Equações no monóide livre e no grupo livre · Tese submetidaà Faculdade de Ciências da...

Ana Isabel Pereira de Moura

Equações no monóide livre e no grupo livre

Departamento de Matemática Pura Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Junho / 2003

Ana Isabel Pereira de Moura

Equações no monóide livre e no grupo livre

Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Matemática - Fundamentos e Aplicações

Departamento de Matemática Pura Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Junho / 2003

Resumo

Dado um sistema de equações envolvendo somente operações de monóide, pretende-se determinar se ele possui alguma solução num dado monóide livre finitamente gerado. O mesmo problema é colocado para grupos livres finitamente gerados.

A decidibilidade dos sistemas de equações no monóide livre é aqui demonstrada com a descrição da generalização de Schulz do famoso Algoritmo de Makanin, que intervém com restrições racionais nas variáveis do sistema.

Quanto ao problema de decidibilidade de sistemas de equações no grupo livre, apresentamos alguns exemplos para os quais foi possível obter conclusões por métodos elementares de combinatória e/ou Teoria de Grupos. Abordamos ainda uma proposta de solução, alternativa ao Algoritmo de Makanin para equações no grupo livre, obtida por Sabbagh, mas que não funciona em geral. Refutamos esta proposta apresentando um exemplo de equações para as quais a proposta não funciona.

3

Abstract

Given an equation system involving only monoid operations, one seeks to determine if it has any solution in a given finitely generated free monoid. The analogous problem is also considered for finitely generated free groups.

The decidability of the equation systems in a free monoid is established here with the description of Schulz's generalization of the famous algorithm due to Makanin, which further takes into account rational constraints in the variables of the system.

Concerning the decidability problem for equation systems in a free group, we include some examples for which it was possible to find some conclusions which have been solved by elementary combinatorial and/or group theory methods. We also present a proposal of an alternative to Makanin's Algorithm for equations in a free group, due to Sabbagh, but which does not work in general. We refute this proposal by means of an example of equations for which the proposal fails.

5

Resume

Etant donné un système d'équations qui se rapporte seulement à des operations de monoïde, on cherche à déterminer s'il admet une solution dans un certain monoïde libre Animent engendré. On pose le même problème pour les groupes libres Animent engendrés.

La décidabilité des systèmes d'équations dans le monoïde libre est prouvée dans ce travail avec la description de la généralisation de Schulz du fameux Algorithme de Makanin, qui en plus fait intervenir des contraintes sur les variables du système.

En ce qui concerne la décidabilité des systèmes d'équations dans le groupe libre, nous présentons quelques exemples qu'on sait résoudre par des méthodes élémentaires, soit combinatoires et/ou de théorie des groupes. Nous faisons encore référence à une proposition de solution, en alternative à l'Algorithme de Makanin pour des équations dans le groupe libre, suggérée par Sabbagh, mais qui en général ne fonctionne pas. Nous réfutons cette proposition en présentant un exemple d'équation pour laquelle la méthode de Sabbagh ne réussit pas.

7

Aos meus pais

9

Agradecimentos

Agradeço, de uma forma muito especial, ao Professor Jorge Almeida pela motivação, pelo incentivo, pela inteira disponibilidade, pelas sugestões e por tudo o que me ensinou.

Agradeço à Engenheira Maria Alzira Teixeira, colega e amiga, pelo apoio dado no desempenho da minha actividade profissional, no ISEP.

Agradeço a Alfredo Costa e a Marco Ferreira, sobretudo, pelo convívio e pelo companheirismo demonstrados ao longo destes anos.

E à minha família e aos meus amigos, muito obrigada.

11

índice

Resumo 3

Abstract 5

Résumé 7

Agradecimentos 11

Introdução 15

1 Preliminares 17

1.1 Semigrupos, monóides e grupos 17

1.2 Palavras, linguagens e equações 18

1.3 Propriedades combinatórias no monóide livre 21

1.4 O grupo livre e a sua representação no monóide livre 23

1.5 Alguns resultados na Teoria de Grupos 27

2 Equações no grupo livre 31

2.1 A equação xa = y^z1 31

2.1.1 A redução do problema 32

2.1.2 A equação no monóide livre 34

2.1.2.1 Caso I: u é uma palavra ciclicamente reduzida 34

2.1.2.2 Caso II: w é uma palavra ciclicamente reduzida . . . . 37

2.2 A equação x~ly~lxy = zn 40

13

2.3 A generalização de Baumslag 44

3 O Algoritmo de Makanin para equações no monóide livre 47

3.1 Sistemas quadráticos: um algoritmo de decisão 48

3.2 A teoria existencial da concatenação 50

3.3 O Algoritmo: noções e estratégias 55

3.3.1 Torres dominó 55

3.3.2 Formas normais estáveis 57

3.3.3 Uma única variável 58

3.3.4 Restrições num semigrupo 62

3.4 O expoente de periodicidade 64

3.5 Equações fronteira 71

3.5.1 Ordens lineares num semigrupo 71

3.5.2 Das equações de palavras às equações fronteira 74

3.6 O teorema basilar 78

3.7 A condição da cadeia convexa 79

3.8 As regras de transformação 87

3.9 A prova do teorema basilar 95

3.10 Conclusão 98

4 Equações em grupos livres que não são finitamente aproximáveis 101

Epílogo 105

Bibliografia 107

índice remissivo 111

índice de símbolos 113

14

Introdução

Dado um sistema de equações envolvendo somente as operações de uma estrutura algébrica, pretende-se determinar se ele possui alguma solução numa dada estrutura E livre finitamente gerada. Este problema motivou a realização desta monografia. As estruturas algébricas aqui estudadas são monóides livres finitamente gerados e grupos livres finitamente gerados.

O estudo de equações em monóides livres foi iniciado na escola Russa por Markov no final da década de 1950, mas foi Makanin [21] quem, em 1977, resolveu o problema de decidibilidade. Com um conhecimento profundo da combinatória de palavras construiu um algoritmo que soluciona o problema. Uma consequência do resultado de Makanin foi a decidibilidade da teoria existencial da concatenação. Schulz [32] generalizou o Algoritmo de Makanin envolvendo no problema restrições racionais para as variáveis do sistema.

O estudo das equações no monóide livre como o esqueleto da teoria combinatória em grupos foi introduzido por Lyndon [18]. Lyndon iniciou o estudo das relações entre elementos de um grupo livre com a equação

2 2 2

x = y z , concluindo que as soluções da equação geram um grupo cíclico, ao qual se seguiram algumas generalizações obtidas por Schenkman [31] com o estudo da equação

xn = ynzn para n > 1

e Schützenberger [30] com o estudo da equação

xa _ yi3z~f p a r a a, P,^y > 1.

Este último estudou ainda a equação

x~ly~lxy = zn com n > 1

obtendo o mesmo resultado. Baumslag [5] obteve a mesma conclusão usando resultados da Teoria de Grupos. O seu estudo levou-o a uma generalização de todos estes resultados [6] usando novamente a Teoria de Grupos. Também aqui Makanin teve um papel preponderante. O problema da solubilidade de sistemas de equações no grupo

15

livre foi resolvido por Makanin em [22, 23]. 0 seu método para a decidibilidade de uma equação no grupo livre é muito mais complicado que o apresentado para monóides livres e envolve muitos conceitos e estratégias. Na tentativa de evitar este método pesado, Sabbagh propôs a consideração da seguinte propriedade para equações no grupo livre: equações que têm solução num grupo livre finitamente gerado se e só se tiverem solução em todo o quociente finito desse grupo. Para este tipo de equações, Sabbagh descreveu um algoritmo que permite responder à questão de decidibilidade. Mas, enquanto se conhecem vários sistemas para os quais a propriedade é válida [6, 4, 27, 28, 2, 3, 14], Coulbois e Khelif [8] mostraram que nem sempre assim se passa.

Dividimos esta monografia em quatro capítulos e um epílogo.

No primeiro capítulo introduzimos a linguagem com que vamos trabalhar: alguns conceitos da Algebra Universal bem como algumas propriedades combinatórias no monóide livre e alguns resultados na Teoria de Grupos.

No segundo capítulo fazemos o estudo dos dois resultados obtidos por Schützenberger já enunciados. A primeira prova é baseada na combinatória de palavras usada por Lyndon e Schützenberger [19] e a segunda demonstração é uma prova alternativa de Baumslag [5] que usa resultados da Teoria de Grupos. Fazemos ainda uma abordagem à generalização de Baumslag que não é demonstrada neste trabalho.

No terceiro capítulo descrevemos pormenorizadamente a generalização de Schulz [32] do Algoritmo de Makanin para a solubilidade das equações no monóide livre. Fazemos também uma breve descrição de um algoritmo mais simples para a decidibilidade de sistemas onde cada variável ocorre no máximo duas vezes. É também neste capítulo que resolvemos o problema da teoria existencial da concatenação.

No quarto capítulo explicamos o algoritmo de Sabbagh como alternativa ao Algoritmo de Makanin para equações no grupo livre, que funciona para as equações que satisfazem a propriedade enunciada anteriormente. Mostramos ainda a existência de equações onde esta proposta não funciona.

Em cada um dos capítulos procura-se explicitar todo o seu conteúdo, quer nas estratégias, quer nos resultados demonstrados. As referências bibliográficas serão citadas sempre que for conveniente.

16

Capítulo 1

Preliminares

No trabalho a que nos propomos usamos como ferramentas algumas estruturas algébricas nomeadamente semigrupos, monóides e grupos livres finitamente gerados. Com uma análise combinatória por vezes exaustiva responderemos a algumas questões relati

vamente às equações que pretendemos estudar. O objectivo deste capítulo é relem

brar alguns conceitos básicos da Álgebra Universal e introduzir algumas propriedades combinatórias que nos ajudarão na procura das nossas respostas. As definições e os resultados que aqui apresentamos podem ser encontrados em [1, 16, 19].

1.1 Semigrupos, monóides e grupos

Por semigrupo entendemos um conjunto equipado com uma operação binária associ

ativa. Um subconjunto fechado para a operação denominamos de subsemigrupo. Um morfismo de semigrupos, mais precisamente do semigrupo S no semigrupo T, é uma aplicação ip : S —> T tal que (f(xy) = ip{x)<p(y) para todos os x, y £ S.

Definimos monóide como um semigrupo com elemento neutro, ou seja, um elemento e tal que me = m = em para todo o elemento m pertencente ao monóide. Um submonóide é um subconjunto fechado para a operação e contendo o elemento neutro e um morfismo de monóides é um morfismo de semigrupos que envia o elemento neutro de um semigrupo no elemento neutro do outro.

Dado um conjunto X C S representamos por X+ o subsemigrupo gerado por X, ou seja,

X+ = {xi • ■ ■ xn\ n > 1,Xi € X}. Se S for um monóide também definimos o submonóide gerado por X,

X* = X+U{e}.

As operações X H^ X+ e X \* X* são chamadas, respectivamente, de operação + e operação *.

17

Um subconjunto X de um semigrupo S dizse racional se puder obterse usando um número finito de vezes as operações união (U), produto (•) e + a partir de subconjuntos finitos de S (onde o produto de X por Y é dado por X • Y — {xy\ x G X, y G Y}).

Um grupo é um semigrupo G que possui um elemento e tal que:

1. e * x — x = x * e para todo o x G G,

2. para todo o x G G, existe um elemento y € G tal que x*y = e = y*x

onde * é a operação binária associativa em G. Para todo o x E G dizemos que y é o inverso de x e usamos a notação x~l.

1.2 Palavras, linguagens e equações

Sejam A um conjunto finito e A+ o conjunto de todas as sequências finitas ( a i , . . . , an) de elementos de A. Em A+ definimos uma operação pela simples concatenação de sequências:

( a i , . . . , am) (&!, . . . , bn) = ( a i , . . . , Om, &i, . . . ,& n) .

Esta operação é claramente associativa definindo em A + uma estrutura de semigrupo, o semigrupo gerado por A. O semigrupo A+ dizse tore em A no seguinte sentido: para todo o semigrupo S e toda a função </? : A —■> 5 existe um e um só homomorfismo ^ : A + —> S tal que o diagrama

Ac *A+ (1.1)

comuta, onde .4 c—»• A + é a inclusão natural. O homomorfismo ip é definido por Tp(a[ ■ ■ ■ an) — tp(a,i) ■ ■ ■ (p(an) e chamase a extensão natural de ip a A+.

Identificando cada sequência da forma (a) com a £ A temos

( a i , . . . , a n ) = ai • • an.

Adicionando a A+ a sequência vazia. ( ), representada por e obtemos o monóide A*, o monóide livre gerado por A.

Dizemos que A é o alfabeto das constantes, os seus elementos são as letras, os elementos de A* as palavras (onde e é a palavra vazia) e os subconjuntos de A* as linguagens em A.

Uma linguagem L Ç A+ é reconhecida por um semigrupo S se existir um homomorfismo S e A' Ç 5 tal que L = ^ ( A ^

18

Propos ição 1.1. Uma linguagem é reconhecida por um autómato com um número finito de estados se e só se é reconhecida por um semigrupo finito.

Dizemos que estas linguagens são linguagens reconhecíveis. Por outras palavras, L Ç A+ é uma linguagem reconhecível se existir uma congruência em A+ de índice finito para a qual L é uma união de classes, isto é, uma congruência que satura L. Notemos que, se o é uma congruência em A+ que satura L, então uav e xuy G L implica que xvy G L.

Para a linguagem L Ç A+, definimos a relação CTL por

uoijü se, para quaisquer x, y G A*, xuy G L <=? xv^ G L.

Então az, é a maior congruência (com respeito à inclusão) em A+ que satura L e é chamada de congruência sintáctica de L. O quociente A+jaL é denominado de semigrupo sintáctico de L e é representado por SintL. Seja ÍÇL O homomorfismo canónico de A+ —> SintL. Assim, a condição maximal de cr^ diz-nos que um homomorfismo sobrejectivo ip : yl+ —> 5 reconhece L se e só se existe um homomorfismo /U : 5 —> SintL tal que ^to-0 = </?L como podemos ver no seguinte diagrama comutativo:

(1.2)

Dizemos que o semigrupo S divide o semigrupo T e escrevemos S -< T se 51 for a imagem homomorfa de um subsemigrupo de T. Temos então a seguinte proposição:

Propos ição 1.2. .Seja L Ç ^4+ uma linguagem.

1. Um semigrupo S reconhece L se e só se SintL -< S;

2. Uma linguagem L é reconhecível se e só se SintL é finito.

A importância do estudo de semigrupos finitos deve-se ao teorema seguinte:

Teorema 1.3 (Kleene) . Sejam A um alfabeto finito e L Ç A*. Então L ê uma linguagem racional se e só se L é uma linguagem reconhecível.

O comprimento da palavra w = a ^ • • • an com a, G A é o número n de letras cujo produto é w, o qual representamos por |UJ|. Assim sendo, |e| = 0.

Uma palavra u diz-se um factor de w se existirem palavras x e y tais que w = xuy. Dizemos também que u é um prefixo de w (respectivamente, sufixo) se x — e (respect., y = e). Dizemos ainda que o factor (respect, prefixo, sufixo) é próprio se tivermos u 7 w.

19

A relação prefixo nas palavras é representada por u < w sendo u < w a relação prefixo próprio.

Seja Cl uni conjunto para o qual assumimos que AílCl = 0. Dizemos que Cl é o conjunto das variáveis.

Usaremos o mesmo símbolo a para nos referirmos a uma aplicação a : Cl —* A* e à sua extensão canónica, o homomorfismo a : (A U Cl)* -^ A* que deixa as letras de A invariantes.

Definimos:

• Uma equação é um par (E, D) e (ALSCl)* x (AU Cl)* e escreve-se como E = D.

• Um sistema de equações é um conjunto de equações {ü^ = D\,.... Ek = D^}.

• Um sistema onde cada variável ocorre no máximo duas vezes é chamado sistema quadrático.

• Uma solução é um homomorfismo a : (A U Cl)* —> T4* que deixa as letras de J4 invariantes e tal que <r(i?i) = cr(Dj) para todo o 1 < i < k. A solução é não-singular se a(x) ^ e para todo o x G Cl. Caso contrário, diz-se singular.

Exemplo 1.4. Sejam A = {a.b} e Cl = {;r,y,z,w}. Consideremos a equação

xauzau = yzbxaaby.

Trata-se de uma equação quadrática solúvel. Da equação vem que |x| + |;r|-|-2|tí|-|-2 = \x\ + \z\ + 2\y\ + 4 e portanto \u\ = \y\ + 1. Assim, podemos, sem recorrer a uma procura exaustiva, encontrar soluções singulares e não-singulares.

Como exemplo de solução singular temos

a(x) = e, a(y) = ab, a(u) = bab e a(z) = aba

ficando abababaabab = a(xauzau) = a(yzbxaaby).

Uma solução não-singular será

o~(x) = ab, a{u) — baba, a(z) — ba e a(y) = aba

ficando ababababaababa = a(xauzau) = o~(yzbxaaby).

Exemplo 1.5. Consideremos agora a equação abxcy — ycxba em que A = {a.b,c} e Cl = {x.y}. Estamos novamente em presença de uma equação quadrática solúvel em que

a(x) —a e a(y) — aba é uma solução não-singular.

Note-se que, fazendo y = e a equação fica reduzida a abxc = cxba que não tem solução. Fazendo agora x = e ficamos com abcy = ycba que facilmente se verifica que também não tem solução.

20

1.3 Propriedades combinatórias no monóide livre

Uma sobreposição de duas palavras u e v é descrita pela figura:

u V

Dizse que a parte comum é um factor comum, isto é, temse u = xy e v = zx para algum x £ A+.

Lema 1.6. Sejam x,y,u,v G A*. Se xy = uv e \x\ < \u\, então existe z G A* tal que u = xz e y = zv.

Demonstração. Imediata como podemos ver pela figura:

X y u V

*v

Sendo z o sufixo de u de comprimento \u\ — \x\ obtemos o resultado. D

Duas palavras y, z G A* dizemse conjugadas se xy = zx para algum x G A*.

Lema 1.7. Sejam x,y,z G A* com y, z ^ e. Então y e z são palavras conjugadas com xy = zx se e só se existem palavras r, s G A* tais que y = sr, z = rs e x G (rs)*r.

Demonstração. A implicação recíproca é trivial. Vejamos a implicação directa. Se xy = zx para y, z E A+ e x G A*, então temos, para todo o n > 1, xyn = (xy)yn~1 —

znx, ou seja,

/ i Vn > 1. (1.3)

Então, deduzimos de (1.3) que, para alguns

z = rs e sx = yn.

obtendo assim y = sr e provando o resultado. D

O lema anterior mostra que em monóides livres as palavras conjugadas são obtidas por transposição de factores. Obtemos assim uma outra definição para palavras conjugadas.

Lema 1.8. Sejam x.y G A*. Se xy = yx, então x e y são potências da mesma palavra, isto é, existe z £ A* tal que x.y G z*.

zxyn l = z(xy)yn 2 = z2xyn 2 = ■ ■ ■ =

xyn

Seja n tal que n\z\ > \x\ > (n — 1) r.s G A*, temos

Finalmente, yn — sx — szn r = (sr)

rf* lylh 1 (y>

21

Demonstração. Se x = e, então a conclusão é imediata: basta fazer x = y0 e y = y1. Suponhamos que x ^ e. Pelo Lema 1.7 e vendo x como palavra conjugada dela própria, então existem r, s £ A* tais que x = rs = sr e y £ (rs)*r. Se r = e ou s = e, então o resultado segue de imediato. Caso contrário, concluímos, por indução sobre max{|x|, \y\}, que res são potências do mesmo elemento. Logo, x e y são potências do mesmo elemento. □

A palavra p e A* dizse primitiva se não for uma potência de outra palavra, isto é, se p 7 e e p € r* para algum r G A*, então p = r (ou, de outro modo, se não puder ser escrita na forma p ra com r e i ' e a / 1 ) . Em particular, p é não vazia.

Lema 1.9. Sejam p £ A* uma palavra primitiva e p2 = xpy para alguns x,y £ A*. Então temse x = e ou y — e (mas não ambos, como é óbvio).

Demonstração. Suponhamos que x e y são palavras não vazias. Então temos

p V X V y

r s

p = xr. p = sy e p = rs e portanto rs = xr e rs — sy. Logo, x e s são palavras conjugadas bem como y e r. Pelo Lema 1.7 temos

3a. 6 G A*, a > 0 : x = ab, s = ba e r = (a6)Qa, 3c, d G A*, /? > 0 : r = cd, y = de es = (cdfc,

com a,b,c,dy£ e (senão p não seria uma palavra primitiva). Sendo assim,

1. p = (ab)a+1a,

2. p = (cd)0+1c,

3. p = cdòa,

de onde vem

p2 — cdbacdba = (cd)0+1c(ab)a+1a.

Resulta que bacd = (cd)13c(ab)aa e portanto j3 — 0 ou a = 0 (mas não ambos). Suponhamos, sem perda de generalidade, que f3 = 0 (e portanto a > 0). Então temos òacd = c(ab)aa. Como |6ac| = |caò| obtemos d = (ab)a~1a e, por 2, vem p = ede = c(ab)a~1ac que, por 1, é igual a (ab)a+la. Logo, c = ab = ba. Pelo Lema 1.8, a e 6 são potências da mesma palavra e portanto p não seria uma palavra primitiva, contrariando a hipótese. D

22

Pelo lema anterior é impossível obter a seguinte figura para uma palavra primitiva:

V V V

Lema 1.10. Se x.y G A* têm potências xm e yn com prefixo comum de comprimento \x\ + \y\, então x e y são potências da mesma palavra.

Demonstração. Tem-se que yxm e yn+1 têm prefixo comum de comprimento \x\ + 2\y\, logo yxm e yn têm prefixo comum de comprimento \x\ + \y\. Analogamente, xyn e xm

têm prefixo comum de comprimento |X| + |Í/|. Resulta que xyn e yxm têm prefixo comum de comprimento |x| + \y\ e portanto xy — yx. A conclusão segue pelo Lema 1.8. D

Corolário 1.11. Se xm = yn com x,y E A* e n,m > 1, então x e y são potências da mesma palavra.

Demonstração. Se m = 1 ou n = 1, então a conclusão é imediata. Caso contrário, temos \xm\ = \yn\ > \x\ + \y\ e a conclusão segue do Lema 1.10. D

Corolário 1.12. Se x ^ e, então existem uma única palavra primitiva p e um único inteiro a > 1 tais que x = pa.

Demonstração. Segue imediatamente do Corolário 1.11. D

Corolário 1.13. Se p e q são palavras primitivas e têm potências pm e qn com prefixo comum de comprimento \p\ + \q\, então p = q.

Demonstração. Segue imediatamente do Lema 1.10 e do Corolário 1.12. D

Lema 1.14. A palavra conjugada q = sr da palavra primitiva p — rs é também primitiva.

Demonstração. Sejam x G A+ e a > 1 tais que q — xa. Então existem u, v G A* tais que x = uv, s = (uv)(3u e r — t'(iít;)Q~/3~1. Assim, p = rs — v(uv)a~1u = (vu)a

contrariando a hipótese de p ser primitiva. D

1.4 O grupo livre e a sua representação no monóide livre

Seja X um subconjunto de um grupo G. Dizemos que G é um grupo livre de base X se, para todo o grupo F e toda a função / : X —> F, existe um único homomorfismo

23

(fi : G —> F que estende / : X e *G (1.4)

Y

F

Dado um alfabeto A seja A um conjunto para o qual assumimos que An A = 0 e existe uma bijecção de A em 4 que a cada elemento a E A associa um elemento ã £ A. Temos a i=- ã e assumimos que ã = o para todo o a G A U A. Seja M o monóide livre gerado pelo conjunto A U A equipado com a operação de concatenação de elementos.

O inverso formal ü de uma palavra u G M é a imagem pelo automorfismo

L: M » M u = ai ■ ■ ■ an (—► û = ã^- ■ -aï

com a, G yl U A para todo o 1 < i < n.

Uma palavra dizse reduzida se não tiver factores da forma a ã com a G AU A A palavra vazia e o inverso formal de uma palavra reduzida são palavras reduzidas. Resulta, da definição de palavra reduzida, que uma palavra é reduzida se não tiver factores da forma uü com u G M \ {e}.

Seja Red(A) o conjunto de todas as palavras reduzidas do monóide M. A concatenação de palavras não define uma operação interna em Red(A) pois a concatenação de duas palavras reduzidas poderá não ser uma palavra reduzida. Definimos em Red(A) uma operação de palavras reduzidas u e v, k qual denominamos de multiplicação, como a palavra que é obtida de uv após todos os sucessivos cancelamentos de factores da forma aã com a G A U A. Por outras palavras, se u = u'w e v = wv' com u'v' palavra reduzida, então

u ■ v = u'v'.

É fácil ver que a multiplicação em Red(A) está bem definida e é associativa. A palavra vazia actua como elemento neutro e o inverso formal ü da palavra reduzida u é tal que u-ü — ü-u = e. Assim, Red(A) equipado com a operação de multiplicação é um grupo. A partir daqui usamos as notações G e u~l para nos referirmos, respectivamente, ao grupo Red(A) e ao inverso ü~ de todo o elemento u G G.

Definimos o homomorfismo 0 : M —*• G do seguinte modo:

è: M -> G a i—> a ã i—► a

- 1

Assim, uma palavra u G M representa o elemento 4>(u) G G. Notese que, se u = ai ■ ■ ■ an corn a% G A U A para todo o 1 < i < n, então <p(ü) = <fi(ã~^- ■ -aï) = a"1 ■ • • aj"1 = ( a i o „ ) 1 = (0(t/))_ 1 . Temos ainda que cada elemento de G é representado por uma única palavra reduzida.

24

Seja F um grupo e / : A —■» F uma função. Definimos a função / do seguinte modo:

/ : AuA -+ F a e A f> f(a) ãeJ h (/(a))"1 .

Como M é o monóide livre sobre AU A e F é um monóide, resulta que existe uma aplicação (p tal que o diagrama seguinte comuta:

AuA ;i.5)

Resulta que o homomorfismo

estende / :

V a G A

.4 e —

£(a)

G 1.6)

Y

F A unicidade é imediata. Logo, G é o grupo livre de base A.

Lema 1.15. Seja u G M uma palavra não vazia. Se u ê uma palavra reduzida, então u 7 ü.

Demonstração. Suponhamos que u = ü. Seja u = Oi • • • an com a^ ^ AiJ A para todo o 1 < i < n. Então u = Gq • • • an = ~ã^ • ■ ■ ãí = ü. Resulta que \u\ é par senão teríamos que On+i = an+i contrariando o facto de A D A = 0. Resulta também que a, = an_ í+i

2 2

para todo o 1 < i < n. Mas então temos que u = ax ■ ■ ■ an = ai • é uma palavra reduzida.

2 2 ai que nao D

Uma palavra u é ciclicamente reduzida se for reduzida e não for da forma vu'v onde v é uma palavra nãovazia.

Lema 1.16. Toda a palavra reduzida u G M tem uma única representação da forma vu'v onde u' é uma palavra ciclicamente reduzida.

