Espalhamento em uma dimensão por um potencial delta de Dirac

Uma partícula unidimensional está sujeita ao potencial

Calcular a defasagem δ(p)

0( ) ( )V x V l xδ=

A estrutura genérica da função espalhada, em três dimensões, tem a seguinte forma:

Por argumentos de simetria, em uma dimensão:

r

efer

ikrikz ),()( φθψ +=

( ) ik xikxx e feψ = +

( ) , 0

( ) , 0

ikx ikxesquerda esquerda

ikx ikxdireita direita

x e f e x

x e f e x

ψ

ψ

−= + <

= + >

Equação de Schröedinger 1D:

)0()0( direitaesquerda ψψ =

2 2

0

( )( ) ( ) ( )

2

h d xV l x x E x

m dx

ψ δ ψ ψ− + =

Utilizando as condições de contorno na origem (x=0):

)0(2

)0()0( //20''

direitaouesqdireitaesquerdaLmV ψψψ

=−

1 1esquerda direita direita esquerdaf f f f f+ = + ⇒ = =

02

02

0 02 2

02

02

2(1 ) (1 ) (1 )

22 (1 )

( )

( )

mV lik f ik f f

mV likf f

mV l mV lf f

ik ik

mV l

fmV lki

− − + = +

− = +

− = +

∴

=−

Da primeira equação:

Da segunda equação:

Para a função de espalhamento 3D

,00

1( ) 4 (2 1) ( ) ( )li

l ll

f l sen e Yk

δθ π δ θ∞

=

= +∑Reescrevendo o termo f em notação

complexa:0

2 2 22( )0 0

2 2 2 2 2 20 0 0

2

( / ) /

( / ) ( / )i p

mV lmV l kmV l

f i R emV l k mV l k mV lki

δ= = − − =+ +−

2

0 0

( )pk

tgmV l mV l

δ = =

Apêndice I:

Utilizando a aproximação de Bohr

Para x positivo: (x grande)

Para x negativo: (x grande)

Apêndice II

Apêndice III

Usando as condições de contorno:

Em x=0

Condição de contorno sobre a derivada: