Estabilidade no Dom´ınio da Freq¨uˆencia -...

Estabilidade no Domınio da Frequencia

1. Estabilidade relativa e o criterio de Nyquist: margens de ganho e fase

2. Criterios de desempenho especificados no domınio da frequencia – Resposta

em frequencia em malha fechada

2.1 Carta de Nichols

c©Reinaldo M. Palharespag.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 18

Estabilidade Relativa e o Criterio de Nyquist

Por que estabilidade relativa? Imprecisao no modelo ou no sistema de

controle... Um modelo pode indicar que um sistema e estavel, enquanto de fato o

sistema fısico e instavel...

O que fazer? Pode-se exigir nao apenas estabilidade do sistema mas tambem

que seja estavel dentro de alguma margem de seguranca...



Margens? Considere um tracado para o diagrama de Nyquist ilustrado abaixo

G(jω1) = −m

G(jω2)

−1

φ



Margem de Ganho e o fator pelo qual o ganho em malha-aberta de um sistema

estavel deve ser alterado de modo a tornar o sistema marginalmente estavel

• Do diagrama de Nyquist (anterior), veja que em −1800 obtem-se o valor de

−m. Cabe a pergunta: de quanto pode-se multiplicar −m para cruzar o ponto

−1, tal que o sistema em malha fechada seja marginalmente estavel?

• Multiplicando pelo ganho

K =1

m. . .



Margem de Ganho – MG

me o incremento recıproco, 1/m,

no ganho do sistema quando a fase e −1800,

que resultara em um sistema marginalmente estavel

com a interseccao do ponto (−1, 0) no diagram de Nyquist



Margem de Fase – MF

me a magnitude do angulo mınimo pelo qual o diagrama

de Nyquist deve ser rotacionado a fim de interceptar o ponto

−1 que resultara em um sistema marginalmente estavel

B Na frequencia onde ocorre a margem de fase a magnitude do diagrama de

Nyquist e 1, ie, onde |G(jω2)| = 1, tal que MF = φ = ∠G(jω2) − 1800


Margens de Ganho e Fase

Plano

-1

1/MG

MF



Relacao com diagrama de Bode? As margens sao obtidas diretamente do

diagrama de Nyquist, porem podem ser lidas tambem no diagrama de Bode ?

B Claro, ja que um diagrama de Bode e tambem o tracado da mesma funcao

(ganho de malha) com coordenadas diferentes...

Como le-las em Bode?

Veja que MG ocorre na frequencia, ω1 tal que ∠G(jω1) = −1800. De Bode

pode-se ler, ω1 no diagrama de fase. Como o ganho e a recıproca da magnitude

de G(jω), porem em escala logarıtmica:

20 log1

m= −20 log m = −20 log

1

MG= |G|dB



B A margem de fase, MF, ocorre na frequencia, ω2, na qual a magnitude do

ganho de malha e unitario, ou 0dB. Portanto MF pode ser lida do diagrama de

Bode como sendo a diferenca entre a fase de G(ω2) e −1800

B Na pratica, utiliza-se mais o diagrama de Bode

B MATLAB: margim



Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20Gm=4.4812 dB (at 0.91266 rad/sec), Pm=17.504 deg. (at 0.682 rad/sec)

10−1

100

−250

−200

−150

−100

1

MG= 10

“

−|G|20

”

= 10−4.48

20 = 0.59, logo MG = 1.7



Sistemas de 2a. ordem – A margem de fase pode ser aproximada, para

ζ < 0.7, como

MF ≈ 100ζ


MA

ST

ER

125

Copyright ©

1998 by Addison W

esley Longman. A

ll rights reserved. 08 108 208 308 408 508 608 7080.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Phase margin, degrees

Dam

ping

rat

io,

z

Linear approximation5 0.01 pmz f

Figure 9.21 Damping ratio versus phase margin for a second-order system

Criterio de Desempenho no Domınio da Frequencia

Resposta transitoria × resposta em frequencia – A malha aberta e aplicado

Nyquist e Bode obtendo-se, eg, margem de fase ⇒ ζ e caracterıstica de resposta

temporal. Seria possıvel analisar resposta em frequencia em malha fechada?

