A Esponja de Menger

Jocimar Gomes Duarte JuniorOrientador: Dr. Marcio Lima do Nascimento

Universidade Federal do Para - Belem - PA - Brasil

5 de junho de 2014

Resumo

Neste trabalho definiremos conceitos simples e concisos acerca de fractais paraassim levantarmos consideracoes a respeito da esponja de Menger.

Palavras-chave: Fractal, Auto-Similaridade, Dimensao fractal, complexidade in-finita, Karl Menger, Esponja de Menger.

1 Introducao

A esponja de Menger, foi descrita pela primeira vez pelo matematico austraco Karl Menger(1902-1985), em 1926, partindo de discussoes a respeito de dimensao topologica. A esponjae um objeto que pertence ao espaco R3, tem aparencia de um cubo enormemente perfuradoque Menger acabou provando que se tratava de uma curva universal, ou seja, algo dedimensao topologica 1. Estranhamente, essa curva universal possui uma dimensao, quechamaremos de dimensao fractal, aproximadamente igual a 2, 7268330... . Este fractalpossui o fato peculiar de ter volume zero e area infinita.

2 Nocoes preliminares

Inicialmente, de maneira simples e precisa, iremos definir alguns conceitos que serao nescessariospara entender o que e a esponja de Menger e como se da a construcao dela.

2.1 O que e um fractal?

Um fractal, a grosso modo, seria um conjunto do plano ou do espaco que possui a seguintepropriedade: quando dividimos o conjunto em um certo numero de partes iguais, cadapequena parte e uma figura semelhante(do ponto de vista da geometria euclidiana) a figuraoriginal. E assim fazemos esta divisao sucessivamente e as propriedades sao mantidas. Apalavra vem do latim fractus que significa fracao, algo quebrado. Destacam-se tambem pelofato de nao possuirem necessariamente dimensao inteira, como veremos a seguir.

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2.2 Algumas caractersticas de um fractal

2.2.1 Auto-semelhanca

Como mencionamos em 2.1, o conjunto total e constitudo por pequenas replicas dessemesmo conjunto, ou seja, qualquer que seja a ampliacao considerada, obteremos sucessivascopias do objeto inicial(semelhantes). Podemos definir auto-semelhanca como sendo umprocesso de obtencao de figuras ampliadas, todas replicas de um dado objeto geometricoinicial. Ou seja, dado uma figura inicial, obtemos sucessivas copias desta, todas obtidasatraves de um mesmo fator de reducao. E tambem denotada por Mandelbrot de homotetiainterna. Para tanto, temos dois tipos de homotetia: a exata e a aproximada. Veja exemplosdos tipos abaixo.

Figura 1: Figura exata Figura 2: Figura aproximada

2.2.2 Dimensao

Usaremos uma definicao de dimensao homotetica ou tambem chamada de dimensao fractal.Estamos acostumados em trabalhar com dimensoes de figuras euclidianas, onde temos porexemplo, figuras de dimensao 1,2 e 3, ou seja, inteiras, ditas figuras euclidianas classicas.Porem quando se trata de uma figura nao-euclidiana temos certas peculiaridades, depen-dendo do tipo de objeto fractal que nos e disposto. Definamos a dimensao fractal D comosegue

D = lnNln r

onde N e o numero de particoes em que o objeto inicial e dividido e r e a razao de semel-hanca. Um exemplo e o conjunto de cantor, pois neste caso, tomando um caso em que

N = 2, nvel 2, e r =1

3sua dimensao fractal e aproximadamente igual a 0, 630929753.

Observe que o valor D = lnNln r

e o mesmo, pelas propriedades de funcoes logartimicas,

calculado para qualquer etapa do processo. Veja pag. 4.

2.2.3 Complexidade infinita

Diz-se que o fractal possui complexidade infinita pelo fato de que nunca conseguiremos umarepresentacao geometrica exata, visto que a quantidade de iteracoes e infinita, ou seja, nao

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ha uma representacao total o objeto fractal tomando a quantidade exorbitante de detalhes,por exemplo, nunca desenhamos a poeira de cantor, apenas conseguimos desenhar umaetapa finita do processo. Todo processo de iteracao se da modo recursivo, ou seja, partindode um numero inifito de iteracoes, toma-se a mesma formula, aplicando-as infinitas vezes.

