Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas

Esquemas Debilmente Completos y Estructuras

Logarıtmicas

Revisando lo Expuesto Anteriormente

J. Rogelio Perez Buendıa

Centro de Investigacion en Matematicas (CIMAT)

Seminario de Aritmetica: cohomologıa de De Rham p-adica

11 de febrero de 2016

Objetivo

Retomamos el seminario con un resumen del lo que se ha trabajado hasta

ahora: esquemas debilmente completos, levantamiento de morfismos

suaves en esquemas †adicos, esquemas logarıtmicos, esquemas

logarıtmicos formales, estructuras logarıtmicas en esquemas †-adicos,

morfismos log-suaves. Si el tiempo lo permite se abordara el problema de

levantamiento de morfismos log-suaves para esquemas debilmente

completos.

Estructuras Pre-Logarıtmicas

I X = (X ,OX ) un espacio anillado.

I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,α) en donde P es una

gavilla de monoides (conmutativos con uno) y

α : P→ OX

es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura

multiplicativa en OX ).

Estructuras Pre-Logarıtmicas

I X = (X ,OX ) un espacio anillado.

I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,α) en donde P es una

gavilla de monoides (conmutativos con uno) y

α : P→ OX

es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura

multiplicativa en OX ).

Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas

I Un morfismo φ : (P,α)→ (Q,β) consiste de un morfismo de

gavillas f : P→ Q tal que:

f // Q

β~~OX

conmuta.

I Una estructura pre-logarıtmica (P,α) es llamada idealizada si esta

dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que

α(I) = 0.

I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)

φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)

es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.

f // Q

β~~OX

conmuta.

α(I) = 0.

φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)

f // Q

β~~OX

conmuta.

α(I) = 0.

φ : (P,α, I)→ (Q,β, J)

Categorıas de Estructuras Logarıtmicas

Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de

estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas

en el espacio anillado (X ,OX ).

A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente

considerando el ideal vacıo: (P,α)→ (P,α, ∅).

Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de

la desidealizacıon.

Estructuras Logarıtmicas

Definicion

Una estructura pre logarıtmica (P,α) es una estructura logarıtmica

(log-st) si

α−1(O∗X ) ' O∗X .

Es decir si P contiene a O∗X vıa α.

Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo

de (idealizadas) pre-log-st.

Estructuras Logarıtmicas

Definicion

Una estructura pre logarıtmica (P,α) es una estructura logarıtmica

(log-st) si

α−1(O∗X ) ' O∗X .

Es decir si P contiene a O∗X vıa α.

Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo

de (idealizadas) pre-log-st.

A toda Pre-Log-St le corresponde una unica Log-St

El funtor de olvido:

LogSt −→ PreLogSt

tiene un adjunto izquierdo de tal manera que a cada pre-log-st (P,α) le

corresponde una unica log-st (Pa,αa) con al propiedad de que cualquier

morfismo de pre-log-st:

(P,α) −→ (Q,β)

con (Q,β) una log-st se factoriza por αa:

(P,α) //

(Q,β)

(Pa,αa)

−a : PreLogSt→ LogSt

Pa esta definido por el producto amalgamado:

Pa := P⊕α−1(O∗X )O∗X

y αa esta dado por el diagrama cartesiano:

α−1(O∗X )//

��

// Paαa// OX

Adjuncion en IdPreLogSt y en IdLogSt

Podemos extender la adjuncion para pre-log-st:

Dotamos a (Pa,αa) del ideal Ia generado en Pa por la imagen de I por el

morfismo P→ Pa.

La (id) log-st Pa asociada es la la (id) log-st asociada a P.

Adjuncion en IdPreLogSt y en IdLogSt

Podemos extender la adjuncion para pre-log-st:

Dotamos a (Pa,αa) del ideal Ia generado en Pa por la imagen de I por el

morfismo P→ Pa.

La (id) log-st Pa asociada es la la (id) log-st asociada a P.

Ejemplos:

I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un

objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada

por la inclusion O∗X → O∗X .

I La categorıa (st.logX) tambien tiene un objeto final dado por la

aplicacion OX → OX .

I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa

plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a

definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su

estructura logarıtmica trivial.

Ejemplos:

Divisor Con Cruzamientos Normales

la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:

MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)

}⊂ OX (U).

El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una

estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura

logarıtmica basta notar que toda g ∈ O∗X esta trivialmente incluida en

El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.

Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es

log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la

cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de

cruzamientos normales es en la topologıa etale.

MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)

}⊂ OX (U).

MD(U) :={g ∈ OX (U) : g |U\D∈ O∗X (U \ D)

}⊂ OX (U).

Imagen inversa

Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados. Si MY es una

estructura logarıtmica en Y , podemos definir una estructura logarıtmica

en X como la estructura logarıtmica asociada a la estructura

pre-logarıtmica:

f −1(MY )→ f −1(OY )→ OX

Esta es llamada la estructura logarıtmica imagen inversa de MY bajo f y

es denotada por f ∗(MY ) = f ∗MY .

Morfismos de Esquemas Logarıtmicos

Definicion

Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura

logarıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas

f : X → Y

y un morfismo

f b : f ∗MY →MX

de estructuras logarıtmicas en X .

Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura

logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.

Morfismos de Esquemas Logarıtmicos

Definicion

Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura

logarıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas

f : X → Y

y un morfismo

f b : f ∗MY →MX

de estructuras logarıtmicas en X .

Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura

logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.

El caso Idealizado

Si iniciamos con una estructura logarıtmica idealizada en Y, tambien

podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera

analoga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.

Tambien se puede definir la imagen directa de una (id) log-st y estas dos

cumplen la propiedad de adjuncion usual entre la imagen directa y la

imagen inversa de gavillas.

En este caso denotamos por IdLogSch a la categorıa e esquemas

logarıtmicos idealizados (con estructura logarıtmica idealizada).

El caso Idealizado

Si iniciamos con una estructura logarıtmica idealizada en Y, tambien

podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera

analoga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.

Tambien se puede definir la imagen directa de una (id) log-st y estas dos

cumplen la propiedad de adjuncion usual entre la imagen directa y la

imagen inversa de gavillas.

En este caso denotamos por IdLogSch a la categorıa e esquemas

logarıtmicos idealizados (con estructura logarıtmica idealizada).

Resultados Utiles

Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados

I La imagen inversa de la estructura logarıtmica trivial, es trivial:

f −1(O∗Y ) ' O∗X

I Si PY es pre-log-st en Y tal que PaY 'MY , entonces

f ∗(MY ) ' (f −1(PY ))a.

Resultados Utiles

Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados

I La imagen inversa de la estructura logarıtmica trivial, es trivial:

f −1(O∗Y ) ' O∗X

I Si PY es pre-log-st en Y tal que PaY 'MY , entonces

f ∗(MY ) ' (f −1(PY ))a.

Estructura Canonica Asociada a un Monoide

Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al algebra

monomial.

Sea X = Spec(R[P]). Entonces X tiene una estructura logarıtmica

canonica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusion

canonica de grado uno).

En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canonico

inducido por P → R[P] definiendo ası una estructura pre-logarıtmica en

X , entonces a esta le asociamos la estructura logarıtmica (P)a inducida.

Denotamos por

Spec(P→ R[P])

a el esquema logarıtmico con espacio X y estructura logarıtmica su

estructura logarıtmica canonica inducida.

monomial.

Denotamos por

Spec(P→ R[P])

monomial.

Denotamos por

Spec(P→ R[P])

monomial.

Denotamos por

Spec(P→ R[P])

Ejemplos:

I La estructura logarıtmica en Spec(P→ R[P]) puede entenderse

como la imagen inversa de la estructura logarıtmica en

Spec(P→ Z[P]) vıa el morfismo canonico Z[P]→ R[P].

I Sea k un campo y sa Y = Ank = Spec(k[x1, . . . , xn]). Sea

D = V (x1 · · · xr ).MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por

O∗Y y {x1, . . . , xn}.

Ejemplos:

D = V (x1 · · · xr ).

MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por

O∗Y y {x1, . . . , xn}.

Ejemplos:

D = V (x1 · · · xr ).MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por

O∗Y y {x1, . . . , xn}.

Ejemplo: Punto Logarıtmico

Si ahora considero la inclusion Spec(k)→ Y que manda el punto al

origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗Nr . El morfismo

estructural esta dado por

(a, n1, . . . , nr ) 7→ a · 0n1+n2+···+nr . aquı convenimos que 00 = 1.

Al punto Spec(k) con la estructura logarıtmica anterior (para cualquier r)

lo llamamos punto logarıtmico. Cuando r = 1 decimos que este es el

punto logarıtmico estandar.

