ESPELHOS E LENTES

ESPELHOS PLANOS

Fig 1. Uma fonte luminosa pontual O, chamada objeto, está a uma distância p de um espelho

plano. Raios luminosos provenientes de O são refletidos pelo espelho. Se o olho de um

observador intercepta alguns dos raios refletidos, ele tem a impressão de que existe uma fonte

luminosa pontual I atrás do espelho, a uma distância i. A fonte fictícia I é uma imagem virtual

do objeto O.

1

Embora para os povos primitivos os espelhos tivessem propriedades mágicas, origem de

lendas e crendices que estão presentes até hoje, para a física são apenas superfícies polidas

que produzem reflexões regular. A forma geométrica da superfície determina as

propriedades do espelho.

Fig 2. A figura ao lado

mostra dois raios. O raio

Ob é perpendicular ao

espelho e o raio Oa fazendo

um ângulo arbitrário com

a normal à superfície do

espelho.

2

Os triângulos aOba e aIba têm um lado comum e os três ângulos iguais, de modo

que os lados horizontais têm o mesmo comprimento. Logo,

Ib Ob

onde Ib e Ob são as distâncias entre o espelho e a imagem e entre o espelho e o

objeto, respectivamente. Por convenção, as distâncias dos objetos são

consideradas positivas e as distâncias de imagens virtuais são consideradas

negativas. Assim, as distâncias p e i são relacionadas por:

espelho plano ( )i p

3

Fig. 3 – Um feixe estreito de raios provenientes de O penetra no

olho depois de ser refletido pelo espelho. Apenas uma pequena

região do espelho, nas vizinhanças do ponto a, está envolvida

nesta reflexão. A luz parece se originar em um ponto I atrás do

espelho.

Formação da Imagem de um Objeto – Espelho Plano 4

A razão entre a altura da imagem e a altura do objeto, em qualquer

situação de formação de imagem, denomina-se ampliação, m; ou

seja;

ampliação ou ( )i

o

h im m

h p

Para um espelho plano m = 1.

Fig. 4

5

IMAGENS – ESPELHOS PLANOS

A imagem de qualquer figura ou objeto em um espelho plano é formada pela imagem de cada um de

seus pontos.

Podemos concluir que as imagem das figuras acima são:

• Direta (não é invertida) e igual (de mesma altura) em relação ao objeto

• Virtual, isto é, formada pelos prolongamentos dos raios refletidos pelo espelho.

Fig. 5

6

IMAGENS – ESPELHOS PLANOS

Figura 6

Associação de Espelhos – os espelhos planos podem ser associados, isto é, colocados lada a

lado em ângulos ou dispostos paralelamente entre si. Essas associações podem deslocar ou

multiplicas o número de imagens de um objeto.

7

Atividades – Montagens com espelhos planos

1) Associação de espelhos – dois espelhos iguais (dispostos com um livro);

2) Caleidoscópio – três tiras retangulares iguais de espelhos dispostos na forma de prisma triangular.

3) Imagem aprisionada – três espelhos, retangulares ou quadrados, dispostos perpendicularmente entre si.

4) Periscópio – dois espelhos planos retangulares iguais, dispostos em ângulo de 45o .

Fig. 7

8

ESPELHO ESFÉRICO – é qualquer superfície ou calota esférica

espelhada. Se a parte espelhada for interna, o espelho é côncavo; se for

externa, o espelho é convexo. O espelho côncavo pode ser obtido

encurvando um espelho plano para dentro e o convexo para fora (ver

figuras abaixo).

Alguns elementos dos espelhos esféricos

C: centro de curvatura: centro de curvatura da esfera que contém a calota;

V: vértice: centro geométrico da calota;

r: raio de curvatura: raio da calota esférica (distância entre C e V);

S: eixo principal: reta que contém C e V;

S’: eixo secundário: reta qualquer que contém C, mas não passa por V.

Fig.8

9

Fig.9 Espelho côncavo

No espelho côncavo temos

imagem mais afastada e

maior do que no espelho

plano.

