AVISO

A apostila completa está disponível na Copiadora na pasta de

MAT II. O representante do seu grupo também poderá receber um

exemplar impresso.

Apostila Resumida

Material Dourado III

Multiplicação e Divisão:

Tabuadas

Problemas do campo multiplicativo

Algoritmos

Professora Ana Abrahão

TABUADAS

COMECEMOS COM AS TABUADAS.

DEVE-SE OU NÃO MEMORIZÁ-LAS?

Na escola de trinta anos atrás, saber a tabuada de cor, "na ponta da língua", era ponto de

honra para alunos e professores.

Na década de 60 movimentos romperam tradições seculares: o feminismo, a revolução

sexual, os hippies, os Beatles, a revolução cultural na China, as passeatas de estudantes em

Paris-68 etc. O ensino da matemática não ficou indiferente ao clima revolucionário. A

Matemática Moderna modificou o ensino da matemática. Dentre seus aspectos positivos,

destacava-se o desejo de aprendizagem com compreensão.

No conjunto de críticas ao ensino tradicional, uma recaiu sobre a mecanização da tabuada.

Diversas escolas aboliram e proibiram a memorização da mesma. A professora ou professor

que obrigasse seus alunos a decorar a tabuada era "antiquado", "retrógrado".

Na escola de trinta anos atrás, saber a tabuada de cor, "na ponta da língua", era ponto de

honra para alunos e professores.

Na década de 60 movimentos romperam tradições seculares: o feminismo, a revolução

sexual, os hippies, os Beatles, a revolução cultural na China, as passeatas de estudantes em

Paris-68 etc. O ensino da matemática não ficou indiferente ao clima revolucionário. A M.

Moderna modificou o ensino da matemática. Dentre seus aspectos positivos, destacava-se o

desejo de aprendizagem com compreensão.

No conjunto de críticas ao ensino tradicional, uma recaiu sobre a mecanização da tabuada.

Diversas escolas aboliram e proibiram a memorização da mesma. A professora ou professor que

obrigasse seus alunos a decorar a tabuada era "antiquado", "retrógrado".

O argumento dos renovadores, contrário à memorização: "não se deve obrigar o aluno a

decorar a tabuada; deve-se, isto sim, criar condições para que ele a compreenda".

Os adeptos das novas tendências alegavam que, se o aluno entendesse o significado de

códigos como 3 x 7, 8 x 6, 5 x 9 etc., então, quando precisasse, sozinho, pensando, ele

descobriria os resultados.

Alguns professores rebatiam esta afirmação alegando que, sem saber a tabuada de cor, um

aluno não poderia realizar multiplicações e divisões. Na realização de cálculos e na resolução

de problemas ele "engasgaria“.

É curioso que esta discussão ainda permanece entre nós.

A necessidade da memorização justifica-se. Não é à toa que os fatos fundamentais têm este

nome. Na exploração de novas idéias matemáticas (frações, geometria, múltiplos, divisores,

etc) a tabuada é frequente. Se a criança não tiver fixado os fatos fundamentais, a cada

momento ela engasgará na tabuada, desviando sua atenção das novas idéias que estão sendo

trabalhadas.

Não é aconselhável que o aluno decore mecanicamente a tabuada, mas o aluno precisa fazer

um certo esforço para memoriza-la. Esta memorização deve ser precedida pela compreensão.

A ênfase do trabalho deve ser posta na construção dos conceitos. A preocupação com a

memorização não deve ser obsessiva e exagerada.

Há muitas atividades que contribuem para a memorização da tabuada.

COMO ENSINAR A TABUADA?

Normalmente, as tabuadas são ensinadas separadamente. Começam pelas tabuadas do 2, do

10 e do 5. Em geral:

2º.ano: multiplicação por 2, 3, 4, 5 e 10

3º. ano: multiplicação por 6, 7, 8 e 9

Pergunta-se: Faz sentido que as crianças trabalhem as tabuadas separadamente? Repetição e

repetição: desde o “vezes um” (ou “vezes zero”) até ao “vezes dez”?

Vejamos um exemplo da falta de compreensão que um aluno revela da tabuada utilizando

este processo de memorização.

[baseado no texto: coreacademy.usu.edu/Materials/2006/Handbooks/FourthGrade.pdf

Academy Facilitators: Machelle Dahl, Lorna McCleary, Rita. Stevenson ...... 3x7=21, 7x3=21). e. ...... for Research in Mathematics Education, 20 (4), 498-505.]

“Quanto é 3 x 7, Rita?” A Rita já memorizou, por completo, as tabuadas da multiplicação por 1 até a multiplicação por 6. “Quanto é 3 x 7, Rita?” Rita: “Não sei. Ainda não demos a tabuada do sete.” “Mas consegues resolver 3 x 7?” Rita: “Sim. Como 7 + 7 e depois outros 7, que é 7 mais 14, que dá 21.” “E podias ter usado a tabuada do 3, em vez da do 7?” “Não sei.”

