Espaço, Tempo e Relatividade

Reginaldo A. ZaraCCET-Unioeste

Unioeste, 26/10/2007.

Postulados da Relatividade

1. Princípio de Relatividade: As leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

Portanto, tanto as leis da Mecânica como as leis do Eletromagnetismo devem ter a mesma forma em qualquer referencial inercial.

5. Constância da velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade da fonte de luz.

22 /cv1(repouso) T)(movimento T

−=

Relógios em movimento batem mais devagar!

Rompimento com a idéia de tempo absoluto;

Questionamentos sobre a simultâneidade de eventos

O paradoxo dos gêmeos

anoscczet 10

80.042)( =×=

anos

cv

zet 6.31

6)(

2

2=

−

=

4 anos-luzTerra estrela

v = 0,80 cGêmeos: José e Francisco Francisco faz a viagem

Se há dilatação, para Chico:

Para Francisco, é José quem viaja....

anos

cv

chicot 61

10)(

2

2=

−

=

José está 4 anos mais velho que Francisco?

Francisco está 3.6 anos mais velho que José?

Relatividade do ComprimentoO trem de Einstein Um passageiro em um trem que viaja a

alta velocidade:

v = 240.000 km/s = 0.80c

O trem passa por uma estação de 2.440.000 km de comprimento. Para um observador na estação, o tempo para cruzar a estação é:

sskm

kmt 10/000.240

000.400.2 ==∆

Relatividade do Comprimento

kmLskmsL

000.440.1/0000.2406

=⋅=

Para um passageiro no trem:

stcvtt OOp 61 2

2

=∆−⋅∆=∆

O comprimento da estação seria:

Qual é o comprimento correto da estação?

Quem é maior: a vaca ou o vaqueiro?

Depende do ponto de vista!!??

Os observadores tem pontos de vista diferentes…

Relatividade do Comprimento

Comprimento Próprio L0 Comprimento de um corpo medido no referencial em que o corpo se encontra estacionário.

Para um objeto em movimento:

2

2

1cvLL o −⋅=

O Circo Relativista

4 metros 6 metros

4 metros 3 metros

O Circo Relativista

cv 87.0=

O Circo Relativista

2 metros 6 metros

Desastre no Circo Relativista?

cv 87.0=

Desastre no Circo Relativista?

22 /cv1 (repouso) L)(movimento L −×=

Réguas em movimento ficam mais curtas!

se a velocidade da luz fosse 30 km/h ...

George GamowMr. Tompkins in Wonderland

George GamowMr. Tompkins in Wonderland

se a velocidade da luz fosse 30 km/h ...

Lorentz x Einstein

Uma questão de interpretação?

Transformações de LorentzTransformações de Lorentz yr

ym

xr xm

(xr , yr )

(xm , ym )

D

xr = xm+ D

yr = ym

tr = tm

Se D = v . t

xr = xm+ v . t yr = ym

tr = tm

Transformações Galileanas

O tempo é relativo!!!!!

)( 2cxvtt m

mr⋅

+= γ Espaço-tempo!

2

2

1

1

cv−

=γVamos introduzir o fator γ:

Espaço e tempo, enquanto entidades separadas, são meras sombras, e apenas umaespécie de união entre eles tem existência independente.

Hermann Minkowski (1908)

O Espaço - Tempo

22222 tczyx =++

Espaço em 4 dimensões!!!

Transformações de LorentzTransformações de Lorentz yr

ym

xr xm

(xr , yr )(xm , ym )

v . t

Transformações de Lorentz

)( 2cxvtt m

mr⋅

+= γ

)( mmr tvxx ⋅+= γ

mr yy =

Frequentemente, estamos interessados na diferença entre as coordenadas de um par de eventos:

12 xxx −=∆ 12 ttt −=∆

Para observadores em “repouso“ ou em movimento

)( mmr tvxx ∆⋅+∆=∆ γ

)( 2cxvtt m

mr∆⋅

+∆=∆ γ

Somando velocidades….

yrym

xr xm

v . t ur

umt1 t2

Somando velocidades….)( mmr tvxx ∆⋅+∆=∆ γ )( 2c

xvtt m

mr∆⋅

+∆=∆ γ

2cxvt

tvtx

txu

mm

m

m

r

rr ∆⋅+∆

∆⋅+∆∆

=∆∆

=

A velocidade ur é dada por:

21c

vuvuu

m

mr ⋅

+

+= Transformação relativística

de velocidades

Como são alteradas as equações da Mecânica?

v

cv

mp

−

=

2

2

0

1

Quantidade de movimento relativísitico

0

2

2

0

1m

cv

mm γ=

−

=

Basta??!!!0mm γ⇒

Massa Relativistica

Energia Cinética Relativística

KW ∆=

20

2

2

20

1cm

cv

cmK −

−

=

Considere o trabalho realizado para acelerar uma partícula, a partir do repouso, até uma velocidade v.Segundo o teorema do trabalho-energia cinética:

Energia Cinética Relativística

mp

mvmvmK

22)(

21 22

2 ===

20

2

2

20

1cm

cv

cmK −

−

=Energia Cinética

Relativística

Energia Total

Energia de

repouso

)1(20 −= γcmK

Energia Cinética e de Repouso e Total

Energia em repouso: E0 = m0 c2

22

20

/cv1

c mE

−=

Energia Cinética: K = E – m0 c2

Energia Total: E = K + E0

Energia Cinética e de Repouso e Total

Se m0 = 0?

Energia Total: E = pc

Fótons portadores do campo EletromagnéticoNetrinos formação de prótons e neutrons; Grávitons ondas gravitacionais.

20

22 )()( cmcpE +=

Energia Relativística

Conservação da energia

Energia

22

20

/cv1

c mE

−=

Vm

velocidade da luz ⇔ energia infinita

2 (mc2 + K) = M c2

conservação da energia: 2c2K2mM +=

Km

M

mK

energia cinéticatornou-se massa!

m1M m2

+

216Po 212Pb 4He

M = 216,001889 u m1= 211,991782 u m2= 4,002602 u

Massa final Mf = 215,994474u

Δm=Mf –M = 0.007415u

Lembrando que 1 u = 1,660 x 10-27kg, Δm=1,23 x 10-29kg

Decaimento radiativo

E = Δm.c2

E = 1,23 x10-29kg x (3 x108m/s )2

E= 1,11 x 10-12J

Para um mol de átomos 10 23

E 10 11 Joules

Lembrando

3600 Joules = 1 W.h !!!

Aqueça 1000 kg de água, de 0 0C até o ponto de ebulição.

Q=E = m c2

TcmQ e ∆⋅⋅=

ce Calor específico da água = 4200 J/kg.K

JQ 61042010042001000 ×=⋅⋅=

kgm

m

9

28

6

1066.4

)103(10420

−×=

××=

A massa de um corpo dependeda energia que ele contem.

E = m c2

Lavoisier estava errado!Massa pode ser criada e destruída.