1 E S T A T S T I C A PROF. CESRIO JOS FERREIRA JAN/2007 2 CAPTULO 5 ESTATSTICA II5.1 DISTRIBUIO DE FREQNCIA - 34 5.2 PARMETROS ESTATSTICOS PARA DADOS AGRUPADOS - 36 EXERCCIOS - 37 6.12 CONSTRUINDO GRFICOS NO EXCEL 6.13 - CONSTRUINDO GRFICO NO STARCALC - 50 EXERCCIOS CAPTULO 06 CONSTRUINDO GRFICOS6.1 INTRODUO - 42 6.2 TABULAO 6.3 -GRFICO EM COLUNAS SIMPLES - 43 6.4 GRFICO EM COLUNAS AGRUPADAS 6.5 GRFICO EM BARRAS HORIZONTAIS - 44 6.6 HISTOGRAMA 6.7 GRFICO EM LINHA - 45 6.8 OGIVA - 46 6.9 PIRMIDE ETRIA - 47 6.10 - GRFICOS CIRCULARES - 48 6.11 PICTOGRAMAS 49 CAPTULO 7 - TESTES DE HIPTESES 7.1 INTRODUO - 51 7.2 QUI-QUADRADO7.3 O TESTE DO QUI-QUADRADO - 52 7.4 TESTE DE FISHER - 54 7.5 - TABELA DE NVEIS DE SIGNIFICNCIA QUI-QUADRADO - 56 EXERCCIOS 57 CAPTULO 8 - REGRESSO E CORRELAO 8.1 INTRODUO - 59 8.2 COEFICIENTE DE CORRELAO ENTRE DUAS VARIVEIS - 60 8.3 COEFICIENTE DE CORRELAO LINEAR - 61 8.4 REGRESSO LINEAR - 62 EXERCCIOS - 63 EXERCCIOS COMPLEMENTARES - 64 ANEXO I TESTE DE QI (I) 66 NDICE APLICATIVOS - 03 CAPTULO 1 - INTRODUO TEORIA DOS CONJUNTOS 1.1 CONCEITO DE CONJUNTO - 04 1.2 SUBCONJUNTOS1.3 CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO VAZIO - 05 EXERCCIOS 1.4 OPERAES COM CONJUNTOS - 06 EXERCCIOS - 07 1.5 NUMERAL DE UM CONJUNTO EXERCCIOS 08 CAPTULO 02- INTRODUO ANLISE COMBINATRIA 2.0 - INTRODUO - 09 2.1 - OS PRINCPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEMEXERCCIOS 2.2 - ARRANJOS, COMBINAES e PERMUTAES SIMPLES - 11 2.3 - CLCULO DO NMERO DE ARRANJOS SEM REPETIO2.4 - PERMUTAO SIMPLES - 12 2.5 - COMBINAES SIMPLESEXERCCIOS - 13 2.6 - ARRANJOS COM REPETIO2.7 - PERMUTAES COM ELEMENTOS REPETIDOS - 14 EXERCCIOS CAPTULO 03- PROBABILIDADE 3.1 EXPERIMENTOS - 15 3.2 ESPAOS AMOSTRAISEXERCCIOS - 16 3.3 PROBABILIDADEEXERCCIOS - 17 3.4 ALGUNS TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES3.5 PROBABILIDADE CONDICIONAL- 18 3.6 EVENTOS INDEPENDENTES - 19 EXERCCIOS CAPTULO 04 - ESTATSTICA I 4.1 POPULAES E AMOSTRAS - 22 4.2 MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL - 23 EXERCCIOS - 24 4.3 USANDO PLANILHASEXERCCIO 4.4 QUARTIL E PERCENTIL4.5 MEDIDAS DE DISPERSO - 25 EXERCCIOS - 27 4.6 INTERVALO DE CONFIANA- 28 4.7 - TABELA DO COEFICIENTE DE CONFIANA (Z) EM PORCENTAGEM - 30 4.8 - TABELA DE DISTRIBUIO DE STUDENT - 31 EXERCCIOS 4.9 INTERVALO DE CONFIANA PARA MDIAS DE UMA POPULAO - 32 EXERCCIOS 33 3 APLICATIVOS Com o objetivo de eliminar clculos repetitivos e/ou trabalhosos alguns contedos apresentaro aplicativos. No ndice os aplicativos esto indicados por aplic.n- xls, onde xls o link para as pginas onde esto os aplicativos. Ao clicar nos links "xls" sero abertas planilhas de programas que provavelmente esto instalados em seu computador. Estas planilhas podem ser exibidas no EXCEL ( do Microsoft Office),no STARCALC (do Staroffice),BROFFICE CALC (do BrOffice ou OpenOffice) entre outros. Em cada aplicativo so apresentadas informaes de como utiliz-los. Recomenda-se ao aluno que estude o contedo e aprenda a resolver os problemas tambm sem o uso dos referidos aplicativos, pois, em concursos ou outras disciplinas que cursar, no ser permitido o uso do mesmo. Para cursos ligados computao, o aluno deve observar a lgica usada nos aplicativos, pois, pode servir como exemplo de programao para uso em outras linguagens.

O leitor deve atentar para as informaes exibidas nos aplicativos a respeito das clulas a serem modificadas. Em geral elas so apresentadas com valores em vermelho. Nos aplicativos as clulas que no podem ser modificadas esto travadas. Entretanto, em alguns programas como o Starcalc, o travamento da clula no mantido. No Excel e BrOffical Calc o travamento das clulas mantido. Caso voc modifique clulas que contm clculos (frmulas) feche o aplicativo sem salv-lo e abra-o novamente. 4 CAPTULO 1 INTRODUO TEORIA DOS CONJUNTOS 1.1 CONCEITO DE CONJUNTOO conhecimento das propriedades e operaes dos conjuntos de fundamental importncia para o estudo da probabilidade e da estatstica, bem como para a Matemtica em geral.Um conjunto consiste em geral na coleo de objetos que so chamados de elementos ou membros. Costuma-se indicar os conjuntos por uma letra maiscula (A, B, C, D, ...) e seus elementos por letras minsculas (a, b, c, d, ...).Um conjunto fica perfeitamente definido quando:(I) so relacionados todos os seus elementos ou(II) quando se conhecem as propriedades comuns a todos os seus elementos.No primeiro caso a identificao do conjunto feita por listagem. A listagem dos elementos dever ser expressa entre duas chaves ou atravs de diagramas (denominados diagramas de Venn), conforme exemplos abaixo.Conjunto das vogais: V = {a, e, i, o, u} processo de listagem com chaves. Conjunto dos nmeros inteiros maiores que 2 e menores que 8: Usando o mtodo da propriedade comum, a indicao seria C = {x | P(x)} onde a barra se traduz por tal que e P(x) a propriedade comum aos elementos do conjunto C.Tomando,porexemplo,oconjuntoAdosnmerosinteirospositivosmenoresque5,indica-se:A = {x | x e N e x < 5}. Fazendo a listagem, A = {0, 1, 2, 3, 4}. Nota N o conjunto dos nmeros naturais, ou seja: N = {0, 1, 2, 3, ...}SeumelementoxfazpartedeumconjuntoC,dizemosquetalelementopertenceao conjunto, que se representa porx e C. Caso contrrio, se o elemento y no pertence ao conjunto C, escreve-se y e C. Exemplo: Se A = {a, e, i, o, u} entoa e A, u e A. Porm, p e A. 1.2 SUBCONJUNTOSSejam A e B dois conjuntos, tais que todo elemento do conjunto A pertence tambm ao conjunto B. Nestas condies, o conjunto A denominado subconjunto de B.Nos exemplos abaixo A um subconjunto de B.Exemplo 1: por listagem A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Exemplo 2: por diagrama a h gf b c d e A B A ={b, c, d, e} B = {a, b, c, d, e, f, g, h} 5 Para indicar que o conjunto A um subconjunto de B, escreve-seA c B (l-se A est contido em B), ou BA (l-se B contm A). Se BA e B = A ento A um subconjunto prprio de B.As relaesc - est contido e - contm so denominadas relaes de incluso. Estas relaes somente podem ser usadas quando se referirem a dois conjuntos.A negao das relaes de incluso indicada por.que se l no est contido. Deve-se tomar o devido cuidado para no substituir a relao de incluso pela relao de pertinncia (pertence, no pertence). Estas ltimas so aplicadas na relao de elemento com conjunto.Para a relao de incluso e subconjuntos so vlidas as propriedades:P1 Qualquer que seja o conjunto A, AA e A c A. Isto significa que todo conjunto subconjunto de si mesmo.P2 Se AB e BA ento A = B. Neste caso, A e B apresentam os mesmos elementos.P3 Se AB e BC, ento AC. Esta propriedade denominada transitividade.P4 O nmero de subconjuntos de um conjunto com n elementos 2n.1.3 CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO VAZIO. Na maioria dos casos, o conjunto usado uma parte (subconjunto) de um conjunto mais amplo denominado conjunto universo. Tomando por exemplo, o conjunto A = {x | x inteiro positivo e menor que 6} = {1, 2, 3, 4, 5}, este conjunto um subconjunto do conjunto dos nmeros naturais. Assim, o conjunto dos nmeros naturais, indicado por N, o conjunto universo que contm o conjunto A descrito.Nota: o prprio conjunto N um subconjunto do conjunto dos nmeros reais (R).O conjunto universo comumente representado pela letra maiscula U. Em diagramas, o conjunto universo representado por um retngulo. No outro extremo, temos o conjunto desprovido de elementos, como por exemplo, o conjunto C = {x | x inteiro menor que 7 e maior que 6}. evidente que no existe nenhum nmero inteiro entre 6 e 7. Um conjunto desprovido de elementos, como o do exemplo, denominado conjunto vazio que se representa por { } ou C.Importante: {C} no um conjunto vazio. {C} um conjunto cujo elemento C (mesmo que C seja um conjunto vazio).EXERCCIOS01 Para cada um dos conjuntos abaixo, indic-los sob a forma de listagem e sob a forma de diagramas:(a) A = {x | x uma consoante entre d e p}(b) B = {x | x e N e 5 < x < 12}(c) C = {x | x e N e 5 < x < 8}(d) D = {x | x e N e 5 < x < 7}(e) E = {x | x e N e 50 < x < 51}(f) F = {x | x e N e 1002 < x < 1003}.02 Escreva todos os subconjuntos do conjunto A = {b, i, s, t, e, c, a} composto por dois elementos.6 03 Quantos subconjuntos tem o conjunto A = {b, i, s, t, e, c, a}?04 Use um dos sinais e, e, c,para tornar verdadeira cada uma das sentenas abaixo:(a) 2 ___ {-4, -2, 0, 2, 4}(b) {5} ___ {x | x e N e1 < x < 26}(c) {1, 2, 3, 4, 5} ____ {3, 5}(d)7 ___ {x | x > 8}(e) { } ___ {1, 2}(f) {2, 4, 6, 8} ___ U.05 correto ou no escrever {1, 2} e {1, 2, 3, {1}, {1, 2}}. Justifique sua resposta. 1.4 OPERAES COM CONJUNTOSSejam A e B dois conjuntos. Para os mesmos so definidas as operaes:(I) UNIO conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A unio dos conjuntos A e B indicada porAB que se l A unio B. Simbolicamente, x e (AB) x e A ou x e B.O smbolo usado para indicar equivale a.Obs. O conectivo ou usado para indicar que x pode pertencer somente ao conjunto A, somente ao conjunto B ou simultaneamente a ambos os conjuntos.Exemplo: se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6} ento AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Note que no conjunto AB os elementos 2 e 4 que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo no se apresentam repetidos. Usando diagramas: (II) INTERSEO conjunto formado pelos elementos comuns aos dois conjuntos. A interseo dos conjuntos A e B indicada por A B que se l A interseo B.Simbolicamente indica-se: x e (A B) x e A e x e B.Obs: o conectivo e usado quando as duas condies devem ser ambas verificadas.Quando a interseo um conjunto vazio, os dois conjuntos so denominados conjuntos disjuntos.Exemplo: Exemplo: se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6} ento A B = {2, 4}.Graficamente: (III) DIFERENA o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A mas que no pertencem ao conjunto B denominado diferena entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por A B.Simbolizando: x e (A - B) x e A e x e B.7 Observe o diagrama referente diferena A B e B A. (IV) COMPLEMENTAR se o conjunto B est contido no conjunto A, a diferena A B chamada de complemento de B em relao a A. Neste caso denota-se BA. Quando o conjunto A o conjunto universo, a indicao BU pode ser simplificada para B que se l complemento de B.Costuma-se tambm identificar B, complemento de B,como no B escrevendo ~B.Na figura a seguir esto representados o conjunto U (retngulo inteiro), o conjunto B (azul) e o complemento de B (verde). As operaes com conjuntos apresentam as seguintes propriedades:P1 AB = BA e A B = B A -comutatividade.P2 A(BC) = (AB)Ce A (B C) = (A B) C- associatividade.P3 A C = C e AU = U - absoroP4 - A U = A e AC = A elemento neutro.P5 A B = A B.P6 (AB) = A Be (A B) = AB . Leis de De Morgan.EXERCCIOS - 21 Sejam A = {a, b, c, d, e, f}, B = {b, d, f, g}, C = {a, h, m, n} e U = conjunto das letras do alfabeto latino. Calcule:(a) AB;(b) A(BC); (c) A B;(d) (A B) C; (e) A C (f) B C.(g) B A (h) B U.