ESTABILIDADE E SÍNTESE DE CONTROLADORES PARA … · “Um livro é um mudo que fala, um ... A...

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEE

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO"

FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

ESTABILIDADE E SÍNTESE DE CONTROLADORES PARA

SISTEMAS LINEARES INCERTOS

Dissertação apresentada à Faculdade de

Engenharia de Ilha Solteira da Universidade

Estadual Paulista -UNESP, como parte dos

requisitos necessários para obtenção do

título de Mestre em Engenharia Elétrica.

Eden Jair Rampazzo Junior Engenheiro Eletricista – UFU/ Uberlândia

Orientador: Prof. Dr. Edvaldo Assunção – FEIS / UNESP

Co-orientador: Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira – FEIS / UNESP

Ilha Solteira, Abril de 2004.

i

Aos meus pais e irmãos que sempre

me apoiaram em todas as etapas da

minha vida e à minha namorada

Miriam: alegria de viver.

ii

AGRADECIMENTOS

Presto-me os sinceros agradecimentos:

_ Ao programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica da Universidade

Estadual Paulista (UNESP) por proporcionar-me a realização e conclusão de

mais um objetivo de minha vida;

_ À CAPES pelo apoio financeiro, indispensável para tranqüilidade financeira e a

realização de um bom trabalho de pesquisa;

_ Aos professores que sempre me auxiliaram nos momentos de dúvidas;

_ Às pessoas que no decorrer dessa jornada tornaram-se amigas, companheiras e

me apoiaram nas horas difíceis;

_ Ao Prof. Dr. Edvaldo Assunção sou especialmente grato, pela orientação que

conduziu me à realização e conclusão deste trabalho, sempre com paciência,

dedicação e amizade;

_ Ao Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, em sua imensa bondade,

agradeço pelas importantes contribuições oferecidas como amigo e co-

orientador e finalmente, agradeço todas as pessoas que direta ou indiretamente

contribuíram para a realização deste trabalho.

iii

“Um livro é um mudo que fala, um

surdo que responde, um cego que

guia, um morto que vive”.

(Padre Antônio Vieira)

iv

RESUMO

Neste trabalho uma nova caracterização da estabilidade projetiva é desenvolvida,

cuja metodologia é inédita e envolve um processo que torna a matriz simétrica X e o

controlador K mais relaxados. A matriz X, positiva definida, é relaxada, utilizando o conceito

de politopo convexo, não apenas em relação às incertezas da planta do sistema, mas também

em relação ao politopo das condições iniciais. Já o controlador K, é um politopo convexo

somente em relação ao politopo das condições iniciais.

A análise da estabilidade e a síntese de controladores para sistemas dinâmicos

incertos são equacionadas utilizando-se desigualdades matriciais lineares, permitindo neste

trabalho calcular o valor máximo da amplitude do sinal de saída e determinar a região de

factibilidade em função das incertezas do sistema.

O número de regiões factíveis e os valores da amplitude dos sinais de saída

calculados para o critério de estabilidade projetiva, proposto por Apkarian et al., (2001)

relaxando a matriz X(α) para X(α,β) e o controlador K para K(β), pode chegar ao acréscimo

de aproximadamente 23% na área factível e reduzir até 8% a amplitude do sinal de saída. Tais

valores são calculados em relação ao critério de estabilidade quadrática, baseado na teoria de

estabilidade de Lyapunov.

v

ABSTRACT

In this work a new characterization of the projective stability is developed, whose

methodology is original and it involves a process that allows the symmetric matrix X and the

controller K to be more relaxed. The matrix X, positive defined, is relaxed using the concept

of convex polytope, not only in relation to the uncertainties of the plant of the system, but also

in relation to the polytope of the initial conditions. Already controller K, is only a convex

polytope in relation to the initial condition.

The analysis of the stability and the design of controllers for uncertain dynamic

systems are put in the form of equations using the linear matrix inequalities, allowing in this

work to calculate the maximum value of the output sign and to determine the feasible area as

function of the uncertainties of the system.

The number of feasible areas and the values of the output signal calculated for the

stability projective criterion, proposed by Apkarian et al., (2001) relaxing the matrix X(α) for

X(α, β) and the controller K for K(β), it can arrive to the increase of approximately 23% in

the feasible area and to reduce until 8% the output signal. Such values are calculated in

relation to the quadratic stability criterion, based on the theory of stability of Lyapunov.

vi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Politopo cúbico da condição inicial. ................................................................... 10

Figura 2.2: Politopo cúbico, Figura 2.1, circunscrito pelo elipsóide invariante, equação

(2.26). ............................................................................................................... 10

Figura 2.3: Flexibilização de matriz X com relação às incertezas dos politopos A(α) e

x0(β).................................................................................................................. 18

Figura 2.4: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade

quadrática (Ai, X) e projetiva (Ai, Xi).................................................................. 26


quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xi) e condição inicial. ...................................... 27


quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xij) e condição inicial....................................... 27


quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xi), condição inicial e otimização de ξ0............ 28


quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xij), condição inicial e otimização de ξ0. .......... 28

Figura 4.1: C.E.Q ( A1 e x1(0) )............................................................................................. 57

Figura 4.2: C.E.P ( A1 e x1(0) ). ............................................................................................ 57

Figura 4.3: C.E.Q ( A1 e x2(0) )............................................................................................. 57

Figura 4.4: C.E.P ( A1 e x2(0) ). ............................................................................................ 57

Figura 4.5: C.E.Q ( A1 e x3(0) )............................................................................................. 57

Figura 4.6: C.E.P ( A1 e x3(0) ). ............................................................................................ 57

Figura 4.7: C.E.Q ( A1 e x4(0) )............................................................................................. 58

Figura 4.8: C.E.P ( A1 e x4(0) ). ............................................................................................ 58

Figura 4.9: C.E.Q ( A2 e x1(0) )............................................................................................. 58

Figura 4.10: C.E.P ( A2 e x1(0) )............................................................................................ 58

Figura 4.11: C.E.Q ( A2 e x2(0) ). .......................................................................................... 58

Figura 4.12: C.E.P ( A2 e x2(0) )............................................................................................ 58

Figura 4.13: C.E.Q ( A2 e x3(0) ). .......................................................................................... 59

Figura 4.14: C.E.P ( A2 e x3(0) )............................................................................................ 59

Figura 4.15: C.E.Q ( A2 e x4(0) ). .......................................................................................... 59

Figura 4.16: C.E.P ( A2 e x4(0) )............................................................................................ 59

vii

Figura 4.17: C.E.Q ( A3 e x1(0) ). .......................................................................................... 59

Figura 4.18: C.E.P ( A3 e x1(0) )............................................................................................ 59

Figura 4.19: C.E.Q ( A3 e x2(0) ). .......................................................................................... 60

Figura 4.20: C.E.P ( A3 e x2(0) )............................................................................................ 60

Figura 4.21: C.E.Q ( A3 e x3(0) ). .......................................................................................... 60

Figura 4.22: C.E.P ( A3 e x3(0) )............................................................................................ 60

Figura 4.23: C.E.Q ( A3 e x4(0) ). .......................................................................................... 60

Figura 4.24: C.E.P ( A3 e x4(0) )............................................................................................ 60

Figura 4.25: C.E.Q ( A4 e x1(0) ). .......................................................................................... 61

Figura 4.26: C.E.P ( A4 e x1(0) )............................................................................................ 61

Figura 4.27: C.E.Q ( A4 e x2(0) ). .......................................................................................... 61

Figura 4.28: C.E.P ( A4 e x2(0) )............................................................................................ 61

Figura 4.29: C.E.Q ( A4 e x3(0) ). .......................................................................................... 61

Figura 4.30: C.E.P ( A4 e x3(0) )............................................................................................ 61

Figura 4.31: C.E.Q ( A4 e x4(0) ). .......................................................................................... 62

Figura 4.32: C.E.P ( A4 e x4(0) )............................................................................................ 62

viii

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Valores máximos de ξ0 para o C.E.Q com as matrizes Ai e X. ........................... 29

Tabela 2.2: Valores máximos de ξ0 para o C.E.P com as matrizes Ai e Xi. ........................... 29

Tabela 2.3: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 2.2 (C.E.P com

Ai e Xi) e na Tabela 2.1 (C.E.Q com Ai e X). ...................................................... 29

Tabela 2.4: Valores máximos de ξ0 para C.E.Q com as matrizes Ai e X. ............................... 29

Tabela 2.5: Valores máximos de ξ0 para o C.E.P com as matrizes Ai e Xij. ........................... 29


Ai e Xij) e na Tabela 2.4 (C.E.Q com Ai e X). ..................................................... 30

Tabela 2.7: Diferenças entre os valores percentuais dados na Tabela 2.3 e na Tabela 2.6...... 30

Tabela 3.1: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.Q usando as matrizes Ai, X e K......................... 39

Tabela 3.2: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xi e K. ....................... 40

Tabela 3.3: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xij e K........................ 40


Ai, Xi e K) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K). ............................................. 41


Ai, Xij e K) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K). ............................................ 41

Tabela 3.6: Valores projetados para o controlador K............................................................. 42

Tabela 4.1: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.Q usando as matrizes Ai, X e Kj. ....................... 52

Tabela 4.2: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xj e Kj........................ 52

Tabela 4.3: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xij e Kj. ...................... 52


Ai, Xi e Kj) e na Tabela 4.1 (C.E.Q com Ai, X e Kj)............................................. 53

Tabela 4.5: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabelas 4.3 (C.E.P

com Ai, Xij e Kj) e na Tabela 4.1 (C.E.Q com Ai, X e Kj). ................................... 53

Tabela 4.6: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 4.1 (C.E.Q com

Ai, X e Kj) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K). ............................................. 54


Ai, Xi e Kj) e na Tabela 3.2 (C.E.P com Ai, Xi e K). ............................................ 54


Ai, Xij e Kj) e na Tabela 3.3 (C.E.P com Ai, Xij e K). ........................................... 55

ix

Tabela 4.9: Região de factibilidade referente à Tabela 3.1 .................................................... 56

Tabela 4.10: Região de factibilidade referente à Tabela 4.3 .................................................. 56

x

LISTA DE QUADROS

Quadro 2.1: Composição das restrições para análise de estabilidade utilizadas no C.E.Q e

C.E.P. ............................................................................................................... 23

Quadro 3.1: Composição das restrições e síntese do controlador K para a análise de

estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.Q. ......................................................... 39

Quadro 3.2: Composição das restrições e síntese do controlador K para a análise de

estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.P. .......................................................... 39

Quadro 4.1: Composição das restrições e síntese do controlador K(β) para a análise de

estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.Q. ......................................................... 51

Quadro 4.2: Composição das restrições e síntese do controlador K(β) para a análise de

estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.P. .......................................................... 52

Quadro 4.3: Classificação dos critérios segundo a flexibilização da matriz X e do

controlador K. ................................................................................................... 55

xi

NOTAÇÕES E ABREVIATURAS

�� e indicam desigualdades matriciais;

ℜ denota o conjunto dos números reais;

nℜ é o espaço euclidiano real;

nxnℜ é o espaço real das matrizes reais;

n representa o número de estados do sistema;

η é o número de parâmetros incertos da matriz A, usado também para denotar o número

de parâmetros incertos do vetor x(0);

M matriz genérica;

A matriz que representa a planta do sistema;

x(0) condições iniciais do vetor de estados;

r é o número de incertezas da matriz A;

s é o número de incertezas de x(0);

0ξ maior amplitude possível para o nível do sinal de saída )(ty ;

0μ é o valor ao quadrado de 0ξ ;

maxλ denota máximo autovalor;

Re iλ parte real do i-éssimo autovalor;

A(α) denota o politopo convexo da matriz A;

α parâmetro que indica politopo convexo em relação às incertezas da matriz A;

x0(β) denota o politopo convexo da condição inicial x(0);

β parâmetro que indica politopo convexo em relação às incertezas do vetor x(0);

i índice do vértice do politopo A(α);

j índice do vértice do politopo x0(β);

αi constante escalar definida entre: 10 ≤≤ iα ;

βj constante escalar definida entre: 10 ≤≤ iβ ;

σk constante escalar definida entre: 10 ≤≤ kσ ;

TA denota a matriz transposta de A;

1−X denota a matriz inversa de X;

X denota a forma diagonal de Jordan da matriz X;

I é a matriz identidade de dimensões (n x n);

xii

x(t) é o vetor de estados de dimensão (n x 1);

)(tx•

representa da derivada temporal do vetor de estados )(tx ;

iA denota o i-éssimo vértice do politopo das incertezas da matriz A;

X(α) denota o politopo convexo da matriz X;

X(α,β) denota o politopo convexo da matriz X(α);

Xi i-éssimo vértice do politopo X(α);

Xij j-éssimo vértice do i-éssimo vértice do politopo X(α,β);

)0(jx denota o j-éssimo vértice do politopo x0(β);

K vetor através do qual se faz a realimentação de estados (controlador);

K(β) denota o politopo convexo do vetor K;

Kj j-éssimo vértice do politopo K(β);

LMIs Desigualdades matriciais lineares (do inglês: Linear Matrix Inequalities);

C.E.Q Critério de Estabilidade Quadrática;

C.E.P Critério de Estabilidade Projetiva;

R.P.X denota a restrição de positividade da matriz X;

R.P.Xi denota a restrição de positividade da matriz Xi;

R.P.Xij denota a restrição de positividade da matriz Xij;

R.E denota a restrição de estabilidade;

R.C.I denota a restrição na condição inicial;

R.A.S denota a restrição na amplitude do sinal de saída.

xiii

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 1

INTRODUÇÃO 1

CAPÍTULO 2 3

CRITÉRIOS DE ESTABILIDADE PARA SISTEMAS AUTÔNOMOS 3

2.1 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE QUADRÁTICA 3

2.1.1 Restrição de Estabilidade 3

2.1.2 Restrição na Condição Inicial 6

2.1.3 Restrição na Amplitude do Sinal de Saída 10

2.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE PROJETIVA 12




2.3 COMPOSIÇÃO COMPLETA DOS CRITÉRIOS 21

2.3.1 Critério de Estabilidade Quadrática 22

2.3.2 Critério de Estabilidade Projetiva 22

2.4 RESULTADOS 23

2.4.1 Restrição de Estabilidade. 26

2.4.2 Restrição de Estabilidade e Condição Inicial. 26

2.4.3 Restrição de Estabilidade, Condição Inicial e Sinal de Saída. 27

CAPÍTULO 3 31

PROJETO: CONTROLADOR K; ÚNICO 31




xiv









3.4 RESULTADOS 39

CAPÍTULO 4 43

PROJETO: CONTROLADOR K(β); POLITÓPICO 43

4.1 CONTROLADOR K(β) 43


4.2.1 Restrição de Estabilidade Quadrática 44

4.2.1.1 Cálculo do Controlador K(β) 45




4.3.1 Restrição de Estabilidade Projetiva 45

4.3.1.1 Cálculo do controlador K(β) 47



4.4 CÁLCULO DAS CONSTANTES β J 47



xv


4.6 RESULTADOS 51

4.6.1 Resultados Obtidos com LMIs 51

4.6.2 Resultados Obtidos com Simulações no Tempo 55

CAPÍTULO 5 63

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS 63

5.1 CONCLUSÕES 63

5.2 PERSPECTIVAS 64

REFERÊNCIAS 65

APÊNDICE A - ESTABILIDADE PROJETIVA A-1

APÊNDICE B - LEMA DA PROJEÇÃO B-1

APÊNDICE C - COMPLEMENTO DE SCHUR C-1

1

Capítulo 1

1 INTRODUÇÃO

O problema de estabilidade e controle de sistemas lineares, realimentados e

incertos, é objeto de muita atenção atualmente. Numerosos critérios, baseados na teoria de

estabilidade de Lyapunov (Ogata, 1997), têm sido desenvolvidos para caracterizar as

incertezas, constantes ou variantes no tempo, tal que a estabilidade do sistema seja garantida

se o critério for satisfeito. Porém, estes critérios são geralmente bastante conservativos, e

alguns impõem suposições muito restritivas. Em Barmish (1983), o problema de estabilidade

de sistemas lineares incertos é considerado de tal modo que os parâmetros incertos são dados

por um vetor q(t), variante no tempo, onde a planta é A(q(t)). Barmish (1985), descreveu a

condição necessária e suficiente para estabilidade de uma classe abrangente de incertezas.

