Equacoes Lineares Quadraticas Revisao
5
1 | Willow International School - Matemática 10ªClasse EQUAÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS – REVISÃO Equação: igualdade onde figura sempre, pelo menos, uma variável. Exemplos: 3 + 2 = 5 6 − = 1 +2 + 4 = 0 2sin − 1 = 0 Solução ou raíz de uma equação: o número que colocado no lugar da incógnita, a transforma numa igualdade verdadeira. Exemplos: 1 é solução da equação 3 + 2 = 5 , pois, 3(1) + 2 = 5 -1 e 3 são raízes da equação − 2 + 3 = 0 (Verifique). Equações equivalentes: equações que tem a mesma solução. Exemplos: As equações 3 − 6 = 0 e 3 = 6 são equivalentes, pois, 2 é solução das duas equações. Equação linear ou do 1º grau com uma incógnita: toda equação que se reduz à forma + = 0, onde a e b são números reais e ≠ 0 . Exemplos: 3 + 2 = 0 + 1 = 7 + 2 = 5 Resolução de equações lineares Resolver uma equação significa encontrar a sua solução, isto é, o número que colocado no lugar da incógnita, a transforma numa igualdade verdadeira. Exemplo: Resolva a equação 3 + 2 = 0. Resolução: 3 + 2 = 0 ⟺ 3 = − 2 ⟺ = − , Solução: − . EQUAÇÕES QUADRÁTICAS PARAMÉTRICAS
-
Upload
paulino-adao -
Category
Documents
-
view
8 -
download
0
description
This a summary of linear end quadratic equations for anyone who had forgotten about the topics mentioned above. There are 5 pages in it. Some basic concepts are discussed. Concepts like equation, solution of an equation, equivalent equation, 1st degree equations, 2nd degree equations. It also discusses how to solve both 1st degree/linear equations and 2nd degree/ quadratic equations. From it one will understand that there are three ways of solving a quadratic equation. In the last page there exercises that one may solve to check his understanding. The text is in Portuguese language. However, anyone who has a little grasp of Math may be able to understand. This document was prepared to help students who lost there materials on linear and quadratic equations.
Transcript of Equacoes Lineares Quadraticas Revisao
-
1 | W i l l o w I n t e r n a t i o n a l S c h o o l - M a t e m t i c a 1 0 C l a s s e
EQUAES LINEARES E QUADRTICAS REVISO
Equao: igualdade onde figura sempre, pelo menos, uma varivel.
Exemplos:
3 + 2 = 5
6 = 1 + 2 + 4 = 0 2sin 1 = 0
Soluo ou raz de uma equao: o nmero que colocado no lugar da incgnita, a transforma numa igualdade verdadeira.
Exemplos:
1 soluo da equao 3 + 2 = 5, pois, 3(1)+ 2 = 5 -1 e 3 so razes da equao 2 + 3 = 0 (Verifique).
Equaes equivalentes: equaes que tem a mesma soluo.
Exemplos:
As equaes 3 6 = 0 e 3 = 6 so equivalentes, pois, 2 soluo das duas equaes.
Equao linear ou do 1 grau com uma incgnita: toda equao que se reduz forma + = 0, onde a e b so nmeros reais e 0.
Exemplos:
3 + 2 = 0
+ 1 = 7
+ 2 = 5
Resoluo de equaes lineares
Resolver uma equao significa encontrar a sua soluo, isto , o nmero que colocado no lugar da incgnita, a transforma numa igualdade verdadeira.
Exemplo:
Resolva a equao 3 + 2 = 0.
Resoluo:
3 + 2 = 0 3 = 2 =
,
Soluo:
.
EQUAES QUADRTICAS PARAMTRICAS
-
2 | W i l l o w I n t e r n a t i o n a l S c h o o l - M a t e m t i c a 1 0 C l a s s e
Equao quadrtica ou do 2 grau: toda equao que se reduz forma + + = 0, onde a, b e c so nmeros reais e 0.
Exemplos:
+ 4 + 3 = 0
+ = 0
1 + 7 = 0
Resoluo de equaes quadrticas
1. Equao do tipo = , ( = = ) Exemplo: Resolva em IR: a) = 0 b) 3 = 0
c) 1 + 7 = 0
Resoluo:
a) = 0 = 0 :{0}.
b) 3 = 0 =
= 0 = 0 :{0}
c)
= 0 =
= 0 = 0 :{0}
A raiz (soluo) de uma equao quadrtica do tipo = sempre nula (igual a zero).
2. Equao do tipo + = ( = )
Lei do anulamento do produto: = = ou = . Exemplo: Resolva em IR: a) 4 = 0 b) 2 5 = 0
Resoluo:
a) 4 = 0 ( + 2)( 2)= 0 + 2 = 0 ou 2 = 0 = 2 ou = 2.
b) 2 5 = 0 2 = 5 =
=
=
ou =
.