(i) A C(j) (A) B (k) A (B C) (l) B(AC).2 Sejam A = {x | x eNe3 < x < 8}e B = {x | x e N e5 < x < 11}. Determine:(a) AB(b) A B (c) A B(d) B A1.5 NUMERAL DE UM CONJUNTODefine-se o numeral de um conjunto A, que se indica por n(A) como sendo a quantidade de elementos do conjunto A.Exemplo: seja A = {a, b, c, d, e, f, g}. Tem-se que n(A) = 7 pois A tem sete elementos.Com relao ao numeral de conjuntos podem ser verificadas as propriedades:P1 Se A e B so conjuntos disjuntos (A B = C) ento n(AB) = n(A) + n(B).Esta propriedade pode ser estendida para diversos conjuntos desde que a interseo entre dois quaisquer deles for vazia. Nestas condies n(ABC ...) = n(A) + n(B) + n(C) + ...8 P2 Se A e B so tais que A B = C ento n(AB) = n(A) + n(B) n(A B).Deve-se observar que em n(A) + n(B) os elementos da interseo estaro computados duas vezes.P3 Para trs conjuntos n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C) + n(ABC). EXERCCIOS 31 O vilarejo Santa Cruz todos os habitantes assistem televiso. No dia 18 de novembro de 2001, foi constatado que 3200 assistiram programas do canal TVK, 1050 assistiram programas do canal TVP e 385 assistiram programas dos dois canais. Quantos habitantes tem o vilarejo Santa Cruz?2 Em uma cidade so publicados dois jornais A Notciae Dirio da Cidade. Aps uma pesquisa em que todos os habitantes foram consultados, registrou-se: 6800 habitantes no lem jornal; 4320 lem o jornal A Notcia, 9230 lem o jornal Dirio da Cidade e 915 lem os dois jornais. Quantos habitantes tm nesta cidade?3 Aps a prova final em certa escola, verificou-se que somente os professores de Fsica e de Matemtica deixaram alunos em recuperao. Dos 100 alunos, 59 no ficaram em recuperao, 26 ficaram em recuperao na disciplina Fsica e 12 devem fazer recuperao de Fsica e Matemtica.Quantos alunos ficaram em recuperao:(a) Somente em Fsica;(b) Somente em Matemtica;(d) Em Matemtica.4 Pesquisando as preferncias sobre as frutas: mamo, laranja e ma,entre os 220 alunos de uma escola foi obtido o resultado indicado na tabela abaixo: Quantas pessoas:(a) no gostam de nenhuma das trs frutas?(b) preferem mamo mas no gostam de laranja ou ma?(c) quantas pessoas escolheram mamo ou laranja como frutas preferidas? 9 CAPTULO 02INTRODUO ANLISE COMBINATRIA 2.0 - INTRODUO Quando duas moedas (consideradas honestas) forem lanadas para cima, os resultados sero KK, KC, CK e CC onde K significa cara e C significa coroa. Nesta situao temos 4 possveis resultados. Se no lugar de duas moedas forem usadas 50 moedas, a listagem dos possveis resultados seria praticamente impossvel pois a quantidade de resultados 250 =1125899906842624.No estudo de Probabilidades e Estatstica, situaes como esta so comuns. Para tornar possvel a anlise de casos em que o nmero de elementos envolvidos muito grande torna-se importante a teoria da formao dos agrupamentos que se intitula Anlise Combinatria.Neste captulo sero analisados alguns elementos da Anlise Combinatria aplicveis Probabilidade e Estatstica.2.1 - OS PRINCPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM 1. Princpio Aditivo Suponha que voc tenha trs conjuntos A, B e C, trs conjuntos disjuntos.O conjunto A tem 5 elementos, B tem 4 e C tem 3. Existem 5 possibilidades de escolher um elemento do conjunto A. Da mesma forma, para escolher um elemento dos conjuntos B e C os nmeros de possibilidades sero 4 e 3, respectivamente. A escolha de um nico elemento, seja ele de A, ou de B ou de C, o nmero de possibilidades 5 + 4 + 3 = 12.Note que, a ocorrncia de um dos eventos no est condicionada ocorrncia do evento anterior.Assim que se pode concluir: se existem m1 possibilidades de ocorrer um evento E1, m2 possibilidades de ocorrer um evento E2 e m3 para ocorrer o evento E3, o nmero total de possibilidades de ocorrer o evento E1 ou o evento E2 ou o evento E3,ser de m1 + m2 + m3 desde que os eventos no apresentem elementos comuns. A afirmao acima denominada PRINCPIO ADITIVO DE CONTAGEM, e que pode ser estendido para qualquer quantidade de eventos. O conectivo que caracteriza a aplicao do princpio aditivo da contagem o conectivo ou, que conforme j foi visto est associado unio de conjuntos. Seja ento os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Considerando os eventos E1 = nmero de A, menor que 7 e E2 = nmero par pertencente a A, ter-se-: - E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O n de possibilidades de escolher o evento E1 igual a 6 pois E1 tem 6 elementos. - E2 = {2, 4, 6, 8, 10}. O nmero de possibilidades de escolher o evento E2 igual a 5 pois E2 tem 5 elementos. Entretanto, o nmero de possibilidades de escolher um nmero menor que 7 ou par pertencente ao conjunto no ser igual a 11 (= 6 + 5) e sim igual a 8 pois os elementos 2, 4 e 6 so repetidos nos dois eventos. Neste caso, o nmero de eventos ser n(E1 ou E2) = n(E1) + n(E2) -n(E1 E2) = 6 + 5 - 3 = 8, onde n representa o numeral dos conjuntos indicados (quantidade de elementos do conjunto). 2. Princpio Multiplicativo A figura a seguir representa estradas que ligam as cidades A at B e B at C. Como se pode notar existem 4 possveis escolhas (eventos) para ir de A at B e 3 para se ir de B at C. Ora, para se ir de A at C, passando por B, o nmero de caminhos ser 4 x 3, pois, para cada escolha de um caminho de A at B teremos 3 escolhas para ir de B at C.10 Em situaes como essa, os eventos so dependentes e devem ocorrer simultaneamente. O que caracteriza a simultaneidade dos eventos o conectivo e . Observe que no princpio aditivo o conectivo usado o ou. Generalizando: sejam E1, E2, E3, ...En, um conjunto de eventos que podem ocorrer de m1, m2, m3, ... mn maneiras diferentes. A quantidade de possibilidades para os eventos E1 e E2 e E3 e .... e En m1.m2.m3. ... .mn . Este princpio chamado PRINCPIO MULTIPLICATIVO DA CONTAGEM. Seguem algumas aplicaes sobre os princpios aditivo e multiplicativo descritos acima. Aplicao 1 - Certa pessoa tem em seu stio 4 frangos, 2 leites e 3 carneiros. De quantas maneiras diferentes poder ele escolher um frango ou um leito ou um carneiro para a sua ceia de natal? No caso, os eventos so E1 = {x | x frango}; E2 ={x | x leito} e E3 = {x | x carneiro}. O nmero de possibilidades de ocorrerem os eventos E1, E2 e E3 so: 4, 2 e 3, respectivamente. Como E1 E2 E3 = C, o numero total de possibilidades de ocorrer o evento E1, ou o evento E2 ou o evento E3 ser 4 + 2 + 3 = 9. Aplicao 2 - Dos 20 alunos de uma classe, 7 foram reprovados em Biologia e 8 em Qumica e 3 . O nmero de maneiras diferentes de escolher um aluno reprovado em Biologia ou em Qumica ser igual a 7 + 8 - 3 = 12. Nesta situao, os eventos so: E1 = {x | x reprovado em Biologia} e E2 = {x | x reprovado em Qumica}. Aplicao 2 - Dos 20 alunos de uma classe, 7 foram reprovados em Biologia e 8 em Qumica e 3 . O nmero de maneiras diferentes de escolher um aluno reprovado em Biologia ou em Qumica ser igual a 7 + 8 - 3 = 12. Nesta situao, os eventos so: E1 = {x | x reprovado em Biologia} e E2 = {x | x reprovado em Qumica}. Como n(E1) = 7, n(E2) = 8 e n(E1 E2) = 3, o nmero de possibilidades de escolher o evento E1 ou o evento E2 n(E1E2) = n(E1) + n(E2) n(E1 E2) = 7 + 8 3 = 12. Aplicao 3 - Considere os dgitos 1, 2, 3, 4. Quantos nmeros de 4 algarismos podem ser escritos, comeados com o dgito 1 e usando todos os quatro dgitos? Existe apenas 1 possibilidade para escolher o dgito da esquerda (dgito 1). Para o segundo dgito existem 3 possibilidades (2, 3, 4), pois, o 1 j foi usado. Para o terceiro dgito existem 2 possibilidades, pois, j foram escolhidos os dois dgitos anteriores. Sobra ento apenas 1 possibilidade para o quarto dgito. Assim, a quantidade de nmeros possveis 1 x 3 x 2 x 1 = 6. Se na aplicao anterior fosse permitida a repetio de dgitos, a quantidade de nmeros seria 4 x 4 x 4 x 4 = 256. Explique! EXERCCIOS1 Uma sala tem 10 estudantes matriculados em Ingls, 15 em Espanhol e 12 em Francs, sendo que nenhum aluno pode estar matriculado em duas disciplinas ao mesmo tempo. De quantas maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estudo Ingls ou Espanhol ou Francs? Que princpio foi aplicado na soluo?2 Uma sala tem 10 estudantes matriculados em Ingls, 15 em Espanhol e 12 em Francs. Destes, 4 estudam Ingls e Espanhol, mas no estudam Francs, 3 estudam Francs e Espanhol mas no estudam Ingls, 5 estudam Ingls e Francs mas no estudam Espanhol. 2 alunos estudam os trs idiomas. De quantas maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estude Ingls ou 11 Espanhol? De quantas maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estude Ingls, ou Francs ou Espanhol?3 Quantos nmeros de 5 algarismos podemos escrever usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 sem que ocorra repetio de um mesmo algarismo no nmero?4 Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra UNIPAC?5 Quantos anagramas comeados por U podem ser formados com as letras de UNICOR?6 Em quantos anagramas da palavra UNIPAC as letras IP ficam juntas e nessa ordem?7 Um time de futebol dispe de 5 jogos de meias, 6 de cales e 4 de camisas. De quantas maneiras diferentes esse tipo pode se apresentar uniformizado para uma partida?8 Quantas palavras diferentes, com 7 letras no repetidas, podem ser escritas com as letras da palavra IMACULO de modo que as consoantes fiquem separadas pelas vogais?9 Quantas palavras diferentes, de 6 letras no repetidas, podemos formar com as letras de PECADO, de modo que as consoantes fiquem separadas por vogais? 2.2 - ARRANJOS, COMBINAES e PERMUTAES SIMPLESDados os agrupamentos ABC, ACB e ADB, observe que apesar de ABC e ACB serem formados pelos mesmos elementos, eles diferem pela ordem. Quanto aos agrupamentos ABC e ADB, estes diferem pela natureza, pois, so formados por elementos diferentes. evidente que se dois agrupamentos apresentam elementos diferentes eles so tambm diferentes. Entretanto, nem sempre ABC e ACB podem ser considerados como agrupamentos. Se tomarmos, por exemplo, ABC e ACB so alunos escolhidos para representar uma classe. Em casos como esse, os grupos ABC e ACB so considerados como um nico agrupamento. Se A, B e C so algarismos, o grupo ABC diferente do grupo ACB. Considerando a ordem e a natureza, so definidos os seguintes tipos de agrupamentos:(i) ARRANJOS:- so agrupamentos que diferem pela ordem ou pela natureza. (ii) COMBINAES:- so agrupamentos que diferem apenas pela natureza. (iii) PERMUTAES:- so agrupamentos que diferem apenas pela ordem. Neste caso, em cada agrupamento devem figurar todos os elementos do conjunto. 2.3 - CLCULO DO NMERO DE ARRANJOS SEM REPETIO Seja A = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos. Formando todos os agrupamentos com 3 elementos, obtm-se: abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb, num total de 24 agrupamentos. Na formao dos grupos existem 4 possibilidades para cada uma das letras ocupar a 1 posio. Escolhida essa letra, restam 3 possibilidades para a 2 posio e 2 elementos para a 3 posio. Desta forma v-se que, pelo princpio multiplicativo, o nmero de agrupamentos, ou o nmero de arranjos de 4 elementos tomados trs a trs (taxa 3) A4,3 = 4.3.2 = 24. Generalizando, para m elementos tomados taxa p, teremos: 1 posio, m possibilidades, 2 posio, (m - 1) possibilidades, 3 posio, (m - 2), ...., p posio, (m - p + 1). Assim,Am,p = m.(m - 1).(m - 2).(m - 3) ....(m - p + 1),ou seja: Am,p =produto de p fatores tomados em ordem decrescente a partir de m. Tomando, por exemplo, A9,4 = 9 x 8 x 7 x 6 = 3024. Multiplicando e dividindo a expresso Am,p = m(m - 1)(m - 2)(m - 3) ....(m - p + 1)por todos os inteiros de m - p at 1 resultar: 12 Am,p = m.(m - 1).(m - 2).(m - 3) ....(m - p + 1).(m - p).(m - p - 1) ... 3.2.1/(m - p) (m - p - 1) ... 3.2.1. O produto de todos os inteiros de m at 1 representado por m! que se l fatorial de m. Desta forma: 2.4 - PERMUTAO SIMPLESPermutaes dos elementos de um conjunto com m elementos so agrupamentos que se formam tomando todos os elementos do conjunto e trocando (permutando) as posies desses elementos. Seja, por exemplo, o conjunto A = {a, b, c}. As permutaes de abc, so: abc, acb, bac, bca, cab, cba. fcil observar que as permutaes nada mais so que os arranjos de m elementos taxa m. Denotando por Pm o nmero de permutaes de m elementos pode-se concluir que: Pm = m(m - 1)(m - 2) ... 3.2.1 ou seja Pm = m!.Exemplos:1 - Quantos so os anagramas formados com as letras da palavra UNIPAC? P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 2 - Quantos destes anagramas comeam com a letra U? Como os anagramas devem comear com a letra U, devem-se permutar apenas as 5 outras letras. Neste caso, P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.3 - Em quantos anagramas as vogais aparecem separadas pelas consoantes? A partir do anagrama UNIPAC, permutando apenas as vogais obtm-se P3 = 3! = 3.2.1 = 6. Para cada distribuio das vogais tem-se P3 = 6 permutaes das consoantes. Assim, comeadas com vogais, so 6 x 6 = 36 anagramas. Como os anagramas podem tambm comear por consoante, o total de anagramas ento 2 x 36 = 72 . 2.5 - COMBINAES SIMPLESA tabela a seguir mostra os arranjos de 5 elementos (a, b, c, d, e) tomados 3 a 3. Na tabela os elementos dispostos em cada linha diferem apenas pela natureza.Assim em cada linha so exibidas as combinaes dos 5 elementos tomados 3 a 3, num total de 10. Cada coluna formada pelas permutaes dos elementos que formam cada agrupamento constante da primeira linha, apresentando 6 elementos por coluna. Os 60 arranjos, constitudos por todos os elementos do quadro, igual ao produto do nmero de elementos de cada linha C5,3 pelo nmero de elementos de cada coluna P3.Em concluso:A5,3 = C5,3 . P3 ou C5,3 = A5,3/P3