Demonstração. Sejam ViU^Vi v2u'2V2 com u[ e u'2 palavras ciclicamente reduzi

das. Se \u[\ \u: 21) então resulta que V\ = v2 e u = u'2. Suponhamos, sem perda de generalidade, que \u[\ < \u2

Vi u[ Vi

V2 u'2 V2 Wi w2

25

Então u2 = Wiu[w2, v1 = v2Wi e v[ = w2V2 com wi, w2 G Aí. Resulta que V\ = v2Wi = w2V2 = v2W2 e portanto Wi = w^. Mas então u'2 = wiu[w2 — W\u'{wí não é uma palavra ciclicamente reduzida, contrariando a hipótese. D

Lema 1.17. Sejam u,v G Aí palavras conjugadas. Se u é uma palavra ciclicamente reduzida, então v também é.

Demonstração. Pelo Lema 1.7, duas palavras conjugadas são obtidas por transposição, ou seja, existem r, s G Aí tais que u = rs e v = sr. Suponhamos que v não é uma palavra ciclicamente reduzida. Então v = av'ã ouu = Viaãv2 para alguns v',Vi,v2 G M e a G AU A. No primeiro caso temos a como prefixo de s e õ como sufixo de r e portanto u = rs tem como factor ãa, contrariando a hipótese de ti ser uma palavra reduzida. No segundo caso temos: ou aã é factor de s ou aã é factor de r e portanto u = rs tem factor aã, ou s tem sufixo a e r tem prefixo ã e portanto u = rs = ãu'a para algum u' G M. Em qualquer um dos casos resulta que u não é uma palavra ciclicamente reduzida, contrariando a hipótese. D

Lema 1.18. Sejam u,v G Aí. Se u é uma palavra reduzida e ã é um factor de uv, então u ê factor de v.

Demonstração. Sejam r.s G M tais que uv = rãs. Suponhamos que u não é factor de v. Então \v\ < \üs\ como podemos ver na figura seguinte:

u V

r u s t

Assim, temos que \r\ < \u\ e existe t G M com t ^ e tal que u = rtetv = üs. Obtemos tv = üs = tfs e portanto, como \t\ = |í|, resulta que t — t. Logo, pelo Lema 1.15, t não é uma palavra reduzida e, consequentemente, u não é uma palavra reduzida. D

Corolário 1.19. Se u ê uma palavra reduzida e ü~ é factor de uma potência de umv com m > 1, então ü é factor de v.

Corolário 1.20. Se u é uma palavra reduzida e ü~ é factor de uma potência de u, então u = e.

Lema 1.21. Se u é uma palavra reduzida não-vazia e ambas as palavras u e ü~ são factores de uma potência de uma palavra ciclicamente reduzida v, então existem palavras r, s G M tais que v e urüs são palavras conjugadas.

Demonstração. Sejam a > 1 e v uma palavra ciclicamente reduzida tais que u e ü~ são factores de va. Note-se que, se v é uma palavra ciclicamente reduzida, então va

também é uma palavra ciclicamente reduzida. Consideremos a figura:

26

V V V V

W\ u W2

V\ V2

Sejam w\, w2 € M tais que va = W\uw2. Então uw2W\ e va são palavras conjugadas e u < uw2Wi. Mais ainda, existem V\,v2 £ M tais que v — V\V2 e u>\ = (v\V2)

0vi para algum 0 < P < a. Obtemos uw2W\ — v2{yiv2)

a~lVi = (^2^1)° e portanto u é prefixo de uma potência de uma palavra conjugada de v, v' = v2v\. Assim, u = (v')~iv[ corn v' = v[v'2,v[ ^ e e 0 < 7 < a. Como u é factor de va, então ü é factor de alguma potência de v'. Seja t o maior sufixo de u que é prefixo de v'. Como \u\ = \û\ e u é prefixo de uma potência de t>', temos que t < u, ou seja, u = t ■ ■ ■. Obtemos u = ■ ■ t = ••■te portanto t — t. Pelo Lema 1.15 resulta que t = e. Logo, não podemos ter a figura seguinte:

v' v' u

t

resultando que u é factor de v'. Ainda pela mesma razão, u é factor próprio de v'. Como \u\ \u\ < \v'\ e u = (v r\y v[ com v{ 7 e resulta que 7 = 0 e u = v[. Como u é factor de v' ~ uv2, temos, pelo Lema 1.18 que u é factor de v'2. Logo v'2 = rus para alguns r, s G M. Resulta que v' = v[v2 = urûs e v são palavras conjugadas. D

1.5 Alguns resultados na Teoria de Grupos

Apresentamos em seguida algumas definições e resultados sobre grupos livres que serão necessários na Secção 2.2. Estes resultados são facilmente encontrados em qualquer livro da especialidade. Citamos, em particular, [13, 29].

Lema 1.22. Se F é um grupo livre de base X, então F/F' é um grupo livre Abeliano de base X# = {xF' \ x G X}.

Demonstração. Seja A um grupo Abeliano e / : A# —► A uma função. Definimos

ff- X

x A

f(xF>)

Como F é livre de base A, existe um homomorfismo (p : F —> A que estende / # :

A ' F (1.7)

/# X v A

a1^

27

Notemos que, se x G F ' , então (p(x) = 1 pois A é Abeliano. Logo, F' < Ker ip e portanto existe um homomorfismo

Cp: FI F' -> A wF' i—» ^>(iu)

que estende / : X e - F (1.8)

w

X# c F / F '

Mostremos a sua unicidade. Suponhamos que existe 6 : F/F' —> A tal que 9(xF') = f(xF') para todo o x G X. Seja u : F -H- F / F ' o homomorfismo natural. Então 6ou : F —> A é um homomorfismo tal que 6ou(x) = 9{xF') = f(xF') = f#(x) = <+>(x) para todo o x G X. Como X é uma base de F, temos 9ou — Lp = Çóou. Como u é sobrejectiva, resulta que 9 = Ça. Logo F/F' é ura grupo Abeliano livre de base X # . D

Teorema 1.23 (Nielsen-Schreier). Todo o subgrupo de um grupo livre é livre.

Teorema 1.24. Dois grupos livres são isomorfos se e só se têm o mesmo número de geradores livres. Um grupo livre Fr com um número finito r de geradores livres é livremente gerado por qualquer conjunto de r geradores.

Dizemos que um grupo infinito G tem localmente a propriedade V se ela se verificar para todo o subgrupo finitamente gerado de G.

Seja G um grupo. Definimos o comutador [x. y] com x, y E G por:

[x.y] =x~ly~lxy. (1.9)

Lema 1.25. Sejam x, y e z elementos de um grupo. Então temos

1. [x,y] = [ 'Í/,X]_1;

2. [xy,z] = [x, z]y[y,z}\

3. [x, yz] — [x, z][x, y]z.

onde xy = y~lxy para quaisquer elementos x.y ào grupo.

28

Demonstração. Temos

[x,y] = x ly lxy = {y~xx~lyx)~l

e

[xy,z] = y~lx~lz~lxyz — y~lx~~lz~lx{zyy~lz~l)yz = y~l{x~lz-lxz)y{y-lz-lyz) = [x,z]v[y,z].

De modo análogo obtemos a terceira igualdade. D

29

Capítulo 2

Equações no grupo livre

Em 1958. R. C. Lyndon [18] inicia o estudo de relações em grupos livres provando que as soluções da equação

2 2 2

x =y z são elementos de um grupo cíclico. Desde então uma série de generalizações foram feitas. Em 1959, E. Schenkman [31] obtém a mesma conclusão para a equação

xn = ynzn

com n > 1. Na mesma altura M. P. Schützenberger [30] mostra que a equação

com a,p, 7 > 1 tem também como únicas soluções elementos de um grupo cíclico. Nesse mesmo artigo obtém o mesmo resultado para a equação

— 1—1 n x y xy = z

com n > 1. Neste capítulo estudaremos os dois resultados de Schützenberger e na última secção referimos uma generalização de todos estes resultados obtida por G. Baumslag [6].

2.1 A equação xa = y^z1

Nesta secção procuramos soluções da equação xa = y^z1 num grupo livre G onde a, (3 e 7 são inteiros não-negativos. Temos a solução óbvia em que a(x).a(y) e <J(Z), onde a : Q, —> G, são potências de um mesmo elemento e portanto são elementos de um grupo cíclico. O nosso objectivo é mostrar que estas são as únicas soluções.

Marcel Paul Schützenberger [30] estuda a equação para a, (3,7 > 2. De facto, o problema só tem interesse se nenhum dos expoentes for 0 ou 1. No que se segue

31

baseamo-nos no trabalho de R. C. Lyndon e M. P. Schiitzenberger [19] cuja prova usa somente propriedades combinatórias.

Na Subsecção 2.1.1 reduzimos o problema de encontrar todas as soluções da equação no grupo livre G ao problema de encontrar todas as soluções em duas equações num monóide livre M cujas palavras representam elementos do grupo livre G. Na Subsecção 2.1.2 estudamos as duas equações no monóide M e mostramos que têm somente as soluções triviais.

2.1.1 A redução do problema

Suponhamos que <p(u),(j>(v) e 4>(w) são elementos do grupo livre G que satisfazem a equação

xa = y^z^ (2.1)

onde a, @, 7 > 2. Queremos mostrar que (f>(u), <j>(v) e <f>(w) são elementos de um grupo cíclico, ou seja. são potências de um elemento de G. O nosso objectivo nesta secção é reduzir o problema inicial a outro no monóide M.

Como a cada elemento de G corresponde uma única palavra reduzida em M podemos assumir que u,v e w são palavras reduzidas. Assumimos também que são palavras primitivas. Se assim não for, escrevemos u, v e w na forma

u = (u')a\v={v'f ew = (w'y'

onde u', v' e w' são palavras primitivas. Reduzimos o problema à resolução da equação

xa> a = / ^ 1 ' 7

onde consideramos somente soluções que são palavras primitivas. Queremos então mostrar que u,v e w são iguais ou inversos formais das outras.

Também é claro que se 4>(u),(f)(v) e (p{w) são soluções da equação, então podemos substituir estas palavras pela conjugação por um elemento de G e u, v e w pelas correspondentes palavras primitivas reduzidas u', v' e w' e continuamos a obter uma solução da equação. Se v = rv'f onde v' é uma palavra ciclicamente reduzida, então a conjugação de <p(v) por 0(r) substitui v por v' e portanto podemos assumir que

v é uma palavra ciclicamente reduzida. (2.2)

Podemos assumir também que

vw é uma palavra reduzida (2.3)

como se mostra: se v = w, então a conclusão de que as componentes da solução são iguais ou inversos formais segue de imediato. Suponhamos que v ^ w. Pelo Corolário 1.13, |t>| + |tu| é majorante do comprimento do prefixo comum de potências

32

de v e w. Sejam m, n > 1 os menores inteiros tais que vm e wn não são prefixos do outro. Existem factorizações v = V\V2 e w — W\W2 corn V\ / e e 'iD2 ^ e tais que

vm = vm~l7Ü2 V\ com vm~lV2~ prefixo máximo de w*, wn — wn~1wiW2 com wn~1Wi prefixo máximo de v*.

Suponhamos, sem perda de generalidade, que |ïJm~1^| < |tün_1it;i|. Então obtemos a figura seguinte:

^ m - l V2 Vi V

n—l W W\

de onde se conclui que, se l^f1-1^! < \wn~1Wi\, então contrariamos o facto de F™ - 1^ ser prefixo máximo de w*. Logo, vm~1v^ = wn~lW\ e portanto v2vm~l e wn~1Wi são inversos formais. Resulta ainda que as primeiras letras de v~[ e u>2 são diferentes e portanto viw2 ê uma palavra reduzida. Da conjugação de 4>(v) e (f)(w) por 4>{wn~~lWi) — 0(:ym~1ü^) obtemos

= <t>{v2vm-lvvm-lví) = (f)(v2vvl)

e

(Kwn~VrVM<M'«;n~V) = 0(w^_1)0(w)<Kwn~V) = <fi(wï wn~1wwn~1Wi) = 4>{wlwwi) = 0(u'2tí'i)

ou seja, temos a substituição de v por u' = t^fi e iü por u/ = ii^iui. Como ü é uma palavra ciclicamente reduzida, então v' é uma palavra ciclicamente reduzida. Além disso, como V\W2 é uma palavra reduzida e V\,W2 ^ e. resulta que v'w' é uma palavra reduzida.

Mostramos ainda que podemos assumir uma das duas condições:

Caso I: u é uma palavra ciclicamente reduzida

Caso II: w é uma palavra ciclicamente reduzida

Usamos indução sobre \u\. Se \u\ — 1, então u é uma palavra ciclicamente reduzida. Suponhamos que (2.2) e (2.3) são satisfeitas mas que u e w não são palavras ciclicamente reduzidas. Então u = au'ã com a e A u A e portanto a palavra reduzida

33

a(u')aã que representa {<j){u))a tem prefixo a e sufixo ã. Como vw é uma palavra reduzida, temos que a palavra reduzida que representa 0(i>)/3^(w)1 começa com a mesma letra de v e termina com a mesma letra de w. De modo a que a equação (2.1) seja satisfeita resulta que v começa com a letra a e w termina com a letra ã. Assim, v = av0 e w = aw'ã pois w não é uma palavra ciclicamente reduzida. Conjugando 4>(u),ó(v) e 4>(w) por 0(a) substituímos u,v e w por w',t>' = y0a e u/. Como v é uma palavra ciclicamente reduzida, então v' também é. Temos ainda que v'w' é uma palavra ciclicamente reduzida pois v' = v0a com a ^ e e, como tu = aw'ã é uma palavra reduzida, então aw' é uma palavra reduzida. Portanto v'w' = v0aw' é uma palavra reduzida. Assim sendo, as condições (2.2) e (2.3) são satisfeitas quando u ê substituído por u' onde \u'\ = |w| - 2. A conclusão segue por indução.

2.1.2 A equação no monóide livre

Nesta subsecção resolveremos a equação no monóide livre considerando os Casos I e II da secção anterior. Notemos que os dois casos não são disjuntos. De facto, quando estudarmos o Caso II reduzi-lo-emos à sua intersecção com o Caso I. Para esta intersecção, isto é, quando u e w são palavras ciclicamente reduzidas, o argumento do Caso I pode ser simplificado.

2.1.2.1 Caso I: u é uma palavra ciclicamente reduzida

Escrevemos w na forma rw'r onde w' é uma palavra ciclicamente reduzida e r poderá ser a palavra vazia. Como u e v são palavras ciclicamente reduzidas e vw é uma palavra reduzida, obtemos a igualdade

ua = v0f(w'yr (2.4)

que supomos ser válida em G. Como ambos os membros são palavras reduzidas eles são iguais em M. Vamos mostrar que r = eeu = v = w'. Usamos indução sobre |u|. O caso \u\ = 1 é óbvio: u é uma letra e portanto ua é potência de uma letra. Logo, u = v = w' e r = e visto vw ser uma palavra reduzida.

A igualdade (2.4) leva à igualdade

(u')a = (yyrv^T (2.5)

onde u' é um conjugado de ü.

Se | i r | > \u\ + l'i'l, então ua e v13 têm um prefixo comum de comprimento \u\ + \v\ e portanto, pelo Lema 1.10, temos u = v. Suponhamos que

l ^ - 1 | < \u\ e, por simetria, usando (2.5), que

ICÍ//)7"1! < |«|.

34

Pelo Lema 1.21, como r e r são factores de ua, existem s,t G M tais que u — srtr e

xrr = uaisr (w 'ÏÏ, tru Q'2

ai ! < \v0\ Como \v0 l\ < \u\, então \v0\ < \u2\ e com «i + «2 + 1 = o. Logo, |w portanto a\ < 1. De modo análogo, concluímos que a2 < 1 e portanto a < 3. Como a > 2, temos a = 2 ou a = 3.

Suponhamos que a = 2. Por simetria, assumimos que a\ = l e a2 = 0. Obtemos v0 = us = sftrs e ( I Í / ) 7 = t. Logo, u^ = sf(w')1rs. Assim, existe uma palavra conjugada v' de t> tal que

(v'f = s2f(i6>')7r (2.6)

que é uma igualdade da forma inicial: v' é uma palavra ciclicamente reduzida visto v e v' serem palavras conjugadas e v ser uma palavra ciclicamente reduzida e s é uma palavra ciclicamente reduzida pois, caso contrário, v0 = sftrs não seria ciclicamente reduzida. Como

Kl = M < k,/3_1l < M concluímos, por indução, que r — e e v' = s = w' e portanto, como v13 = sf(w')1rs, resulta que v = v' = w'. Obtemos de (2.4) a igualdade ua — v3+1'. Logo, pelo Corolário 1.13, como u e v são palavras primitivas, temos u = v = w'.

Se a = 3, então ai = OL-I = 1 visto termos oti, a% < 1. Obtemos

v13 — us = srírs e (tü /\-y trsrt.

Por simetria podemos supor que |(u»')7| < |v^| e portanto |£| < |s|. Como {v13'1] < \u\ e v0 = us, temos |s| < \v\. Segue de v0 = sftrs que v tem s como prefixo e sufixo. Pelo Lema 1.7, como f = s ••• = ••• s, temos s = {pq)kp e v — (pq)k+1p com p, q palavras reduzidas tais que p,q ^ e pois v é uma palavra primitiva. Assim, v = sqp = pqs e portanto, como v0 = sftrs, obtemos

ftr = qpv0~2pq.

Se |ç| < \r\, então r tem q e q como sufixo o que, pelo Lema 1.15, é impossível pois q ^ e é uma palavra reduzida. Logo, \r\ < \q\ e f é prefixo de ç e r é sufixo de ç. Se houver sobreposição defer como na figura

r Çi 92 qs

r

com gi,(?2 e <?3 palavras reduzidas, obtemos f = q\q2 e r = q2q3 e, consequentemente, f = ç:g2 = 03 Õ2- Logo, q2 = ~q~2 o que é impossível pois g2 é uma palavra reduzida. Assim, q = fq'r com q' palavra reduzida e g ' ^ e (senão q não seria palavra reduzida) e

t = q'rpv0~2pfq''.

35

Como \t\ < \s\ < \v\, obtemos (3 = 2 e t = q'rp2fq'. Temos

2|p| + \q\ < \t\ < \s\ = (k + l)|p| + k\q\

e portanto k > 2.

A relação

(u/)7 = írsfí _ q'rp2fq'r(pq)kpfq'rp2fq' = q'rp(pq)k+2p2fq',

pois g = rç'r, implica que

(^")7 = (pq)k+2p2f(q')2rp

onde w/' é uma palavra conjugada de w'. Como k > 2 obtemos

\qp2f(q')2rp\ < 4\p\ + 3\q\ < \{pq)k+lp\.

Assim

| K ) 7 | = \{pq)k+lp\ + \qp2f{q')2rp\ < 2\(pq)k+1p\

e, como 7 > 2, temos \w"\ < \(pq)k+1p\. Portanto, (w")7 e (pq)k+3 têm prefixo comum de comprimento superior a \w"\ + \pq\. Pelo Lema 1.10 e pelo Corolário 1.12, como w" é primitiva, então pq é uma potência de w". Como (pq)k+2 e (pq)k+2p2f(q')2rp são potências de w", resulta que p2f(q')2rp é uma potência de w". Logo, p3f(q')2r é uma potência de uma palavra w'" conjugada de w". Da relação

\w'"\ = \w"\ < \pq\ < \p3f(q')2r\.

pois pq é potência de w", obtemos

(w'")s = p3f(q')2r (2.7)

para algum S > 2 que é novamente uma igualdade da forma (2.4). Notemos que p é uma palavra ciclicamente reduzida pois é prefixo e sufixo de vevé uma palavra ciclicamente reduzida. De modo análogo, como w' é uma palavra ciclicamente reduzida e tem como prefixo e sufixo a palavra t e portanto a palavra q', temos que q' também é uma palavra ciclicamente reduzida. Finalmente, w'" é uma palavra ciclicamente reduzida pois w' e w'" são palavras conjugadas e w' é uma palavra ciclicamente reduzida. Como \w'"\ = \w'\ < \{w')'1~1\ < \u\, concluímos, por indução, que r = e e p — q' = q são potências de um mesmo elemento, que contradiz a hipótese de v = (pq)k+1p ser palavra primitiva. Logo, o caso a — 3 é impossível.

36

2.1.2.2 Caso II: w é uma palavra ciclicamente reduzida

Escrevemos u na forma u = ru'r onde v! é uma palavra ciclicamente reduzida e r poderá ser a palavra vazia. A igualdade em G é representada em M pela igualdade

f(u')ar = v^w1 (2.8)

onde as palavras de ambos os membros são palavras reduzidas e u',v e w são palavras primitivas. Vamos mostrar que r = e e u' = v = w. Para reduzirmos ao Caso I basta mostrar que r = e.

Se |u;7| < \r\, então r = sw1 para algum s. Após cancelarmos o factor w1 de cada membro, obtemos vPs(u')as = v0. Esta igualdade reduz-se ao Caso I e é verdadeira se e só se w — v, o que contradiz a hipótese de iriu7 ser uma palavra reduzida. Logo, podemos assumir que \r\ < \w^\ e, por simetria, que \r\ < \v^\. Segue, pelo Lema 1.6, que

r = v^Vi = w2w72, (u')aiui = v2ví3\ (2.9)

w^Wl = u2(u')a2

com v! = Uiu2, v = viv2, w = Wiw2, ai+a2 + l = a, /5i+/32 + l = (3 e 71+72 + I = 7. Deste sistema podemos obter os dois seguintes:

(2.10) r' = (u')aiui = V2(Vi V2f2

WllWi = u2(u'Y\ (vT V2)PlVÏ = W2W12

vP2w2 — Vi v131,

{vJ)a2W2 = wlüF\ (2.11) v$2W2 = üí(v/)ai.

Portanto, a hipótese nos seis expoentes de que existem um elemento r e factorizações das palavras primitivas u', v e w que satisfazem o sistema (2.9) é simétrica à permutação cíclica dos pares (ai,a2), (Pi,32) e (71,72) que nos conduz ao sistema (2.10) e também à troca do par (fii,fi2) com (71,72) seguida da inversão dos três pares que nos conduz ao sistema (2.11).

Usando esta simetria reduzimos a discussão de (2.9) aos três casos:

Caso A: Uma das equações tem os expoentes nulos;

Caso B: a:i,/?i,7i > 0 ou a2, 32, 72 > 0;

37

Caso C: Aqui tratamos o caso que resta. Evitando o Caso B, assumimos que Pi = 0. Como Pi + fl2 + 1 > 2, temos ft / O . Para evitarmos o Caso A, assumimos que 72 ^ 0. Podemos assumir que a2 = 0 para excluirmos o Caso B e, como Q'i + tt2 + 1 > 2, temos a1 ^ 0. Finalmente fazemos 71 / 0 para evitar o Caso A. Obtemos Pi — a2 = 0 e «i, /32,7i, 72 > 0.

Estudemos então estes três casos:

Caso A: Suponhamos que os dois expoentes da primeira equação do sistema (2.9) são nulos. Obtemos a equação r = v{ = w2. Então temos v = fv2 ew — Wir e substituindo na equação (2.8) e cancelando o primeiro f e o último r obtemos a equação

(u')Q = (v2ff-1v2wi(rwiy~1. (2.12)

Se \(v2f)l3~1v2\ > \v2r\ + \u'\, segue do Corolário 1.13 que u' = v2f visto que vi e i>2r, que é uma palavra conjugada de v, são palavras primitivas. Como fu'r é uma palavra reduzida, então r = e.

Assumimos agora que

\(v2ff-2v2\ < \u'\.

Se Kv^)13'1] = \u'\, então temos u' = (v2f)d~l e, como fu'r é uma palavra reduzida, r = e. Assumimos então que u' ^ (f2f)/3_1. Vamos mostrar que a desigualdade \u'\ < \{y21fY~1\ é impossível. Esta desigualdade faz com que o primeiro factor u' de (2.12) tenha prefixo v2 e o segundo tenha prefixo r2v2 para alguma factorização r = rxr2 com ri,r2 ^ e pois \{v2r)P~2v2\ < \u'\ < |(v^f)13'1 \. Pelo Lema 1.7, como v2 • • • = r2v2, temos v2 = (pq)kp como factor de uma potência de r2 = pq. Assim, existe um conjugado u" de u' tal que

(u"Y = (fv2f-lwi{rwiy-lv2.

Pelo Lema 1.21 resulta que existem s, t G M tais que «" = fsrí e, como

\u"\ = \u'\<\(v2f)^i\ = \(fv2y-i\,

concluímos, pelo Lema 1.18, que r é factor de v2. Mais ainda, como f é factor de r = T2 77, r é factor de i'2 e u2 é factor de uma potência de r2, temos que fj é factor de uma potência de r2 que, pelo Corolário 1.20, contradiz a hipótese de r2 ^ e. Assim, podemos, por simetria, assumir que

l^ff-'l < \u'\ e Krwi)7"1! < \u'\. (2.13)

Resulta que (u')a~2 é factor de v2wx. Por (2.13) temos que |i>2|, |u»i| < \u'\ e portanto l'^wil < 2\u'\. Segue que a — 2 < 2, ou seja, a = 2 ou a = 3.

Se a = 2, supomos, por simetria, que

\(:v2rf-lv2\ > \wi{rw1y-1\.

38

Resulta que (f2r)a_1t»2 = U\U2Ui e u2 = iüi(riüi)7_1 com v! = Uiu2. Logo, (t^r)'3 = UiWi(rwi)1~1Uif e (v/)/3 = (uiT)1UiWi(rwi)'y~1 onde ?/ é uma palavra conjugada de v (visto que v e v2f são palavras conjugadas). Como esta equação é da forma (2.12) com \v'\ = \v2r\ < \u'\, concluímos, por indução sobre \u'\, que r = e.

Se a = 3, então (3 e 7 não podem ser ambos superiores a 2 senão, por (2.13), teríamos 2|-u2|,2|u>1| < \u'\ e, como (u')a~2 = u' é factor de v2Wi, obteríamos

\v2\ + \wl\ < |w'| < |f2^l|-

Por simetria, suponhamos que (3 = 2. De (2.12) obtemos

(ti')3 = V2fV2Wi(rWiy~l.

Resulta que existem factorizações v2 = V3V4 e w 1 = tí^u^ com 1*3, W4 7 e tais que

w' = V2fV3 = V4W3 = 1Ü4(rU>i)7_ .

Como t'2 = V3V4 e U4 são prefixos de v!, segue do Lema 1.7 que t>3 = pg e u4 = (pq)kp para alguns p, g 6 M e k > 0. Assim, î^fi^ = i ^ r t ^ = f4w3 implica que w3 = qpfpq e V4W3 = w^rwi)1'1 implica que W3V4W3 = Wi(rwip~l e portanto

Í Í ' I ( ™ I ) 7 _ 1 = qpf(pq)k+2pfpq.

Como |IÜI| > \ws\ = \qpfpq\, existe h > 1 e uma factorização pq = t\t2 com t\ 7 e tais que a primeira ocorrência de W\ na expressão «^(ruii)7-1 tem a forma toi = qpf(pq)hti. Assim, M2Í1 e rpg são sufixos de W\. Como |í2ti| = \pq\, resulta que, se r ^ e, f termina com a mesma letra que ti e, consequentemente, com a mesma letra que W\, contradizendo a hipótese de w%r ser uma palavra reduzida. Logo, r = e.