Porém, a condição de estabilidade proposta ainda é muito difícil de ser verificada. Gu et al.

(1989), supõem, em sua análise de estabilidade, que as incertezas da planta A do sistema

pertencem a um conjunto restrito e são dadas pela variação ΔA(t). Outros autores como

Kokame et al. (1990), Gahinet et al. (1994b) e Trofino (1999) propõem, através da função de

estabilidade quadrática de Lyapunov, uma análise politópica para as incertezas da planta do

sistema cujas soluções são baseadas em desigualdades matriciais lineares (Linear Matrix

Inequalities; LMIs), ferramenta que tem sido no momento, essencial para a análise e síntese

de sistemas de controle especialmente na área de controle robusto. Jadbabaie et al. (1998) faz

uma análise robusta da estabilidade quadrática e otimiza o índice de desempenho quadrático,

onde a planta e o controlador são incertos.

O objetivo deste trabalho é aplicar, em sistemas lineares incertos, alguns conceitos

desenvolvidos para a teoria de estabilidade quadrática de Lyapunov à teoria de estabilidade

projetiva, proposta por Apkarian et al. (2001) para tempo contínuo e cuja estrutura foi

2

inicialmente desenvolvida por Oliveira et al. (1999) para tempo discreto. A estabilidade

projetiva (Apêndice A), desenvolvida apartir do Lema da Projeção e da Projeção Recíproca,

Apêndice B (Gahinet, 1994a citado por Apkarian et al., 2001), introduz graus de liberdade à

LMI de estabilidade projetiva, tornando-a assim, mais relaxada em relação à LMI de

estabilidade quadrática. Tal fato é devido à adição da incógnita W e a flexibilização da matriz

X.

Inicialmente, no Capítulo 1, será feita uma análise de estabilidade para sistemas

autônomos, lineares, invariantes no tempo e incertos, sujeitos a um conjunto de restrições,

formuladas na forma de LMIs, e cujas incertezas são do tipo politópica. Os resultados são

comparativos e envolvem o critério de estabilidade quadrática e o critério de estabilidade

projetiva. Nesta análise são dois os parâmetros observados: a região de factibilidade e a

amplitude do sinal de saída. A região factível é representada por áreas elementares,

correspondentes às incertezas da planta. A novidade introduzida neste caso e nos casos

tratados no Capítulo 3 e no Capítulo 4, é a flexibilização da matriz X, não somente em relação

às incertezas da planta (Apkarian et al., 2001), X(α), mas também em relação às incertezas da

condição inicial, X(α,β).

A síntese do controlador politópico K(β) e a relaxação da matriz X(α) para

X(α,β), aplicadas ao critério de estabilidade projetiva, são as principais contribuições

propostas por este trabalho e os bons resultados apresentados, são confirmados pelas

simulações dadas pelas Figuras 4.1 a 4.32; de forma comparativa.

3

Capítulo 2

2 CRITÉRIOS DE ESTABILIDADE PARA SISTEMAS AUTÔNOMOS

Toda a análise apresentada neste capítulo tem por objetivo final comparar os

resultados obtidos usando-se o critério de estabilidade quadrática e o critério de estabilidade

projetiva, para o caso de sistemas autônomos. Os resultados apresentados aqui foram

publicados em Rampazzo et al. (2003).

2.1 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE QUADRÁTICA

2.1.1 Restrição de Estabilidade

Considere o sistema autônomo, linear, incerto e invariante no tempo dado por:

),()()( txAtx α=•

(2.1)

sendo ntx ℜ∈)( o vetor de n estados e nxnA ℜ∈)(α a matriz que representa a dinâmica da

planta do sistema incerta e do tipo politópica, dada pela combinação convexa em (2.2) (Boyd

et al., 1994):

∑=

=r

iii AA

1

.)( αα

(2.2)

O índice i varia entre os valores de 1 a r, sendo r dado pela relação η2=r e η é o

número de parâmetros incertos da planta A. Como trata-se de uma combinação convexa, tem-

se:

.0,11

≥=∑=

i

r

ii αα

(2.3)

4

A equação (2.3) representa a somatória das constantes iα positivas ou nulas

(Oliveira et al., 1999).

Dada a função candidata de Lyapunov (Ogata, 1997), V(x(t)) em (2.4), quadrática,

positiva definida ( V (x(t)) >0 para ∀x(t)≠0 e V(0)=0 ) com sua derivada em relação ao tempo,

dada em (2.5), negativa definida ( 0))(( <•

txV para 0)( ≠∀ tx e 0)0( =•

V ), então,

substituindo (2.1) em (2.5) e sendo A(α) incerta, como em (2.2), tem-se (2.6).

.0)()())(( >= txPtxtxV T

(2.4)

.0)()()()())(( <+=•••

txPtxtxPtxtxV TT

(2.5)

.0)())()(()()),(( <+=•

txPAPAtxtxV TT ααα

(2.6)

Para a estabilidade assintótica de (2.1) é suficiente, no ponto de equilíbrio

0)( =tx , que exista uma nxnP ℜ∈ simétrica e positiva definida, )0( �P , que atenda a

desigualdade escalar (2.6), ou seja, que satisfaça a desigualdade matricial linear (LMI):

,0)()( �αα PAPA T +

(2.7)

onde os símbolos ‘� ’ e ‘� ’ são símbolos de desigualdades matriciais indicando, matrizes

negativas definidas ( 0�M ) e positivas definidas ( 0�M ).

O Lema 2.1 a seguir, objetiva através do principio da dualidade, padronizar a

restrição de estabilidade quadrática em relação às outras restrições que serão discutidas nas

próximas seções. Tal princípio possibilita mudar a matriz P por sua inversa X sem alterar,

essencialmente, a negatividade da restrição de estabilidade quadrática.

Lema 2.1:

O sistema dinâmico (2.1), com incertezas politópicas descritas em (2.2), é

quadraticamente estável (Barmish, 1985), se e somente se, as seguintes LMIs forem satisfeitas

simultaneamente:

5

.0)(

,0)(

,0)( 11

�

�

�

�

�

Trr

Tii

T

XAXA

XAXA

XAXA

+

+

+

Prova: Se PX =−1 , então, a desigualdade matricial (2.7) pode ser representada

pela sua dual em X, (2.9), substituindo P por 1−X e multiplicando ambos os lados de cada

termo por X. A desigualdade (2.8) mostra este procedimento.

.0)()( 11�XAXXXXXA T αα −− +

(2.8)

Simplificando (2.8) obtém-se (2.9) e assim pode-se afirmar que )),(( αtxV•

, em

(2.6), é negativa definida se a desigualdade (2.9) for satisfeita.

.0)()( �XAXA T αα +

(2.9)

Da desigualdade matricial (2.9) e relação (2.2) tem-se, por simples substituição, a

expressão abaixo:

,0)...()...( 1111 ��T

rrT

iiT

rrii AAAXXAAA αααααα +++++++++

e manipulando os termos, tem-se (2.10).

.0)()()( 111 ��T

rrrT

iiiT XAXAXAXAXAXA +++++++ ααα

(2.10)

A condição suficiente para solução de desigualdade (2.10) é que exista uma matriz

X positiva definida e simétrica, 0�X , que satisfaça, simultaneamente, todas as desigualdades

matriciais lineares (LMIs) em (2.11).

.0)(

,0)(

,0)( 11

�

�

�

�

�

Trr

Tii

T

XAXA

XAXA

XAXA

+

+

+

(2.11)

6

Se as LMIs dadas em (2.11) forem factíveis, então, o sistema é assintoticamente

estável. Neste caso, é necessário que as LMIs sejam factíveis em conjunto.

A condição necessária para solução de (2.10) é que nos vértices do politopo, nos

quais iAA =)(α com 1=iα e 0=kα para ik ≠ , a desigualdade (2.12) seja factível para i e k

variando de 1 a r.

.0�Tii XAXA +

(2.12)

A LMI (2.12) representa a restrição de estabilidade quadrática baseada na função

de Lyapunov V(x(t)).

2.1.2 Restrição na Condição Inicial

Assim como a restrição de estabilidade quadrática possibilita determinar regiões

factíveis referentes às incertezas da planta, a restrição na condição inicial, associada à

restrição de estabilidade, também possibilita determinar a factibilidade destas regiões, porém

agora, sujeito às incertezas do vetor condição inicial. Portanto, a LMI que representa a

restrição na condição inicial é desenvolvida pelo conceito de elipsóide invariante (Boyd et al.,

1994).

Considere um politopo }{CoP Svvv ,,, 21 �= , descrito por seus vértices νj. O

elipsóide ξ contém o politopo P se e somente se existe uma matriz 1−Q que satisfaz:

.,,1;11 sjvQv jTj �=≤−

(2.13)

A condição de menor e igual ( ≤ ) da desigualdade (2.13) será substituída pela

condição de menor ( < ) da desigualdade (2.14) sem perda de generalidade, pois, é possível

arbitrar um vetor genérico v, pertencente ao elipsóide ξ , de maneira que vQvT 1− esteja tão

próximo da unidade quanto se queira. Isto garante aos vértices do politopo uma localização

7

interna e tão próxima do elipsóide quanto possível, porém nunca sobre sua superfície. Assim

sendo, neste trabalho a desigualdade (2.13) será substituída por (2.14), resultando em (2.15).

.11 <−j

Tj vQv

(2.14)

.01 1 >− −j

Tj vQv

(2.15)

Aplicando o complemento de Schur (Apêndice C) em (2.15), cuja idéia básica

decorre de que inequações não-lineares podem ser representadas por desigualdades matriciais

lineares, obtém-se a LMI (2.16) em Q.

.01

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Qvv

j

Tj

(2.16)

Seja X ( nxnX ℜ∈ ) uma matriz positiva definida, simétrica e x(0) ( nx ℜ∈)0( ) uma

condição inicial pertencente ao elipsóide invariante similarmente a (2.15), tem-se:

.0)0()0(1 1 >− − xXxT

(2.17)

Aplicando o complemento de Schur em (2.17), tem-se (2.18).

.0)0(

)0(1�⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Xxx T

(2.18)

Suponha que o vetor condição inicial, )()0( 0 βxx = , seja dado pela combinação

convexa do seus vértices )0(jx :

∑=

=s

jjj xx

10 ),0()( ββ

(2.19)

sendo que o índice j varia entre os valores de 1 a s, s dado pela relação η2=s e η, neste caso,

o número de parâmetros incertos do vetor condição inicial x(0), e as constantes jβ são

positivas ou nulas e 11

=∑=

s

jjβ .

Substituindo (2.19) em (2.18), tem-se:

8

.0)0(

))0((1

1

1�

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑

∑

=

=

Xx

x

s

jjj

Ts

jjj

β

β

Como 11

=∑=

s

jjβ , pode-se colocar a desigualdade acima na forma:

.0)()0(

))0((1)(

11

11�

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑

∑∑

==

==

Xx

x

s

jj

s

jjj

Ts

jjj

s

jj

ββ

ββ

Colocando-se em evidência:

.0))0(

)0(1(

1

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑= Xx

x

j

Tj

s

jjβ

(2.20)

Se para todos os vértices )0(jx do politopo existir uma X, tal que a desigualdade

matricial linear (2.21) seja verdadeira, a somatória (2.20) também será, pois os jβ são sempre

positivos ou nulos.

.0)0(

)0(1�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj

(2.21)

Portanto, (2.21) representa a restrição na condição inicial para todo j variando de 1

a s, de acordo com Boyd et al. (1994) e Tanaka et al. (1999).

Note que da LMI (2.21), por implicação direta do complemento de Schur, tem-se

a relação (2.22), semelhante à relação (2.14).

.1)0()0( 1 <−j

Tj xXx

(2.22)

Para visualizar como o conceito de elipsóide invariante é importante para o

tratamento de incertezas politópicas na condição inicial de um sistema suponha, como

exemplo, 1−X uma matriz positiva definida, simétrica satisfazendo (2.22);

9

,'''

'''

'''

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=−

cfefbdeda

X

(2.23)

equivalente à forma diagonal de Jordan

.

00

00

001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

c

b

a

X

(2.24)

Sejam )0(jx , em (2.25), vértices genéricos do politopo x0(β) e )0(1 jx , )0(2 jx e

)0(3 jx suas coordenadas. Neste caso, as coordenadas citadas são consideradas como os

estados do sistema indexados pelo índice j.

.)]0()0()0([)0( 321T

jjjj xxxx =

(2.25)

Substituindo (2.24) e (2.25) em (2.22) obtém-se:

.1)0()0()0( 23

22

21 <++ jjj xcxbxa

(2.26)

Analisando apenas os vértices )0(jx , note que a relação (2.26) sugere a idéia de

que quanto maior for a norma dos vetores )0(jx , maiores serão os elipsóides que os contém,

para uma única 1−

X . Entretanto, 1−

X deverá ser calculado, pelo menos, no limite da

igualdade da relação (2.22), substituindo 1−X por 1−

X , e para a maior norma dos vetores

)0(jx entre todos os vértices. Assim sendo, qualquer outra 1−

X gerará um elipsóide tão

grande quanto as outras restrições associadas permitirem, como por exemplo: restrição de

estabilidade, limite na amplitude do sinal de saída, taxa de decaimento, etc.