A CONSTRUÇÃO DA TABUADA DE FORMA REFLEXIVA.

A memorização dos fatos básicos é feita através de diferentes e variadas situações

multiplicativas. Os alunos vão realizando operações e registrando as mesmas com desenhos e

com algoritmos.

Aos poucos, pode-se ir organizando um quadro multiplicativo, que deverá ficar exposto em

lugar visível na sala de aula.

Os alunos partem de alguns fatos simples já trabalhados anteriormente. Pode-se iniciar a

organização da tabela com os alunos, registrando os fatos já conhecidos (até 5 x 5).

É fácil completar a primeira linha pois ela se refere á multiplicação por 1.

Também é fácil completar a primeira coluna.

COMO AJUDAR O ALUNO A PREENCHER O QUADRO

MULTIPLICATIVO?

A partir de multiplicações aditivas, como as abaixo registradas, pode-se iniciar o

preenchimento do quadro.

AGORA OBSERVE A MULTIPLICAÇÃO RETANGULAR: Ela pode ser feita com recortes ou pinturas em papel quadriculado.

E aqui? Qual é a multiplicação sugerida?

Os alunos também podem obter 8 x 3 como:

8 = 5 + 3, então

8 x 3 = (5+3)x3= 5 x 3 + 3 x 3

Na tabela temos os valores de 5 x 3 e 3 x 3, logo:

8 x 3 = 15 + 9 = 24

Da mesma forma os alunos podem fazer:

9 x 3 = 5 x 3 + 4 x 3 = 15 + 12 = 27

7 x 4 = 3 x 4 + 4 x 4 = 12 + 16 = 28

Os produtos obtidos vão sendo registrados na tabela.

A essa altura do trabalho com a multiplicação os alunos já terão percebido que 3 x 5 = 5 x 3,

2 x 4 = 4 x 2, etc. Assim, como já descobriram que 8 x 3 = 24, concluem que 3 x 8 = 24;

como 9 x 3 = 27, então 3 x 9 = 27. E a tabela vai sendo completada.

Note que nesta construção, vão sendo usadas intuitivamente, diversas propriedades da

multiplicação. Ao longo destas atividades a compreensão da multiplicação está presente o

tempo todo.

Uma vez completada a tabela, pode-se prosseguir explorando-a ainda mais:

A linha do 1 é igual á coluna do 1.

A linha do 2 é igual à coluna do 2 etc.

Isto ocorre porque 3 x 1 = 1 x 3, 2 x 4 = 4 x 2 etc.

Na linha do 1 (e na coluna do 1) os números aumentam de 1 em 1.

Na linha 2 (e na coluna do 2) os números aumentam de 2 em 2.

E assim por diante.

Na linha 9 (e na coluna do 9) os números aumentam de 9 em 9.

É fundamental explorar este ritmo, esta regularidade da tabuada.

Peça aos alunos que localizem todos os 12 da tabela. Ele aparece quatro vezes. Estas quatro

aparições correspondem aos produtos 3 x 4, 4 x 3, 2 x 6 e 6 x 2.

Faça o mesmo com outros números, com 16, 15 etc. Uns aparecem três vezes, outros duas e

outros ainda só uma vez.

As regularidades nas tabuadas também são um bom exemplo de investigação matemática.

Podem levar os alunos a formularem conjecturas interessantes. Podem ajudar na detecção de

erros ao dizerem as tabuadas.

Investigue:

Ao multiplicar qualquer número por um número par, obtém, sempre, um número par?

Ao multiplicar dois números ímpares obtém, sempre, um número ímpar?

Ao multiplicar um número par por um ímpar obtém-se par ou ímpar? Sempre? Por quê?

Observe a coluna do 2. Qual é sua regularidade?

A tabuada da multiplicação por 2 pode servir como ponto de partida para a tabuada do 4 e do

8. Uma vez que 4 = 2 × 2 e 8 = 2 × 2 × 2, a tabuada do 4, obtém-se duplicando o produto do

número por 2 ou seja, por exemplo, 4 × 7 = 2 × (2 × 7) = 2 × 14 = 28, enquanto que a

tabuada do 8 se obtém duplicando o produto do número por 4 (que é 2 x 2); assim, teremos

8 × 7 = 2 × 2 × (2 × 7) = 2 × (2 × 14) = 2 × 28 = 56.

A tabuada da multiplicação do 8:

1 x 8 conhecido

2 x 8 conhecido (através da adição de 8 + 8, do 1.º ano) ou calculado através de 8 x 2

3 x 8 calculado através de 2 x 8 + 8 (“mais uma vez oito”) ou através de 8 x 3

4 x 8 o dobro de 2 x 8, ou 5 x 8 – 8 (“menos uma vez oito”)

5 x 8 metade de 10 x 8 = 80 ou através de 8 x 5

6 x 8 através de 5 x 8 + 8 (“mais uma vez oito”), ou pela duplicação (2x 3 x 8)

7 x 8 através de 5 x 8 + 2 x 8 ou de 6 x 8 + 8 (“mais uma vez oito”)

8 x 8 de várias formas; rapidamente se torna conhecido

9 x 8 é 10 x 8 – 8 (“menos uma vez oito”) 10 x 8 conhecido

12 x 8 a investigar

Muitos dos exemplos acima citados podem ser resolvidos através da utilização

de outras tabuadas, com recurso à propriedade comutativa:

3 x 8 através de 8 x 3, caso este produto seja já conhecido;

4 x 8 através de 8 x 4 e por aí vai...

A atividade abaixo também pode ajudar a significar o cálculo de operações multiplicativas:

A comparação é outro recurso para a significação. Comparar dois modos diferentes de

resolver um mesmo problema ou questão ajuda a ampliar o raciocínio numérico.

Exemplo:

Comparar:

2 + 3 x 5 - 1 = 20

2 + 3 x 5 - 1 = 16

2 + 3 x 5 - 1 = 14

2 + 3 = 3 + 2 Comparar 2 - 3 com 3 - 2

2 x 3 = 3 x 2 Comparar 2 ÷ 3 com 3 ÷ 2

Lembre-se que a frequência é melhor do que a quantidade. Assim os alunos não devem

fazer as tabuadas muitas vezes em um dado período do ano e depois interromper. O ideal é

que tenham propostas desafiadoras toda semana, desde o terceiro ano, para que vejam

necessidade de conhecer os resultados das multiplicações até 10 x 10.

Os alunos iniciam a memorização das tabuadas no 3º. ano e têm até o final do 5º. ano para

finalizar esse processo.

Jogos, problemas e atividades que envolvem regularidades são as melhores e mais

desafiadoras formas de levá-los a perceber como e porque memorizar as tabuadas.

É importante que, uma vez compreendidos os fatos fundamentais, eles sejam, aos poucos,

memorizados pelas crianças. Para isso é interessante utilizar jogos variados.

EXEMPLOS DE JOGOS PARA AJUDAR NA MEMORIZAÇÃO DA

TABUADA

Fonte: Mathema

Gincana da Multiplicação

O tabuleiro do desenho, com 36 casinhas, pode ser desenhado em cartolina ou qualquer outro

papel. Os números que nele aparecem são os resultados das multiplicações de

1, 2, 3, 4, 5 e 6 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6: 5 x 6 = 30, 1 x 2 = 2, 3 x 3 = 9, 4 x 6 = 24 etc.

Para jogar são necessários dois dados.

Um aluno joga contra outro.

Na sua vez, cada jogador lança os dois dados,

observa os dois números obtidos e procura,

no tabuleiro, o produto dos mesmos, aí

colocando um grão de feijão, por exemplo. O

outro jogador deve assinalar seus resultados

com outra marca, como tampinhas por

exemplo.

Vence o jogador que tiver 3 marcadores

numa mesma linha, coluna ou diagonal.

O professor pode ainda promover com os

alunos a "gincana da multiplicação", em que

um grupo faz perguntas a outro: "quanto é 3

x 9?". Ou então um grupo diz o produto (por

exemplo: 63) e o outro encontra os fatores (7

e 9).

Jogo Boliche Do 1º.ano até o 3º.ano.

Reconhecimento de algarismos,

Leitura e escrita de números,

contagem e

comparação de quantidades.

Material: 10 garrafas e uma bola

para cada grupo de 4 a 8 alunos

Escolher as equipes e nomes para elas é

uma atividade muito motivadora e que

permite que as crianças trabalhem com

números maiores, uma vez que a

pontuação da equipe é a soma das

garrafas derrubadas por seus

integrantes. O registro numérico passa

a ser mais valorizado e se desenvolvem

formas pessoais para adicionar

quantidades que envolvem números

maiores que 10.

No final da primeira série ou na

segunda série, este jogo pode contribuir

para o desenvolvimento da noção de

multiplicação e organização das

tabuadas. A cada dia de jogo o

professor estabelece o valor de cada

garrafa derrubada, por exemplo, cada

garrafa derrubada vale 4 pontos. Após

o jogo e a contagem dos pontos

individuais ou por equipe pode ser feita

uma tabela semelhante.

