EST56 - Tópico 2

8/13/2019 EST56 - Tópico 2

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EST - 56

DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE

Prof. Airton Nabarrete

Aula 2: Resposta de sistemas com 1 G.D.L.

Instituto Tecnológico da AeronáuticaInstituto Tecnológico da Aeronáutica1

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LIBERDADE


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Sistema com 1 grau de liberdade

t F t xk t xct xm

Normalização da equação de equilíbrio:

t F t x

k t x

ct x

)(

t F k )(ou

mmm m

mm nn freqüência natural não-amortecida

k

t F t xe

)()( deslocamento estático equivalente


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22 t xt xt xct x m

nc

cc

nc mc 2

nm

c 2 )()()(2)( 22

t xt xt xt x ennn


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22 ennn

• a din mica de um sistema de um grau deliberdade é inteiramente caracterizada por doispar me ros: e n.

• e externa e não com as propriedades do sistema


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cc

kmm n 22

• re amen e proporc ona a v scos a e• inversamente proporcional raiz da massa

• inversamente proporcional raiz da rigidez

, .

• em estruturas de aço, ~0.02 ( 2%) (Bismarck-Nasr, 1999)


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Solução da equação de equilíbrio:

solu ão da e ua ão homo ênea associada

PROBLEMA DE VIBRAÇÃO FORÇADA

solução particular

solu ão homo ênea + solu ão articular


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a) solução da equação homogênea equivalente

x x x hnhnh

so uç o par cu ar )()()(2)(

22t xt xt xt x

c solu ão eral)()()( t xt xt x h p

con ç es

iniciais


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)()()(2)( 22 t xt xt xt x ennn

•

t xe

livre • não amortecida

0)( t xe vibração • periódica

• rans en e


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VIBRAÇ O LIVRE: xe(t ) = 0

= u

movimento é devido às condi ões iniciais

0)()(2)( 2 t xt xt x hnhnh

0)0( x x condi ões0)0( v x iniciais


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Vibrações Livres sem amortecimento

c = 0 Sistema idealNão há dissipação de energia!

02 x x n

CONDIÇÕES INICIAIS :

0)0( x x m

x x0

0v x x


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x

m

k

A

Am litude

+

t [rad ]

cos t t x-

2

= freqüência circular (rad/s)

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A licando as condi ões iniciais:

)sin(0)cos(0 00 n Av x A x x

)sin()sin()cos()cos(

01

2

02 vv

0

0 xnn


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Vibrações Livres com amortecimento

m

t xt xt x hnhnh

nm

2

k

Solução da Eq. diferencial: Transformada de Laplace

v xss xs x 00

2L

2

s x x nn

nn

22

0

L

nn


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02 2 x x x L

22

00

2)(

nn

n

sss x

Equação característica : 02 22 nn ss

2

21 1 nn is

As raízes são :

ns )Re( 2,1

22,1 1)Im( ns


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2

ns 2,1

d

nn

2,1

ns 2,11

11 2

2,1 ns


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2

C C

n

21 sssss x

d ns 2,1

t AeeC eC t x d

t t st s n cos21

21

001

2

002 xv xv nn 0

0 xd d


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amor ec men o su -cr co: <

t x t n A )cos( t

amplitude termo harmônico de

amortecida d


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amor ec men o su -cr co: <

0 < < 1


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002 n v xs

22 2 nn ss

ns 2,1 02 222 nnn sss

C C 21 t t nn

nnss

2 21

t v x xet x n

t n

000


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22 nn

2

2

1

1

sssss x

122,1 ns

12 n

xv

xe x n

s ncos0


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-

= 1

>


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Vibrações Livres com Atrito Seco

x

dx

k

+- dt

N

- k x d= - mg

2

02

dt

paramg xk dt

m

02

2

2

xdx

sinalg xd

n


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x

k

+- xdt

m- k x

F d= mg

mg

mg xk

xd

m

dx

Se

2

2

0

O sinal da força de atrito mudou !!!


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A solução do primeiro meio ciclo considera queapós deslocar x0, a velocidade é negativa.

0cos0 03300 k

x Ak

A x x x

cos44

xn

k t

k xt x n

cos0Primeiro meio ciclo :

Amplitude final :

mg

x x

201


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A solução do segundo meio ciclo considera queapós deslocar x1, a velocidade é positiva.

3cos0 01111 k

x Ak

A x x x

cos22

xn

k t

k xt x n

cos30

No segundo meio ciclo:

Amplitude final :k

mg x x

402


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mg k

n

o parar, a orça e res auraç o a mo a menorque .gm

Para se determinar o número de meio ciclos, faz-se:

mggm

r x

20

r = número de meio ciclos.


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