Estabilizacao de PIDs Em Processos Modelados Por Algoritmos

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÕES

O controle PID continua sendo uma ferramenta fundamental para o controle

industrial, devido, principalmente, a sua simplicidade, sendo a forma de controle com

realimentação dominante em processos industriais. Atualmente, com a implementação

digital deste sistema de controle, criou-se uma série de novos algoritmos de sintonia que

superam os primeiros métodos analógicos para sua utilização, visto que o método de

Ziegler-Nichols apresenta regras bastante pobres e resultados insatisfatórios para uma

sintonia mais precisa.

Nos últimos anos notou-se uma forte tendência do uso do controle PID para

atuação no gerenciamento de processos industriais, com inovações na estrutura deste

sistema e com a utilização de algoritmos que melhoram o seu desempenho. No

Workshop de Controle Digital realizado em 2000 (Barcelona, Espanha), foi analisada a

evolução do controle PID, sendo apresentadas novas técnicas de sintonia e atuação

conjunta do PID com controladores não lineares ou sistemas com controladores

preditivos.

Os aspectos relevantes das novas técnicas do controle PID, incluem o estudo das

especificações quanto à resposta ao set-point sujeito à distúrbios e ruídos, robustez à

incertezas do modelo, regiões de estabilidade em função do uso da realimentação em

sistemas em malha fechada, etc [ASTROM e HAGGLUND, 2001].

1.2 OBJETIVOS

Este trabalho propõe a implementação de um método para obtenção dos

parâmetros de sintonia de um controlador PID, através da alocação de pólos em funções

2

de transferência polinomiais, utilizando a representação de Tchebyshev de funções

racionais [BHATTACHARYYA e KEEL, 2002]. A função de transferência,

reproduzindo o sistema a ser controlado, é obtida por meio de um algoritmo genético

que resolve diretamente o problema de estimação de modelos de processos,

representado por funções de transferência lineares na forma de pólos e zeros.

O algoritmo genético utilizado tem como objetivo encontrar um modelo de

ordem reduzida que melhor represente a planta real, a partir dos sinais de entrada e

saída, baseado em estudo realizado por [FÁVARO, 1999]. Obtido o modelo para a

planta linear discreta e invariante no tempo (DTLTI) coloca-se a equação característica

do sistema em malha fechada com um PID parametrizado em K0, K1 e K2. Expressa-se,

em seguida, a imagem no plano complexo desta função polinomial em termos de

polinômios de Tchebyshev de várias ordens.

Em seguida determina-se a quantidade de raízes com respeito às regiões

circulares do plano, segundo a representação de Tchebyshev, e obtém-se um gráfico que

representa a região de estabilidade do sistema controlado, na qual são selecionados os

parâmetros de sintonia (K0, K1 e K2) que compõem a função de transferência do

controlador.

1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

Esta dissertação é composta de cinco capítulos. O primeiro visa determinar a

aplicabilidade do sistema, utilizando uma estrutura de identificação por Algoritmos

Genéticos em conjunto com um controlador desenvolvido pelo método de Keel e

Batcharyya. Na segunda etapa, os conceitos mais comuns na sintonia de controladores

PID são apresentados, destacando-se os aspectos positivos e negativos na utilização de

cada uma das metodologias e futuras tendências. A terceira etapa apresenta a

metodologia proposta para a sintonia de PID’s, destacando-se a interação dos processos

de identificação e controle. As características do método usado para a obtenção de um

conjunto de parâmetros de estabilização do controlador PID são detalhadas. Na quarta

etapa apresentam-se os resultados obtidos, em função do desempenho alcançado nas

simulações de vários sistemas. Finalmente, na quinta parte da dissertação discute-se a

aplicabilidade, funcionalidade dos resultados obtidos e perspectivas futuras.

3

CAPÍTULO 2

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 - INTRODUÇÃO

Existem, na literatura e na prática industrial, vários métodos para o ajuste de

controladores PID. Cada um desses requer pré-requisitos, algum tipo de informação

sobre a dinâmica e limites do processo a ser controlado, e esta informação é

fundamental na determinação do método de melhor aplicabilidade. Para se estabelecer

um método prático de ajuste, deve-se obter informações através de ensaios sobre o

processo ou através de leituras de variação de entrada e respectiva saída. Estas

informações devem ser suficientes para possibilitar uma proposta de ajuste de

parâmetros adequado do controlador.

Logo, a quantidade e a qualidade das informações obtidas do processo serão

determinantes na seleção do método e no desempenho da malha fechada, promovendo

um compromisso entre simplicidade e desempenho do controlador.

2.2 - MÉTODOS CLÁSSICOS DE SINTONIA

Os métodos mais usuais na prática industrial de ajuste de controladores PID são

os métodos de Ziegler-Nichols com suas variações, o ajuste pela alocação dos pólos e o

ajuste por método freqüencial. O uso destes métodos deve-se essencialmente ao fato de

apresentarem um compromisso adequado entre desempenho e simplicidade. A seguir

são descritas as principais características de cada método.

4

Desde 1942, os métodos de Ziegler-Nichols(1942) são as bases para os diversos

procedimentos de sintonia de controladores PID. Estes métodos continuam a ser

amplamente utilizados, por vezes com alguma modificação ou em conjunto com ajustes

manuais ou ainda em combinação com técnicas avançadas de sintonia fina. Os dois

métodos básicos de ajuste de Ziegler-Nichols – resposta ao salto e período crítico –

fornecem uma resposta padronizada do sistema em malha fechada, resposta a qual se

difere quanto à natureza da informação e a forma para sua obtenção nos respectivos

métodos.

O método da resposta ao degrau, como o próprio nome indica, ou método no

domínio do tempo, caracteriza-se pela obtenção do gráfico da resposta ao degrau do

processo. A partir deste gráfico determinam-se dois parâmetros que descrevem a

resposta temporal do sistema e a partir dos quais se obtêm os valores de sintonia. Já o

método da realimentação por relé, ou método do período crítico, reproduz a condição

limite de oscilação na saída do processo de tal forma a se obter dois parâmetros que

descrevem a resposta freqüencial do processo para aplicação em fórmulas que

determinam os ajustes do controlador PID.

Como estes métodos foram obtidos empiricamente, em algumas situações,

apresentam respostas que necessitam de correções. Surgindo então ao longo dos anos

novas propostas que aprimoram o desempenho das fórmulas originais. Entre estas

fórmulas citam-se: Regras complementares de Ziegler e Nichols [MANZ E TACCONI,

1989], regras de sobre-passo [SEBORG, EDGAR E MELLICHAMP, 1989], regras

refinadas de Ziegler e Nichols [HANG, ASTROM E HO, 1991], etc.

Na seqüência desta sessão, será apresentada uma revisão dos métodos de Ziegler

e Nichols e de alguns outros utilizados com freqüência na sintonia de controladores

PID. Esta revisão é baseada no livro de [BAZANELLA, GOMES DA SILVA JR.

(2005)].

2.2.1 - Método da Resposta ao Degrau

A resposta típica de um processo a um degrau unitário na sua entrada é

apresentada na figura 1.

5

Figura -1: Características da resposta ao degrau do processo relevante para o ajuste de

Ziegler-Nichols

A partir desta resposta gráfica devem-se encontrar dois parâmetros necessários à

sintonia do PID: o atraso aparente L, e a constante de tempo dominante T. Estes

parâmetros são obtidos traçando uma reta tangente à curva de resposta no seu ponto de

inflexão, como mostrado na figura 2. Os parâmetros são dados então pela interseção

desta reta com os eixos coordenados.

Ziegler e Nichols propuseram as seguintes fórmulas para cálculo dos parâmetros

do controlador, a partir dos parâmetros (a e L), obtidos de um gráfico como o da figura

2; sendo a = L/T, o ganho integral equivalente.

Figura -2: Parâmetros relevantes para o ajuste de Ziegler-Nichols

6

Tabela 1: Tabela de Ziegler e Nichols pelo método da resposta ao degrau

Tipo de

controlador

K Ti Td

P 1 / a ∞ 0

PI 0,9 / a L / 0,3 0

PID 1,2 / a 2 L L / 2

Os valores da tabela 1 foram determinados de forma experimental. Neste caso

específico, o objetivo do controle era obter um amortecimento de 1/4 na resposta à

referência para o processo industrial típico da figura 1. Esta tabela apresenta bons

resultados quanto à rejeição de perturbações, porém não é satisfatório na resposta à

referência, causando um overshoot. Outras fórmulas foram propostas, tentando melhorar

o desempenho dinâmico no processo. A tabela 2 apresenta uma proposta de fórmulas

mais adequada na ação proporcional e integral.

Tabela 2: Método da resposta ao degrau corrigido [Ogata, 1997].

Overshoot 0% 20%

Tipo de

controlador

K Ti Td K Ti Td

P 0,3 / a ∞ 0 0,7 / a ∞ 0

PI 0,35 / a 1,2 T 0 0,6 / a T 0

PID 0,6 / a T 0,5L 0,95 / a 1,4T 0,47L

O campo de aplicação deste método tem como foco as plantas que possuem

resposta semelhante à apresentada na figura 2. Para os demais sistemas, como por

exemplo, os que têm comportamento oscilatório, o método não é aplicável. Além disso,

em função da necessidade da análise gráfica da resposta do sistema, este método pode

apresentar restrições práticas, como nos casos de sistemas com baixa relação sinal-

ruído, resultando na impossibilidade da determinação dos pontos de inflexão da curva.

7

Contudo, devido a sua simplicidade, o método é largamente aplicado em processos

industriais [BAZANELLA, GOMES DA SILVA JR., 2005].

2.2.2 - Método do Período Crítico

Para um processo em malha fechada sob ganho proporcional, aumenta-se o

ganho proporcional até obter-se uma saída oscilatória de amplitude fixa. Nesse ponto o

ganho é chamado de ganho crítico e a oscilação tem o que chamamos de período crítico.

