Equações de Conservação - ABCMeventos.abcm.org.br/jem2017/content/uploads/2017/... · Modelos...

Equações de Conservação

Angela O. Nieckele

- Grupo de Dinâmica dos Fluidos ComputacionalDFC

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

Departamento de Engenharia Mecânica

2

Objetivo

Apresentação das equações de conservação

para analisar escoamento multifásicos

3

Introdução

Fases: Sólida (partículas)

Líquido (uma ou mais imiscíveis)

Gás

Escoamentos Bifásicos: Gás/Líquido

Gás/Sólido

Líquido/Líquido

Multifásico Gás/Líquido/Líquido

Gás/Sólido/Líquido

Gás/Sólido/Líquido/Líquido

4

Introdução

estratificado

estratificado

ondulado

bolhas alongadas

golfadas

anular

bolhas dispersas bolhas golfadas caótico anular

Classificados de acordo com a estrutura

Separados, misturados ou dispersos

Escoamento multifásicos são mais complexos de serem

modelados do que escoamentos monofásicos, devido a

estrutura complexa e desconhecida das interfaces

5

Introdução

Padrão de Escoamento: A importância em conhecer o padrão de escoamento é clara. É necessário para:

avaliar a transferência de calor, queda de pressão, etc.,

Realizar cálculos, visando determinar a condição de operação de equipamentos.

modelar o escoamento, pois dependendo do padrão, diferentes aproximações e consequentemente modelos podem ser mais apropriados

6

Introdução Escoamento monofásico:

Leis de conservação: massa, quantidade de movimento e

energia

Condição de contorno: entrada, paredes, simetria e saída

Classificado em laminar ou turbulento

Escoamento multifásico

Mesma leis de conservação que o escoamento monofásico

Dificuldades:

Múltiplas interfaces, deformáveis, móveis e desconhecidas

Descontinuidade de propriedades

Campos complexos nas regiões de interface

7

Leis de Conservação para

Escoamento Monofásico Conservação de massa 0

)div( u

t

Conservação de quantidade de movimento

])u)(u[(uu

u Tr

p

tuxg

3

2r pp

q

tD

pDh

t

h

u:τqu

)(u)()(

ttD

D

Conservação de energia

Tk q

8

Leis de Conservação para

Escoamento Multifásico Mesma leis de conservação que o escoamento

monofásico

Balanços

Interfaciais1

2

n2

n1

Ai

ui

21 nn

9

Balanços Interfaciais

Balanço de massa interfacial

02

1

k

ikkk )u(un

S

tSkini

/nuu

tinii uuu

02

1

k

km

)u(un ikkkkm

Fluxo de massa interfacial

uni velocidade de deslocamento da interface

Posição da interface S(x, t)

kini nuu

ou

10


Balanço de quantidade de movimento interfacial

kkkikkkk nu)u(unM

kkk p τI

Fluxo momentum interfacial

mk

k MM

2

1

kkkkkk pm τInuM

)u(un ikkkkm

11


Parcela normal representa o efeito líquido da curvatura da interface, onde k é a curvatura média da superfície e g é a tensão superficial.

Parcela tangencial devido ao gradiente da tensão superficial.

kg mm κ MnM 2

Fonte de momentum de mistura

normal tangencial

12


Balanço de energia

1

2

A1

A2

n2

n1

Ai

Energia interna por unidade de área interfacial:

1

2

1

diia

2

1

2

2kkkkk

kkikkkikia

au

iit

iqun)u(unuMu

taxa de variação da energia da superfície

trabalho

realizado pela

tensão

superficial

transferência de energia do fluido de cada lado da interface

13


1

2

A1

A2

n2

n1

Ai

mk

k EE

2

1

Balanço de energia interfacial

kkkkkk

kkk pu

imE quτIn

2

2

Fluxo energia interfacial

Fonte de energia de mistura: mE

14

Escoamentos Multifásicos

Formulação local e instantânea para escoamentos multifásicos é muito difícil

Classes de Modelos

Modelos de “um fluido”: solução detalhada das equações de Navier Stokes

Modelos de equações reduzidas, uso de grandezas médias

15

Modelos de “um fluido”

16


solução detalhada das equações de NavierStokes:

Malha Adaptativa

Fronteira Imersa

Volume of Fluid (VOF)

Level-Set

17

Modelos de “um fluido” Os diferentes fluidos podem ser identificados

com a função degrau H (Heaviside).