Generalizando,Cm,p = Am,p/Pp Exemplo: Qual o nmero de comisses de 3 alunos que se podem formar tirados em um conjunto de 7 alunos? Escolhendo trs alunos em qualquer ordem, a comisso formada ser nica. Assim, a situao 13 descreve uma aplicao caracterstica de agrupamentos denominada combinaes. Portanto, C7,4 = 7!/[(7 - 4)!.(4!)] = 7.6.5.4.3.2.1/3.2.1.4.3.2.1 = 7.5 = 35. A situao seria diferente se para os trs alunos escolhidos fossem distribudos presentes diferentes. Pois, nesse caso, a distribuio ABC seria diferente da distribuio CAB. Nesta nova situao teremos uma aplicao de agrupamentos denominados arranjos. EXERCCIOS 1 - Calcule: ( a ) A6,2 ( b ) A10,4 ( c ) P4 ( d ) P7( e ) C8,3 ( f ) C10,4.2 Considere os conjuntos A = {a,b, c, d, e}e B = {r, s, t}. Escreva:(a) todos os arranjos possveis, de 2 elementos, formados pelos elementos do conjunto A.(b) todas as combinaes possveis, de 3 elementos, formados pelos elementos do conjunto A.(c) todas as permutaes formadas pelos elementos do conjunto B. 3 - Um restaurante oferece no cardpio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. De quantas maneiras diferentes uma pessoa poderia fazer um pedido contendo, uma salada, um tipo de carne e 1 sobremesa? 4 - Um inspetor visita 6 mquinas diferentes durante o dia. A fim de evitar que os operrios saibam quando ele os ir inspecionar, o inspetor varia a ordem de suas visitas. De quantas maneiras diferentes podero ser feitas as visitas? 5 - Cinco alunos foram escolhidos para representar uma turma de um colgio durante o hasteamento da bandeira. Se for necessrio que os mesmos formem uma fila, de quantas maneiras diferentes podem ser dispostos os alunos? 6 - De uma sala de 25 alunos devem ser escolhidos 5 alunos para receberem prmios. De quantas maneiras diferentes podero ser distribudos os prmios se: ( a ) se todos os prmios forem iguais ( b ) se os prmios forem diferentes. 7 - Quantos nmeros maiores que 5000 podem ser escritos se forem usados os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9? 8 - Dos 10 alunos de um grupo devem ser escolhidos 6. De quantas maneiras isto possvel se, ( a ) dois dos alunos devem sempre fazer parte do grupo dos 6? ( b ) dois dos alunos no podem ser escolhidos?( c ) os alunos A e B no podem estar juntos no grupo dos 6? 9 - Qual o nmero de anagramas da palavra ALUNO que tm as vogais em ordem alfabtica? 10 - Cinco pessoas decidem viajar num automvel. De quantas maneiras diferentes eles podem se assentar se: ( a ) todos sabem dirigir ( b ) apenas 1 sabe dirigir ( c ) se dois sabem dirigir. 2.6 - ARRANJOS COM REPETIOPara indicar os arranjos com repetio usa-se o smbolo (AR)m,p. Nos arranjos com repetio,cada um dos m elementos pode ser repetido at p vezes. Observe que nessa situao, p pode ser maior que m. Tomando, por exemplo, o conjunto {a, b, c, d}, os arranjos dos 4 elementos tomados 3 a 3, com repeties so: aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, abd, aca, acb, acc, acd, ada, adb, adc, add, baa, bab,. bac, bad, bba, bbb, bbc, bbd, bca, bcb, bcc, bcd, bda, bdb, bdc, bdd, caa, cab,. cac, cad, cba, cbb, cbc, cbd, cca, ccb, ccc, ccd, cda, cdb, cdc, cdd, daa, dab,. dac, dad, dba, dbb, dbc, dbd, dca, dcb, dcc, dcd, dda, ddb, ddc, ddd. A quantidade destes arranjos pode ser determinada tendo por base o princpio multiplicativo. Seja o conjunto {a1, a2, a3, ... am} de m elementos. Para se formar os arranjos com n elementos, so m possibilidades para o primeiro elemento, m para o segundo, m para o terceiro e assim sucessivamente at o n-esimo elemento. Aplicando o princpio multiplicativo resulta:14 (AR)m,n = m.m.m... m (n fatores) 2.7 - PERMUTAES COM ELEMENTOS REPETIDOSEstuda-se nesse caso permutaes com elementos que aparecem repetidos no conjunto, como por exemplo, ao escrever os anagramas da palavra ARARA onde o A aparece trs vezes e o R aparece duas vezes, ou nos possveis nmeros de 5 algarismos que se pode escrever usando todos os algarismos de 33214. Seja, por exemplo, o agrupamento aaabc. Seja P53 o nmero de permutaes em que os "as" no permutem entre si. Para cada uma dessas seriam possveis P3 se os "as" fossem diferentes. O total de permutaes, considerando os "as" diferentes ser P5 = P53 x P3 P53 = P5 /P3. Usando o mesmo raciocnio para aaabbc, teramos P6 = P63,2 x P3 x P2 P63,2 = P6/P3.P2. Generalizando, sejam m elementos onde um certo elemento repete-se x vezes, outro y vezes, outro z vezes, e assim sucessivamente, teremos: EXERCCIOS 1 - Usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6. ( a ) quantos nmeros de 4 algarismos distintos podemos escrever? ( b ) quantos nmeros de 4 algarismos podem ser escritos? ( c ) quantos nmeros de 4 algarismos podem ser escritos, que comecem com 1 e terminem com 6? 2 - Considere a palavra MATEMTICA.( a ) quantos anagramas so possveis? ( b ) em quantos destes anagramas as vogais aparecem separadas pelas consoantes? ( c ) em quantos as consoantes aparecem juntas?3 - Quantos nmeros de 6 algarismos podemos escrever usando os algarismos do nmero 334223? Quantos desses nmeros so pares? 15 CAPTULO 03PROBABILIDADE 3.1 EXPERIMENTOSPara as cincias, os experimentos so de fundamental importncia. , a partir deles que se pode induzir as leis que regem os diversos fenmenos. Tendo como base que se um experimento for realizado diversas vezes, sob condies idnticas, os resultados sero essencialmente os mesmos.Tomando por exemplo um pndulo de comprimento 9,8 m. Se o pndulo for posto a oscilar, ao nvel do mar, o tempo gasto em cada oscilao ser de 6,28 s. Assim, de se esperar que todos os pndulos de igual comprimento, no mesmo local, gastaro 6,28 s em cada oscilao. Entretanto, se de uma urna com 1 000 000 de esferas, numeradas de 1 a 1 000 000, retirarmos uma esfera de cada vez e a recolocarmos na urna, provavelmente, um resultado obtido no ser repetido. Neste caso, os experimentos so ditos experimentos aleatrios.O estudo dos experimentos aleatrios realizado para se obter uma medida da chance de se obter um determinado resultado. Esse estudo denominado Probabilidade. Exemplos de eventos aleatrios:(1) Retirada de determinadas cartas em um baralho com 52 cartas.(2) Lanamento de dois dados cujas faces so numeradas de 1 a 6. 3.2 ESPAOS AMOSTRAISUm conjunto, que indicaremos pela letra U, formado por todos os possveis resultados de um experimento aleatrio denominado espao amostral.O espao amostral pode ser representado sob a forma de conjunto (elementos expressos entre chaves) ou em tabelas.Cada subconjunto E, do espao amostral consiste em um evento.O conjunto formado por todos os possveis resultados de um experimento aleatrio denominado espao amostral. Este conjunto representado pela letra maiscula U. O espao amostral pode ser representado sob a forma de conjunto (elementos expressos entre chaves) ou em tabelas.Cada subconjunto E, do espao amostral denominado evento.Seguem alguns exemplos de espaos amostrais e eventos.(1) - Lanamento de duas moedas. Na indicao K representa o aparecimento de uma cara e C o aparecimento de uma coroa.O espao amostral ser U = {KK, KC, CK, CC} representado em notao de conjunto. Do espao amostral podemos extrair eventos como: E(1,K) - aparecimento de pelo menos 1 cara = {KK, KC e CK}; E(2,K) - aparecimento de duas caras = {KK}. (2) Lanamento de dois dados. O quadro abaixo mostra o espao amostral indicado sob forma de tabela.16 So eventos do espao amostral acima: E(3) - soma das duas faces igual a 3 = {(1, 2), (2, 1)}; E(7) = soma das faces igual a sete = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. EXERCCIOSConstrua os seguintes espaos amostrais:(1) Casal com trs filhos. Use M para filho do sexo masculino e F para filho do sexo feminino.(2) Lanamento de trs moedas.(3) Nmeros de trs algarismos distintos obtidos com os dgitos 4, 5, 6.3.3 PROBABILIDADEAo passar em frente a uma casa lotrica comum observar uma fila de pessoas apostando em algum tipo de jogo. Este fato no nada novo. Desde a Antiguidade os jogos e as apostas so uma das paixes do homem.A partir do sculo XVII, os matemticos Pierre de Fermat (Frana 1601-1665) e Blaise Pascal (Frana 1623-1662) iniciaram um estudo organizado sobre a teoria dos jogos com o objetivo principal de prever um prximo resultado e assim obter xito em suas apostas. Esta teoria hoje aplicada principalmente no estudo da Fsica Quntica e nas teorias sobre o Caos. Seja nos jogos ou em qualquer outro experimento aleatrio possvel associar uma medida para a incerteza quanto ocorrncia, ou no, de algum evento. Essa medida, denominada probabilidade, tem valor que pode variar de 0 a 1.Para eventos em que a ocorrncia garantida, a probabilidade igual a 1 (certeza absoluta). Entretanto, para eventos que nunca ocorrero a probabilidade avaliada como 0 (evento impossvel).Tomando, por exemplo, o espao amostral U = {2, 4, 6, 8, 10} e E(par) = escolha de um nmero par, a probabilidade de ao se escolher um nmero de U se ele par igual a 1 ou 100%. Isto : existe 100% de chance de o nmero ser par. Entretanto, para o evento E(mpar) = escolha de um nmero mpar, a probabilidade de ocorrer o evento E(mpar) igual a 0, pois nenhum dos nmeros de U mpar.Quando se diz que a probabilidade de ocorrer um certo evento 2/5 ou 40%, significa que a chance de ocorrer este evento de 2/5 ou 40% e da no ocorrncia de 3/5 ou 60%.Sistematizando o conceito de probabilidade, devem ser levados em considerao dois mtodos:(1) Probabilidade a priori (antecipada) Se um evento E, em um espao amostral U, pode ocorrer de p maneiras diferentes, para um total de n maneiras possvel, todas igualmente provveis, ento a probabilidade do evento Em outras palavras: se o evento E tem n(E) elementos e o espao amostral U em n(U) elementos, ento a probabilidade de ocorrer o evento E ser17 costume denominar n(E) como nmero de casos favorveis e n(U) como nmero total de casos possveis.Assim, a definio se apresenta na forma: (2) Probabilidade a posteriori (posterior) ou emprica.Usado principalmente quando n(U) suficiente grande. Neste caso, se aps n repeties de um experimento (n suficiente grande) forem observadas p ocorrncias de um certo evento E, ento a probabilidade de ocorrer tal evento definida por: EXERCCIOS1 -Trs moedas so lanadas para cima.