Se uma equao quadrtica do tipo + = 0 admitir razes reais, elas sero simtricas.
3. Equao do tipo + = ( = ) Exemplo: Resolva em IR: a) 2 + 3 = 0 b) 4 = 5
-
3 | W i l l o w I n t e r n a t i o n a l S c h o o l - M a t e m t i c a 1 0 C l a s s e
Resoluo:
a) 2 + 3 = 0 (2 + 3)= 0 = 0 ou 2 + 3 = 0 = 0ou 2 = 3 = 0
ou =
.
b) 4 = 5 4 5 = 0 (4 5)= 0 = 0 ou 4 5 = 0 = 0 ou
4 = 5 = 0 ou =
.
Uma equao quadrtica do tipo + = 0 tem sempre duas razes reais distintas, sendo uma delas nulas.
4. Equao quadrtica completa + + = ( e ). Para resolver este tipo de equao pode-se: - factorizar o trinmio e aplicar a lei do anulamento do produto; - completar o quadrado e extrair a raz quadrada nos dois membros da equao; - aplicar a frmula resolvente. Exemplo: Resolva a equao, 4 + 3 = 0, em IR. Resoluo: - Por factorizao do trinmio 4 + 3 = 0 ( 1)( 3)= 0 1 = 0 ou 3 = 0 = 1 ou = 3. sol: {1; 3}. - completando o quadrado 4 + 3 = 0 4 = 3 4 + 2 = 3 + 2 ( 2) = 1
2 = 1 2 = 1 = 1 ou = 3. sol: {1; 3}. - aplicando a frmula resolvente
=
, =
= 1, = 4, = 3 = (4) 4(1)(3)= 4
=
()=
=
=
= 1 ou =
=
= 3
sol: {1; 3}. = , determina a natureza das razes duma equao quadrtica do seguinte modo:
- Se> 0 a equao admite duas razes reais e distintas - Se = 0 a equao admite uma raz dupla - Se < 0 a equao no admite razes reais
-
4 | W i l l o w I n t e r n a t i o n a l S c h o o l - M a t e m t i c a 1 0 C l a s s e
Soma e produto das razes de uma equao quadrtica
Sejam e as razes da equao + + = 0.
- A soma das razes dada por, = + =
;
- O produto das razes dado por, = =
.
Exemplo:
Determine a soma e o produto das razes da equao 3 + 10 + 4 = 0.
Resoluo:
= 3, = 10, = 4
Soma: =
=
=
Produto: =
=
=
.
Construo de equaes quadrticas a partir das suas razes
A equao + + = 0 pode ser expressa na forma
+ = 0, onde = + =
e = =
.
Exemplo:
2 raz de uma equao quadrtica cujo o produto das razes
.
a) Determine a outra raz. b) Obtenha a equao correspondente.
Resoluo:
a) = 2 e =
;
1 2 2 2
5 52
2 4P x x x x .
b) 2 1 25 13
0; 22 4
x Sx P S x x , ento a equao 2 213 5
0 8 13 104 2
x x x x .
-
5 | W i l l o w I n t e r n a t i o n a l S c h o o l - M a t e m t i c a 1 0 C l a s s e
EXERCCIOS
1. Resolva as equaes seguintes
a) 72
x
b) 2
4 23 3
xx (1 p-2014)
c) 3 1
3 2
x
d) 7
3 12
x
e) 3 9
2 2
x
f) 6 14 4x g) 5 4 13x
h) 8 5
73
x
i) 3 2 9x
j) 3 2 1 3 17x x
k) 8 3 5 15x x
l) 6 2 4 5 4 3 7 19x x x
m) 1 3
23 6
x x
n) 3 1
15 33
xx
o) 2 3 7
3 4 12
x x
p) 2 15 3 3 5
4 3 7
xx x
q) 3 1 4 2 7
15 3 15
x x x
r) 4 5 3 5
63 3
x
x x x
s)
11
1
1 21
x
x
t) 8 2 2
32 3 7
x xx
(1 p-2014)
2. Resolva as equaes seguintes a) 2 5 6 0x x (2 Ch-2001)
b) 22 1
33
xx
x
(2 p-2005)
c) 3 3
3 2
x
x (1 p-2006)
d) 6
6 15
x
x
(1 Ch-2000)
e) 2 1
31
x
x x
(2 p-2009)
f) 1 1 1
2 4x x
(2 p-2013)
g) 1
xx
3. Usando , determine a natureza das razes das
seguintes equaes sem achar as suas razes:
a) 2 5 0x x
b) 24 12 9 0x x c) 25 6x x
d) 2 7 5 50 0x x
4. Construa uma equao quadrtica que admita as
razes a-) 1 0 1x x
b-) 3
;24
c-) 3x
d-) 1 2 2x x
5. Determine a soma e o produto das razes das
seguintes equaes sem achar as razes
a-) 24 3 5 0x x
b-) 216 9 0x x
c-) 2 7
2 07
xx
d-) 2 1 0x