Fig.10 Espelho convexo

No espelho convexo temos

imagem mais próxima e

menor do que no espelho

plano.

Fig.11 (a) Em um espelho côncavo, a luz paralela

incidente é trazida para o foco real em F, no lado R do

espelho. (b) Em um espelho convexo, a luz paralela

incidente parece divergir de um foco virtual em F, no lado

V do espelho.

10

Fig.11 Fig.11

11

O ponto F é chamado de foco do espelho (ou ponto focal), e sua

distância até o centro do espelho é a distância focal f do espelho.

Para o espelho côncavo dizemos que o foco é real (situado do lado

R) e para o espelho convexo dizemos que o foco é virtual (situado

do lado V). A distância focal f do espelho côncavo é considerada

uma grandeza positiva, enquanto a do espelho convexo é

considerada uma grandeza negativa.

Para ambos os espelhos, a distância focal f está relacionada ao raio

de curvatura r (positivo para o espelho côncavo e negativo para o

espelho convexo) por:

12

(espelho esférico) f r

12

Relação entre a distância p do objeto ao espelho, a distância i da imagem ao

espelho e a distância focal f, que é

espel ( ho esférico)1 1 1

p i f

Fig. 12 - Um objeto puntiforme O forma uma imagem puntiforme real I, por

reflexão em um espelho esférico côncavo.

13

Prova: Da figura 12 (teorema: um ângulo externo de

um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos

opostos) temos ;

e 2 2 (1)

12

(2)ac ac ac

f rp r i

De (1) e (2), ficamos com

(espelho esférico)1 1 1

p i f

14

1 1 2

Das equações 1 1 1

r i pp i r

p i fp i f

O tamanho do objeto, ou da imagem, medidos perpendicular

ao eixo central do espelho é chamado de altura. Na figura 5,

os comprimentos das setas O e I representa a altura ho do

objeto e a altura hi da imagem. A razão entre estas alturas é a

amplitude lateral m produzida pelo espelho. Por convenção, a

amplitude lateral sempre inclui um sinal (+), se a imagem

tem a mesma orientação do objeto; e um sinal (-) se a

orientação é contrária. Logo,

(amplitude lateral) ou i

o

h im m

h p

15

Fig. 13 – (a) Um objeto O, na margem interna ao ponto focal de um espelho côncavo,

e sua imagem virtual I. (b) o objeto no ponto focal F. (c) O objeto além do ponto focal,

e sua imagem real I.

16

Fig. 14 – Em (a) e (b) Quatro raios podem ser desenhados para determinar a imagem de um objeto num espelho

côncavo. Para a posição mostrada no objeto, a imagem é real, invertida, e menor do que o objeto. Em (c) e (d) Quatro

raios podem ser desenhados para determinar a imagem de um objeto num espelho convexo. A imagem é sempre virtual,

com a mesma orientação do objeto, e menos do que o objeto.

Como traçar os Raios – Espelho Côncavo e Convexos

Podemos localizar graficamente a imagem de qualquer ponto fora do eixo, traçando quaisquer dois

dos quatros raios especiais (veja os raios 1, 2, 3, 4 na figura abaixo):

I - Um raio paralelo ao eixo central se reflete passando pelo ponto focal (raio 1 em (a)).

II - Uma raio que passa pelo ponto focal se reflete paralelo ao eixo central (raio 2 em (a)).

III – Um raio que passa pelo centro de curvatura C se reflete retornando pelo mesmo caminho (raio 3 em (b).

IV – Um raio que tem seu ponto de reflexão na interseção do espelho com o eixo central, centro do espelho, se

reflete simetricamente, em relação ao eixo central (raio 4 em (b).

17 Superfícies Refratoras Esféricas Vamos examinar imagens formadas pela refração dos raios luminosos em interfaces esféricas.