Resposta em frequencia em malha fechada

FT em malha fechada

T (jω) =Y (jω)

R(jω)=

G(jω)

1 + G(jω)

Resposta em frequencia

T (jω) =|G(jω)| ejφ

|1 + G(jω)| ejη= Mejφ

sendo M a magnitude da resposta em frequencia em malha fechada, e φ a fase


Resposta em Frequencia em Malha Fechada

Pode-se obter a relacao entre T e G no plano G(jω) fazendo:

G(jω) = u + jv

Veja que da resposta em malha fechada

M =

∣

∣

∣

∣

G(jω)

1 + G(jω)

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

u + jv

1 + u + jv

∣

∣

∣

∣

=

√u2 + v2

√

(1 + u)2 + v2

ou,(

1 − M2)

u2 +(

1 − M2)

v2 − 2M2u = M2

Veja que se M = 1 entao u = −1/2...



Para M 6= 1, apos dividir por (1 − M2) e adicao do termo(

M2/(1 − M2))2

a ambos os lados obtem-se

u2 + v2 − 2M2u

1 − M2+

(

M2

1 − M2

)2

=M2

1 − M2+

(

M2

1 − M2

)2

que re-arranjado pode ser expresso na relacao abaixo

(

u − M2

1 − M2

)2

+ v2 =

(

M

1 − M2

)2

ie, um cırculo centrado em (M2/(1 − M2), 0) e raio M/(1 − M2)

Portanto se M < 1, geram-se cırculos a direita de u = −1/2 e para M > 1,

geram-se cırculos a esquerda de u = −1/2



−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 dB

−4 dB

−2 dB

−20 dB20 dB

10 dB −10 dB

6 dB

4 dB

−6 dB

2 dB

Diagrama de Nyquist

Eixo Real

Eix

o Im

agin

ario



De forma similar, cırculos de angulos de fase constantes podem ser obtidos:

φ = ∠u + jv

1 + u + jv= tan−1

(

v

u

)

− tan−1

(

v

(1 + u)

)

Usando a relacao, para N = tan φ

N = tan(θ − β) =tan θ − tan β

1 + tan θ tan β

ou

N =

v

u− v

1+u

1 + v

u

v

1+u

=

v

u(1+u)

1 + v2

u(1+u)

=v

u2 + u + v2

ou

u2 + v2 + u − v

N= 0



Adicionando-se o termo (1 + 1/N2)/4 a ambos os lados obtem-se

(

u +1

2

)2

+

(

v − 1

2N

)2

=1

4

(

1 +1

N2

)

que e a equacao de um cırculo centrado em u − 1/2 e v = 1/2N , com raio de

(1/2)√

1 + 1/N2

B Normalmente, estes cırculos podem ser representados sobre conjuntos

diferentes de eixos chamado carta de Nichols

B MATLAB: nichols



−270 −225 −180 −135 −90 −45 0−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

−12 dB

−6 dB

−1 dB

3 dB

−20 dB

0.5 dB

−3 dB 6 dB

1 dB

Carta de Nichols

Fase em Malha Aberta (deg)

Gan

ho e

m M

alha

Abe

rta

(dB

)


Nichols

Exemplo Considere o sistema realimentado como FT de malha

G(jω) =1

jω(jω + 1)(0.2jω + 1)

B A carta de Nichols e tracada na proxima tela

B Magnitude maxima, Mpω? e de +2.5dB e ocorre na frequencia

ωr = 0.8rad/s

B Angulo de fase em malha fechada em ωr? ≈ −720

B Largura de banda, ωB, em -3dB? ωB = 1.35rad/s

B Angulo de fase em malha fechada em ωB? ≈ −1420


MASTER 126

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0.5

0.8

1.35

2210 2180 2150 2120 290 260224

218

212

26

0

6

12

18

Loop phase, ] (G), in degrees

Loo

p ga

in G

, in

deci

bels

G1 1 G

Magnitude of 5 218 dB

1.0 dB

2 dB

3 dB

4 dB

5 dB

6 dB9 dB

12 dB

58

28

228

258

2108

108

2208

2308

08

20.5 dB

21.0 dB

22 dB

23 dB

24 dB

25 dB

26 dB

218

08

212

08

215

08

290

8

260

8

221

08

Figure 9.27 Nichols diagram for G( jv) + 1/jv (jv + 1)(0.2jv + 1)

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