ESCOLA SECUNDÁRIA DE SÃO LOURENÇO Ficha de …essl.edu.pt/Dep/Mat/fichas/Ficha de...
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ESCOLA SECUNDÁRIA DE SÃO LOURENÇO
Ficha de Trabalho 10º Ano Matemática A 1 - [ é um losango: ]ABCD
a) Indique quantos segmentos orientados podemos
definir: • com os lados do losango; • com os vértices do losango.
b) Indique quantos vectores distintos podemos definir: • com os lados do losango; • com os vértices.
2 – Indique as componentes e as coordenadas de cada um dos vectores representados na figura. 3 – Considere os pontos : A(3;2) ; B(3;3) ; C(5;3) ; D(4;4) ; E(5;5) ; F(5;6) ; G(4;7) ; H(2;6) ; I(3;5) e J(1;6).
a) Justifique que FEBA = . b) Escreva as coordenadas de : HFGDACBDJH e ; ; ; .
4 – No referencial o . n. represente o vector: ),,( jiO
rr
a) ; jirr
53 +− b) de coordenadas )1;0( − ; c) de coordenadas ; )2;3( − d) de coordenadas . )0;2(
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5 – Sendo )0;1( e 31 , −=== D);(vCDv rr , determine as coordenadas de C. 6 – Dados ,determine as coordenadas de M , sabendo que )3;6( e )5;1( =−= BA ABOM = . 7 – O paralelogramo [ está dividido em seis paralelogramos geometricamente
iguais. ]
iferentes; tores simétricos;
te de modo a
b.1
ADLI
a) Com os elementos da figura, indique:: • dois segmentos orientados equipolentes; • dois vectores com a mesma direcção, o mesmo sentido e comprimentos d • dois vec
b) Observe a figura e compleobter proposições verdadeiras:
) ......=+ HDF b.2) E b.3) J=+ ....... ......=+ KCIJ b.4) AJBJ =+....... b.5) BCBC =+ ........ b.6) 0..... =+AL b.7) ......=+ ACAB b.8) .....=+ LIAC b.9) .....2 =AB b.10) ....=−CBFG
– Considere os pontos 8 ( ) ( ) ( ) ( )1;3 e 1;3 , 2;5 , 1;2 −−−−− SRQP .
s de: Determine as coordenadaQRQ + b) RS+ c) a) PQ QSR 3+ d) PSPP −
9 – Considere os pontos ( )3;2 e 0;21 ,
31;2 ,
21;3 −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− DCBA . Determine as
coordenadas do ponto P sabendo que : BDACPBBCABAPCDOPABOPa b) ) −== 2 d) c) −=+=
0 – Sendo 1 cba rrr e , três vectores quaisquer do plano, simplifique:
)( ( ) ( ) ( ) 35
323-- aab rr24 c) 81-2 b) 2 ) ccacbabaa rrrrrrrrr
+
1 – Considere os vectores
−−++
1 jdicjibjia
rrrrrrrrrr 5 e 2 , 2 , 35 =−=−=−= num referencial o .n. ( )jiO ,, . Determine : as coordenadas de cada um dos vectores
rr++a) da
rr+ b) dcba
rrrr−+− c) cba rrr
−+2 cbd) cba rrr
−+221
e) ( )cba rrr++ f) ( ) cba rrr
++
g) ( )cba rrr+−
i)
h) dbarrr
−−
dcbrrr
52
21
++− j) ba crrr 32 ++−
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] 12 - [ é um diâmetro de uma circunferência de centro C. AB Sabendo que ( ) ( 0;2 e 3;1 CA )− , determine as coordenadas de B. 13 – Indique se são verdadeiras ou falsas as proposições:
a) A soma de dois vectores é um vector; b) A soma de um ponto com um vector é um vector; c) O produto de um número real, não nulo, por um vector, é um vector com a
mesma direcção; d) O produto de um número real, não nulo, por um vector, é um vector com o
mesmo sentido. 14 – Determine a norma dos vectores:
a) ( 0;3−u )r b) ( )5;0vr c) ( )2;1−wr d) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
21;
23ar
e) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
22;
23b
r f) AB em que ( ) ( )0;3 e 3;0 BA
15 – Verifique se são colineares os seguintes pares de vectores:
a) ( ) 2;8( e 1;4 −−vu rr ) b) )1;4( e 1;32 vu rr
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
c) iviurrrr
53 e 2 −== d) jivjiu
rrrrrr 33 e −−=+=
16 – Para cada um dos seguintes pares de vectores, determine x de modo que sejam colineares: a) ( ) ( 30;20 e ;2 == bxa )
rr c) ( ) ( )0;0 e ;5 == b xarr
b) d) ( ) ( 16;0 e 2; =−= bxarr ) ( ) ( )3;2 e 51;13 −=−+= bxxa
rr 17 – Num referencial o .n. ( )jiO
rr,, é dado o vector jia
rrr 53 += . Determine pelas suas coordenadas o vector:
a) colinear com e com o triplo do seu comprimento; ar
b) colinear com , com o sentido oposto ao de aar r e o dobro do seu comprimento; c) que tem a mesma direcção de ar e a terça parte do seu comprimento.
18 – Determine, num referencial o .n. ( )jiO
rr,, , as coordenadas dos vectores:
a) u colinear com o vector rjivrrr 43 −= e de norma 4;
b) xr colinear com o vector ( )3,1ur e de norma 10; c) colinear com o vector vr ( )3,4−ur , de norma 12 e com sentido oposto a ur .
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19 a) Verifique se o hexágono [ ] da ABDFGI figura é regular;
b) Averigúe se os vectores AF e BD têm a mesma direcção; c) Determine os números reais k e s de
modo que: GFkHE = BGsFD =
d) Determine a área do hexágono. 20 – Considere num referencial o .n. ( )gfeO rrr ;;; os pontos )3;0;2( , )5;2;1( −− NM e o vector gfeu rrrr 43 ++= . Calcule:
a) As coordenadas do vector MN ;
b) As componentes do vector MNu212 +
r ;
c) As coordenadas do ponto A onde está aplicado o representante do vector ur que termina em M;
d) As coordenadas do vector xr colinear com ur e de norma 52 ; e) As coordenadas do ponto médio de [ ]MN .
21 – Averigúe se são colineares os vectores ( ) ( )6;6.3;12.0 e 5;3;1.0 −− . 22 – Calcule a ordenada de um vector ( )6;;2 ya −
r sabendo que a sua norma é 7. 23 – A figura representa 2 paralelepípedos iguais com a face [ ]MNPQ comum.
D N
B M A
H P
E Q F
C
1. Calcule: a) PGEA + b) DHAB + c) NCHPQ 2−+
2. Sendo H a origem do referencial os eixos coordenados,
DHPHEH•••
;;
HPHDHPHE ×=== 2 e 1 .
G
Indique as coordenadas de : M , B , C, HB , PC HBGCPCHBGC 32 , , −+ .