Estabilidade no Domínio da Freqüência -...

1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng

Estabilidade no Domínio da Freqüência

Introdução;Mapeamento de Contornos no Plano s;Critério de Nyquist;Estabilidade Relativa;Critério de Desempenho no Domínio do Tempo Especificado no Domínio da Freqüência;Banda Passante de Sistema;Estabilidade de Sistemas com Atrasos;Controlador PID no Domínio da Freqüência;Estabilidade no Domínio da Freqüência usando MATLAB.


( )( 1)(0,2 1)

KGH j

j j jω

ω ω ω=

+ +

A margem de ganho e fase são calculadas no Diagrama de Bode

Para o sistema

Margem de Ganho = 15 dB

Margem de Fase = 180-137=430


1( )( 1)(0,2 1)

KGH j

j j jω

ω ω ω=

+ +

2 2( )

( 1)

KGH j

j jω

ω ω=

+

A resposta de freqüência de um sistema pode ser retratada por um diagrama cujos eixos são magnitude logarítmica e o ângulo de fase (Diagrama de Nichols).

Exemplos comparativos:

MG1= 15 dB, e MF1= 430

MG2= 5,7 dB, e MF2= 200

Quanto o sistema GH2(jω) é menos estável que GH2(jω) ?


2 1n ns ζω ω ζ= − ± −

2

( )( 2 )

n

n

GH ss s

ωζω

=+

2 22 0n ns sζω ω+ + =

2

( )( 2 )

n

n

GH jj j

ωωω ω ζω

=+

2

2 2 21

4n

n

c c

ωω ω ζ ω

=+

Determinar a margem de fase de um sistema de 2a. Ordem e relacionar a relação de amortecimento. Assim considere

EC de um sistema de 2a ordem Raízes a MF:

Representação no domínio da freqüência

A magnitude da resposta de freqüência é igual a 1 em uma freqüência ωc, assim

ou ( ) ( )22 2 2 2 44 0c n c nω ζ ω ω ω+ − =

Resolvendo a equação para ωc, obtém-se

A Margem de Fase do sistema é

24 2

24 1 2c

n

ω ζ ζω

= + −

0 0 1 0 1 4 2

1

4 2

1

1180 90 90

24 1

1

2

4 22 2

cmf

n

mf t

tg

g

tgωφ ζ

φ ζζ

ζω ζ

ζ

ζ− −

−

= − − = − + −

= −

+


0,01 mfζ φ=

( )( 1)(0,2 1)

KGH j

j j jω

ω ω ω=

+ +

0,01 0,43mfζ φ =;

. . 22%U P =

Relação entre o coeficiente de amortecimento ζ e a margem de fase φmf

Aproximação Linear: ζ<0,7 (boa)

Portanto, para o sistema

A encontrada foi MF1= 430

Assim,

A ultrapassagem percentual para uma entrada degrau aplicada a este sistema é aproximadamente


É fácil obter por computador a relação entre a margem de ganho e de fase e o ganho K.

2( )

( 4)

KGH s

s s=

+

Assim, para o sistema


Critérios de Desempenho no Domínio do Tempo Especificado no Domínio de Freqüência

( ) ( )( )

( ) 1 ( )

Y j G jT j

R j GH j

ω ωωω ω

= =+

( ) 12( ) 2 1p rM T

ωω ζ ζ

−

= = −

( ) ( )( ) ( )

1 ( )j G j

T j M eG j

φ ω ωω ωω

= =+

A resposta transitória de um sistema com retroação pode ser estimada a partir da resposta de freqüência a malha fechada.A resposta de freqüência a malha fechada é a resposta dada pela FT a malha fechada T(jω).A resposta em freqüência a malha aberta e fechada se relacionam como

O valor máximo do módulo da resposta de freqüência pode ser relacionado com o coeficiente de amortecimento de um sistema de 2a. Ordem por

A relação entre a resposta de freqüência a malha fechada a malha fechada quando H(jω)=1 é


( )G j u jvω = +

( )

2 2

2 2

( )

1 ( ) 1 1

G j u jv u vM

GH j u jv u v

ωω

+ += = =+ + + + +

Considerando a coordenadas no plano G(jω) iguais a u e v, então

O módulo da resposta a malha fechada M(jω) é

Elevando ao quadrado e rearranjando, obtém-se2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) 2M u M v M u M− + − − =

2 222

2 21 1

M Mu v

M M

− + = − −

2

2, 0

1

Mu v

M= =

−

É uma equação de um circulo no plano (u,v) com centro no ponto

O raio do Circulo é |M/(1-M2|

Resposta em freqüência a MA para 2 valores de ganho onde K2>K1.


Resposta de freqüência a malha fechada T(jω)= G(jω)/1+G(jω). Observar que K2>K1.

O valor Maximo de magnitude da resposta de freqüência do sistema a MF, Mpω, é o valor tangente ao lugar G(jω). O ponto de tangencia ocorre na freqüência de ressonância.

A Banda PassanteBanda Passante de K1 é ωB1.

Pode-se mostrar empiricamente que a freqüência de cruzamento, ωc, nos diagramas de Bode a MA, é relacionada coma banda passante, ωB, pela aproximação ωB=1,6ωc para o valor ζ na faixa de 0,2 a 0,8.