Esse método apresenta alguns inconvenientes tais como o tempo para obtenção dos

parâmetros, disponibilidade da planta para obtenção de informações necessárias para

aplicação dos cálculos e a natureza linear da oscilação faz com que ela sempre seja

amortecida ou instável.

Uma maneira muito mais eficiente para evitar os problemas já citados e

determinar estes parâmetros é o ensaio de realimentação com relé. Considerando o

processo em malha fechada com um relé na realimentação, como na figura 3. A saída do

relé oscila entre dois valores até se obter a saída igual a r(t), a figura 4 apresenta a

resposta do sistema nesta condição.

Figura - 3: Processo em malha fechada.

8

Figura - 4: - Resposta do sistema.

O período desta oscilação é o chamado período crítico do processo Pc(t) e o

outro parâmetro é o ganho crítico K u, que é o ganho necessário para levar o sistema à

instabilidade sob controle proporcional.

Ad

Kuπ

=

Onde A é a amplitude da oscilação observada e d é amplitude do ganho crítico.

Obtendo-se o ganho crítico e o período crítico, aplicam-se as fórmulas de Ziegler

e Nichols apresentadas na tabela 3.

Tabela 3: Fórmulas de Ziegler e Nichols para ajuste pelo método do período

crítico.

Tipo de

controlador

K Ti Td

P 0,5 Ku ∞ 0

PI 0,4 Ku 0,8 Tu 0

PID 0,6 Ku 0,5 Tu 0,125 Tu

9

Em função da histerese resultante do chaveamento do relé, este método

apresenta-se menos sensível a ruído se comparado ao método da resposta ao degrau.

Porém, para sistemas muito simples o método apresenta restrições, pois as

características da oscilação - amplitude e freqüência - são determinadas pelas

características do relé, não interagindo em função das características do processo

[BAZANELLA, GOMES DA SILVA JR., 2005].

O método do período crítico apresenta um desempenho semelhante ao método

de Ziegler e Nichols de resposta ao degrau, sendo as fórmulas tabeladas insuficientes

para garantir uma resposta adequada a uma vasta gama de processos. Necessita-se na

maioria dos processos, um melhor ajuste que pode ser obtido com o auxílio do

conhecimento do ganho estático do processo, que consiste na resposta do sistema em

malha fechada a uma pequena variação na sua entrada (resposta ao degrau), ou através

de um ajuste fino manual nos demais parâmetros de sintonia.

2.2.3 - Alocação de Pólos

Um método bastante utilizado para cálculo e sintonia de controladores em geral,

e não apenas de PID´s, é o método por alocação de pólos, o qual consiste em alocar os

pólos do sistema em malha fechada em posições pré-especificadas. Os pólos assim

escolhidos determinam o polinômio característico de malha fechada. Então o ajuste do

controlador consiste em calcular os parâmetros que satisfazem uma equação diofantina;

como será visto a seguir.

Para o caso do controlador PID considera-se que o modelo do processo é dado

por uma função de transferência estritamente própria de segunda ordem e que o

controlador PID é descrito por uma função de transferência caracterizada por seus

parâmetros Kp, Ki e Kd os quais devem ser calculados a partir das especificações dadas.

De um modo geral, o problema de projeto por alocação de pólos consiste em

calcular um controlador com dois graus de liberdade, conforme figura 5, para um

sistema linear com realimentação da saída, tal que:

A(q)y(k) = B(q) u(k) (1)

10

Figura- 5: - Controlador linear com dois graus de liberdade.

Onde A(q) e B(q) são polinômios empregando o operador deslocamento à frente

de q; tal que o grau de B(q) é menor que o de A(q) e o polinômio A(q) é mônico (o

coeficiente do termo q de maior potência é igual a um).

A dinâmica do processo tem a função de transferência B(q) / A(q), que inclui:

um circuito segurador, um atuador, um sensor, e um filtro anti-aliasing. O controlador

para este sistema tem uma saída “u” e duas entradas: o sinal de referência “uc” e a saída

medida “y”, conforme figura 5, que usa a formulação RST [ASTROM E

WITTENMARK, 1995]:

A partir desta representação o sinal de controle vale:

R(q).u(k) = T(q).uc(k) – S(q).y(k) (2)

O polinômio R(q) pode ser escolhido de forma que o coeficiente do termo de

maior potência em q seja igual a um. A lei de controle acima (equação 2) representa

uma combinação de um termo antecipatório Hff(z) = T(z) / R(z) e um de realimentação

Hfb(z) = S(z) / R(z). Para que o controlador seja causal o grau de R(z) deve ser maior ou

igual ao grau de S(z) e T(z). A figura 5 pode ser reestruturada como na figura 6.

A fim de se determinar a equação característica do sistema em malha fechada,

elimina-se u(k) nas duas equações 1 e 2:

)()()()())()()()(( kuqTqBkyqSqBqRqA c=+

11

Figura- 6: - Controlador RST.

Da equação acima, passa-se a utilizar a notação de (z) em função do controlador

tornar-se causal, assim, tendo-se o polinômio característico do sistema em malha

fechada:

Acl(z) = A(z).R(z) + B(z).S(z)

O projeto por alocação de pólos consiste em achar os polinômios R(z) e S(z) que

satisfaçam a equação acima. Esta equação é chamada de equação Diofantina.

Considerando-se que o polinômio característico pode ser fatorado em duas partes, uma

delas correspondendo aos pólos devido à realimentação de estado Ac (pólos do

controlador), e a outra correspondendo aos pólos devido a um observador de estado

)(0 zA . Logo:

Acl(z) = Ac(z). Ao(z)

Sendo:

)]()(/[)()()()(/)()()()( 0 zAzAzUzTzBzAzUzTzBzY ccclc ==

O polinômio T(z) pode ser escolhido de forma a cancelar o polinômio do

observador )(0 zA . Assim,

12

)()( 00 zAtzT =

A resposta do sistema ao sinal de comando é então dada por:

)(/)()()( 0 zAzUzBtzY cc= (3)

O parâmetro 0t é escolhido para obter o ganho estático desejado do sistema.

Considerando-se a atenuação da resposta na saída à rejeição a perturbações e a robustez

do sistema, é desejável que este valor seja igual à unidade. Para se ter um ganho unitário

tem-se )1(/)1(0 BAt c= .

Em seguida determinam-se os polinômios R(z) e S(z), tal que o grau S(z) ≤ grau

R(z), que satisfaça a equação:

)()()()()( zAzSzBzRzA cl=+

Tendo o polinômio característico em malha fechada como )()()( 0 zAzAzA ccl = ,

sendo o grau )(0 zA ≤grau R(z), e fazendo-se:

)()( 00 zAtzT =

)1(/)1(0 BAt c=

Considerando-se a lei de controle dada na equação 2 e a resposta ao comando

dada na equação 3, a equação envolvendo o regulador PID discreto é:

)()]1(1

11[)(]1

11[)( 111 tyzkd

zkikptuc

zkikptu −

−− −+−

+−−

+=

Onde:

1)( 1 =−zR

])12()1[()( 211 −−− +−−+++= kdzzkdkdkikpzS

])1[()( 11 −− −+= zkikpzT

13

Em resumo, o projeto de uma malha PID por alocação de pólos consiste dos

seguintes passos:

1. Obter um modelo para o processo;

2. Escolher os pólos de malha fechada;

3. Calcular os coeficientes resolvendo as equações;

4. Calcular os parâmetros do controlador

Os dois últimos passos são aplicações diretas das fórmulas relacionadas

anteriormente, no entanto, os dois primeiros passos são fundamentais para um bom

desempenho do método exigindo por isso maior cuidado na execução. A obtenção de

um modelo pode ser feita através de um ensaio da resposta ao degrau do sistema, ou

usando o método dos mínimos quadrados para cálculo dos coeficientes do polinômio

que compõem a função de transferência do modelo. Na escolha dos pólos de malha

fechada deve-se considerar ainda o tempo de estabilização exigido [BAZANELLA,

GOMES DA SILVA JR., 2005].

2.2.4 - Resposta em Freqüência (loop shaping)

Esta técnica baseia-se no uso de diagramas de Bode para representar a resposta

em freqüência do processo, partindo de uma entrada senoidal variável na sua freqüência.

A sintonia do controlador PID é feita através da alteração desta resposta, introduzindo

mudanças adequadas no formato da resposta em freqüência da função de malha, podem-

se alcançar determinados limites impostos pelos critérios de controle. Este

procedimento de projeto também é conhecido como loop shaping.

Os critérios são valores especificados:

a) a margem de ganho (MG), que representa o máximo fator multiplicativo pelo

qual o ganho do controlador pode ser aumentado sem que o sistema em malha fechada

perca a estabilidade;

b) a margem de fase (MF) corresponde ao máximo valor que poderia ser

subtraído da fase da função de realimentação sem que o sistema em malha fechada

perdesse a estabilidade;

14

c) a banda passante (BP) do sistema que limita as freqüências de operação do

sistema. Estes critérios estão relacionados à velocidade de resposta, sobre passagem e

robustez a erros de modelamento.

A maior banda passante da função de transferência de malha terá a resposta do

sistema mais rápida. A margem de fase e a margem de ganho expressam a robustez do

sistema a erros de modelagem. Uma boa margem de fase garante pequeno over shoot .

2.2.5 - Ajuste Manual

Apesar da maioria das técnicas apresentadas obterem resultados satisfatórios, os

ajustes normalmente podem ser melhorados de forma manual, sem significantes

mudanças nos parâmetros de sintonia previamente escolhidos. As condições citadas na

tabela 4, auxiliam na obtenção de melhor desempenho do controlador.

Tabela 4: Ajuste manual [BAZANELLA, GOMES DA SILVA JR., 2003].

Problema Medida de ajuste

Resposta muito lenta Aumentar ganho proporcional

Resposta excessivamente oscilatória Aumentar tempo derivativo

Sobre passagem excessiva Reduzir taxa integral

Resposta inicialmente rápida e em seguida

muito lenta Aumentar taxa integral

2.2.6 - Aplicações de Cada Método

O método da resposta ao degrau é simples e direto, no entanto, pela sua própria

simplicidade, é pouco preciso devido a sua sensibilidade a ruídos e a análise gráfica. O

método do período crítico é menos limitado, porém a implementação do ensaio é menos

prática e direta devido à utilização do relé no qual este método está baseado. A tabela 5

resume as vantagens e desvantagens dos métodos revisados e propõe alguma indicação

de como selecionar o método de sintonia de acordo com características do processo.

15

Tabela 5: Regras para seleção do método de sintonia [BAZANELLA, GOMES

DA SILVA JR., 2003].

Método Vantagens Desvantagens Aplicações

Resposta ao degrau simplicidade Sensibilidade a

ruídos

processos não

oscilatórios

Baixo

desempenho

Período crítico simplicidade Baixo

desempenho processos simples

robustez

sist. eletromecânicos

com baixos requisitos

de desempenho

Alocação de pólos flexibilidade obtenção do

modelo Atraso significativo

alto desempenho

Resposta em

freqüência alto desempenho

complexidade do

projeto processos genéricos

robustez

Ajuste manual Ajuste fino

Os ajustes obtidos a partir destes ensaios podem ser suficientes para grande parte

dos processos industriais, no entanto existem aplicações em que maior precisão e

desempenho são exigidos. Nestes casos é preciso basear o ajuste em uma maior

quantidade de informação sobre o processo. Para isso, alguns desses critérios são

resumidos a seguir.

As exigências das especificações do projeto são basicamente as respostas a

perturbações, ruídos, ao set-point e quanto à robustez do modelo. Os critérios de

regulação expressam o desempenho do controlador quanto à sobre passagem, tempo de

estabilização e erros provocados por distúrbios. A robustez do controle permite

minimizar incertezas causadas por erros na escolha da ordem do modelo adotado para o

processo. A região de estabilidade tenta evitar a principal desvantagem do processo de

16

realimentação, a qual é garantir que o processo não se torne instável, determinando uma

região para os valores máximos e mínimos de sintonia do controlador.

A sintonia do controlador é outro campo de pesquisa que se desenvolveu nos

últimos anos, considerando aspectos do conhecimento, obtenção e avaliação do projeto,

e redução do tempo computacional.

É importante que o projetista disponha de ferramentas para avaliação do

processo, as quais determinam condições para tornar o controle aceitável, tais como a

dinâmica do processo, não linearidades, incertezas e distúrbios.

As estratégias de controle variam em função do melhor desempenho dos

parâmetros de sintonia do PID. Controladores lineares são recomendados para sistemas

de complexidade restrita (dois graus de controle), em função de sua simplicidade de

implementação para controle. A resposta ao set-point pode ser limitada para condições

de operação críticas com o uso de filtros, considerando tempos de resposta, não

linearidade do sistema e máxima sobre passagem (over shoot) do sistema

[BAZANELLA, GOMES DA SILVA JR., 2005].

2.2.7 - O Futuro do PID

O controle PID vem sendo usado satisfatoriamente em vastas e diferentes áreas,

o que permite afirmar que ainda será empregado por um longo tempo. Mesmo sendo

uma das formas mais simples de controle, os recentes algoritmos de ajuste permitem

uma aplicação mais eficiente na sua sintonia, possibilitando seu uso em conjunto com

técnicas inovadoras para o controle.

As questões a serem solucionadas no desenvolvimento de novos controladores

PID envolvem especificações de valores que garantam robustez nas variações do

processo, formatação de estruturas matemáticas conforme as características de resposta

a distúrbios, ruídos e set-point, e determinação de regiões de estabilidade em função dos

ganhos derivativo e proporcional. Projetos de estruturas e sintonia com filtros passa –

baixa, imunes a distúrbios, também estão sendo pesquisados. No aspecto

computacional, a identificação e a estrutura de controle são executadas simultaneamente

utilizando rotinas otimizadas, avaliando o comportamento do controlador e as possíveis

estratégias para atuação considerando a resposta ao set-point, os processos com atraso

na resposta, os sistemas oscilatórios ou não lineares [ASTROM e HAGGLUND, 2001].

17

CAPÍTULO 3

METODOLOGIA PROPOSTA Este trabalho propõe a implementação de um método para obtenção dos

parâmetros de sintonia de um controlador PID, através de polinômios utilizando a

representação de Tchebyshev de funções racionais. As funções são obtidas por meio de

um algoritmo genético aplicado ao problema de estimação de modelos de processos,

utilizando funções de transferência lineares na forma de pólos e zeros reais.

O algoritmo genético proposto tem como objetivo encontrar um modelo que

melhor represente a planta real, a partir dos sinais de entrada e saída, expressos na

forma de pólos e zeros. Essa identificação direta de pólos e zeros reais de funções de

transferência é um problema não-linear, para o qual a utilização do método dos mínimos

quadrados não é adequada já que não é possível garantir a natureza real dos pólos e

zeros.

Obtido o sistema da planta linear discreta e invariante no tempo, expressa-se em

termos de polinômios de Tchebyshev, de primeira e segunda ordem, a imagem no plano

complexo desta função polinomial.

Determinada a quantidade de raízes com respeito às regiões circulares do plano

nos termos da representação de Tchebyshev, obtém-se um gráfico que representa a

região de estabilidade para sintonia do sistema, na qual são selecionados os parâmetros

de sintonia do controlador.

3.1 INTRODUÇÂO AOS POLINÔMIOS DE TCHEBYSHEV

Considera-se que um sistema de controle discreto no tempo seja constituído por

uma planta linear discreta e invariante no tempo (DTLTI – discrete time linear time

invariant) com entrada e uma saída descrita por sua função de transferência no domínio

z, G(z) e um controlador DTLTI, C(z), conforme ilustrado na figura 7:

18

Figura 7: Planta de Controle

As funções de transferência apresentadas pela figura 7 são funções racionais e

podem ser descritas como nas equações 4 e 5.

)()()(

zDzNzG =

(4)

)()()(

zDzNzC

C

C= (5)

O polinômio característico do sistema em malha fechada é:

)()()()(:)( zNzNzDzDzP CC += (6)

A condição necessária e suficiente para a estabilidade do sistema de controle em

malha fechada é que as raízes do polinômio característico, chamados de zeros de

)(zP possuam módulo menor que uma unidade. Esta condição é geralmente referida

como estabilidade de Schur de P(z).

Se P(z) é um polinômio real de grau “n”, a estabilidade de Schur de P(z), pode

ser caracterizada em termos de sua representação de Tchebyshev, a qual é detalhada no

apêndice 1. De acordo com [BHATTACHARYYA e KEEL, 2002] propõem-se o

seguinte teorema:

Teorema 1: Um polinômio real P(z) de grau “n” é Schur estável se e somente

se, para a sua representação de Tchebyshev, as seguintes condições sejam satisfeitas:

C(z) G(z)

19

(a) R(u) tem “n” zeros reais e distintos dados por: ri, i = 1, 2. . . , n, no intervalo

aberto (-1, 1),

(b) T (u) tem “n – 1” zeros reais e distintos dados por: tj, j = 1, 2. . . , n - 1, no

intervalo aberto (-1, 1),

(c) os zeros ri e tj se entrelaçam: ,1...1 12211 +<<<<<<<<− − nn rttrtr

A prova deste teorema pode ser encontrada em [BHATTACHARYYA e KEEL,

2002].

Considerando que C(z) na figura 7 seja um controlador PID discreto, obtido

utilizando-se a aproximação para trás (backward) para ambas as partes integrativa e

derivativa, tem-se [BHATTACHARYYA e KEEL, 2002]:

)1(

2

)(

11

)(

2

−

+

−−+

++

=

−+

−+=

zzTKdz

TKdKpz

TKdKiTKp

zC

zz

TKd

zzKiTKpzC

Onde Kp, Ki e Kd são os ganhos proporcional, integral e derivativo,

respectivamente, e T e taxa da amostragem.

Estas equações podem ser simplificadas para:

)1(012)(

2

−++

=zz

KzKzKzC (7)

Onde:

021 KKKp −−= (8)

TKKKKi 210 ++

= (9)

TKKd 0= (10)

Substituindo-se a equação 7 na equação 6 tem-se:

)()012()()1()( 2 zNKzKzKzDzzzP +++−= (11)

20

Desta forma o projeto de um controlador PID, consiste em encontrar o conjunto

de parâmetros K0, K1, K2 e, por conseguinte Kp, Ki, Kd tal que o polinômio P(z) na

equação (11), seja Schur estável.

O conjunto de parâmetros assim determinados é chamado de conjunto de

estabilização (stabilizing set) do polinômio P(z).

A seguir, utilizando a representação de Tchebyshev de polinômios e funções

racionais, descritos no apêndice 1, e o teorema 1 para a estabilidade de Schur,

apresenta-se um método de cálculo dos conjuntos de estabilização de P(z) dado pela

equação 11. A idéia principal é construir um polinômio ou função racional para P(z) tal

que os parâmetros do controlador sejam separados em partes reais e imaginárias, as

quais possam ser facilmente traçadas no plano z. Este método foi inicialmente

desenvolvido em [BHATTACHARYYA e KEEL, 2002].

3.2 CÁLCULO DO CONJUNTO DE ESTABILIZAÇÃO

Considere o sistema de controle ilustrado pela figura 7, com um controlador PID

representado pela equação 7, e a planta representada pela equação 4.