Caso B: Assumimos que ai,/3i,7i 7 0 e, permutando ciclicamente os elementos do sistema, assumimos também que \w\ < \u'\. Da igualdade

w7lu>i = u2(u')a'2 com 7i 7 0

concluímos que w é prefixo de (u2Ui)a2+1 e, como \w\ < \u'\ = |u2^i|, w é prefixo de u2ui. Da igualdade

(u')aiui = v2v^2 com «i 7 0

concluímos que u2U\ é sufixo de y^2+1 e portanto w é factor de ir2 + 1 . Da igualdade

v01vi = vT2W2~ com ft 7^0

resulta que v é prefixo de vP2+1, ou seja, existe uma factorização w = t\t2 tal que v = (tit2)sti com t 1 7 ^ e e 0 < 5 < 7 2 . Assim, o factor w de t>^2+1 tem como sufixo um prefixo si 7 e de ttJ, ou seja, w = s3Si e w = Sis2 para alguns s2 e s3. Resulta que w = S3S1 = S2 sY e portanto S\ = ~sî o que é impossível pelo Lema 1.15 pois Si 7 e e Si é uma palavra reduzida visto ÜJ ser uma palavra reduzida. Logo, o Caso B é impossível.

39

Caso C: Temos a2 = A = 0 e «i, #2,71,72 > 0. O sistema (2.9) tem a forma

(«T'«i = v2vl3\ (2.14) U2 = W7lWi.

Se M2 é factor de V\, então 10, que é factor de u2, é também factor de V\. Logo, pela primeira igualdade, w é factor de uma potência de w. Pelo Corolário 1.20 temos w — e. Concluímos, por simetria, que nem u2 nem vx são factores um do outro. Se tivermos \{u')aiui\ = \v2V^\ > \u'\ + \v\, então, pelo Corolário 1.13, resulta que ulu2 = v2vi e portanto ou u2 ou V\ é factor do outro. Logo, \(u')aiui\ = \v2v^2\ < \u'\ + \v\. Por simetria, assumimos que \v\ < \u'\. Logo, |(w')Qlui| < 2\u'\ e portanto ax = 1. Obtemos |MIM2«I| < |u'| + \v\ e portanto \ux\ < \v\. Se 32 = 1, então segue da igualdade UiU2Ui = v2vxv2 que u2 é factor de vx ou i\ é factor de u2. Se j32 > 2, então da igualdade Uiu2Ui = v2v02 = v2viv2vf32~2viv2 e como |m| < \v\, resulta que (y2vi)02~2v2 é factor de u2 e portanto v\ é factor de u2. Concluímos que (32 = 2 e portanto temos a igualdade

u\u2ux = v2v1v2viv2. (2.15)

Como \u\\ < \v\ = \v2vi\, resulta que \u2\ > \v2\ e ainda que u2 = S\V2s2 com \s\\ = \s2\. Obtemos de (2.15) que UíSi = v2V\ e s2Ui = vxv2. Como vx não é factor de u2 = Siv2s2, então v\ não é factor de S\ e, como U\S\ = v%Vi, temos |si| < \vi\. Como |s2 | = |si| < \v\\ e s2U\ = ^^2 , resulta que s2 é prefixo de ui = vT2w^. Se |iu| < |s2 |, então w é prefixo de s2 que, como s2 é factor de u2 = w^wi, contradiz o Corolário 1.20. Concluímos que \si\ = \s2\ < \w\. Assim sendo, como u2 = Siv2s2 = w^Wi e sxv2s2 < SiV2Vi, temos w como prefixo de Siv2vx pois 71 > 0. Por outro lado, s2v2Vi = s2u\Si = ViV2S\ tem prefixo w pois 72 > 0. Como |si| = \s2\ < \w\, existe um prefixo s de v2vi, com S / Í . tal que w = SiS e w = s2s. Isto implica que w = s\s = s si que contradiz a hipótese de w ser uma palavra ciclicamente reduzida.

2.2 A equação x y xy = z11

Schützenberger [30] mostra também que a equação

x-'y-'xy = zn (2.16)

tem como únicas soluções as soluções triviais, ou seja, soluções que geram um grupo cíclico. Nesta secção apresentamos a prova do mesmo resultado obtida por Baums-lag [5]:

Seja n > 1. Então um comutador num grupo livre é uma potência de ordem n se e só se é a identidade.

40

Seja F um grupo livre nãoAbeliano e suponhamos que existe um elemento nãotrivial f £ F tal que

fn = [g,h],

com g, h G F.

Notemos que / = /1/2/1, onde /1./2 são palavras e f% é uma palavra ciclicamente reduzida nãotrivial, representa o elemento do grupo. Assim, fn = fif^fi, onde = representa a igualdade no grupo F, é nãotrivial para todo o n ^ O visto que / ^ é uma palavra ciclicamente reduzida nãotrivial. Isto mostra que fn 7 1 e F é localmente infinito. Resulta que g e h não comutam.

Consideremos agora o subgrupo G de F gerado por f.geh:

G = (f,g,h).

Pelo Teorema de NielsenSchreier temos que G é um grupo livre visto ser um subgrupo do grupo livre F. Pelo Lema 1.22 temos que G/G' é um grupo livre Abeliano de característica m, onde m é a característica de G.

Notemos que G/G' ~ Zm e portanto, se ( / 1 , . . . , fm) G Zm é tal que n ( / i , . . . , /m ) = (0 , . . . , 0), então ( / 1 , . . . , /m) = (0 , . . . , 0). Como / " G G', resulta que

(/G")n = JG' ■■■ fG' = /nG" = G"

e portanto / G ' = G', ou seja, / G G'. Logo, G/G' tem característica 2 e é gerado por gG'ehG':

G/G' = (gG',hG').

Consequentemente, G tem também característica 2. Notemos que G não pode ter característica 1 senão seria cíclico e, consequentemente, Abeliano, contradizendo o facto de g e h não comutarem.

Vamos agora mostrar que existem dois elementos g* e h* que geram G e tais que g*G' = gG' e h*G' — hG'. Sejam gx e g2 dois elementos que geram livremente G. Consideremos o homomorfismo natural G —» G/G' e o automorfismo (p de G/G' que envia g\G' em gG' e ^ G ' em hG'. Queremos mostrar que existe um automorfismo (p de G que torna o diagrama seguinte comutativo:

G ^G/G' (2.17) 1

3 01

G G/G'

Para isso, basta mostrar que o homomorfismo natural de grupos

Aut G * Awí G/G'

é sobrejectivo. Notese que, para todo o grupo H, Aut H equipado com a operação de composição é um grupo. Como G/G' tem característica 2, temos que G/G' ~ Z2.

41

Notemos que

^ z » - ( * - ( j « ) , w = ( ; j ) l W - ( - i j ) : i e z ) .

A ipi, ipx G AutG/G' com. i 6 { l , 2 } e x G Z correspondem automorfismos <£j e ^ x de G definidos por:

tpx: G ^ G , <pi\ G + G e ^ 2 : G ^ G 01 ^ 0 1 01 •-* 02 01 H-» ft

1

02 ►"♦ 0f02 02 ^ 0 1 02 l-> 02-

O automorfismo p de G/G' é um produto de ^ , pr1 , ipx e '0~1 com i G {1,2} e x G Z. A este produto corresponde o produto de (p^ (p~l, ipx e tp'1 com i G {1,2} e x € Z que define um automorfismo ^ de G tal que o diagrama (2.17) comuta. Resulta que

g* = gg' e h* = htí com g',h'eG'. (2.18)

Pelo Teorema 1.24 temos que, se um grupo livre de característica m é gerado por m elementos, então estes m elementos constituem um conjunto de geradores livres. Assim, g* e h* constituem um conjunto de geradores livres de G.

Seja agora H o grupo nilpotente de classe 2 definido do seguinte modo:

H = (a, b | a"2 = 6n2 = 1, [a, 6] = a" = bn).

Temos ainda que o centro de H, Z(H), coincide com o seu derivado, H', e tem ordem n. Vejamos que estas propriedades se verificam.

Pelo Lema 1.25 resulta que, no grupo H,

[a\b] = [a.b}a[a.b} = (an)aan = a2n

e, por indução sobre k, obtemos

[ak,b] = [ak\b]a[a,b] = (a{k~1)n)aan = akn.

Resulta que [an,b]=an2 = 1.

Concluímos que an comuta com b e, trivialmente, com a. Como estes dois elementos são geradores de H resulta que

an= [a,b] G Z{H).

Vamos mostrar que, para todos os u.v G H, temos [u.v] G (an) = (bn). Procedemos por indução sobre o comprimento mínimo das palavras que representam u e v. A base de indução é óbvia. Se \u\ = \v\ — 1, então u. v G {a, b} (notese que a 1 e b~l podem

42

ser escritas como potências positivas de a e b, respectivamente, pois an = bn = 1). Temos

[o, a] = 1, [6,6] = 1, [a, b] = an e [b, a] = [a, ò]"1 = (a")"1

e portanto [u.v] G (an). Por simetria, seja u = UiU2 com Ui, u2 palavras não-triviais. Então temos

[u,v] = \uiu2,v] = [uuv]U2[u2lv].

Por hipótese de indução, os comutadores [UÍ,V] com i G {1,2} são potências de an G Z(H). Resulta que a conjugação destes comutadores por qualquer elemento é a identidade e portanto [u,v] G (an).

Concluímos que H' < Z{H) e portanto H é nilpotente de classe 2. Mais ainda, temos que H' = (an) tem ordem n. Falta mostrar que Z(H) < H'. Temos

[a, b] = a" ^ a~lb-lab = an & ab = ban+1.

Resulta que todo o elemento de H pode ser escrito na forma b%o? para alguns i,j. Suponhamos que u = blaj G Z{H). Então [u,a] — [u,b] = 1. Notemos que

[6V,a] = [VaJ-Ka^la.a] = [Va1'1, a]

- [b\a] = [bz-\a]b[b,a]

= MF

pois os comutadores são elementos centrais. Resulta que

[blai,a] = [b.a]1 = a~m = 1,

e, de modo análogo, [òV,fe] = [a,b]j = ajn = l

e portanto, como an tem ordem n, temos que i e j são divisíveis por n. Logo, como an — bn G H', resulta que u é um produto de comutadores e portanto u G H'.

Seja -0 o homomorfismo de G em H definido por

</;(</*) = a e é(h*) = b.

43

Segue de (2.18) e do facto de H' = Z{H) que

V{\g,h\) = i>([g*g'-\h*h'-1])

= mglïigT'-mMhr1} = \ay(g')-1 Mitiy1} = yjig^a-'ilJih'ïb-'atig'y'biPiti)-1

= a~lb~lab = [a.b]

visto que, como ip é sobrejectiva, ip(G') = i>([G.G}) = [ib{G),t/j(G)} = [H. H] = H1 = Z(H).

Como / " = [g, h] e tp{fn) = ip([g, h]) = [a,b]^l, resulta que ip(fn) tem ordem n. No entanto, / <= G1 e, consequentemente, a sua imagem por ip está em # ' . Mas H' tem ordem n e portanto

Wn) = W ) )

n = 1. Logo, ip(fn) é simultaneamente um elemento de ordem n e um elemento de ordem 1, o que é impossível. Portanto, fn não pode ser um comutador.

2.3 A generalização de Baumslag

Em 1965, G. Baumslag [6] obtém uma generalização de todos estes resultados no seguinte teorema:

Teorema 2.1. Seja w = w(xi, x2, ■. ■, xn) um elemento de um grupo livre F livremente gerado por x1,x2, xn que não é uma potência própria nem um elemento básico. Se gi, g2. ■ ■ ■, gn, g são elementos de um grupo livre ligados pela relação

w(gi,g2, ■■■,gn) = gm com m > 1,

então a característica do grupo gerado por g1. g2..... gn. g é menor ou igual a n 1 .

Um elemento f £ F dizse um elemento básico se estiver contido em algum conjunto de geradores livres de F. No artigo de Baumslag bem como na linguagem da Teoria de Grupos é usado o termo primitivo. Optamos pela designação anterior para que não haja confusão com a definição de palavra primitiva que é usada no decorrer desta monografia.

Resulta, em particular, que nas condições do teorema anterior e fazendo n = 2, qualquer equação da forma

w(x, y) = zm com m > 1

possui como únicas soluções elementos de um grupo cíclico desde que w(x, y) não seja uma potência própria nem um elemento básico do grupo livre em {x,y}.

44

Assim, se mostrarmos que x^x2 com a, j3 > 2 e x^1X21X\X2 n ^° s^° potências próprias

nem elementos básicos, onde xx e x2 são geradores livres de um grupo livre F, então obtemos os resultados das Secções 2.1 e 2.2. E óbvio que não se tratam de potências próprias. Quanto a serem elementos básicos a conclusão não é simples. Magnus, Karrass e Solitar [20, p. 121] afirmam que é extremamente difícil decidir se uma dada palavra é um elemento básico. Num artigo posterior, Cohen, Metzler e Zim

mermann [7] respondem à nossa questão provando, entre outros, os lemas seguintes:

Lema 2.2 (Nielsen). Suponhamos que w — x " 1 / 1 • • -xaqy0q é um elemento básico do grupo livre em x e y, onde q > 2 e os expoentes indicados são nãonulos. Então todos os expoentes a^ com 1 < i < q têm o mesmo sinal e todos os expoentes /5, com 1 1 e todos os expoentes são nãonulos. Assumimos que «x > 1 e pi > 0. Então ft = fo = ■ ■ ■ = pq = 1.

Resulta do lema anterior que x°x2 com a,d >2 não é um elemento básico.

Em conclusão, neste capítulo ficamos a conhecer um conjunto de equações no grupo livre para as quais conseguimos identificar o seu conjunto de soluções.

45

Capítulo 3

O Algori tmo de Makanin para equações no monóide livre

Enunciando a decidibilidade de um sistema de equações de palavras, Makanin [21] apresenta um algoritmo de decisão que, sem perda de generalidade, soluciona o problema para uma única equação.

Neste capítulo basear-nos-emos numa exposição de Volker Diekert [17] acerca do trabalho de Makanin apresentando um algoritmo para a resolução de sistemas de equações no semigrupo livre.

Volker Diekert no seu "Makaniris Algorithm" faz uma exposição com tudo o que é necessário do famoso teorema de Makanin. Inspirado em Schulz [32] mostra o resultado de Makanin de um modo mais generalizado:

Dada uma equação E = D e uma lista de linguagens racionais Lx Ç A* onde x £ Û é uma incógnita e ^ é o alfabeto das constantes, é decidível a existência de uma solução a : Q —» A* que, além de o~(E) = o~(D), satisfaz as restrições racionais a(x) G Lx para todo o x G i l

Usando um ponto de vista algébrico, restrições racionais levam ao trabalho num semigrupo finito mas não será necessário nenhum resultado profundo nesta teoria e a prova do resultado de Makanin não será mais complicada.

Na Secção 3.1 iniciamos o nosso estudo apresentando um algoritmo muito simples para a resolução de um grupo especial de sistemas de equações, onde cada variável ocorre no máximo duas vezes.

A redução do problema numa fórmula proposicional de equações ao problema numa única equação é feita na Secção 3.2. Aqui também é feita a redução do problema numa equação num alfabeto com cardinal arbitrário ao problema numa equação num alfabeto de duas letras.

47

O resto do capítulo é dedicado à construção do Algoritmo. Na Secção 3.3 introduzimos as noções de torre dominó, expoente de periodicidade, formas normais estáveis e escolhemos um semigrupo e um homomorfismo de semigrupos que nos permitirão solucionar a equação satisfazendo as restrições racionais. Na Subsecção 3.3.3 mostramos ainda que, se houver unicamente uma variável na equação, então uma descrição paramétrica do conjunto de todas as soluções pode ser calculada em tempo polinomial. Na Secção 3.4 calculamos um majorante para o expoente de periodicidade e explicamos que este majorante por si só não soluciona o nosso problema de decidibilidade. É então que passamos à construção de um sistema de equações fronteira (Secção 3.5), definimos as regras de transformação para estes sistemas (Secção 3.8) e construímos o grafo de procura do Algoritmo de Makanin. Na Secção 3.7 definimos cadeia convexa e condição da cadeia convexa que, juntamente com o majorante calculado na Secção 3.4, produzirá um majorante que irá garantir a paragem do Algoritmo: ou fornecendo uma solução, ou respondendo não à existência desta. Nas Secções 3.6 e 3.9 fundamentamos toda a estratégia da resolução do problema.

O algoritmo que aqui apresentamos pode ser implementado em espaço exponencial. Embora não seja óptimo para a resolução do problema, visto Plandowski (1999) ter mostrado que tal resultado pode ser decidido em espaço polinomial (PSPACE), resultados experimentais indicam que o algoritmo de Makanin é bastante apropriado para aplicações práticas. Um ingrediente importante no trabalho de Plandowski é o uso de dados comprimidos em expressões exponenciais (por exemplo: usa a(aba)3ab em vez de aabaabaabaab). Makanin, não fazendo uso disso, escrevendo todas as equações por extenso torna mais fácil o seguimento de uma estratégia durante a procura de solução.

3.1 Sistemas quadráticos: um algoritmo de decisão

Dizemos que

f(n) G 0(g(n)) se e só se 3c, 3n0,Vn > n0, | / (n) | < c\g(n)\.

Consideremos uma sucessão Si.S2..-. de sistemas quadráticos onde Sn = {En\ = Dni,...,Enk = Dnk}. Seja \\Sn\\ — J2i=i \EniDni\ o comprimento notacional de Sn. Seja g(n) = \\Sn\\. Usando indução sobre |fi| descrevemos um algoritmo de decisão não-determinístico que soluciona a questão da existência de solução em espaço f(n) e 0(\\Sn\\):

O caso O = 0 é trivial.

Seja 0, ^ 0. O primeiro passo consiste em procurar a existência de uma solução singular de S, ou seja, de uma solução o : Çl —> A* tal que a(x) = e para algum x e Q. Para isso, escolhemos, de um modo não-determinístico, algum Q' Ç Q e substituímos todas as ocorrências de x E ÍT pela palavra vazia. Obtemos assim um

48

novo sistema S' nas variáveis Ü \ Q' e, recursivamente, se ü' ^ 0, decidimos, em espaço linear nãodeterminístico, se S1 tem solução. Posto isto, procuramos somente as soluções nãosingulares de S. Consideremos a primeira equação. Se for da forma ax ■ ■ ■ = 02 ■ • • com ai, a2 G vi, então teremos um dos seguintes casos: ou ai 7 a2 e portanto a equação não terá solução e por conseguinte o sistema não será solúvel, ou ai = a2 e então o conjunto de soluções desta equação é igual ao conjunto de soluções da equação que resulta de retirarmos a primeira letra de cada membro da equação. Procedemos deste modo até que a equação tenha uma das formas

x • ■ • = a • • • com x G í}, a G A ou x ■ ■ ■ = y ■ • • com x G ü, y G Q, x ^ y.

Por simetria, podemos escrever x — az ou x = yz onde z é uma nova variável. Substituindo as ocorrências de x por az ou yz e cancelando a ou y respectivamente, obtemos um novo sistema sem a variável x e onde z aparece no máximo duas vezes. Estamos em presença de um novo sistema quadrático S' onde o número de variáveis se manteve e ||<S'|| < ||<S||.

É claro que, se S tem solução nãosingular, então *S' é solúvel podendo ter a solução singular a(z) = e. De qualquer modo, se S' é solúvel, então S também é solúvel.

Seja agora a : 0, —> A* uma solução nãosingular de S onde J2xen \a(x)\ & mínimo. Procuramos uma solução a' G S' com \cr'(z)\ < \a(x)\ visto que a(y) ^ e pois supusemos que as soluções de S são nãosingulares. Assim sendo, o comprimento de uma solução mínima diminuiu. Usamos os mesmos processos no sistema S' e sucessivamente nos novos sistemas que são obtidos. O processo pára: ou obtemos uma equação trivial e portanto a solução está determinada, ou chegamos a uma equação impossível, ou ainda entramos num ciclo fechado e, pelo facto dos comprimentos das soluções estarem a diminuir, temos a garantia de, a dada altura, como a solução terá de ser a palavra vazia, obtermos uma equação impossível. Isto mostra que um processo nãodeterminístico encontrará uma solução, se ela existir.

O espaço requerido para este algoritmo é linear mas a sua complexidade temporal poderá ser exponencial.

Exemplo 3.1. Corremos o algoritmo para o Exemplo 1.5. Nas duas figuras que se seguem vemos duas partes do algoritmo. As arestas são etiquetadas de tal modo que possamos reconstruir uma solução percorrendo um caminho que se inicie na equação inicial e finalize numa equação trivial.

Na Figura 3.1 visualizamos o que acontece no primeiro passo, quando procuramos uma solução singular. Obtemos uma equação impossível, ou entramos num ciclo fechado. Como o comprimento das soluções está a diminuir a dada altura temos de fazer a(yi) = e conduzindo a uma equação impossível.

Na Figura 3.2 omitimos todos os vértices e arestas que não levam a nenhuma solução. Assim, correndo este algoritmo, podemos encontrar qualquer solução desta equação.

49

abc = cba

caby2 = y2cba

V2 = e 1

cab = cba

bcayi = yicba

Vi = e

fcca = cba

Figura 3.1: A procura de soluções singulares da equação abxcy = ycxba

Um dos caminhos tem a etiqueta

y = ay! yi = by2 x = y2x1 xx = e y2 = ay3 y3 = e

que corresponde à solução minimal

a(x) = a a(y) = aba.

Seguindo um outro caminho

y = ayi y\ = by2 y2 = xy3 y3 = c x = axx xj = e

obtemos a mesma solução (embora haja caminhos que não conduzem a ela).

3.2 A teoria existencial da concatenação

A teoria existencial das equações no monóide livre é decidível, ou seja, a solubilidade de uma dada fórmula proposicional cujos elementos proposicionais elementares são equações (com restrições racionais) é decidível.

Isto pode ser deduzido do algoritmo de Makanin, que soluciona o problema para uma única equação, como se segue. Em primeiro lugar, assumimos que todas as negações de uma dada fórmula são do tipo E ^ D. Pela proposição seguinte essas negações podem ser eliminadas.

50

abxcy = ycxba

2/3 = cy

cabxys = y3cxba

2/3 = e

ca6x = cx6a

Xi — 6x x = axi

y = ayi

2/2 = ^3/3

6a = 6a

bxcayi = y\cxba

V\ = by2

xcaby2 = y2cxba

X\ = ex X = 3/2ÍC1

X\caby2 = cy^Xiba

X\ — e

ca6y2 = q/26a

2/3 = 6?/ 2/2 = «2/3

6 a i / 3 = 2/360

2/3 = €

Figura 3.2: Algoritmo que fornece as soluções da equação abxcy = ycxba

51

Proposição 3.2. Uma desigualdade E ^ D é equivalente à seguinte fórmula existencial:

3x 3y3z: \J (E = Dax V D = Eax) V \/ (E = xay A D = xbz). a£A a,b£A,a=£b

Demonstração. Na primeira disjunção temos uma das palavras como prefixo da outra. Na segunda disjunção consideramse todos os restantes casos: quando as palavras E e D têm um prefixo comum ou, fazendo x = e, como a ^ b, obtemos E e D sem prefixos comuns. D

Depois de eliminadas as negações temos uma fórmula escrita somente com disjunções e conjunções. Assim sendo, para a sua solubilidade, é suficiente ver se um sistema de equações pode ser transformado numa única equação. O método é dado na proposição seguinte:

Proposição 3.3. Sejam a.b E A com a. ^ b e S = {Ex = Dx,... ,Ek = Dk} um sistema de equações. Então o conjunto de soluções de S é idêntico ao conjunto de soluções da seguinte equação:

Eia • • • EkaE\b ■ • • Ekb — Dxa ■ ■ ■ DkaD\b ■ ■ ■ Dkb.

Demonstração. Sejam u. v G A* e a. b G A com a ^ b. Se ua < va e ub < vb. então na posição \u\ + 1 de ua temos a letra a e na posição \u\ + 1 de vb temos a letra b. Como a^b resulta que u — v.

Temos Exa ■ ■ ■ Eka = Dxa ■ ■ ■ Dka e Exb ■ ■ ■ Ekb = Dxb ■ ■ ■ Dkb visto que \Exa ■ ■ ■ Eka\ = \E\b ■ ■ ■ Ekb\ e \Dia ■ ■ ■ Dka\ = \Dxb ■ ■ ■ Dkb\. Usamos a observação anterior. Supondo, sem perda de generalidade, que l ^ l < |DX| temos Exa < Dxa e Exb < Dxb e portanto Ei = Di. Resulta que E2a ■ ■ ■ Eka = D2a ■ ■ ■ Dka e E2b ■ ■ ■ Ekb = D2b ■ ■ ■ Dkb. Usando o mesmo processo k — 2 vezes obtemos o sistema inicial. D

Por vezes tornase útil fazer o contrário, isto é, dividir uma equação nas palavras num sistema onde todas as equações são da forma xy = z com x, y,z € (^Uíí)*:

Proposição 3.4. Sejam xx ■ ■ xg = xg+x ■ ■ Xd uma equação com 1 < g < d e xt G A U fi para 1 < i < d. ,Então o conjunto de soluções está em bijecção canónica com o conjunto de soluções do sistema seguinte:

x\ — Vi xg+l — Vg+l, 2/1^2 = 2/2, Vg+lXg+2 = Vg+2,

VgiXg = yg, ydiXd = yd,

Vg = Vd,

onde yi,... ,yd são novas variáveis.

52

Também é de notar que uma disjunção de equações pode ser substituída por uma fórmula existencial numa simples equação como se mostra na proposição seguinte:

Propos ição 3.5 (Karhumâki , Mignosi , Plandowski , 2000) . Sejam a,b 6 A com a^b. Uma disjunção de duas equações é equivalente a uma equação única com duas variáveis adicionais.

Demonstração. Considere a disjunção Ei (A U Í2)*. Isto é equivalente à disjunção

Di V Ei = D2 onde EUE2,D1,D2 G

EXD2 = DXD2 V DiE2 = DXD2.

Então, para a construção, podemos começar com uma disjunção onde os membros da direita são iguais: E\ = D V Ei — D. Temse que a palavra P = E\E2DaEiE2Db G (A U í i ) + é primitiva. De facto, necessitamos de uma constatação mais profunda: sejam Q G (A U íl)+ uma palavra primitiva e a > 1 tal que P é prefixo de Qa. Então temos IQI > | | P | Para vermos isso vamos assumir o contrário, que \Q\ < | | P | . Se \Q\ = | | P | , então, como P é prefixo de Qa, teríamos na última posição de Q as letras a e b, o que é absurdo pois a ^ b. Assim, Q é prefixo de E\E2D. Dois casos podem ocorrer:

ou

ou

Q---Q Q--- Q E\E2Da ExE2Db Q ■■■ ( 1Q ■■■

Q

No primeiro caso temos novamente a = b, que é absurdo. No segundo caso Q é factor interno de QQ que, pelo Lema 1.9 é impossível. Como |Q| > \\P\, então não existe nenhuma palavra primitiva Q tal que P = Qa com a > 1. Logo, P é uma palavra primitiva.