De modo semelhante podem ser obtidos círculos com ângulos de fase a malha fechada constante. Assim, a relação do ângulo de fase é

1 1( ) ( ) /(1 )1

v vT j u jv u jv tg tg

u uφ ω − − = = + + + = − +

2 2 0v

u v uN

+ + − =

22

2

1 1 1( 0,5) 1

2 4u v

N N + + − = +

Tomando a tangente de ambos os membros e rearrumando os termos, tem-se

Onde N=tgφ=constante. Adicionando-se o termo ¼[1+(1/N2)] a ambos os membros da equação e simplificando, obtém-se

Que é a equação de um circulo com centro u=-0,5 e v=+(1/2N). O raio é igual a ½[1+(1/N2)].

N.B. Nichols transformou os círculos M e N constantes em um diagrama com o logaritmo da magnitude e com o ângulo de fase, o qual se chama de carta de carta de NIcholsNIchols..


Carta de Carta de NicholsNichols

As curvas de fase para o sistema a Malha fechada estão assinaladas com traço cheio.


Exemplo: Estabilidade usando a carta de Nichols

( )( 1)(0,2 1)

KGH j

j j jω

ω ω ω=

+ +

São mostrados 3 pontos sobre a curva ω=0,5; 0,8; e 1,35.


2

0,64( )

[( ) 1]G j

j j jω

ω ω ω=

+ +

20log 9 dB ou 2,8p pM Mω ω

= =

2( ) ( 0,77)( 0,225 0,826) 0q s s s s= + + + =

2( )

[( ) 1]

KG j

j j jω

ω ω ω=

+ +

Exemplo: Sistema de 3a. ordem

Raízes da EC são determinadas por

O ganho K do sistema pode ser ajustado de modo a se obterem valores adequados de margem de fase e de Mpω por simples inspeção na carta de Nichols.

G(jω)= 0,64/jω[/(jω)2+. jω+1]


Banda Passante de Sistema

1

1( )

1T s

s=

+ 2

1( )

5 1T s

s=

+

Banda passante de um sistema a MF constitui uma excelente medida da faixa de fidelidade da resposta do sistema.Nos sistemas em que o modulo nas freqüências baixas é 0 dB, a banda passante é medida na freqüência de -3 dB.A velocidade de resposta a uma excitação em degrau será aproximadamente proporcional a ωB e o tempo de assentamento é inversamente proporcional a ωB.Considerem-se as 2 FT a MF a seguir:


Resposta a rampa

O sistema com maior banda passante fornece a resposta mais rápida ao degrau unitário e a maior fidelidade a resposta à rampa.

3 42 2

100 900( ) ( )

10 100 30 900T s e T s

s s s s= =

+ + + +

Agora, considere os dois sistemas de 2a. Ordem com FT:


Ambos possuem ζ=0,5.Ultrapassagem 15% A freqüência natural é 10 e 30. A banda passante é 15 e 40.Tempo pico 0,12 e 0,36.Tempo de assentamento 0,37 e 0,9.

3 42 2

100 900( ) ( )

10 100 30 900T s e T s

s s s s= =

+ + + +

O sistema com maior banda passante fornece uma resposta mais rápida.


Estabilidade de Sistema de Controle com Retardos

Muitos sistemas de controle possuem um retardo no interior da MF que afeta a estabilidade do sistema.Um retardoretardo é o intervalo de tempo entre o inicio de um evento em um ponto do sistema e sua ação resultante em outro ponto do sistema.Um retardo puro, sem atenuação, é representado pela FT ( ) sT

dG s e−=Onde T é o retardo.Este retardo/atraso introduz um deslocamento de fase na resposta de freqüência sem alterar a curva de magnitude. O critério de Niquist permanece válido pois não introduz pólos e zeros adicionais no interior do contorno.

Sistema de controle de laminadora de aço

dT

v=

Se o aço estiver se deslocando com a velocidade v, então o retardo entre o ajuste dos rolos e a medida será


Sistema de controle de Nivel


Controladores PID no Domínio de Frequencia

O contrlador PID fornece um termo proporcional, um integral e um derivativo,assim, a FT do controlador será

21 3( )c

KG s K K s

s= + +

Fazendo K3=0, tem-se o controlador PI

Este controladores PID são particularmente úteis para reduzir o erro de estado estacionário e melhorar o desempenho da resposta trasitória quando G(s) possui um ou dois pólos (ou pode ser aproximado por um processo de 2a. Ordem)

21( )c

KG s K

s= +

1 3( )cG s K K s= +Fazendo K2=0, tem-se o controlador PD


( )23 12 2

2 2

1 1 1( )c

K KK s s K s s

K KG s

s s

ττα

+ + + + = =

Os métodos de resposta de freqüência podem ser usados para representar o acréscimo de um PID. O controlador PID pode ser reescrito como

Controlador PID é uma forma de compensador eliminador de faixa (supressor de faixa) com um ganho K2 variável.

Diagrama de Bode para ωτ, K2=2 e α=10.


Obrigado pela presença e atenção!

Datas das provas serão divulgadas no Site:

http://www.ufsm.br/gepoc/renes

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