PROBLEMAS DO CAMPO MULTIPLICATIVO

AGORA PASSEMOS AOS PROBLEMAS, OU MELHOR, AO RECURSO

DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

A resolução de problemas é um caminho para o ensino de Matemática que vem sendo

discutido ao longo dos últimos anos. A História da Matemática mostra que ela foi construída

como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por

problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas

vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a

investigações internas à própria Matemática.

Todavia, tradicionalmente, os problemas têm sido utilizados apenas como forma de

aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. A prática mais freqüente

consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema

para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensinado. Nesse caso, a

concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende por

reprodução/imitação.

Ao colocar o foco na resolução de problemas, o que se defende é uma proposta onde :

• o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo

de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados

mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem

desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;

• o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase

mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a

interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é

apresentada;

• aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de

problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que

exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode

observar na história da Matemática;

• o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de

conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um conceito matemático se constrói

articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações;

• a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como

aplicação da aprendizagem, mas uma orientaçãopara a aprendizagem, pois proporciona o

contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

Considerados esses princípios, convém refletir que um problema matemático é uma situação

que demanda a realização de uma seqüência de ações ou operações para obter um resultado.

Ou seja, é possível construir uma solução para o desafio. Também deve-se sentir a

necessidade de comparar os resultados com os de outros alunos e de fazer a verificação para

validar o processo de solução.

O que é problema para um aluno pode não ser para outro, em função do seu nível de

desenvolvimento intelectual e dos conhecimentos de que dispõe. Resolver um problema não

se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando procedimentos

adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para

que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do

conhecimento envolvido.

Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr à prova os resultados,

testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a solução. Nessa forma de

trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor do processo de resolução.

O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema,

a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidencia uma concepção

de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação

refletida que constrói conhecimentos.

Muitos dos exemplos que aparecem nessa apostila são fragmentos de trabalhos publicados

disponibilizados na bibliografia citada ao final. Os exemplos devem servir de ponto de

partida para que o futuro professor busque a obra completa e procure se aprofundar na sua

formação através da leitura e estudo das obras citadas.

AJUDANDO A SIGNIFICAR MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

É muito comum a multiplicação ser vista como uma adição de parcelas iguais, ou seja,

multiplicação aditiva. Realmente, ela possui esse aspecto, mas vista apenas dessa forma

como podemos explicar a multiplicação de 0,8 por 2,3? Para que possamos explorar

adequadamente a multiplicação, devemos trabalhar desde as séries iniciais com a

representação retangular, a proporcionalidade e o raciocínio combinatório.

Da mesma forma, em geral trabalha-se a divisão apenas com a idéia de repartição em

partes iguais. Mas como podemos explicar para os alunos a seguinte divisão: 0,8 : 0,2? Com

a idéia de medida, essa divisão é expressa da seguinte forma: quantas vezes o 0,2 cabe em

0,8?

Ideia 1: Multiplicação aditiva Uma abordagem freqüente no trabalho com a multiplicação é o estabelecimento de uma

relação entre ela e a adição. Nesse caso, a multiplicação é apresentada como um caso

particular da adição porque as parcelas envolvidas são todas iguais. Por exemplo:

Tenho que tomar 4 comprimidos por dia, durante 5 dias. Quantos comprimidos

preciso comprar?

A essa situação associa-se a escrita 5 x 4, na qual o 4 é interpretado como o número que se

repete e o 5 como o número que indica a quantidade de repetições.

Ou seja, tal escrita apresenta-se como uma forma abreviada da escrita 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

A partir dessa interpretação, definem-se papéis diferentes para o multiplicando (o número

que se repete) e para o multiplicador (o número de repetições), não sendo possível tomar um

pelo outro. No exemplo dado, não se pode tomar o número de comprimidos pelo número de

dias. Saber distinguir o valor que se repete do número de repetições é um aspecto importante

para a resolução de situações como esta.

No entanto, essa abordagem não é suficiente para que os alunos compreendam e resolvam

outras situações relacionadas à multiplicação, mas apenas aquelas que são essencialmente

situações aditivas.

Além disso, ela provoca uma ambigüidade em relação à comutatividade da multiplicação.

Embora, matematicamente, a x b = b x a, no contexto de situações como a que foi analisada

(dos comprimidos) isso não ocorre.

Assim como no caso da adição e da subtração, destaca-se a importância de um trabalho

conjunto de problemas que explorem a multiplicação e a divisão, uma vez que há estreitas

conexões entre as situações que os envolvem e a necessidade de trabalhar essas operações

com base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente realizado.

Ideia 2: Multiplicação com Representação Retangular A representação retangular além de auxiliar a construção da tabuada prepara o aluno para

entender a área de figuras planas. Exemplos:

Num pequeno auditório, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas.

Quantas cadeiras há no auditório?

Qual é a área de um retângulo cujos lados medem 6 cm por 9 cm?