A Figura 2.2 mostra como o elipsóide definido por uma matriz 1−

X , calculada

no limite da igualdade da relação (2.22) e por um vetor entre os vetores )0(jx , sendo sua

norma a maior norma possível, circunscreve todos os outros vértices do politopo )(0 βx . O

fato é que as incertezas dentro do politopo, definida pelo domínio cúbico da Figura 2.2, são

10

projetadas pela transformação 1−

X injetora, para o contradomínio dado pelo elipsóide. Isto

garante que, qualquer trajetória dos estados, partindo dos vértices, estará confinada dentro do

elipsóide, ou que na pior das hipóteses, a trajetória manter-se-á na superfície do elipsóide

definido pelo ponto de partida. Neste caso, a dinâmica do sistema evolui sem perder energia.

Figura 2.1: Politopo cúbico da condição inicial.

Figura 2.2: Politopo cúbico, Figura 2.1, circunscrito pelo elipsóide invariante, equação (2.26).

2.1.3 Restrição na Amplitude do Sinal de Saída

O problema da restrição na amplitude do sinal de saída (Lordelo, 2000) dado pela

equação (2.27), onde pty ℜ∈)( e pxnC ℜ∈ , consiste em determinar uma LMI que atenda à

desigualdade (2.28).

).()( txCty =

(2.27)

.)(max 02ξ≤

≥ty

t 0

(2.28)

Neste caso, 0ξ é a maior amplitude possível de y(t) e que a desigualdade (2.28)

possa ser simplificada, em (2.29), sem perda de generalidade.

.)(max 02ξ<

≥ty

t 0

(2.29)

A análise a seguir, para a determinação da LMI de saída, é baseada no pressuposto

de que dada uma condição inicial )0(x , no tempo 0=t , pertencente ao elipsóide invariante

•

•

•

•

•

•

•

•

x1(0)

x8(0)

x2(0)

x3(0)

x4(0)

x5(0)

x6(0)

x7(0)

x2

x1

x3

x2

x1

x3

a/1

c/1

b/1 12

322

21 =++ cxbxax

11

em (2.17), qualquer estado subseqüente, x(t) em 0>t , pertencerá também ao elipsóide, desde

que o sistema seja estável. Sendo assim, tem-se (2.30) para qualquer estado x(t) em 0>t .

.0)(

)(10)()(1 1�⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⇔>− −

XtxtxtxXtx

TT

(2.30)

Seja z(t) um vetor, adequadamente escolhido, e considere que a relação (2.31) seja

satisfeita.

.1)()()()( 1 <= − txXtxtztz TT

(2.31)

Manipulando (2.31) obtém-se o vetor z(t) em (2.32).

),()()()( 2

1

2

1

txXXtxtztz TT−−

=

).()( 2

1

txXtz−

=

(2.32)

Isolando x(t) na relação (2.32), obtém-se x(t) como função do vetor z(t) em

(2.33).

).()( 2

1

tzXtx =

(2.33)

A relação (2.34) resulta da substituição de (2.27) em (2.29) e (2.35) da

substituição de (2.33) em (2.34).

.)(max)(max 022ξ<=

≥≥txCty

tt 00

(2.34)

.)(max)(max 0

2

2

1

2ξ<=

≥≥tzXCty

tt 00

(2.35)

Elevando ao quadrado todos os termos da relação (2.35), obtém-se (2.36).

.)()(max)(max 20

2

1

2

12

2ξ<⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

≥≥tzXCCXtzty TT

t 0t0

(2.36)

12

Portanto, se por suposição, o maior autovalor, maxλ , da matriz 2

1

2

1

XCCX T for

menor do que 20ξ , a amplitude do sinal de saída será menor do que o valor de 0ξ em (2.37),

pois )()( tztz T , em (2.31), é sempre menor do que a unidade.

.)()()()(max 02

1

2

1

max2ξλ <⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≤ tztzXCCXty TT

(2.37)

Deste fato, decorre a condição de desigualdade (2.38).

.20

2

1

2

1

IXCCX T ξ�

(2.38)

Multiplicando por 2

1

X , os termos de (2.38) em ambos os lados, obtém-se (2.39).

,)( 20 XICXXCT ξ�

.0)( 20 �CXIXCX T −− ξ

(2.39)

Aplicando o complemento de Schur em (2.39), chega-se à LMI (2.40) em X, onde

200 ξμ = . Tal LMI associada à LMI (2.21) define a restrição na amplitude do sinal de saída

dada em (2.41).

.00

�⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ICXXCX T

μ

(2.40)

e0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj .0

0�⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

ICXXCX T

μ

(2.41)

2.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE PROJETIVA


Nesta seção é apresentada a metodologia matemática proposta por Apkarian et al.

(2001) na forma de teorema com o objetivo de introduzir uma nova caracterização da teoria

de estabilidade fundamental de Lyapunov para sistemas lineares. A prova deste teorema foi

13

baseada no Lema da Projeção e no Lema da Projeção Recíproca (Gahinet e Apkarian, 1994a

citado por Apkarian et al., 2001; Apêndice B).

Teorema 2.1 (Estabilidade Projetiva): A condição i) e as condições das LMIs de

ii) a v), envolvendo matrizes simétricas variáveis P e X e matrizes gerais V e W , são

equivalentes:

i) A é Hurwitz, portanto 0)(Re <Aiλ ;

ii) P∃ tal que: 00

0�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+P

PAPAT

;

iii) WX ,∃ tais que: 0)(

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++−XWXA

WAXWWXT

TT

;

iv) VP,∃ tais que: 0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

PV

PPVA

VPAVVVT

TTT

;

v) VP,∃ tais que: 0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

PV

PPAV

VPAVVV TTTT

.

De acordo com a prova do Teorema 2.1, Apêndice A, observa-se que a LMI em

iv) é o resultado da manipulação da LMI em iii), onde há a presença das matrizes P e V. Isto

impossibilita o uso desta restrição da forma apresentada. Tal restrição deve conter as matrizes

X e W, sendo estas, respectivamente, inversas de P e V. Neste caso, é necessário utilizar a dual

de iv), padronizando assim todas as restrições como foi apresentada na Seção 2.1.

Entretanto, para se obter a dual da LMI em iv), é necessário determinar a dual da

LMI em iii). Utilizando o Lema da Projeção e o Lema da Projeção Recíproca, obtém-se a

LMI (2.42) dual da LMI em iii).

.0)(�⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−+++−PVPA

VPAVVP TTT

(2.42)

Nota-se que a desigualdade (2.43) é resultado da transformação de congruência

sobre a desigualdade (2.42) e que (2.44) resulta da substituição de P por 1−X em (2.43).

14

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡X

W

PVPA

VPAVVP

X

W TTTT

0

0)(

0

0

.0)(

)()]([�⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−+++−

XPXWVPAXXVPAWWVVPW TTTTT

(2.43)

,0)(1

�⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+++−−

XXAWXAWWWWXW TTTT

,0000)( 1

�⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−+++− − WXW

XXAWXAWWW TTTT

[ ][ ] .000)( 1

�WXWXXAW

XAWWW TTTT−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−+++−

(2.44)

Aplicando o complemento de Schur em (2.44), chega-se à restrição de

estabilidade projetiva dada em (2.45). Esta LMI é semelhante à desigualdade apresentada em

v), porém com a matriz X em sua estrutura. Tal condição é necessária para padronizar a

restrição de estabilidade projetiva em relação à restrição de estabilidade quadrática e também

em relação a todas as outras restrições envolvidas. A Seção 2.3 mostra este fato.

.00

0)(

�⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

XWXXAW

WXAWWW TTTT

(2.45)

A presença da matriz W e a possibilidade de se flexibilizar a matriz X, aumenta o

grau de liberdade da LMI (2.45) dando ao sistema, condições de estabilidade em uma região

maior de incertezas da matriz A. Entretanto, se a matriz X não for flexibilizada (politópica), o

aumento do grau de liberdade em (2.45) não proporciona vantagens adicionais se comparada

com a restrição de estabilidade quadrática.

Considerando, portanto, a planta do sistema incerta, da forma apresentada em

(2.2), e X dependente das mesmas incertezas da planta A, ou seja, se é possível achar uma

matriz )(αA pertencente a um conjunto convexo limitado pelos vértices Ai, formando um

politopo, então usando a mesma idéia, é possível achar uma matriz )(αX pertencente a um

conjunto convexo limitado pelos vértices Xi (variáveis) e ponderados pelas constantes iα do

15

conjunto convexo )(αA . Assim a matriz X, atrelada à convexidade do conjunto de matrizes

)(αA , não estará propriamente livre para assumir qualquer valor que atenda a LMI (2.45) e

sim as matrizes Xi em (2.50). A equação (2.46) mostra o politopo convexo de X em relação às

incertezas de A.

1e0,)(11

=>== ∑∑==

r

iii

r

iii XXX αααα

(2.46)

Portanto, a robustez do critério de estabilidade projetiva, verificada em (2.50), é

dada pela substituição de (2.2) e (2.46) em (2.45) da seguinte forma:

,0)(0

0)()()()()()(

�⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

αααα

αα

XWXXWA

WXAWWW TTTT

ou ainda,

.0

)(0

0)()()(

)()()(

1

111

11

�

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

++−

∑

∑∑∑

∑∑

=

===

==

r

iii

r

iii

r

iii

r

iii

Tr

iii

Tr

iii

TT

XW

XXWA

WXAWWW

α

ααα

αα

(2.47)

Multiplicando por 11

=∑=

r

iiα cada elemento da LMI (2.47) que não dependem das

constantes iα :

,0

)(0)(

0)()()(

)()()())((

11

111

1111

�

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

++−

∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑

==

===

====

r

iii

r

ii

r

iii

r

iii

r

iii

Tr

ii

r

iii

Tr

iii

TTr

ii

XW

XXWA

WXAWWW

αα

ααα

αααα

(2.48)

e juntando todos os termos em iα da LMI (2.48), obtém-se a somatória (2.49).

.0)0

0)(

(1

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−∑

=i

iii

Ti

Ti

TTr

ii

XWXXWA

WXAWWWα

(2.49)

16

Sendo as constantes iα positivas ou nulas e o índice i variando entre os valores de

1 a r, então é suficiente que a desigualdade em (2.49) seja verdadeira. Entretanto, para isto, é

necessário que individualmente nos vértices do politopo, na qual iAA =)(α com 1=iα , a

desigualdade (2.50) seja factível para Xi positiva definida. Portanto, a necessidade em (2.50)

garante a suficiência em (2.49).

.00

0)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

i

iii

Ti

Ti

TT

XWXXWA

WXAWWW

(2.50)

Note que a LMI (2.50) foi obtida da LMI (2.42) e que por sua vez, da função de

Lyapunov )()()(),( txPtxxV T αα = (Apkarian et al., 2001).

Caso a matriz X não fosse tratada como politopo dependente das incertezas da

matriz A, a LMI (2.50) seria simplesmente a LMI (2.51).

.00

0)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

XWXXWA

WXAWWW

i

TTi

TT

(2.51)

Entretanto, genericamente, a matriz X pode depender de vários politopos

diferentes ao mesmo tempo. Assim, se )(αXX = é uma combinação convexa dos vértices Xi

ponderados pelos pesos iα , então, cada )(βii XX = poderá ser combinação convexa de

vértices Xij, ponderados por pesos jβ , e assim sucessivamente. Neste caso j varia de 1 a s,

sendo s o número de vértices do segundo politopo. A equação (2.52) sintetiza este fato.

.10,)(11

=>= ∑∑==

s

jjj

s

jjiji eXX ββββ

(2.52)

Substituindo (2.52) em (2.46), obtém-se (2.53).

,)(1 1

∑ ∑= =

=r

i

s

jjiji XX βα

17

.),(1 1

ji

r

i

s

jji XX ∑∑

= =

= βαβα

(2.53)

A restrição de estabilidade, considerando ),( βαXX = , é dada em (2.54).

.0),(0

0),(),()(),()()(

�⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

βαβαβαα

βαα

XWXXWA

WXAWWW TTTT

(2.54)

Lembrando que 11

=∑=

r

iiα e 1

1

=∑=

s

jjβ para iα e jβ positivos ou nulos, obtém-se

a somatória (2.55) substituindo as relações de 1 a 6 em (2.54).

1. );())(()()(1 111

Tr

i

s

jji

Ts

jj

r

ii

T WWWWWW +=+=+ ∑∑∑∑= ===

βαβα

2. ;))(()(1 111

WAWAWA i

r

i

s

jji

r

iii

s

jj ∑∑∑∑

= ===

== βααβα

3. ;),(1 1

ji

r

i

s

jji XX ∑∑

= =

= βαβα

4. ;))(()(1 111

Ti

Tr

i

s

jji

Tr

iii

s

jj

TTT AWAWAW ∑∑∑∑= ===

== βααβα

5. ;)()(1 111

WWWr

i

s

jji

s

jj

r

ii ∑∑∑∑

= ===

== βαβα

6. .)()(1 111

Tr

i

s

jji

Ts

jj

r

ii

T WWW ∑∑∑∑= ===

== βαβα

.0)0

0)(

(1 1

�∑∑= = ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−r

i

s

jji

jijii

Tji

Ti

TT

ji

XWXXWA

WXAWWWβα

(2.55)

Se em cada vértice Xij a LMI (2.56) for verdadeira (condição necessária), então a

somatória (2.55) também será (condição suficiente).

.00

0)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

ji

jijii

Tji

Ti

TT

XWXXWA

WXAWWW

(2.56)

18

O critério de estabilidade projetiva, quando se analisa a restrição (2.50), mostra

que é possível achar matrizes Xi atendendo individualmente as incertezas Ai da planta,

tornando assim os intervalos dos parâmetros incertos a e b de A os mais amplos possíveis em

relação a uma única X. Neste caso, todos os vértices do politopo da planta A, em (2.51),

devem ser satisfeitos em conjunto.

A Figura 2.3 ilustra o processo de flexibilização da matriz X(α,β), possível para a

restrição de estabilidade projetiva, em relação à única X para a restrição de estabilidade

quadrática. Como exemplo, seja a matriz X dependente das incertezas da planta (politopo com

4 vértices: 422 = ) e incertezas da condição inicial ( politopo com 8 vértices: 823 = ).