Como consequência, as únicas ocorrências de P2 como factor de P2WP2 com \W\ < | | P | são como prefixo e sufixo. Vejamos:

1° caso P P i i

P P w ._..._] P ___. p P P w v \a\ V w p no . V \a\ v \b Z, CiASU r P

No primeiro caso teríamos P como factor interno de P2, o que é impossível pois P é uma palavra primitiva. No segundo caso resulta que existe uma posição i em P tal que a posição i tem a letra a e a posição \v\ + i + 1 de P não é a última posição e tem a letra b. Logo, a posição i da palavra v tem a = b, que também é impossível.

Assim sendo, sejam x,y duas novas variáveis. Vamos mostrar que a disjunção

Ei = D V E2 = D

53

é equivalente à fórmula existencial

3x 3y : P2E1P2E2P

2 = xP2DP2y. (3.1)

Se Ex = D V E2 = D é solúvel então a fórmula acima é satisfeita.

Reciprocamente, seja a uma solução da fórmula (3.1). Como \a(Ei)\ < \\a(P)\ com i = 1,2, o primeiro P2 do membro da direita coincide ou com o primeiro ou com o segundo P2 do membro da esquerda. Se coincidir com o segundo está resolvido: x = P2Ei, o segundo P2 do membro da direita é factor de P2E2P

2 logo coincide com o último e portanto E2 = D e y = e. Suponhamos que o primeiro P2 do membro da direita coincide com o primeiro P2 do membro da esquerda ficando EiP2E2P

2 = DP2y. Assim, o segundo P 2 do membro da direita não pode coincidir com o último pois \a(D)\ < \a(E1P

2E2)\ visto que \a(D)\ < \a(P)\. Logo, ele coincide com o segundo. Portanto, Ei = D e o resultado segue. D

Olhemos agora para o número de diferentes constantes existentes numa dada equação. Vejamos que o problema da resolução de equações pode ser reduzido ao caso onde aparecem somente duas constantes.

P r o p o s i ç ã o 3.6. Seja E = D uma equação num alfabeto A e seja B = {a. b} um alfabeto de duas letras. Então podemos construir (em tempo polinomial) uma equação em B que é solúvel se e só se E = D tem solução não-smgular.

Demonstração. Seja A — { a i , . . . , ak) com k > 2. Consideremos o homomorfismo

n:(Auny —> (BUÍ})* ai i—► abla 1 A+, então para todo o x e O podemos escrever rj(a(x)) = ar(x)a e r : Q —» B+ é uma solução nãosingular de 77(D) = 77(D).

Reciprocamente, seja r : O -> B* uma solução de 77(D) = 77(D) (mesmo que esta solução seja singular produziremos uma solução nãosingular de D = D). Definimos a'(x) = ar(x)a para todo o x eü e modificamos 7/ definindo rj'(ai) = atia e rj'(x) = x para quaisquer 1 < i < k e x e ü. Seja E' = rf(E) e D' = rf(D). Então a' é uma solução nãosingular de E' = D' tal que o'(x) G aB*a para todo o x G i l Queremos mostrar que D = D tem solução nãosingular. Se a'(x) G t}(A)+ para todo o x G Q, então poderíamos identificar cada uma destas palavras com uma palavra de A+ e obteríamos uma solução de E = D. Mas, poderá acontecer que a'(x) contenha factores da forma aaa ou ab+ab+a que não estão identificados pelo homomorfismo 77 a palavras de A+. No entanto, a um factor deste tipo num dos membros da equação corresponderá outro igual no outro membro que também pertencerá à imagem de uma variável. Formalizando esta ideia, observemos que o conjunto {e} U (aB* n B*a) é um

54

submonóide livre de B*. A base (infinita) é S = [a] UaB*a\ B*aaB*. Assim, a1 or}' : Vt —> E + é uma solução não-singular da equação original E = D se identificarmos Tj'(A) com A. O único problema é que a'(x) poderá ter como factores (em número finito) palavras de S \ rj'(A). Assim, para um conjunto finito C Ç £ \ ?/(.A), temos a'(E'D') Ç (T/(^4) U C)*. Escolhemos uma aplicação p : C —> rj'(A)+ e obtemos uma solução não-singular cr = poa' que pode ser identificada com uma solução não-singular de E = D usando a seguinte composição que deixa as letras de A invariantes:

(A un) + 1 (r]'(A)un)+^(V'(A)UCy (V'(A)) + r A+.

Dada a equação E — D aplicamos rj' e obtemos a equação E' = D' onde as letras de A são identificadas com as de rj'(A) e as variáveis de ü mantêm-se. Como existe a solução r de rj(E) = r/(D), então existe a solução não-singular a1 de E' = D'. Agora, para podermos identificar a palavra <J'(E) com uma palavra de A+ basta identificar os factores de <J'(E) que não pertencem a ri'(A)+ com alguma palavra de T]'(A)+. Para isso, constrói-se a aplicação p. Após esta aplicação, rj1-1 fornece-nos uma solução de E = D não-singular visto que a' é não-singular. D

3.3 O Algoritmo: noções e estratégias

3.3.1 Torres dominó

Seja h > 2. Dizemos que uma palavra não-vazia w G A+ pode ser arranjada numa torre dominó de altura h se existirem palavras X\,...,xh_\ G A* e palavras não-vazias í / i , . . . , yh-i,z2, ...,zheA+ tais que

1. w = xiyl = zl+lXi V 1 altura h

Vh-sl Vh-1

í/h-l!

55

Notemos que a linha vertical permitenos observar que \z2 ■ ■ Zj\ < \w\ para qualquer 2<j<h.

Podemos também optar por uma configuração mais uniforme. Toda a palavra não

vazia w G A+ pode ser escrita na forma w = (rs)h~lr com s =£ e e h > 2 (trivial para r — e e h = 2). Suponhamos que r ^ e. Escrevendo w = (rs)h~1r leva a um arranjo da seguinte forma:

r s r s r s

r s r s r s \r s r s r s r s

\r s r s r s r s r s

r s r s r s r s r s r r s r s r s r s r r s r s r s r

r s r s r r s r

> altura h

A verificação de que se trata de uma torre dominó resulta de fazermos X\ = ■ ■ ■ = xfe_i = (rs)h~2r, yi = ■ ■ ■ = yh_x = sr e z2 = • • • = zh = rs.

Notese que, uma torre dominó de altura 2 pode degenerar na figura seguinte (com X\ =e,í/i =w,z2 = w):

w w

Seja w G A* uma palavra. O expoente de periodicidade de w, exp(w), é definido por

exp(w) = max{a G N | 3r, s,p € A*,p ^ e : w — rpas}.

Lema 3.7. Sejam h > 2 e w G A+ uma palavra nãovazia que pode ser arranjada numa torre dominó de altura h. Então exp(w) > h — 1.

Demonstração. Escolhemos uma torre dominó e palavras x^y^Zi como na definição. Sejam z = zt G {z2,...,zh} de comprimento mínimo, x = Xi_\ e y = yi\. Então (h—l)\z\ < \w\ e temos xy = zx = w. Temse então que y e z são palavras conjugadas. Pelo Lema 1.7, z = rs e x = (rs)ar para alguns a > 0 e \r\ < \z\. Assim, w = za+1r e portanto

(h l)|ír| < H < ( a + 2)|2|. Como |*| > 0 temos h— l < a + l < exp(w). D

56

3.3.2 Formas normais estáveis

Seja p G A* uma palavra primitiva. A forma normal p-estável de w G A* é uma sequência mínima (k mínimo)

( « 0 , U ! i , l i i , . . . , Q ! f e , W f e )

tal que k > 0, IÍ0 , iti G A*,QJ > 0 para 1 1, então:

Mi G (A*p npA*) \ A*pM* Para 1 < i < k, uk EpA*\A*p2A*.

Exemplo 3.8. Seja p — bab e w = b(bab)4ab(bab)ab. Então, a forma normal pestável d e w é a sequência

(bbab, 2, babab, 0, babab).

bbab babbab babab babab Uo U\ li 2

Propos ição 3.9. Seja p G A* uma palavra primitiva. A forma normal p-estável de w G A* é única, ou seja, se (UQ, OL\, U\,..., a^, u^) e (vo, 0i, V\,..., Pi, Vi) são formas normais p-estáveis de w G A*, então elas são iguais, isto é, temos k = l, UQ = VQ, UÍ = Vi e ai — pi para todo o 1 < i < k.

Demonstração. Suponhamos que (uo, «í , U\,..., ctk, u^) e (v0, /3i,Vi,..., fii,Vi) são duas formas normais pestáveis de w. Como são sequências mínimas, os índices k e / são ambos mínimos, logo k = l.

Para k = 0 temos w = u0 = v0.

Suponhamos que k — l > 1. Vejamos primeiro que u0 = vo. Assumimos, por simetria, que \UQ\ < \v0\. Como u0p G A*p2 e v0 G (A*p \ A*p2A*) obtemos u0 < v0 < u0p.

u0 P vo \ P

UQ P P

Pelo Lema 1.9 temse UQ = VQ.

Seja w' = Uipa2u2 ■ ■ -pakuk. Como ux ^ p e u\ G (A*p n pA*) \ A*p2A*, concluímos, usando novamente o Lema 1.9, que paiw' G pai+lA* \pai+2A*. De modo análogo,

57

temos p8lw" G p0l+lA* \ p^+2A* onde w" = v1p02v2 ■ ■ -p3lvi. Como paiw' = p01w"

resulta que ot\ = 3\ e w' = w" = V\p02v2 ■ ■ -p0lvi.

Pela minimalidade de k = l e por (u0, «i, Ui,..., ak, uk) e (v0, fli, v1}..., (3h vt) serem formas normais pestáveis de u0p

aiw' = VQP^W' resulta que (u\, a2, u2,..., Otk,Uk) e {vi, (3i,V2, ■. •,0k>Vk) são formas normais pestáveis de w'. Por indução, concluímos que (uua2,u2:...,ak,uk) = (vx, p2,V2: ■ ■ ■, Pk,vk). D

3.3.3 Uma única variável

Se houver unicamente uma variável na equação, então uma descrição paramétrica do conjunto de todas as soluções pode ser calculada em tempo polinomial. Isto é um exemplo de como as formas normais pestáveis poderão ser úteis.

Seja S um conjunto de equações nas palavras onde ocorre exactamente uma variável x, ou seja, ü — {x}. Pela Proposição 3.3 podemos assumir que <S é dado por uma só equação E = D com E: D e (AU {x})*.

O passo básico é ver se a(x) = e é solução singular. Após isso, procuramos somente soluções nãosingulares.

Seja £ uma lista de pares (p,r) onde p G A+ é uma palavra primitiva e r G A* é um prefixo r < p. Dizemos que C é completa para a equação E — D se toda a solução nãosingular a tiver a forma a(x) = par para algum expoente a > 0 e algum par (P> r) G C.

Suponhamos que uma lista completa e finita £ já foi construída numa primeira fase do algoritmo. Então procedemos do seguinte modo: para cada par (p, r) G C testamos se a(x) = r é solução e se a(x) = pr é solução. Depois disso, procuramos (para o par (p.r)) soluções onde o~(x) = par com a > 2. Substituímos todas as ocorrências de x na equação E = D pela expressão ppa~2pr, onde a representa uma variável inteira. O problema é então encontrar valores de a tais que a > 2 e a(x) = par seja solução da equação E = D. Usando expressões simbólicas podemos factorizar a(E) e a(D) na sua forma normal pestável:

a(E) = t í 0 pm i Q + n i

W i - - - pm f c Q +

^ u f c , a(D) = v0p

m'ia+<v1---pTn'ia+n'ivi1

com k.l > 0. m^rn'j G N. n , . ^ G Z. 1 < i < k e 1 < j < l. Pela Proposição 3.9, supondo que a é uma solução, temse que k = l,U{ = vt para 0 2, ou todos os a > 2 satisfazem estas equações. Construímos então o conjunto de todas as soluções. É claro que para cada par (p, r) os cálculos necessários podem ser feitos em tempo polinomial. De facto,

58

podese mostrar que tempo linear é suficiente. A execução do algoritmo depende do cálculo eficiente de uma lista completa e curta C

Vamos então construir a lista. Suponhamos que E = ux • ■ ■ e D = xv ■ ■ ■ onde u G A+, v G A* e ambas as palavras u e v são de comprimento máximo. Seja p G A+ a raiz primitiva de u, isto é, p é uma palavra primitiva e u = pe para algum e > 1. Se cr é uma solução de E — D, então a é também solução de uma equação do tipo ux = xw para alguma palavra w G A+. Pelo Lema 1.7 temos u = ab,w = ba e a(x) = (ab)ka com a,b G A*. Como pe = ab, fazendo a = plr com 0 < í < e e r 0 e r < p. Definimos a lista de todos os pares (p, r) com r < p. Obtemos assim uma lista com \p\ elementos.

Há um refinamento do algoritmo feito por Obono, Goralcik e Maksimenko (1994) que observa a existência de uma lista completa de comprimento no máximo logarítmico. Para o efeito, é usada uma análise combinatória mais fina baseada, em particular, no facto seguinte:

Lema 3.10 (Obono, Goralcik, Maksimenko, 1994). Sejam u,v,w palavras tais que u é palavra primitiva, v £ u* e uu < vv < ww. Então \u\ + \v\ < \w\.

Demonstração. Por redução ao absurdo, suponhamos que |u| < |w| < \vu\. Assumi

mos primeiro que 2\u\ < \v\. Então temos uu <v < w. Como vv < ww, pela segunda palavra w, vemos que w tem um prefixo da forma ru com 1 < \r\ < \u\:

w w V V

u u u u 1 r

pois, como \vu\ > \w\, temos w = ru- ■ ■. Logo, temos w = uu- ■ ■ e w = ru • • • e portanto, como \r\ < \u\, u é factor interno de uu, o que é impossível pelo Lema 1.9 visto u ser uma palavra primitiva.

Assim, devemos assumir que u < v < uu.

Seja v = uz. Então temos z j3 > 1 e alguma palavra nãovazia r < x (pois u é uma palavra primitiva). Assim, v = uz = xarxJ3 < w e, como

w w

V u ! z V V

temos sz — sx0 < w onde s é um sufixo próprio de u = xar. Se \s\ > \x\, então x < s pois x e s são prefixos de w. Como s é um sufixo próprio de xar < xa+1, x

59

é uma palavra primitiva e s = x ■ ■ ■ resulta, pelo Lema 1.9, que s = x7r para algum 1 < 7 < a. Como sx0 < w, u = x°r < w e 7 + 1 < a + 1, temos sx = x7rx < xQ+1. Mas isto é impossível pois, como 1 < \r\ < \x\ e x é uma palavra primitiva, x seria factor interno de xx. Logo, s é prefixo próprio de x. Se \s\ < |x a _ 1r | , então, como xar < w e sx < w, temos sx < xQr < xa+1 que é novamente uma contradição pois s é prefixo próprio de x. Notese também que, se a > 1, então é claro que \s\ < \xa~lr\ visto s < x. Assim sendo, devemos assumir que a = 1 e portanto, como 1 < 0 < a, temos p = 1 e \s\ > |.xQ_1r| = \r\. Temos então u = xr.v — xrx e w = xrxt para alguma palavra nãovazia t tal que ts = u = xr. Em particular, í < x visto que |s| > |r|. Logo, como ww — xrxtxrxt e v = xrx, temos íxr < xrx = v < xrxr = uu. Portanto tu < uu o que é impossível pois u é uma palavra primitiva. Resulta que \u\ + \v\ < |w|. D

Nota 3.11. Ao longo da demonstração não foi usada a hipótese de v (£ u* pelo que poderíamos têla excluído do enunciado do lema. No entanto, para não modificarmos a afirmação dos autores, optámos por mantêla apresentando este comentário.

Definimos log a como max{l, |~log2 a]} onde \n\ representa o menor inteiro não inferior a n.

Corolário 3.12. Uma palavra w G A* de comprimento n tem no máximo O(logn) prefixos distintos da forma pp onde p é uma palavra primitiva.

Demonstração. Sejam w G A*, n = \w\ e r o número de prefixos distintos da forma pp onde p é uma palavra primitiva. Representemos por p, esses prefixos e sejam ni = \pi\ com 1 < i < r. Suponhamos, sem perda de generalidade, que P\ < ■ ■ ■ < pr < w. Então temos, por definição dos ph p1p1 < p2p2 < • ■ • < prpr < w. Pelo lema anterior, resulta que

\PÍ\ + bi+il < |pi+21 com 1 < i < r — 1 onde p r + 1 = w. Obtemos as seguintes inequações:

a2

03

n r_! +nr < n nr_2 + 2nr_i < n

2nr_3 + 3nr_2 < n Ò2

nr-2 + Kr < nr

Ur

n r _ 2 < n r _ i n r _ 3 < 7T.r_2

ak : fk_inr_k + fknr-k+i <n br. nr_i_x + nr_i < nr^l+l

para l<k<r-lel<l<r — 2. Então temos que

/ r 2 ^ 1 + / r i » 2 < n e / r _ 3 n 2 + / r 2 ^ 3 < n . (3 .2)

Notemos que a sucessão (fk)ken é a sucessão de Fibonacci definida por recorrência:

/o = l i / i = l e A = /fci + /fc_2 com fc > 2.

Assim, como m < n2 temos, por (3.2), que

(fr-2 + fr-i)n\ <n^ jrnx < n => fr < n.

60

Da mesma forma obtemos fr-in<z < n => fr-i < n.

Usemos a fórmula de Binet para a sucessão de Fibonacci:

fk = 1

v^ 1 + V5

fc+i 1 A / 5

fc+i

com k > 0.

Se r for par, então, como fr < n, obtemos

l + \/5 1-Vb r+l

< y/h n

e, como ^ j ^ é negativo e r + 1 é ímpar, temos que — ( ^ ^ ) r + 1 é um valor positivo. Resulta, em particular, que

r+l

< Von l + \/5

e portanto r < Clogn.

Se r for ímpar, então, como / r_i < n, obtemos

l + x/õV A \ / 5 ' 2 ; v

2 e, pelo mesmo raciocínio, concluímos que

l + \/5

< \/5' n

< Von.

Logo, r < C log n.

Obtemos assim o resultado pretendido, ou seja, r e O(logn) D

Vejamos a ideia geral do método de Obono et ai: recordemos que a equação é dada por E = ux ■ ■ ■ e D — xv ■ ■ ■. O conjunto de soluções nãosingulares é dividido em duas classes. A primeira contém todas as soluções onde \cr(x)\ > \u\ — \v\ (como é claro, no caso \u\ < \v\ todas as soluções satisfazem esta condição). Seja w o prefixo de vu tal que |tü| = |w|. Se a é uma solução com \cr(x)\ > \u\ — \v\, então temos ua(x) — a(x)w como se observa:

Io caso: \u\ < \v\ 2o caso: \u\ > \v\

u a(x)

(J[x u a(x) a(x) V a(x)

61

Por hipótese, temos |<r(x)| + \v\ > \u\. No primeiro caso resulta de imediato que ua(x) = a(x)w. No segundo caso, como u e v são de comprimento máximo, então após v temos a única variável x. Assim, ua(x) é prefixo de a(x)va(x). Se u < a(x) e como |ii| + |o(x)| < \a(x)\ + \v\ + \u\, então ua(x) < a(x)vu < a(x)va(x). Se a(x) < u, então ua{x) < a(x)va(x) < a(x)vu. Logo ua(x) < a(x)vu e portanto ua(x) = a(x)w.

Sejam p a raiz primitiva de u e q a raiz primitiva de w. Então a(x) = par para algum a > 0 e o único prefixo r < p tal que p = rs e q = sr. Se p e q não forem palavras conjugadas, então não existe tal solução. Caso contrário, se p e q são palavras conjugadas, incluímos o único par (p, r) em C. Este par cobre todas as soluções onde $T(X)\ > \u\ — \v\.

Seja agora a uma solução nãosingular tal que 0 ^ \a{x)\ < \u\ \v\. Isto implica que D tem a forma D = xvx • • ■ e que a(x)va(x) < ua(x). Logo, a(x)va(x) < uu e ww < vuu, onde w representa a palavra nãovazia va(x). Seja g a raiz primitiva de w. Então qq < vuu. Há uma única factorização q = sr com s < q tal que v G q*s. Pelo Lema 1.14 a palavra rs é também primitiva e temos a(x) = r(sr)a para algum a > 0 visto w = va(x) e g ser a raiz primitiva de tu. Portanto, é suficiente construir a lista de todas as palavras primitivas q tais que qq < vuu. Pelo Corolário 3.12 , o número de palavras primitivas q é majorado por O (log \vuu$. Se v = e adicionamos os pares (q, e) a C. Caso contrário, s e « / e calculamos para cada g a única factorização g = sr com s 7 e tal que v e g*<s. Adicionamos todos os pares (rs, r) a £.

Crochemore [9] diznos que a lista £ pode ser calculada em tempo 0(\ED\ log \ED\). Concluise então que a solubilidade de uma equação E = D numa variável pode ser decidida em tempo 0(\ED\ log \ED\). Não é no entanto clara a existência de um algoritmo com tempo linear.

3.3.4 Restrições num semigrupo

A entrada no algoritmo de Makanin é uma equação E = D com E, D e (A U O)* juntamente com linguagens racionais Lx Ç A* para todo o x G i l Assumimos que as linguagens são determinadas por autómatos finitos nãodeterminísticos. Se acontecer que para uma variável nenhuma restrição esteja definida, então simplesmente escrevemos Lx — A*.

Procuramos uma solução a : Ü —» A* tal que a(E) = a {D) e a(x) € Lx para todo o x e fl

Para uma notação conveniente, daqui em diante não distinguiremos variáveis e cons

tantes na equação. Toda a constante a G A será substituída pela nova variável xa, sendo acrescentada a restrição LXa = {a}. Contudo, para uma melhor legibilidade, nos exemplos continuaremos a usar constantes.

A partir de agora a equação será dada por

tL\ Xg XgJr\ ' ' ' Xçl

62

com Xi G il. De modo a excluir casos triviais, assumimos 1 < g < d sempre que seja conveniente. O número d é chamado o comprimento notacional da equação.

Tal como na Secção 3.1, podemos, num primeiro passo, procurar a existência de soluções singulares. Escolhemos algum Í2' Ç Ô e substituímos todas as ocorrências de x G ü' pela palavra vazia. Obtemos uma nova equação E' = D' nas variáveis Çl\Q! onde procuramos as soluções nãosingulares. Assim, dada uma equação, num passo nãodeterminístico, transformámola numa outra equação onde só estamos interessados nas suas soluções nãosingulares. É então suficiente, para uma qualquer equação, procurar somente as soluções nãosingulares. Assim, assumimos que e ^ Lx para qualquer I É O .

Fixamos um semigrupo finito S e um homomorfismo de semigrupos tp : A+ —> S tal que Lx = p~lp(Lx) para todo o x G i l Para os próximos objectivos exigimos que <p seja sobrejectiva. O semigrupo S poderá ser visto como a imagem p{A+) do homomorfismo canónico no produto directo dos monóides sintácticos com respeito a. Lx, x E Í2. Assim sendo, definimos p do seguinte modo: para cada i £ Í ] seja <px : A+ —* A+ /GLX onde OLX é a congruência sintáctica de Lx. Notese que px reconhece Lx para todo o x G Í2. Seja </? : A+ —► I~Len^"V0^* ° homomorfismo canónico. Então p reconhece todas as linguagens Lx. Tomamos S como a imagem p(A+).

Representamos por Se o monóide que é obtido pela junção do elemento neutro e a S. Temos então S^ \ {e} = S e o homomorfismo Se. Temos p~l(e) = {e} e < (A+) = S.

Dado 5 podemos arranjar constantes t(S) > 0 e g(5) > 0 tais que st{S)+q{S) = s í (5)

para qualquer s G 5e (pois 5 é finito). Usaremos uma outra constante c(S) que é definida como o menor múltiplo de q(S) tal que c(S) > max{2,í(S')}. Vejamos que isto implica sr+QfC(5) = sr+i3c(S) p a r a quaisquer s G S. r > 0 e a, ,/3 > 1:

Lema 3.13. Sejam 5 um semigrupo, s G 5e , í, q G N tais que st+q = st. Sejam m,n >t corn m = n (mod q). Então sm = sn.

Demonstração. Suponhamos, sem perda de generalidade, que m > n. Então m = n+qz corn z > 0 e portanto sm = sm~t+t = s

n+qz-t+t = sí+^+(««) _ st+(n-t) _ sn_ D

Markowsky [24], numa análise mais precisa, mostra que se cada linguagem racional é definida por um autómato nãodeterminístico com rx estados, x G Í2, então, fazendo r = Ylxen r*- podemos escolher um semigrupo S tal que

\S\ < T1 e c(S) < r\.

No nosso trabalho os majorantes de |5 | e c(S) não são relevantes. Estes majorantes serão usados num estudo futuro da complexidade do algoritmo.

63

3.4 O expoente de periodicidade

Procuramos um majorante eficiente para o expoente de periodicidade numa solução de comprimento mínimo de uma equação (com restrições racionais). Para a conclusão da decidibilidade qualquer majorante eficiente seria suficiente, mas, devido à relação com equações lineares Diofantinas e a técnicas de optimização linear, podemos ser mais precisos.

Teorema 3.14. Seja d > 1 um número natural, ip : A* —> S£ um homomorfismo e c(S) > 2 definido anteriormente. Podemos calcular um número e(c(S),d) e c(S)-2°^ que satisfaça a condição:

Dada uma equação nas palavras x\ ■ ■ ■ xg — xg+i ■ ■ ■ xd de comprimento notacional d e uma solução a' : Cl —> A* podemos efectivamente encontrar uma solução a : Cl —► A* e uma palavra w G A* tais que as seguintes condições se verifiquem:

1. ipa'(x) = ipcr(x) para todo o x G Cl, 2. w = a(xi ■■■xg) = a(xg+1 ■■■xd), 3. exp(w) < e(c(S).d).

Demonstração. Para g = 0 ou g = d temos exp(w) = 0. Seja 1 < g < d. Testando todas as palavras de comprimento até \a'(xi • • • xg)\ encontramos uma solução o e uma palavra w tal que w = a(xi ■ ■ -xg) = a(xg+í ■ • -xd) é de comprimento mínimo entre todas as soluções o tais que ifa'(x) = cpa(x) para todo o x 6 Cl. Relembramos que X\ ■ • • Xg = xg+i ■ ■ ■ Xd é equivalente ao sistema:

xl - 2/1, Xg+l = Vg+l,

Vix2 — y 2, yg+1xg+2 = yg+2,

yg-\Xg = yg. yd-iXd = yd, y g = yd-

Notemos também que exp(w) = exp(a(yg)). Depois de uma eliminação óbvia das variáveis (xi,xg+1 e yd que é substituída por yg) o sistema é equivalente a um sistema de d — 2 equações do tipo

xy = z com x.y, z G Cl.

