedadessimilaresdosn umerosreais, podemos tambem vericar as propriedades abaixo sobre a mul-tiplica c aodepolin omios. Deixamosessaverica c aocomoexerccio:1. Associatividade: Dadospolin omiosp(x), q(x)et(x),vale(p(x)q(x))t(x) = p(x)(q(x)t(x))2. ElementoNeutro: Se1denotaopolin omioconstanteep(x)eumpolin omioqualquer:1p(x) = p(x).rev-E-I-D2006/11/17page77iiiiiiii[SEC.4.1: OPERACOESCOMPOLINOMIOS 773. Comutatividade: Sep(x)eq(x)s aopolin omios,ent ao:p(x)q(x) = q(x)p(x).4. Distributividade: Sep(x),q(x)et(x)s aopolin omios,ent ao:(p(x) + q(x))t(x) = q(x)t(x) + p(x)t(x).Noteque, assimcomonosinteiros, apropriedadedeexistenciadeelementosinversosparaamultiplica c aodepolin omiosn aovale.Defato, podemos vericar quesep(x)eumpolin omiodegraunmaior ouigual aum, ent aon ao existeumpolin omioq(x) tal quep(x)q(x) =1. Defato, suponhapor absurdo, queexistaq(x) umpolin omiocomgraum 0talquep(x)q(x) = 1.Ent ao, utilizandoaProposi c ao4.1temos que ograude p(x)q(x)en + mqueemaiorouigual queum. Comoograudopolin omioconstante 1 e zero, temos que a igualdade acima n ao pode valer, ondechegamosaumabsurdo.Emresumo, os unicos polin omios que podemter inversos comrespeito`aopera c aode multiplica c aos aoos polin omios constantesn ao-nulos. Estaemaisumadassemelhan casentreosinteiroseospolin omios.4.1.1 AlgoritmodeEuclidesDiremos queumpolin omioa(x) divideopolin omiob(x) seexistirq(x)talqueb(x) = q(x)a(x).Porexemplo, opolin omioa(x)=x2+ x + 1divideopolin omiox31pois(x 1)(x2+ x + 1) = x31.Devido`aProposi c ao4.1,seopolin omioa(x)divideopolin omion ao-nulo b(x), ent ao o grau de a(x) e menor ou igual ao grau de b(x).rev-E-I-D2006/11/17page78iiiiiiii78 [CAP.4: POLINOMIOSAgora, vamos enunciar um fato que vale para os inteiros e que valetambemparaospolin omiosequeseradegrandeutilidade. PedimosqueoleitorreleiaoAlgoritmodeEuclides,estudadonofascculodeDivisibilidade. Noconjuntodospolin omios,aindavale:Teorema4.2(AlgoritmodeEuclides). Sejama(x)eb(x)doispolin omios com coecientes reais, b(x) = 0. Ent ao, existem polin omioscomcoecientes reais q(x) e r(x), comr(x) =0ougraude r(x)menorqueograudeb(x)taisque:a(x) = b(x)q(x) + r(x).Alemdisso,q(x)er(x)est aodeterminadosdemodo unico.Observa cao 4.3. OAlgoritmo de Euclides tambeme conhecidocomoAlgoritmodaDivis ao. N aoiremosnosdeternaprovadoal-goritmodadivisao, masrecomendamosaleituradolivroIntodu c ao` aAlgebra, citadonocaptuloParasaber mais, paraquemestivercuriosoarespeito.Porexemplo, sea(x)=10x3 3x + 2eb(x)=x2+ 1, tomandoq(x) = 10xer(x) = 13x + 2temosque10x33x + 2 = (x2+ 1)10x + (13x + 2).Notequeograuder(x)= 13x + 2emenorqueograudeb(x)=x2+ 1.Se na express ao do polin omio p(x) decidimos substituir a variavelxporumn umeroreals,estaremosavaliandoopolin omiop(x)emsedenotamosesten umeroporp(s).Porexemplo, sep(x)=x2+ 3x + 1, ent aosubstituindoxpor2,temosquep(2) = 22+ 3 2 + 1 = 11efazendox = 3p(3) = (3)2+ 3 (3) + 1 = 1.rev-E-I-D2006/11/17page79iiiiiiii[SEC.4.1: OPERACOESCOMPOLINOMIOS 79Quando p(s) = 0 dizemos que sanulao polin omio n ao-nulo p(x),ouainda,ques eumaraizdopolin omiop(x).Porexemplo,parap(x) = x38,temosque2 eumaraizdep(x)jaquep(2) = 238 = 0.Umfatomuitoimportantequeeconseq uenciadoalgoritmodadivisao eoseguinteTeorema:Teorema4.4. Se s e uma raiz do polin omio p(x),ent ao o polin omiox sdividep(x). Reciprocamente, sex sdividep(x), ent aoseraizdep(x).Demonstra c ao. Primeiramente,assumaquex sdividap(x). Nestecaso, existe um polin omio q(x) tal que p(x) = q(x)(xs). Avaliandoopolin omiop(x)ems,temosque:p(s) = q(s)(s s) = q(s) 0 = 0.Logos eumaraizdep(x).Paraprovarqueseseumaraizdep(x)ent aox sdividep(x),vamos utilizar o algoritmo da divis ao, com a(x) = p(x) e b(x) = xs.Nestecaso,temosqueexistemq(x)er(x)demodoquer(x) = 0ouograuder(x) emenorqueograudex sealemdissovale:p(x) = q(x)(x s) + r(x).Observeque, comascondi c oesdorestor(x), podemosescreverquer(x) = c R. Ent ao, p(x) = q(x)(xs)+c e 0 = p(s) = q(s)0+c = c.Portanto, r(x) = 0 e p(x) = q(x)(xs),isto e, xs divide p(x).Aproposi c aoanteriornospermitedeterminaron umerom aximoderazesreaisdeumpolin omion ao-nulo. Defato,vamosmostrar:Proposi cao 4.5. O n umero m aximo de razes do polin omio n ao-nulop(x) = anxn+ an1xn1+ + a1x + a0en.rev-E-I-D2006/11/17page80iiiiiiii80 [CAP.4: POLINOMIOSDemonstra c ao. Digamosques0