Figura 2.3: Flexibilização de matriz X com relação às incertezas dos politopos A(α) e x0(β).

Note que as restrições de estabilidade projetiva, dadas pelas equações (2.50) e

(2.56), são implicações diretas da restrição de estabilidade quadrática, Seção 2.1.1, equação

(2.12), ou seja, se a LMI dada pela equação (2.12) for factível para uma determinada X

positiva definida, então a LMI (2.50) e a LMI (2.56) também serão factíveis.

Esta afirmação pode ser verificada fazendo, em (2.50) ou em (2.56), XW = ,

XX i = ou XX ij = , respectivamente, e multiplicado-as pela matriz [ ]III à esquerda e

[ ]TIII à direita, sendo que TXX = e I é a matriz identidade, tal que, nxnI ℜ∈ . Nestes

X 1 (β).

X 4 (β).

. X 2(β)

. X 3(β)

. X (α,β)

X 11.

X 12.

. X 18

.

.

. .

. X 21.

. X 28

.

.

. .

. .

X 31.

. X 38

.

.

. .

. .

X 41.

. X 48

.

.

. .

. .

X 1.

X 4.

. X 2

. X 3

X. . X (α)

19

casos, chega-se à LMI (2.12) pelas substituições propostas e descritas acima e mostradas em

(2.57).

[ ] .00

0)(

�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

III

XXXXXA

XXAXXXIII i

TTi

TT

(2.57)

Fazendo-se as multiplicações possíveis entre os blocos de matrizes da

desigualdade matricial (2.57), obtém-se o seguinte resultado:

.0)()())(( �IXXIIXXAXIIXXXAXXI TTi

Ti

T −+−++++++−

(2.58)

Simplificando (2.58), chega-se à restrição de estabilidade quadrática (2.59)

idêntica à dada pela equação (2.12).

.0�Tii XAXA +

(2.59)

De acordo com a Figura 2.3, nota-se que as matrizes Xi e X são casos particulares

das matrizes Xij e Xi, respectivamente, então se a LMI (2.50) for factível, a LMI (2.56)

também será, bastando tomar iij XX = . Neste caso, Xi pertence a um vértice qualquer do

politopo X(α,β), dado pelos seus vértices Xij, ou que todos os vértices Xij são coincidentes.


Seja (2.60) a LMI resultante da substituição de (2.46) em (2.18) e a matriz X só

dependente das incertezas da planta )(αA .

.0)()()(1

0

0 �⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

αββ

Xxx T

(2.60)

Manipulando a LMI (2.60), chega-se à desigualdade (2.61) da seguinte forma:

,0)0(

))0((1

11

1�

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑

∑

==

=r

iii

s

jjj

Ts

jjj

Xx

x

αβ

β

20

ou ainda,

,0))(())0()((

))0()(())((

1111

1111�

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====r

iii

s

jj

s

jjj

r

ii

Ts

jjj

r

ii

s

jj

r

ii

Xx

x

αββα

βαβα

.0))0(

)0(1(

1 1

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑∑= = ij

Tj

r

i

s

jji Xx

xβα

(2.61)

Para garantir que a somatória (2.61) seja verdadeira, basta que para todos os

vértices )0(jx , com j variando de 1 a s, exista uma única Xi satisfazendo a LMI (2.62).

.0)0(

)0(1�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ij

Tj

Xxx

(2.62)

Portanto, se (2.62) é a restrição na condição inicial associada à restrição de

estabilidade (2.50), então, utilizando os mesmos procedimentos anteriores, a restrição (2.63)

está associada à restrição de estabilidade (2.56).

.0)0(

)0(1�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡jij

Tj

Xxx

(2.63)


A Seção 2.1.3 mostra o procedimento matemático utilizado para obter a LMI

(2.40). Naquele caso, a matriz X é única e não depende de nenhuma incerteza.

Se X for do tipo X(α), com 11

=∑=

r

iiα e 0>iα , a LMI de saída (2.40) será aquela

indicada na desigualdade (2.65) pelas seguintes manipulações:

,0)(

)()(0

�⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ICXCXX T

μααα

21

,0)()(

)()(

011

11 �

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑

∑∑

==

==

IXC

CXX

r

ii

r

iii

Tr

iii

r

iii

μαα

αα

.0)(01

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑

= ICX

CXX

i

Tii

r

ii μ

α

(2.64)

.00

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

CXX

i

Tii

μ

(2.65)

Note que, sendo a LMI (2.65) positiva definida para todo i variando de 1 a r, a

somatória (2.64) também será, garantindo assim, a condição necessária e suficiente. Portanto,

a restrição de amplitude do sinal de saída é dada por (2.66).

e0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ij

Tj

Xx

x.0

0

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

CXX

i

Tii

μ

(2.66)

Considerando a matriz X do tipo X(α,β), então, da mesma forma que em (2.66), a

restrição de amplitude do sinal de saída, associada à restrição de estabilidade (2.56), será dada

em (2.67).

e0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x.0

0

�⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ICX

CXX

ji

Tjiji

μ

(2.67)

2.3 COMPOSIÇÃO COMPLETA DOS CRITÉRIOS

Nesta seção são relacionadas todas as LMIs que serão utilizadas no estudo de

regiões de factibilidade. Portanto, para a comparação dos resultados obtidos em cada critério

de estabilidade, Seção 2.4, é necessário compor as LMIs adequadamente. Diz-se critério de

estabilidade quando as restrições de estabilidade e positividade da matriz X estão ou não

associadas a outras restrições. As Seções 2.3.1 e 2.3.2 mostram um resumo das LMIs em cada

critério.

22

2.3.1 Critério de Estabilidade Quadrática

a) Restrição de Positividade da matriz X (R.P.X):

0�X .

b) Restrição de Estabilidade (R.E):

0)( �T

ii XAXA + .

c) Restrição na Condição Inicial (R.C.I):

0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj .

d) Restrição na Amplitude do Sinal de Saída (R.A.S):

0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj e 0

20

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

XCX T

ξ.

2.3.2 Critério de Estabilidade Projetiva

a) Restrição de Positividade das matrizes Xi ou Xij (R.P.Xi ou R.P.Xij):

0�iX ou 0�jiX .

b) Restrição de Estabilidade com Xi ou Xij (R.E):

0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

i

iii

Ti

Ti

TT

XW

XXWA

WXAWWW

ou 0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

ji

jijii

Tji

Ti

TT

XW

XXWA

WXAWWW

.

c) Restrição na Condição Inicial com Xi ou Xij (R.C.I):

0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ij

Tj

Xx

x ou .0

)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x

d) Restrição na Amplitude do Sinal de Saída com Xi ou Xij (R.A.S):

( 0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ij

Tj

Xx

x ou 0

)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x) e

23

( 00

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

CXX

i

Tii

μ ou 0

0

�⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ICX

CXX

ji

Tjiji

μ).

2.4 RESULTADOS

Considere o sistema autônomo não realimentado:

).()(

),()()(

txCty

txAtx

==

•α

(2.68)

O primeiro passo na análise dos resultados será comparar, em ambos os critérios,

as regiões factíveis obtidas pelo uso apenas das restrições de estabilidade e positividade da

matriz X. O próximo passo será acrescentar a restrição na condição inicial e verificar qual é a

sua influência na região factível. E, finalmente, comparar os resultados da amplitude máxima

do sinal de saída 0ξ , obtidos pela minimização de 200 ξμ = na restrição de saída.

Os resultados das seções seguintes são baseados no Exemplo 2.1 e no Quadro 2.1.

As restrições assinaladas com ‘x’ são as restrições utilizadas nas rotinas de cálculos e os

resultados mostrados nas figuras indicadas no Quadro 2.1 e em suas respectivas seções.

Quadro 2.1: Composição das restrições para análise de estabilidade utilizadas no C.E.Q e C.E.P.

R.P.X R.E R.C.I R.A.S Tabela Figura R.P. Xi R.P.Xij R.E R.C.I R.A.S Tabela Figura

2.4.1 x x 2.4 x x 2.42.5 x x x 2.52.6 x x x 2.6

2.1 2.7 x x x x 2.2 2.72.4 2.8 x x x x 2.5 2.8

x2.4.3 x x x

SeçãoCritério de Estabilidade Quadrática Critério de Estabilidade Projetiva

2.4.2 x x x

Para facilitar o entendimento do Quadro 2.1, tome como exemplo, a interseção da

primeira coluna, identificada com o nome “Seção”, e a quarta linha. Tal interseção identifica a

Seção 2.4.3 no quadro. Para o Critério de Estabilidade Quadrática, segunda coluna do quadro,

são relacionadas, nas sub-colunas, as restrições de positividade da matriz X ( R.P.X),

24

estabilidade (R.E), condição inicial (R.C.I) e amplitude do sinal de saída (R.A.S). Portanto, os

resultados obtidos na Seção 2.4.3, com a utilização das restrições assinaladas por “x”, quarta

linha do quadro, são mostrados nas sub-colunas identificadas por Tabela e Figura. A Figura

2.7 e a Figura 2.8 são equivalentes bem como a Tabela 2.1 e a Tabela 2.4. Para o Critério de

Estabilidade Projetiva, terceira coluna do quadro, adiciona-se apenas as restrições de

positividade das matrizes Xi e Xij no lugar da restrição de positividade da matriz X do caso

quadrático.

Exemplo 2.1:

Considere o sistema descrito em variáveis de estado (2.68), cuja planta incerta é

dada em (2.69) e a matriz ganho de saída em (2.70).

.

1

110

011

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

ba

A

(2.69)

[ ].111=C

(2.70)

Os parâmetros a e b da planta são incertos e definidos no intervalo dado por (2.71)

e (2.72), respectivamente.

.si aaa ≤≤

(2.71)

.si bbb ≤≤

(2.72)

Substituindo em (2.69) as possíveis combinações dos parâmetros a e b, obtém-se

os vértices do politopo A(α) em (2.73). O número de vértices r do politopo é dado pela

relação η2=r , onde η é o número de parâmetros incertos da planta. Note que 2=η e 4=r .

;

1

110

011

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

ss ba

A

;

1

110

011

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

is ba

A

;

1

110

011

3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

si ba

A

.

1

110

011

4

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

ii ba

A

(2.73)

25

A restrição na condição inicial é supostamente arbitrária, porém, sempre

pertencente ao politopo limitado pelos seus vértices. Seja )0(x , dado em (2.74), o vetor

condição inicial com incertezas em cada um de seus estados.

.][)0( Tedcx =

(2.74)

Neste caso, c, d e e são as incertezas relativas aos estados x1, x2 e x3

respectivamente. Supondo, por exemplo, c, d e e variando entre os limites dados pelas

seguintes relações:

,si ccc ≤≤

,si ddd ≤≤

.si eee ≤≤

Portanto, o politopo definido em (2.75), é resultado das combinações dos limites

das incertezas de c, d e e. Para este caso, 3=η e 8=s ( η2=s ).

.][)0(;][)0(;][)0(;][)0(

;][)0(;][)0(;][)0(;][)0(

8765

4321

Tiii

Tsii

Tisi

Tssi

Tiis

Tsis

Tiss

Tsss

edcxedcxedcxedcx

edcxedcxedcxedcx

====

====

(2.75)

Definindo valores arbitrários para cada vértice, tem-se (2.76).

.][)0(;][)0(;][)0(;][)0(

;][)0(;][)0(;][)0(;][

321321321321

321321321321)0(

8765

4321

TTTT

TTTT

xxxx

xxxx

−−−+−−−+−++−

−−++−+−+++++

====

====

(2.76)

Nas figuras das próximas seções, as regiões factíveis para o critério de

estabilidade quadrática são representadas pelo símbolo ‘� ’; e ‘ • ’ para as regiões factíveis do

critério de estabilidade projetiva. Regiões infactíveis não são assinaladas.

Os símbolos marcados nas regiões factíveis representam o centro geométrico dos

vértices do politopo elementar dados pelo incremento de ‘a’ e ‘b’, onde 4,37 ≤≤− a e

36,0 ≤≤− b , em passos de 0.8 e 0.4 respectivamente.

26

O limite de busca por regiões elementares factíveis foi convenientemente

escolhido. Assim sendo, foi possível mostrar, na mesma figura, regiões factíveis e infactíveis

e comparar os diferentes resultados obtidos em ambos os critérios.

Toda programação foi realizada no software MatLab 5.3, através do LMI Control

Toolbox (Gahinet 1995). Pode-se utilizar também o software LMISol (Oliveira 1997).

2.4.1 Restrição de Estabilidade.

Figura 2.4: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X) e projetiva (Ai, Xi).

A Figura 2.4 mostra como a utilização do critério de estabilidade projetiva

proporciona, com a flexibilização da matriz X, um aumento considerável na região factível,

em torno de 23%, em relação a critério de estabilidade quadrática. O cálculo de 23% foi

obtido como base a quantidade de células e não a área, o que proporcionaria o mesmo valor

pois todas as células têm a mesma área.

2.4.2 Restrição de Estabilidade e Condição Inicial.

27

Figura 2.5: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xi) e condição inicial.

Figura 2.6: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xij) e condição inicial.

As restrições de estabilidade quadrática e projetiva associadas à restrição de

condição inicial não proporcionaram aumento do número de regiões factíveis, Figura 2.5 e

Figura 2.6, em relação à Figura 2.4. Este fato é esperado, pois a adição de mais restrições

tende a diminuir as regiões factíveis e não aumentar. Entretanto, a diminuição do número de

regiões factíveis não ocorreu, já que a condição inicial não afeta a estabilidade de sistemas

lineares. Neste caso, apenas as restrições de estabilidade são os fatores limitantes na

determinação das matrizes X, Xi e Xij. Assim sendo, as matrizes X, Xi e Xij geram elipsóides

que circunscrevem o politopo da condição inicial, como mostra a Figura 2.2, satisfazendo,

portanto, as restrições em conjunto.

2.4.3 Restrição de Estabilidade, Condição Inicial e Sinal de Saída.

Especificamente para esta seção é possível verificar não somente as comparações

entre áreas factíveis, mostradas em Figura 2.7 e Figura 2.8, mas também os níveis máximos

da amplitude dos sinais de saída quando se flexibiliza a matriz X para X(α) e para X(α,β).

28

Figura 2.7: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xi), condição inicial e otimização de ξ0.

Figura 2.8: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xij), condição inicial e otimização de ξ0.

Os resultados nas Tabela 2.1 e Tabela 2.2 representam os valores ótimos de 0ξ em

cada região factível elementar da Figura 2.7. A Tabela 2.3 mostra as diferenças percentuais,

nas regiões factíveis possíveis, entre 0ξ do critério de estabilidade projetiva (C.E.P) e 0ξ do

critério de estabilidade quadrática (C.E.Q) usando-se o C.E.Q como referência.