Escolhemos uma palavra primitiva p <E A+ tal que w = upexp(-w^v para alguns u.v e A*. Consideremos uma equação xy — z do sistema anterior e escrevamos as palavras a(x),a(y),a(z) nas suas formas normais ^estáveis:

a(x) : (ií0, ri + aic(S),Ui,... ,rk + akc(S).uk), <r(v) : Oo:Si + picÇS)^!,... ,si + 0ic(S),vi),

e a{z) : (wQ,tx + jic(S), wu ... ,tm + 7mc(S),wm),

64

ttfe1 — tffei rk-i = ífei)

C K f c l = Tfci) ^ = % , Si = tmi

A = ITU'

onde os números naturais r$, sÍ7 U,UÍÍ,PÍ e 7, são unicamente determinados por w, c(S) e a condição 0 < ri: Sj, íj < 0(5*).

Há muitas equações entre as palavras e entre os inteiros. Para k,l >2 temos:

«o = wQ, n = ti, ttl = 7li Vi = íü m /+ l ) s2 = t-m-l+2-,

02 = 7m/+2,

Não temos majorantes para &, / ou m mas temos |/c + / — m\ < 2. O que acontece exactamente depende da forma normal pestável do produto ukVQ. Como uk,v0 ^ A*p2A* é suficiente distinguir nove casos:

(«avo), ÍP,t,p), (p,t,pv'Q), (u'kp,t,p), (u'kp,t,pv'Q), (p,0,w',0,p), (p,0,w',0,pv'0), (u'kp,0,w',0,p), (ukp,0,w\0,pv'o),

onde t G {0.1} e uk, v0, u'k, v'0, w' £ A+. Vamos ver o que acontece em cada um deles:

• Caso (ukvo): Acontece quando uk = pw,v0 = w'p e ukv0 = pww'p com ukv0 G A+ \ (A*p2A*). As formas normais pestáveis de a(x)a(y) e a(z) são:

a(x)a(y) : (. . . , rk + akc(S), ukv0, sx + pic(S),vl,...) a{z) : (...,tk + 'ykc(S),wk,tk+i +jk+ic(S),wk+i,...)

e portanto m = k + l. ak = j k e A = 7fc+i

• Caso (p,t,p) com í G {0,1}: Resulta de «& = pw,v0 — w'p com TO' = pt. Se fc o = P2+t-, então a sua forma normal pestável é (p.t.p) e a forma normal

pestável de a(x)a(y) é

{..., UM, rk + akc(S) + sl + (5xc{S) + (2 + t),vu ...).

Temos rk + akc(S) + sx + pic(S) + (2 + t) = rk + sx + (2 + í) + {ak + Pi)c(S) = tk + 7fcc(<S) e também m = A" — 1 + l. Por hipótese, c(S) > 2. Comorfc,Si < c(S), temos rk+Si + (2+t) < 3c(5). Logo, poderemos ter 7^ = c + (a^ + /?i) com c G {0,1, 2}. Assim, o caso ukvQ = p2 + í

leva à equação: lk (ãfc + A) = c com c G {0.1, 2}

• Caso (p,t,pv'Q) com í G {0,1}: A forma normal pestável de a(x)a(y) é

(...,rk + akc(S) +t + l.pv'0.si + 0ic(S),vi,.. .)■

Temos m = k + l e rk + akc(S) +1 + 1 = tk + jkc(S). Como rfc < c(5) e í + 1 < 2 então rk + t + 1 < 2c(S). Logo, teremos ak = j k ou ak + l = ~fk-

Este caso pode acontecer quando, por exemplo, p = aba. uk — abaw e Do = w'ababa com ww' = pl.

65

• Caso {u'kp,t,p): De modo análogo ao anterior iremos ter ft = j k + 1 ou ft + 1 = 7/fc+i

• Caso (u'kp, t,pv'0): As formas normais pestáveis são:

a(x)a(y) : (. . . , rk + akc{S),u'kp: t,pv'0, s1 + plc(S),vl....) a{z) : (... ,tk + ykc(S),wk, tk+1 + yk+ic(S), wk+utk+2 + jk+2c(S), wk+2,...)

obtendo m = k + / + 1, yk = ak, j k + 1 = 0 e 7fc+2 = ft.

Podemos encontrar este caso quando p = aba,uk = ababaw e vQ = w'ababa com ww' = p*.

• Caso (p,0,w',0,p): Pode ser produzido se p tiver uma sobreposição como em p = ababa. Então teríamos uk = pabab, v0 = abap e portanto ukv0 = ppbap = pabpp e abp = pba. Logo, neste caso particular, a forma normal pestável ukv0 é (p,0,abp,0,p).

Passando ao caso geral, as formas normais pestáveis são:

a(x)a{y) : ( . . . , 1 + rk + akc{S),w', 1 + 3l + Pic(S),Vl,...) a(z) : (....tk + ~ykc{S).wk.tk+l +-fk+1c{S):wk+l....)

e portanto obtemos k + l = m, tk + jkc(S) = rk+ akc(S) + 1 e tk+l + ~fk+\c(S) = si + Pic(S) + 1. Se rk < c(S) - 1, ou seja, rk + 1 < c(S), então temos ak = >yk. Caso contrário, rk + 1 = c(S) visto termos rk < c(S) e portanto ak + 1 = 7fc. Do mesmo modo, se sx < c(S) 1 então ft = j k + l . Caso contrário, temos Pi + 1 =7fe+i

• Caso (p, 0, tt/, 0,pi;ó): A forma normal pestável de a{x)a(y) é:

(...,rfc + afcc(S') + l,tü',0,jwó»si + ftc(S),t>i,.. .)•

Temos m = A + / + 1, rk + 1 + akc(S) = tk + 7fcc(S) e portanto ak = 7fe ou afc + 1 = 7fc, 7fe+1 = 0 e 7fe+2 = ft.

• Caso (w^p, 0, u/, 0,p): Analogamente ao caso anterior obtemos Si + 1 + ftc(5) = 4+2 + lk+2c(S) e portanto ft = -yk+2 ou ft + 1 = 7^+2, afe = 7^ e 7^+1 = 0.

• Caso (u'kp,O,w',0,pv'o): Uma forma normal pestável deste tipo com u',v',w' e A+ leva a k + 1 = m — 2 e 0 = 7^+2 = 7/t+i:

(. . . , rk + akc(S), ukp. 0, w', 0,pv'0, Sl + ftc(S),...)

(.. ■,tk+jkc(S),wkAk+1+^k+lc(S)/wk+1.tk+2+-ïk+2c(S).wk+24k+3+-fk+3c(S)....)

Temos m = k + l + 2, 0 = 7fe+1 = ífc+1 = 7fe+2 = tk+2, lk = ak e 7fc+3 = ft.

66

Vimos que há várias possibilidades para U^VQ. NO entanto, ocorre sempre o mesmo fenómeno. Em primeiro lugar obtemos um grupo de equações triviais do tipo 7 = 0 que podem ser eliminadas por renomeação, substituindo 7 por a. Todas as equações do tipo 7 = 0 são eliminadas por substituição. Assim, para cada xy = z há no máximo duas equações do tipo 7 = a + 1 ou uma equação do tipo 7 — (a + f3) = c com c G {0,1,2}. Se houver duas equações do tipo 7 = a + 1, então uma delas é eliminada por substituição de 7 por a + 1. Obtemos, para cada equação xy = z, no máximo uma equação não-trivial com o máximo de três variáveis. Procedendo deste modo, nas d — 2 equações temos várias interacções devido à renomeação e substituição. Como exemplo, se em ambas as equações y 1X2 = yi e y2x3 — Vz tivermos a equação não-trivial 7 = a + 1, então poderemos obter, após as substituições referidas, uma equação do tipo 7 = a + 2 na equação 2/2 3 = Z/3- Assim, cada equação xy = z leva no máximo a uma equação não-trivial com o máximo de três variáveis. O tipo de equação é

ei7 + h - c2a - i 2 - c33 -i3 = c

onde 0 < %\. i2,13 < d — 2, 0 < c < 2, d, c2, c3 G {0,1}. Isto pode ser escrito como

Ci7 — C2<y — C3P = d com \c'\ < 2d — 2.

Os símbolos a i , . . . , a&, /?i,...,/?/, 7 1 , . . . , 7 m são vistos como variáveis que percorrem números naturais. Regressando à solução <r, que é dada pela palavra w, os símbolos « i , . . . . a*,, /?i,...,/?;, 7 1 , . . . , 7m representam valores concretos. Alguns deles poderão ser zero. Esses são logo eliminados. A razão é: pela observação feita no fim da Secção 3.3.4, sr+ac(-s^ = sr+l3c('S^ para todo o s G S, r > 0 e a, /3 > 1, podemos diminuir os valores de a, (3 e 7 até 1 pois a imagem de (p não se altera. No entanto, se alguns forem zero, então esse valor não poderá ser mudado visto a observação só se verificar para a.,f3,7 > l e portanto deixaríamos de ter a garantia de não alterar a imagem de ip. Assim sendo, substituímos todos os a, (3 e 7 que tenham valores maiores que zero por 1 + za,l + zp e 1 + z7 respectivamente onde as novas variáveis representam valores em N. Por exemplo, a equação

7 — a — (3 = c'

com a,j3,7 > 1 é transformada na equação linear Diofantina com variáveis inteiras za,zp,z1 > 0 como se segue:

zy — za — Z/3 = d + 1 com \d + 1| < 2d — 1.

Juntando todas as equações do tipo xy = z obtemos um sistema de equações lineares que, depois da substituição e eliminação das variáveis, transformar-se-á num sistema com o máximo de d — 2 equações e n variáveis inteiras com n < 3(d — 2). Os valores absolutos dos coeficientes são limitados por 2 e das constantes por 2d — 1. Para cada equação a soma dos quadrados dos coeficientes é limitada por 5. Como exemplo, para o caso a = (3^jeci=C2 = C3 = l obtemos a equação 7 — 2a = d, equação esta onde a soma dos quadrados dos coeficientes é 5. O sistema linear Diofantino é definido por w e a palavra w fornece uma solução inteira não negativa deste sistema.

67

Reciprocamente, toda a solução em inteiros nãonegativos do sistema produz uma palavra w" e uma solução a" : Q —> A* que satisfaz a condição 2 do teorema. A condição 1 também é satisfeita usando a observação da Secção 3.3.4 já referida nesta demonstração.

Procuremos um majorante para exp(w). Como w foi escolhida de comprimento mini

mal, a solução do sistema em inteiros dada por w é uma solução minimal com respeito à ordem parcial de Nn:

(ai,..., an) < (Pi,..., pn) se e só se a, < $ para qualquer 1 < z < n.

Para a = (ai,...,an) e Nn seja ||õ*|| = max{áj|l < i < n}. Procuremos um majorante para o seguinte valor:

e(d) = max{||a|| | a é solução minimal do sistema de equações lineares Diofantinas com o máximo de d — 2 equações, 3(d — 2) variáveis, onde o valor absoluto dos coeficientes é limitado por 2, a soma dos quadrados dos coeficientes em cada equação é limitada por 5 e o valor absoluto das constantes é limitado por 2 d 1 } .

Obviamente, há um número finito de sistemas de equações lineares Diofantinas onde o número de equações, variáveis e valor absoluto dos coeficientes e constantes é majorado. L. Dickson [10] diznos que para cada sistema o conjunto de soluções minimais é finito. Em E. Domenjoud e A. Tomás [11] encontramos um algoritmo que calcula estas soluções minimais. Logo, o conjunto dos valores de ||a|| é finito e efectivamente calculavel. Portanto, e(d) é calculável. Como e(d) + d — 1 > a i , . . . , Pi,... para os valores originais antes das considerações acima, obtemos um majorante do expoente de periodicidade.

Uma condição mais precisa é possível. Koscielski e Pacholski [15] mostraram que e(d) 6 2°^. Logo, podemos ter

exp(w) < 2 + (c(S) 1) + (e(d) + d 1) • c(S) e c(S) ■ 2°(d).

Isto prova o teorema. D

Exemplo 3.15. Sejam c.n > 2 e seja S = TLjcL o grupo cíclico de c elementos. Fazemos uma restrição racional à variável X\ definida por

LXl - {w e A+\ \w\ = 0 (mod c)}.

O sistema é dado por ( c

Xi = a x2 = x\

2 ^

xn —

xn-l

Oi:

A única solução a é a(xi) = ac2 com 1 < i < n. Se transformarmos o sistema numa simples equação segundo a Proposição 3.3, então obtemos

xi&i • • • xnbiXib2 ■ ■ ■ xnb2 = a% ■ ■ ■ x ^ M 0 ^ • ' ' xlih

onde &!, 62 G A com òi 7 b2) obtemos exp(w) — c2n_1, d = An + 2n + 2c + 4(n — 1) = 10n + 2c 4 e portanto e(c(5), d) € c(5) • 2° (d ) .

Exemplo 3.16. Apresentamos uma sucessão de equações em que podemos observar que o comprimento de uma solução minimal pode ser muito grande embora o expoente de periodicidade seja majorado por uma constante.

Consideremos o sistema de equações nas palavras

xo = a. y0 = 6, Xi = XiiVii, Vi = yl\xli para 1 5.

Temos |o"(xn)| = 2", mas exp(a(xn)) = 2.

Exemplo 3.17. Consideremos a equação com restrições racionais:

axyz — zxay, Lx = a2a*. Ly = {a, b}* \ (a* U b*) e Lz = {a, b}+.

Um homomorfismo adequado ip : {a, b}+ —> S é dado pelo homomorfismo canónico no semigrupo quociente de {a,b}+ que é apresentado pelas seguintes relações:

a2 = a3, b = b2 e ab = ba = aab.

Portanto, S é um semigrupo corn um zero, 0 — ab, e tem quatro elementos:

5 = {a, a2.6.0}.

A constante c(S) = 2 satisfaz a condição sr+c^ = sr+ac^ para quaisquer s E Se, r > O e a M .

Procuramos uma solução a para a equação axyz — zxay. Façamos a(x) = a2+k com k > 0 para garantirmos que a(x) G Lx. Obtemos a equação aa2+kyz = za2+kay, isto é, a3+kyz — za3+ky. Como Ly = {a. b}* \ (a* U b*), então a(y) tem pelo menos um factor a e um factor b. Seja, por exemplo, a(y) = y'baí com í > 0. Obtemos a3+ky'baez = za3+ky'bae. Como z não pode ser a palavra vazia teremos, pela equação anterior, a(z) = z'bae ficando a3+ky'baez' = z'bala?+ky'. Façamos cr(y') = ar e (j(z') = as com r, s > 0. Assim, a3+karbaeas = asbai+3+kar, ou seja, a3+fc+ròc/+s = asòa í+3+fc+r

ficando 3 + /c + r = s e£ + s = £ + 3 + k + r. Logo, s = 3 + k + r. Temos, por exemplo, fazendo k = 0, r = 0, s = 3 e £ = 2, a solução

a{x) = a2, cr(y) = ba2 e cr(z) = a3ba2.

69

A palavra primitiva a é tal que w = a(axyz) = a(zxay) = uaexp(-w^v para alguns u, v G A*. Sejam a, j3, 7 e 5 variáveis inteiras e r.s e t palavras descritas pelas formas normais a-estáveis:

r : (a, 2a, a),

s : (ba, 2/5, a),

t : (a. 1 + 27, aba. 25, a). De modo a obter um sistema de equações lineares Diofantinas escrevemos arst como uma sequência de formas normais a-estáveis:

((a), (a, 2a, a). (6a, 2/3, a), (a, 1 + 27, aba, 25, a)).

A forma normal a-estável resultante é:

(a, 2a + 1, aba, 2/5 + 3 + 27, aba, 25, a).

Consideremos agora o membro da direita trás. Temos a sequência

((a, 1 + 27, aba, 28, a), (a, 2a, a), (a), (ba, 2/5, a))

cuja forma normal a-estável resultante é:

(a, 27 + 1, aba, 26 + 2a + 3. aba, 2/5, a).

Obtemos o sistema linear Diofantino:

2a + 1 = 27 + 1 2/9+ 2 7 + 3 = 2a + 25 + 3 &

28 = 2/5

Temos

a-(x) = a2+2a, a(y) = ba2+2^ e a(z) = a3+2aba2+2f3 Va , /5>0

que produz soluções da equação que satisfazem as restrições racionais.

Nesta secção majoramos o expoente de periodicidade numa solução de comprimento mínimo. Assim, dada uma equação ela possui solução se e só se tiver uma solução cujo expoente de periodicidade não é superior ao valor calculado. No entanto, no Exemplo 3.16 observamos que existem palavras cujo expoente de periodicidade é baixo mas cujo comprimento poderá ser arbitrariamente grande. Assim, se construíssemos um algoritmo que gerasse palavras cujo expoente de periodicidade fosse menor ou igual ao nosso majorante e testássemos se a palavra era solução da equação, não teríamos a garantia que o algoritmo parasse. Portanto, este majorante por si só não fornece um majorante para o comprimento de uma solução minimal nem resolve o problema da decidibilidade.

7 6

70

3.5 Equações fronteira

3.5.1 Ordens lineares num semigrupo

Suponhamos que X\ • • • xg = xg+i ■ ■ ■ Xd com l<g<deXi^Q para 1 < i < d é uma equação solúvel com restrições racionais e que existe uma solução nãosingular a tal que a(xi) = U{ com 1 < i < d. A equação e a solução definem a palavra w G A+ e duas factorizações w = U\- ■ -ug = ug+\ • • -tia- As posições entre os factores Ui e IÍ Í + 1

com 1 < i < í ou <7 < z < <i são chamados cortes. Por convenção, a primeira e a última posição de w também são cortes e portanto temos no máximo d cortes (poderão existir cortes iguais nos dois membros). Lendo a palavra de corte a corte obtemos uma sequência (wi,..., wm) tal que Ui = WjWj+\ ■ • ■ Wj+k com 1 < i < d, 1 < j < j + k <m e w = W\ ■ • • wm com Wk 7 e, 1 < k < m e m < d.

Dizemos que a sequência (w\,.... wm) refina as duas sequências (ui,..., ug) e (u9+i, . . . , ud)- Vejamos o que acontece quando passamos ao semigrupo finito S via o homomor

fismo ip. Substituímos U{ e w^ por p^ = ip{ui) e Sk = (p{wh) respectivamente.

Duas sequências {pi, ■ ■ ■ ,pg) G S9 e (pg+i, ■ ■ ■ ,Pd) G Sd~9 são refinadas por uma sequência (si,..., sm) G Sm com m < d tal que pi — SjSj+í ■ ■ ■ Sj+k com 1 < i < d e l<j<j + k<m. Dizemos também que (s\,..., sm) é um refinamento comum de (pi,...,Pg) e (pg+1,...,pd).

Contudo, para cada d, há somente um número finito de candidatos para (SXJ • • •, sm) com m < d pois S é finito. Logo, num passo nãodeterminístico, podemos encontrar e fixar uma tal sequência ( s i , . . . , sm) para ser a (^imagem de (wi,..., wm).

Uma técnica básica para resolver equações de palavras é a divisão da variável. Traba

lhando com a sequência ( s i , . . . , sm) G Sm, a divisão da variável x = x'x" corresponde à divisão de algum s ; e a encontrar s'^s" G S tais que Sj = s^s". Deste modo, os comprimentos das sequências vão aumentar.

Exemplo 3.18. Consideremos a equação xauzau = yzbxaaby. A solução dada no Exemplo 1.4 leva às sequências (ab, a, baba, ba, a, baba) e (aba, ba, b, ab, a, a, ò, aba) onde (ab, a, ba, b, a, b, a, a, b, aba) é um refinamento comum. Isto pode ser visualizado na figura:

a b a b a b a b a a b a b a a b a b a b a b a a b aba aba b a b a b a a b a b a

Passando ao semigrupo S = {a,a2,b. 0} do Exemplo 3.17 encontramos uma solução com a sequência (0, a, 0, b, a, b, a, a, b, 0) G S10.

Formalmente, consideremos o semigrupo 5 e o homomorfismo (p : A+ —* S da Secção 3.3.4. Uma S-sequência é uma sequência (s\,..., sm) G Sm com m > 0. Uma representação

71

de ( s i , . . . , sm) é um triplo (7, <, (pT) tal que (7, <) é um conjunto totalmente ordenado de m + 1 elementos e

<pr.{(i,j)elxl\i<j}^Sí

é uma aplicação que, para alguma bijecção p : I —> {0, m} que respeita a ordem em 7, isto é, tal que se i < j para i. j G 7, então p(i) < p(j), satisfaz a condição

Viihj) = sP(i)+i ■ ■ ■ SpU) £ Se para quaisquer i,jel corn i < j .

Temos (Piihj) = e se e só se i = j , (pi(i, k) = ipi{i,j)(pi(j, k) para quaisquer i, j , k <E I corn i < j < k.

A representação canónica de ( s l 5 . . . , sm) é simplesmente (7, <, ipj) onde 7 = {0 , . . . , m} e <Pl(hJ) = si+i • • • sj Para i.jel corn z < j . Logo, para a representação canónica, a bijecção p é a identidade.

No que se segue, toda a representação (7, <,(fi) de alguma S'sequência é chamada uma ordem linear sobre S. Quando contarmos ordens lineares sobre S. por convenção, contaremos somente representações canónicas.

Seja w = ai ■ • • am G A* com a{ e A para 1 < i < m. O conjunto {0 , . . . , m} é 0 conjunto das posições de w e, para 0 < i < j < m. w(i,j) representa o factor ai+1 ■ ■ -ÜJ. Em particular, w = w(0,m) = w(0,i)w(i,m) para qualquer 0 < i < m. A S'sequência associada à palavra w é definida por ws = (ip(ai),..., ip(am)). A notação ws também se refere à sua representação canónica Ws = ({0, . . . , m}, <, ipw). A aplicação (pw é tal que tpw(i,j) = ip(w(i,j)) para quaisquer 0 ). Dizemos que s' é um refinamento de s se existir uma aplicação injectiva p : I —> V que respeita a ordem em I tal que <pi(i,j) = ipr(p(i),p(j)) para quaisquer i.j G 1 com i < j . Escrevemos s < s' ou, mais precisamente, s <Pi')- Notese que, se s < s', então podemos escolher representações e um refinamento (7, <, ipT) <p [V, <, ipr) tal que p : I » V ê uma inclusão, isto é, 7 Ç V e 'Çj é a restrição de tp'j, a / .

Seja s uma Ssequência e (7, <,<fi) uma sua representação. Uma palavra w G A* é chamada um modelo de s (de (7, <,</?/) respectivamente) se a Ssequência associada ws for um refinamento de s, isto é, (7. <, </?/) <p ws para algum p.

Se w for um modelo de s, então escrevemos tu f= s ou w |= (7, <, ipj). Por abuso de linguagem, fazemos a seguinte convenção: mal tenhamos escolhido a palavra w como modelo podemos ver 7 como um subconjunto de posições de w, isto é, p tornase a inclusão e portanto ipi(i,j) = íp(w(i,j)) para quaisquer i, j G 7 com i < j . Lema 3.19. Toda a S'sequência ( s 1 ; . . . , sm) tem um modelo w G A*.

Demonstração. Como ^ é sobrejectiva (e é aqui que se usa a sobrejectividade exigida na Secção 3.3.4), existem palavras nãovazias Wi G A+ tais que Sj = y (tu») para todo o ? com 1 < i < m. Seja w = W\- ■ ■ wm. Então w \= ( s 1 ? . . . , sm). D

72

Sejam i,j £ I com i < j posições numa ordem linear sobre S e representemos por [i,j] o intervalo de i a j . Então a ordem linear sobre S induz no subconjunto {k € 7| i < k < ?} uma sub-ordem, que denominamos de sub-ordem linear sobre S. Mais geralmente, seja T Ç I um subconjunto. Então podemos ver (T,<:pr) como uma sub-ordem linear de (7, <, pj). No que se segue, min(T) e max(T) referem-se respectivamente ao elemento mínimo e ao elemento máximo do subconjunto T de uma ordem linear 7.

Seja (7, <,(fi) uma representação de uma S'-sequência, T Ç I um subconjunto não--vazio e /*, r* G 7 posições tais que l* < r*. Uma extensão admissível de (7, <, ipj) por T em [l*, r*] é dada por uma ordem linear (!*,<, pi*) e dois refinamentos (7, <, ipj) <p (7*, <,</?/*) e (71, <,V?T) <p* (7*,<,<£J*) tais que as duas condições seguintes são satisfeitas:

1. I* = p(I)Up*(T),

2. min(p*(T)) = l* e max(p*(T)) = r*.

Uma extensão admissível refina (I,<,pi) definindo novas posições entre l* e r* de modo a que haja uma bijecção entre T e os pontos novos do intervalo alargado [/*, r*], ou seja, todos os pontos novos têm um ponto correspondente em T e tal que min(T) tem correspondência com /* e max(T) com r*.

Exemplo 3.20. Seja (si,... ,SQ) uma S'-sequência, (7, <,</?/) a sua representação canónica, l* = 4 e r* — 6. Seja (7*,<,<Ar*) uma extensão admissível de (I,<,<fi) por {0,3,4,5} em [4,6]. Então podemos assumir que I* = {0, . . . ,6} U {3*,4*}. A ordem de 7* satisfaz 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 e 4 = 0* < 3* < 4* < 5* = 6. Podemos ter ou não 5 G {3*, 4*}.

Suponhamos que temos 5 = 3*. Então, a 5-sequência correspondente tem a forma

{si,S2,S3,S4,S5,S4,S5)

tal que s$ = S1S2S3 e s^, = S4S5. A figura seguinte representa a extensão admissível.

0 * SiS2S3 ^ s4 s5

Lema 3.21. Dados (I,<,ipi),T Ç 1,1* e r* G 7, a lista de extensões admissíveis de (7, <, pi) por T em [/*, r*] é finita e efectivamente calculável.

Demonstração. Trivial visto a cardinalidade de uma extensão admissível ser majorada por |7| + \T\. Note-se que estamos a contar somente representações canónicas. D

73

Exemplo 3.22. No exemplo anterior, o número de extensões admissíveis pelo sub

conjunto {0, 3, 4. 5} no intervalo [4, 6] é dado pela soma e2 + e2 + e3 cujas parcelas são, respectivamente, os números das extensões admissíveis com 4* < 5, 3* < 5 < 4* e 5 < 3 * .

Temos ei = \{s € Se\ s5 = siS2s3sAs, s5 = ss6}|;

Si S2 S3 S 4 S6

e3 = |{s G Se\ sis2s3 = s5s, s6 = ss4s5}| .

0 - 2 L - 1 - 5 2 - 2 -^_ 3 - í l _ 4 _5fi_ 5 se

Q, S1S2S3 3, g4 4„ g5 5«

Ê2 = |{(r, s) G S1 x 5| s4 = rs, s5 = sis2s3r. s6 = ss5}|;

0 -2L- 1 - ? 2 - 2 - ^ - 3 - ^ i - 4 55 5 g

6 6

Q*£rg2g33» g4 4„ ^5 g„

y SlS253 3 ,_g4_ 4 ,»_g5_ 5 »

Notese que s1s2s3s4s5 ^ sòs6 implica e1+e2+e3 = 0. Neste caso, não existe extensão admissível por {0. 3,4, 5} em [4.6].