A luz será emitida por um objeto pontual O em um meio de índice de refração n1 e incidirá

em uma interfase esférica com um meio de índice de refração n2. Nosso principal interesse é

determinar se o raio luminoso, depois de refratado na interface, formarão uma imagem real

ou virtual, e isto depende dos valores relativos dos índices de refração e da geometria da

situação em questão.

Espelhos Esféricos Interfases Esféricas

As imagens reais se formam do mesmo lado

do espelho em que se encontra o objeto,

enquanto as imagens virtuais se formam do

lado oposto.

As imagens formadas por refração em uma

interfase são virtuais quando se encontram do

mesmo lado (meio) do objeto e reais quando

se encontram do lado oposto.

1 1 1 2

p i f r 1 2 2 1n n n n

p i r

i

o

h im

h p

m positivo – imagem direta

m negativo – imagem invertida

Obs: espelho plano m = 1.

1

0 2

ih n im

h n p

Obs: para superfície refletora plana

1 2 0n n

p i

18

Fig. 15 – Seis modos pelos os quais uma imagem pode ser formar por refração em uma superfície esférica de

raio r e centro de curvatura C. A superfície separa um meio de índice de refração n1 de um meio de índice de refração n2. O objeto pontual O está sempre no meio de índice de n1, à esquerda da superfície. A superfície “amarela” é q que possui maior índice de refração. Imagem reais são formadas nos casos (a) e (b), em (c), (d), (e) e (f) são formadas imagens virtuais.

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Lentes Delgadas Uma lente é um corpo transparente limitado por duas superfícies refratoras cujos eixos

centrais coincidem. Vamos nos limitar ao caso de lentes delgadas, isto é, de lentes nas quais a

distância objeto p, a distância da imagem i e os raios de curvatura r1 e r2 das duas superfícies

da lente são muito maiores que a espessura da lente.

Propriedades das lentes

A propriedade característica de uma lente do tipo mostrado na figura abaixo é que

todo raio paralelo ao eixo da lente que passa para o outro lado da lente converge

para o ponto F2 e forma uma imagem real nesse ponto. Tal lente é chamada de

lente convergente. O ponto F1 é chamado de primeiro foco, o ponto F2 é o

segundo foco (foco real) e a distância f é chamada distância focal.

Fig.16

Fig.17

20

A figura abaixo mostra uma lente divergente; dois raios paralelos que incidem sobre a lente

divergente depois da refração. Os focos de uma lente divergente (ou negativa) estão em

posições invertidas em relação aos focos de uma lente convergente.

Relação entre p, i e f – lentes delgadas

Fig.18

Fig.18 Os dois ângulos são iguais, os dois ângulos também são iguais. Os dois triângulos retângulos OQE

e IQ’E são semelhantes, os triângulos EAF2 e IQ’F2 também são semelhantes. As razões entre os lados

correspondentes dos triângulos semelhantes são iguais. Logo,

21

(1) (2)

ou ou e o i i o i i

o o

h h h h h hi i f

p i h p f i f h f

Igualando (1) e (2), temos (3)1 i i f i

p f f

Dividindo (3) por i, ficamos com

(relação objeto-imagem - lente delgada)1 1 1

p i f

(ampliação - lente delgada) i

mp

De acordo com (1), temos

Pelo exposto acima, vimos que as equações fundamentais para as lentes delgadas

são correspondente as obtidas para espelhos esféricos.

22

A equação do fabricante de lentes é dada por

1 2

1 1 1( 1)n

f r r

As regras de sinais apresentados abaixo podem ser usadas para as superfícies

refletoras e refratoras planas e esféricas:

1. A distância do objeto p é positiva quando o objeto está do lado dos raios

incidentes sobre a superfície (objeto real) e negativa no caso contrario;

2. A distância da imagem i é positiva quando a imagem está do lado dos raios

que emergem da superfície (imagem real) e negativa caso contrário;

3. O raio de curvatura r é positivo quando o centro de curvatura está do lado

dos raios que emergem da superfície e negativo no caso contrário;

4. A ampliação m é positiva quando a imagem é direta e negativa quando ela é

invertida.