Escola Naval 2002-2005

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QUESTÕES DE CÁLCULO DA ESCOLA NAVAL DE 2002 A 2005

QUESTÃO 1 EN 2005

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

3x 3x

2 2

3x3x

2

1 1 1 1y x y ' x dx e dx e dx dx dx

1 3x 1 3xx 2x 2 x 2x 2

1 1 1 e 1e dx d x 1 d 1 3x arctg x 1 ln 1 3x C

3 1 3x 3 31 x 1

3 0e 1 1 4

y 0 arctg 0 1 ln 1 3 0 C C C 13 3 3 4 4 3

3 1 3 3e 1 e 1 3 2ln 2 e

y 1 arctg 1 1 ln 1 3 1 1 ln 4 13 3 3 3 3

QUESTÃO 2 EN 2005



RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

222 2 2 2

2

2

1 1 14x y 4x 4y 0 4 x 2 x y 4y 4 1 4 4 x y 2 5

2 4 2

1x

y 2 12 1 C , 25 5 2

4

2

1 1 1 1 1f x arcsen x f ' x f ' 1

22 x 2 x 1 x 1 11 x 2 1

2 2

O coeficiente angular da tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1

x2

é 1, então o

coeficiente angular da reta normal é 1 .

Supondo que a reta pedida passe pelo ponto 1

C , 22

e possua coeficiente angular 1 , ou seja,

que seja paralela à reta normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 1

x2

, temos:

y 2 11 y 2 x 2y 2x 3 0

1 2x

2

QUESTÃO 3 EN 2005



RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO:

Devemos estudar a continuidade e a derivabilidade em x 1 .

x 1 x 1

3

x 1 x 1

x 1 x 1

lim g x lim ax b a b

lim g x lim ax x 2b a 1 2b

g 1 a b

lim g x lim g x g 1 a b a 1 2b b 1

'

x 1 x 1 x 1

'3 2

x 1 x 1 x 1

x 1 x 1

lim g ' x lim ax b lim a a

lim g ' x lim ax x 2b lim 3ax 1 3a 1

1lim g ' x lim g ' x a 3a 1 a

2

QUESTÃO 4 EN 2004

Seja g(x) uma função real, derivável até a 3ª ordem para todo x real, tal que g 0 g´ 0 0 e

g´́ 0 16 . Se f(x) é uma função real definida por g x

se x 0f x 2x

0 se x 0

, então f’(0) é igual a:

(A) 16



(B) 12

(C) 8

(D) 4

(E) 0

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

2h 0 h 0 h 0 h 0 h 0 h 0

g hf 0 h f 0 f h g h g ' h g '' h 162hf ' 0 lim lim lim lim lim lim 4

h 0 h h 4h 4 42h

O limite acima era do tipo 0

0, tendo sido calculado pela aplicação do teorema de L’Hôpital duas

vezes.

QUESTÃO 5 EN 2004

O 3x 1

1 1lim

2 1 x 3 1 x

é igual a:

(A) 0

(B) 1/16

(C) 1/12

(D) 1/2

(E) 1

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO:

2 36 3

3 23x 1 y 1

2

2 2y 1 y 1

2

2y 1 y 1

x y x y e x y

1 1 1 1lim lim

2 1 y 3 1 y2 1 x 3 1 x

3 1 y 2 1 y y1 1lim lim

3 1 y 1 y2 1 y 1 y y 6 1 y 1 y 1 y y

1 y1 y 2ylim lim

6 1 y 1 y 1 y y

1 2y

6 1 y

2

2y 1

1 y 1 y y

1 2y 3 1lim

6 2 3 126 1 y 1 y y

QUESTÃO 6 EN 2004

A função real f x satisfaz a seguinte equação x x

sen f x x f x2 2

. Considere a função



g, definida por f x

g x kx

com r 0 e k . Sabendo que f 2 1 , podemos afirmar que

o valor da constante real k para g ' 2 f ' 2 é:

(A) 1

2

(B) 3

4

(C) 4

3

(D) 8

5

(E) 2

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO;

x x x 1 1sen f x x f x cos f x f ' x 1 f x x f ' x

2 2 2 2 2

2 1 1x 2 cos f 2 f ' 2 f 2 2 f ' 2

2 2 2

1 1cos 1 1 f ' 2 1 2 f ' 2 f ' 2 2

2 2

2

2

f x f ' x x f x 1g x k g ' x k

x x

f ' 2 2 f 2 2 2 1 5g ' 2 k k k

4 42

5 8

g ' 2 f ' 2 k 2 k4 5

QUESTÃO 7 EN 2004

Seja p uma constante real positiva. A integral

1n 2px

2e dx é igual a:

(A) 3

22

2px c3

(B) 1

2p 2px c

(C) 3

21

2px c3

(D) 1

22

2px c3

(E) 1

21

x 2px c3

RESPOSTA: B



RESOLUÇÃO:

1n 2px 1 1

ln 2px2 2 21

e dx e dx 2pxdx 2px 2p C p 2px C2

QUESTÃO 8 EN 2003

Se

1

ln x

x 0lim cotg x p

, então:

(A) 1

0 p3

(B) 1 1

p3 2

(C) 1

p 12

(D) 1 p 2

(E) 2 p 3

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO:

1 1

ln x ln x

x 0 x 0 x 0 x 0

2

2x 0 x 0

ln cotg x1lim cotg x p ln p lim ln cotg x lim ln cotg x lim

ln x ln x

1cossec x

x tg x 1cotg xlim lim 1 ln p 1 p

1 esen x

x

1 1e 2,7 p

3 2

O último limite foi calculado considerando que x , sen x e tg x são infinitesimais equivalentes.

QUESTÃO 9 EN 2003

De um ponto P do cais, João observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais

os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a (0, 20) e (0, 40), enquanto P encontra-se

no semi-eixo positivo das abscissa. Se o ângulo APB de observação é máximo, então a abscissa de

P é igual a:

(A) 20 2

(B) 20 3

(C) 20

(D) 15

(E) 10

RESPOSTA: A



RESOLUÇÃO:

2

2

20tg

20 tg tg 40 40pP p,0 tg , tg

20p 1 tg tg p p1 tg

p

20 p tg 40 20p20p p tg 40p 800 tg tg

p 20 tg p p 800

O ângulo é máximo quando tg é máximo, ou seja, quando 2

20p

p 800 assume seu valor máximo.

' 22

2 22

20 p 800 20p 2p20p0 p 800 p 20 2

p 800 p 800

Observe que essa abscissa refere-se a um ponto de máximo, pois a derivada é positiva antes e

negativa depois do ponto.

QUESTÃO 10 EN 2003

Consideramos n uma função real, bijetora, derivável tal que 2h´ x sen cos x 1 e h 0 3 .

Calcule:

a) A equação da reta normal ao gráfico da função 1h no ponto 13, h 3 , onde 1h é a função

inversa de h.

b) '

1g 3 onde g é a função real definida por 2x 1g x h e 1 e 1g é a função inversa de g.

RESPOSTA: a) 2 2y sen cos1 x 3sen cos1 ; b) 2

1

sen cos1

RESOLUÇÃO:

a) 1h 0 3 h 3 0



' '1 1

21 1

1 1 1 1h x h 3

h ' 0 sen cos1h ' h x h ' h 3

2 2h´ x sen cos x 1 h´ 0 sen cos1

O coeficiente angular da reta normal ao gráfico de 1h no ponto 13, h 3 é

2

'1

1sen cos1

h 3 .

2 2 2y 0sen cos1 y sen cos1 x 3sen cos1

x 3

b) 1 2k 1 2k 1 1g 3 k g k 3 h e 1 3 e 1 0 k

2

' '1 1

21 1

1 1 1 1g x g 3

1 sen cos1g ' g x g ' g 3 g '2

2x 1 2x 1 2x 1

12 1

22

g x h e 1 g ' x h ' e 1 e 2

1g ' h ' e 1 h ' 0 sen cos1

2

QUESTÃO 11 EN 2003

Seja x 3xe a e , se x 0

f xb 2senx cos 2x, se 0 x 2

.

I) Sabendo-se que f é uma função contínua em x 0 e que x ln3 é um ponto crítico desta,

calcule as constantes reais a e b.

II) Substituindo-se na função f os valores de a e b encontrados em I), determine:

a) Todos os pontos críticos de f.

b) Os pontos de máximo e mínimo relativos da função f.

RESPOSTA: I) a 3 e b 3 , II) a) 3 5

ln 3,0, , , ,2 2 6 6

, b)

5ln 3, , ,

2 6 6

são pontos de

máximo local e 3

0,2

são pontos de mínimo local

RESOLUÇÃO:

I)

x 3x

x 0 x 0

x 0 x 0

lim f x lim e a e 1 a

lim f x lim b 2sen x cos 2x b 1

Se f é contínua em x 0 , então x 0lim f x

existe e x 0lim f x f 0

.

x 0x 0 x 0

lim f x lim f x lim f x 1 a b 1 b a

Encontrando a expressão de f ' para valores negativos de x.

x 3x x 3x x 3xx 0 f x e a e f ' x e a e 3 e 3a e



Se x ln3 é um ponto crítico de f, então f ' ln3 0 .