3.5.2 Das equações de palavras às equações fronteira

Seja X\ • • ■ xg = xg+i ■ ■ ■ xd com 1 < g < d e xt G fi para 1 < i < d uma equação com restrições racionais Lx Ç A* tais que e ^ Lx ^ 0 para qualquer i G f i . Recordemos que fixámos um homomorfismo ip : A+ —» 5 num semigrupo finito 5 tal que ip~l<p{Lx) = Lx para qualquer .r G fi. Como as imagens ip(Lx) Ç S são conjuntos finitos podemos dividir num número finito de casos onde em cada caso tp(Lx) é um conjunto singular. Ou seja, num passo nãodeterminístico, escolhemos linguagens L'x Ç Lx para todo o x G fi tais que ip(L'x) é um conjunto singular. Assim, é suficiente considerar o caso em que a entrada é X\ djf)

xg+i • "Xd com 1 < g < d e a questão é a existência de uma solução nãosingular a : fi —> A+ que satisfaz tf) — ip o a para alguma aplicação fixa tf) : fi —► S. A questão será reformulada em termos de equações fronteira.

74

Sejam n > O e íp : A+ —> 5 um homomorfismo num semigrupo finito S.

1. Um sistema de equações fronteira é definido por

B=((Tr),(I,<,Vj),esq,B)

onde T é um conjunto com 2n variáveis,": r —> E é uma involução sem pontos fixos, isto é, x == x e x ^ x para qualquer x G E, o triplo (I, <,</>/) é uma ordem linear sobre S, esq : T —> I uma aplicação e B um conjunto de equações fronteira. Toda a equação fronteira b £ B tem a forma b = (x, i, x, j) com I É T e i,j E I tais que esq(x) /) com w e A ' , tal que

w(esq(x),i) — w(esq(x),j) para qualquer (x,i,x,j) G S.

Relembramos que, se uma palavra u> G 4* é um modelo para (I,<,<fi), então vemos / como um subconjunto de posições de w. Assim, faz sentido escrever w(p, q) para p,q Ç. I com p < q.

3. Se B é solúvel então o expoente de periodicidade, exp(B), de B é definido por

exp(B) — min{exp(u;) | w é solução de B}.

Não faremos distinção entre sistemas isomorfos. Em particular, podemos sempre pensar que T = {x\,..., xn,x~[,... ,x^} e que (/, <, <pi) é a representação canónica de alguma 5sequência, / = {0 , . . . , m} para alguns n, m > 0.

Notese que, se n = 0, então não existem variáveis e portanto não existem equações fronteira. Logo, qualquer modelo w (= (/, <,^ / ) é solução de B. Assim, se n = 0, o sistema é solúvel pois, pelo Lema 3.19, o modelo w existe.

Passemos então de equações de palavras para equações fronteira. Consideremos uma equação de palavras x\ ■ ■ -xg = xg+\ ■ ■ -Xd e uma aplicação íp : il —■* S. Construímos um sistema

B=(Çrr),(I,<,<pi),esq,B)

de equações fronteira com as duas propriedades seguintes:

1. Seja a : Q —> A+ uma solução da equação de palavras tal que íp = íp o a e seja v E A* uma palavra com v = cr(xi ■ ■ ■ xg) — a{xg+\ • ■ ■ x^). Então w = vv é uma solução de B.

2. Seja w \= (I, <,ipi) uma solução de B. Então temos w E A*vvA* para algum v E A* e existe uma solução da equação de palavras a : Cl —> A+ tal que íp = p>oa e v = a(xi ■ ■ -xg) = a{xg+i •■•xd).

75

De modo a definir B começamos com a Ssequência

{ip(xl),....jp(xd)).

Seja (I,<,(pi) uma sua representação onde I = {i0,...,id} corn i0 < ■ ■ ■ < id. O próximo passo é definir o par (IV) e a aplicação esq : T -* I. O significado intuitivo de (r,~) é que Y é um novo conjunto de variáveis onde a noção de dual está definida e esq indica a posição mais à esquerda de uma variável numa solução dada. Formalizamos o conceito usando grafos nãodirigidos. Seja (V, E) o grafo com conjunto de vértices V = { 1 , . . . , d} e conjunto de arestas E = {(p, q) 6 V X V| a?p = x j . Claramente, cada aresta determina uma variável, mas agora temos uma escolha canónica para definir o dual de (p,q), (q,p). A ideia é a seguinte: para v = a{xx ■■■xg) = a(xg+1 ■ ■ • xd) e w = vv podemos considerar / como o conjunto de posições de w tal que w \= {tp(xi),..., i)(xd)) e as seguintes equações são satisfeitas:

W(ÍQ, ig) = w(ig, id) e tü(ip_i, ip) = w(iq_i,iq) V(p, q) E E.

Para a primeira equação introduzimos uma nova variável x0 e o seu dual x^; na outra lista de equações há alguma redundância visto a relação entre arestas ser transitiva. Para (p.q), (q,r) £ E temos, por definição, (p,r) G E, mas as equações w(ip-i,ip) = w(iq-i,iq) e w{iq-i,iq) = w(ir-i,ir) também implicam w(ip_i,ip) = w(ir-i,ir). Logo, não necessitamos da aresta (p.r) para a equação. Para evitar a redundância, seja F Ç E uma árvore maximal de (V, E). Assim, (V, F) é um grafo nãodirigido acíclico. Temos |F | = 2(d — c) onde c é o número de componentes conexas de (V, E). Para cada x = (P-Q) £ F definimos o seu dual e duas posições esq(x) e dir(x):

x = (q.p). esq(x) = ip_x e dir(x) = ip.

Notemos que x ^ x e x = x para qualquer x G F. Tomar os duais das variáveis corresponde a inverter o sentido das arestas em (V,F). Definimos dois elementos extra xQ e x^ com x^ = x0, definimos T = {x0,x^} U F e ainda:

esç(x0) = io, dir(xo) = ifl = esq(x^) e dir(íj) = id.

Isto define o conjunto T, a involução sem pontos fixos ": r ^ T e a aplicação esq : r —► / . Os elementos de V continuam a ser chamados de variáveis.

O último passo da construção é definir o conjunto B de equações fronteira. Deverá ser claro o que faremos. Definimos

B = {(x, dir(x),x, dir(x))\ x G F}.

Temos de verificar as duas propriedades acima:

1. Seja a : Q —> A+ uma solução tal que ?/; = </? o <r e seja w = vv onde v = a(xi ■ ■ ■ Xg) = a(xg+1 ■ ■ -xd). A palavra w tem posições 0 = i0 < i\ < ■ ■ • < id, onde id é a última posição e as equações seguintes são satisfeitas:

W(ÍQ, ig) = w(ig, id) e iL^ip-x, ip) = a(xp) para 1 < p < d.

Em particular, w (= (/, <, (pj) e w é solução de B.

76

2. Seja w \= (I,<, ipi) uma solução de B. Podemos ver / como um subconjunto de posições de w. Consideremos os factores W(ÍQ, ig) e w(ig, id) A equação fronteira (xo,dir(xo),xõ,dir(x^)) G B implica w(io,ig) = w(ig,id) e segue que w G A*vvA* para v = w(i0,ig). Definimos a : Cl —■> A+ por cr(xp) = w(ipi,ip). Como ip_i < ip, então a palavra a(xp) é nãovazia. Os elementos (x, dir(x),x, dir(x)) G B para x = (Pí?) e % — (QIP) c o m (PIQ) € T implicam w(ip_i,ip) = w(iq_i,iq) sempre que xp = iCg. Assim, cr está bem definida. Temos ipa(xp) = (pw(ipi,ip) — ip(xp) visto que w \= (I,<,<pi) Finalmente, v = w(io,ig) = w(ig,id) implica v = a{xixg) a(xg+i ■■■xd).

Assim, a equação de palavras com restrições racionais dadas pela aplicação tp tem solução se e só se o sistema de equações fronteira for solúvel. A construção do sistema B pode ser feita em tempo polinomial (e em espaço logarítmico). Devido a esta transformação, o resultado de Makanin segue do Teorema 3.24 (ver pág.78). No Lema 3.26 veremos que a afirmação do teorema é de facto equivalente ao resultado de Makanin.

Exemplo 3.23. Consideremos a equação

xyxyz = zyxyx

com as restrições racionais

Lx = a+, Ly = {a,b}+ e Lz = {a,b}+ \(a+ Uò+).

Passando ao semigrupo S dado no Exemplo 3.17, S = {a, a2, 6,0} e considerando o homomorfismo canónico (p : {a,b}+ —► S obtemos

(p(Lx) = {a, a2}, (p(Ly) = S e <p(Lz) = {0}.

Procuremos uma solução nãosingular. Façamos, por exemplo, a(x) = a. Resulta que ayayz = zyaya. Como estamos interessados numa solução nãosingular, podemos fazer a{z) = az'a ficando yayaz' = z'ayay. Sejam a(y) = b = cr(z'). Assim, a(x) = a, cr(y) = b e a(z) = aba, ou seja, a palavra v = abababa soluciona a equação. A transformação que leva ao sistema de equações fronteira é baseada na figura seguinte. A primeira linha representa a palavra w = vv de comprimento 14.

a b a b a b a a b a b a b a XQ x0

XI x2 Xs x4 x5 x5 x6 Xf x6 x7

xl X~2 xj xi

De acordo com a figura, representamos a equação por um sistema de equações de

77

palavras usando um conjunto de 8 variáveis com os seus duais {x0, x0,..., x7, x7}:

X0 = XiX2X3X4X5, XQ = X^XQX-JXQ XJ,

TT = £ 3 , x2 = x4, ^ 3 = x7; X4 = XQ,

XÍ = x\ V 0 < i < 7.

O sistema parece mais complicado que a equação original mas o modelo é mais claro com a figura. A palavra vv tem posições 0 , . . . . 14. Definimos

esq(x0) = 0, esq(x~õ) = 7, esq(xi) = 0, esq{x~i) = 2, esq(x2) = 1, esq{x^) = 3, esq(x3) = 2, esg(xi) = 11, esq(xi) = 3, esç(ïj) = 10, esq(x5) = 4, esq(x^) = 7, esg(x6) = 10, esq(x^) = 12, esç(x7) = 11, esq(x^) = 13.

O conjunto B de equações fronteira é definido pela lista:

(£0,7,20,14), (xx,l,xl, 3), (x 2 ,2 , í i ,4) , (x3 ,3,õi, 12), (x4,4,xi, 11), (x5,7,xi, 10), (x 6 ,11,^,13) , (x7,12,^7,14).

Num passo não-determinístico podemos escolher linguagens L'x Ç Lx e L' Ç Ly tais que ip(L'x) e </?(£(,) são conjuntos singulares. Como exemplo podemos escolher L'x = {a} e l j = 6*. Obtemos a S-sequência (a, b, a, ò, 0, 0,6, a, 6, a). A ordem linear é o triplo (I, <, <p) onde J = {0,1,2, 3, 4, 7,10,11,12,13,14}.

3.6 O teorema basilar

O resto do capítulo é dedicado à prova do teorema seguinte:

Teorema 3.24. É decidível se um sistema de equações fronteira tem solução.

Um passo importante é feito na proposição seguinte: podemos majorar o expoente de periodicidade na procura de uma solução.

Proposição 3.25. Dado um sistema de equações fronteira B, podemos calcular um número e(B) com a propriedade seguinte: se B é solúvel, então temos exp(B) < e(B).

Embora pudéssemos basear a prova da proposição nas mesmas técnicas apresentadas na Secção 3.4 iremos prová-la via redução a equações de palavras pois ser-nos-á útil para outros resultados.

Lema 3.26. Há uma redução efectiva da solubilidade de um sistema de equações fronteira B ao problema da resolução de uma equação de palavras com restrições racionais tal que para toda a solução w G A* da equação temos exp(B) < exp(w).

78

Demonstração. Seja B — ((r~),(I,<,(pI),esq,B) um sistema de equações fronteira. Podemos assumir que a ordem linear (7, <,<£>/) é a representação canónica da S

sequência subjacente s — (s\,..., sm). Introduzimos novas variáveis yi,..., ym com restrições racionais ip(yp) = sp para 1 < p < m.

Para cada equação fronteira b = (x,i,x,j) G B introduzimos a equação de palavras

Vesq(x)+l " ' ' Vi = Vesq(x)+1 " " 'Uj

Este sistema de equações de palavras com restrições racionais é solúvel se e só se B é solúvel. De facto, se w € A* é solução de B, então, por definição, temos (7, <, cpi) <p

ws e p(I) é um subconjunto de posições de w. Todas as equações de palavras

w(p(esq(x)),p(i)) = w(p(esq(x)),p(j))

são satisfeitas para (x.i,x,j) G B. Logo, definindo o~(yp) — w(p(p — l),p(p)) com 1 < p < m leva a uma solução do sistema de equações de palavras.

Reciprocamente, seja o~(yp) = vp com 1 < p < m uma solução do sistema de equações de palavras. Devido às restrições racionais temos ip(yp) = sp e vp ^ e para qualquer 1 < p < va. Assim, a palavra v = cr(y{) ■ ■ ■ cr(ym) é solução de B.

Transformamos o sistema de equações de palavras numa única equação E = D usando a Proposição 3.3 e reduzimos à equação Ey\ ■ ■ ■ ym = Dy\ ■ ■ ■ ym. Se w é uma solução desta última equação, então algum sufixo v de w é solução de B. Logo, exp(B) < exp(v) < exp(w). Isto mostra o lema. D

Demonstração da Proposição 3.25. Consideremos a equação Ey\ ■ ■ ym = Dy\ ■ ■ ym construída na demonstração do lema anterior. Seja d o comprimento notacional de Ey\ ■ • ym = Dyi • • ■ ym. Então definimos o número e{B) = e(c(S), d) onde e(c(S), d) é o número calculado no Teorema 3.14 em relação a esta última equação. Podemos escolher w tal que exp(w) < e(c(S),d). Isto prova a proposição. D

3.7 A condição da cadeia convexa

Seja B = ((r,~), (7, <, tpi), esq, B) um sistema de equações fronteira. Daqui em diante, uma equação fronteira 6 = (x,i,x,j) G B será também denominada de tijolo. A variável x ê chamada de etiqueta do tijolo b = (x,i,x,j). Representaremos um tijolo da seguinte forma:

x J

O tijolo dual b de b = (x, i, x,j) é dado pela inversão do tijolo e é etiquetado de x:

79

X J

x i

Suponhamos que B é fechado para duais, isto é, b G B implica b E B, e que há pelo menos um tijolo b E B com a etiqueta x para todo o x € T. Para x G T seja B(x) Ç £? o subconjunto de tijolos com etiqueta x. Então B(x) — {(x,ii,x,ji),..., (x,ir,x,jr)} para algum subconjunto nãovazio {ií;..., ir} Ç I tal que esq(x) < i\ < • ■ ■ < ir. O limite direito de x é definido por dir{x) = ir.

Antes de continuarmos, fazemos algumas suposições adicionais em B. Todas elas são condições necessárias para a solubilidade e facilmente verificadas.

Sejam (x,i,x,j),(y,i,y,j),(y,i'1y,j') G B. Assumimos desde já que:

• esq(x) < esqix) se e só se i < j .

• ipi(esq(x),i) = (pi(esq(x),j),

• esq(x) < esq(y) se e só se esq(x) < esq{y),

• i < i' se e só se j < j ' .

Suponhamos que w é solução de £>. Então w(esq(x),i) = w(esq(x).j) para qual

quer (x,i,x,j) G B. Como esq(x), esqix), i e j são posições de w não podemos ter esq(x) < esq(x) e i > j e viceversa. De modo análogo, se considerarmos os tijolos (x,i,x,j),(y,i,y,j) G B obtemos as igualdades w(esq(x),i) = w(esq(x),j) e w(esq(y),i) = w(esq(y),j) e portanto se esq(x) < esq(y), então esq(x) < esq(y) e reciprocamente. Analogamente, para os tijolos (y1i.y,j),(y,i\y,j') G B temos a última condição. Finalmente, ípj(esq(x),i) = (p(w(esq(x),i)) = ip(w(esq(x),j)) = <fir{esq(x),j).

Estas considerações implicam que se B(x) = {(x,ii,x,ji),...,(x,ir,x,jr)} é tal que esq(x) < ii < ■ ■ ■ < ir, então também temos esq(x) < ji < • • ■ < j r . Em particular, B(x) contém um tijolo {x,dir{x),x,dir{x)). O conjunto B{x) pode ser descrito como se segue:

x dir{x) >

x dir(x) J

Nas nossas figuras um tijolo (x, i, x, j) pode ser colocado em cima de (y, j ' , y. I) se e só s e j — j'■ Obtemos uma destas três configurações:

X i X j

y j y l

X i X J

y j y l

X i X j y j y l

B(x) x ?i

Ji

X

X

h J2

80

Xi «1

XÏ Í2

X2 *2

X2 Í3 X3 ^3

X3 t4

3?4 Z4

xl *5

z g i iq-l

z a i iq Xç iq Xg Íq+1

Xq+l Íq+1 Xq+l h+2

Figura 3.3: Uma cadeia convexa

Cada um destes casos é determinado pela função esq : T —> I. A figura da esquerda corresponde a esq(x) < esq(y), a do centro a esq(x) = esq(y) e a da direita a esq(x) > esq(y).

Seja k > 1. Uma cadeia de comprimento k é uma sequência de tijolos

{{Xi,Íi,Xl, t 2 ) , («2, ?:2, Î 2 , í s ) . • • ■ i O»*» »*>£*> *fc+l))j (33)

onde (xp, ip, 5^, ip+i) G B para qualquer 1 < p < k.

Para uma cadeia C e uma variável x 6 T definimos o x-comprimento de C, \C\X, como o número de tijolos em C com etiqueta x. 0 comprimento de uma cadeia C é a soma zJxer |£%-

Uma cadeia C de comprimento k dizse convexa se, para algum índice q com 1 < q < k, tivermos:

esqix^p) > esç(xp+i) para 1 < p < q. esq(x^) < esq{xp+i) para q < p < k.

Uma cadeia convexa C dizse reduzida se os tijolos de C forem distintos dois a dois.

Um tijolo (x,i,x,j) está ligado por uma cadeia convexa a um tijolo (x'.i'.x', j') se existir uma cadeia convexa (3.3) de comprimento k para algum k > 1 tal que (x,i,x,j) = (xi,ii,xj,i2) e (x',i',x',f) = (xk,ik,Xk,ik+x)-

81

Notemos_que, se C = (bi,...,bk) é uma cadeia convexa, então o seu dual C = (bk,...,bi) e (bp....,bq) com 1 < p < q < k são também cadeias convexas. Se bp = (xp. ip,Xp~. ip) para algum 1 < p < k então ( 6 l t . . . , 6p_1; 6p+1, 6fc) é uma cadeia convexa. Se bp ~ bq para algum 1 < p < q < k então {bi,... ,bp_ubq,... ,bk) é também uma cadeia convexa. Em particular, se dois tijolos estiverem unidos por uma cadeia convexa, então eles estão ligados por alguma cadeia convexa reduzida. A menor cadeia que liga dois tijolos é sempre reduzida.

Seja T Ç I um subconjunto. Um tijolo (x.i.x.j) G B é chamado base ou suporte de T se j G T. Dizemos que B satisfaz a condição da cadeia convexa (com respeito a T), se todo o tijolo b e B puder ligarse por alguma cadeia convexa a alguma base de T. O conjunto T é também denominado o conjunto de índices finais.

No que se segue, concentrarnosemos em sistemas solúveis e precisaremos de mais algumas notações. Seja B = ((T,~), (I , <, ípj), esq, B) um sistema solúvel de equações fronteira e w e A* tal que w \= (I, <, ipi) é uma solução de B. Como w é uma solução, podemos assumir que / é um subconjunto de posições de w. Para todo o x e F definimos uma palavra w(x) G A* por

w(x) = w(esq(x).dir(x)).

Isto também permite introduzir a definição de w-comprimento para x GT. Definimos

\x\w = \w(x)\.

Mais ainda, para cada tijolo 6 = (x, i,x,j) e B definimos também o seu w-comprimento por

\b\w = \w(esq(x)J)\ = i - esq(x).

Para todo o x G F e todo o 6 G B temos w(x) = w(x), \x\w = \x\w, \b\w = \b\w, e \b\w < \x\w se x for a etiqueta de b. Um tijolo é completamente determinado pela sua etiqueta e o seu wcomprimento \b\w. No lema seguinte obtemos um majorante do número de tijolos num sistema de equações fronteira. Tratase de um lema de C. Gutierrez [12] que sofreu uma ligeira alteração da responsabilidade do autor desta monografia.

Lema 3.27 (Gutierrez, 1998) . Sejam n,m,j G N, B = ( ( IV) , (/, < , ipi),esq, B) um sistema solúvel de equações fronteira e w \= (I, <,ipi) uma solução de B. Sejam |F| = In.T Ç I e \Jr\ = / . Suponhamos que todo o tijolo b G B pode ser ligado por uma cadeia convexa C a uma base de T tal que, para cada x G T, o número de tijolos em C com etiqueta x é no máximo m, isto é, \C\X < m. Então podemos limitar o cardinal de B por

\B\ < 2n ■ f ■ (m + l ) 2 n .

Demonstração. Consideremos uma cadeia convexa C de comprimento k tal que \C\X < m para todo o x G F onde o último tijolo é uma base:

C = ({Xi,Í1}X{, Z2), (X2, Í2,X^.Í2),..., (Xk, Ík,X^, Zfc+i)).

82

Existem 2n possíveis etiquetas para o primeiro tijolo. Calculemos um majorante para o número de possíveis locomprimentos do primeiro tijolo (xi, i i ,xí, I2). O w

comprimento do primeiro tijolo é determinado pela soma do u>comprimento do último tijolo (xk, ik, %k, ik+i) e dos valores esq(xi+i) — esq(xl) para i — k — 1 , . . . , 1 (que são a diferença dos wcomprimentos de bi+i e bi). Notemos que i 6 Í representa a posição na solução w logo esq(xi+i) — esq(x~l) € Z. Portanto, o locomprimento do primeiro tijolo é

Zfc+i esq(x^) + esq(xk) esq(xk~Iï) H h esq(x2) esq{x]).

Podemos reordenar as parcelas desta soma obtendo uma expressão do tipo

ik+i esq(xi) + Y^mx {esq{x) esq(x)) xer

onde, por hipótese, 0 < mx < m. O valor esq(xi) é completamente determinado pela etiqueta Xi e ik+i é uma base. Logo, podem ser produzidos no máximo

/ • (m + l)2n

valores diferentes usando estas somas, quando a etiqueta x\ é fixada. Então, há no máximo

2n • f ■ (m + l ) 2 n

primeiros tijolos diferentes. Mas isto é também um majorante do número de tijolos de B pois, pela condição da cadeia convexa, cada tijolo pode ser ligado à base por uma tal cadeia. D

Todo o sistema de equações fronteira B satisfaz, trivialmente, a condição da cadeia convexa com respeito ao conjunto / . Além disso, se construirmos B começando por uma equação nas palavras X\ ■ ■ xg = xg+\ ■ ■ x^ com 1 < g < d, teremos | / | < d. As regras de transformação que estudaremos na secção seguinte não aumentam o número 2n das variáveis nem a soma 2n + f. Aumentam os cardinais de / e de B. Contudo, o lema anterior diz que um grande número de equações fronteira (ou seja, um conjunto grande de tijolos) faz com que haja longas cadeias convexas de modo a que a condição da cadeia convexa seja satisfeita (figurativamente: muitos tijolos constróiem arranhacéus). Em seguida, veremos que longas cadeias convexas levam a torres dominó com grandes alturas e portanto a um minorante do expoente de periodicidade em qualquer solução.

Proposição 3.28. Sejam n,m G N e B = ((T~).(I,<,(pj),esq, B) um sistema solúvel de equações fronteira com \T\ = 2n. Seja w \= (I,<,<^i) uma solução de B. Suponhamos que há pelo menos uma cadeia convexa reduzida C tal que m < \C\X para algum x e T. Então temos o seguinte minorante para o expoente de periodicidade da solução w:

m <2n • (exp(w) + 1).

83

Demonstração. A hipótese implica n ^ O, logo w ^ e. A proposição é trivial para m < An. Portanto, seja n > 1 e m > An. Definimos h = [ f 1 ] . Temos /i > 3.

Seja C = (61 . . . . . o*-) uma cadeia convexa reduzida tal que m < \C\X para algum x G T. Seja òp = (xip,Zp,S~,zp+1) para 1 < p < k. Definimos m! - \f] e, por dualidade, substituindo C por C e x por x, podemos assumir que a etiqueta x ocorre pelo menos rrí vezes na parte superior da cadeia convexa como vemos na figura seguinte:

X\ h x~í h

%2 l2

X2 k £ 3 k £ 3 u

X4 k Tl k

Xk' Ík' + \

onde k' < k. Temos

esq(x~i) > esq(x2). esq(x^) > esç(x3) , . . . , esq{xjJZ{) > esq(xk>).

No que se segue, necessitamos de uma cadeia apropriada onde a etiqueta do último tijolo tem w-comprimento mínimo. De modo a encontrarmos tal cadeia, examinamos os Ixil^-comprimentos, 1 ) da direita para a esquerda. Como |T| = 2n, há no máximo n ^-comprimentos. Encontramos a sequência de índices

0 = po < pi < • • • < pn>-i < pn< = k'

tal que rí < n e, para quaisquer q,j onde pj-X < q < Pj com 1 < j < n', temos

\T > T l-^glu' _ \-^Pj \w-

De outro modo, o primeiro índice que escolhemos é k'. Começamos a subir na cadeia comparando os l^^-comprimentos, 1 \w. Se encontrarmos um tijolo bp com \xp\w < \xk'\w, então escolhemos esse índice e continuamos o mesmo processo comparando agora os (x^-comprimentos, 1 < % < p, com \xp\w. Em particular, em cada intervalo \pj-\ + 1-Pj] a última etiqueta xPj tem u'-comprimento mínimo. Como rí < n, pelo princípio do "pombal'*, há pelo menos um índice j € { 1 , . . . , n'} tal que o número de ocorrências da etiqueta x no intervalo [PJ-I,PJ] é no mínimo

- m~ 2n

84

Concluímos que existe uma cadeia convexa C = (bi,... ,bi) e uma variável i G T com as seguintes propriedades:

1(71 = I"—1 esg(xp) > esg(xp+1) para 1 \xi\w para 1 3 e a etiqueta x ocorre exactamente h vezes na cadeia convexa reduzida C. Cortando a sequência podemos assumir que x é a primeira etiqueta Xi.

Este é o ponto onde ligamos a cadeia à sequência de palavras

(w(xi),...,w(xi)).

Obtemos uma torre de palavras onde w(xi) tem comprimento mínimo e a palavra w(xi) ocorre no mínimo h vezes. Dizemos no mínimo pois poderá existir uma etiqueta Xi com Xi 7 xi, 1 < i < l, tal que w{x{) = w(xi).

w(xj) w(x2)

w(x3) W(XÍ)

w(x-0) w(x6)

Esta figura descreve certas igualdades entre factores das palavras. Notemos que, se (xi,ii,x~î, 1%) está colocado em cima de ( a ^ , ^ , ^ " ^ ) , então temos w(esq(xi), ii) = w(esq(x~[), I2) que é sufixo de w{esq{x2), I2) ~ w(^sq(x2),i3). Assim, w(xi) = w(x~[) e ^(^2) = w(x~2) têm um factor comum. Isto acontece em todos os tijolos da cadeia.