Ideia 3: Divisão medida A partir das situações de multiplicação retangular é possível formular outras que vão conferir

significados à divisão, associadas às ações e “determinar quanto cabe”.

As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas em fileiras e colunas. Se são 7 as

fileiras, quantas são as colunas?

A área de uma figura retangular é de 54 cm2. Se um dos lados mede 6 cm, quanto

mede o outro lado?

Há ainda problemas de divisão medida onde procura-se verificar quantas vezes uma medida

cabe em X, ou seja, identifica-se a quantidade de partes.

Marta gastou R$ 24,00 na compra de pacotes de chocolate que custavam R$ 3,00

cada um. Quantos pacotes de chocolate ela comprou?

Ideia 4: Multiplicação com Raciocínio Combinatório Vou viajar mas não gostaria de levar muita roupa. Se levar 3 blusas e 2 saias, de

quantas maneiras diferentes posso me vestir?

Observe que para obter a resposta basta multiplicarmos 2 x 3 .

Os alunos podem obter a resposta, num primeiro momento, fazendo desenhos, diagramas de

árvore, até esgotar as possibilidades Pode-se pedir para trazerem roupas de bonecas, como

blusas e saias diferentes em quantidade suficiente, para que possam organizar todas as

possibilidades e a partir da resolução de vários problemas desse tipo observarem a operação

que os resolvem. A representação dessa situação deve ser feita também em tabela de dupla

entrada.

Blusa X Saia Blusa A Blusa B Blusa C

Saia X

Saia Y

Esse resultado que se traduz pelo número de combinações possíveis entre os termos iniciais

evidencia um conceito matemático importante, que é o de produto cartesiano. Note-se que

por essa interpretação não se diferenciam os termos iniciais, sendo compatível a

interpretação da operação com sua representação escrita. Combinar saias com blusas é o

mesmo que combinar blusas com saias e isso pode ser expressar a propriedade comutativa

2 x 3 = 3 x 2.

Ideia 5: Divisão combinatória A idéia de combinação também está presente em situações relacionadas com a divisão:

Numa festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 3 moças e

todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes?

Os alunos costumam solucionar esse tipo de problema por meio de tentativas apoiadas em

procedimentos multiplicativos, muitas vezes representando graficamente o seguinte

raciocínio:

Um rapaz e 3 moças formam 3 pares.Dois rapazes e 3 moças formam 6 pares. Três rapazes e

3 moças formam 9 pares. Quatro rapazes e 3 moças formam 12 pares.

Levando-se em conta tais considerações, pode-se concluir que os problemas cumprem um

importante papel no sentido de propiciar as oportunidades para as crianças, do primeiro e

segundo ciclos, interagirem com os diferentes significados das operações, levando-as a

reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações, assim

como uma mesma operação pode estar associada a diferentes problemas.

Ideia 6: Multiplicação como Proporcionalidade Uma das idéias mais importantes na Matemática é a proporcionalidade, que também é muito

utilizada em outras ciências: Física, Química, por exemplo.

Para fazer uma pipa do tipo maranhão, Marcos comprou 3 varetas. Se quisesse fazer

6 pipas iguais a essa, quantas varetas precisaria comprar?

Ao trabalharmos esse tipo de problema não é interessante indicar para os alunos que a

multiplicação o resolve. Mostre-lhes que existe uma proporcionalidade entre o

número de varetas e a quantidade de pipas que serão feitas.

Se 150 g de um sabão custam R$ 0,60. Quanto custarão 350 g desse mesmo sabão?

Observe que neste problema não basta multiplicar, mas existe a proporcionalidade.

Se fizermos a tabela com os múltiplos de 150 não encontraremos os 350g.

Os problemas que envolvem essa idéia são muito freqüentes nas situações cotidianas e, por

isso, são mais bem compreendidos pelos alunos.

Marta vai comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. Quanto ela

vai pagar pelos três pacotes? (A idéia de proporcionalidade está presente: 1 está

para 8, assim como 3 está para 24.)

Dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto pagarei por 4 desses abacaxis? (Situação em

que o aluno deve perceber que comprará o dobro de abacaxis e deverá pagar — se

não houver desconto — o dobro, R$ 5,00, não sendo necessário achar o preço de um

abacaxi para depois calcular o de 4.)

Ideia 7: Divisão repartição A partir das situações de proporcionalidade, é possível formular outras que vão conferir

significados à divisão, associadas às ações “repartir (igualmente)”.

Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de chocolate. Quanto custou cada pacote?

(A quantia em dinheiro será repartida igualmente em 3 partes e o que se procura é o valor de

uma parte.)