(a) Construa o espao amostral. (b) Qual a probabilidade de se obter duas caras e uma coroa?(c) Qual a probabilidade de serem obtidas trs coroas?2 -No lanamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter:(a) duas faces iguais?(b) Uma soma igual a 7?(c) uma soma igual a 11?(d) uma soma maior ou igual a 7? (e) Duas faces diferentes?3 -Uma sala tem 40 alunos, sendo 25 rapazes. Qual a probabilidade de:(a) escolher uma moa?(b) escolhidos dois alunos ser o par formado por uma moa e um rapaz?(c) Escolhidos trs alunos serem todos eles rapazes?4 -Num baralho de 40 cartas, qual a probabilidade de, se retiradas 4 cartas serem elas 4 azes?5 - De um baralho de 40 cartas, retiram-se 3 cartas. Qual a probabilidade de sair pelo menos um s?6 -Num jogo da Sena com 50 nmeros so marcados 6 nmeros. Qual a probabilidade de um carto, marcado com 6 nmeros, no acertar nenhum? 3.4 ALGUNS TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADESA partir da definio de probabilidades podem ser demonstrados os teoremas abaixo:T1 Para todo evento E,0 < P(E) < 1. O nmero de eventos favorveis nunca ser negativo bem como nunca ser maior que o nmero total de eventos.T2 A probabilidade da certeza absoluta igual a 1.18 T3 O evento impossvel tem probabilidade zero.T4 A probabilidade de no ocorrer o evento E, que se indica por P(E) P(E) = 1 P(E).Aplicao: Uma urna contm 20 esferas sendo que somente 8 delas so vermelhas. Qual a probabilidade de, se retirada uma esfera, no ser ela vermelha?A probabilidade de ser retirada uma esfera vermelha 8/20. Assim, a probabilidade de a esfera no ser vermelha 1 8/20 = 12/20 = 60%.T5 Se os eventos E1, E2, E3, ... so mutuamente excludentes, isto , se nenhum elemento comum a dois ou mais eventos ento, a probabilidade de ocorrer E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En, que indicamos por P(E1E2E3...En) P(E1) + P(E2) + P(E3) + .... + P(En).Aplicao: Uma urna contm 8 esferas vermelhas, 4 azuis, 5 amarelas e 3 verdes. Retirada uma esfera, qual a probabilidade de ser a esfera retirada azul ou amarela.Como nenhuma esfera azul ou amarela ao mesmo tempo. Deste modo,os eventos E1 = ser bola azul e E2 = ser bola amarela so excludente. Tem-se que: P(E1) = 4/20 e P(E2) = 5/20.Assim, P(E1E2) = 4/20 + 5/20 = 9/20 = 45%.T6 Se E1 e E2 so dois eventos tais que E1 E2 = C, ento P(E1E2) = P(E1) + P(E2) P(E1 E2).Aplicao: Dos 30 alunos de uma classe, 13 foram reprovados em Biologia, 12 foram reprovados em Qumica, sendo que entre estes, 7 foram reprovados em Biologia e Qumica. Qual a probabilidade de, se escolhido um dos 30 alunos, ser ele reprovado em Biologia ou Qumica?A probabilidade de ser aluno reprovado em Biologia P(B) = 13/30, a de ser reprovado em Qumica P(Q) = 12/30 e a de ser reprovado em Qumica e Biologia P(Q B) = 7/30.Portanto, P(QB) = P(B) + P(Q) - P(Q B) = 13/30 + 12/30 7/30 = 18/30 = 60%.Note que, se 7 alunos foram reprovados nas duas disciplinas, estes sete esto contados tanto na Biologia quanto na Qumica. Assim, o nmero de alunos reprovados 13 + 12 7 = 18. Seguindo este raciocnio, a probabilidade ser tambm 18/30 = 60%. 3.5 PROBABILIDADE CONDICIONALNo lanamento de um dado, a probabilidade de uma jogada resultar em um nmero par e menor que 4 1/6 pois apenas o resultado 2 satisfaz s condies.O evento ser par e menor que 4 a probabilidade de ocorrer a interseo dos eventos E1 = ser par e E2 = menor que quatro.Se, entretanto, algum ao lanar o dado, informar que o resultado foi par, o novo espao amostral passa a ter apenas 3 elementos. A probabilidade ento 1/3.Assim, a probabilidade de se o resultado um nmero par, a probabilidade de ser ele par e menor que 4 seria 1/3 = n(E1E2)/n(E1) = [n(E1E2)/n(U)]/[n(E1)/n(U)] = P(E1E2)/P(E1) = (1/6)/(1/2) = 1/3.Designando P(E2/E1) a probabilidade da ocorrncia de E2, se E1 j ocorreu, pode-se escrever: Exemplo: De um baralho de 52 cartas (13 de ouros, 13 de espadas, 13 de copas e 13 de paus) qual a probabilidade de, ao ser retirada uma carta, se ela um 9 de ouros, sabendo-se que a carta retirada de ouros.1 processo: como j se sabe que a carta de ouros, temos apenas 1 nove em um total de 13 cartas. A probabilidade ento: P(9O) = 1/13. 19 2 processo: a probabilidade de ser uma carta de ouros P(O) =13/52 = 1/4 e a probabilidade de ser um 9 P(9O) = 1/52 = 1/52. Assim P(9/O) = P(9O)/P(O) = (1/52)/(13/52) = 1/13.3.6 EVENTOS INDEPENDENTESSe em uma urna existem 20 bolinhas coloridas, sendo 12 vermelhas e 8 azuis qual ser a probabilidade de retirar uma bola vermelha, repor essa bola, e a seguir uma bola azul? Isoladamente, a probabilidade ser retirada uma bola vermelha 12/20 = 60% e a probabilidade de ser retirada uma bola azul 8/20 = 40%. Entretanto, condicionado retirada da bola azul aps a vermelha, a probabilidade de sair uma azul na segunda retirada 40% dos 60%, ou seja 40% x 60% = 0,4 x 0,6 = 0,24 = 24%. Observe, ento, que a retirada da segunda bola condicionada retirada da primeira, corresponde ao produto das duas probabilidades individuais.Concluindo:- Sejam eventos E1, E2, E3 ... tais que a interseo de quaisquer dois deles um conjunto vazio. Se P(E1), P(E2), P(E3), ..., so asprobabilidades de ocorrncia destes eventos,a probabilidade de ocorrer cada evento um aps o outro, ser P(E1).P(E2).P(E3).... Exemplo 1: Um dado lanado para cima. Qual a probabilidade de sair um 3 na primeira jogada e um 5 na segunda? Tem-se: a probabilidade de sair um 3 1/6 e a de sair um 5 tambm 1/6. Assim, a probabilidade de sair um 3 na primeira jogada e um 5 na segunda (1/6).(1/6) = 1/36.Exemplo 2: De um baralho com 40 cartas so retiradas 4 cartas. Qual a probabilidade de sarem as cartas:(a) 2 de ouros, 5 de copas, 3 de espadas, nessa ordem e sem reposio.Tem-se: P(2O) = 1/40; P(5C) = 1/39; P(3E) = 1/38. Note-se que o denominador foi modificado pois se no houver reposio, o nmero de cartas no baralho diminui.Assim, P(2O5C3e) = (1/40).(1/39).(1/38) = 1/59280.(b) 2 de ouros, 5 de copas, 3 de espadas, nessa ordem e com reposioComo h reposio, P(2O) = P(5C) = P(3E) = 1/40pois o nmero de cartas no baralho ser sempre 40. Deste modo: P(2O5C3E) = (1/40).(1/40).(1/40) = 1/64000(c) 2 de ouros, 5 de copas, 3 de espadas, em qualquer ordem e com reposio.Para estas condies P(Evento) =P(2O5C3E) + P(2O3E5C) + P(5C3E20) + P(5C2O3E) + P(3E2O5C) + P(2O3E5C) + P(2O5C3E) =(1/64000).6 = 6/64000 = 3/32000.Note de P(evento) = P3. P(2O5C3E)onde P3 o nmero de permutaes das 3 cartas. EXERCCIOS1 - Qual a probabilidade de um casal ao ter 4 filhos, serem eles, na ordem menina, menino, menina, menino.2 - Qual a probabilidade de se obter uma soma sete, no lanamento de dois dados, por 4 vezes consecutivas?3 - Uma urna contm 50 bolas, sendo 10 vermelhas, 15 azuis e 25 amarelas. Qual a probabilidade de se retirar:a) uma bola amarela?b) Uma bola vermelha, uma azul e outra vermelha, sem reposio?c) Uma bola vermelha, uma azul e outra vermelha, sem reposio?4 - Paulinho tem 12 miniaturas de automveis azuis e 8 miniaturas vermelhas. Paulinho, querendo agraciar seu irmo menor, resolve dar para ele algumas miniaturas. Paulinho props ao irmo trs situaes:(I) Se o irmo, com os olhos vendados, retirar um carrinho vermelho, o carrinho lhe seria doado.(II) Se o irmo retirar, com os olhos vendados, um carrinho, no repor o mesmo na coleo e retirar outro, sendo os dois vermelhos, os dois carrinhos seriam doados para ele.(III) Se o irmo retirar, com os olhos vendados, um carrinho, repor o mesmo na coleo e a 20 seguir retirar outro, se o primeiro for vermelho e o segundo azul, os dois carrinhos seriam doados para ele.a) Calcule as probabilidades para cada uma das trs situaes.b) Considerando que melhor um pssaro na mo do que dois voando, em qual das situaes seria mais garantido o irmo ganhar algum carrinho? Justifique sua resposta 5 - A figura mostra um jogo usado em um parque de diverses. Na parte inferior da figura est indicado quanto voc recebe ao acertar a respectiva bandeira. A indicao 2 x 1 significa que se voc jogar R$10,00 e ganhar, voc receber R$20,00 (incluindo os seus R$10,00). A bola vermelha pertence ao organizador do jogo. Supondo o jogo honesto, a) qual a probabilidade de voc ganhar se jogar na bandeira do Brasil?b) aps um certo nmero de jogadas, provavelmente voc ganhar. Quantas vezes voc dever jogar na bandeira que aparece 3 vezes para provavelmente ganhar?c) se voc for dobrando a sua aposta, e supondo que no nmero de jogadas previstas no item b , ao ganhar voc receber ou no todo o seu dinheiro de volta?(Observao: considerando a possibilidade de ao final de determinado nmero de jogadas provavelmente voc ganhar, isto se a probabilidade de ganhar ao jogar em uma das bandeiras ,provavelmente voc ganhar uma vez ao jogar 4 vezes no mesmo time. 6 - Em uma certa cidade foi feita uma pesquisa sobre assistncia a determinados canais de televiso. Das 500 pessoas entrevistadas, 290 assistem ao canal A, 280 assistem ao canal B e 150 assistem outros canais, mas no assistem nem A nem B. Qual a probabilidade de, se escolhido um dos 500 entrevistados,a) ser ele um dos que assistem A e B?b) ser ele um dos que assistem A ou B?7 Uma igreja tem 4 portas. Qual a probabilidade de uma pessoa entrar por uma das portas e sair por uma porta diferente?8 Qual a probabilidade de num sorteio com figuram 10 nmeros voc acertar 4 deles? 9 Quatro moedas so lanadas para cima. Aps quantas jogadas voc provavelmente acertar a ordem cara, cara, coroa, coroa? 10 Uma prova formada por 10 questes, cada uma com 5 opes. Qual a probabilidade de um aluno chutar todas as questes:a) e acertar todas;b) e acertar as duas primeiras;c) e acertar duas quaisquer;d) no acertar a terceira questo.11 Uma urna contm 100 bolas numeradas de 1 a 100. Qual a probabilidade de, se retirada uma bola, sendo ela par, ter ela um nmero terminado em zero?12 Em um estdio de futebol compareceram 2000 pessoas. Destas 800 torcem pelo time A sendo que 120 vestiam a camisa de seu time, 900 torcem pelo time B estando 150 vestidas com a camisa deste time. As que no torcem por nenhum dos times no vestem camisa de nenhum dos dois times. Qual a probabilidade de, escolhida uma pessoa:a) ser ela torcedora do time B.b) estar ela vestida com a camisa do time A.21 c) sendo ela do time A, estar sem a camisa de seu time.Qual a probabilidade de, se escolhidas duas pessoas:d) serem elas torcedoras do time B.e) ser a primeira torcedora do time A e a segunda do time B.f) nenhuma das duas torcerem por nenhum dos dois times.g) ser uma torcedora do time A e outra do time B.12 - Ao fazer um levantamento em uma turma de 3 srie, com 50 alunos, verificou-se que: 16 se matricularam em ingls, 15 matricularam-se em espanhol e 7 matricularam-se para cursar os dois idiomas.Determine a probabilidade de, se escolhido um aluno dessa turma:(a) ser ele estudante de ingls ou espanhol;(b) ser ele estudante de ingls ou espanhol;(c) no estar ele matriculado em nenhuma das duas disciplinas.13 - Numa pesquisa em Barbacena sobre assistncia a canais de TV, foram entrevistadas 1000 pessoas.O resultado foi tabelado e o resultado est apresentado na tabela Com base na tabela, calcule a probabilidade da pessoa escolhida (a) no assistir nenhum dos canais especificados(b) assistir apenas o canal A(c) assistir os canais A ou B, mas no assistir o canal C(d) assistir o canal A, ou B ou C(e) assistir o canal A e B e C.