Obtêm-se o polinômio característico:

)()012()()1()( 2 zNKzKzKzDzzz +++−=δ (12)

Onde:

)(1)()(

)(1)()(

2

1

2

1

2

2

uTNujuRNzN

uTDujuRDzD

ujuz

ujuz

−+=

−+=

−+−=

−+−=

O polinômio característico dado pela equação 12, sendo reescrito utilizando-se a

representação de Tchebyshev (equação 31 do apêndice 1), e multiplicando-se o

polinômio característico pelo fator )( 11 −− zNz ,tem-se:

)()()012()()()1()()( 111111 −−−−− +++−= zNzNzKKzKzNzDzzNzz δ

Obtendo-se:

)2,0,(1)2,1,0,()( 2 KKuTujKKKuRu −+=δ

21

Sendo:

3]1)322[()(2)1()(1)1()2,1,0,( 2 PKuKKuPuuPuKKKuR −−−−−+−= (13)

)(33)(2)1()(1)2,0,( uPKuPuuPKKuT ++−= (14)

Para:

)()1()()(3

)()()()()(2

)()()1()()()(1

222

2

uTuuRuP

uTuRuTuRuP

uTuTuuRuRuP

NN

NDDN

NDND

−+=

−=

−+=

(15)

A representação de Tchebyshev δ(u) para δ(z) de acordo com

[BHATTACHARYYA e KEEL,2002] é:

)2,0,(1)2,1,0,()( 2 KKuTujKKKuRu −+=δ (16)

Considerando-se K3 = K2 - K0,

O cálculo da região de estabilização corresponde, assim, em calcular todos os

valores de K1, K2 e K3 tal que δ(z) na equação 12 seja Schur estável, isto é,

)2,1,0,( KKKuR na equação 13 e )2,0,( KKuT na equação 14 satisfaçam as condições

(a), (b) e (c) citadas no teorema 1 do item 3.1.

Para um dado valor de K3, o centro da região gerada (valores de K1 e K2) pode

ser considerada a melhor sintonia para o controlador em questão. No entanto, o centro

desta região pode não ser único, e é necessário utilizar algum critério que permita

escolher um algoritmo de otimização do tipo “minmax” para encontrar este centro, o

qual segundo [KACEWICZ et al, 1986] corresponde ao centro de Tchebyshev de uma

esfera mínima contendo a região de estabilização.

Para construir esta região é necessário determinar a distribuição de raízes de

δ(z), ou seja, de R(u) e T(u), que estão localizados dentro e fora do circulo unitário, sem

determinar as raízes em sí. Existem vários métodos na literatura para contar as raízes

(root counting) de uma função polinomial ou racional com coeficientes conhecidos.

Entre estes se podem citar Jury, Roible e matriz de Schur-Cohn [HEINIG e

JUNGNICKEL, 1984].

Neste trabalho optou-se por utilizar o método de contagem de raízes proposto

por [BHATTACHARYYA e KEEL, 2002] que para o caso de cálculo de regiões de

22

estabilização de sistemas realimentados com controladores com dois parâmetros resulta

em regiões caracterizadas por desigualdades lineares, ao contrário dos métodos

clássicos que geram regiões para os ganhos determinadas por desigualdades não

lineares.

A partir de uma imagem do círculo unitário em termos de polinômio de

Tchebyshev, o método de [BHATTACHARYYA e KEEL, 2002] determina as fases dos

polinômios de Tchebyshev que representam o sistema realimentado e calcula-se a

região de estabilização para este sistema, em função dos sinais e das raízes destes

polinômios. Este método é detalhado no apêndice 2.

3.3 MÉTODO PROPOSTO POR [BATCHARIA, REGO e KEEL, 2002]

Para ilustrar, o método será aplicado em um exemplo simples, a partir do qual

será elaborado um algoritmo para cálculo da região de estabilização de uma malha PID:

Exemplo 1

Seja a planta G(z):

)()(

25,01)( 2 zD

zNz

zG =−

=

Calcular RN(u), TN(u), RD(u)e TD(u):

RN(u)=1

TN(u)=0

RD(u)=c2(u) – 0,25 = 2u2 – 1,25

TD(u)= -2u

Calcular, conforme equações 15, P1(u),P2(u) e P3(u):

P1(u) = RD(u)RN(u) + (1 -u2)TD(u)TN(u)

P1(u) = (2u2 – 1,25)(1)+(1 - u2 )(-2u)(0)

P1(u) = 2u2-1,25

23

P2(u) = RN(u)TD(u) – RD(u)TN(u)

P2(u) = (1)(-2u) – (2u2 –1,25)(0)

P2(u) = -2u

P3(u) = RN2 (u) + (1- u2 )TN2 (u)

P3(u) = (1)2 + (1 - u2 )(0)2

P3(u) = 1

Calcular R(u,K1,K2,K3) e T(u,K3), a partir das equações 13 e 14

respectivamente:

)25,1())2(25,3(24)3,2,1,(

)2(2225,125,122)3,2,1,(

)2[()22()25,1225,12()3,2,1,(

)1]()2[()2)(1(25.12)1()3,2,1,(

)(3])2[()()1()()1()3,2,1,(

13223

132323

132323

13222

13222

1

KuKKuuuKKKuR

KuKKuuuuuKKKuR

KuKKuuuuuKKKuR

KuKKuuuuKKKuR

uPKuKKuPuuPuKKKuR

++−−+−−=

+−−++++−−=

+−−+−−−+−−=

−−−−−−−+−=

−−−−−+−=

)25.1(24),(

2225.12),(

)1()2)(1(25.12),(

)()()1()(),(

32

3

322

3

32

3

33213

−++=

+++−=

+−+−−=

++−=

KuuKuT

KuuuKuT

KuuuKuT

uPKuPuuPKuT

Como G(z) é um polinômio de ordem 2 e C(z) também é de ordem 2, o número

de raízes de δ(z) dentro do círculo unitário deve ser 4 para garantir a estabilidade (Schur

stable).Considerando-se as raízes -1 e +1, é necessário estabelecer o domínio de K3 de

forma que T(u, K3) possua 2 raízes de multiplicidade ímpar de acordo com o teorema

(1). Como T(u, K3) é um polinômio de ordem 2, a condição necessária é que o

descriminante desta equação ∆ = ( acb 42 − ) seja maior que zero para garantir que não

existam raízes imaginárias, ou para garantir raízes de multiplicidade ímpar.

5,1020164

0)25,1)(4)(4(204

)25,1(24),(

3

3

32

23

23

<>+−

>−−

>−=∆

−++=

KK

Kacb

KuuKuT

24

De acordo, com o método do apêndice 2, é necessário agora estabelecer o

número de zeros de δ (z) dentro do círculo unitário iδ, o número de zeros de Nr(z)

dentro do círculo unitário iNr e o número de zeros de N(z) dentro do círculo unitário Z, e

calcular (il – i2). Por simplicidade, é considerado que N(z) não tenha zeros no círculo

unitário e, portanto, Nr(z) também não. Desta forma:

iδ=4

iNr=0

l=0

(i1-i2)=( iδ-iNr)-(l+1)=(4-0)-(0+1)

(i1-i2)=3

Estabelecer um valor para K3 para encontrar as raízes reais de T ( u, K3) em ( -1,

+1 ). Supondo K3 = 1,3:

43421

43421

2

1

4736,0

0264,08/)8,042(

)2/()4(

)05,024)3.1,(25,13,124)3.1,(

2

1

2

2

2

t

t

ue

uu

aacbbu

uuuTuuuT

−=

−=−±−=

−±−=

++=

−++=

u={-1,-0.4736,-0.0264,+1}

)]3.1,2,1,1([)]3.1,2,1,0264.0([2)3.1,2,1,4736.0([2)]3.1,2,1,1([6

)])1([)1()])([()1(2)]1([)](1)(1([213

)])1([)1()])([()1(2)]1([)](1)(([21)21(

2

112

11

KKRSgnKKRSgnKKRSgnKKRSgn

RSgntRSgnRSgnTSgn

RSgntRSgnRSgnpTSgnii

j jj

k

jk

jj

+−−+−−−=

+−+−+−−=

+−+−+−−=−

∑

∑

=+

=+

25

92856,029472,01)3.1,2,1,4736.0(125,161568,029472,05392,144859,042491,0)3.1,2,1,4736.0(

)125,1()4736,0))(3,122(25,3()4736,0(2)4736,0(4)3.1,2,1,4736.0()125,1())322(25,3(24)3,2,1,(

23

23

−+=−++−+−−=−

++−−−+−−−−=−

++−−+−−=

KKKKRKKKKR

KKKKRKuKKuuKKKuR

12856,120528,01)3.1,2,1,0264.0(125,103432,020528,00858,0001394,00000736,0)3.1,2,1,0264.0(

)125,1()0264,0))(3,122(25,3()0264,0(2)0264,0(4)3.1,2,1,0264.0()125,1())322(25,3(24)3,2,1,(

23

23

++=−++−+−−=−

++−−−+−−−−=−

++−−+−−=

KKKKRKKKKR

KKKKRKuKKuuKKKuR

2,0221)3.1,2,1,1(125,13,12225,324)3.1,2,1,1(

)125,1()1))(3,122(25,3()1(2)1(4)3.1,2,1,1()125,1())322(25,3(24)3,2,1,(

23

23

−−=+++−+−−=

++−−+−−=

++−−+−−=

KKKKRKKKKR

KKKKRKuKKuuKKKuR

Considerando-se que a função Sgn[x] apresentada no apêndice 2, pode assumir

os valores -1 ou +1 (como o objetivo é testar a estabilidade, o valor 0 não é

considerado) as parcelas xj,onde j = 1,2,. , . , iδ, correspondente ao número de strings

(valor referentes aos sinais da equação 13 de estabilidade das parcelas “xj”) possíveis é

igual a δi2 . No caso deste exemplo, iδ = 4, portanto 42 = 16 possíveis strings (x1 a x4),

porém somente uma, dentre as 16 strings, satisfazem a equação 17.