Definimos vp G A* como o prefixo de w(xp) = w(esq(xp),dir(xp)) de comprimento |tu(x;)| = \vi\ e fazemos up = w(esq(xp), ip) para 1 < p < l. Como \up\ < \w(esq(xi), ii)\ \vi\ = \VP\ P°is escolhemos a parte superior da cadeia convexa inicial, a palavra up é um prefixo de vp para qualquer 1 < p < l. A sequência (vi,..., v{) pode ser arranjada numa torre de palavras que tem uma melhor configuração: todas as palavras vp têm o mesmo comprimento.

V\ v2

V3

V4

V5

ve

85

A linha vertical corresponde à factorização vp = upu'p com 1 < p < l.

Finalmente, seja {qx, ç2, • • ■, qh\ o conjunto dos h indices onde os tijolos têm etiqueta Ti. Como a cadeia convexa que conduz a esta torre é reduzida (este é o único ponto onde o facto de ser reduzida é usado), temos uqi ^ uQ} para quaisquer 1 < i,j < h com i 7 j . Obtemos

o < K J < \uq2\ <■■•< \uqh\. Mais ainda, temos vx = vqi = vq2 = ■ ■ ■ = vqh. Omitimos todas as outras palavras na torre acima e vemos que a palavra vi está arranjada numa torre dominó de altura h e h > 2. Usando o Lema 3.7 obtemos h—l< exp(vi) < exp(w) pois V\ é factor de w e portanto

í h 1 < exp(w) Ah> — J => — < exp{w) + 1 O m < 2n ■ (exp(w) + 1).

D

Corolário 3.29. Sejam n, f € N e B = ((I\~), (I, <, (fj),esq} B) um sistema solúvel de equações fronteira que satisfaz a condição da cadeia convexa com respeito a algum subconjunto T Ç / . Sejam |T| = 2n e \T\ = / . Então temos

\B\ < 2n ■ f ■ (2n(exp(B) + 1) + l ) 2 n .

Se |r | . \T\ G 0(d) e exp(B) G 2^d+logc{s^, então temos

\B\ e 2°{d2+dlogc{S^

Demonstração. Seja m o máximo xcomprimento de uma cadeia convexa reduzida com x G T. Pelo Lema 3.27 temos

\B\ <2nf(m + l)2n.

Escolhemos uma solução w tal que exp(w) = exp(B). Pela Proposição 3.28 temos

m < 2n(exp(w) + 1).

Juntando as condições obtemos

\B\ < 2n ■ f • (2n(exp(w) + 1) + l ) 2 n = 2n • / • (2r7(exp(#) + 1) + l ) 2 n .

Temos

| 5 | < Cld ■ c2d ■ [Cld ■ (2^d+^c{S^ + l) + l]Cld

< c'(c" ■ 2C3{d+log{cis)))Cld

< 2c(

d2+

dlog(

c(

5))

para alguns ei, c2, c3. c4, c', c", c'", c e R e portanto

|_B| G 2 c l ( r f 2 + c n o g c ( 5 ) ) .

D

86

3.8 As regras de transformação

Estamos aptos a definir as regras de transformação (não-determinísticas) do Algoritmo de Makanin. Se aplicarmos uma regra a um sistema B = ((r~),(I,<,Lpi),esq,B), o novo sistema representar-se-á por B' = ((T',"), ( / ' ,<, ipr), esq', B'). As regras de transformação têm a propriedade seguinte:

Se B = ((I\~), (I. <, (fj),esq, B) satisfaz a condição da cadeia convexa com respeito a um subconjunto T Ç I, então B1 satisfaz a condição da cadeia convexa com respeito a algum subconjunto T' Ç / ' tal que |T'| + \F'\ < \T\ + \f\.

Assim, se começarmos com um sistema BQ onde |To| = 2UQ e |io| < d, então durante todo o procedimento o cardinal do conjunto de índices finais será menor ou igual a 2n0 + d.

Dizemos que uma regra (não-determinística) é correcta no sentido descendente se a seguinte condição se verificar:

Se w G A* é uma solução de B, então algum sufixo w' de w é uma solução de B' e ainda se tem |r ' | < | r | ou \w'\ < \w\.

Assim, aplicando a sistemas solúveis pelo menos uma sequência de escolhas de regras correctas no sentido descendente leva ao término, ou seja, obtemos |T'| = 0 e, como já foi visto atrás, o sistema B' é solúvel ou obtemos w' = e como modelo de B'.

Dizemos que uma regra (não-determinística) é correcta no sentido ascendente se se verificar a condição:

Se w' G A* é uma solução de B', então existe uma palavra w € A* que é solução de B.

Regra 1. Se houver algum x G T com esq(x) — dir(x) então eliminamos os tijolos

(x,dir(x),x,dir(x)) e (x,dir(x),x,dir(x))

de B. Eliminamos x e x de F.

Obviamente, a Regra 1 é correcta no sentido ascendente e descendente visto termos w(i, i) — e para todas as palavras w e todas as posições i de w. Logo, o conjunto das soluções é o mesmo. De modo a preservar a condição da cadeia convexa, introduzimos dois índices finais. Seja x G F tal que esq(x) = dir(x) e suponhamos que x,x foram eliminadas pela Regra 1. Definimos T1 = T'U {esq(x), esq(x)}. Consideremos a cadeia convexa C = (b\,... ,bm) onde para algum 1 < p < m o tijolo bp tem a forma bp = (x,dir(x),x,dir(x)). Assim, o tijolo bp foi cancelado. No entanto, o

87

tijolo bi está ligado a bp_x por uma cadeia convexa e bp-i é agora uma base visto que esq(x) = dir(x) G F'. Assim, se B satisfaz a condição da cadeia convexa com respeito a T, então o sistema B' (depois de aplicarmos a Regra 1) satisfaz também a condição da cadeia convexa com respeito a J~''. Temos

ir'1 + i-F'l < |r| + \F\.

A desigualdade estrita resulta de termos 7 n {esq(x), esq(x)} ^ 0.

Regra 2. Se existir algum x e T com esq(x) = esq(x), então eliminamos todos os tijolos (x,j,x,j) e (x,j,x,j) de B. Eliminamos x ex deT.

Relembramos que para (x,i,x,j) G B temos esq(x) = esq(x) se e só se i = j . Então, se esq(x) = esq(x), todos os tijolos de etiqueta x têm a forma (x,j,x,j). Assim, para todo o tijolo (x,j,x,j) G B com esq(x) - esq(x) temos trivialmente w(esq(x),j) = w(esq(x),j) para todas as palavras w. Logo, o conjunto das soluções é o mesmo. Mais uma vez, a Regra 2 é correcta nos sentidos ascendente e descendente. Para a condição da cadeia convexa, consideremos a cadeia convexa C = (b1,... ,òm) onde bp = (x,j,x,j) para algum 1 < p < m. Se tivermos p < m, então C = (ò i , . . . , 6p_i,6p+1,6m) é uma cadeia convexa menor que liga bx a uma base. Para p = m temos j G T. Logo, òm_j é também uma base. Temos

ir'1 + i^i < |r| + |.F|. Regra 3. Seja / = min(J). Se / ^ esq(F), então cancelamos o índice / de / . Isto significa que substituímos a ordem linear sobre S pela sub-ordem induzida (/'. <, <pr) onde / ' = / \ {/}.

E claro que a condição da cadeia convexa não é afectada por esta regra. Obviamente, a regra é correcta no sentido descendente. Para vermos que é correcta no sentido ascendente, seja (7, <, <pr) dada pela 5-sequência (su ..., sm) e seja w' e A* a solução do novo sistema depois de aplicada a Regra 3 de modo que min(7') é a primeira posição de w'. Por definição de S'-sequência, existe uma palavra não-vazia u G A+

com (f(u) = S]. Então a primeira posição de w' não é igual à primeira posição na palavra uw' e uw' é uma solução de B. Para outros usos podemos escolher u tal que \u\ < \S\ como se mostra no seguinte lema:

Lema 3.30. Sejam A um alfabeto, S um semigrupo finito e ip : A+ —> S uma aplicação sobrejectiva. Então, para todo o s G S, existe u £ A+ tal que tp(u) = s e \u\ < \S\.

Demonstração. Como tp é sobrejectiva, existe v G A+ tal que ip(v) = s. Se \v\ < \S\, então podemos tomar u = v. Suponhamos que \v\ > \S\. Seja vn o prefixo de comprimento n de v. Então v = vnwn para algum wn G A*. Consideremos o conjunto

{(p(vn) :n = l , . . . , |5 | + l}. Como S é finito, existem 1 < i < j < \S\ + 1 tal que ip(vi) = <p(vj). Temos tp(v) = (p(Vj)ip(wj) = ip(vi)ip(wj) = <p(viWj) e \viWj\ < \v\. O resultado segue por indução. D

<ss

A próxima regra é mais complexa. E o coração do Algoritmo. Antes de a aplicarmos a um sistema B = ((T,~),(I,<,(pi),esq,B), aplicamos as Regras 1, 2 e 3 sempre que possível. Em particular, assumimos que esq(x) < dir(x).esq(x) ^ esq(x) para qualquer x G T e que existe algum x G T com esq(x) = min(7).

Regra 4. Definimos l = min(I) e r — max{dir(x)\ x G T,esq(x) = /} . Notemos que l G esq(T), logo existe r G I e tem-se / < r. Escolhemos (e fixamos) algum x0 G T com esq(x0) = l e dir(xQ) = r. Definimos l* — esq(x^) e r* — dir(x^). Definimos a fronteira crítica c G / por c = min{c',r} onde

c' = mm{esq(x)\ x € T,r < <ür(;r)}.

Notemos que, como / = min(7) = esq(x0) e esg(x0) 7 esç(x^), então r = dir(x0) < dir(x~à) — r* pelas suposições feitas no início da Secção 3.7. Logo, o mínimo c' e portanto a fronteira crítica c existem. Temos l < c < r < r*. A ordem de r e l* depende do sistema mas não é importante.

Definimos o subconjunto T Ç I das posições de transporte por

T= {i G I\ i < c}l){i G I\ 3(x,i,X,j) G B : esq{x) < c}.

Notemos que min(T) = l e que i G T para todo o (x0,i,x^:j) G B. Mais ainda, como esq(x) < c implica dir(x) < r, temos max(T) = r.

Dividimos a Regra em seis passos:

Passo 1. Escolhemos uma extensão admissível (I*,<,fi*) de (I,<,<pi) por T em [Z*,r*]. Por convenção, identificamos / como subconjunto de I* e portanto I Ç I* e existe um subconjunto T* Ç /* com min(T*) = l* e max(T*) = r* tal que T* está em bijecção com T e respeita a ordem em T. Para cada i G T a posição correspondente em T* é representada por i*. Com estas notações fazemos uma restrição na extensão admissível: consideramos somente aquelas extensões onde, em primeiro lugar, i < i* para qualquer i G T e, em segundo, para qualquer (x,i,x,j) G B com esq(x) < c temos

esq(x)* = esq(x) <> i* = j , esg(x)* < esç(x) <£> i* < j .

Em particular, para todos os tijolos (xo,i,Xç>,j) temos i* = j . Se tal extensão não for possível então o Passo 1 não pode ser completado e a Regra 4 não é aplicável.

Passo 2. Introduzimos uma nova variável xu e o seu dual xZ. Definimos esq(xu) — ce esq(x^) = c*. Para todo o i G T tal que existe algum (x, i, x,j) G B com esq(x) < c < i introduzimos novos tijolos (xv,i,x~Z,i*) e (x^,i*,xv,i).

Passo 3. Enquanto houver uma variável x G F com esq(x) < c substitui-se esq(x) por esq'(x) = esq(x)* e substituem-se todos os tijolos (x,i,x,j),(x,j,x,i) G B por (x'.i*,x,j) e (x.j.x'.i*).

89

Para dispormos de alguma notação seja x uma variável antes do Passo 3 e x ' a variável correspondente depois de aplicarmos o passo. Do mesmo modo, seja b = (x, i, x.j) um tijolo antes do Passo 3 e b' = (x1. i!, x', f) o tijolo correspondente após a aplicação do passo. Se esq(x) =_ esq'(x') então podemos escrever x = x'. Em particular, J- v •Ly* %v — %i/í %0 — <£() IÏÏ.8LS XQ Y~ •£() •

Para b = (x,i,x,j) e b' = (x',i',x',f) há quatro casos:

b' = (x',i*,x',j*) se esq(x) < c, esq(x) < c, b' = (x'.i*.x,j) se esq(x) < c, c< esq(x), b' = (x,i,x',f) sec<esq(x), esqix) < c, b' = (x,i,x,j) sec<esq(x), c<esq(x).

Notemos que após o Passo 3 todos os tijolos (x0, i, x~à, j) G B têm a forma (x'Q, i*,x~à, i*).

Passo 4. Definimos o novo conjunto de índices finais

F = {?* 6 I*| i < c A i e F} U {% E F\ c < i}.

Passo 5. Cancelamos todos os tijolos com etiqueta x'0 ou x^, isto é, cancelamos todos os tijolos da forma (x'0, i*,x^, i*) ou (x^, i*, x'Q, i*). Em seguida, cancelamos as variáveis XQ e XQ~.

Passo 6. Substituímos /* por / ' = {% G I*\ c < i} e consideramos a ordem linear (/', <, (pp) induzida por (I*. <, (pi*).

Após o Passo 6 a regra de transformação está concluída. O novo sistema é representado por B'= {(Vr), (I\ <,?!>), esq1, B').

Lema 3.31. Temos |r'| = |r| e \F\ < \T\.

Demonstração. No Passo 2 novas variáveis xu e x^ foram introduzidas mas no Passo 5 as variáveis x'0 e ~x~o~ foram canceladas. Logo, |r ' | = |T|. O conjunto de índices finais foi modificado no Passo 4 de forma que |.F'| < |^*|. D

0 lema seguinte é usado para majorar o cardinal de 7" durante o processo de transformação.

Lema 3.32. Sejam & = \{{x'. Ï ,x~', f) e B'\ esq'(x') < i'}\ e 8 = \{(x:i.x,j) e B\ esq(x) < i}\. Então temos

2\r\-(3' < 2\I\-(3.

Demonstração. A desigualdade pode ser destruída quer por uma nova posição i* e T* \ I quer pelo cancelamento dos tijolos (x'Q,i*,xo~,i*) e (XQ~,i*,x'0,i*) no Passo 5, onde l* < i*. O cancelamento dos tijolos involve também uma posição do tipo i* G

90

T*. Se (x'0,i*,xõ,i*) é cancelado onde l* < i*, então i* = j para algum j € I \ {l}. Em particular, i* não é uma nova posição e portanto os dois casos não ocorrem simultaneamente. E então suficiente ver que, para cada i* G T* \ {/*}, dois novos tijolos são introduzidos no Passo 2 ou uma posição é cancelada no Passo 6. Assim, o balanço total será negativo ou zero.

Consideremos as posições i* G T* \ {/*} uma a uma. Se c* < i*, então, por definição de T e pelo Passo 2, há dois novos tijolos (xv,i, x^, i*) e (x^,i*,x„,i) G B' e temos esq(xv) < i e esq(x^) < i*. Consideremos depois i* = c*. Pelo menos uma posição (a /) é cancelada no Passo 6. Depois, seja /* < i* < c*, isto é, l < i < c. A posição % é cancelada no Passo 6. Temos então a conclusão do lema. D

Lema 3.33. A Regra 4 é correcta no sentido descendente.

Demonstração. Seja w G A* uma solução de B. Como w \= (I. <, (/?/), podemos ver i" como um subconjunto de posições de w com / = 0. Seja w = vw' onde v = w(l, c). A palavra v é um prefixo não-vazio de w(l,r). A palavra w(l,r) é um prefixo de w e ao mesmo tempo um outro factor de w''. Temos w(l,r) = w(l*,r*) com / < l* devido ao tijolo (x0,r,xõ,r*) G i?. O conjunto T é um subconjunto de posições de w(/,r), logo encontramos o correspondente subconjunto T* de posições de w(l*, r*). A união IUT* leva a uma extensão admissível (/*,<, ^/*) tal que, primeiro, i < i* para todo i G T e, segundo, w(j,k) — w(j*.k*) para todos os j,k G T com j < k. Uma inspecção cuidada mas simples da Regra 4 mostra-nos que w' (= (/', <,(pr) e w' é uma solução de B'. D

Lema 3.34. A Regra 4 é correcta no sentido ascendente.

Demonstração. Seja w' G A* uma solução de B''. Como w' (= (/', <,ip'j), podemos ver / ' como um subconjunto de posições de w' onde c é a primeira posição de w'. Definimos v = w'(l*,c*) e seja w — vw'. Então temos w \= (I*,<,ifi*) tal que v = w(l,c) = w(l*,c*). Com a ajuda dos tijolos (xu,i,x^,i*), concluímos que w(j,k) = w(j*,k*) para todos os j,k G T com j < k. Assim, temos w(esq(x), i) — w(esq(x),j) para todo o (x, i, x, j) G B. Como / Ç /*, temos que w \= (I, <, <pi) e w é uma solução de B. D

Finalmente, mostramos que a Regra 4 preserva a condição da cadeia convexa. No Passo 1 é imediato, nos restantes usamos os lemas que se seguem.

Lema 3.35. O Passo 2 preserva a condição da cadeia convexa com respeito ao conjunto T.

Demonstração. Os novos tijolos do Passo 2 têm a forma (xu,i,x~^,i*) e (ãv, i*,x„,i) para todos os (x,i,x,j) G B tal que esq(x) < c = esq(xv) < i. Como (x,i.x.j) G B pode ser ligado por uma cadeia convexa a uma base, é suficiente considerar a seguinte figura:

91

xv I

Xv I*

X~v i* xv i

x i X j

Logo, os dois novos tijolos podem ser ligados por uma cadeia convexa a uma base e portanto o Passo 2 preserva a condição da cadeia convexa. D

Lema 3.36. Seja C = (ò x , . . . , bm) uma cadeia convexa antes do Passo 3 que liga òi a bm. Então, após o Passo 3, existe uma cadeia convexa C que liga b[ a b'm.

Demonstração. Observemos localmente a cadeia convexa

C = {...,(x,i,x,j),(y,j,y,k),...).

Por simetria (trabalhando com os tijolos e a cadeia dual), podemos assumir que esq(x) > esq(y). Ilustramos esta parte da cadeia com a figura:

X i X j

y j y k

Esta é a situação antes do Passo 3. Após este denotemos os tijolos correspondentes por (x',i',x',f) e (y'J",y',k'). Isto leva à seguinte figura:

x' f

t f V k'

A questão está em se se tem f = j " . Se / = j* ou j " = j . então temos esq(x) < c ou esq(y) > c e, como esq(y) < esq(x) (ver figura), resulta que f = j " . Logo a cadeia não partirá neste local. Consideremos os casos f = j e j " = j * . Isto equivale a

esq(y) < c < esq{x) < j .

92

Com a ajuda do tijolo {xv,j,x„,j*) introduzido no Passo 2 podemos unir a cadeia partida. Temos

esqiXu) — c < esq(x) e esq'(y') < c* = esq(x^)

e obtemos a seguinte figura:

x' Ï X j

Xy j djy f

y' r V k'

Fazendo esta transformação sempre que necessário construímos a cadeia convexa C. D

Notemos que a cadeia C construída poderá conter muitos tijolos da forma (x'0, i*,xõ, i*) e (x~õ,i*,x'Q,i*). Estes tijolos serão somente cancelados no Passo 5. De facto, a sua presença no seguinte lema é bastante útil.

Lema 3.37. Após o Passo 4 a condição da cadeia convexa é satisfeita com respeito ao conjunto T'.

Demonstração. Seja b' um tijolo após o Passo 3 e b o tijolo correspondente antes do Passo 3. Este tijolo b está ligado por uma cadeia convexa a uma base (x,i,x,j) com j E J . O lema anterior constata que após o Passo 3 o tijolo b' está ligado por uma cadeia convexa ao tijolo correspondente (x',i',x',j'). Para j < c temos esq(x) < c e f = j * G T1. Logo (x',i',x',j*) é uma base. Para j ' = j temos c < j e por isso j e T' estando este caso também resolvido. 0 outro caso é c < j e j ' — j * , ou seja, quando esq(x) < c < j . Pelo Passo 2 existe um tijolo (x^,j*,xu,j) e temos esq'(x') < c* = esq(x^). Podemos pôr o tijolo (x',i',x',j*) colado à base (x^,j*,xv,j). Como j G T fi F, j é de facto uma base após o Passo 4. Obtemos a figura:

x' a x1

j * Xy f £>l/ j

D

Lema 3.38. Os Passos 5 e 6 preservam a condição da cadeia convexa com respeito ao conjunto T'.

93

Demonstração. O Passo 5 é um caso especial de uma aplicação da Regra 2. O Passo 6 é um caso especial das aplicações da Regra 3. Em particular, a condição da cadeia convexa é preservada. D

Estes lemas conduzemnos à seguinte proposição:

Proposição 3.39. A Regra 4 é correcta nos sentidos ascendente e descendente e a condição da cadeia convexa é preservada.

Exemplo 3.40. Consideremos a equação X\ ■ ■ -xg — xg+i ■ ■ -x^ com 1 < g < d e a aplicação ip : Çl —► S que determina as restrições racionais. Seja

B = ((T,-),(I,<,<Pi),esq,B)

o sistema de equações fronteira construído na Secção 3.5.2. Temos que (I, <,(fi) representa a 5sequência

O O i ) , • • •, ip(xg),tp(xg+1),..., ïp(xd)).

Assumimos que se trata da representação canónica. I = {0....,d}. O conjunto F contém duas variáveis x0 e x^ tais que esq(x0) = 0, dir(xQ) = g = esq(xõ) e dir(x^) = d. O conjunto B contém no máximo 2d equações fronteira ou tijolos sendo um deles o seguinte:

•£o 9_ £õ d

Temos | / | = d + l e | r | = | B | < 2 á . Se a equação nas palavras tiver uma solução nãosingular que satisfaz as restrições racionais, então exp(B) < 2 • e(c(S).d) onde e(c(S),d) é o valor calculado na Secção 3.4.

As Regras 1, 2 e 3 não são aplicadas a B. Vejamos a Regra 4. Temos

XQ — Xo, 1 = 0, c = g = r = l* e c* = g* = r* = d.

O conjunto T de posições de transporte é T = {0 j } e o conjunto dos índices finais

No Passo 1 temos de escolher alguma extensão admissível de (/. <,ipi) por T em [g, d]. Em geral, não é claro que tal extensão exista. Segundo a hipótese de X\ • • • xg = x9+i ■ ■ • Xd ter uma solução nãosingular a : Cl —» A+ com ipoa = yj podemos continuar. Seja v = a(xi ■ ■ -xg) e assumimos que v tem comprimento minimal entre todas as soluções que satisfazem as restrições racionais dadas por ip. Com a ajuda da palavra v o Passo 1 pode ser completado: definimos w = vv obtendo assim

w \= (^(x i ) , . . . , ^ (x d ) ) .

94

O conjunto de posições de w é {0 , . . . . m, m + 1 , . . . . 2m} onde m = \v\. O facto de w ser um modelo de (7, <, ipi) resulta da aplicação injectiva

p : { 0 , . . . , d } - > { 0 , . . . , 2 m }

que respeita a ordem em 7. Definimos T* = {m + p(i)\ 0 /*). Temos |7*| < d + g. Após renomeação assumimos 7* = { 0 ! . . . i } U T * e r = {0* i , . . ,5*} onde 0* = c = g e c* = g* = d. Isto completa o Passo 1. Como, na realidade, não conhecemos v, a escolha de 7* é uma escolha não-determinística.

Os passos seguintes são determinísticos. No Passo 2 introduzimos novas variáveis xv

e x^ com esq(xu) — g = dir(xu) e esq(x~^) = d = dir(x^) pois, nesta equação, todo o tijolo (x,i,x,j) G B com esq(x) < c = g < i é tal que i < c = g.

No Passo 3 transportamos a estrutura do intervalo [0,g] para [0*,g*] = [g,d], Se continuarmos a ver /* como subconjunto de posições de w, então temos um transporte de posições do primeiro para o segundo factor v na palavra w = vv.

No Passo 4 definimos F = {iel*\g<i}.

No Passo 5 cancelamos os tijolos-(xo, d.xõ, d) e (X~Q, d, XQ, d) e as variáveis Xo e XQ.

No Passo 6 substituímos 7* por V = T'.

A Regra 4 está finalizada. A cardinalidade de V é majorada por d. Seja B' o novo sistema. Então a palavra v é uma solução, v \= (7', <, (fp).

Como esq(xu) = dir(xu) — g, podemos aplicar a Regra 1 que cancela os tijolos (xu,g,x~^,d) e (x^,d,xv,g) e as variáveis x„ ex~^ (que são desnecessárias). Após este passo temos o novo sistema B" = ((r'0',_), (7Q, <,</?/»), esq'^, BQ). Temos |7Q| < de \T'Q\ = \B'Q\ < 2(d—1). A palavra v é agora solução de B" e portanto exp(B") < exp(v). Assim, podemos escolher e(B") = e(c(S),d).

3.9 A prova do teorema basilar

A prova do Teorema 3.24 está agora reduzida ao trabalho num grafo dirigido finito. Temos, inicialmente, um sistema de equações fronteira

BQ = ((T0-),(Io,<,<pIo),esqo,B0).

Podemos assumir que BQ satisfaz as suposições feitas no início da Secção 3.7 pois, caso contrário, BQ não seria solúvel. Trivialmente, o sistema BQ satisfaz a condição da cadeia convexa com respeito ao conjunto TQ = IQ.

95

Sejam 2n0 = \TQ\ e / 0 = |.F0| = |/0|. De acordo com a Proposição 3.25 escolhemos um número e(B0) de modo a que B0 não seja solúvel ou exp(w) < e(B0) para alguma solução w de BQ. Definimos o inteiro

/ U * = 2n0 • (2n0 + f0)(2n0(e(B0) + 1) + l)2n°.

Notemos que este valor está definido de modo a satisfazer o Corolário 3.29 para um conjunto de índices finais com cardinalidade majorada por 2n0 + /o

Consideremos o grafo dirigido G, o grafo de procura do Algoritmo de Makanin, de

finido como se segue: os vértices de Ç são os sistemas de equações fronteira B = ((r,),(/,<,<^/),esç,fí) onde:

|r| < 2n0, I/I < n0+2 . o

\B\ < /?max

Para os sistemas B e B' e G definimos uma aresta de B para B' sempre que houver uma regra de transformação aplicável a B e B' for o resultado da respectiva transformação. Um sistema B G Q com um conjunto vazio de variáveis é chamado um vértice final.

Temos B0 € G e G tem um número finito de vértices. Logo, é suficiente mostrar a seguinte afirmação: o sistema B0 tem solução se e só se existe um caminho dirigido em G de BQ até um vértice final.

A implicação recíproca é trivial visto as regras de transformação serem correctas no sentido ascendente e os vértices finais serem sistemas solúveis pelo Lema 3.19. Para a implicação directa, suponhamos que B0 é solúvel e seja w0 \= (I0, <, ípIo) uma solução que satisfaz exp(w0) < exp(B0).

