Introdução Estabilidade Gráfico do lugar das raízes Método...

Controle de Sistemas Mecânicos

Projeto básico de controladoresProjeto básico de controladores

Introdução

Estabilidade

Gráfico do lugar das raízes

Método Ziegler-Nichols


EstabilidadeEstabilidade

Sentido BIBO

Dependente da resposta ao impulso

Assintótica, marginal, instabilidade


Pólos de malha fechadaPólos de malha fechada

fechadamalha)()()(

)()(

)(1

)(

)(

)(

sNsKsD

sNsK

sG

sG

sR

sY

+=

+=

K(s) P(s)

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

abertamalha)(

)()()(

sD

sNsKsG =

)(

)()(

sD

sNsP =


Localização dos pólosLocalização dos pólos

1)(

0)(1

−==+

sG

sG

KP s

KP s o

( )

arg[ ( )]

=

=

1

180

Considerando K(s) uma constante K

Os pólos de malha fechada portanto exigem que

)(1

)(

)(

)(

sG

sG

sR

sY

+=

1)()( −== sKPsG


Lugar das raízesLugar das raízes

Considerando o controlador proporcional e arestrição para a posição dos pólos de malhafechada (1+G(s)=0 ou 1+KP(s)=0), pode-seencontrar a curva onde variam os pólos daFT de MF a partir da FT de MA para valoresda constante K variando no intervalo .

A curva assim traçada é chamada de lugardas raízes.

Matlab: rlocus(sys) ou rlocus(np,dp)

),0[ ∞


Lugar das RaízesLugar das Raízes

Fazendo o denominador da FT de malha fechada =0 paraachar os polos:

Fazendo a constante K variar de 0 a ∞

))()((

))()(()(

321

321

pspsps

zszszsKsG

++++++=e com:

0))()(())()(( 321321 =+++++++ zszszsKpspsps

0))()(( 0 321 =+++⇒→ pspspsK

0))()(( 321 =+++⇒∞→ zszszsK

Os polos da FT de MF tendem aos polos da FT de MA

Os polos da FT de MF tendem aos zeros da FT de MA


Lugar das RaízesLugar das Raízes

onde

Colocando a FT de malha aberta na formapadrão modificada:

Se o grau do polinômio do numerador é menor do que dodenominador os zeros que faltam vão para o infinito pois:

)1)(1(

)1)(1()(

21

21

sTsT

sTsTKsG

pp

zz

++++=

11

11

1 e

1

pz Tp

Tz −=−=

∞→−=⇒→⇒→+ ± 1

1111

z 0 1)1(p

zz TTsT


Lugar das RaízesLugar das RaízesMuda a FT de MF:

P(s)

Y(s)R(s)

K(s)

H(s)

-

Se a realimentação não é unitária

)()()(1

)()(

)(

)(

sPsKsH

sPsK

sR

sY

+=

Com a malha aberta incluindo H(s) tem-se

)()()(1

)()()(

)(

)(1

sPsKsH

sPsKsH

sR

sY

+=

P(s)

R(s)

K(s)

H(s)

- Y1(s)

Y(s)

O denominador é igual: usar rlocus com KPH


Exemplo Exemplo 18.18.1: Planta de 2a. ordem1: Planta de 2a. ordem

Para a planta cuja FT está abaixo encontre oGLR.

Y s

U s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +1

2 4


SoluçãoSolução 18.1:18.1: Diagrama do LGR Diagrama do LGR

Encontra-se o seguinte diagrama:

p=[-4 -2];

np=1;

dp=poly(p);

rlocus(np,dp)

OBS: Para essecaso, os pólossempre estarãono SPE -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s


Repetir para a planta cuja FT estáabaixo

Y s

U s s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +1

2 4

Exemplo Exemplo 18.18.2: Planta de 3a. ordem2: Planta de 3a. ordem


SoluçãoSolução 18.18.2: Diagrama do LGR2: Diagrama do LGREncontra-se o seguinte diagrama:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

Obs: Nesse caso,para um dadovalor de K, asraízes passampara o SPD,levando àinstabilidade.

p=[0 -4 -2];

np=1;

dp=poly(p);

rlocus(np,dp)


Considerando a planta:

Y s

U s

s s

s s s

( )

( ) ( )( )= + +

+ +

2 6 18

2 4

Exemplo Exemplo 18.18.3: Planta com pólos e zeros3: Planta com pólos e zeros


SoluçãoSolução 18.18.3: Diagrama do LR3: Diagrama do LREncontra-se o seguinte diagrama:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Real Axis

Imag

Axi

s

p=[0 -4 -2];

np=[1 6 18];

dp=poly(p);

rlocus(np,dp)

ζ = const . ℑ

ω ζn 1 2−

−ζωn

θα

ωσλ i+=

cosα ζ=ωn const= .

