Esperança

• Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.

Esperança

• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?

Esperança

• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25

-1 com probabilidade 24/25

Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:

28,0$25

725

24).1(

25

1.17

Rn

nn

Esperança

• O valor esperado de uma v.a. discreta X é:

EX = i xi. P(X=xi)

(ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade)

• EX pode ser um número real, +, – , ou não estar definida.

Exemplo

• X~Bernoulli(p)

Exemplo

• X ~ Geométrica(p)

Exemplo

• X ~ Poisson()

Esperança

)()(00

ix

iix

i xXPxxXPxEXii

finito finito EX R

– finito EX = –

finito + EX = +

– + EX não definido

Paradoxo de S. Petersburgo

• Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1.

• Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta.

• Variáveis aleatórias de interesse:X = ganho quando se aposta 1.N = número de apostas até a saída.Y = ganho na saída.

Paradoxo de S. Petersburgo

• X = –1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3

EX = –1/3.

• N é finito com prob. 1

• Y = 1

3....3.3

1.

3

22.

3

1.

3

21.

3

1 2

EN

Propriedades

• E(aX + b) = aEX + b

• Mas, em geral, E(g(X)) g(E(X))

• Exemplo: Y = X2

EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2

EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6

• Note queEY = 02.P(X=0) + 12 .P(X=1) + (–1)2 .P(X=–1)

X p

–1 0,2

0 0,4

1 0,4

Y p

0 0,4

1 0,6

Propriedades

• Para X discreta:

E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi)

(Law of the unconscious statistician)

Propriedades

• E(X+Y) = EX + EY (sempre!)

• E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes

Exemplo

• Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas:

a) com reposição?

b) sem reposição?

Variância

• Var(X) = E(X–EX)2 = E(X2) –(EX)2

Propriedades

• Var(aX+b) = a2 Var(X)

• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

Propriedades

• Se X1, X2, …, Xn são independentes, então

Var(X1 + X2 +…+ Xn ) =

Var(X1) + Var(X2) + …+ Var(Xn)

Exemplo

• X ~ binomial(p)