A seguir pode-se ver uma apresentação e uma abordagem feita pela professora e autora Celia

Maria Carolino Pires. Essa imagem está publicada na revista Nova Escola. O campo

multiplicativo e as ideias multiplicativas, entretanto, tem sido apresentados por vários

autores. Tanto o campo aditivo quanto o multiplicativo são contemplados nos Parâmetros

Curriculares Nacionais e tem sido abordados em diferentes questões nas avaliações

organizadas pelo INEP.

A IMPORTANCIA DO ESTUDO UTILIZANDO DIVERSIFICADOS TIPOS

DE PROBLEMAS

Mesmos Números. Diferentes Problemas.

Observar, Comparar E Classificar.

Rui vai colocar seus brinquedos em 5 caixas. Em cada caixa ele colocará 35 brinquedos.

Quantos brinquedos ele guardará?

Rui vai colocar seus 35 brinquedos em caixas. Em cada caixa ele colocará 5 brinquedos.

De quantas caixas ele precisará?

Rui vai dividir seus 35 carrinhos igualmente entre ele e seus 4 primos. Com quantos

brinquedos cada um vai ficar para brincar?

Se cada pacote com 5 carrinhos custa doze reais, quanto Rui gastará para comprar 35

carrinhos?

Problemas Para Desenvolver A Criação

Invente multiplicações cuja resposta seja 120.

Agora invente divisões cuja resposta seja 13.

Escreva um problema cuja resposta seja 15.

Invente um problema (ou questão) semelhante a um problema conhecido.

Invente um problema cuja pergunta seja: Quantos ao todo? ou Quanto restou?

Escreva uma nova pergunta para um problema conheciDO

Problemas Onde Haja Busca De Suposições

Numa festa havia 5 dúzias de coxinhas e 78 pessoas. Sobraram ou faltaram coxinhas?

Um sitiante tem uma cesta com ovos. Ele colocou a mão 6 vezes na cesta e de cada vez

tirou 4 ovos. Quantos ovos havia na cesta?

Qual o menor resultado possível para a multiplicação cujos fatores são números de 2

algarismos e esses algarismos são 1 e 4.

Problemas Com Excesso Ou Falta De Dados

Ana levanta todas as manhãs às 6 horas e vai à padaria comprar 1 litro de leite e 5

pãezinhos. Quantos pãezinhos Ana compra durante um mês (30 dias)?

Os frentistas e seu supervisor vão repartir a caixinha semanal que foi de 500,00. O

supervisor trabalha dobrado e recebe o dobro da quantia de um frentista. Quanto

receberá cada um?

ALGORITMOS

UTILIZANDO OS ALGORITMOS DA MULTIPLICAÇÃO E DA DIVISÃO

DE FORMA REFLEXIVA

Para a compreensão do algoritmo da multiplicação, a idéia aditiva e a de representação

retangular são as mais indicadas para que os alunos compreendam o porquê de algumas

passagens. O uso do Material Dourado facilita essas justificativas.

Apesar de haver várias idéias de divisão, há 2 idéias muito importantes para serem

trabalhadas em situações-problema e desenvolver o algoritmo. Uma delas é a de divisão em

partes iguais e a outra é a idéia de medida, ou seja, "quanto cabe".

Facilitará bastante o aprendizado dos algoritmos se antes disso os alunos aprenderam a fazer

agrupamentos na base 10, trocas e adição e subtração no SND com os materiais concretos e

tiveram oportunidades de criar seus próprios procedimentos de resolução. Solicite que os

alunos resumam o que fizeram nas atividades e verifique o vocabulário matemático utilizado.

Comente que os algoritmos são formas organizadas de obter o resultado de maneira mais

fácil e acessível e que na história da humanidade isso representou um grande avanço, já que

os cálculos eram feitos por poucas pessoas que utilizavam ábacos e que detinham o poder de

calcular, por exemplo, os impostos.

Utilizar o Material Dourado para compreender o algoritmo é interessante, já que ele é um

material estruturado para isso, mas é também interessante utilizar outros recursos como

ábaco, cartaz de pregas, calculadora, etc.

Por ser o algoritmo um assunto específico da própria ciência matemática, não vamos

explorá-lo aqui, envolvido em relações com outras áreas de conhecimento. Aqui o algoritmo

será tratado como objeto para depois tornar-se uma ferramenta de cálculos.

É importante aprender a técnica do cálculo e como essa pode se tornar uma ferramenta de

grande ajuda nos momentos de cálculos reais ou não.

ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO No Portal do MEC, Pró-Letramento, há muito mais!

Observe como podemos representar a multiplicação de 36 por 4.

Com apoio de material concreto você pode ajudar seus alunos a compreenderem que

multiplicamos 6 unidades por 4 e 3 dezenas também por 4 e que, depois, juntando os

resultados encontrados (120 e 24) chegamos ao resultado, 144.