Seja M > 0 e suponhamos que existe uma sequência de sistemas solúveis (BQ, BI, ..., BM) com M > 0 tal que as seguintes propriedades são satisfeitas para qualquer 1 < k < M:

1. Bk = ((Tfc."), (h, <■ 'pi^.esqk, Bk) é o sistema resultante de uma transformação aplicada a Bk~i,

2. Bk tem uma solução Wk H {h,<, fik) tal que Wt é sufixo de Wkú

3 \Th\ < \Tki\ ou \wk\ < |iüfc_i|;

4. Bk satisfaz a condição da cadeia convexa com respeito a algum subconjunto Tk Ç 4 com \Tk\ + |rfc| < 2n0 + f0.

Se BM é um sistema de equações fronteira sem variáveis, então paramos. Caso contrário, como BM é solúvel, podemos aplicar uma regra de transformação. Con

sequentemente, a sequência pode ser continuada por algum sistema solúvel £>A/+I que satisfaz as propriedades acima. Contudo, a terceira propriedade implica que M < 2n0 + \WQ\ pois, como | r0 | = 2n0, temos a garantia de, ao fim de M = 2n0 + \w0\

96

passos, obtermos \VM\ = 0 ou wM = e. Logo, temos a garantia de obtermos um sistema sem variáveis ou um sistema com a palavra vazia como modelo. Suponhamos que BM é esse sistema. Vamos mostrar que Bk é vértice de Q para qualquer 0 < k < M. Isto completa a demonstração visto obtermos um caminho dirigido de BQ a BM e BM ser um vértice final.

Temos de verificar que |rfc| < 2n0, \h\ < ^Y^ • Pmax e \Bk\ < /3max.

O caso |Tfc| < 2n0 é trivial. A segunda propriedade implica que exp(Bk) < exp(wk) < exp(w0) < e(Bo). Pelo Corolário 3.29 e a quarta propriedade temos \Bk\ < /3max. O próximo lema produz uma desigualdade que nos dará o majorante desejado da cardinalidade de qualquer Ik.

Lema 3.41. Para 0 < k < M definimos pk = \{(x,i,x,j) G Bk\ esqk(x) < i}\. Então para todo 1 < k < M temos

IF I IF I 2|ifc| — Pk H 7T~ - Pmax < 2 |Ifc_l | — Pk-l ~\ • Anax

Demonstração. Consideremos a regra aplicada para passar de Bk-\ para Bk. Para as Regras 1 e 2 temos:

|Tfc| = | Tfc—i j — 2, \h\ — Kfe-i|)

Pk-l — Pk < Pmax-Para a Regra 3 temos

IF I — IF I

\Ik\ = \h-i\ — 1) Afc = Afc-l-

Finalmente, para a Regra 4 temos i p I i p i |i fel — |i fe-i|

e o Lema 3.32 diz-nos que

2|ifc| — Pk < 2|/fe_i| — Pk-i-

A conclusão segue. D

Uma consequência do lema anterior e como pk < /3max é:

e portanto

2|4| - Pk + ^Y • Ana* < 2|/0| - A) + ^ • A.

2|4| < 2\I0\-po + --pmax + Pk-^~-Pr1

< 2\Io\ + ^--Pm^ + Pk 5: 21 /o | + n0 " Pmax + Pmax

< 2 | / 0 | + («0 + 1) • Ãnax

97

para qualquer O < k < M. Como |70| < \Bm^ obtemos \Ik\ < ^pmax. Logo, Bk e G para todo o 0 < k < M. Isto prova o teorema e portanto o Algoritmo de Makanin.

3.10 Conclusão

Finalizamos o capítulo com uma explicação menos técnica do funcionamento do Algoritmo de Makanin com o intuito de explicar de forma abreviada quais são os seus ingredientes essenciais. Fazemos também uma breve referência ao estudo da complexidade do Algoritmo.

Dado um sistema de equações no monóide livre (com restrições racionais) transformamo--lo, usando a Proposição 3.3, numa única equação cujo conjunto de soluções é igual ao conjunto de soluções do sistema inicial. Seguidamente, construímos o sistema de equações fronteira como foi explicado na Secção 3.5. Estas equações fronteira fornecem o comprimento relativo das variáveis nas possíveis soluções. Além disso, a ordem linear do sistema obriga a que as soluções do sistema satisfaçam as restrições racionais. Tal como foi construído, o sistema de equações fronteira tem solução se e só se a equação de palavras tiver solução.

Na Secção 3.6 demonstrámos uma proposição que afirma que, se um sistema de equações fronteira é solúvel, então existe uma solução com expoente de periodicidade majorado pelo valor e(B) calculado na Secção 3.4.

A definição de cadeia convexa na Secção 3.7 é essencial para a obtenção do resultado. O majorante do expoente de periodicidade produz um majorante do comprimento máximo das cadeias convexas reduzidas (Proposição 3.28). Se a condição da cadeia convexa for satisfeita, o comprimento máximo das cadeias convexas reduzidas produz um majorante do número de equações fronteira (Corolário 3.29).

O sistema de equações fronteira inicial satisfaz a condição da cadeia convexa por motivos triviais. Aplicamos a este sistema as regras de transformação definidas na Secção 3.8. Estas regras satisfazem a condição da cadeia convexa. A sua aplicação conduz a uma solução da equação ou introduz mais equações fronteira. Mas o número de equações fronteira é majorado. Assim, temos a garantia de que o Algoritmo pára.

A ideia principal das regras de transformação é o transporte de posições da esquerda para a direita juntamente com uma divisão das variáveis. Assim, se w for uma solução de um sistema de equações B, então algum sufixo w' de w será solução do sistema de equações B' resultante da aplicação de uma regra de transformação a B. Recordemos a ideia de cada uma destas regras. A Regra 1 elimina as variáveis do sistema de equações fronteira cuja possível solução é a palavra vazia. A Regra 2 elimina equações fronteira triviais: quando o transporte de posições faz coincidir duas variáveis x e x. A Regra 3 elimina as posições que foram transportadas para novas posições. Assim, passaremos a trabalhar na procura do sufixo w' da solução inicial w. Notemos que, se w = uw\ então

98

o prefixo u foi transportado e é visto como um factor de w'. Logo, após encontrarmos a solução w', obtemos a solução inicial w. A Regra 4, a mais complexa, escolhe, num passo não-determinístico, as novas posições para as posições de transporte. Todas as variáveis que têm início neste prefixo são também levadas para as novas posições. Além disso, todas aquelas que iniciam neste prefixo e finalizam no sufixo cuja solução será (supostamente) w' produzem novas variáveis e equações fronteira que correspondem aos sufixos das variáveis que são prefixos da suposta palavra w'.

A aplicação destas regras leva-nos à construção do chamado grafo de procura do Algoritmo, o grafo dirigido apresentado na Secção 3.9: os vértices são os sistemas de equações fronteira B onde o cardinal do número de equações fronteira é majorado. Uma aresta dirigida de B para B' é definida sempre que houver uma regra de transformação aplicável a B e B' for o resultado dessa transformação. O sistema terá solução se e só se existir um caminho dirigido do vértice inicial, que é o sistema de equações fronteira inicial, até um vértice final, com um conjunto vazio de variáveis.

Durante a apresentação não nos focamos nas condições de decidibilidade necessárias para podar o grafo de procura. Claro que uma poda estratégica seria extremamente importante para a implementação do Algoritmo visto que o grafo poderá ser muito grande. No entanto, ela não contribui para a compreensão do Algoritmo.

Volker Diekert [17] faz um breve estudo da complexidade do Algoritmo de Makanin e apresenta o resultado:

O espaço requerido pelo Algoritmo de Makanin para equações no monóide livre com restrições racionais é no máximo exponencial. Mais precisamente, temos o majorante de complexidade seguinte:

DSPACE{2°{d2+drlosr))

onde r é o número definido na página 63.

Neste artigo podemos também encontrar uma lista de referências bibliográficas que um leitor mais interessado no estudo da complexidade poderá consultar. Citamos, em particular, o desenvolvimento feito por C. Gutierrez [12] que mostra que o espaço requerido para o Algoritmo de Makanin não excede EXPSPACE. Trata-se da afirmação feita por Diekert que continua a ser o menor espaço requerido para o pleno desenvolvimento do Algoritmo de Makanin.

Notemos que este resultado não nos fornece nenhuma conclusão acerca da complexidade do problema da solubilidade das equações no monóide livre. Em 1999 W. Plan-dowski cria um novo caminho para solucionar equações no monóide livre que é independente do trabalho de Makanin e que requer um espaço polinomial. Primeiro, em [25], mostra que o problema da solubilidade de equações no monóide livre é resolvido em NEXPTIME. Depois, em [26], mostra que o espaço requerido é PSPACE. Um ingrediente importante do trabalho de Plandowski é o uso de dados comprimidos. E um problema interessante, ainda em aberto, se o uso dos dados comprimidos poderá

99

também diminuir o majorante da complexidade no método de Makanin, de espaço exponencial para espaço polinomial.

100

Capítulo 4

Equações em grupos livres que não são finitamente aproximáveis

Em 1983, G. S. Makanin [22] descreveu um algoritmo que reconhece a solubilidade de qualquer equação num grupo livre. Este algoritmo não se assemelha ao algoritmo descrito no capítulo anterior sendo mais elaborado e de difícil compreensão.

Dada uma equação num grupo livre dizemos que ela possui a propriedade de ser finitamente aproximável se a equação tiver solução em F se e só se tiver solução em todo o quociente finito de F.

G. Sabbagh levantou a seguinte questão: é ou não verdade que toda a equação num grupo livre é finitamente aproximável? Se assim for temos dois semi-algoritmo s para resolver o problema: um gera sucessivamente todos os candidatos a soluções e testa, um a um, se o são, parando em caso afirmativo; o outro gera sucessivamente todos os quocientes finitos de F verificando, em cada um, se ele fornece uma prova de que a equação não tem solução no quociente finito. Se a resposta for não, o semi-algoritmo pára, concluindo que a equação não tem solução em F.

G. Baumslag [6] mostrou que para uma equação da forma x~lux = v ou xp = u, onde u,v £ F, x é uma variável e p um primo, a resposta é afirmativa. A. Khelif [14] provou que para uma equação da forma xn — u ou [x, y] = v, com u, v G F, x,y variáveis e n um inteiro, a resposta também é afirmativa.

Se a resposta à questão de Sabbagh fosse afirmativa, então teríamos uma prova alternativa ao resultado de Makanin.

T. Coulbois e A. Khelif [8] dão como exemplo a seguinte equação que não é finitamente aproximável em F:

[x2a,y-lz2by}=ti (4.1)

onde a, b são elementos distintos de um conjunto de geradores livres de F e x, y, z e t são variáveis. Dedicamos o capítulo à prova deste resultado terminando com uma generalização.

101

Seja F um grupo livre nãocomutativo. Consideremos a equação (4.1). Em primeiro lugar, mostramos que (4.1) tem uma solução em qualquer quociente finito de F. Seja G = F/N um quociente finito de F. Como todo o elemento de G tem ordem finita, existem dois inteiros a e f3 tais que a2a+l e ò2/í+1 são elementos cuja ordem é uma potência de 2. Sejam P = (a2a+1) e Q = (62/3+1). Como todo o 2subgrupo está contido num 2subgrupo de Sylow, existem dois 2subgrupos de Sylow P' e Q' tais que P < P' e Q < Q'. Por um teorema de Sylow, os 2subgrupos de Sylow P' e Q' são conjugados. Logo, existe um elemento g <E G tal que a2a+l e g~lb20+1g estão no 2subgrupo de Sylow P'. Assim, estes dois elementos geram um 2subgrupo de G. O comutador destes dois elementos está também neste 2subgrupo. Queremos mostrar que é um cubo, ou seja, que temos a igualdade

[a2a+\g1b28+1g] = h3 (4.2)

com h € G.

Proposição 4.1. Seja G um 2grupo finito. Então o homomorfismo

V?G: G > G 3

X I—► Xo

é sobrejectivo.

Demonstração. Seja 2n a ordem de G. Procedemos por indução sobre n sendo a base de indução trivial: o único grupo de ordem 2 é, a menos de isomorfismo, Z/2Z e </?z/2z é obviamente sobrejectiva. Suponhamos que, para todo o 2grupo com ordem inferior a 2n, ípo é sobrejectiva. Seja G um grupo com \G\ — 2n. Seja H um subgrupo maximal de G. Então \H\ = 2n~1 e, por hipótese de indução,

H ► H X H^ X

3

é sobrejectiva. Logo, H Ç Irrupa Se todo o elemento de G estiver contido num subgrupo maximal, então Imipc = G. Caso contrário, G é cíclico e portanto G ~ Z/2nZ. Mas, considerando o homomorfismo

 Ba

temos que 3x = c (mod 2n) se e só se x = c (mod 2") visto que mdc(2, 3) = 1. Portanto, (p é sobrejectiva e o resultado segue. D

Resulta que (4.2) se verifica. Fazendo x = aa,y = g,z = bl3et = h concluímos que (4.1) tem solução em G.

Mostramos agora que (4.1) não tem solução em F. Na Secção 2.2 vimos que um comu

tador é uma potência própria num grupo livre se e só se é trivial. Consequentemente, se (4.1) tem solução em F', então a equação

[x2a,y~1z2by] = 1 (4.3)

102

também tem solução em F. Logo, a equação (4.3) também tem solução em qualquer quociente finito de F.

Consideremos o homomorfismo

<p: F -* (7T3(Z/2Z)

tal que / 1 1 0 \ / 1 0 0

ip(a) = 0 1 0 e ip(b) = 0 1 1 \ 0 0 1 / \ 0 0 1

onde C/T3(Z/2Z) é o grupo das matrizes unitriangulares superiores de dimensão 3 sobre o grupo Z/2Z.

Sejam

( 1 X\ X2 \ / 1 t/l 2/2 \ / 1 zl z2 \

0 1 x3 , <p(y) = 0 1 í/3 e <p(z) = 0 1 z3 0 0 1 / \ 0 0 1 / \ 0 0 1 /

com Xi, i/i, Z{ € Z/2Z para todo o i € {1,2,3}. Com um cálculo simples obtemos 1 1 XiX3 \ / 1 - 1 -X1X3

ip{x2a) = J 0 1 0 , iç{x2a)~l = 0 1 0 0 0 1 / \ o o 1

1 0 -j/i + ziz3 \ / 1 0 yi-ziza ip(y-1z2by) =-- I 0 1 1 , ^{y'1z2byy1 = 0 1 - 1

x 0 0 1 / \ o o 1 e portanto

/ 1 0 1 \ ^[x2a,y-1z2by})= 0 1 0 U l .

\0 0 l ) Isto prova que a equação (4.3) e, consequentemente, a equação (4.1) não tem solução em F.

Resulta que (4.1) não é finitamente aproximável.

De modo análogo, substituindo os primos 2 e 3 pelos primos p e q respectivamente e considerando o homomorfismo

9? : F -* UT3(Z/pZ)

tal que / 1 1 0 \ / 1 0 0

ip{a) = 0 1 0 e <p(b) = 0 1 1 \ 0 0 1 / \ o o 1

podemos mostrar a proposição seguinte:

103

Proposição 4.2. Toda a equação da forma

[xpa,y-1zpby]=tg (4.4)

onde a e b são elementos distintos de um, conjunto de geradores livres de F, x, y, z e t são variáveis e p e q primos distintos não é finitamente aproximável.

Nota 4.3. Na demonstração da proposição, a existência de dois inteiros a e (3 tais que apa+1 e 6ï,/3+1 têm ordem uma potência de p pode ser provada como se segue. Suponhamos que a ordem de a no quociente finito é n = pkr onde p não divide r. Notemos que o subgrupo gerado por a é isomorfo a Z/nZ, para a adição mod n, e portanto existe um isomorfismo que envia a em 1. Os múltiplos de a cuja ordem é uma potência de p são os múltiplos de r. Trata-se portanto de resolver a seguinte congruência em x e y:

ry = 1 + px (mod n).

Como mdc(n,p) = p, esta congruência tem solução se e só se p dividir ry — 1 para algum y, ou seja, se e só se a congruência

ry = 1 (mod p)

tiver solução. Ora, esta congruência tem solução porque mdc(p,r) = 1.

Este resultado fornece um conjunto de equações que não são finitamente aproximáveis. No entanto, a fronteira entre as equações que possuem ou não esta propriedade está muito longe de ser identificada.

104

Epílogo

Terminamos este trabalho recapitulando as observações, as conclusões e os problemas que nos foram surgindo.

Como resposta ao problema de decidibilidade de sistemas de equações no monóide livre, estudamos profundamente o funcionamento do Algoritmo de Makanin. É um método que se baseia na fusão de duas factorizações da mesma palavra, palavra esta que corresponde à solução de uma variável. Esta fusão propagar-se-á sempre que exista uma nova ocorrência da variável na equação. Na factorização mais fina, obtida após todas as comparações, construímos as possíveis soluções. É claro que o problema não é tão trivial como parece. O facto de não sabermos nem as soluções nem o comprimento das soluções de cada uma das variáveis faz com que este processo seja não-determinístico e a complexidade do espaço requerido seja exponencial. No entanto, o majorante do expoente de periodicidade e, consequentemente, o majorante do número de equações fronteira que vamos construindo permite-nos considerar somente algumas escolhas e construir um grafo que nos garante a solução do nosso problema. A inserção de restrições racionais nas variáveis do sistema não aumentou a complexidade do algoritmo mas permite que este abranja outros sistemas de equações.

Se o leitor considera o Algoritmo de Makanin para equações no monóide livre rebuscado e intricado, surpreender-se-á com um Algoritmo para equações no grupo livre ainda mais complicado. Tendo em vista um estudo alternativo da decidibilidade de equações no grupo livre começamos por estudar alguns exemplos de equações. Na equação da Secção 2.1 reduzimos o trabalho no grupo livre ao trabalho no monóide livre e chegámos ao nosso resultado usando somente uma análise combinatória profunda e por vezes exaustiva. Na equação da Secção 2.2 recorremos a resultados bem conhecidos da Teoria de Grupos e obtivemos uma prova mais rápida e talvez mais inteligível para um leitor que se sente familiarizado com a linguagem mais elementar da Teoria de Grupos. Enunciamos, mas não provamos, uma generalização destas equações e identificamos um conjunto de equações para as quais conseguimos reconhecer todas as soluções. No entanto, estamos ainda muito longe de resolver o problema de decidibilidade por métodos clássicos da Teoria de Grupos.

Numa tentativa de o resolver, apresentamos um algoritmo de decidibilidade proposto por Sabbagh para equações finitamente aproximáveis. O seu funcionamento é muito simples. Elaboram-se dois semi-algoritmos: um gera sucessivamente todos os candi-

105

datos a soluções e testa, um a um, se o são; o outro gera sucessivamente todos os quocientes finitos do grupo e testa, um a um, se a equação não tem solução em cada quociente finito. 0 algoritmo pára numa das situações: ou com a resposta sim do primeiro semi-algoritmo, ou com a resposta não do segundo. Acontece que nem todas as equações têm a propriedade de serem finitamente aproximáveis. Apresentamos nesta monografia uma família de equações que não têm esta propriedade. Fizemos referência [6, 14] a dois exemplos de equações finitamente aproximáveis. Trabalhos recentes de C. J. Ash [4], L. Ribes e P. A. Zalesskiï [27, 28] e de J. Almeida e M. Delgado [2, 3] caminham no intuito de clarificar a fronteira entre os sistemas que possuem ou não possuem a referida propriedade.

106

Bibliografia

[i]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7

[9

[10*

[H

J. Almeida, Finite Semigroups and Universal Algebra, World Scientific, Singapore, 1994. English translation.

J. Almeida and M. Delgado, Sur certains systèmes d'équations avec constraintes dans un groupe libre, Portugal. Math. 56 (1999) 409-417.

, Sur certains systèmes d'équations avec constraintes dans un groupe libre-addenda, Portugal. Math. 58 (2001) 379-387.

C. J. Ash, Inevitable graphs: a proof of the type {II} conjecture and some related decision procedures, Int. J. Algebra Comput. 1 (1991) 127-146.

G. Baumslag, Some aspects of groups with unique roots, Acta Math. 104 (1960) 217-303.

, Residual nilpotence and relations in free groups, Journal of Algebra 2 (1965) 271-282.

M. Cohen, W. Metzler, and A. Zimmermann, What does a basis of F(a. b) look like?, Math. Ann. 257 (1981) 435-445.

T. Coulbois and A. Khelif, Equations in free groups are not finitely approximable, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999) 963-965.

M. Crochemore, An optimal algorithm for computing the repetitions in a word, Inform. Proc. Letters 12 (1981) 244-250.

L. E. Dickson, Finiteness of the odd perfect and primitive abundant numbers with n distinct prime factors, Amer. J. Math. 35 (1913) 413-422.

E. Domenjoud and A. P. Tomás, From Elliot-MacMahon to an algorithm for general linear constraints on naturals, in Proc. 1st Int. Conf. Principles Practice Constraint Programming (CP'95), Cassis (France), Lecture Notes in Computer Science 976 (1995) 18-35.

[12] C. Gutierrez, Satisfiability of word equations with constants is in exponencial space, in Foundations of Computer Science (FOCS 98) (1998) 112-119. IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, California.

107

[13] M. Hall, The Theory of Groups, AMS Chelsea Pub., New York, 1976.

[14] A. Khelif, Some properties of free groups and their profimte completions, in preparation.

[15] A. Koscielski and L. Pacholski, Complexity of Makaniris Algorithm, J. Assoc. Comput. Mach. 4 3 (1996) 670-684. Preliminary version in Foundations of Computer Science (FOCS 90), 824-829.

[16] M. Lothaire, Combinatorics on Words, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1983.

[17] , Algebraic Combinatorics on Words, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

[18] R. C. Lyndon, The equation a2b2 = c2 in free groups, Michigan Math. J. 6 (1959) 89-95.

[19] R. C. Lyndon and M. P. Schiitzenberger. The equation aM = bNcp m a free group, Michigan Math. J. 9 (1962) 289-298.

[20] W. Magnus, A. Karrass, and D. Solitar, Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups m Terms of Generators and Relations, Dover, New York, 1976.

[21] G. S. Makanin, The problem of solvability of equations in a free semigroup, Math. Sb. (N. S.) 103 (1977) 147-236. In Russian. English translation in: Math. USSR-Sb. 32 (1977) 129-198.

[22] , Equations in a free group, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 46 (1982) 1199-1273. In Russian. English translation in: Math. USSR-Izv. 21 (1983) 483-546.

[23] . Decidability of the universal and positive theories of a free group, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984) 735-749. In Russian. English translation in: Math. USSR-Izv. 25 (1985) 75-88.

[24] G. Markowsky, Bounds on the index and period of a binary relation on a finite set, Semigroup Forum 13 (1977) 253-259.

[25] W. Plandowski, Satisfiability of word equations with constants is in NEXPTIME, In Theory of Computing (STOC 99) (1999) 721-725. ACM Press.

[26] , Satisfiability of word equations with constants is in PSPACE, In Foundations of Computer Science (FOCS 99) (1999) 495-500. IEEE Computer Society Press.

[27] L. Ribes and P. A. Zalesskiï, On the profimte topology on a free group, Bull. London Math. Soc. 25 (1993) 37-43.

[28] , Conjugacy separability of amalgamated free products of groups, J. Algebra 179 (1996) 751-774.

108

[29] J. Rotman, An Introduction on the Theory of Groups, Springer-Verlag, New York, 1995.

[30] M. P. Schützenberger, Sur l'équation a2+n = b2+mc2+p dans un groupe libre, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A 248 (1959) 2435-2436.

[31] E. Schenkman, The equation anbn = cn in a free group, Annals Math. 70 (1959) 562-564.

[32] K. U. Schulz, Makanin's algorithm for word equations: Two improvements and a generalization, In Schulz, K. U. (Ed.) (1992). Word equations and Related Topics (IWWERT 90), Vol. 572 of Lect. Comp. Sci., pp. 85-150. Springer Verlag.

109

índice remissivo

alfabeto, 18 letras, 18

base, 82

cadeia, 81 comprimento, 81 condição da cadeia convexa, 82 convexa, 81

reduzida, 81 x-comprimento, 81

comutador, 28 congruência sintáctica, 19 conjunto das posições, 72 corte, 71

elemento básico, 44 equação, 20

comprimento notacional, 63 finitamente aproximável, 101 sistema de, 20

comprimento notacional, 48 quadrático, 20

solução, 20 não-singular, 20 singular, 20

equações fronteira, 75 sistema de, 75

expoente de periodicidade, 75 solução, 75

extensão admissível, 73 extensão natural, 18

factor, 19 comum, 21 prefixo, 19 próprio, 19 sufixo, 19

fronteira crítica, 89

grafo de procura, 96 vértice, 96

final, 96 grupo, 18

livre de base X, 23 localmente a propriedade V, 28

índices finais, 82 inverso, 18

formal, 24

linguagem, 18 racional, 18 reconhecida por um semigrupo, 18 reconhecível, 19

lista, 58 completa, 58

modelo, 72 monóide. 17

morfismo de, 17 submonóide, 17

gerado por X, 17

ordem linear, 72 sub-ordem, 73

palavra, 18 comprimento, 19 conjugadas, 21 expoente de periodicidade, 56 forma normal p-estável, 57 multiplicação, 24 primitiva, 22 reduzida, 24

ciclicamente, 25 sobreposição, 21

111

vazia, 18 posições de transporte, 89

racional, 18 refinamento, 72

refinamento comum, 71 regras de transformação, 87

correcta no sentido ascendente, 87 correcta no sentido descendente, 87

representação, 71 canónica, 72

S'sequência, 71 semigrupo, 17

livre, 18 morfismo de, 17 sintáctico, 19 subsemigrupo, 17

gerado por X, 17 suporte, 82

tijolo, 79 dual, 79 etiqueta, 79

^comprimento, 82 ■«.'comprimento, 82

torre dominó, 55

índice de símbolos

aplicações ~,75 i, 24 4>, 24 a, 20 9, 63 cfór, 80 esq, 75 H , 19 ||,S||,48

comutador [x,y], 28

conjuntos A, 18 5 , 75 J, 72 L, 18 Lx, 62 Jted(A), 24 T, 89 r , 75 n, 20 23, 75 JF, 82 C, 58 5, 48 Ã, 24

elementos do grupo tj>(u), 24 x"1 , 18

grupos F, 41 G, 25

inteiros Pmax, yt* [n], 60

Ioga, 60 c, 89 c(S), 63 d, 63 e(B), 78 e(c(S),d), 64 exp(B), 75 exp(u;), 56 |CU, 81 l&U, 82 \T\ 82

monóides A\ 18 M, 24 S€, 63 X*, 17

operações *, 17 + ,17 . , 2 4 • , 1 8

palavras e, 18 ã, 24 «, 24 IÜ(X), 82

relações <, 20 <, 20 -<, 19 TL, 19

semigrupos A+, 18 A+/aL, 19 5, 63 SintL. 19

113

X+, 17

outros (I,<,Vi), 72 C, 81 a, 96 <%(n)), 48 h 72 6= (xj,x,j), 75

114

Equações no monóide livre e no grupo livre · Tese submetidaà Faculdade de Ciências da...

Documents

Transcript of Equações no monóide livre e no grupo livre · Tese submetidaà Faculdade de Ciências da...