ESCOLA ADVENTISTA ARLETE AFONSO

Prof: Hévio de Souza

Teoria dos conjuntos

O que é um conjunto?

Representa uma coleção de objetos bem definidos.

O que são elementos de um conjunto?

São os objetos ou membros que compõem o conjunto

Teoria dos conjuntos

Exemplos:

O conjunto de todos os brasileiros: cada brasileiro.

O conjunto de todos os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4 , ...

O conjuntos de notas musicais: dó, ré, mi fá, sol, lá, si.

Em geral, um conjunto é representado por uma letra maiúscula do

alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Em geral, um elemento de um conjunto, é representado por uma letra

minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

TIPOS DE conjuntos

O conjunto vazio (representado graficamente por Ø) é o

único conjunto que não possui elementos.

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto

vazio representado por { } ou Ø.

Exemplo: A = Conjunto dos números naturais negativos.

Não existe números naturais negativos, logo:

A = Ø ou A = { }

Conjunto Vazio

Teoria dos conjuntos

Conjunto Unitário

É todo e qualquer conjunto que possui somente um elemento.

Conjunto Universo

É o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto.

Um conjunto importante é o conjunto Universo, cuja notação é U.

Simbologia em conjuntos

Notação para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de

duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma

geométrica.

Apresentação por chaves

1. Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves.

Exemplos: A={a,e,i,o,u}, N={1,2,3,4,...}, M={João,Maria,José} .

2. O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

A={x / x é uma vogal}

N={x / x é um número natural}

M={x / x é uma pessoa da família de Maria}

Notação para conjuntos

Apresentação por Diagrama de Venn-Euller

Os conjuntos são mostrados graficamente.

Teoria dos conjuntos

Igualdade de conjuntos

Dizemos que um conjunto é igual a outro se todos os elementos de

um conjunto forem iguais a todos os elementos do outro conjunto.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,1,0} como todos os

elementos são iguais podemos dizer que A = B.

Isso significa que todo elemento de A pertence a B, e que todo elemento de B pertence a A. Se A não é igual a B escrevemos A ≠ B.

Teoria dos conjuntos

Relação entre dois conjuntosQuando vamos fazer a relação de elemento com conjunto utilizamos

os símbolos de pertence ∈ e ∉ não pertence .

Por exemplo: Dado o conjunto dos números naturais o elemento

5 ∈ N e -8 ∉ N.

Agora quando relacionamos conjunto com conjunto utilizamos os

símbolos de ⊂ está contido e ⊄ não está contido .

Por Exemplo:

{1,2,3} ⊂ {1,2,3,4,5,6}

O conjunto dos N está contido dentro dos inteiros. N ⊂ Z e o conjunto

dos inteiros não está contido dentro do conjunto dos naturais Z ⊄ N.

Teoria dos conjuntos

SubconjuntoDados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado

por A ⊂ B, se todos os elementos de A também estão em B.

Teoria dos conjuntos

Complemento de um conjuntoO complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a

diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que

pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

CAB = A - B = {x/x ∈ A e x ∉ B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Teoria dos conjuntos

Complemento de um conjuntoQuando não há dúvida sobre o universo U em que estamos

trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no

conjunto, para indicar o complemento deste conjunto.

AC = { X / X ∈ u e X ∉ A} u

A

u-A

Teoria dos conjuntos

Diferença de conjuntosO conjunto diferença de A e B é formado por elementos de A que não

pertencem a B.

A _ B = { X / X ∈ A e X ∉ B}

Teoria dos conjuntos

Conjunto das partesO conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado

de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A, denotado por P(A) ou

2n.Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S

é:

•{ } (conjunto vazio);

•{x};

•{y};

•{z};

•{x, y};

•{x, z};

•{y, z};

•{x, y, z};

e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.

União e Intersecção

ReuniãoO conjunto reunião de A com B é formado pelos elementos que pertencem a A, a B ou a ambos.

A U B = { x/x ∈ A ou x ∈ B }

União e Intersecção

IntersecçãoO conjunto intersecção de A com B é formado pelos elementos comuns a A e B .

A B = { x/x ∈ A ou x ∈ B }

Exemplo 1

Resolvendo:

Informações:A B

128 40

Temos Portanto:

Número de elementos de B é: 12 + 40 = 52 elementos

Alternativa e

Exemplo 2

Resolução

3000 pessoas

ENDN

FM

100

200

250400

450 400

650

1000 liam o DN1100 liam o EN1400 liam a FM

300 liam o DN e o EN500 liam a FM e o EN350 liam a FM e o DN

100 liam os três jornais

Informações

550Nenhum dos Jornais

Resolução

1000 pessoas

400 pessoas

Temos: 400 + 650 = 1050 pessoas

550 pessoas

Temos: 450 + 400 + 350 = 1500 pessoas

Temos: 100 + 400 + 200 + 250 = 950 pessoas

ResoluçãoResolução

Exercícios

01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam

matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é:

a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a.

02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60

trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos.

Assim:

a) 150 operários trabalham em 2 períodos;

b) há 500 operários na indústria;

c) 300 operários não trabalham à tarde;

d) há 30 operários que trabalham só de manhã;

e) N.d.a.

03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que

A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na

tabela abaixo.

150 180 100 30 40 25 20 245

O número total de alunos da escola é:

a) 790 b) 600 c) 675 d) 570 e) 335

04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8

números ímpares. O número de elementos de X é:

a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20

05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B.

Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:

a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%

06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B

e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:

210 compram o produto A.

210 compram o produto B.

250 compram o produto C.

20 compram os três produtos.

100 não compram nenhum dos três produtos.

60 compram os produtos A e B.

70 compram os produtos A e C.

50 compram os produtos B e C.

Quantas pessoas foram entrevistadas?

07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45

alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se

matricularam em inglês?

Exercícios

08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem

600 que pertencem aos dois clubes?

09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56

comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18

10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam

Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam

somente Física?

a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4.

Exercícios

Gabarito