(f) assistir o canal A e B mas no assistir o canal C. 22 CAPTULO 04 ESTATSTICA 4.1 POPULAES E AMOSTRASA Estatstica tem por objetivo principal analisar uma distribuio de dados e a partir dos mesmos inferir resultados futuros. O processo estatstico tem duas reas bem distintas: a primeira consiste em coleta e agrupamento dos dados, enquanto que a segunda, mais ligada diretamente Matemtica tem por objeto a anlise destes dados. Muitas vezes pesquisa dos dados deve-se referir a um determinado grupo que denominadapopulao. Entretanto, nem sempre h necessidade de se pesquisar todos os elementos da populao e assim, a pesquisa feita em uma parcela da populao. Esta parcela da populao chamada de amostra. Exemplos de populaes e amostras:Populao:- Todos os eleitores brasileirosAmostra:- 2500 eleitores entrevistadosPopulao:- Todos os cidados de uma cidadeAmostra:- 1200 habitantes maiores de 21 anos Populao:- Peas produzidas por uma indstria Amostra:- peas que so testadas para garantir qualidade importante observar que o termo populao nem sempre se refere a habitantes de uma regio, como usado correntemente. O estudo de amostras pode levar a concluses no exatas sobre toda a populao. Entretanto, existem inmeras razes que levam ao uso de amostras no lugar de pesquisar toda a populao. As principais razes para se adotar esse processo esto na relao custo/benefcio e na impossibilidade de acesso a toda a populao. evidente que quanto mais prxima da populao estiver a amostra, mais corretas sero as concluses que se pode tirar a respeito dos dados levantados. Um outro fato a respeito das amostras que o processo de pesquisa pode destruir o elemento pesquisado. Se for desejo pesquisar a tenso mxima suportada por peas produzidas em uma indstria, as peas testadas provavelmente sero destrudas e deste modo a firma no poder colocar tais peas venda.Dependendo das informaes desejadas, na coleta dos dados, pode-se optar por um dos dois mtodos: dados individualizados e dados agrupados.As tabelas abaixo mostram dados coletados usando os dois processos: Na primeira tabela a coluna Notas representa um conjunto discreto (valores bem determinados). Este um exemplo caracterstico de dados individualizados.Na segunda tabela, a coluna Salrios os dados esto listados em intervalos. Nesta, os dados se apresentam agrupados. 23 QUESTESResponda:- 1 Porque, na maioria das vezes, so estudadas amostras e no populao? 2 possvel dizer se uma determinada amostra representa adequadamente uma populao? 3 Suponha que voc deseje pesquisar a preferncia de uma populao com relao aos candidatos em uma eleio para a prefeitura de sua cidade. Como voc escolheria a amostra se: a) sua inteno obter um resultado no direcionado a um determinado candidato? b) sua inteno obter um resultado direcionado a um determinado candidato? 4.2 MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRALUma simples listagem dos dados pesquisados pode no levar a nenhuma concluso. Por este motivoimportanteverificarcomoosdadossedistribuememrelaoaumvalormaisprovvel. Consideram-secomoparmetrosparaanlisedeumadistribuioasmedidas:mdia,modae mediana, denominadas medidas de tendncia central. Tais medidas so definidas como segue:(I) MDIASejamx1,x2, x3, ... , xnumconjuntode n medidas. Define-se amdiadestas medidas, que se indica, por Exemplo: para o conjunto de medidas 25, 18, 41, 48, 29, 37, a mdia X = (25 + 18 + 41 + 48 + 29 + 37)/6 = 33(II) MEDIANA 11 Ordenadas as medidas, amediana(Md) amedidaque ocupaaposio central da distribuio. Seaquantidade de medidas for umnmero par, ter-se-o duas medidas ocupando a posio central. Nesse caso, a mediana ser a mdia destas duas medidas. Exemplo: Seja o conjunto 25, 18, 41, 48, 29, 37, 19.Ordenando os dados temos: 18 19 25 29 37 41 48, a mediana 29 pois esta a medida que se posiciona no centro da distribuio (3 valores antes e 3 valores depois). Nocasodoconjunto192529374148,asmedidascentraisso29e37.Nestecaso, devemos tomar o valor (29 + 37)/2 = 33 como mediana. Dependendo dos valores das medidas, a mediana melhor que a mdia para analisar a distribuio.Tomando por exemplo os valores 180, 20, 30, 25, 26, 27, 18, a mdia 46,6 enquanto que a mediana vale 26 que est bem mais prximo dos demais valores. No clculo da mdia, o nmero 180 fez com que a mdia fosse levada para um valor bem acima dos demais. Em situaes como essa, a mediana mais representativa da distribuio do que a mdia. 24 (III) MODA A moda usada quando na distribuio onde aparecem valores repetidos. Define-se a moda, (Mo),como sendo a medida que aparece em maior nmero de vezes. Uma distribuio em que no h elementos repetidos ela dita amodal. Se dois valores aparecem com a igual quantidade de vezes a distribuio dita bimodal. Para trs valores, trimodal, e assim, sucessivamente.A distribuio 19 25 29 37 41 48 amodal pois no nenhum elemento repetido. A moda da distribuio 19 25 19 - 29 37 19 29 - 41 48 19 pois 19 aparece um maior nmero de vezes.Para a srie 19 25 19 - 29 37 19 29 - 41 48 29, o 19 e o 29 aparecem 3 vezes cada. Esta distribuio bimodal pois tem duas modas que so: o 19 e o 29.Numa distribuio simtrica, a mdia, a moda e a mediana so valores bem prximos ou coincidentes.A partir de agora sero usados os smbolos Mo e Me para designar a moda e a mediana, respectivamente.EXERCCIOS Calcule a mdia, a moda e a mediana para os conjuntos de medidas abaixo:(a) 32, 34, 45, 46, 35, 32, 34, 45, 37, 48, 56, 45, 57, 39, 18, 26, 36, 45, 57(b) 16, 18, 30, 24, 42, 37, 30, 38, 35, 23, 32, 24, 274.3 USANDO PLANILHAS Os softwares que apresentam planilhas permitem o clculo direto da mdia, moda e mediana quando as medidas so todas digitadas. No h formula direta para clculo destas medidas quando a tabela apresentar uma distribuio de freqncia. Neste ltimo caso ser disponibilizado um aplicativo para o clculo da mdia. (Ver site http://www.cesariof.xpg.com.br ou CDRom). No EXCEL, para calcular a mdia,(1) Digite os valores em uma mesma coluna(2) Clique na clula onde ser calculada a mdia, a moda ou a mediana.(3) Para calcular a mdia, digite na clula = MDIA((4) Selecione as clulas onde constam os valores tabelados.(5) Complete a frmula fechando os parntese. Na clula dever ser exibido algo como = MDIA(B4:B15) onde B4:B15 so respectivamente a primeira e a ltima clula com os valores tabelados. Pressione a seguir, a tecla ENTER. Os passos so semelhantes para o clculo da mediana e da moda. Para a mediana, na clula deve ser digitado =MED(e para a moda digite =MODO( . A seguir selecione as clulas com os valores e feche o parntese. No STAROFFICE, no OPENOFFICE e no BROFFICE, utilize os mesmos procedimentos. As frmulas so =MDIA() para a mdia, =MEDIANA( ) para a mediana e =MODAL( ) para a moda.Obs.: - No caso de tabelas bimodais, trimodais, etc., somente ser calculada uma das modas.EXERCCIOUsando o STARCALC ou o EXCEL calcule a moda, a mediana e a mdia dos valores:(a) 50, 10, 40, 30, 20, 80, 40, 15, 30, 10, 30.(b) 32, 34, 45, 46, 35, 32, 34, 45, 37, 48, 56, 45, 57, 39, 18, 26, 36, 45, 57(c) 16, 18, 30, 24, 42, 37, 30, 38, 35, 23, 32, 24, 27 4.4 QUARTIL E PERCENTIL25 A diferena entre o maior e o menor valor de uma distribuio de dados coletados denominada disperso. Tomando por exemplo a tabela, j ordenada,1,12, 15, 17, 19, 19, 21, 23, 25, 26, 105 teremos uma disperso igual a104, ou seja 105 1. Observando a tabela nota-se que os extremos 1 e 105 esto bem afastados das demais medidas. Se da mesma forem retirados apenas estes dois valores a disperso torna-se bem menor (igual a 14) e as medidas restantes parecem bem mais centradas em relao aos valores tabelados. Os valores bem afastados da maioria das medidas, denominados valores esprios (outliers - em ingls) podem no condizer com a realidade da distribuio e, com isso, levar a erros grosseiros nas tomadas das decises quando se faz uma anlise dos dados coletados. Algumas tcnicas so usadas para eliminar os valores que estejam muito afastados das demais medidas. Entre as diversas tcnicas destacamos: o quartil e o percentil que so usadas em parties dos dados. A partio dos dados, pelo mtodo dos quartis, feita obedecendo s normas:I Ordena-se o conjuntoII Divide-se a tabela em quatro partes, cada uma delas contendo 25% (ou seja ) dos valores tabelados.A primeira, que contem os 25% valores menores chamada de 1 quartil. A ltima, que contem os 25% valores maiores, chamada de 4 quartil.Para a anlise dos dados, despreza-se os 1 e 4 quartis.A tabela com os valores restantes chamada de intervalo interquartil. Pode-se tambm utilizar outras divises, como por exemplo, dividir a tabela em 100 partes. Cadaumachamadadepercentil,eescolherumadeterminadafaixaaserdesprezada,no esquecendodequeaquantidadedevaloresmenoresaseremdesprezadosdeverserigual quantidade de valores maiores.Exemplo: Considerando a tabela12, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 21, 23, 23, 24, 25, 26, 28, 28,30,31.Oconjuntotem20elementos.Paraobterosquartis,divide-seatabelaem4partes. Cada uma ter 5 elementos. O primeiro quartil formado por 12, 13, 13, 14, 14. O quarto quartil ser 25, 26, 28, 28, 30.Paraanalisaratabela,levandoemconsideraoosquartis,(intervalointerquartil)seriam considerados apenas os valores: 16, 18, 19, 20, 21, 21, 23, 23, 24.Usandoointervalo10percentil,calcula-se10%dototaldemedidas.Paraatabelado exemploanterior,10%de20sodois.Eliminam-seentoosdoisvaloresmenores(12,13)eos dois valores maiores (28, 30). O conjunto de valores restantes constitui o intervalo 10 percentil. Nos dois exemplos citados, a amplitude passar a ser a diferena entre o maior e o menor valor da tabela restante e no a diferena entre o maior e menor valor na tabela inicial.A escolha do intervalo fica a critrio do analista dos dados levando em conta uma srie de fatores, inclusive a disperso dos valores iniciais. 4.5 MEDIDAS DE DISPERSO de extrema importncia para a anlise dos dados, verificar o comportamento dos valores tabelados em relao mdia. Isto , estudar a disperso dos dados em relao mdia. No estudo dessa disperso so usadas as medidas: desvio em relao mdia, desvio absoluto, desvio mdio absoluto, varincia e desvio-padro.Estas grandezas so definidas como segue:(I) desvio em relao mdia, ou simplesmente desvio(di) a diferena entre medida e a mdia. Se xi uma das medidas, X a mdia, o desvio de cada uma das medidas definido por:26 (II) desvio absoluto. (Di) o valor absoluto do desvio. (III) desvio mdio absoluto a mdia dos valores absolutos dos desvios. (IV) varincia(v) Duas consideraes devem ser feitas para o clculo da varincia. (a) Varincia da amostra quando se deseja apenas uma anlise da amostra, ou a amostra coincidente com toda a populao. v = (b) Varincia da populao quando, a partir da amostra se deseja inferir sobre a populao. Deve-se tambm ser usada para uma distribuio em classes com intervalos. (V) desvio padro(s)Avarinciaenvolveasomadequadrados,portanto,aunidadeemqueseexprimenoa mesmaqueadosdados.Assim,paraobterumamedidadavariabilidadeoudispersocomas mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da varincia que denominado desvio padro. Atravs do desvio padro pode-se fazer estimativas da disperso das medidas em relao mdia. De acordo com a definio: Os dois valores obtidos para a varincia, ao dividir a soma dos quadrados dos desvios por n ou por n 1 devem ser levados em conta para o desvio padro. Nos itens a seguir, o termo desvio padro, estar se referindo desvio padro calculado com relao populao. Isto , no clculo da varincia, a soma dos quadrados dos desvios ser dividida por n - 1.