3 Esponja de Menger

A esponja de Menger e um fractal de valia inestimavel para o estudo da matematica.Este leva consigo um paradoxo louvavel: possui area infinita e volume zero. Foi definidopela primeira vez em 1926, pelo austraco Karl Menger, em seus estudos sobre topologiadimensional. Neste trabalho nao levantaremos os aspectos envolvendo a topologia, pois ofoco principal e, de maneira simples, apresentar o fractal em questao. Abaixo temos umarepresentacao, em seu quarto estagio de iteracao, do processo de construcao do fractal.

Figura 3: 4o estagio do processo de construcao da Esponja de Menger

Analisaresmos a construcao da esponja de Menger. Comecamos tomando um cuboqualquer de lado l e volume V0 = l

3. Dividindo cada face do cubo em nove quadrados,

obtemos novos vinte e sete cubos menores com arestas igual al

3. Partindo disto, retira-se o

cubo menor no meio de cada face e o cubo menor do centro do cubo maior, resultando emvinte cubos menores. Feito isto, temos o primeiro nvel, onde n = 0, da esponja de Menger.Repetindo o processo, temos uma segunda iteracao, n = 1, que sera chamada de segundonvel, onde o volume V1 da esponja sera determinado por

V1 = V0 7(l

3

)3e mais adiante, o nosso terceiro nvel, i = 2, onde repetindo o mesmo processo inicial

obtemos cubos menores de volume igual a

(l9

)3. Assim, o volume geral da esponja, neste

nvel segue da forma

V2 = V0 7(l

3

)37(l

3

)320

3

Observe que a esponja de Menger e o limite de todo este processo sendo executado inumerasvezes. O numero de cubos sera dado por 20n, onde n nada mais e que o numero de iteracoesfeitas no cubo inicial. Agora, note que podemos reescrever a equacao acima do seguintemodo

V2 = V0 7l32

i=1

(l

3

)3i20i1

Com efeito, temos que o volume da esponja de Menger, tomando o n-esimo termo, e daseguinte maneira

Vn = V0 7l3ni=1

(l

3

)3i20i1 = 0

Entao, calculando limn

Vn = 0. Portanto conclumos que quando o numero de iteracoes

tende ao infinito, o volume tende a zero.Agora partiremos para a analise da area do fractal. Denotaremos por A a area da

esponja e utilizaremos o mesmo n para denotar o numero de iteracoes, ou nveis. Iniciandopor n = 0, temos que A0 = 6l

2, onde l e o lado do cubo. Assim, de modo analogo ao feitoacima, temos que para i = 1 a area A1 e da forma

A1 = A0 + 6l2

(l

3

)220

Com efeito, temos que a area da esponja de Menger, tomando o n-esimo termo, e dado por

An = A0 + 6l2

ni=1

(l

3

)2i20i

Assim, calculando limn

An =, e portanto, a area tende ao infinito.Ora, partindo das analises anteriores a esponja de Menger e um fractal que possui

volume zero e area infinita.Abaixo temos a figura de representacao de alguns nveis da esponja de Menger.

Figura 4: Alguns nveis da esponja de Menger

Por fim, calcularemos a dimensao fractal deste. A esponja possui auto-similaridadee, por conta disto, partiremos da formula definida em 2.2. Entao, partindo do fato queN = 20, para um estagio de nvel 3 , e r = 1

3, claramente visto pois o comprimento da

aresta de cada cubo e reduzido a` um terco, a cada iteracao. Portanto temos

D = lnNln r

= ln 20ln

1

3

2, 7268...

4

Referencias

[1] ASSIS, T. A. et al.Geometria fractal: propriedades e caractersticas de fractaisideais.Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 30, n. 2, 2304. 2008.

[2] MANDELBROT, B. B. Objectos Fractais: forma, acaso e dimensao. Gradiva Pub-licacoes, Lisboa, 1991.

[3] FERNANDES, J. A. Fractais: Uma nova visao da matematica.Monografia (Graduacaoem matematica). UNILAVRAS, Lavras MG. 2007.

[4] FUZZO, R. A. et al. Fractais: Algumas caractersticas e propriedades. FundacaoAraucaria, FECILCAM, Araucaria - PR. 2009.

[5] MURR, C. et al. Fractais: Propriedades e construcao. Monografia (Graduacao emmatematica). Universidade do Parana, Curitiba -PR. 2005

[6] WEISSTEIN, Eric W. Wolfram MathWorld. The Menger Sponge. Disponvel em math-world.wolfram.com/MengerSponge.html. [Consultado em 30 de outubro de 2013].

[7] Wikipedia, the free encyclopedia.(2012). Menger Sponge. Disponvel emhttp://en.wikipedia.org/wiki/Menger sponge. [Consultado em 30 de outubro de2013].

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