36X4= Ideia aditiva

Registro formal e numérico A partir destas experiências, resta apenas associá-las ao registro formal do algoritmo da

multiplicação, escrevendo os resultados parciais de forma conveniente para o uso do

algoritmo da adição.

Incentive o cálculo mental

OALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO Resolva as operações abaixo utilizando no primeiro QVL o MD e no segundo QVL os

registros numéricos.

Multiplicação por números de dois dígitos

Nesta última etapa, veremos o algoritmo da multiplicação de dois números, cada um deles

representado no SDN por dois algarismos. Neste momento, as crianças já devem ter uma

base para aprender o algoritmo, o que inclui um mínimo de novas técnicas.

Por exemplo:

Vamos calcular o produto de 43 por 27. Iniciamos por fazer o produto 7 x 43.

2) E se o resultado tivesse sido 387? O que estaria errado?

3) Pense em alguns caminhos didáticos que você poderia utilizar para ajudar o aluno a

entender esse algoritmo da multiplicação?

1)Observe o erro que o

aluno cometeu ao realizar

essa conta.

O que poderia ser feito

para ensiná-lo a evitar

esse erro?

INTRODUZINDO O ALGORITMO DA DIVISÃO

Atividade 1

Atividade 2

Atividade 3

Crie uma situação problema de divisão. As crianças deverão usar o MD para resolvê-la.

Mostre a resolução usando MD e usando o algoritmo

AINDA DIVISÃO EXATA

DIVISÃO NÃO EXATA

REPRESENTANDO A DIVISÃO COM O MD NO QVL

REPRESENTAÇÃO PICTÓRICA E NUMÉRICA DA DIVISÃO

Utilizando o MD represente a divisão de 255 por 3.

Na divisão de 255 por 3

OUTRO EXEMPLO: Qual o resto da divisão 653 : 3 ?

A divisão acima está correta? Por que?

O algoritmo da divisão por subtrações sucessivas

Divisões mais complexas

Complete as resoluções pelos métodos listados abaixo.

Só depois que as crianças estiverem familiarizadas com a técnica do algoritmo, que se baseia

em subtrações repetidas, e utilizarem os fatos básicos já conhecidos, é que estarão prontas a

aprender situações mais complexas da divisão, como por exemplo, uma divisão de 86 por 5.

1º. Estimativa

2º. Método Americano

3º. Método Longo

4º. Método Curto

BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA

ABRAHÃO, Ana M. C. O uso da calculadora na aula de matemática. Patio Revista

Pedagógica. Enfoque. Ed. Artes Médicas Sul Ltda. ISSN 1518-305X, Ano VII, no. 26,

maio-julho 2003.

ABRAHÃO, Ana M. C. As Inteligências Múltiplas de Howard Gardner e o Ensino-

Aprendizagem da Matemática. Presença Pedagógica. ISSN 1413-1862, Editora Dimensão, v.

8, n. 46, jul-ago 2002.

ABRAHÃO, Ana M. C. Matemática. Caderno do Professor.Vol. 14. SMERJ. RJ. 2007.

BISHOP, Alan J. Cultural Conflicts in mathematics education: developing a research agenda.

For the Learning of Mathematics. 14 (2), p.15-18. 1994.

BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São

Paulo: IME-USP, 1996.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Volume 3, Matemática, 1ª 4

ª. Brasília,

MEC/SEF, 1997.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Matemática, 5ª. 8ª. Brasília, MEC/SEF,

1998.

CAMPOS, Tânia M. M., NUNES, Terezinha et all. Repensando Adição e Subtração.

Contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, São Paulo, PROEM, 2001.

CENTURIÓN, Marília. Números e Operações. São Paulo, Scipione, 1995.

CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo, IMEUSP,

1996.

CARVALHO D. L. Multiplicação e Divisão de Aprendizagem e Transformações

Multiplicativas. São Paulo, 1986.

CARVALHO, João B. P. e SZTAJN, Paola. As habilidades “básicas” em matemática. In

Presença Pedagógica, mai-jun, V.3, n.15, Belo Horizonte, 1997.

CENTURIÓN, Marília. Números e operações. Conteúdo e metodologia da matemática.

Scipione, São Paulo, 1994

CHEVALLARD, Yves. La Transposition Didactique: du savoir savant au savoir enseigné.

France. La Pensee Sauvage, Editions. 1991.

DUHALDE, M.H., CUBERES, M.T.G. Encontros iniciais com a matemática. Porto Alegre,

Art Med, 1998.

FEY, J.T. & Hirsch, C.R. Calculators in Mathematics Education, Yearbook, NCTM, 1992.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: Saberes necessários à prática educativa. Ed. Paz e

Terra, São Paulo, 2002.

FREUDENTHAL, Hans.Revisiting Mathematics Education: China Lectures. Kluwer

Academic Publishers, Mathematics Education Library, 1991.