As medidas de disperso devem acompanhar a preciso das medidas apresentadas na amostra. Isto , o nmero de casas decimais das medidas de tendncia central e as medidas de disperso devem apresentar o mesmo nmero de casas decimais das medidas apresentadas na amostra.D12 + D22 + D32 + ... + Dn2 n 27 Para que tal fato seja observado, devem ser usados os critrios adotados pela Resoluo 886/66 do IBGE, que regulamenta a aproximao de medidas. Tal resoluo estabelece: 1 - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado 0,1,2,3 ou 4, fica inalterado o ltimo algarismo a permanecer. Ex: 146,63 arredondado para 146,6 ; 95,02 arredondado para 95,0. 2 - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado 6,7,8, ou 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. Ex: 146,87 arredondado para 146,9 ; 95,06 arredondado para 95,1; 361,96 arredondado para 362,0. 3 - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado 5, h duas solues: a) Se ao 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer. Ex: 14,651 arredondado para 14,7; 14,6502 arredondado para 14,7; 14,650002 arredondado para 14,7. b) Se o 5 for o ltimo algarismo ou se ao 5 s se seguirem zeros, o ltimo algarismo a ser conservado s ser aumentando de uma unidade se for mpar. Exemplos: 132,35 arredondado para 24,4 pois o 3 mpar;132,85 arredondado para 132,8 pois o 8 par; 132,750000 arredondado para 132,8 e 132,45000 arredondado para 132,4. Obs: O arredondamento deve ser feito de uma s vez e no atravs de arredondamentos sucessivos. COMPENSAO Aplicando as regras do arredondamento, podem ser obtidos diferentes resultados, caso o arredondamento seja feito antes ou aps a operao. Veja: 25,32 + 17,85 + 10,44 + 31,17 = 84,78 (efetuando as operaes sem arredondamento) 25,3 + 17,8 + 10,4 + 31,2 = 84,7 (efetuando as operaes aps arredondamento) Entre os dois processos h uma pequena discordncia: a soma exatamente 84,7 quando, pelo arredondamento, deveria ser 84,8. No caso, o resultado aceitvel 84,8. Para evitar diferena entre os resultados, efetua-se a operao com as medidas no arredondadas e aplicam-se as regras de arredondamento no resultado. Conforme dito anteriormente, os valores esprios, ou estranhos, so valores muito altos ou muito baixos, quando comparados com os demais. Esses valores distorcem tanto a mdia como o desvio padro, podendo ser descartados para o clculo desses parmetros. Assim, interessante, separar os valores que dispersam da maioria dos demais valores tabelados e recalcular a nova mdia e o novo desvio padro.A excluso de valores esprios para o clculo de parmetros de uma amostra no significa que esses valores devam ser simplesmente ignorados; a excluso feita apenas para o clculo dos parmetros (mdia e desvio padro), pois eles, em geral, distorcem esses valores.Os procedimentos de excluso de valores esprios devem sempre levar em conta o tamanho da amostra, compensando o maior efeito da presena de valores esprios em amostras menores. No Excel e no StarCalc a varincia e o desvio padro podem ser calculados automaticamente. Para a varincia, em ambos, a frmula VARP() para a amostra e =VAR() para inferncia sobre a populao. No clculo do desvio padro, as frmulas so: - para o Excel= DESVPADP() (desvio padro para a amostra) e = DESVPAD() (para inferncias sobre a populao ou distribuio de freqncias em intervalos) - para o StarCalc, os correspondentes so= DESV.PAD.P() e DESV.PAD(). Aps digitadas as frmulas, clique entre os dois parnteses e selecione as clulas onde esto exibidos os valores da tabela. A seguir pressione a tecla ENTER. EXERCCIOS Para cada um dos conjuntos de valores abaixo, determinar (I) a mdia, (II) a varincia da amostra, (III) a provvel varincia da populao, (IV) o desvio padro da amostra, (V) o provvel desvio padro da populao. (a) 50, 10, 40, 30, 20, 80, 40, 15, 30, 10, 30.(b) 32, 34, 45, 46, 35, 32, 34, 45, 37, 48, 56, 45, 57, 39, 18, 26, 36, 45, 5728 (c) 16, 18, 30, 24, 42, 37, 30, 38, 35, 23, 32, 24, 27(d) 2, 3, 5, 9, 11, 8, 7, 5, 2. 4.6 INTERVALO DE CONFIANA Seja uma distribuio amostral de mdia X e desvio padro s. Esta distribuio dita normal quando o grfico desta distribuio apresentar a forma semelhante indicada na figura abaixo. Numa distribuio amostral aproximadamente normal de se esperar que 68,27% das medidas da amostra estejam no intervalo [ s, + s], 95,45% estejam no intervalo [ 2x, + 2s] e 99,73% estejam no intervalo [ 3x,+ 3s]. Estes intervalos so denominados intervalos de confiana de 68,27%, 95,45% e 99,73%, respectivamente. Os extremos dos intervalos so chamados de limites de confiana de 68,27%, 95,45% e 99,73%. comum representar o intervalo de confiana, com percentual P%, por zs, onde z o coeficiente de confiana. A tabela abaixo mostra valores para coeficientes de confiana e os respectivos percentuais. Conforme dito anteriormente a tabela dever ser usada para uma distribuio normal ou uma distribuio com um tamanho suficientemente grande. Em geral para amostra de tamanho maior ou igual a 30, a distribuio amostral se aproxima de uma distribuio normal. Quando o tamanho da amostra menor que 30, costuma-se usar o coeficiente t de confiana de Student. O coeficiente t depende do grau de liberdade da amostra. Para uma distribuio aproximadamente normal, com amostras de tamanho maior ou igual a trinta, os valores de "z" e de "t" levam praticamente aos mesmos resultados. Considera-se o grau de liberdade de uma amostra de tamanho n como sendo n 1. Ao usar a tabela de Student deve ser observado que a primeira coluna corresponde ao tamanho da 29 amostra menos 1. Veja a tabela de Student na pgina a seguir. EXERCCIOS RESOLVIDOS (1) A mdia e o desvio padro das alturas de 1000 alunos so 1,657 m e 0,012 m. Supondo uma distribuio normal das alturas, determine o intervalo que agrupa 866 das alturas (86,6%) da amostra. Soluo: considerando o tamanho da amostra que de 1000 alunos, deve-se usar o coeficiente "z" que para 86,6% (aproximadamente 86,64%) vale 1,5 (ver tabela de valores para z). Isto resulta em 1,657 + 1,5x0,012 = 1,657 + 1,018. Assim, 866 alturas, provavelmente estaro entre 1,639 m e 1,675 m. Analisando graficamente: No grfico a rea preenchida corresponde a 86,6% da rea total. So ento (1000 866)/2 = 67 alunos com altura superior a 1,675 m e 1,639 alunos com altura abaixo de 1,639. comum usar os limites de confiana para selecionar elementos de um grupo. (2) As notas de 21 alunos de uma classe tm mdia 6,60 e desvio padro 1,50. Provavelmente, quantos alunostiraram notas: (a) entre 5,31 e 7,89? (b) acima de 8,59? Para uma amostra de tamanho inferior a 30 (no caso, o tamanho da amostra 20) usa-se a tabela de distribuio de Student.(a) tomando o limite 7,89 teremos para o produto ts = 7,89 - 6,60 = 1,29. Sendo o desvio padro s = 1,50, o valor de t t = 1,29/1,50 = 0,86.Localizando o valor 0,86 na tabela de Student, para um grau de liberdade igual a 21 - 1 = 20 (lembre que o grau de liberdade igual ao tamanho da amostra menos 1), encontra-se o percentual de 80%.Portanto, 80%x21 = 0,80x21 = 16,8 alunos tero notas entre 5,31 e 7,89. Como no h frao de alunos o nmero de alunos com notas entre 5,31 e 7,89 16.(b) o desvio em relao mdia 8,59 6,60 = 1,99 que corresponde ao produto ts. Como s = 1,50, o valor de t t = 1,99/1,5 = 1,327. Localizando o valor 1,327 para 21 1 = 20 graus de liberdade, obtm-se o valor 90% (usar o valor mais prximo de 1,327 que 1,325).Assim, so 90% dos alunos entre 6,60 1,327x1,5 = 4,61 e 6,60 + 1,327x1,5 = 8,59. Portanto, 100% - 90%= 10% estaro fora desse intervalo. Deste modo, 5% (10%/2) dos alunos tm notas abaixo de 4,61 e 5% dos alunos tero notas superior a 8,59.Concluindo, o nmero de alunos com nota superior a 8,59 5% de 21 = 0,05x21 = 1,05. Como no existe frao de aluno, 1 aluno ter nota superior a 8,59.Veja o grfico correspondente30 4.7 - TABELA DO COEFICIENTE DE CONFIANA (Z) EM PORCENTAGEM Nas clulas em azul esto exibidos os valores de z. Tomando por exemplo o percentual 55,28 (em vermelho) o valor de z 0,76 obtido a partir da linha 0,7 e da coluna 6 que contm o percentual 55,28. Z0123456789 0,00,000,801,602,403,203,984,785,586,387,18 0,17,968,769,5610,3411,1411,9212,7213,5014,2815,08 0,215,8616,6417,4218,2018,9619,7420,5221,2822,0622,82 0,323,5824,3425,1025,8626,6227,3628,1228,8629,6030,34 0,431,0831,8232,5633,2834,0034,7235,4436,1636,8837,58 0,538,3039,0039,7040,3841,0841,7642,4643,1443,8044,48 0,645,1645,8246,4847,1447,7848,4449,0849,7250,3650,98 0,751,6052,2452,8453,4654,0854,6855,2855,8856,4657,04 0,857,6258,2058,7859,3459,9260,4661,0261,5662,1262,66 0,963,1863,7264,2464,7665,2865,7866,3066,8067,3067,78 1,068,2668,7669,2269,7070,1670,6271,0871,5471,9872,42 1,172,8673,3073,7274,1674,5874,9875,4075,8076,2076,60 1,276,9877,3877,7678,1478,5078,8879,2479,6079,9480,30 1,380,6480,9881,3281,6481,9882,3082,6282,9483,2483,54 1,483,8484,1484,4484,7285,0285,3085,5885,8486,1286,38 1,586,6486,9087,1487,4087,6487,8888,1288,3688,5888,82 1,689,0489,2689,4889,6889,9090,1090,3090,5090,7090,90 1,791,0891,2891,4691,6491,8291,9892,1692,3292,5092,66 1,892,8292,9893,1293,2893,4293,5693,7293,8693,9894,12 1,994,2694,3894,5294,6494,7694,8895,0091,5295,2295,34 2,095,4495,5695,6695,7695,8695,9696,0696,1696,2496,34 2,196,4296,5296,6096,6896,7696,8496,9297,0097,0897,14 2,297,2297,2897,3697,4297,5097,5697,6297,6897,7497,80 2,397,8697,9297,9698,0298,0898,1298,1898,2298,2698,32 2,498,3698,4098,4498,5098,5498,5898,6298,6498,6898,72 2,598,7698,8098,8298,8698,9098,9298,9698,9899,0299,04 2,699,0699,1099,1299,1499,1899,2099,2299,2499,2699,28 2,799,3099,3299,3499,3699,3899,4099,4299,4499,4699,48 2,899,4899,5099,5299,5499,5499,5699,5899,5899,6099,62 2,999,6299,6499,6499,6699,6899,6899,7099,7099,7299,72 3,099,7499,7499,7499,9699,9699,7899,7899,7899,8099,80 3,199,8099,8299,8299,8299,8499,8499,8499,8499,8699,86 3,299,8699,8699,8899,8899,8899,8899,8899,9099,9099,90 3,399,9099,9099,9099,9299,9299,9299,9299,9299,9299,94 3,499,9499,9499,9499,9499,9499,9499,9499,9499,9499,96 3,599,9699,9699,9699,9699,9699,9699,9699,9699,9699,96 3,699,9699,9699,9899,9899,9899,9899,9899,9899,9899,98 3,799,9899,9899,9899,9899,9899,9899,9899,9899,9899,98 3,899,9899,9899,9899,9899,9899,9899,9899,9899,9899,98 3,9 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 31 4.8 - TABELA DE DISTRIBUIO DE STUDENT GL - grau de liberdade = tamanho da amostra - 1 EXERCCIOS 1 - Ao pesquisar a variao do comprimento dos pregos produzidos por uma firma obteve-se uma mdia de 10,32 cm e desvio padro 0,12 cm em uma amostra de 2000 pregos. (a) Determine o intervalo de comprimentos que, provavelmente, agrupar 91,08% dos parafusos; GL\%55%60%65%70%75%80%85%90%95%97,5%99%99,5%99,95% 1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 