Fluido 1: H = 1, Fluido 2: H = 0

A

adyyxxyxH ')'()'(),(

n)('n')'()'(),( nsdnsyxHS

A

H=1

n

H=0

S

)(

'n)'()'(

tS

dsxxxxH

y s n

x

O gradiente de H pode ser avaliado utilizando o teorema de divergência

introduzindo coordenadas locais, tangente (s) e normal (n) à frente

18

Modelos de “um fluido”:

Tratamento das Propriedades Massa específica:

Equações análogas podem ser escritas para as outras propriedades, como viscosidade e propriedades termo-físicas

)],([),(),( yxHyxHyx o 11

n)()(),()(),( nyxHyx oo 11

líquidogás

sl

glg

g sg

sólido

gsl

lg

slsg

g

gg arccos

Ângulo de contato

g= tensão interfacial

19

Malha Adaptativa Equações de conservação são escritas em um sistema de

coordenadas curvilíneas móvel.

Movimento da interface governado pelas condições de salto de massa, quantidade de movimento e energia na interface.

Fase 1 Fase 2

(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN

(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN(2D) 21 Oct 2000 STRFCN

])u)(u[(uu~

u

uuu~

Tr

pt

mesh

26

Malha Móvel Fusão em uma cavidade

(Rocha e Nieckele, 2000)

31

Método de Fronteira Imersa

As equações de Navier-Stokes são resolvidas em uma malha fixa

Uma frente móvel e deformável é usada para marcar a interface

Conhecendo

informações da frente,

as direções normais e

tangenciais são

facilmente obtidas

32

Interpolando da malha As velocidades da malha fixa são interpoladas

para serem utilizadas na malha móvel

Os pesos wijk podem

ser selecionados de

diferentes formas

ijkijk w


33

Aproximando os termos singulares Os valores da frente são distribuídos na malha fixa

na frente: por comprimento

na malha: por volume

3h

Swijkijk


34

Métodos de Captura de Interface:

VOF e Level-Set

00

C

t

C

tD

CDu

Função marcadora: C

VOF: fração volumétrica de uma fase

Level-Set: distância à interface

Evolução da função marcadora

35

VOF

Função marcadora:

fração volumétrica de uma fase

a

a0

Phase 1

Phase 2

a 0,interfacea

a0

Excelente em satisfazer a conservação de massa.

Dificuldades com falsa difusão.

36

Level-Set

Função marcadora:

Função Distância com Sinal

a

O campo distância é suave ao longo de todo o domínio,

inclusive ao redor das interfaces.

Problemas em satisfazer conservação de massa.

37


Conservação de Quantidade de Movimento Linear

0

u

t

n)(])u)(u[(uuu

npt

kg

Tr

uxg 3

2r ppnk

k= raio de curvatura

g= tensão interfacial

Equações de conservação:

Conservação de Massa:

38

Estimativa da Curvatura

Level-Set / VOF acoplamento

Height-Function

Reconstructed Distance Function (RDF)

Kernels suavisado no VOF field

Campo de VOF ajustado com superficies em intervalos quadráticos

Point-cloud VOF

a

ak

CSF (Continuous Surface Force)

a

a

agkg n)(n

39(Melo e Nieckele, 1995)

Movimento ascendente de uma bolha

através de uma restrição

53

Imagem de uma bolha de

Taylor e campo de

velocidade com PIV

(Azevedo, 2005)

(Melo e

Nieckele,

1995)

Formação de Golfada Escoamento água/ar em uma tubulação com 2 in de diâmetro

solução numérica com VOF (Febres, 2009)

experimental (Fagundes Netto, 1999)

Calda da golfada Nariz da golfada

Um= 1,8 m/s

Um= 0,6 m/s

Formação de Golfada Escoamento água/ar em uma tubulação com 1 in de diâmetro

experimental numérico

(Fonseca Jr, 2009) VOF (Febres, 2009)

0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

y/R

W(m/s)-0.2D Fonseca(2009) Presente

-0.4D Fonseca(2009) Presente



0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

y/R

W(m/s)-0.2D Fonseca(2009) Presente




VOF

VOF

VOF

VOF

Um= 0,6 m/s

Formação de Golfada

Um= 0,77 m/s

- 0,8D -0,6 D -0,4 D -0,2D 0,0 D

Escoamento água/ar em uma tubulação

com 1 in de diâmetro

57

Bolha ascendente

Re=35Eo=9Ca=0,286We=10

Re=35Eo=125Ca=3,571We=125

Kassar et al, Cobem, 2015

Kassar et al, ICMF, 2016

58

Modelos de Equações Reduzidas

59


O escoamento em geral é caótico, com a

exceção de casos muito simples. Uma

descrição estatística é necessária.