GIMÉNEZ, Joaquim e GIRONDO, Luisa. Cálculo en la escuela. Reflexiones y propuestas.

Ed. Graó, Barcelona, 1993.

IMENES, Luis Marcio. Brincando com números. A numeração indo-arábica. Os números na

história da civilização. Col. Vivendo a matemática. São Paulo, Ed. Scipione, 1988.

IMENES, L. M. Problemas curiosos. Coleção vivendo a matemática, Ed.Scipione, SP, 1991.

JAKUBOVIC, J. Par ou ímpar. Coleção vivendo a Matemática, São Paulo: Editora Scipione,

1990.

KAMII, Constance. A criança e o número. Papirus, Campinas, 1994.

KAMII, C. Crianças Pequenas Reinventam a Aritmética. Porto Alegre, ArtMed, 2002.

MANDARINO, M.C.F., BELFORT, E. Números naturais – conteúdo e forma. Rio de

Janeiro: LIMC–UFRJ, 2005.

MEC- Pró letramento. Programa de formação continuada de professores para melhoria da

qualidade de aprendizagem da leitura/escrita e matemática nas séries iniciais do ensino

fundamental

MORAN, José Manuel. O vídeo na sala de aula. Comunicação & Educação. São Paulo,

ECA-Ed. Moderna, [2]: 27 a 35, jan./abr. de 1995

MULTIEDUCAÇÃO: Núcleo Curricular Básico do Município do Rio de Janeiro. SMERJ,

Rio de Janeiro,1996.

NEHRING, C.; PIVA, C. Orientações metodológicas para construção da operação de

multiplicação. IJUÍ, UNIJUÍ, 1998.

NUNES, T., BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre, Artes Médicas,

2001.

PACHECO, E.; BURGERS, B. Série Problemas. (Problemas à vista; Problemas? Eu tirode

letra!; E aí, algum problema?; Vai um probleminha aí). São Paulo: Editora Moderna, 1998.

PAIS, Luiz C. Didática da Matemática. Uma análise da influência francesa. Coleção

Tendências em Educação Matemática. Autêntica, Belo Horizonte, 2001.

RABELO, Edmar Henrique. Textos matemáticos: produção e identificação. Edit. Lê, Belo

Horizonte, 1996.

SANTOS, V. M., REZENDE, J. F. Números: linguagem universal. Rio de Janeiro,

IM/UFRJ, Projeto Fundão, 1997.

SKOVSMOSE, Ole. Escenarios de investigación. In Revista EMA, Investigación e

innovación en educación matemática. Colombia. Colciencias. V 6, No. 1, noviembre. 2000.

SMOLE, K.S. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender

matemática. Coleção Matemática de 0 a 6 anos. Porto Alegre, ArtMed, 2001.

SMOOTHEY, Marion. Atividades e jogos com Números. Série Investigação Matemática.

Ed. Scipione, 1997.

STIENECKER, David L. Problemas, jogos e enigmas: Adição. Subtração. Multiplicação.

Divisão. Editora Moderna, São Paulo, 1998.

TOLEDO, Marilia e Mauro. Didática da matemática. Como dois & dois. FTD, SP, 1997.

VERGNAUD, Gerard. La teorie dês Champs Conceptuals. RDM, V10, N23, 1990.

VIGOTSKI, Lev S. Obras Escogidas. Tomo III. Editorial Pedagógica, Madrid, 1995.

VIGOTSKI, Lev S. A Formação Social da Mente. São Paulo, Martins Fontes, 2002.

VIGOTSKI, Lev S. Pensamento e Linguagem. São Paulo, Martins Fontes, 2003.

VILLELLA, José. Didáctica de la matemática. Diálogo entre profesionales de la enseñanza.

Jorge Baudino Ediciones. UNSAM. Buenos Aires, Argentina, 2002.

WELLS, Alison. Problemas, jogos e enigmas: Adição. Subtração. Multiplicação. Divisão.

Editora Moderna, São Paulo, 1998.

WIILIAMS, C. G. “Looking over their shoulders: Some difficulties students have with

graphing calculators”. Mathematics and Computer Education, Vol. 27 (3), pg. 198-202,

1993.

REVISTAS

Educação Matemática em Revista. Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)

Revista Superinteressante, Editora Abril.

Revista Globo Ciência, Editora Globo.

Revista Nova Escola, Fundação Victor Civita.

SITES

http://www.q10.com.br/matematicahoje/

http://www.educar.sc/matematica/index.html

http://www.calculando.com.br/jogos

http://www.tvebrasil.com.br/salto

http://www.mathema.com.br

www.mec.gov.br

www.multirio.rj.gov.br/

www.sbem.com.br/

VÍDEOS Multirio. Procura Acha. 1ª. à 4ª. Séries. SMERJ.