Sejam, por exemplo, 9642,90 =ξ , dado na Tabela 2.1, e 7776,90 =ξ , dado na

Tabela 2.2, os valores destacados em negrito correspondendo às mesmas células elementares

para os diferentes critérios. O valor percentual de –1,8727 em negrito, Tabela 2.3, é dado por

((9,7776 – 9,9642) / 9,9642)*100.

Os resultados de 0ξ na Tabela 2.4 e na Tabela 2.5 foram calculados nas regiões

elementares da Figura 2.8 e a Tabela 2.6, mostra as diferenças percentuais entre elas. Valores

negativos na Tabela 2.3 e na Tabela 2.6 indicam níveis de saída mais favoráveis para o

critério de estabilidade projetiva.

29

6,0000

6,0000 6,0000 6,2174

6,0000 6,0000 6,0000 6,4978 9,5620

6,0000 6,0000 6,0000 6,1251 7,4288 9,9642

6,0000 6,0000 6,0000 6,0961 7,0600

6,0236 6,0155 6,0097 6,1743 7,1043

6,1484 6,1341 6,1247 6,4260

6,3388 6,3276 6,3307

6,5715 6,5756

6,8422

6,0000

6,0000 6,0000 6,2119

6,0000 6,0000 6,0000 6,4898 9,5620

6,0000 6,0000 6,0000 6,0700 7,4005 9,7776 16,18346,0000 6,0000 6,0000 6,0337 6,9609 8,3563 10,57016,0230 6,0144 6,0077 6,1041 6,8286 7,88176,1445 6,1265 6,1105 6,2046 6,93026,3266 6,3062 6,2911 6,53496,5446 6,5289 6,53416,7892 6,7957

Tabela 2.1: Valores máximos de ξ0 para o C.E.Q com as matrizes Ai e X.

Tabela 2.2: Valores máximos de ξ0 para o C.E.P com as matrizes Ai e Xi.

0,0000

0,0000 0,0000 -0,0885

0,0000 0,0000 0,0000 -0,1231 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 -0,8996 -0,3809 -1,8727

0,0000 0,0000 0,0000 -1,0236 -1,4037

-0,0100 -0,0183 -0,0333 -1,1370 -3,8807

-0,0634 -0,1239 -0,2318 -3,4454

-0,1925 -0,3382 -0,6255

-0,4093 -0,7102

-0,7746

Tabela 2.3: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 2.2 (C.E.P com Ai e Xi) e na Tabela 2.1 (C.E.Q com Ai e X).

6,0000

6,0000 6,0000 6,2174

6,0000 6,0000 6,0000 6,4978 9,5620

6,0000 6,0000 6,0000 6,1251 7,4288 9,9642

6,0000 6,0000 6,0000 6,0961 7,0600

6,0236 6,0155 6,0097 6,1743 7,1043

6,1484 6,1341 6,1247 6,4260

6,3388 6,3276 6,3307

6,5715 6,5756

6,8422

6,0000

6,0000 6,0000 6,1922

6,0000 6,0000 6,0000 6,4898 9,5620

6,0000 6,0000 6,0000 6,0698 7,4005 9,7776 16,18346,0000 6,0000 6,0000 6,0308 6,9609 8,3563 10,57016,0230 6,0144 6,0077 6,1041 6,8282 7,88176,1445 6,1265 6,1096 6,2020 6,92886,3264 6,3046 6,2839 6,53336,5421 6,5193 6,50046,7772 6,7617

Tabela 2.4: Valores máximos de ξ0 para C.E.Q com as matrizes Ai e X.

Tabela 2.5: Valores máximos de ξ0 para o C.E.P com as matrizes Ai e Xij.

30

0,0000

0,0000 0,0000 -0,4053

0,0000 0,0000 0,0000 -0,1231 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 -0,9028 -0,3809 -1,8727

0,0000 0,0000 0,0000 -1,0712 -1,4037

-0,0100 -0,0183 -0,0333 -1,1370 -3,8864

-0,0634 -0,1239 -0,2465 -3,4858

-0,1956 -0,3635 -0,7393

-0,4474 -0,8562

-0,9500

Tabela 2.6: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 2.5 (C.E.P com Ai e Xij) e na Tabela 2.4 (C.E.Q com Ai e X).

Observa-se que os valores das diferenças percentuais indicados nas Tabela 2.3 e

Tabela 2.6 são maiores nas células inferiores próximas às regiões onde houve o aumento de

áreas factíveis, Tabela 2.2 e Tabela 2.5 assinaladas em negrito, do que nas áreas mais internas

das tabelas.

0,0000

0,0000 0,0000 0,31680,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0032 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0476 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00570,0000 0,0000 0,0147 0,04040,0031 0,0253 0,11380,0381 0,14600,1754 Tabela 2.7: Diferenças entre os valores percentuais dados na Tabela 2.3 e na Tabela 2.6.

Os valores positivos destacados em negrito na Tabela 2.7 indicam que, para

algumas áreas elementares das incertezas a e b da planta A, é possível encontrar menores

valores para a amplitude dos sinais de saída 0ξ , quando se flexibiliza a matriz X(α) para

X(α,β). Portanto, o C.E.P além de aumentar o número de áreas elementares factíveis,

minimizou os valores máximos da amplitude dos sinais de saída 0ξ em relação ao C.E.Q.

31

Capítulo 3

3 PROJETO: CONTROLADOR K; ÚNICO

Dado um sistema linear invariante no tempo em malha fechada, Diagrama 3.1,

cujas equações de estados são dadas em (3.1) e (3.2). Sejam também, ntx ℜ∈)( , nxnA ℜ∈)(α ,

nB ℜ∈ , nC ℜ∈ e ℜ∈)(tu .

Diagrama 3.1: Diagrama de blocos em malha fechada de um sistema linear invariante no tempo.

).()()()( tButxAtx +=•

α

(3.1)

).()( tCxty =

(3.2)

Seja a entrada )(tu , definida em (3.3) pelo laço de realimentação de estados

mostrado no Diagrama 3.1.

).()( tKxtu −=

(3.3)

Substituindo em (3.1) a relação (3.3), obtém-se a relação (3.4).

).())(()( txBKAtx −=•

α

(3.4)

As seções seguintes mostrarão a robustez dos critérios de estabilidade quadrática

(Boyd et al., 1994) e projetiva (Apkarian et al., 2001) e as LMIs necessárias para a obtenção

dos resultados em sistemas lineares incertos em malha fechada.

32


Todas as restrições discutidas na Seção 2.1 serão tratadas nesta seção objetivando

a formulação e a composição do problema de realimentação dos estados utilizando LMIs e a

possibilidade, também, de minimizar a máxima amplitude do sinal de saída 0ξ do sistema

descrito por LMIs e sujeito às restrições de estabilidade e condição inicial.


Considere A uma nova planta dada pela equação matricial (3.5). Substituindo

(3.5) em (3.4) obtém-se a equação de estado (3.6) semelhante à equação de estado do sistema

autônomo em (2.1).

).)(( BKAA −= α

(3.5)

).()( txAtx =•

(3.6)

Substituindo agora )(αA pela i

r

ii A∑

=1

α em (3.5), obtém-se A em (3.7).

.1

BKAA i

r

ii −= ∑

=α

(3.7)

Como 11

=∑=

r

iiα , chega-se, utilizando-se a equação (3.7), à equação (3.8).

.11

BKAAr

iii

r

ii ∑∑

==

−= αα

(3.8)

Simplificando a equação (3.8), obtém-se )(αA em (3.9), onde BKAA ii −= .

).()(1

BKAA i

r

ii −= ∑

=

αα

(3.9)

Se o segundo método de estabilidade de Lyapunov for satisfeito para uma função

candidata quadrática, ou seja, se as desigualdades (2.4) e (2.5) forem verdadeiras, então, assim

33

como em (2.7), existirá uma nxnP ℜ∈ simétrica, positiva definida e que atenda a desigualdade

(3.10), quando a planta for )(αA .

.0)()( �αα APPA T +

(3.10)

De acordo com o Lema 2.1, obtém-se a desigualdade (3.11) em X ( PX =−1 ).

.0)()( �XAAX T αα +

(3.11)

Substituindo (3.9) em (3.11) e fazendo o produto não-linear de variáveis KX

igual a F ( FKX = ) linear, tem-se a desigualdade (3.12) pelos passos a seguir:

,0)]([)]([11

�XBKABKAX i

r

ii

Ti

r

ii −+− ∑∑

==

αα

,0)()(11

�XBKABKAX i

r

ii

TTTi

r

ii −+− ∑∑

==αα

,0])()([1

�XBKABKAX iTTT

i

r

ii −+−∑

=

α

,0)]([1

�BKXBXKXAXA TTi

Ti

r

ii +−+∑

=α

.0)]([1

�TTT

ii

r

ii BFBFXAXA +−+∑

=

α

(3.12)

A condição suficiente para solução de desigualdade (3.12) é que exista uma matriz

X positiva definida e uma matriz nF ℜ∈ , tais que, todas as desigualdades matriciais lineares

(LMIs) em (3.13) sejam satisfeitas simultaneamente ( iα positivos ou nulos).

.0)(

,0)(

,0)(11

�

�

�

�

�

TTTrr

TTTii

TTT

BFBFXAXA

BFBFXAXA

BFBFXAXA

+−+

+−+

+−+

(3.13)

Entretanto, a condição necessária para solução de (3.12) nos vértices do politopo,

nos quais iAA =)(α com 1=iα e 0=kα para ik ≠ , é que a desigualdade (3.14) seja

34

verdadeira para X e F incógnita do problema e os índices i e k variando de 1 a r. Neste caso,

(3.14) é a LMI de estabilidade quadrática e o controlador K é calculado pela relação (3.15).

.0)( �TTT

ii BFBFXAXA +−+

(3.14)

.1−= FXK

(3.15)

Observando as Seções 2.1.2 e 2.1.3, nota-se que as LMIs que definem a restrição

na condição inicial e na amplitude do sinal de saída não dependem diretamente da derivada

dos estados )(tx•

, mas apenas dos estados )(tx do sistema, então o laço de realimentação dos

estados do Diagrama 3.1 não interfere nestas LMIs. Portanto, as LMIs das Seções 3.1.2 e

3.1.3 são, respectivamente, as mesmas das mostradas nas Seções 2.1.2 e 2.1.3.


.0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj

(3.16)


e0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj .0

0

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

XCX T

μ

(3.17)


Assim como no critério de estabilidade quadrática, no critério de estabilidade

projetiva só a LMI da restrição de estabilidade será modificada pela realimentação dos

estados, as demais restrições apresentadas nas Seções 3.2.2 e 3.2.3 são as mesmas das Seções

2.2.2 e 2.2.3 e não dependem da derivada dos estados.

35


Seja a matriz de estabilidade projetiva para sistemas autônomos, (2.45),

reproduzida em (3.18).

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

XW

XXAW

WXAWWW TTTT

(3.18)

Substituindo (3.5) em (3.18), obtém-se a LMI (3.20) fazendo RKW = em (3.19).

,0

0

0)(

)()(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

+−+−

XW

XXWBKA

WXBKAWWW TTTT

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

+−+−

XW

XXBKWAW

WXBKWAWWW TTTTTTT

(3.19)

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

XW

XBRXAW

WBRXAWWW TTTTTT

(3.20)

Para o caso da matriz X depender somente das incertezas da matriz A, )(αXX = ,

tem-se a LMI (3.21).

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

i

iii

TTTi

Ti

TT

XW

XBRXWA

WBRXAWWW

(3.21)

Entretanto, se ),( βαXX = , onde β significa que a matriz X depende também das

incertezas da condição inicial, então a LMI para este caso é a descrita em (3.22).

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

ji

jijii

TTTji

Ti

TT

XW

XBRXWA

WBRXAWWW

(3.22)

36

Obviamente, se a matriz B, ganho de entrada, depender das incertezas de A, as

LMIs (3.21) e (3.22), fazendo ∑=

==r

iii BBB

1

)( αα , serão as LMIs indicadas em (3.23) e

(3.24), respectivamente. Para efeito comparativo entre os critérios, a matriz B será

determinística e não dependerá, neste trabalho, das incertezas da planta A do sistema.

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

i

iiii

TTi

Ti

Ti

TT

XW

XRBXWA

WBRXAWWW

(3.23)

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

ji

jiijii

TTi

Tji

Ti

TT

XW

XRBXWA

WBRXAWWW

(3.24)

Note que se a restrição de estabilidade quadrática para sistema com realimentação

de estados, dada pela LMI (3.14), for factível para X e F incógnita do problema, então as LMI

(3.21) e (3.22), representando as restrições de estabilidade projetiva, também serão pois, basta

tomar XW = , XX i = ou XX ij = e multiplicá-las pelas matrizes [ ]III à esquerda e

[ ]TIII à direita. Este procedimento é mostrado na equação (3.25) substituindo KWR =

por KXF = ( XW = ).

[ ] .0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

I

I

I

XX

XBFXXA

XBFXAXXX

III i

TTTTi

TT

(3.25)

Multiplicações os blocos de matrizes da desigualdade matricial (3.25), obtém-se o

seguinte resultado:

.0)()())(( �IXXIIXBFXAXIIXBFXXAXXI TTTTi

Ti

T −+−−+++−+++−

(3.26)

Simplificando (3.26), chega-se à restrição de estabilidade quadrática (3.27)

idêntica à dada pela equação (3.14).

37

.0)( �TTT

ii BFBFXAXA +−+

(3.27)

Ainda, se a LMI (3.21) for factível, a LMI (3.22) também será, bastando tomar

iij XX = .


.0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ij

Tj

Xx

x

(3.28)

.0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x

(3.29)


e0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ij

Tj

Xx

x.0

0

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

CXX

i

Tii

μ

(3.30)

e0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x.0

0

�⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ICX

CXX

ji

Tjiji

μ

(3.31)


Nesta seção, são reunidas todas as restrições desenvolvidas na seção anterior e o

Quadro 3.1 e Quadro 3.2 mostram as diferentes composições das LMIs para as simulações

realizadas.



0�X .


38

0)( �TTT

ii BFBFXAXA +−+ .


0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj .


0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj e 0

20

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

XCX T

ξ.


a) Restrição de Positividade das matrizes Xi ou Xij (R.P. Xi ou R.P. Xij):

0�iX ou 0�jiX .

b) Restrição de Estabilidade para Xi ou Xij (R.E):

0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

i

iii

TTTi

Ti

TT

XW

XBRXWA

WBRXAWWW

ou

0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

ji

jiijii

TTi

Tji

Ti

TT

XW

XRBXWA

WBRXAWWW

.

c) Restrição na Condição Inicial para Xi ou Xij (R.C.I):

0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ij

Tj

Xx

x ou 0

)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x.

d) Restrição na Amplitude do Sinal de Saída para Xi ou Xij (R.A.S):

( 0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ij

Tj

Xx

x ou 0

)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x) e

( 00

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

CXX

i

Tii

μ ou 0

0

�⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ICX

CXX

ji

Tjiji

μ).

39

3.4 RESULTADOS

Os resultados de 0ξ apresentados nas tabelas desta seção são baseados no

Exemplo 2.1 da Seção 2.4 e no Diagrama 3.1. Note que cada valor individual de 0ξ das

tabelas corresponde a uma região elementar factível, da mesma forma que os valores de 0ξ da

Tabela 2.1 e da Tabela 2.2 correspondem às regiões elementares factíveis da Figura 2.7. Os

resultados da Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3 mostram a otimização dos valores da

amplitude dos sinais de saída 0ξ , sujeitos a todas as restrições assinaladas no Quadro 3.1 e

Quadro 3.2.

Quadro 3.1: Composição das restrições e síntese do controlador K para a análise de estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.Q.

R.P.X R.E R.C.I R.A.S K Tabelax x x x x 3.1

Critério de Estabilidade Quadrática

6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,0244 6,1389 6,6185 10,00016,0000 6,0000 6,0020 6,0221 6,0762 6,1979 6,4838 7,3694 10,00006,0016 6,0151 6,0472 6,1080 6,2178 6,4222 6,8497 8,0105 10,00006,0292 6,0659 6,1262 6,2231 6,3816 6,6580 7,2076 8,4081 10,00006,0793 6,1367 6,2222 6,3513 6,5535 6,8941 7,5521 8,6696 10,00006,1426 6,2187 6,3272 6,4856 6,7276 7,1266 7,8646 8,8552 10,0000

Tabela 3.1: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.Q usando as matrizes Ai, X e K.

Quadro 3.2: Composição das restrições e síntese do controlador K para a análise de estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.P.

R.P. Xi R.P.Xij R.E R.C.I R.A.S K Tabela

x x x x x 3.2x x x x x 3.3

Critério de Estabilidade Projetiva

40

6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,0241 6,1382 6,6173 10,00006,0000 6,0000 6,0020 6,0219 6,0759 6,1973 6,4830 7,3688 10,00006,0016 6,0150 6,0470 6,1078 6,2174 6,4217 6,8490 8,0105 10,00006,0292 6,0658 6,1261 6,2228 6,3813 6,6575 7,2072 8,4081 10,00006,0792 6,1366 6,2220 6,3510 6,5532 6,8937 7,5519 8,6696 10,00006,1425 6,2186 6,3270 6,4854 6,7273 7,1263 7,8646 8,8552 10,0000

Tabela 3.2: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xi e K.

6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,3566 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,1313 7,3295 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0453 6,5658 8,0105 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0100 6,2805 7,1144 8,4081 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,1435 6,6175 7,5478 8,6696 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0715 6,3636 6,9982 7,8646 8,8552 10,0000

Tabela 3.3: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xij e K.

Observando as tabelas anteriores, nota-se que houve um aumento significativo no

número de regiões factíveis em relação à Seção 2.4.3, com a realimentação de estados através

do controlador K. Estas regiões são as mesmas para ambos os critérios, mesmo com a

flexibilização da matriz X para X(α) e X(α,β) no caso projetivo. A Tabela 3.2 e a Tabela 3.3

mostram a redução do valor ótimo de 0ξ , em relação à Tabela 3.1, podendo chegar ao valor

de 6,38%, Tabela 3.5. Já a Tabela 3.4 e a Tabela 3.5 mostram, em negrito, as diferenças

percentuais entre o critério de estabilidade projetiva (C.E.P) e o critério de estabilidade

quadrática (C.E.Q), usando-se o C.E.Q como referência. Note que o uso das matrizes Xij,

Tabela 3.3, fazem os níveis de saída serem mais favoráveis e dependentes, em um número

maior de áreas elementares, apenas da maior norma do vetor condição inicial, ou seja, para o

Exemplo 2.1, o valor da saída, )0()( Cxty = , é igual ao valor numérico 6,0000 em uma região

41

maior da Tabela 3.3 do que na Tabela 3.1 e na Tabela 3.2. Isto indica que, ao longo do tempo,

os valores máximos da amplitude dos sinais de saída do sistema, para cada célula, não

superam os valores indicados nas tabelas. Esta constatação será verificada na Seção 4.6.2,

Figura 4.1 à Figura 4.32, através de simulações no tempo.

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0050 -0,0114 -0,0181 -0,00100,0000 0,0000 0,0000 -0,0033 -0,0049 -0,0097 -0,0123 -0,0081 0,0000

0,0000 -0,0017 -0,0033 -0,0033 -0,0064 -0,0078 -0,0102 0,0000 0,00000,0000 -0,0016 -0,0016 -0,0048 -0,0047 -0,0075 -0,0055 0,0000 0,0000

-0,0016 -0,0016 -0,0032 -0,0047 -0,0046 -0,0058 -0,0026 0,0000 0,0000

-0,0016 -0,0016 -0,0032 -0,0031 -0,0045 -0,0042 0,0000 0,0000 0,0000 Tabela 3.4: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 3.2 (C.E.P com Ai, Xi e K) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K).

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0017 -0,4050 -2,2626 -3,9571 -0,00100,0000 0,0000 -0,0333 -0,3670 -1,2541 -3,1930 -5,4366 -0,5414 0,0000

-0,0267 -0,2510 -0,7805 -1,7682 -3,5028 -5,8687 -4,1447 0,0000 0,0000

-0,4843 -1,0864 -2,0600 -3,5850 -5,8230 -5,6699 -1,2931 0,0000 0,0000

-1,3044 -2,2276 -3,5711 -5,5296 -6,2562 -4,0121 -0,0569 0,0000 0,0000

-2,3215 -3,5168 -5,1713 -6,3849 -5,4105 -1,8017 0,0000 0,0000 0,0000 Tabela 3.5: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 3.3 (C.E.P com Ai, Xij e K) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K).

Os valores projetados para o controlador K no C.E.P são numericamente mais

fáceis de serem implementados, na grande maioria das células, do que quando calculados pelo

C.E.Q. A Tabela 3.6 mostra como os valores das componentes do controlador K,

correspondente à primeira coluna da Tabela 3.2 e Tabela 3.3, são mais favoráveis

numericamente em relação aos valores das componentes do controlador K, correspondente à

primeira coluna da Tabela 3.1.

42

C.E.Q com Ai, X e K C.E.P com Ai, Xi e K C.E.P com Ai, Xij e K

K(1) K(2) K(3) K(1) K(2) K(3) K(1) K(2) K(3)

2,63 x 10 3 4,73 x 10

2 2,71 x 10 2 6,62 x 10

0 2,49 x 10 0 1,47 x 10

-1 6,62 x 10 0 2,49 x 10

0 1,47 x 10 -1

4,49 x 10 1 1,07 x 10

1 5,17 x 10 0 6,15 x 10

0 2,55 x 10 0 2,60 x 10

-1 6,15 x 10 0 2,55 x 10

0 2,60 x 10 -1

8,51 x 10 3 2,31 x 10

3 1,31 x 10 3 5,52 x 10

0 2,58 x 10 0 3,86 x 10

-1 5,52 x 10 0 2,58 x 10

0 3,86 x 10 -1

1,30 x 10 5 4,34 x 10

4 2,58 x 10 4 5,02 x 10

0 2,68 x 10 0 5,92 x 10

-1 5,02 x 10 0 2,68 x 10

0 5,92 x 10 -1

3,61 x 10 5 1,49 x 10

5 9,67 x 10 4 2,10 x 10

0 1,56 x 10 0 2,98 x 10

-1 2,10 x 10 0 1,56 x 10

0 2,98 x 10 -1

1,90 x 10 6 9,87 x 10

5 7,29 x 10 5 6,60 x 10

-1 9,41 x 10 -1 3,53 x 10

-1 6,60 x 10 -1 9,41 x 10

-1 3,53 x 10 -1

2,47 x 10 5 1,64 x 10

5 1,46 x 10 5 -3,51x 10

-1 3,56 x 10 -1 3,61 x 10

-1 -3,51x 10 -1 3,56 x 10

-1 3,61 x 10 -1

1,93 x 10 2 4,66 x 10

2 5,82 x 10 2 -2,98 x 10

-1 2,22 x 10 -1 3,38 x 10

-1 -2,98 x 10 -1 2,22 x 10

-1 3,38 x 10 -1

4,07 x 10 2 1,08 x 10

3 1,38 x 10 3 -3,96 x 10

-2 2,18 x 10 -1 3,38 x 10

-1 -3,96 x 10 -2 2,18 x 10

-1 3,38 x 10 -1

6,18 x 10 3 5,69 x 10

3 6,65 x 10 3 2,20 x 10

-1 2,13 x 10 -1 3,36 x 10

-1 2,20 x 10 -1 2,13 x 10

-1 3,36 x 10 -1

1,27 x 10 3 4,03 x 10

2 8,22 x 10 2 4,85 x 10

-1 2,12 x 10 -1 3,35 x 10

-1 4,85 x 10 -1 2,12 x 10

-1 3,35 x 10 -1

7,93 x 10 6 3,73 x 10

6 4,37 x 10 6 7,50 x 10

-1 2,10 x 10 -1 3,35 x 10

-1 7,50 x 10 -1 2,10 x 10

-1 3,35 x 10 -1

1,75 x 10 3 3,41 x 10

1 4,21 x 10 2 1,02 x 10

0 2,09 x 10 -1 3,35 x 10

-1 1,02 x 10 0 2,09 x 10

-1 3,35 x 10 -1

Tabela 3.6: Valores projetados para o controlador K.

Para o sistema em malha fechada indicado no Diagrama 3.1 e Exemplo 2.1, o

número de áreas elementares factíveis são os mesmo tanto para o C.E.Q quanto para o C.E.P,

entretanto, os valores máximos da amplitude dos sinais de saída 0ξ são mais favoráveis no

C.E.P, principalmente quando se flexibiliza a matriz X(α) para X(α,β).

No próximo capítulo será abordado o projeto do controlador K(β) com o objetivo

de verificar o valor da amplitude do sinal de saída 0ξ em relação ao controlador K projetado

neste capítulo.

43

Capítulo 4

4 PROJETO: CONTROLADOR K(β); POLITÓPICO

Os estudos realizados neste capítulo são baseados no sistema linear invariante no

tempo em malha fechada, indicado no Diagrama 4.1, cuja realimentação dos estados são

realizadas através do controlador )(βK .

Diagrama 4.1: Diagrama de blocos em malha fechada de um sistema linear invariante no tempo com controlador politópico.

4.1 CONTROLADOR K(β)

Considere o controlador K do tipo )(βK , representado no Diagrama 4.1 e dado

por (4.1), dependentes das incertezas relativas à condição inicial )()0( 0 βxx = .

.)(1

∑=

==s

jjj KKK ββ

(4.1)

Nesta seção, a realimentação dos estados do sistema será através do controlador

)(βK aplicado às restrições de estabilidade quadrática e projetiva. As demais restrições não

dependem do controlador e são relacionadas nas Seções 4.2.2 e 4.2.3 para o caso quadrático e

Seções 4.3.2 e 4.3.3 para o caso projetivo.


44

4.2.1 Restrição de Estabilidade Quadrática

Seja (4.2) a restrição de estabilidade quadrática com realimentação de estados.

.0)()()( �TTT BFBFXAXA +−+ αα

(4.2)

Se KXF = e )(βKK = , então F em (4.3) também dependerá desta incerteza.

.)()( XKFF ββ ==

(4.3)

Manipulando (4.3) obtém-se (4.4) da seguinte forma:

,)()(1

XKFs

jjj∑

=

= ββ

,)(1

XKFs

jjj∑

=

= ββ

.)(1

∑=

=s

jjj FF ββ

(4.4)

O índice j varia de 1 a s, XKF jj = e 11

=∑=

s

jjβ , sendo jβ positivos ou nulos.

Substituindo F por )(βF em (4.2), tem-se (4.5) pelos seguintes passos:

,0])()([)()( �TTT BFBFXAXA ββαα +−+

,0]))(()()[()()())((11111111

�TT

s

jjj

r

ii

s

jjj

r

ii

Tr

iii

s

jj

r

iii

s

jj BFFBAXXA ∑∑∑∑∑∑∑∑

========

+−+ βαβααβαβ

,0]()[()()(1 11 11 11 1

�∑∑∑∑∑∑∑∑= == == == =

+−+r

i

TTjj

s

ji

r

ijj

s

ji

r

i

Tij

s

ji

r

iij

s

ji BFBFXAXA βαβαβαβα

.0)]()([1 1

�TT

jjTii

r

ij

s

ji BFBFXAXA +−+∑∑

= =

βα

(4.5)

Se cada matriz )()( TTjj

Tii BFBFXAXA +−+ de (4.5) for negativa definida para

todo i variando de 1 a r e j variando de 1 a s, então a somatória (4.5) também será. Portanto, a

LMI que representa a restrição de estabilidade quadrática, para o controlador )(βK , é descrita

pela desigualdade (4.6).

45

.,,2,1,,2,1,0)()( sjriBFBFXAXA TTjj

Tii �� ==+−+ e

(4.6)

4.2.1.1 Cálculo do Controlador K(β)

Seja X e jF a solução da LMI (4.6) satisfazendo, também, o conjunto com as

demais restrições. Se XKF jj = para todo j, então jK é dado em (4.7).

.1−= XFK jj

(4.7)

Sendo o controlador )(βK politópico, substituindo (4.7) em (4.1), tem-se (4.8).

.)(1

1∑=

−=s

jjj XFK ββ

(4.8)

Note que não é necessário calcular o controlador )(βK para determinar a região

de factibilidade para as incertezas da planta A, basta portanto que exista uma matriz simétrica

X que satisfaça todas as restrições e uma jF que satisfaça a restrição de estabilidade

quadrática em (4.6).


.0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj

(4.9)


e0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj .0

0

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

XCX T

μ

(4.10)


4.3.1 Restrição de Estabilidade Projetiva

46

Analisando a LMI (3.22), reproduzida em (4.11), nota-se que antes de se

flexibilizar o controlador K em relação ao politopo )(0 βx , a matriz X deverá ser politópica

em relação às incertezas de )(αA e )(0 βx . Portanto, não faz sentido aumentar o grau de

liberdade do controlador K, )(βKK = ¸ sem antes aumentar o grau de liberdade de X da

mesma forma, ),( βαXX = .