•

nω

ωσλ i−= 21 ζω −− n

ℜ

aumenta ζ

aumenta n


Metodologia de projetoMetodologia de projeto

Determina modelo da planta Parâmetros da resposta ao degrau Uso do diagrama das raízes Estabelece solução Compara resultados Refaz projeto se necessário


EspecificaçõesEspecificações

Parâmetros do sistema– Freqüência natural– Fator de amortecimento

Parâmetros da resposta– Percentual de sobressinal– Tempo de estabilização– Erro estacionário

– Pico da ressonância– Freqüência de ressonância– Banda de passagem– Taxa de queda– Outros parâmetros


Sistemas de segunda ordemSistemas de segunda ordem

Função de transferência

Raízes e resposta ao degrau

22

2

2)(

)(

nn

n

sssU

sY

ωζωω

++=

])1cos[(1

1)(

1

12

2

22,1

ζζωζ

ζωζωλζω

−−

−−−

−=

−±−=

sinte

ty

j

n

t

nn

n


Resposta ao degrauResposta ao degrau

Percentual de sobressinal

Tempo de estabilização

10)1

exp(1002

<≤−

−= ζζ

πζPSS

n

eT

ζωτ

ττ1

54

=

<<

)100

(ln

)100

ln(

22

PSS

PSS

+=

πζ


Uso do lugar das raízesUso do lugar das raízes

Forçar a localização dos pólosdo sistema de malha fechadaque possam acarretar osparâmetros do desempenhodesejados

– Por exemplo:• PSS < 25%• Te < 5 seg


Exemplo Exemplo 18.18.4: Projeto de controlador4: Projeto de controlador

Para o sistema cuja FT está abaixo,projetar um controlador que assegureum sobressinal menor que 20% paraa FTMF.

)4)(2(

8

)(

)(

++=

ssssU

sY

K P(s)

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

6

Re a l Axis

Imag

Axi

s

SoluçãoSolução 18.18.4: Encontrando o FA4: Encontrando o FA

Dado o PSS encontra-se o FA através de

46,0

)100

(ln

)100

ln(

22

=+

=

PSS

PSS

πζ

p=[-4 -2 0];dp=poly(p)np=8;rlocus(np,dp), holdalfa=acos(0.46);a=tan(alfa);im=0:0.1:6;re=-1/a*im;plot(re,im)

46,0=ζ


SoluçãoSolução 18.18.4: Encontrando o 4: Encontrando o ganho Kganho K

Encontra-se o K usando rlocfind eclicando no ponto de interseção.

ou:

zoom, pause[k, pol]=rlocfind(np,dp)np=[0 0 0 8];nma=k*np;dma=dp ;nmf=nma;dmf=dma+nma;sismf=tf(nmf,dmf);damp(sismf)

-0.75 -0.7 -0.65 -0.6 -0.55

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

Re al Axis

Imag

Axi

s

)4)(2(

8k

)(

)(

++=

ssssD

sN

ma

ma

)()(

)(

)(

)(

sNsD

sN

sD

sN

mama

ma

mf

mf

+=

zoom, pause[k, pol]=rlocfind(np,dp)sisma=tf(k*np,dp);sismf=feedback(sisma,1)damp(sismf)


SoluçãoSolução 18.18.4: 4: Verificando o resultadoVerificando o resultado

Verificando o resultado, será traçada a resposta aodegrau e calculados os seus parâmetros.

figure(2) [y, t]=step(sismf);plot(t,y), grid[pss te ts tp]=fstepar(t,y)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


MÉTODO ZIEGLER-NICHOLSMÉTODO ZIEGLER-NICHOLS

Considerando apenas o ganho proporcional,encontrar o ponto em que a malha fechadaoscila sem amortecimento (ou seja, o pontode estabilidade marginal);

Chamando de Km e ωm o ganho e a freqüêncianeste ponto, usar

πω

ωπ mp

im

pdmp

KK

KKKK ===

46.0


Exemplo Exemplo 18.18.5: Metodologia 5: Metodologia ZieglerZiegler--NicholsNichols

Aplicar a metodologia Ziegler-Nichols paraprojetar um controlador PID com PSS menorque 20 % e tempo de estabilização a 2 %menor que 6 segundos para a planta abaixo.

)5)(1(

1

)(

)(

++=

ssssU

sY


SoluçãoSolução 18.18.5: Programa5: Programa

np=[0 0 1];

dp=poly([-5 -1 0]);

rlocus(np,dp);

[km pol]=rlocfind(np,dp)

wm=imag(pol(2))

kp=0.6*km;

kd=(kp*pi)/(4*wm)

ki=(kp*wm)/pi

nk=[kd kp ki]

dk=[1 0];

nma=conv(nk,np);

dma=conv(dk,dp);

nmf=nma;

dmf=dma+nma;

sismf=tf(nmf,dmf);

figure(2)

[y,t]=step(sismf);

plot(t,y), grid

[pss ts te tp]=fstepar(y,t)

sisma=tf(nma,dma);

sismf=feedback(sisma,1);

figure(2)

[y,t]=step(sismf);

plot(t,y), grid

[pss ts te tp]=fstepar(y,t)


Solução 18.5:Solução 18.5: Conclusão Conclusão

A solução anterior não atende às especificações,portanto deve-se variar os parâmetros docontrolador ate chegar a uma soluçãosatisfatória, lembrando que

– KD influi diretamente no amortecimento– KP influi na velocidade de resposta– KI influi no erro estacionário


ExercícioExercício 18.1: 18.1:

Considerando o motor CC abaixo, aplique ametodologia Ziegler-Nichols para encontrar umcontrolador PID e apresente o diagrama de blocosrespectivo. Analise o desempenho obtido eexplique como poderia ser melhorado.

2

0.2

0.2 /

0.2 / /

0.1 / / 2

0.1 / /

a

a

T

b

R

L Hy

K N m A

K V rad seg

J N m rad seg

C N m rad seg

= Ω== −=

= −= −

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