4444 34444 21

44444 344444 2144444 344444 214444 34444 21

1

111

)]3.1,2,1,1([

)]3.1,2,1,0264.0([2)3.1,2,1,4736.0([2)]3.1,2,1,1([6

−

−

+−

−+−−−=

KKRSgn

KKRSgnKKRSgnKKRSgn (17)

6)1()1(2)1(216 =−−+−−=

3,1221)3.1,2,1,1(125,13,12225,324)3.1,2,1,1(

)125,1()1))(3,122(25.3()1(2)1(4)3.1,2,1,1()125,1())322(25,3(24)3,2,1,(

23

23

−+=−++−+−−=−

++−−−+−−−−=−

++−−+−−=

KKKKRKKKKR

KKKKRKuKKuuKKKuR

26

Desta forma, para um valor fixo de K3 = 1,3, os valores possíveis de K1 e K2

são obtidos resolvendo-se o seguinte sistema de inequações lineares:

012,0221)3.1,2,1,1()0112856,120528,01)3.1,2,1,1()

0194856,029472,01)3.1,2,1,4736.0()013,1221)3.1,2,1,1()

<−=−−=>=++=

<−=++=−>=−+=−

KKKKRdKKKKRc

KKKKRbKKKKRa

A região de estabilidade (ou região estável) do sistema de controle, a qual

satisfaz as condições do sistema de equações é obtida repetindo-se esse processo para

todo o domínio de K3, conforme mostra a figura 8 com as respectivas retas provenientes

das inequações.

Figura 8: Região de estabilidade para K3 = 1,3

Seguindo os passos obtidos do exemplo 1, o seguinte procedimento é

estabelecido para o cálculo da região de estabilização de um sistema realimentado

através de um controlador PID digital, com dois parâmetros:

1- Calcular a representação de Tchebyshev (R(u) e T(u)) da planta de acordo

com a equação 4, isto é, calcular os polinômios de Tchebyshev para N(z), (Rn(u) e

Tn(u)) e para D(z) , (Rd(u) e Td(u)) como apresentado no apêndice 1.

b Região de estabilidade a d K2 c K1

27

2- Calcular a representação de Tchebyshev da equação característica em dois

passos:

Calcular P1(u), P2(u) e P3(u) na equação 15.

Calcular R(u,K1,K2,K3) e T(u,K3) de acordo com as equações 13 e 14.

3- Calcular o número de raízes de P(z) dentro do círculo unitário de acordo com

o apêndice 2.

4- Considerando as raízes +1 e -1, estabelecer o domínio de K3 de forma que

T(u,K3) tenha raízes de multiplicidade ímpar.

5- Escolher um valor para K3, no domínio determinado no passo 4, e calcular as

raízes de T(u,K3).

6- Para cada raiz “ti” de T(u,K3), calcular uma equação para R(ti, K1, K2, K3).

7- Determinar o sinal de cada parcela de R(ti, K1, K2, K3) de tal modo que a

“regra do sinal” apresentada no apêndice 2 seja satisfeita.

8- Construir a região de estabilização S(K1, K2) gerada pelas desigualdades

lineares em K1 e K2 obtidos para cada R(ti, K1, K2, K3) nos passos 6 e 7.

9- Calcular o centro de Tchebyshev da região de estabilização encontrada

através do método “minmax” [MATLAB,2002] e considera-lo como a melhor sintonia

para aquela região.

10- Fazer uma varredura de valores no domínio de K3 e repetir os passos 5 a 9,

obtendo um conjunto de regiões.

11- Escolher a melhor sintonia dentre o conjunto de regiões obtidas

O método de sintonia descrito nos passos 1 a 11 pode ser usado em quaisquer

processos mesmo os que possuem função de transferência de ordem elevada,

respeitando sempre a rotina desenvolvida para determinar um valor para K3 que atenda

a condição de estabilidade de Schur. Também pode ser usado com outros tipos de

controladores de parâmetros fixos, sendo necessário ajustar as equações de

parametrização. Neste trabalho, estudar-se-á também o caso do controlador PID para

máximo deadbeat.

28

3.4 CONTROLE POR MAXIMALLY DEADBEAT PARA PID

Um método importante para controle discreto é o controle deadbeat em que

alocam-se pólos na origem. Se usado em conjunto com um controlador integral, o erro

estacionário é zerado em um número finito de passos. O controle deadbeat requer em

geral que se possam alocar os pólos do sistema. Porém, a alocação de todos os pólos

não é possível se é usado um controlador de ordem baixa. Assim, projeta-se um

controlador PID que realimente o sistema tão próximo da origem quanto possível. A

resposta transitória de tal sistema se reduzirá mais rapidamente que em qualquer outro

controlador e então será alcançada a convergência do erro do controlador de PID

[BHATTACHARYYA e KEEL, 2002].

O esquema de controle a ser desenvolvido tentará alocar os pólos em um círculo

de raio mínimo ρ, determinado em função do raio gerado pelos pólos do modelo do

sistema em malha aberta. Supondo que Sp agrega o conjunto de raízes do sistema

realimentado com parâmetros do controlador PID. Mostra-se abaixo como Sp pode ser

computado para um valor fixo de ρ. O valor mínimo de ρ pode ser achado determinando

o valor ρ* para o qual Sρ*=ø, mas Sρ≠ ø, ρ>ρ*.

Agora considerando o controlador de PID:

)1(012)(

2

−++

=zz

KzKzKzC

E o polinômio característico:

)()012()()1()( 2 zNKzKzKzDzzz +++−=δ

Utilizando a representação de Tchebyshev vista na equação 16, tem-se:

),(1),()(

),(1),()(

2

1

2

1

2

2

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

uTNujuRNzN

uTDujuRDzD

ujuz

ujuz

−+=

−+=

−+−=

−+−=

e

),(1),()()( 2

11

1222 ρρρ

ρρρρuTNujuRNzNzN

ujuzujuz−+==

−+−=−+−=

−

29

Avaliando-se agora:

)()]()012()()1([)()( 12

)(

2121212 −−−− +++−= zNzNKzKzKzDzzzzNzzz

ρρρδρδ

4444444 34444444 21

Em cima do círculo Cp :

=−+−=

−−21

1212 )()(ujuz

zNzzρρ

ρδρ

)],(3)02(),(2)1(),(1[1

),(3]1)20[),(2)1(),(1)1(2232

22232

ρρρρρρρρ

ρρρρρρρρρ

uPKKuPuuPuj

uPKuKKuPuuPu

−++−−+

−+−−−+−

onde

),()1(),(),(3

),(),(),(),(),(2

),(),()1(),(),(),(1

222

2

ρρρ

ρρρρρ

ρρρρρ

uTuuRuP

uTuRuTuRuP

uTuTuuRuRuP

NN

NDDN

NDND

−+=

−=

−+=

Deixando

02:3 2 KKK −= ρ

tem-se:

=−+−=

−−21

1212 )()(ujuz

zNzzρρ

ρδρ

)],(33),(2)1(),(1[1

),(3]1)322[(),(2)1(),(1)1(232

22232

ρρρρρρρ

ρρρρρρρρρ

uPKuPuuPuj

uPKuKKuPuuPu

++−−+

−−−−−+−

Para determinar o conjunto dos parâmetros dos controladores do sistema

realimentado que possuem raízes dentro de um círculo de raio ρ procede-se como

estabelecido anteriormente no item 3.3. Fixe K3, use as fórmulas que contam as raízes,

desenvolva inequações lineares em K1, K2 e executa-se a otimização para obter os

valores de K1e K2 respeitando o alcance requerido de K3 (Estabilidade de Schur). Este

procedimento é executado então com reduções de ρ analisando o conjunto de

parâmetros de estabilização PID encontrados.

30

Exemplo 2

Considera-se a mesma planta usada no exemplo 1. Com o conjunto de

parâmetros de estabilização no PID para o espaço de ρ = 0,275. Para um valor menor de

ρ, desaparece a região de estabilização de parâmetros para controle PID. Isto significa

que não há nenhum controlador de PID disponível dentro de um círculo de raio menor

que 0,275. Então seleciona-se um ponto dentro da região que é:

K0 = 0,0048

K1 = -0,3195

K2 = 0,6390

K3 = 0,0435

Da relação, tem-se:

=

−

−+

−−

=

0048,03243,03099,0

321

0

111221

2

2

2

KKK

TTTTTT

KdKiKp

ρ

ρρ

Os pólos em malha fechada dentro do círculo de raio ρ = 0,275 são as raízes:

0,25+/-j0,1118 e 0,25+/-j0,0387

Com o conjunto dos parâmetros de sintonia K0, K1, K2 e K3, obtêm-se uma

melhor resposta com a variação de ρ, em função da restrição da área de estabilidade.

Comprova-se esta condição nas simulações de sintonia (item 4.2), nas quais é feita uma

análise das várias sintonias obtidas em função das variações de ρ.

31

3.5 IDENTIFICAÇÃO DE PÓLOS E ZEROS ATRAVÉS DE ALGORITMOS GENÉTICOS

A utilização do procedimento descrito na sessão anterior para cálculo de regiões

de estabilização, requer que os polinômios N(z) e D(z) da planta dada na equação 4 não

possuam raízes fora ou sobre o círculo unitário e que, além disto, estas raízes sejam

reais e distintas e de multiplicidade ímpar. Achar um modelo que represente bem a

planta na sua faixa de operação satisfazendo estas condições não é uma tarefa trivial,

principalmente se são utilizados métodos clássicos de identificação tais como mínimos

quadrados e erro de saída (output error) [LJUNG, 1997].

Em [ARRUDA, FÁVARO e NEVES, 2003] foi apresentado um estimador

baseado em algoritmos genéticos [MICHALEWICZ, 1996] capaz de identificar

modelos por pólos e zeros a partir de dados medidos da planta. Este estimador encontra

o melhor modelo do sistema para um mínimo determinado de pólos e zeros, baseado no

compromisso entre os erros de polarização e variância.

A fim de se obter um modelo para a planta que permita calcular as regiões de

estabilização como requerido pelo procedimento detalhado em 3.3, propõe-se nesta

dissertação uma adaptação do estimador genético de [ARRUDA, FÁVARO e NEVES,

2003] de tal forma que ele sempre forneça modelos com raízes reais, distintas e dentro

do círculo unitário.

Tal adaptação é apresentada na sessão 3.5.1.