É necessário definir propriedades médias da

mistura: médias no volume, na área, médias

temporais, médias de conjunto, ou uma

combinação destas.

60

Definição de Médias

Média temporal:

Média espacial:

volume área linha

t

dttFt

)x,(1

)x()x,( dtF1

A

dAtFA

)x,(1

C

dCtFC

)x,(1

Média temporal: intervalo de tempo [ t ] deve ser grande o suficiente

para suavizar as variações locais das propriedades, mas pequeno o

suficiente quando comparado com o tempo macroscópico do

escoamento.

61

Definição de Médias

Médias no volume da fase

k

dZtZ kk

k1

)(x,

Fração volumétrica da fase k :

k

ka

•Volume: =1+2 → a1 + a2 = 1

•Fronteira do volume : S = S1 + S2

• S1 (pontilhada) e S2 são as partes de

que estão em contato com as fases 1 e 2

• A soma das interfaces separando as

duas fases dentro de é Si.

62

Formulação de Médias

Consequências do processo de média

suavização das flutuações de forma

análoga a que ocorre em um escoamento

monofásico turbulento

existência de duas fases, que ocupam

alternadamente um elemento de volume,

no mesmo ponto, com uma probabilidade

adequada para cada fase

63


Modelos de Dois Fluidos

Fases separadas, um conjunto de equações de conservação para cada fase

Modelo de Deslizamento (Drift)

Modelo intermediário entre os outros dois. Determina o escoamento médio, porém, permite deslizamento entre as fases

Modelo Homogêneo

Pseudo propriedades de um único fluido

O Modelo de Deslizamento e o Modelo Homogêneo podem ser

obtidos a partir do Modelo de Dois Fluidos

64


Processo de obtenção do conjunto de equações que

caracteriza o Modelo de Dois Fluidos

Média Temporal

Navier-Stokes

• Formulação local instantânea para cada fase

• Equações constitutivas/Salto na Interface

Modelo de Dois

Fluidos 3D

• Equações médias para cada fase

• Equações constitutivas e fontes interfaciais

Modelo de Dois

Fluidos 1DMédia Espacial

(seção transversal)

t

dttFt

)x,(1

tAtk

tk dAF

AtF

1)(x,

65

Equações Médias 3D

Conservação média volumétrica de massa

kkkkkk

ta

au

)(

iSikk Sdm

1 kikkkm n)u(u

fluxo de massa da fase k

através da interface Si

kkkkkk

ta

au

)(

k

kkk

uu

Média de Favre:

01

N

kk

kkk uj afluxo volumétrico da fase k ou

velocidade superficial.

66

Equação média volumétrica de conservação de quantidade de movimento linear

kkkkk

kkkkkkk

t

Mg)σ(

uu)u(

aa

a

a

Iu)u(uτ;τIσ kkkkkkkk p

3

2T

Fluido Newtoniano

m

N

kk MM

1


67

Média de Favre: kkkkkk uuuu

kkkkkkkkk τuuuuuuuu

Introduzindo a definição de

flutuaçãokkk uuu


kkkkkkkkkk τuuuu aaa


68


)τ()()σ( kkkkkk p aaa

kkk p τIσ

)τ()σ( kkkkkkkk pp aaaa

kikikkkikkikk p Mτ)u(uM aa

Força de arraste

generalizada


69

kikikkkkikkki

kkkkk

kkkkkkkkk

pp

pt

M)()uu(

g)(

uu)u(

aa

aa

aa

a


Equações de fechamento: ; ; ;k kiM k ki


70

Equação média volumétrica de conservação de energia


kkkkkkk

kk

kkkkkkkkk

EtD

pD

qht

h

aa

a

aa

a

u:τ)(

)q(

u)(

m

N

kk EE

1

kikikkik

kikik

kkikikkt

pqu

hE uτMˆ

uu a

a

2

2

71

Equação média volumétrica de conservação de energia


Introduzindo a média Favre e a definição de flutuação

)uu(τM)(

)]qq([

u)(

kkikikkikk

kikkikik

kkkk

kkkk

kkkkkkkkk

tD

Dppqh

tD

pD

qht

h

aa

aa

aa

a

)τ(uu:τ;u:τ kkkkkkkkkkkaaa

Dissipação viscosa Fonte de energia turbulenta

72

Equação de Energia Simplificada

Desprezando:

geração de calor

termos devido aos efeitos mecânicos

(transferência de calor e mudança de fase dominantes)

kikikkkk

kkkkkkk

qh

ht

h

a

a

a

)]qq([

u)(

02

1

kikik

k qh

73

Modelos de Dois Fluidos Isotérmico Conservação de massa para cada fase

Conservação de quantidade de movimento para cada fase

kkkkkk

ta

au

)(

kikikkkkikkki

kkkkk

kkkkkkkkk

pp

pt

M)()uu(

g)(

uu)u(

aa

aa

aa

a

74

Modelos de Deslizamento (Drift) Conservação de massa

para cada fase

uma fase e a mistura, onde a conservação da mistura é obtida somando as equações de conservação de cada fase

21 ek

0

mm

m

tu 111111

11 uuu)(

mm ραρα

t

ρα

2221112211 uuu aaaa mmm

ou

kkkkkk

ta

au

)(

75

Modelos de Deslizamento (Drift) Conservação de quantidade de movimento para a mistura

iSimmmmmm

mm dSmpt

)u(ugJuu)u(

211

22112211 τττ; aaaa mm ppp

(desprezando termos de

correlação cruzada e para

fluidos incompressíveis) 12122121

uuuuJ aam

J é o fluxo de deslizamento (“drift flux”) generalizado

Modelo para a velocidade de deslizamento

utiluza-se modelos empíricos (Ishii, 1975, Hibiki e Ishii, 2002 e 2003).

12 uu

76

Modelo Homogêneo

As duas fases escoam com a mesma velocidade: J = 0

Conservação de massa da mistura

Conservação de quantidade de movimento da mistura

mmmmmmmm p

t

guu

)u(

0

mm

m

tu

77

Comentários sobre as Equações

Reduzidas

Os modelos baseados na equações reduzidas, são

baseados nas equações médias temporais

Necessitam de equações de fechamento para

avaliar as iterações existentes nas interfaces

78

Modelo de Dois Fluidos 1D

79

Modelo de Dois Fluidos 1D O Modelo de Dois Fluidos 1D é extremamente usado na

simulação de escoamentos bifásicos em dutos Ex. Indústria do petróleo, nuclear, etc

Natureza complexa (3D) do escoamento (ex. regime de

golfadas) Apesar disso, estratégia 1D ainda

é a mais adequada para a

simulação de longos dutos

No entanto, é preciso ter extremo cuidado O processo de média leva a perda de informação

Modelos de fechamento devem ser incorporados

Efeito crítico sobre o caráter matemático das equações

(bem- ou mal-posto)

80

Modelos de Equações Reduzidas 1D

Processo de obtenção do conjunto de equações que

caracteriza o Modelo de Dois Fluidos

Média Temporal

Navier-Stokes

• Formulação Local Instantânea para cada fase

• Equações constitutivas/Salto na Interface

Modelo de Dois

Fluidos 3D

• Equações Médias para cada fase

• Equações constitutivas e fontes interfaciais

Modelo de Dois

Fluidos 1DMédia Espacial


t

dttFt

)x,(1

tAtk

tk dAF

AtF

1)(x,

Média Espacial


tAtk

tk dAF

AtF

1)(x,

Média Temporal

t

dttFt

)x,(1

1D

81

Modelo de Dois Fluidos 1D

integrar as equações tri-dimensionais através da seção transversal

introduzir valores médios apropriados.