Ejemplo: Punto Logarıtmico

Si ahora considero la inclusion Spec(k)→ Y que manda el punto al

origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗Nr . El morfismo

estructural esta dado por

(a, n1, . . . , nr ) 7→ a · 0n1+n2+···+nr . aquı convenimos que 00 = 1.

Al punto Spec(k) con la estructura logarıtmica anterior (para cualquier r)

lo llamamos punto logarıtmico. Cuando r = 1 decimos que este es el

punto logarıtmico estandar.

Layout

Esquemas Logarıtmicos

Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos

Esquemas Formales logarıtmicos

Esquemas Debilmente Completos

log-Diferenciales y Log-Suavidad

Cartas en Estructuras Logarıtmicas

Estructuras Logarıtmicas Finas

Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves

Completacion de un Anillo

A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.

Definicion

La completacion de A respecto al ideal I es el anillo

A := lim←−n>1

A/I n ⊂∏n>1

Tambien decimos que A es la completacion I -adica de A.

Tenemos un morfismo canonico de anillos A→ A inducido por las

proyecciones A→ A/I n.

Completacion Formal

Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada

definida por la gavilla de ideales I.

Definicion

La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:

X := (X ,OX )

tal que:

I X = Y como espacio topologico.

I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .

Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si

A ' A. En particular A es completo.

Completacion Formal

Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada

definida por la gavilla de ideales I.

Definicion

La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:

X := (X ,OX )

tal que:

I X = Y como espacio topologico.

I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .

Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si

A ' A. En particular A es completo.

El caso afın

Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un

subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:

Γ(OX , X ) = A

es la completacion I -adica de A.

I X es de hecho un espacio localmente anillado

I Los anillos locales de X no son completos en general.

El caso afın

Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un

subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:

Γ(OX , X ) = A

es la completacion I -adica de A.

I X es de hecho un espacio localmente anillado

I Los anillos locales de X no son completos en general.

La categorıa de esquemas formales noetherianos

Definicion

Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado

(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para

cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a

la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .

Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de

espacios localmente anillados.

La categorıa de esquemas formales noetherianos

Definicion

Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado

(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para

cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a

la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .

Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de

espacios localmente anillados.

Layout

Definicion

Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:

I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si

∩mn = (0).

I Si f =∑

|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con

coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda

n-tupla i :

c [ordm(ai )] > |i |

es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para

toda n-tupla a ∈ A†n

se tiene que f (a) ∈ A†.

Definicion

Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:

I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si

∩mn = (0).

I Si f =∑

|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con

coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda

n-tupla i :

c [ordm(ai )] > |i |

es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para

toda n-tupla a ∈ A†n

se tiene que f (a) ∈ A†.

Completacion debil

Definicion

La completacion debil de una R-algebra A, es el algebra debilmente

completa mas pequena A† ⊂ A tal que contiene a A.

Es decir, que satisface la propiedad universal:

Debilmente completa finitamente generada

Definicion

Una algebra A† debilmente completa es llamada (dcfg) debil completa

finitamente generada si existe una coleccion finita de elementos

a1, a2, . . . , ak ∈ A† tal que para todo a ∈ A† existe una serie de potencias

f en n-variables tal que:

a = f (a1, . . . , an)

Claramente la completacion debil de una algebra R finitamente generada

es una dcfg algebra.

Esquema formal debil afın

Definicion

I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente

anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico

asociado es:

X = Spec(A†/mA†)

I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos

principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†

denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.

Entonces:

Γ(Xf ,OX) := (A†f )†

la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier

representante f de [f ] en A†.

Esquema formal debil afın

Definicion

I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente

anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico

asociado es:

X = Spec(A†/mA†)

I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos

principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†

denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.

Entonces:

Γ(Xf ,OX) := (A†f )†

la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier

representante f de [f ] en A†.

Esquema formal debil

Definicion

Un (pre)esquema formal debil es un espacio localmente anillado

(X,OX) que es localmente isomorfo a esquemas formales debiles afines.

Teoremas de Meredith

I Si R es un anillo de valuacion discreta completo y si (X,OX) es el

esquema formal debil asociado a una algebra A† debilmente

completa finitamente generada (dcfg), entonces:

Se tiene una equivalencia entre las categorıas:

{Gavillas coherentes de OX-modulos} ⇐⇒{A†-modulos f.g.

I Si (X ,OX ) es un esquema (ordinario) de R-algebras propio sobre R

con completacion debil (X,OX) y si F es una gavilla coherente de

OX -modulos con completacion debil F, entonces el mapeo natural:

H i (X ,F ) −→ H i (X,F)

es biyectivo.

Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un

R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el

funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:

{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }

Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.

Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un

R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el

funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:

{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }

Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.

Notacion y Convencion

I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.

Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .

I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente

completa.

I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos

simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.

I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion

(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:

(X,OX/m)

en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un

levantamiento de su reduccion.

I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla

estructural por OX† .

completa.

(X,OX/m)

completa.

(X,OX/m)

completa.

(X,OX/m)

completa.

(X,OX/m)

Criterios de Afinidad

Teorema

Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre

R1 := R/m) es afın.

Corolario

El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un

esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.

levantamiento

Criterios de Afinidad

Teorema

Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre

R1 := R/m) es afın.

Corolario

El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un

esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.

levantamiento

Layout

Cartas

Definicion

Sea (X ,MX ) un log-sch y P un monoide.

Consideremos a la gavilla constante PX en X inducida por P.

Una carta para MX es un morfismo

PX →MX

tal que el morfismo inducido de estructuras logarıtmicas

Pa →MX

es un isomorfismo

Recordemos que Pa es la estructura logarıtmica asociada a la estructura

pre-logarıtmica dada por PX →MX → OX

Otra forma de ver a las cartas:

Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:

(X ,MX )→ Spec(P→ Z[P])

tal que f b es un isomorfismo.

En general tenemos lo siguiente:

El morfismo:

HomLogSch(X ,Spec(P→ Z[P]))→ HomMon(P,�(X,MX))

que asocia a f la composicion:

P → Γ(X ,PX )→ Γ(X ,MX )

es un isomorfismo.

Otra forma de ver a las cartas:

Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:

(X ,MX )→ Spec(P→ Z[P])

tal que f b es un isomorfismo. En general tenemos lo siguiente:

El morfismo:

HomLogSch(X , Spec(P→ Z[P]))→ HomMon(P,�(X,MX))

que asocia a f la composicion:

P → Γ(X ,PX )→ Γ(X ,MX )

es un isomorfismo.

Cartas de log-morfismos

Definicion

Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una

triplete

(PX →MX ,QY →MY ,Q → P)

en donde PX ,QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P,Q

que satisfacen las siguientes condiciones:

I PX →MX y QY →MY son cartas de MX y MY respectivamente.

I El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de

gavillas en X conmutativo:

��

��f ∗MY

Definicion

triplete

��

��f ∗MY

Definicion

triplete

��

��f ∗MY

Layout

Grupo asociado a un Monoide

Recordemos que a todo monoide P le podemos asociar un grupo (el

grupo de Grothendieck) dado por:

Pgp := {(a, b)|(a, b) ' (c , d) si ∃ s ∈ P tal que s + a + d = s + b + c} ;

que satisface la propiedad universal de que todo morfismo de P a un

grupo se factoriza por Pgp de manera unica.

Definiciones

Definicion

Un monoide P es llamado integral si el morfismo canonico

P → Pgp

es inyectivo.

Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp, se tiene que

si np ∈ P para algun entero n, entonces p ∈ P.

Definicion

Un esquema logarıtmico X es llamado fino, si en localmente- etale existe

una carta

P →MX

con P un monoide integral finitamente generado.

Si ademas P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X

es llamado un log-esquema fino y saturado (fs) (on un esquema con una

estructura logarıtmica fina y saturada). Si P ' Nk decimos que la

estructura logarıtmica es localmente libre.

Definiciones

Definicion

P → Pgp

es inyectivo.

Definicion

una carta

P →MX

Definiciones

Definicion

P → Pgp

es inyectivo.

Definicion

una carta

P →MX

Layout

Morfismo Estricto e Inmersion cerrada estricta

Definicion

Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el

morfismo respectivo

f b : f ∗MY → MX

es un isomorfismo.

Es una inmersion cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de

esquemas X → Y es una inmersion cerrada.

Morfismo Estricto e Inmersion cerrada estricta

Definicion

Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el

morfismo respectivo

f b : f ∗MY → MX

es un isomorfismo.

Es una inmersion cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de

esquemas X → Y es una inmersion cerrada.

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de log-esquemas:

T0Φ //

��

��T1

Φ// Y

con j una inmersion cerrada estricta definida por un ideal J tal que

J2 = 0.

Notemos que tanto T0, como T1 tienen al mismo espacio topologico

subyacente. Ademas ambos tienen al mismo sitio etale.

Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas

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