3.5.1 Representação Proposta no Trabalho

No algoritmo original, a representação das famílias que compõe o indivíduo e,

portanto, a estrutura do modelo a ser identificado é feita por dois pólos e dois zeros e

com suas respectivas partes reais e imaginarias. A estrutura do modelo a ser utilizada é a

seguinte:

])(1][)(1[])(1][)(1[)( 1

2241

113

1222

11111

−−

−−−

±−±−±−±−

=qjdcmqjdcmqjbamqjbamKqG

32

O modelo é representado como um indivíduo da população (família de modelos)

da seguinte forma:

Indivíduo → (K, a1, b1, a2, b2, c1, d1. c2, d2, m1, m2, m3, m4)

Onde:

ganhoK = K = ganho em malha aberta do sistema

)Re( ii za = ia = parte real do i-ésimo zero

<≥

=0)Im(,0)Im(,0

ii

ii zb

zb =ib parte imaginária do i -ésimo zero

)Re( ii pc = =ic parte real do i -ésimo pólo

<≥

=0)Im(,0)Im(,0

ii

ii pd

pd =id parte imaginária do i -ésimo pólo

=10

lm =lm multiplicador do i -ésimo pólo / zero

iii jbaz += =iz i -ésimo zero

iii jdcp += =ip i -ésimo pólo

i={1,2} i = índice para os pólos / zeros

l={1,2,3,4} l = índice para os multiplicadores dos pólos / zeros

A partir desta solução, podem-se adaptar os parâmetros do modelo identificado,

ou seja, a sua estrutura, para atender aos requisitos de controle que garantam a

estabilidade de Schur, condição fundamental para a decomposição de Tchebyshev

(teorema 1 do item 3.1). Desta forma os parâmetros “b” e “d” foram excluídos para

assegurar a existência de apenas pólos e zeros reais na estrutura do modelo utilizado, e o

multiplicador “m” foi limitado para assegurar a multiplicidade ímpar dos pólos e zeros,

permitindo, porém o ajuste do modelo o mais próximo do sistema real.

33

Desta forma, um indivíduo da população associado a uma família de modelos

estimados deve ser procurado dentro dos seguintes espaços de busca:

ia ]1,1[ +−⊂

ic ]1,1[ +−⊂

K ]20,10[ 4−⊂

m ]1,0[ +⊂

Um ponto a se ressaltar é a escolha da função de fitness. Esta função proposta é

composta de duas parcelas: uma responsável pela minimização do erro de polarização e

a outra responsável pela minimização do erro de variância. Esta função pode ser vista na

equação 18, retirada de [FÁVARO, 1999]:

2

1)(

1

2

xy

w

ii cb

a

eeF−−

−

+∑

==

η

(18)

Onde η corresponde ao erro de estimação e Cxy é o coeficiente de correlação

cruzada entre a saída real do sistema e a saída obtida através do estimado genético. Os

fatores "a" e "b" são fatores de ponderação utilizados a fim de ajustar as quantidades a

serem minimizadas.

3.5.2 Descrição do método de seleção utilizado

De acordo com [FÁVARO, 1999] a seleção de indivíduos para produzir as

gerações seguintes tem um papel muito importante para o funcionamento de um AG. A

seleção é baseada no coeficiente de "fitness" e os melhores indivíduos têm maiores

chances de serem selecionados. Existem vários métodos de seleção: método da roleta e

suas extensões, técnicas de escalonamento, torneio, modelos de elitismo, e métodos de

"ranking" [GOLDBERG 1989, MICHALEWICZ 1996]. O método de seleção utilizado

neste trabalho foi o "Ranking" Geométrico.

34

Os operadores genéticos utilizados foram:

. Mutação uniforme

. Mutação não uniforme

. Multi-mutação não uniforme.

. Cruzamento simples.

. Cruzamento aritmético

. Cruzamento heurístico

A quantidade de mutações na geração da população analisada foi reduzida,

visando um menor tempo computacional, respeitando a precisão numérica do modelo

no critério de "fitness".

3.5.3 Inicialização da População

O AG precisa de uma população inicial como ponto de partida de seu

funcionamento. Optou-se pela geração aleatória dos indivíduos.

3.5.4 Critério de Parada do AG

O término do algoritmo genético é determinado quando se atinge o(s) critério(s)

previamente definido(s). O critério de parada utilizado foi o número máximo de

gerações ou o "fitness" máximo ter sido alcançado. A ocorrência de um destes eventos

já é suficiente para determinar que uma boa solução fosse encontrada.

35

3.6 METODOLOGIA PROPOSTA

Nesta seção, são aplicados os resultados prévios para o problema de estabilização de

um sistema de controle digital. Considerando que a planta a ser controlada é

representada por sua função de transferência de tempo discreto.

A função de transferência do processo foi obtida através do algoritmo genético

ajustado para fornecer um modelo com pólos e zeros reais, visando a utilização do

procedimento proposto na sessão 3.3 e a posterior sintonia de parâmetros do PID em

função do cálculo da região de estabilidade da malha fechada.

Discretizada a planta, aplicou-se um sinal do tipo degrau na entrada do sistema

identificado para se obter os valores de tempo de estabilização para a simulação do

processo. Com um valor inicial de ρ = 1, inicia-se a obtenção dos polinômios de

Tchebyshev, tratando o numerador e denominador da função de transferência de forma

separada. Obtida as equações para alocação dos pólos no sistema utiliza-se o teorema de

estabilidade de Schur, determinando o domínio de K3, através de uma varredura de

valores, até obter um polinômio sem raízes imaginárias. Esta varredura é feita prevendo-

se o caso de sistemas de ordem maior que 2, a qual permitiria a determinação de

polinômios sem raízes imaginárias por meio da fórmula de Báscara. O próximo passo é

determinar os valores das raízes da equação T(u,K3). Obtêm-se os parâmetros de

sintonia da equação do controlador PID por meio de otimização na área de estabilidade,

usando o método dos mínimos e máximos, resolvendo este sistema de inequações que

limitam a área de estabilidade, estes valores para sintonia se encontram dentro da região

de estabilidade formada no gráfico da Figura 7. Monta-se o sistema em malha fechada e

aplica-se a equação de controle para variações de set-point e se analisa o resultado.

Repetindo o fluxograma de programação várias vezes decrementando o espaço do

círculo ρ até este não possuir mais raízes em seu interior. O decremento deve ser menor

conforme o grau do sistema e exigência da estabilização esperada, como foi visto no

controle por maximally deadbeat. Concluída esta rotina, os valores de melhor sintonia

para a malha são determinados pela análise dos gráficos obtidos durante a variação do

raio ρ , dentro do círculo unitário.

36

CAPÍTULO 4

RESULTADOS

4.1 CONSIDERAÇÕES

Neste capítulo são abordados os seguintes aspectos:os modelos utilizados para

teste da identificação, o espaço de busca o critério de parada, resultado da identificação,

o desempenho dos parâmetros de sintonia do controlador, seleção do melhor valor para

ρ, resultado da sintonia comparada a outro método.

A plataforma de software utilizada para o desenvolvimento do programa foi o

MATLAB com auxílio de uma biblioteca específica para algoritmos genéticos [JONES

1998], [FÁVARO, 1999]. Alguns dos parâmetros principais utilizados podem ser visto

na tabela a seguir:

Tabela 6 - Tabela dos Parâmetros Básicos do AG.

Parâmetros Gerais do AG Valores Utilizados

Tamanho da População 150

N° máximo de Gerações 400

Precisão Numérica 0,000001

Discretização do Espaço 0,0001

37

Objetivando analisar o desempenho do processo de sintonia serão utilizados

critérios de avaliação de desempenho, quantificando a qualidade dos parâmetros

utilizados. Estes critérios serão:

Integral do quadrado do valor do erro (ISE):

∫∞

=0

2)( dtteISE

Este critério é empregando na análise de sistemas que apresentam pequenos

erros na resposta a variações no set point, devido a sua alta sensibilidade.

Integral do valor do erro absoluto (IAE):

∫∞

=0

)( dtteIAE

Para complementar a análise do erro do critério ISE, empregasse o critério IAE

que visa avaliar melhor o sobre passo na resposta do sistema.

Integral do valor do erro absoluto no tempo (ITAE):

∫∞

=0

2 .)( dttteITAE

Este critério é mais indicado para análise do erro estático do controlador ao

longo do tempo.

Para análise de desempenho dos ganhos de sintonia apresentam-se os três

critérios para cada conjunto de parâmetros escolhidos.

38

4.2 SINTONIA DO PID DIGITAL

Serão analisados os desempenhos de sintonia para os seguintes casos:

a) Caso 1

Para um processo proposto com função de transferência igual a:

G(z) = 25,0

12 −z

(19)

Os pólos são: 0,5 e -0,5.

A resposta em malha aberta ao degrau é:

Figura 9: Resposta em malha aberta ao degrau.

Aplica-se o algoritmo de identificação. A resposta está vinculada ao polinômio

característico não apresentar nenhuma parcela com números imaginários. É obtido o

seguinte resultado para o processo de identificação:

G(z) = 2158,00565,0

7447,12 −− zz

(20)

Os pólos são: 0,4937 e -0,4937.

39



O gráfico 11 compara o desempenho do sistema original em relação ao modelo

identificado referente às variações em sua entrada.

Figura 11: Resultado comparativo da identificação.

40

A curva linha tracejada é a resposta do sistema a variações no set-point, o

gráfico apresenta em linha cheia a resposta do modelo obtido utilizando a identificação

por algoritmo genético. Percebesse por meio deste gráfico que a identificação foi eficaz

na formulação do modelo, tendo resposta praticamente igual a do sistema.

Utilizando o método proposto neste trabalho, os ganhos do controlador foram

obtidos a partir de variações de ρ (utilizou-se variações de 0 a 1). A tabela 7 mostra os

melhores resultados de sintonia. O melhor caso é para ρ=0,35, escolhido por apresentar

o menor erro para pelo menos 2 índices (ISE, IAE e ITAE).

