EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5

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Esta aula:

Teorema de Thévenin,

Teorema de Norton.

Suponha que desejamos determinar a tensão (ou

a corrente) em um único bipolo de um circuito,

constituído por qualquer número de fontes e de

outros resistores.

R

i

vR

i

vR

i

v

O Teorema de Thévenin nos diz que podemos

substituir todo o circuito, com exceção ao

bipolo em questão, por um circuito equivalente

contendo uma fonte de tensão em série com um

resistor.

Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que

podemos substituir todo o circuito, com

exceção ao bipolo em questão, por circuito

equivalente contendo uma fonte de corrente em

paralelo com um resistor.

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R

i

v

Teorema de

TheveninTeorema de

Norton

R

i

vThvThR

R

i

vNi NR

R

i

vR

i

vR

i

v

Teorema de

TheveninTeorema de

Norton

R

i

vThvThR

R

i

vThvThR

R

i

vNi NR R

i

vNi NR

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Consideremos um circuito elétrico que foi

rearranjado na forma de outros dois circuitos,

denotados por A e B.

Circuito A: deve ser um circuito linear:

fontes independentes,

bipolos lineares e

fontes dependentes lineares.

Circuito B: pode conter também elementos não

– lineares.

Restrição importante: Nenhuma fonte

dependente do circuito A pode ser controlada

por uma corrente ou tensão do circuito B e vice

versa.

Circuito

B

Circuito

B

Circuito

Equivalente

Thèvenin do

circuito A

Circuito

A

Circuito

B

Circuito

B

Circuito

Equivalente

Thèvenin do

circuito A

Circuito

A

Circuito

B

Circuito

B

Circuito

B

Circuito

B

Circuito

Equivalente

Thèvenin do

circuito A

Circuito

A

Circuito

A

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Teorema de Thévenin:

Defina uma tensão cav como a tensão que

aparece nos terminais de A se o circuito B é

desconectado, de forma que nenhuma corrente

fluí do circuito A para o circuito B. Então, as

tensões e correntes em B permanecerão

inalteradas se desativarmos todas as fontes

independentes de A e uma fonte de tensão cav

for conectada em série com o circuito A

“desativado”.

Desativar fontes:

Substituir fontes independentes de corrente

por circuitos abertos,

Substituir fontes independentes de tensão

por curto-circuitos.

Circuito

B

Circuito A

desativado

ccv

Nenhuma fonte de

tensão ou corrente

Circuito

B

Circuito

B

Circuito A

desativado

Circuito A

desativado

ccv

Nenhuma fonte de

tensão ou corrente

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Teorema de Norton

Defina uma corrente cci como a corrente que

flui nos terminais de A se os pontos de conexão

entre A e B são curto-circuitados, de forma que

nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as

tensões e correntes em B permanecerão

inalteradas se desativarmos todas as fontes

independentes de A e uma fonte de corrente cci

for conectada em paralelo com o circuito A

“desativado”.

Circuito

B

Circuito A

desativadocci

Nenhuma fonte de

tensão ou corrente

Circuito

B

Circuito

B

Circuito A

desativado

Circuito A

desativadocci

Nenhuma fonte de

tensão ou corrente

Consideremos o circuito abaixo, para o qual

desejamos determinar os equivalentes de

Thévenin e de Norton sob o ponto de vista o

resistor 1R .

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V4

mA2

k2 k3

k11RV4

mA2

k2 k3

k11R

Tensão em aberto:

V4

mA2

k2 k3

cav1i

mA21 i

V8

1021024 33

cavV4

mA2

k2 k3

cav1i

mA21 i

V8

1021024 33

cav

Resistência do circuito desativado:

k2 k3

k5

k2 k3

k5

Portanto, o circuito redesenhado com o

equivalente de Thévenin é:

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V8

k5

k11RV8

k5

k11R

Para construir o equivalente de Norton,

precisamos determinar a corrente de curto-

circuito:

V4

mA2

k2 k3

1i 2i

212 ii

0324 21 ii

mA6,12 ccii

cciV4

mA2

k2 k3

1i 2i

212 ii

0324 21 ii

mA6,12 ccii

212 ii

0324 21 ii

mA6,12 ccii

cci

Finalmente, o circuito com o equivalente de

Norton é:

k5 k11R

,6mA1

k5 k11R

,6mA1

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Note que o equivalente de Norton pode ser

obtido a partir do equivalente de Thévenin (e

vice-versa) por meio de princípio da

equivalência entre fontes de tensão e de

corrente reais.

Consideremos agora um circuito com uma fonte

de corrente dependente linear, cujo equivalente

de Thévenin estamos interessados:

V4

4000xv

k2 k3

xv

A

B

V4

4000xv

k2 k3

xv

A

B

Tensão em aberto:

A tensão de circuito aberto é a própria tensão de

controle da fonte de corrente, ou seja xca vv .

Então, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões

na malha (note que há apenas uma!), temos:

V804000

k24 caxxx vvv

v

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Resistência do circuito desativado, entre A e

B:

4000xv

k2 k3

xv

?ThR

A

B

4000xv

k2 k3

xv

?ThR

A

B

Note que não conseguimos calcular a

resistência entre A e B devido à presença do

gerador de corrente.

Porém, podemos determinar essa resistência

indiretamente, por meio da relação entre os

equivalentes de Thévenin e de Norton:

cav R cci

R

cc

ca

i

vR

cav R cci

R

cc

ca

i

vR

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Portanto, precisamos determinar cci .

V40

4000xv

k2 k3

0xv

V4

k2 k3cci

mA8,0

A5000

4

cci

V40

4000xv

k2 k3

0xv

V4

k2 k3cci

mA8,0

A5000

4

cci

Finalmente,

k10108,0

83

R , e

V8 k10 mA8,0

k10

V8 k10 mA8,0

k10