O componente axial da

velocidade média na área

ponderada da fase k

fluxo volumétrico da fase k ou

velocidade superficial.

tAtk

tk dAF

AtF

1)(x,

k

kkk

FtF

a

a)(x,

Fração de vazio

a

kk

k

k

k

kkk

juu

aa

a

kkk uj

a

2

1

2

1 kkk

kk ujj

a

82

Conservação de Massa 1D

a

a

tt Atk

tAtkkk

kk

tdA

AdA

tA

11)u(

)(

Escoamento 1D na direção x:

𝑢𝑘𝑦 ≪ 𝑢𝑘𝑥 𝑢𝑘𝑧 ≪ 𝑢𝑘𝑥

𝜕

𝜕𝑡𝛼𝑘 𝜌𝑘 +

𝜕

𝜕𝑥𝛼𝑘 𝜌𝑘 𝑢𝑘𝑥 = Γ𝑘

𝜕

𝜕𝑧~ 0

Equações de fechamento: Γ𝑘

83

Conservação de Quantidade de

Movimento Linear 1D

tA

kikikkkkikkkit

tA

kkkt

tA

kkkkkt

tA

kkkkkkk

t

dAppA

dAA

dApA

dAtA

t

tt

t

aa

a aa

a

a

M)()uu(

gττ

)uu(u

1

11

1

Escoamento 1D na direção x:

𝑢𝑘𝑦 ≪ 𝑢𝑘𝑥 𝑢𝑘𝑧 ≪ 𝑢𝑘𝑥𝜕

𝜕𝑧~ 0

84

Conservação de Quantidade de

Movimento Linear 1D

Termo

convectivot

Akkkk

tt

Akkkk

tdAuu

xAdAu

Att

a

a )()u(

11

kkkktA

kkkkt

uux

dAuA

t

a

a )u(

1

Parâmetro de distribuição 𝐶𝑢,𝑘 =𝑢𝑘

2

𝑢𝑘2

kkkkkutA

kkkkt

uuCx

dAuA

t

a

a ,)u(

1

𝐶𝑢,𝑘 =𝑢𝑘

2

𝑢𝑘2=

𝛼𝑘𝑢𝑘2

𝛼𝑘 𝑢𝑘2=

𝛼𝑘𝑢𝑘2 𝛼𝑘

2

𝛼𝑘 𝑢𝑘2

= 𝛼𝑘𝑢𝑘

2𝑑𝐴 𝛼𝑘𝑑𝐴

𝛼𝑘𝑢𝑘𝑑𝐴2

85

o tensão cisalhante que atua na parede do duto

Fluxo líquido viscoso na direção x

tkkkkkkA

kkkt

dAτz

ττy

ττxA xzxzxyxy

txxxx

a

a

a

τ

1

xxxx

t

kkkt

kwkt

Akkk

tττ

xA

SτdA

Aa

a ττ

1

Conservação de Quantidade de Movimento

Linear 1D

wkτ

a tA

kkkt

dAA

t

ττ1

86

xpp

dAppA

kkki

dkkkki

tA

kkkikikikkkkit t

a

aa

)(M)uu(

)(M)uu(1

Termo interfacial

xkikxikdk

τMM a

t

iidk A

SM

força cisalhante interfacial total:

o Tensão cisalhante na interface


Linear 1D

iτ

87


Linear 1D

kkik

t

iikkkixkk

kkkt

kwkkk

kkkkkukkk

ppxA

Suug

ττxA

Sτp

x

uuCxt

u

xxxx

a

a

a

a

a

a

ˆ

,

Equações de fechamento: 𝐶𝑢,𝑘 ; 𝜏𝑤𝑘 ; 𝜏𝑖

𝑝𝑘𝑖 − 𝑝𝑘 ; 𝑝𝑔𝑖 − 𝑝𝑙𝑖

89

Conservação de energia

Equações de Conservação 1D

kikkikkkt

kwk

kkkkkh

kkk

qhqqxA

Sq

huCxt

h

xxa

a

aˆ

ˆ

,

o Sem transferência de massa e sem difusão axial

o Eliminando as barras para simplificar

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑘𝛼𝑘 ℎ𝑘 +

𝜕

𝜕𝑥𝐶ℎ,𝑘 𝜌𝑘𝛼𝑘𝑢𝑘ℎ𝑘 =

𝑞𝑤𝑘𝑆𝑘

𝐴±

𝑞𝑖𝑆𝑖

𝐴

Equações de fechamento: 𝐶𝑢,ℎ ; 𝑞𝑤𝑘 ; 𝑞𝑖

90

Modelo 2 Fluidos Isotérmico 1D

𝑢𝑘 = 𝑢𝑘𝑥

Hipóteses:

o Sem transferência de massa, isotérmico,

sem difusão axial

Eliminando as barras para simplificar

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑘𝛼𝑘 +

𝜕

𝜕𝑥𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘 = 0

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘 +

𝜕

𝜕𝑥𝐶𝑢,𝑘 𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘

2 =

= −𝛼𝑘

𝜕 𝑝𝑘𝑖

𝜕𝑥+

𝜕𝛼𝑘 (𝑝𝑖𝑘 − 𝑝𝑘)

𝜕𝑥− 𝛼𝑘𝜌𝑘𝑔𝑥 −

𝜏𝑤𝑘𝑆𝑘

𝐴±

𝜏𝑖𝑆𝑖

𝐴

91

Modelo Homogêneo Isotérmico 1D

A

Sg

z

p

z

uu

t

u wwm

mmmmmm

sen

)()(

0

z

u

t

mmm )(

Hipóteses:

o Bifásico, sem transferência de massa,

isotérmico, sem difusão axial

Equações de fechamento: 𝜏𝑤

Modelos 1-D de Deslizamento (Drift)

0

z

u

t

aa )( 0

z

u

t

ggggg aa )(

ou

0

z

u

t

mmm )(

z

V

z

u

t

gmggmgggg

aaa )(mggm uuV

Equação de conservação de massa

Hipóteses:

o Bifásico, sem transferência de massa,

isotérmico, sem difusão axial


Equação de conservação de quantidade de movimento

z

J

A

Sg

z

p

z

uu

t

u wwm

mmmmmm

sen

)()(

m

gggg uuuuJ

aa

Fluxo de drift

Equações de fechamento: 𝜏𝑤 ; Vgm =(ug - um) ; ur = (ug - uℓ)

velocidade relativa

entre fases

94

Co : parâmetro de distribuição: considera o

efeito de ag e um nos perfis

Vdrif : velocidade de deslizamento

a

j

ug Vgj

velocidade entre fases:

velocidade relativa entre a fase gasosa e o fluxo volumétrico j = ag ug + aℓ uℓ

velocidade relativa entre a fase gasosa e velocidade média

■ Formulação de Zuber-Findlay (1965):

)( uuu gr

rggj

ggj

uuuV

juV

aa

)(

ou

driftog VjCu

jCVV odriftgj )( 1

2gj

m

ggVJ

a

a

gjm

mg Vuu

gjm

g

g

gm Vuu

a

a

1

mggm uuV


95

Análise das Características do Modelo de

Dois Fluidos 1D

Segundo Courant e Lax (1949) um modelo é

considerado "bem-posto" ("Well-posed") se as

condições de Hadamard são satisfeitas

A solução existe

A solução é única

A solução depende continuamente das condições

iniciais e de contorno

Para tal, a análise das características é realizada

96

Análise das Características do Modelo de

Dois Fluidos 1D

Linearização do sistema de equações

são matrizes Jacobianas de dimensão

é um vetor coluna de dimensão

Características do sistema, são definidas tais que

reais distintas: sistema hiperbólico

nulas: sistema parabólico

complexas: sistema elíptico"Mal-posto"

97

Montini (2011)

o Taxa de crescimento das

perturbações

o Bem-posto vs. Mal posto

Modelo "Bem-posto" vs. "Mal-posto"

Carneiro (2006)

o Transição escoamento

estratificado -> golfadas

o Frequência das

golfadas para

casos bem e mal-

postos

98

Escoamento Estável vs.

Instável

99

Estabilidade vs. Bom-Condicionamento

Escoamento

estratificado e golfadas

Região estável (bem

posto)

Região instável e

bem–posto

(golfadas!)