1 3ln3 3 ln3 ln3 ln3 1 3f ' ln3 e 3a e e 3a e 3 3a 3 0 a 3 b 3

II)

a)

x 3x x 3xe 3 e , se x 0 e 9 e , se x 0

f x f ' x3 2senx cos 2x, se 0 x 2 2cos x 2sen 2x, se x 0

x 3x x 3x 2x 1x 0 f x e 3 e f ' x e 9 e 0 e x ln3

9

x 0 f x 3 2sen x cos 2x f ' x 2cos x 2sen 2x 0 sen 2x cos x

1 3 52sen x cos x cos x cos x 0 ou sen x x , , ,

2 2 2 6 6

Como x 3x

x 0

lim f ' x e 9 e 8

e x 0

lim f ' x 2cos x 2sen 2x 2

, então f não é derivável em

x 0 .

b)

1 3x 3x ln3 ln3 1 1 2

x 0 f '' x e 27 e f '' ln3 e 27 e 27 03 27 3

x ln3 é um ponto de máximo local

x 0 f '' x 2sen x 4cos 2x

3 5f '' 2, f '' 2, f '' f '' 3

2 2 6 6

5, ,

2 6 6

são pontos de máximo local e

3

2

é ponto de mínimo local.

x 0

lim f ' x 8

e x 0

lim f ' x 2

0 é um ponto de mínimo

QUESTÃO 12 EN 2002

Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) na lacuna de cada afirmativa dada abaixo, assinalando a

alternativa correta.

( ) Se f é uma função real derivável no intervalo aberto I , 0x I e 0f ' x 0 então 0x

é a abscissa de um ponto de mínimo local ou máximo local de f.

( ) Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A 0 , então A é inversível.

( ) Se h e g são funções reais deriváveis no intervalo aberto I , a I , x alim h x 0

e

x alim g x 0

, então

x a

h xlim

g x não existe.

( ) O vetor u 3,2,1 é perpendicular aos vetores v 1,2, 1 e w 0,2, 4 .

( ) 3 3

2 2dx 1

x 1 x 1 c3x 1 x 1

(A) F – V – V – V – F

(B) V – V – F – F – F

(C) V – F – V – V – F

(D) F – V – F – V – V



RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

(F) Contra-exemplo: 0 0 0f ' x f '' x 0 e f ''' x 0 então 0x é ponto de inflexão.

(V)

(F) Contra-exemplo: Pelo teorema de L’Hôpital, se x alim h x 0

, x alim g x 0

e

x a

h ' xlim

g ' x existe,

então

x a

h xlim

g x também existe e

x a x a

h x h ' xlim lim

g x g ' x .

(V) u v 0 u v e u w 0 u w

(V)

3 32 2 3 3

2 2

dx x 1 x 1 dx 1x 1dx x 1dx

x 1 x 1 2x 1 x 1

1 x 1 x 1 1c x 1 x 1 c

3 32 32 2

QUESTÃO 13 EN 2002

Sejam f e g funções definidas em e deriváveis em x 0 , tais que f 0 3 , f ' 0 4 , g 0 1

e g ' 0 1 . Então '

2f g0

f g

é igual a:

(A) 21

6

(B) 7

5

(C) 21

4

(D) 21

2

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO:

'

2

2f x g x ' f x g x 2f x g x f x g x '2f gx

f g f x g x

'

2

2f ' x g ' x f x g x 2f x g x f ' x g ' x2f gx

f g f x g x

'

2

2

2f ' 0 g ' 0 f 0 g 0 2f 0 g 0 f ' 0 g ' 02f g0

f g f 0 g 0

2 4 1 3 1 2 3 1 4 1 21

43 1



QUESTÃO 14 EN 2002

Qual o valor do

1

ln x

x 0

lim cotg x

?

(A) e

(B) 1

e

(C) 0

(D) 1

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO:

1 1

ln x ln x

x 0 x 0 x 0 x 0

2

2x 0 x 0

ln cotg x1lim cotg x y ln y lim ln cotg x lim ln cotg x lim

ln x ln x

1cossec x

x tg x 1cotg xlim lim 1 ln y 1 y

1 esen x

x

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