Tabela - 7: Tabela dos parâmetros de Sintonia por Tchebyshev.

ρ K1 K2 K3 Kp Ki Kd ISE IAE ITAE 0,3400 0,2937 0,1396 0,200 0,0740 0,2495 -0,1839 5,0120e-005 0,0071 181,2362

0,3500 0,3521 0,1375 0,200 0,0142 30,648 -0,0018 6,4568e-006 0,0025 65,0502

0,5100 0,3405 0,1455 0,300 0,1838 22,380 -0,0026 0,0099 0,0996 2,5503e+003

0,6400 0,3606 0,1505 0,400 0,3161 17,281 -0,0034 0,0532 0,2307 5,9051e+003

0,6500 0,4298 0,1467 0,400 0,2462 23,847 -0,0034 0,3374 0,5809 1,4871e+004

41

Figura 12: Resposta do Sistema a sintonia obtida pelo método de Tchebyshev.

Para validar o desempenho da resposta do método de Tchebyshev, a figura 13

apresenta a resposta do sistema da equação 19, utilizando um controlador PID

sintonizado pelo método da resposta ao degrau proposto por Ziegler e Nichols. Foi

escolhido este método para comparação em função da sua grande aplicabilidade

industrial e por ser um dos métodos mais difundidos de sintonia PID. Foram feitas

simulações também com o método do período crítico de Ziegler e Nichols, porém as

respostas foram inferiores as obtidas pelo método de resposta ao degrau.

Deve-se salientar que em função da curva de resposta ao degrau da figura 9, o

ponto de inflexão não pode apresentar precisão para escolha dos parâmetros de sintonia,

porém a variação destes parâmetros está dentro de uma margem pequena de tolerância,

suficiente para obter a sintonia do controlador PID.

Foram feitos ajustes manuais nos valores dos ganhos do controlador obtidos

pelas fórmulas do método de resposta ao degrau e relé, para permitir um melhor

desempenho do sistema, os valores originais estão na tabela 8. Demonstra-se no gráfico

da figura 13, que houve um aumento do tempo de estabilização do sistema e

subamortecimento, em comparação com o método de Tchebyshev.

42

Figura 13: Resposta do Sistema a sintonia obtida pelo método de resposta ao degrau.

Os parâmetros de sintonia utilizados neste método foram:

Tabela -8: Tabela de ganhos para os métodos de comparação.

Método Kp Ki Kd ISE IAE ITAE

Valor ajustado 0,9 3,1 0,00047 0,0060 0,0772 494,0690

Degrau 1,9 0,028 0,00047 _ _ _

Relé 0,31 0,25 0,625 _ _ _

Através dos gráficos da figura 12 e 13, e em função dos critérios de erro,

percebe-se o desempenho superior para o conjunto de parâmetros de sintonia do

controlador PID obtidos pelo método proposto neste trabalho. Considerando-se as

imposições de ordem do modelo para a identificação e a escolha dos parâmetros pelo

método de Tchebyshev, que não abrangem todas as combinações possíveis para a

variação de ρ, os valores dos critérios de avaliação ISE, IAE e ITAE ratificam o melhor

desempenho do método.

43

b) Caso 2

Seguem-se os mesmos passos do caso 1, agora para um sistema proposto com

uma função de transferência de terceira ordem igual a:

G(z) = 1251,025,05003,0

5003,00001834,023

2

−−+++−zzz

zz (21)

Os zeros são: 5453,1 e -0,5.

Os pólos são: -0,005+0,5i e -0,005-0,5i.



Aplica-se o algoritmo de identificação para o processo, e é obtido o seguinte

modelo de segunda ordem:

G(z) = 0,2029 - 0,0105

0,826 2 zz +

(22)

Os pólos são: -0,4557 e 0,4452.

44




45

Utilizando o método proposto, obtém-se a sintonia do controlador com os

parâmetros:

Tabela - 9: Tabela dos parâmetros de Sintonia por Tchebyshev.

ρ K1 K2 K3 Kp Ki Kd ISE IAE ITAE 0,1900 0,0706 0,3255 0,3000 0,5059 10,7830 -0,0029 0,0163 0,1276 2,4663e+03

0,2500 0,0480 0,3099 0,3000 0,5133 7,7197 -0,0028 0,0509 0,2256 4,3582e+03

0,3200 0,1693 0,3362 0,4000 0,5619 13,9866 -0,0037 0,0049 0,0700 1,3521e+03

0,4100 0,2488 0,3470 0,5000 0,6345 15,4123 -0,0044 0,0033 0,0577 1,1146e+03

0,4500 0,2152 0,3264 0,5000 0,6527 10,7641 -0,0043 0,0197 0,1404 2,7136e+03

Figura 17: Resposta do Sistema a sintonia obtida pelo método de Tchebyshev

46

Figura 18: Resposta do Sistema a sintonia obtida pelo método de resposta ao degrau

Os parâmetros corrigidos de sintonia utilizados neste método foram:

Kp Ki Kd ISE IAE ITAE

0,95 0,47 0,005 0,763 0,5678 4,4543e+03

Com o incremento da ordem do sistema, a identificação não foi satisfatória,

conforme observado no gráfico da figura 16. Ainda assim, o controlador sintonizado por

Tchebyshev, apresentou desempenho superior ao método de resposta ao degrau,

comparando-se os critérios de erro e os gráficos das figuras 17 e 18, devido a resposta

inversa, em ambos os casos o comportamento em malha fechada foi subamortecido..

47

c) Caso 3

Para um processo de quarta ordem com função de transferência igual a:

G(z) = 1,000001,00001,0001,01

1234 −+++ zzzz

(23)

Os pólos são: 0,0912, -0,0956+0,1352i e -0,0956-0,1352i.



Aplica-se o algoritmo de identificação e é obtido o seguinte resultado:

G(z) = 3715,0219,11

2292,02 +− zz

(24)

Os pólos são: 0,4322 e 0,4316.

48




49

Utilizando o método proposto neste trabalho, a tabela 10 relaciona várias

sintonias, conforme o valor de ρ .

Tabela - 10: Tabela dos parâmetros de Sintonia.

ρ K1 K2 K3 Kp Ki Kd ISE IAE ITAE 0,0350 0,1036 0,0297 -0,10 -0,3037 0,2334 0,1000 1,2303 1,1092 2,5237e+005

0,0360 0,1039 0,0271 -0,10 -0,3039 0,2310 0,1000 1,0352 1,0174 2,3149e+005

0,0380 0,1045 0,0205 -0,10 -0,3046 0,2251 0,1000 0,4893 0,6995 1,5916e+005

0,0400 0,1055 0,0103 -0,10 -0,3055 0,2158 0,1000 0,1391 0,3729 8,4847e+004

0,0410 0,1066 -0,0024 -0,10 -0,3066 0,2042 0,1000 0,0404 0,2010 4,5736e+004

Figura 22: Resposta do Sistema a sintonia obtida pelo método de Tchebyshev.

50

Comparativo com método de resposta ao degrau:


Os parâmetros corrigidos de sintonia utilizados neste método foram:


0,90 0,33 0,0014 9,2345 5,5673 15,3205e+005

Para o sistema de quarta ordem, equação 25, devido à restrição de ordem 2 para

a identificação, a mesma não apresentou desempenho satisfatório (figura 21). A tabela

10 mostra, para diferentes valores de ρ, o desempenho do controlador em malha

fechada.

Na sintonia do controlador usando o método de resposta ao degrau, todos os

valores dos ganhos sofreram um ajuste manual para apresentarem um desempenho

aceitável, porém inferior ao método proposto, conforme comparação dos valores de ISE,

IAE e ITAE.

51

d) Caso 4

Para um sistema com função de transferência de quarta ordem igual a:

G(z) = 8,025,010

25,04

3

−−−

zzz (25)

Os pólos são: 0,5535, -0,5093 e -0,0221 +/- 0,5323i .

Os zeros são: -0,3150 +/-0,5456i, e 0,6300



Aplica-se o algoritmo de identificação para o processo, e é obtido o seguinte

modelo de segunda ordem:

G(z) = 0,0604 - 6994,00714,01078,0

2 zzz

++ (26)

Os pólos são: -0,7771 e 0,0777.

O zero é: -0,6623

52




53

Utilizando o método proposto, obtém-se a sintonia do controlador com os

parâmetros mostrados na tabela 11.

Tabela - 11: Tabela dos parâmetros de Sintonia.

ρ K1 K2 K3 Kp Ki Kd ISE IAE ITAE 0,2900 -2,0844 4,4645 1,60 4,5334 115,561 -0,0122 0,0053 0,0726 2,3255e+03

0,3000 -2,1327 4,5586 1,60 4,5121 123,616 -0,0119 0,0035 0,0595 1,9052e+03

0,3500 -2,3472 4,9907 1,60 4,3245 165,483 -0,0099 3,9897e-04 0,0200 639,9915

0,4300 -2,5608 5,4155 1,60 3,7582 225,600 -0,0060 1,1706e-05 0,0034 109,6248

0,4900 -2,5116 5,3206 1,60 3,1567 248,643 -0,0032 2,0152e-06 0,0014 45,4851

Neste caso a identificação teve um resultado melhor que o anterior, comprova-se

isto pelo gráfico da figura 26 e pelo desempenho da resposta em malha aberta na

comparação entre os gráficos das figuras 24 e 25.

Os parâmetros do controlador apresentaram em particular um desempenho

superior, obtendo os melhores valores para os critérios de erro dentre todos os casos

avaliados anteriormente. Este fator é de importância fundamental para a resposta do

controlador, apesar de estar atuando em uma planta de quarta ordem. Desta forma

comprova-se a dependência do controlador de uma boa identificação do modelo do

sistema e a eficiência do método de Tchebyshev na obtenção dos parâmetros de sintonia

sobre sistemas de ordem superior a 2.