Região mal-posta

(golfadas,

comportamento não

físico)

100

o Altera o fluxo de quantidade de

movimento

o Escoamento monofásico:

• Laminar: 𝐶𝑢,𝑘=4/3=1,33

• Turbulento (lei de 1/7): Cu,k=1,02

(Febres, 2010)o Escoamento multifásico:

• 𝐶𝑢,𝑘 geralmente empírico, pode depender de

velocidades, geometria e frações volumétricas

Parâmetro de Forma/Distribuição

o Geralmente considera-se 𝐶𝑢,𝑘 = 1

o 𝐶𝑢,𝑘 corrige o fato de que o perfil de velocidades não é

uniforme (ex. Escoamento estratificado)

Modelos de Fechamento

101

Tensão Cisalhante das fases com a parede e na interface


kkkkwk uuf ˆˆ2

1

fk: fator de atrito, determinado empiricamente em função do número

de Reynolds da fase k

12122

1uuuufτ iii ˆˆˆˆ

Difusão axial frequentemente desprezada

Salto de pressão na interface:

Tensão superficial: g

Curvatura:k

kg )( iig ppg

102

Diferença entre a pressão média em cada fase e

pressão interfacial


o É possível demonstrar que, se a pressão média em cada fase for

constante e igual a pressão interfacial, o modelo é mal-posto sob

qualquer condição ( exceto )

o Escoamento horizontal ou levemente inclinado: Banerjee e Chan

(1980) propuseram a consideração de uma distribuição hidrostática de

pressão

𝜕𝛼𝑘(𝑝𝑘− 𝑝𝑘𝑙

𝜕𝑥= 𝛼𝑘𝜌𝑘𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝛽

𝜕ℎ𝑙

𝜕𝑥

103

Diferença entre a pressão média em cada fase e

pressão interfacial


o Escoamento vertical: 𝜕𝛼𝑘(𝑝𝑘−𝑝𝑘𝑙

𝜕𝑥

Reference Formulation

Model 1

(Fowler and Lisseter, 1992)

∆ 𝑃𝐿𝑖 = 𝑊𝑓 𝜌𝐿 𝑈𝐿 − 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒2

𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒 = 𝑋 𝑈𝐿, 𝑋=const.

Model 2

(Gonzalez, Nieckele and Carneiro,

2016)

(Berna et al., 2014)

∆ 𝑃𝐿𝑖 = 𝑊𝑓 𝜌𝐿 𝑈𝐿 − 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒2

𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒 = 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒(𝑈𝑠𝐿, 𝑈𝑠𝐺 , 𝜌𝐿, 𝜌𝐺,𝜇𝐿, 𝜇𝐺,𝜎)

Model 3

(Bestion, 1990)∆ 𝑃𝐺𝑖 = ∆ 𝑃𝐿𝑖 = 1.2 𝜌𝑚 𝑈𝐿 − 𝑈𝐺

2

104

Outros métodos de regularização

Massa virtual

Difusão Artificial

Equação de Quantidade de Movimento

Equação da Conservação de Massa

Silva et al, 2013

Escoamento em Horizontal

Anular

Estratificado e Golfada

com troca térmica

Simões et al, 2014

Golfada

Ondulado

Óleo viscoso + gás denso

Água + ar

Espessura

do filme

Escoamento Vertical

Modelo 1

Gonzalez, 2016

Modelo 2

Experimental (Zhao et al, 2013)

Anular Golfada

Inácio, 2012

Água + ar

107

Comentários Finais

Diferentes tipos de modelos podem ser utilizados

dependendo do tipo de aplicação

Modelos de “um fluido”:

Apresentam uma demanda computacional maior

Envolvem um grau menor de hipóteses simplificadoras

É necessário determinar com precisão da posição da

interface, raio de curvatura para obtenção de solução de

qualidade

108

Comentários Finais

Modelos baseados na equações médias:

são mais simples e de solução mais rápida.

Possuem diferentes graus de aproximação e necessitam

de equações de fechamento para avaliar as iterações

existentes nas interfaces

Fechamento 1D possui profundo efeito no caráter

matemático das equações do Modelo de Dois Fluidos 1D

Se manifesta, por exemplo, na impossibilidade de se

obter uma solução independente da malha

É preciso ter extremo cuidado: softwares comerciais

frequentemente "mascaram" os efeitos de um modelo

mal-posto pois malhas grosseiras são utilizadas

109

Obrigado !

Agradecimentos:

João N.E. Carneiro (Sintef do Brasil)

Equações de Conservação - ABCMeventos.abcm.org.br/jem2017/content/uploads/2017/... · Modelos...

Documents

Transcript of Equações de Conservação - ABCMeventos.abcm.org.br/jem2017/content/uploads/2017/... · Modelos...