2 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,9204,3036,9659,92531,598 3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,3533,1824,5415,54112,924 4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,1322,7763,7474,6048,610 5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,0152,5713,3654,0326,869 6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,9432,4473,1433,7075,959 7 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,8952,3652,3653,4995,408 8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,8602,3062,8963,3555,041 9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,8332,2622,8213,2504,781 10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,8122,2282,7643,1694,587 11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,7962,2012,7183,1064,437 12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,7822,1792,6813,0554,318 13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,7712,1602,6503,0124,221 14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,7612,1452,6242,9774,140 15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,7532,1312,6022,9474,073 16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,7462,1202,5832,9214,015 17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,7402,1102,5672,8983,965 18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,7342,1012,5522,8783,922 19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,7292,0932,5392,8613,883 20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,7252,0862,5282,8453,850 21 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,7212,0802,5182,8313,819 22 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,7172,0742,5082,8193,792 23 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 1,319 1,7142,0692,5002,8073,767 24 0,127 0,256 0,390 0,531 0,685 0,857 1,059 1,318 1,7112,0642,4922,7973,745 25 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,7082,0602,4852,7873,726 26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,7062,0562,4792,7793,707 27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,856 1,057 1,314 1,7032,0522,4732,7713,690 28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,856 1,056 1,313 1,7012,0482,4672,7633,674 29 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,6992,0452,4622,7563,659 30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,6972,0422,4572,7503,646 40 0,126 0,255 0,388 0,529 0,681 0,851 1,050 1,303 1,6842,0212,4232,7043,551 60 0,126 0,254 0,387 0,527 0,679 0,848 1,046 1,296 1,6712,0002,3902,6603,460 120 0,126 0,254 0,386 0,526 0,677 0,845 1,041 1,289 1,6581,9802,3582,6173,373 >1200,126 0,253 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036 1,282 1,6451,9602,3262,5763,291 32 (b) Determine o nmero de parafusos cujo comprimento esteja compreendido entre 10,08 cm e 10,56 cm. (c) Determine o nmero de parafusos cujo comprimento maior que 10,62 cm. (d) Qual foi o tipo de score (z ou t) usado na resoluo dos itens acima? Justifique. 2 - As alturas de 20 alunos de uma classe apresentam mdia 1,60 m e desvio padro 0,02 m. (a) Determine o intervalo de alturas que, provavelmente, agrupa 90 % dos alunos? (b) Quantos alunos tm, provavelmente, altura superior a 1,64 m? (c) Qual foi o tipo de score (z ou t) usado na resoluo dos itens acima? Justifique. 4.9 INTERVALO DE CONFIANA PARA MDIAS DE UMA POPULAO Ao se calcular a mdia de uma amostra deve-se precisar o intervalo em que se deve encontrar a mdia da populao. Para uma mdiae um desvio padro s da amostra, pode-se demonstrar que a mdia da populao tem um limite de confiana com percentual P para uma populao infinita ou amostragem com reposio de uma populao finita, e para uma populao finita. Para pequenas amostras (n < 30) deve-se substituir o coeficiente z pelo coeficiente t de Student. EXERCCIOS RESOLVIDOS(1) Das arruelas produzidas por uma mquina foi retirada uma amostra de 100 arruelas cujo dimetro mdio 20,000 mm e desvio padro 0,012 mm. Determine o intervalo de confiana de 90,50% para o dimetro mdio de todas as arruelas produzidas por esta mquina. Soluo: para um intervalo de confiana igual a 90,50%, z =1,67 (ver tabela). Como no se conhece o tamanho da populao (total de peas fabricadas pela mquina) pode-se consider-la infinita. Nota: o nmero de casas decimais do desvio dever ser igual ao nmero de casas decimais da mdia.Assim, o intervalo de confiana da mdia de todas as arruelas produzidas pela mquina (20,000 + 0,002) mm, ou seja, existe uma probabilidade de 90,50% de a mdia das arruelas estar entre 19,998 mm e 20,002 mm. (2) Das notas de 1200 alunos de uma escola foram separadas as notas de 200 alunos. A mdia e o desvio padro das notas destes alunos foram, respectivamente, 6,50 e 0,30. Para um intervalo de confiana de 95%, qual dever ser a mdia dos 1200 alunos.Soluo: para o intervalo de confiana de 95%, o valor de z 1,96. Usa-se o z, pois, a amostra superior a 30. Como a populao finita, teremos N = 1200, n = 30, s = 0,30,= 6,50.33 (3) Em um teste de QI, os scores de 10 alunos foram 90, 92, 92, 95, 98, 99, 100, 100, 100, 117. Calcule, para um limite de confiana de 95%, a mdia esperada para todos os alunos desta escola. Soluo: como a amostra inferior a 30, devemos utilizar o coeficiente "t" de Student, que para um intervalo de confiana de 95% vale 1,372.Calculando a mdia e o desvio padro da amostra obtm-se:= 98,30 e s = 7,59. No conhecendo o tamanho da populao, a frmula a ser usada : Portando, para um intervalo de confiana de 95%, a mdia dos QIs dos alunos desta escola est entre 95,01 e 101,59. EXERCCIOS 1 Em uma plantao de milhos foram retiradas 500 espigas das quais verificou-se que o peso tinha mdia 256 g com desvio padro 14 g. Determine o intervalo de confiana de 90,50% para o peso mdio de todas as espigas da plantao. 2 Dos 5000 livros de uma biblioteca foi retirada uma amostra de 300 livros. O nmero de pginas dos livros da amostra apresentava uma mdia de 200 pginas com desvio padro 10 pginas. Faa uma previso para a mdia dos 5000 livros em um intervalo de confiana de 87,88%. 3 comum usar um prato como tara em restaurantes self-service de modo que ao pesar a quantidade de alimento usada pelo cliente seja registrado na balana somente o peso do alimento. Ao determinar a mdia e o desvio padro do peso de 16 pratos verificou-se que estes valiam 420 g e 20 g, respectivamente. A partir destes valores, calcule, para um intervalo de confiana de 90%, a mdia dos pratos usados pelo restaurante. 4 Com relao ao exerccio anterior, se a tara usada foi de 430 g, qual a probabilidade do prato que voc usar ser mais pesado que a tara? 34 CAPTULO 5 ESTATSTICA II 5.1 DISTRIBUIO DE FREQNCIA Os parmetros estatsticos como mdia, varincia, desvio padro, etc, ficam mais fceis de serem obtidos se as medidas da amostra forem agrupadas.Duas so as formas de agruparem os dados: (a) para variveis discretas em que o nmero de elementos distintos pequeno, e, (b) para variveis contnuas, ou quando o nmero de elementos muito grande. No primeiro caso, as medidas de mesmo valor so agrupadas em classes distintas. Ao nmero de vezes que cada elemento se repete chamamos de freqncia da classe, que se indica pela letra f. Para a tabela, Temos 12 classes que so: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 cujas freqncias so respectivamente: 3, 2, 1, 3, 2, 3, 2, 0, 5, 2, 2, 2. Pode-se ento, construir a tabela de classes: No segundo caso, as classes so formadas por intervalos. So elementos de uma distribuio de freqncia com dados agrupados em intervalos: (1) Xmax o maior valor exibido na tabela; (2) Xmin menor valor exibido na tabela(3) AA amplitude da amostra, calculada por AD = Xmax Xmin. (4) k n de classes A escolha do nmero de classes depende da anlise que se pretende fazer da amostra. Portanto, no h uma regra definida obrigatria para esta escolha. Entretanto, alguns analistas utilizam regras para determinar o nmero de classes. Entre estes processos destacam-se: (a) frmula de Sturges:k = 1 + 3,3.log n onde n o tamanho da amostra. 211015182814111616 151420181913121011 111820151313191821 ClasseFreqncia 103 112 121 133 142 153 162 170 185 192 202 212 35 (b) frmula da raiz quadrada: k = maior nmero inteiro, menor ou igual n, onde n o tamanho da amostra. (5) Li limite inferior da classe. Deve-se, de preferncia, escolher para o limite inferior da primeira classe um valor igual menor medida tabelada. (6) Ls limite superior da classe. O limite superior, com exceo do pertencente ultima classe, coincide com o limite inferior da classe seguinte. (7) AI amplitude do intervalo de classe, definido por AI = Ls Li. (8) Lmin limite inferior do primeiro intervalo de classe (9) Lmax limite superior do ltimo intervalo de classe (10) AD amplitude da distribuio, definida por AD = Lmax Lmin. Deve-se observar que a amplitude da distribuio dever ser sempre maior que a amplitude da amostra. Isto AD > AA. (11) IC - Intervalo de classe, indicado por Li |------ Ls. A forma indicada usada para representar um intervalo fechado esquerda e aberto direita. Isto significa que as medidas de valores iguais ou maiores que Li e inferiores a Ls pertencem ao intervalo enquanto que valores iguais a Ls pertencem ao intervalo seguinte. (12) PM ponto mdio da classe, calculado por PM = (Ls +Li)/2. Nos clculos dos parmetros estatsticos o ponto mdio da classe substitui todos os valores contidos na classe. Um cuidado especial deve ser tomado ao estabelecer a diviso em classes de modo que nenhuma das classes tenha freqncia igual a zero. EXEMPLO: A tabela abaixo se refere ao levantamento feito pelo gerente de uma papelaria sobre os preos de artigos mais vendidos com os objetivos de prever o aumento do estoque e investir em propaganda tendo em vista os interesses dos clientes. Dividir convenientemente a tabela em intervalos de classe. Soluo: Para facilidade de contagem aconselhvel ordenar os valores da amostra. 