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EQUAES LINEARES E QUADRTICAS REVISO

Equao: igualdade onde figura sempre, pelo menos, uma varivel.

Exemplos:

3 + 2 = 5

6 = 1 + 2 + 4 = 0 2sin 1 = 0

Soluo ou raz de uma equao: o nmero que colocado no lugar da incgnita, a transforma numa igualdade verdadeira.

Exemplos:

1 soluo da equao 3 + 2 = 5, pois, 3(1)+ 2 = 5 -1 e 3 so razes da equao 2 + 3 = 0 (Verifique).

Equaes equivalentes: equaes que tem a mesma soluo.

Exemplos:

As equaes 3 6 = 0 e 3 = 6 so equivalentes, pois, 2 soluo das duas equaes.

Equao linear ou do 1 grau com uma incgnita: toda equao que se reduz forma + = 0, onde a e b so nmeros reais e 0.

Exemplos:

3 + 2 = 0

+ 1 = 7

+ 2 = 5

Resoluo de equaes lineares

Resolver uma equao significa encontrar a sua soluo, isto , o nmero que colocado no lugar da incgnita, a transforma numa igualdade verdadeira.

Exemplo:

Resolva a equao 3 + 2 = 0.

Resoluo:

3 + 2 = 0 3 = 2 =

,

Soluo:

.

EQUAES QUADRTICAS PARAMTRICAS

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Equao quadrtica ou do 2 grau: toda equao que se reduz forma + + = 0, onde a, b e c so nmeros reais e 0.

Exemplos:

+ 4 + 3 = 0

+ = 0

1 + 7 = 0

Resoluo de equaes quadrticas

1. Equao do tipo = , ( = = ) Exemplo: Resolva em IR: a) = 0 b) 3 = 0

c) 1 + 7 = 0

Resoluo:

a) = 0 = 0 :{0}.

b) 3 = 0 =

= 0 = 0 :{0}

c)

= 0 =

= 0 = 0 :{0}

A raiz (soluo) de uma equao quadrtica do tipo = sempre nula (igual a zero).

2. Equao do tipo + = ( = )

Lei do anulamento do produto: = = ou = . Exemplo: Resolva em IR: a) 4 = 0 b) 2 5 = 0

Resoluo:

a) 4 = 0 ( + 2)( 2)= 0 + 2 = 0 ou 2 = 0 = 2 ou = 2.

b) 2 5 = 0 2 = 5 =

=

=

ou =

.

Se uma equao quadrtica do tipo + = 0 admitir razes reais, elas sero simtricas.

3. Equao do tipo + = ( = ) Exemplo: Resolva em IR: a) 2 + 3 = 0 b) 4 = 5

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Resoluo:

a) 2 + 3 = 0 (2 + 3)= 0 = 0 ou 2 + 3 = 0 = 0ou 2 = 3 = 0

ou =

.

b) 4 = 5 4 5 = 0 (4 5)= 0 = 0 ou 4 5 = 0 = 0 ou

4 = 5 = 0 ou =

.

Uma equao quadrtica do tipo + = 0 tem sempre duas razes reais distintas, sendo uma delas nulas.

4. Equao quadrtica completa + + = ( e ). Para resolver este tipo de equao pode-se: - factorizar o trinmio e aplicar a lei do anulamento do produto; - completar o quadrado e extrair a raz quadrada nos dois membros da equao; - aplicar a frmula resolvente. Exemplo: Resolva a equao, 4 + 3 = 0, em IR. Resoluo: - Por factorizao do trinmio 4 + 3 = 0 ( 1)( 3)= 0 1 = 0 ou 3 = 0 = 1 ou = 3. sol: {1; 3}. - completando o quadrado 4 + 3 = 0 4 = 3 4 + 2 = 3 + 2 ( 2) = 1

2 = 1 2 = 1 = 1 ou = 3. sol: {1; 3}. - aplicando a frmula resolvente

=

, =

= 1, = 4, = 3 = (4) 4(1)(3)= 4

=

()=

=

=

= 1 ou =

=

= 3

sol: {1; 3}. = , determina a natureza das razes duma equao quadrtica do seguinte modo:

- Se> 0 a equao admite duas razes reais e distintas - Se = 0 a equao admite uma raz dupla - Se < 0 a equao no admite razes reais

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Soma e produto das razes de uma equao quadrtica

Sejam e as razes da equao + + = 0.

- A soma das razes dada por, = + =

;

- O produto das razes dado por, = =

.

Exemplo:

Determine a soma e o produto das razes da equao 3 + 10 + 4 = 0.

Resoluo:

= 3, = 10, = 4

Soma: =

=

=

Produto: =

=

=

.

Construo de equaes quadrticas a partir das suas razes

A equao + + = 0 pode ser expressa na forma

+ = 0, onde = + =

e = =

.

Exemplo:

2 raz de uma equao quadrtica cujo o produto das razes

.

a) Determine a outra raz. b) Obtenha a equao correspondente.

Resoluo:

a) = 2 e =

;

1 2 2 2

5 52

2 4P x x x x .

b) 2 1 25 13

0; 22 4

x Sx P S x x , ento a equao 2 213 5

0 8 13 104 2

x x x x .

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EXERCCIOS

1. Resolva as equaes seguintes

a) 72

x

b) 2

4 23 3

xx (1 p-2014)

c) 3 1

3 2

x

d) 7

3 12

x

e) 3 9

2 2

x

f) 6 14 4x g) 5 4 13x

h) 8 5

73

x

i) 3 2 9x

j) 3 2 1 3 17x x

k) 8 3 5 15x x

l) 6 2 4 5 4 3 7 19x x x

m) 1 3

23 6

x x

n) 3 1

15 33

xx

o) 2 3 7

3 4 12

x x

p) 2 15 3 3 5

4 3 7

xx x

q) 3 1 4 2 7

15 3 15

x x x

r) 4 5 3 5

63 3

x

x x x

s)

11

1

1 21

x

x

t) 8 2 2

32 3 7

x xx

(1 p-2014)

2. Resolva as equaes seguintes a) 2 5 6 0x x (2 Ch-2001)

b) 22 1

33

xx

x

(2 p-2005)

c) 3 3

3 2

x

x (1 p-2006)

d) 6

6 15

x

x

(1 Ch-2000)

e) 2 1

31

x

x x

(2 p-2009)

f) 1 1 1

2 4x x

(2 p-2013)

g) 1

xx

3. Usando , determine a natureza das razes das

seguintes equaes sem achar as suas razes:

a) 2 5 0x x

b) 24 12 9 0x x c) 25 6x x

d) 2 7 5 50 0x x

4. Construa uma equao quadrtica que admita as

razes a-) 1 0 1x x

b-) 3

;24

c-) 3x

d-) 1 2 2x x

5. Determine a soma e o produto das razes das

seguintes equaes sem achar as razes

a-) 24 3 5 0x x

b-) 216 9 0x x

c-) 2 7

2 07

xx

d-) 2 1 0x