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

ji

jijii

TTTji

Ti

TT

XW

XBRXWA

WBRXAWWW

(4.11)

Seja (4.12), resultado da substituição de ∑=

=s

jjj KK

1

)( ββ em WKR )()( ββ = ,

então, de (4.12), WKR jj = . Substituindo jR em (4.11) chega-se à LMI (4.13) pelos mesmos

procedimentos adotados nas seções anteriores.

.)(1

WKRs

jjj∑

=

= ββ

(4.12)

.0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

ji

jijjii

TTTjji

Ti

TT

XW

XBRXWA

WBRXAWWW

(4.13)

Assim como foi verificado na Seções 2.2.1 e 3.2.1, basta fazer XW = , XX ij = e

multiplicar a LMI (4.13) pelas matrizes [ ]III à esquerda e [ ]TIII à direita, como

mostra a equação (4.14). Substituindo WKR jj = por XKF jj = , já que XW = , obtém-se,

de (4.14), a restrição de estabilidade quadrática, em (4.16), idêntica à LMI (4.6).

[ ] .0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

I

I

I

XX

XBFXXA

XBFXAXXX

III ji

TTTj

Ti

TT

(4.14)

.0)()())(( �IXXIIXBFXAXIIXBFXXAXXI TTTj

Ti

Tji

T −+−−+++−+++−

(4.15)

47

.0)( �TT

jjT

ii BFBFXAXA +−+

(4.16)

4.3.1.1 Cálculo do controlador K(β)

Sejam Xij, Rj e W a solução da LMI (4.13) e Xij satisfazendo o conjunto com as

demais restrições. Se WKR jj = para todo j, então jK é dado em (4.17).

.1−= WRK jj

(4.17)

Substituindo (4.17) em (4.1), tem-se (4.18).

.)(1

1∑=

−=s

jjj WRK ββ

(4.18)

Assim como no caso quadrático, não é necessário calcular o controlador )(βK ,

basta que existam matrizes Xij simétricas, positivas definidas e as matrizes W e Rj, incógnitas

do problema, satisfazendo a restrição de estabilidade projetiva em conjunto com as demais

restrições.


.0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ijj

Tj

Xx

x

(4.19)


e0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ijj

Tj

Xx

x.0

0

�⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ICX

CXX

ij

Tijij

μ

(4.20)

4.4 CÁLCULO DAS CONSTANTES β j

48

Para a determinação do jβ , é necessário definir uma posição inicial para o vetor

)0(x e os vetores limites mínimos e máximos para cada estado.

Suponha que a condição inicial, de três estados, possa ser representada por um

politopo da forma descrita em (4.21), onde os vértices de )(0 βx são dados pelos vetores

)0(jx .

.)0()()0(1

0 ∑=

==s

jjj xxx ββ

(4.21)

Decompondo )(0 βx em vetores ortogonais )(01 βx , )(02 βx e )(03 βx , em (4.22),

sobre os eixos do espaço de estado e representando-os pelas combinações convexas dos seus

vetores limites mínimos e máximos, em (4.23), obtém-se (4.24), sendo kσ constantes

positivas ou nulas com k variando de 1 a p e np 2= ( 3=n ). Neste caso, 121 =+ σσ ,

143 =+ σσ e 165 =+ σσ .

).()()()( 0302010 ββββ xxxx ++=

(4.22)

.)(

)(

,)(

363503

,242302

121101

MAXMIN

MAXMIN

MAXMIN

xxx

xxx

xxx

σσβσσβσσβ

+=+=+=

(4.23)

).)()(()(

),)()(()(

),)()(()(

3635432103

2423652102

1211654301

MAXMIN

MAXMIN

MAXMIN

xxx

xxx

xxx

σσσσσσβσσσσσσβσσσσσσβ

+++=+++=+++=

(4.24)

Desenvolvendo as relações em (4.24), obtém-se (4.25), (4.26) e (4.27).

),()(

)()()(

1642164116321631

154215411532153101

MAXMINMAXMIN

MAXMINMAXMIN

xxxx

xxxxx

σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσβ

++++++++=

(4.25)

),()(

)()()(

2642263226412631

254225322541253102

MAXMINMAXMIN

MAXMINMAXMIN

xxxx

xxxxx


++++++++=

(4.26)

).()(

)()()(

3642354236413541

363235323631353103

MAXMINMAXMIN

MAXMINMAXMIN

xxxx

xxxxx


++++++++=

(4.27)

49

Substituindo (4.25), (4.26) e (4.27) em (4.22) e simplificando, tem-se (4.28)

equivalente à somatória (4.21).

As relações entre as constantes βj com as constantes σk e as relações entre os

vetores xj(0) com os vetores limites mínimos e máximos de cada estado, são dadas em (4.29) e

(4.30).

).()(

)()(

)()(

)()()(

321642321542

321632321532

321641321541

3216313215310

MAXMAXMAXMINMAXMAX

MAXMINMAXMINMINMAX

MAXMAXMINMINMAXMIN

MAXMINMINMINMINMIN

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxx

+++++++++++++++++++++++=


(4.28)

.,

,,

,,

,,

86427542

66325532

46413541

26311531

βσσσβσσσβσσσβσσσβσσσβσσσβσσσβσσσ

========

(4.29)

).0()(),0()(

),0()(),0()(

),0()(),0()(

),0()(),0()(

83217321

63215321

43213321

23211321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

MAXMAXMAXMINMAXMAX

MAXMINMAXMINMINMAX

MAXMAXMINMINMAXMIN

MAXMINMINMINMINMIN

=++=++

=++=++

=++=++

=++=++

(4.30)

No entanto, sendo 8811)( KKK βββ ++= � , pode-se determinar os valores de kσ

com k variando de 1 a 6, de modo que, sendo o vetor )(0 βx determinístico, sua decomposição

em vetores ortogonais )(01 βx , )(02 βx e )(03 βx , (4.23), possam ser representados por vetores

intermediários INTx01 , INTx02 e INTx03 entre os vetores mínimos e máximos de cada estado, ou

seja:

.],0,0[)(

,]0,,0[)(

,]0,0,[)(

030303

020202

010101

TINTINT

TINTINT

TINTINT

xx

xx

xx

x

x

x

==

==

==

βββ

(4.31)

Substituindo, respectivamente, as relações dadas em (4.31) nas relações mostradas

em (4.23), obtém-se (4.32) fazendo: 12 1 σσ −= , 34 1 σσ −= e 56 1 σσ −= .

50

,]0,0,)[1(]0,0,[]0,0,[ 111101T

MAXT

MINT

INT xxx σσ −+= ,]0,,0)[1(]0,,0[]0,,0[ 232302

TMAX

TMIN

TINT xxx σσ −+=

.],0,0)[1(],0,0[],0,0[ 353503T

MAXT

MINT

INT xxx σσ −+=

(4.32)

Isolando 1σ , 3σ e 5σ em cada relação de (4.32), tem-se (4.33).

),()( 111011 MAXMINMAXINT xxxx −−=σ ),()( 222023 MAXMINMAXINT xxxx −−=σ ).()( 333035 MAXMINMAXINT xxxx −−=σ

(4.33)

Portanto, as constantes βj são completamente calculadas pela substituição, em

(4.29), das constantes σk. Assim, para cada vetor condição inicial )0(x , determinístico e

pertencente ao politopo dado em (4.21), é possível calcular um controlador )(βK , específico,

utilizando as equações (4.8) e (4.23) para o critério de estabilidade quadrática e as equações

(4.18) e (4.23) para o critério de estabilidade projetiva.




0�X .


0)()( �TT

jjTii BFBFXAXA +−+ .


0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj .


0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Xx

x

j

Tj e 0

20

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ICX

XCX T

ξ.

51


a) Restrição de Positividade das matrizes Xij (R.P.Xij ):

0�jiX .

b) Restrição de Estabilidade para Xij (R.E):

0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+

−++−

ji

jijjii

TTTjji

Ti

TT

XW

XBRXWA

WBRXAWWW

.

c) Restrição na Condição Inicial para Xij (R.C.I):

0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x.

d) Restrição na Amplitude do Sinal de Saída para Xij (R.A.S):

0)0(

)0(1�

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jij

Tj

Xx

x e 0

0

�⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ICX

CXX

ji

Tjiji

μ.

4.6 RESULTADOS

4.6.1 Resultados Obtidos com LMIs

Assim como na Seção 3.4, os resultados ótimos de 0ξ são analisados diretamente

na Tabela 4.1 e na Tabela 4.3 e estão sujeitos às restrições assinaladas no Quadro 4.1 e no

Quadro 4.2, respectivamente.

Quadro 4.1: Composição das restrições e síntese do controlador K(β) para a análise de estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.Q.

R.P.X R.E R.C.I R.A.S Kj Tabelax x x x x 4.1

Critério de Estabilidade Quadrática

52

Quadro 4.2: Composição das restrições e síntese do controlador K(β) para a análise de estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.P.

R.P. Xi R.P.Xij R.E R.C.I R.A.S Kj Tabela

x x x x x 4.2x x x x x 4.3

Critério de Estabilidade Projetiva

6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0008 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,0244 6,1389 6,6185 10,00016,0000 6,0000 6,0020 6,0221 6,0762 6,1979 6,4838 7,3694 10,00006,0016 6,0151 6,0472 6,1080 6,2178 6,4222 6,8497 8,0105 10,00006,0292 6,0659 6,1262 6,2231 6,3816 6,6580 7,2076 8,4081 10,00006,0793 6,1367 6,2222 6,3513 6,5535 6,8941 7,5521 8,6696 10,00006,1426 6,2187 6,3272 6,4856 6,7276 7,1266 7,8646 8,8552 10,0000

Tabela 4.1: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.Q usando as matrizes Ai, X e Kj.

6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,0241 6,1382 6,6173 10,00006,0000 6,0000 6,0020 6,0219 6,0759 6,1973 6,4830 7,3688 10,00006,0016 6,0150 6,0470 6,1078 6,2174 6,4217 6,8490 8,0105 10,00006,0292 6,0658 6,1261 6,2228 6,3813 6,6575 7,2072 8,4081 10,00006,0792 6,1366 6,2220 6,3510 6,5532 6,8937 7,5519 8,6696 10,00006,1425 6,2186 6,3270 6,4854 6,7273 7,1263 7,8646 8,8552 10,0000

Tabela 4.2: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xj e Kj.

6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,3346 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0770 7,3295 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,5253 8,0105 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,1860 7,1144 8,4081 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,0269 6,5881 7,5478 8,6696 10,00006,0000 6,0000 6,0000 6,0000 6,2630 6,9982 7,8646 8,8552 10,0000

Tabela 4.3: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xij e Kj.

53

Dispensando comentários sobre as regiões factíveis das tabelas anteriores, já que

são as mesmas tratadas na Seção 3.4, observa-se um aumento nas diferenças percentuais a

favor do C.E.P, assinaladas em negrito na Tabela 4.4 e Tabela 4.5, com o uso do controlador

K(β). Entretanto, quando se compara os resultados das tabelas da Seção 3.4 com os resultados

das tabelas apresentadas até agora nesta seção, comparações estas dadas na Tabela 4.6, Tabela

4.7 e Tabela 4.8, nota-se a pouca vantagem de se flexibilizar o controlador K para K(β) sem

antes ter flexibilizado a matriz X. Este fato é verificado pelas diferenças percentuais relativas

apresentadas na Tabela 4.7, cuja análise justifica os comentários realizados na Seção 4.3.1 e a

exclusão, na Seção 4.5.2, de todas as LMIs que relacionam as matrizes Ai e Xi com Kj (Rj).

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0133 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0050 -0,0114 -0,0181 -0,00100,0000 0,0000 0,0000 -0,0033 -0,0049 -0,0097 -0,0123 -0,0081 0,0000

0,0000 -0,0017 -0,0033 -0,0033 -0,0064 -0,0078 -0,0102 0,0000 0,00000,0000 -0,0016 -0,0016 -0,0048 -0,0047 -0,0075 -0,0055 0,0000 0,0000

-0,0016 -0,0016 -0,0032 -0,0047 -0,0046 -0,0058 -0,0026 0,0000 0,0000

-0,0016 -0,0016 -0,0032 -0,0031 -0,0045 -0,0042 0,0000 0,0000 0,0000 Tabela 4.4: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 4.2 (C.E.P com Ai, Xi e Kj) e na Tabela 4.1 (C.E.Q com Ai, X e Kj).

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0133 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0017 -0,4050 -2,2626 -4,2895 -0,00100,0000 0,0000 -0,0333 -0,3670 -1,2541 -3,1930 -6,2741 -0,5414 0,0000

-0,0267 -0,2510 -0,7805 -1,7682 -3,5028 -6,5725 -4,7360 0,0000 0,0000

-0,4843 -1,0864 -2,0600 -3,5850 -5,9797 -7,0892 -1,2931 0,0000 0,0000

-1,3044 -2,2276 -3,5711 -5,5312 -8,0354 -4,4386 -0,0569 0,0000 0,0000

-2,3215 -3,5168 -5,1713 -7,4874 -6,9059 -1,8017 0,0000 0,0000 0,0000 Tabela 4.5: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabelas 4.3 (C.E.P com Ai, Xij e Kj) e na Tabela 4.1 (C.E.Q com Ai, X e Kj).

54

A Tabela 4.6 mostra que, para o C.E.Q, o uso do controlador K(β) na LMI de

estabilidade não mudam os resultados apresentados em relação à LMI com o controlador K. A

exceção é uma única área cujo valor está assinalado em negrito na Tabela 4.6. Tal valor

calculado e diferente de zero, é devido a um erro numérico causado pelo processo iterativo

executado pela rotina de cálculo. Limitando a rotina para cálculo de 0ξ apenas na célula em

questão, o valor do erro percentual relativo zera, confirmando assim erro numérico.

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0133 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabela 4.6: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 4.1 (C.E.Q com Ai, X e Kj) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K).

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabela 4.7: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 4.2 (C.E.P com Ai, Xi e Kj) e na Tabela 3.2 (C.E.P com Ai, Xi e K).

55

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,3461 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,8856 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,7477 -0,6168 0,0000 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,1664 -1,5047 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 -0,0017 -1,8979 -0,4443 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 -1,1776 -1,5809 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Tabela 4.8: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 4.3 (C.E.P com Ai, Xij e Kj) e na Tabela 3.3 (C.E.P com Ai, Xij e K).

Os valores apresentados na Tabela 4.8 confirmam, realmente, a contribuição que a

flexibilização do controlador K para K(β) proporciona quando associado à matriz X(α,β) nas

restrições.