0,500,981,251,982,122,893,243,23 0,500,991,281,992,122,993,324,24 0,601,091,291,992,122,993,424,56 0,601,091,351,992,122,993,454,56 0,871,121,351,992,152,993,454,56 0,901,151,391,992,192,993,454,56 0,901,191,562,002,243,123,995,00 0,951,221,702,022,243,124,125,15 0,951,241,892,122,393,154,145,15 0,971,241,902,122,673,154,155,54 ATENO: os valores podem ser ordenados usando o EXCEL ou o STARCALC.Para ordenas os valores, digite-os em uma mesma coluna. A seguir selecione a coluna. Clique no boto DADOS. A seguir clique na opo CLASSIFICAR (EXCEL) ou ORDEM (STARCALC). Clique no boto OK. (1) Escolhendo o nmero de classes: 0,984,561,352,391,192,190,500,971,563,42 1,150,601,981,993,152,002,990,902,150,90 2,122,123,122,991,701,993,451,225,152,02 0,605,544,121,291,281.904,562,991,093,45 3,230,873,991,391,352,993.453,125,002,67 1,241,120,992,123,244,563,154,152,241,09 5,154,240,502,123,321,891,992,124,561,25 0,952,991,242,244,142,122,891,990,951,99 36 Conforme foi dito, a escolha depende dos objetivos da anlise estatstica a ser feita. Como os objetivos no esto definidos, ser usado o processos de Sturges: Tamanho da amostra n = 80,k = 1 + 3,3.log 80 = 7,28. Como o nmero de intervalos deve ser inteiro, k = 8. (2) Calculando a amplitude de cada classe: Amplitude da amostra: Xmax = 65,70, Xmin = 0,50 AA = 5,54 0,50 = 5,04 Amplitude de classe: AC = AA/k = 5,04/8 = 0,63. (3) Criando as classes: 1 classe: Li = 0,50; Ls = 0,50 + 0,63 = 1,13. O limite inferior de classe igual ao limite inferior da classe anterior somado amplitude da classe. Da mesma forma, o limite superior de cada classe igual ao limite superior da classe anterior somado amplitude de classe. Alm disso, o limite inferior de uma classe igual ao limite superior da classe imediatamente anterior. Obtm-se assim, a distribuio: Como o limite superior da ltima classe coincide com o maior valor da tabela, deve-se usar uma amplitude de classe ligeiramente superior ao valor calculado. Assim, substituindo a amplitude 0,63 por 0,64, cria-se a nova tabela: Estando a diviso das classes pronta, hora de completar a distribuio com as freqncias, lembrando que valores iguais a limites inferiores pertencem classe correspondente.Assim, completando a distribuio: 5.2 PARMETROS ESTATSTICOS PARA DADOS AGRUPADOS Lim. Inf.Lim. Sup. 0,50|---------1,14 1,14|---------1,78 1,78|---------2,42 2,42|---------3,06 3,06|---------3,70 3,70|---------4,34 4,34|---------4,98 4,98|---------5,62 Lim.infLim. sup 0,50|-----------1,13 1,13|-----------1,76 1,76|-----------2,39 2,39|-----------3,02 3,02|-----------3,65 3,65|-----------4,28 4,28|-----------4,91 4,91|-----------5,54 Lim. SupLim. Sup.Freqncia 0,50|-----1,1415 1,14|-----1,7813 1,78|-----2,4221 2,42|-----3,06 7 3,06|-----3,7010 3,70|-----4,34 6 4,34|-----4,98 4 4,98|-----5,62 4 TOTAL 80 37 Sejam x1, x2, x3,..., xn os valores que representam as classes de uma distribuio de dados e f1, f2, f3, ..., fn as respectivas freqncias. Quando as classes so representadas por intervalos, x1, x2, x3,..., xn so os pontos mdios das classes. Definem-se: (1) MDIA DA AMOSTRA = = (2) MODA

Medida que apresenta a maior freqncia. No caso de classes representadas por intervalos, a moda o ponto mdio da classe com maior freqncia. (3) MEDIANA Amedianaamedidadoelemento(ouosdoiselementos)queseencontranomeioda listagem das medidas, aps orden-las. Para o caso de uma quantidade mpar, a mediana o valor damedidadeordem(n+1)/2eparaumaquantidadepardemedidas,amedianaovalorda mdia das medidas de ordem n/2 e (n/2) + 1. Para distribuio em classes definidas por intervalos, a mediana indicada pelo ponto mdio da classe. Um procedimento que facilita a localizao da mediana consiste em acrescentar na tabela uma coluna contendo a freqncia acumulada, que consiste na soma das freqncias da classe somada s freqncias das classes anteriores. No EXCEL e no STARCAL, a freqncia acumulada pode ser obtida a partir do processo: - digita-se a coluna das freqncias. Suponhamos que a freqncia da primeira classe esteja na clula C3. - na clula D3, digita-se =C3 - na clula D4, digita-se =D3 + C4 - seleciona-se a clula D4 clicando sobre ela. - posicionando o mouse sobre o quadrinho no canto inferior direito da clula selecionada e mantendo o boto esquerdo do mouse pressionado, arrasta-o at a clula da coluna D frente da clula contendo a ltima freqncia. (4) VARINCIA

v = =

(5) DESVIO PADRO s =v O clculo para a mdia, a varincia e o desvio padro esto editadas em aplicativos. EXERCCIOS 01 As notas obtidas em Matemtica pelos alunos da 3 srie do ensino mdio de certa escolaforam tabuladas agrupadas em intervalos conforme indicado na tabela: Notas0 a 22 a 44 a 66 a 88 a 10 N alunos510182510 x1f1 + x2f2 + .... + xnfn xi.fi f1 + f2 + . + fnfi i = 0 n X (x1 X)2.f1 + (x2 X)2.f2 + + (xn X)2.fn n - 1 i = 0 n (xi X)2.fin - 1 38 (a) Qual a amplitude da tabela? (b) Qual a amplitude de cada classe?(c) Calcule o ponto mdio de cada classe? (d) Calcule a mdia, a mediana, a moda e o desvio padro desta distribuio? (e) Usando a mdia com apenas uma casa decimal,e supondo que alunos cujas notas sejam igual ou superior mdia mais 1,3 -( + 1,3) -ficam dispensados da prova final, quantos alunos estaro dispensados desta prova? (f) Se os alunos que tm notas 1,7 abaixo da mdia ( 1,7) esto reprovados sem direito prova final, quantos alunos j estariam reprovados? 02 Supondo que os alunos cujas notas esto tabeladas no exerccio anterior representem uma amostra de uma populao de 200 alunos, calcule, para um limite de confiana de 95%, a mdia esperada para todos os alunos desta escola. 03 As idades de um grupo de pessoas selecionadas em certa pesquisa esto distribudos na tabela: (a) escolha um nmero de classes para analisar os dados? (b) Calcule a amplitude de cada classe. (c) Faa a tabulao dos dados distribuindo-os pelas classes. (d) Calcule a mdia, a mediana, a moda e o desvio padro. (e) Quantos elementos pertencem ao intervalo+s ? (f) calcule, para um limite de confiana de 90%, a mdia das idades da populao. (g) calcule a moda e a mediana da distribuio 04 Para cada uma das tabelas

Calcule: (a) a mdia amostral das notas e o salrio mdio amostral; (b) o desvio mdio das notas e o desvio mdio dos salrios (c) a mdia das notas da populao e a mdia dos salrios da populao, para um intervalo de confiana de 97,5%. (d) a moda e a mediana da distribuio. 05 A tabela mostra o nmero de alunos matriculados no perodo de 1993 a 2003 em universidades pblicas e privadas. Fonte UFJF. 211015182214111624102823 151420181913121011262718 111820352713191821221112 Ano Total Pblica Privada 19933,76,62,4 19943,97,32,4 19954,37,92,9 199647,52,6 19973,97,42,6 19983,67,52,2 19993,582,2 39 Considerando a coluna referente universidade pblica, divida a amostra em quatro intervalos. (a) Qual a amplitude da amostra? (b) Qual a amplitude de cada intervalo? (b) Qual a mdia, a moda, a mediana, a varincia e o desvio padro da amostra? 06 A tabela mostra a avaliao feita pelo MEC em 30 universidades brasileiras. Fonte UFJF Utilize a diviso em classes de intervalos, para determinar: (a) A mdia e o desvio padro do ndice e do n de cursos. (b) Qual o percentual das universidades que apresentam no intervalo + 1,5s?(c) Compare com o resultado que seria obtido se fossem usados o coeficiente z e o coeficiente t de Student. (d) Supondo que a distribuio dos ndices e do nmero de cursos seja uma distribuio normal, qual seria, num intervalo de confiana de 95%, a mdia dos ndices de todas as universidades e a mdia do nmero de cursos de todas as universidades? (e) Qual a mediana da distribuio? Repita os itens (a) e (b) para a coluna referente universidade privada. 07 A tabela mostra a variao do dlar no perodo de 01/10/2004 a 17/12/2004. Valores da tabela em reais. Class InstituioStatusndiceN Cursos 1UFMG Fed 92,324 2UFU Fed 92,212 3UFRS Fed 9232 4UFRJ Fed 90,816 5UNB Fed 90,849 6UFJF Fed 9021 7UFSM Fed 87,724 8UFV Fed 85,722 9UERJ Est 84,822 10UNIOESTE Est 84,516 11Univ. R. Grande Fed83,532 12UFPR Fed 83,126 13Univ. Maring Est82,740 14PUC - RJ Priv 82,553 15UFCE Fed 81,725 2,852,832,852,862,832,762,742,77 2,852,832,852,862,822,762,732,77 2,852,842,852,862,822,762,712,79 2,832,862,852,832,802,772,722,79 2,822,862,882,822,802,742,712,79 2,842,862,872,822,802,752,712,77 2,852,862,862,822,802,752,712,76 2,822,852,862,822,782,732,722,75 2,822,872,862,822,772,732,732,73 2,822,882,862,832,762,732,772,72 Class InstituioStatusndiceN Cursos 16UNESP Est 80,416 17UFES Fed 8024 17UFBA Fed 8026 19U. Caxias do Sul Priv 79,522 20Univ. Mackenzie Priv 78,831 21UFGO Est 78,817 22U. Centro-Oeste Est 78,214 23UNIMONTES Est 78,229 24U. Ponta Grossa Est 78,120 25UFSC Fed 77,526 26UNICAMP Est 76,324 27U. Est da Bahia Est 75,524 28UFPE Fed 7523 29C. Newton Paiva Priv 73,325 30PUC - RS Priv 73,126 40 Sugesto: Selecione cada uma das colunas (individualmente), copie e cole-as numa mesma coluna no EXCEL ou no STARCALC para facilitar a ordenao. Calcule: (a) o valor mdio do dlar no perodo. (b) o desvio padro(c) o nmero de dias em que o dlar foi cotado entre 2,75 e 2,81. 08 A tabela mostra os valores do ndice econmico TBF.(Taxa bsica financeira) Conforme sugesto do item anterior, ordene os dados no EXCEL ou no STARCAL. Calcule, usando os processos de medidas discretas e o processo da diviso em intervalos: (a) o valor mdio dirio do ndice TBF (b) a varincia e o desvio padro. (c) o percentual em que os ndices estiveram entre + 1,2s. (d) consulte a tabela dos coeficientes z e t e confira percentual com o obtido no item (c). 09 - Em um ms, uma loja de assistncia tcnica em computares recebeu os seguintes servios: Tipo do servioPreo p/ servio (R$) Quantidade Limpeza de vrus30,001000 Troca de HD45,00450 Troca de placa me60,00600 DIAJANFEVMARABRMAIJUNJULAGOSETOUTNOVDEZ 11,211,051,311,131,181,221,251,261,101,171,191,43 21,191,101,331,081,231,211,191,321,211,171,201,37 31,201,081,331,021,301,211,191,311,151,171,271,27 41,261,111,271,081,311,131,241,291,081,221,301,29 51,331,111,211,131,291,071,301,261,141,231,201,36 61,341,111,211,141,251,131,311,201,191,201,151,44 71,331,041,271,131,161,191,301,201,201,151,211,45 81,281,041,321,141,161,211,241,201,261,111,281,43 91,211,111,291,091,231,201,141,261,251,101,281,36 101,201,111,291,091,301,171,161,251,191,161,301,32 111,261,111,201,141,241,131,221,261,151,201,281,33 121,311,111,161,211,351,111,301,201,211,221,241,39 131,321,111,161,201,190,171,311,151,231,301,171,46 141,321,051,221,201,131,271,321,151,181,241,231,42 151,251,051,291,191,131,261,261,201,231,201,30161,191,111,261,111,191,261,131,261,211,131,35171,201,111,291,071,251,241,161,261,181,191,37181,251,111,211,121,241,201,221,281,121,241,35191,321,091,151,191,251,141,311,201,181,22201,281,101,151,171,191,201,301,141,241,25211,311,011,211,181,131,251,321,141,191,21221,271,011,211,251,131,251,231,201,221,13231,231,061,181,191,191,241,201,261,201,13241,171,121,221,131,261,261,191,261,171,19251,171,141,161,191,261,181,251,261,101,26261,221,211,061,241,251,141,311,211,161,27271,231,221,071,251,221,201,321,131,211,25281,211,151,131,251,151,261,311,141,211,211,24291,181,151,211,251,141,251,231,201,231,161,30301,111,201,211,171,201,261,211,271,251,141,37311,051,251,191,121,251,251,201,271,171,201,37 41 Up grade50,00350 Instalao de programas25,00250 Qual o preo mdio cobrado por servio? 10 - Encontrar a freqncia correspondente terceira classe da distribuio a seguir,sabendo-se que a mdia igual a 11,50.