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EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU

Equação do 1º grau

Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode

ser escrita sob a forma:

ax b 0

em que a e b são números reais, com a ≠ 0.

Determinar a solução de uma equação do 1º grau significa obter, por meio de propriedades ou

processos algébricos, o valor da incógnita x que verifica a igualdade.

Chamamos de solução de uma equação os valores numéricos que atribuídos às incógnitas da

equação tornam a igualdade verdadeira. Assim temos que:

O número 2 é solução da equação 5x – 10 = 0, pois a sentença 5 . 2 – 10 = 0 é verdadeira;

O número 4 é solução da equação 5(z – 1) = 2z + 7, pois a sentença 5(4 – 1) = 2 . 4 + 7 é

verdadeira.

Qualquer equação do 1º grau admite uma solução única. O símbolo () serve para indicar que

duas equações admitem a mesma solução e, neste caso, dizemos que essas equações são

equivalentes. Veja alguns exemplos.

5x – 10 = 0 5x = 10

2x + 9 = y 9 = 3y

5(z – 1) = 2z + 7 3z – 12 = 0

Resolução de equações de 1º grau

Os processos algébricos, utilizados para a resolução de uma equação, baseiam-se nos seguintes

princípios.

Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma equação,

obtemos outra equação equivalente.

x + 3 = 8

x + 3 – 3 = 8 – 3

x + 0 = 5

x = 5

2

Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da equação por um mesmo número,

obtemos outra equação equivalente.

3x = 21

31 1

3 3x. 21.

x . 1 = 7 . 1

x = 7

Problemas modelados por equações de 1º grau

Para resolver problemas por meio de equações de 1º grau precisamos:

ler o enunciado com muita atenção;

verificar quem ou o que é a incógnita do problema, atribuindo à mesma um símbolo (x,

por exemplo)

escrever a equação de acordo com os dados do problema;

por meio de processos algébricos resolver a equação obtida;

fazer a interpretação da solução no correspondente problema;

Inequações de 1º grau

Para estudarmos as inequações de 1º grau, devemos antes aprimorar nossa compreensão do

conceito de desigualdades numéricas designado pelo símbolo (≠), cujo significado é o oposto do

símbolo (=). Assim, sendo x e y dois números quaisquer, a sentença x ≠ y informa que o número x

é diferente do número y.

A relação de igualdade (=) possui as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

reflexiva simétrica transitiva

a = a a = b b = a a b

a cb c

A relação de desigualdade admite a propriedade simétrica: a ≠ b b ≠ a, mas não admite a

propriedade reflexiva, uma vez que a ≠ a falso, nem a propriedade transitiva, pois se a ≠ b e b ≠ c,

é bem possível que tenhamos a = c.

Separamos as desigualdades em dois casos e usamos os símbolos (<) e (>) para representa-las.

Esses novos símbolos são comumente chamados de “menor que” (<) e “maior que” (>). Eles

designam, respectivamente, as relações estritas de ordem crescente e decrescente entre números

reais distintos. Veja, a seguir, alguns números reais postos em ordem crescente:

15 3 0 1 2 2

2

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Princípio da tricotomia

Sendo x e y dois números reais quaisquer, o princípio da tricotomia nos garante que: x < y ou x = y

ou x > y.

As relações de ordem (<) e (>) são combinadas em uma propriedade semelhante à propriedade

simétrica da igualdade, mas que é chamada de propriedade antissimétrica: a < b b > a. Assim, o

princípio da tricotomia pode ser enunciado somente com os símbolos (=) e (<) da seguinte

maneira: x < y ou x = y ou y < x.

Além disso, as relações de ordem (<) e (>) são transitivas, pois se a < b e b < c, então temos que

a < c, e se a > b e b > c, temos que a > c. Mas não são reflexivas, pois tanto a < a quanto a > a são

sentenças falsas.

A negação dessas relações são indicadas pelos símbolos mistos (≤) e (≥) que combinam a relação

de igualdade com uma das relações de ordem.

Relação Negação

>

“maior que”

≤

“menor ou igual que”

<

“menor que”

≥

“maior ou igual que”

Devemos nos atentar para o fato de que sendo x um número real ou racional, uma sentença como,

por exemplo, x < 4 não significa x ≤ 3. Isso só é verdade no universo dos números inteiros e

naturais, pois existem números racionais como 4,57 ou irracionais como a 10 , que mesmo sendo

menores que o número 4, são ambos maiores que 3. Então devemos saber o que representa a

variável x em cada problema. Afinal, se x representa um número de pessoas, temos que x < 4

significa x ≤ 3, mas se x representa o preço de um produto ou o lado de um triângulo, então x < 4 e

x ≤ 3 possuem significados diferentes.

Resolução de inequações de 1º grau

Os processos algébricos utilizados para a resolução de inequações de 1º grau são os mesmos

utilizados para a resolução de equações de 1º grau. No entanto, devemos estar atentos a uma

questão: quando multiplicamos uma desigualdade que envolve (>) ou (<) por (1), devemos

substituir o símbolo (>) por (<) e o símbolo (<) por (>) para manter o status de verdadeira dessa

sentença. Sabemos que 5 > 3. Ao multiplicarmos ambos os membros dessa desigualdade por

(1), obtemos 5 . (1) > 3 . (1), que, sem substituir o símbolo (>) por (<) ficaria, 5 > 3, que

não é uma sentença verdadeira. Substituindo o símbolo (>) por (<), a nova desigualdade 5 < 3 é

equivalente a primeira 5 > 3.

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Exercícios resolvidos

1. Qual é a solução da equação 5(x + 3) – 2(x – 1) = 20?

5(x 3) 2(x 1) 20

5x 15 2x 2 20

3x 17 20

3x 20 17

3x 3

x 1

2. O conjunto solução da equação x 2

2x

em R é:

a) S = {1} b) S = {2}

c) S = {2}

d) S =

x 22

xx 2 2x

x 2x 2

x 2

x 2

3. Resolva as seguintes inequações de 1º grau.

a) 3x 2x

5 52 3

3x 2x5 5

2 3

9x 4x10

6

5x 60

x 12

b) 1 3x x 1

x 12 3

3(1 3x) 6x 2(x 1) 6

6 6

3 9x 6x 2x 2 6

3 15x 2x 8

15x 2x 8 3

17x 11 (-1)

17x 11

11x

17

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4. Determine os valores de a para os quais a equação ax + 1 = 2x + 7 possui solução.

a) a 1

b) a 2

c) a 3

d) a – 1

e) a – 2

ax 2x 6

x(a 2) 6

6x

a 2

a 2 0

a 2

5. Leia a seguinte descrição de uma sequência de cálculos sobre um número.

pensei em um número;

subtraí 4 desse número;

dividi o resultado por 5;

multipliquei o novo resultado por 8 e encontrei 40.

Em que número pensei?

Seja x o número pensado. Subtrai 4 desse número: x – 4

Dividi o resultado por 5: x 4

5

Multiplique o novo resultado por 8 e encontrei 40:

x 4 x 48. 40 5 x 4 25 x 29

5 5

6. Suponha que para calcular a nota final de uma prova com 30 questões fossem contabilizados

quatro pontos a cada questão que o aluno acertasse e, menos um ponto, a cada questão que

o alunos errasse. De acordo com essa hipótese caso um participante responda todas as

questões e obtenha 60 pontos, quantas questões ele acertou?

4x – (30 – x) = 60 4x + x = 60 + 30 5x = 90 x = 18

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Exercícios Propostos

1. Qual é a solução da equação

4x 1 1 2x?

2 3

2. A solução da equação 2(x + 1) = 3(2 – x) é um número racional:

a) menor que 1

b) compreendido entre 1 e 0

c) compreendido entre 0 e 1

d) maior que 1

3. Resolva as seguintes inequações de 1º grau.

a) x x

1 32 2

b) x x 1 x

x2 3 6

c) 5 x 4x 4 x

x6 x 2

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4. Diminuindo-se 6 anos da idade de minha

filha obtém-se os 3

5 de sua idade. Qual é a

idade de minha filha?

5. Um aluno recebe 3 pontos por problema que acerta e perde 2 pontos por problema que erra. Fez 50 problemas e obteve 85 pontos. Quantos problemas ele acertou?

6. Em uma caixa há bolas brancas e pretas em um total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do de pretas, qual é o número de bolas brancas?

7. José gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 (um) real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha José quando entrou na primeira loja?

Gabarito

1 2 3 4 5 6 7

5/16 c a)x≥4 b) R

c)

15 37 288 14