Para ilustrar, de forma comparativa os resultados apresentados na Seção 3.4 e

Seção 4.6 com todas as variações das matrizes X e K para cada critério, o Quadro 4.3 mostra a

classificação dos melhores resultados baseados na maior redução percentual da amplitude do

sinal de saída, encontrada na região factível, para cada caso estudado.

Quadro 4.3: Classificação dos critérios segundo a flexibilização da matriz X e do controlador K.

4.6.2 Resultados Obtidos com Simulações no Tempo

Para confirmar os resultados dos níveis máximos da amplitude do sinal de saída

obtidos com as minimizações de ξ0, apresentados até o momento, foram realizadas simulações

no sistema, Diagrama 4.1 com o controlador K(β), correspondendo a uma mesma região

Classificação Critério Planta A Matriz X Controlador K Redução Amp.(%)

1ª C.E.P Ai Xij Kj 8,032ª C.E.P Ai Xij K 6,38

C.E.P Ai Xi Kj * 0,018C.E.P Ai Xi K 0,018C.E.Q Ai X Kj * 0C.E.Q Ai X K Referência

3ª

4ª

* : Flexibilização de K para Kj não contribui no resultado da amplitude do sinal de saída

56

equivalente da Tabela 3.1 e Tabela 4.3 dada, respectivamente, na Tabela 4.9 e Tabela 4.10.

Esta região, maior, equivale à região composta por dezesseis células elementares

compreendida entres as incertezas a e b da matriz A, onde 8,37 −≤≤− a e 4,12,0 ≤≤− b . Os

valores de ξ0 para o C.E.Q e C.E.P nesta região são, respectivamente, 6,7291 e 6,2633

determinados pelas rotinas desenvolvidas. Estes valores, comparados com o valores da Tabela

4.9 e Tabela 4.10, mostram como os níveis de saída, para uma região mais abrangente, ficam

limitados ao maior valor, em negrito, entre as células elementares contidas nesta região e

indicam também, a vantagem do C.E.P sobre o C.E.Q.

6,0151 6,0472 6,1080 6,21786,0659 6,1262 6,2231 6,38166,1367 6,2222 6,3513 6,55356,2187 6,3272 6,4856 6,7276

6,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,00006,0000 6,0000 6,0000 6,02696,0000 6,0000 6,0000 6,2630

Tabela 4.9: Região de factibilidade referente à Tabela 3.1

Tabela 4.10: Região de factibilidade referente à Tabela 4.3

As próximas figuras comprovam que a amplitude do sinal de saída, ao longo do

tempo, nunca supera o valor de 0ξ minimizado no projeto do controlador e sujeito às

restrições impostas. Foram testadas todas as possíveis combinações entre os quatro vértices do

politopo da matriz A e os quatro vértices da condição inicial x(0), não diagonalmente opostos

entre si e indicados pelos vértices x1(0), x2(0), x3(0) e x4(0) do politopo cúbico da Figura 2.1,

num total de dezesseis figuras para cada critério. Os vértices Ai e xj(0), utilizados nos testes

são dados respectivamente, pelas relações (2.73) e (2.76) e identificados por índices nas

Figuras 4.1 a 4.32. As incertezas dos parâmetros a e b da matriz A, variam entre os

valores: 8,37 −≤≤− a e 4,12,0 +≤≤− b correspondendo a um conjunto de dezesseis células

elementares indicadas na Tabela 4.9 e na Tabela 4.10. Os gráficos das figuras correspondentes

ao C.E.Q, mostram gráficos mais internos em zoom. Este zoom destaca o valor de saída y(t)

para 0=t ( )0()0( xCy = ).

57

Figura 4.1: C.E.Q ( A1 e x1(0) ). Figura 4.2: C.E.P ( A1 e x1(0) ).



58




59




60




61




62


Com isto verifica-se que o valor máximo do sinal de saída para o critério de

estabilidade quadrática que é ξ0 = 6,7291, e para o critério de estabilidade projetiva que é ξ0 =

6,2633, nunca foram ultrapassados pelos valores máximos da saída y(t), Figuras de 4.1 a 4.32,

usando-se os controladores projetados em cada uma das possíveis combinações entre os

vértices Ai e os vértices xj(0), onde i e j variam de 1 a 4.

A análise dos valores de ξ0 apresentados neste capítulo, mostram que o C.E.P

proporcionou resultados mais favoráveis e significativos do que o C.E.Q, Quadro 4.3.

Portanto, conhecendo-se o vetor condição incial, é preferível projetar do controlador

)(βKK = , utilizando o C.E.P, associado à matriz ),( βαXX = , do que utilizar qualquer uma

das opções possíveis para o C.E.Q.

63

Capítulo 5

5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

5.1 CONCLUSÕES

A análise comparativa dos resultados realizada neste trabalho teve por objetivo

verificar a possibilidade de se utilizar a LMI de estabilidade projetiva (Apkarian et al., 2001)

substituindo a LMI de estabilidade quadrática (Barmish, 1985 e Ogata, 1997), ambas para

sistemas lineares, invariantes no tempo e com incertezas do tipo politópicas.

Sendo X, incógnita do problema, a matriz que realmente influencia nos resultados

analisados neste trabalho, não faz sentido, como se verificou nos resultados apresentados

especificamente pela Tabela 4.6 e Tabela 4.7, flexibilizar outras matrizes, como por exemplo

o controlador K, sem antes ter flexibilizado X da mesma forma.

Nota-se que o aumento da ordem da matriz A associada a um grande número de

incertezas, tanto de A como do vetor condição inicial x(0), pode gerar um número muito

grande de combinações Xij e com isto, um esforço computacional excessivo. Entretanto, este

fato não limita o projeto do controlador K, único ou politópico, já que não há a necessidade do

cálculo do controlador ser feito em tempo real. Porém, se o controlador for escolhido

politópico, haverá a necessidade de se calcular um controlador K(β) diferente para cada

condição inicial distinta. Neste caso, com todos os vértices Kj previamente calculados, o

tempo computacional gasto é insignificante, mas existirá para cada condição inicial distinta

aplicada ao sistema.

Entretanto, a flexibilização da matriz X(α) para X(α,β) bem como a flexibilização

do controlador K para K(β), propostas deste trabalho, adicionaram ao critério de estabilidade

projetiva mais liberdade no sentido de atender o conjunto de todas as restrições impostas ao

64

sistema. Com isto, os níveis do sinal de saída ξ0, para o critério de estabilidade projetiva,

foram reduzidos, chegando a valores de até 8%, em relação ao critério de estabilidade

quadrática, como mostra o Quadro 4.3 da Seção 4.6.1.

Note que, se o critério de estabilidade quadrática for satisfeito, o critério de

estabilidade projetiva também será. Para isto, basta que se faça, na restrição de estabilidade

projetiva, as substituições das matrizes variáveis W por X e Xi ou Xij por X, com foi verificado

nas Seções 2.2.1, 3.2.1 e 4.3.1. Portanto, se há solução para o critério de estabilidade

quadrática, haverá também solução para o critério de estabilidade projetiva.

5.2 PERSPECTIVAS

Neste trabalho foram comparados os níveis de amplitude dos sinais de saída e as

áreas de factibilidade obtidos por critérios distintos, sendo eles: Critério de Estabilidade

Quadrática e Critério de Estabilidade Projetiva, com o objetivo de verificar qual o mais

eficiente. Bons resultados foram constatados a favor do critério de estabilidade projetiva com

a flexibilização da matriz X e do controlador K. Todo o estudo envolvendo as restrições, em

forma de LMIs, foi realizado para um sistema linear invariante no tempo, com incertezas

politópicas na planta e na condição inicial e baseado na função de Lyapunov para o caso

contínuo. Portanto, como perspectivas futuras, tem-se além da adição de novas restrições,

como por exemplo, restrição de taxa de decaimento, restrição de amplitude do sinal de

entrada, restrição de índice de desempenho baseada na norma ∞H e as soluções dos

problemas que envolvem as aplicações destas restrições, especificamente para o caso do

critério de estabilidade projetiva, a possibilidade também do desenvolvimento do estudo para

o caso discreto.

65

REFERÊNCIAS

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A-1

APÊNDICE A - ESTABILIDADE PROJETIVA

Teorema A.1 (Estabilidade Projetiva (Apkarian et al., 2001)): A condição i) e as

condições das LMIs de ii) a v), envolvendo matrizes simétricas variáveis P e X e matrizes

gerais V e W , são equivalentes:

i) A é Hurwitz, portanto 0)(Re <Aiλ ; (A.1)

ii) P∃ tal que: 00

0�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+P

PAPAT

; (A.2)

iii) WX ,∃ tais que: 0)(

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++−XWXA

WAXWWXT

TT

; (A.3)

iv) VP,∃ tais que: 0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

PV

PPVA

VPAVVVT

TTT

; (A.4)

v) VP,∃ tais que: 0

0

0

)(

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

PV

PPAV

VPAVVV TTTT

. (A.5)

Prova (Apkarian et al., 2001): Note que a equivalência entre i) e ii) é o teorema

fundamental de Lyapunov para sistemas lineares em tempo contínuo. A equivalência entre iii)

e iv) é obtida, em (A.8), fazendo 1−= WV , 1−= XP e executando a transformação de

congruência (A.6) sobre (A.3).

.0

0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡P

V

(A.6)

,00

0)(

0

0�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡P

V

XWXA

WAXWWX

P

VT

TTT

,0)(

)()]([�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++−PXPVWXAP

PWAXVVWWXVT

TTTT

(A.7)

A-2

.0)(1

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++−−

PPVA

PAVVVVPVT

TTT

(A.8)

Logo, uma operação por complemento de Schur com respeito ao termo VPV T 1−

conduz a (A.4). Assim, só será provado que iv) e v) reduz-se de ii). Uma pequena prova da

equivalência entre ii) e iv) pode ser obtida pela utilização do lema da projeção recíproca,

Apêndice B. Realmente, a desigualdade de Lyapunov ii) é equivalente a:

,0�TXAAX +

(A.9)

com 1−= PX .

O uso do lema da projeção recíproca com 0=Ψ e AXS = produz:

,0)(

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−YWXA

WAXWWYT

TT

(A.10)

ou, equivalentemente em (A.13), com 1−= XP e a transformação de congruência em (A.11).

,00

0)(

0

0�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡P

I

YWXA

WAXWWY

P

IT

TT

(A.11)

,0)(

)()(�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++−PYPIWXAP

PWAXWWYT

TT

(A.12)

.0)(

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−PYPPWA

PWAWWYT

TT

(A.13)

Para a transformação de congruência, em (A.14), sobre (A.13), obtém-se (A.15)

com 1−= WV .

,00

0)(

0

0�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡I

V

PYPPWA

PWAWWY

I

VT

TTT

(A.14)

.0)(

�⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++−YPVA

PAVVVYVVT

TTT

(A.15)

Aplicando complemento de Schur com respeito ao termo YVV T , a desigualdade

(A.13) torna-se:

A-3

,0

0

0

)(

1

�

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

++−

−YV

PYPPVA

VPAVVVT

TTT

(A.16)

o qual é semelhante a (A.4) com a escolha especial de 1−= PY .

Finalmente, v) é dual de iv) pela transformação TAA → e pode se mostrar ser

equivalente a ii) pelos mesmos argumentos.

B-1

APÊNDICE B - LEMA DA PROJEÇÃO

Lema B.1 (Lema da Projeção (Apkarian et al., 2001)): Dada uma matriz simétrica

nxnℜ∈Ψ e duas matrizes Y, Q de dimensões n e existe uma P tal que a seguinte LMI seja

verdadeira:

,0�YPQQPY TTT ++Ψ

(B.1)

se e somente se a projeção das seguintes desigualdades com respeito a P são satisfeitas,

,0,0 <ΨΝΝ<ΨΝΝ QTQY

TY

(B.2)

onde YΝ e QΝ representam bases arbitrárias do espaço nulo de Y e Q, respectivamente.

Lema B.2 (Lema da Projeção Recíproca (Apkarian et al., 2001)): Seja Y uma dada

matriz positiva definida. As seguintes declarações são equivalentes:

;0i) �TSS ++Ψ

(B.3)

.0)(

ii) �⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−+Ψ

PWS

WSWWP TTT

(B.4)

se a LMI (B.4) é factível com respeito a W.

Prova (Apkarian et al., 2001): É suficiente calcular a condição de projeção

conforme o Lema B.1 com respeito à matriz geral e variável W.

C-1

APÊNDICE C - COMPLEMENTO DE SCHUR

A idéia básica do complemento de Schur (VanAntwerp e Braatz, 2000) diz que a

LMI:

,0)()(

)()(�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡xRxS

xSxQT

sendo que TT xRxRxQxQ )()(,)()( == e )(xS têm uma dependência afim de x e é

equivalente a:

.0)()()()(e0)( 1��

TxSxRxSxQxR −−

)(⇒ Suponha que a desigualdade matricial (C.1) seja verdadeira.

.0)()(

)()(�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡xRxS

xSxQT

(C.1)

Seja definida ),( vuF segundo a igualdade (C.2).

.)()(

)()(),( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

v

u

xRxS

xSxQ

v

uvuF T

T

(C.2)

Então têm-se que:

.0],[,0),( ≠∀> vuvuF

(C.3)

Considere, inicialmente 0=u , então em (C.2) obtém-se (C.4).

.0)(0,0)(),0( �xRvvxRvvF T ⇒≠∀>=

(C.4)

Adote agora v como sendo:

.)()( 1 uxSxRv T−−=

com 0≠u . Seja F(u,v) dado da seguinte forma:

,0,0)]()()()([),( 1 ≠∀>−= − uuxSxRxSxQuvuF T

C-2

.0)()()()( 1�

TxSxRxSxQ −−⇒

)(⇒ Suponha que:

.0)(,0)()()()( 1�� xRxSxRxSxQ −−

(C.5)

Fixando u e otimizando em termos de vF(u,v) definido em (C.2), obtém-se:

.0)(2)(2 =+=∇ uxSvxRF TTV

(C.6)

Desde que 0)( >xR , de (C.6), segue que:

.)()( 1 uxSxRv T−−=

(C.7)

Substituindo (C.7) em (C.2), então:

.])()()()([)( 1 uxSxRxSxQuuF TT −−=

Desde que 0)](,0)()()()([ 1�� xRxSxRxSxQ −− , o mínimo de )(uF ocorre para

0=u , que também implica que 0=v . Então, o mínimo de ),( vuF ocorre em (0,0) e é igual a

zero. Portanto, 0],[,0),( ≠∀> vuvuF , isto é:

.0)()(

)()(�⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡xRxS

xSxQT

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