54

Figura 27: Resposta do Sistema a sintonia obtida pelo método de Tchebyshev


55

Os parâmetros de sintonia utilizados neste método foram:


1,50 100,3 0,010 0,0047 0,0683 2,1881e+03

Para a sintonia do controlador usando o método de resposta ao degrau, foi feito

novamente um ajuste manual para melhorar a sua resposta, porém utilizou-se como

referência desta correção à base dos ganhos proporcional e integral do controlador

obtido pelo método de Tchebyshev. O resultado do desempenho pode ser avaliado pelos

critérios de erro, os quais demonstram o melhor resultado do método de resposta ao

degrau nos casos estudados.

Percebe-se que quanto maior a ordem do processo maior a dificuldade de

encontrar-se um sistema mais adequado em função das restrições impostas ao modelo.

Neste caso, pode-se aumentar a ordem do modelo que corresponde a aumentar o

tamanho do indivíduo no AG e em conseqüência tem-se o aumento do tempo

computacional para obtenção do modelo desejado.

Respeitada a variação de ρ sempre se obteve parâmetros de sintonia do processo

em malha fechada, quanto menor o decremento de ρ, melhor o conjunto de parâmetros

de sintonia, porém o tempo computacional aumenta sensivelmente.

Restringiu-se inicialmente o processo a sistemas de segunda ordem para se obter

a sintonia de maneira mais rápida, apesar do algoritmo de sintonia implementado

suportar sistemas de até oitava ordem. A resposta do método de sintonia do modelo,

apesar de limitada na ordem da planta identificada, consegue encontrar ganhos de

sintonia para os mais variados sistemas simulados, os quais possuem comportamentos

distintos nas características de sobre passagem e tempo de estabilização.

A condição imposta para ρ apresenta situações nas quais não são encontrados

parâmetros de sintonia em função da posição dos pólos dentro do círculo unitário inicial

e da ordem do sistema, porém com sua variação existirá uma solução para sintonia do

controlador.

56

CAPÍTULO 5

DISCUSSÃO E CONCLUSÕES

5.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS

A análise dos resultados será feita de acordo com a comparação das respostas

temporais entre o sistema real e o identificador genético. Também será analisado o erro

entre a resposta produzida pelo sistema real e a resposta obtida pela utilização do

modelo encontrado.

No processo de sintonia será verificado o tempo de resposta e sobre passagem ao

set-point estipulado nas simulações e respectivo tempo computacional para a

determinação dos parâmetros escolhidos tanto na planta identificada, bem como na

suposta planta real.

5.2 CONCLUSÕES

5.2.1 Identificação com AG

Nos casos em que a ordem do modelo era compatível, ou superior a ordem do

processo real, o identificador genético obteve uma boa resposta, validada pela

comparação das curvas em malha abeta submetidas ao degrau unitário. Para os casos em

que a ordem do modelo era inferior a ordem do sistema, o identificador genético teve

um desempenho inferior, porém forneceu condições para obtenção dos parâmetros de

sintonia do controlador.

O algoritmo genético foi apresentado como sendo uma ferramenta específica de

identificação adaptado para encontrar uma solução exigida de acordo com o

modelamento do problema, polinômios que apresentassem números reais. Devido a uma

necessidade de diminuição do tempo computacional para encontrar a melhor solução

sacrificou-se a precisão da identificação, porém não comprometendo consideravelmente

a escolha da melhor solução para a sintonia.

57

5.2.2 Sintonia do Controlador PID

Na comparação com os métodos tradicionais de sintonia de Ziegler e Nichols, a

resposta ao degrau e o do período crítico, o comportamento do controlador às variações

de set-point foram satisfatórias. Apresentando na maioria dos casos analisados, valores

aceitáveis de sobre passagem e de tempo de estabilização, conforme as características

da função de transferência da planta que representa o sistema simulado e imposições de

sintonia do controlador (ρ). Esta avaliação de desempenho deu-se em função dos

valores dos critérios ISE, IAE e ITAE que representam a integralização do erro entre o

sinal de saída do sistema e o set-point.

Respeitando a restrição da ordem 2 do sistema identificado, observa-se que não

existem alterações sensíveis à resposta da planta de mesma ordem analisada, e os

parâmetros de sintonia atendem às exigências do sistema em malha fechada. Nos casos

em que o sistema era de ordem superior a identificação a sintonia era comprometida

pela diferença entre os comportamentos dos sistemas original e identificado, conforme

pode-se notar no gráfico que representa a resposta ao degrau. Apesar desta dificuldade

de identificação o controlador obteve sintonia para todos os casos e demonstrou ser

eficaz caso a identificação apresentasse valores compatíveis para sistemas de ordem

superior como o de quarta ordem.

A proposta deste trabalho contribui com as possibilidades da análise e escolha de

parâmetros de sintonia para atender especificações do processo principalmente quando

os métodos tradicionais não atendem satisfatoriamente esta escolha, relevando-se a

ordem do sistema, o tipo de resposta desejada a variações de set-point, atendendo as

condições impostas pela operação do processo.

5.3 TRABALHOS FUTUROS

O aprimoramento do algoritmo genético é o primeiro ponto há ser melhorado,

principalmente aplicando-se técnicas computacionais para redução do tempo de

obtenção dos modelos e permitindo testar o procedimento proposto para modelos de

ordem superior a 4.

58

Para obtenção de soluções melhores, pode-se também restringir a área de busca

dos parâmetros de sintonia em função da ordem dos modelos identificados,

especificações de tempo de estabilização, sobre passagem, wind-up, integralização do

erro nas simulações de sintonia, valores aplicáveis a controladores industriais PID e

determinação mais precisa para valores de ρ, complementando a rotina computacional

de busca dos parâmetros de sintonia do método proposto, tanto na otimização dos

mínimos e máximos com a inclusão de mais equações limitantes, como na criação de

critérios de parada específicos no desempenho do controlador. Estes aspectos

resultariam em uma aplicação prática deste controlador com a possibilidade de

comparação com métodos já utilizados industrialmente.

Esta ferramenta também poderá ser utilizada em conjunto com outros métodos

de controle existentes: controle preditivo, realimentação de estado, controladores

lineares de tempo discreto, etc. Aprimorando as novas técnicas de controle, mas que

ainda dependem do controlador PID e um ajuste fino de seus parâmetros de sintonia.

59

CAPÍTULO 6

ANEXOS

6.1 APÊNDICES

APÊNDICE 1

Representação de Tchebyshev de polinômios [BHATTACHARYYA e KEEL, 2002]

Será necessário determinar a imagem do círculo unitário do polinômio real P(z):

{ }πθθ 20,:)( ≤≤= jezzP

Como os coeficientes “a” são reais, então P(ρejθ ) e P(ρe jθ− ) são números

complexos conjugados, assim basta determinar a imagem da metade superior do círculo

unitário:

{ }πθθ ≤≤= 0,:)( jezzP

Sendo:

)sin(cos θθρθρkkz k

ez

kj +=

=

Então:

)()(...(cos...cos()()(

1

)(

01 θθθθθθθθ

θ IjRsinasinnajaanaePI

n

R

nj +=++++++=

444 3444 2144444 344444 21

60

É conhecido que cos(kθ ), e sin(kθ )/sin pode ser escrito como polinômios em

cos e que usam polinômios de Tchebyshev.Seja u=-cosθ . Então como θ ∈ [0,π], u ∈

[-1,1]:

21cos ujujsine j −+−=+= θθθ

)(cos uck k=θ e )(ussinsink

k=θθ

Onde )(uck e )(usk são polinômios reais em u e são conhecidos como

polinômios de Tchebyshev de primeira e segunda ordem, respectivamente. Esses

polinômios satisfazem a relação recursiva descrita pela equação 27.

,...2,1),()1()( 21 =−−−=+ kusuuucc kkk (27)

,...2,1,)('

)( =−= kk

ucus k

k (28)

A partir das equações (27) e (28), é possível determinar )(uck e )(usk para todo

k, considerando-se ρ=1. A tabela (12) apresenta os )(uck e )(usk para k=1,2,....,8.

Tabela 12: Polinômios de Tchebyshev

k )(uck )(usk

1 -u 1

2 12 2 −u -2u

3 uu 34 3 +− 14 2 −u

4 188 24 +− uu uu 48 3 +−

5 uuu 52016 35 −+− 11216 24 +− uu

6 1184832 246 −+− uuu uuu 63232 35 ++−

7 uuuu 54411264 357 +−+− 7143,08571,188064 246 ++− uuu

8 7143,01428,138571,142256128 2468 −−+− uuuu uuuu 2857,34286,71192128 357 +−+−

61

Refere-se a Pc(u) como a representação de Tchebyshev de P(z). R(u) e T (u) são

polinômios reais de grau n e n - 1, respectivamente, com coeficientes principais de

sinais opostos e magnitude igual. Como demonstram as equações 29 e 30.

)()(1)()( 2 uPuTujuReP cj =−+=θ

Onde

01

11

1 )(....)()()( aucaucaucauR nnnn ++++= −− (29)

)(....)()()( 11

11 usausausauT n

nn

n +++= −− (30)

Representação de Tchebyshev de funções racionais

Considerando o caso de uma função racional, seja Q(z) uma relação de dois

polinômios reais, P1(z) e P2(z) cada um sem raízes no círculo unitário. Então

calcula-se a representação de Tchebyshev correspondente Qc(u) de Q(z) como segue.

Seja

)()(

)(2

1

zPzP

zQ =

)(1)()( 2

1 2 uTujuRzP iiujuzi −+==−+−=

, para i=1,2.

Então

))()1()(/()))()(

)()(1))()()1()()((()(2

222

221

212

212

21

uTuuRuTuR

uRuTujuTuTuuRuRuQc

−+−

−+−+=

))(1)(()( 2 uTujuRuQc −+= (31)

62

APÊNDICE 2

Determinação da distribuição de raízes e da decomposição de fase

Neste trabalho assume-se que P(z) não tem nenhuma raiz no círculo unitário.

Esta imposição evitará algumas degenerações, simplificando as fórmulas, e não

afetando substancialmente o âmbito do resultado em aplicações.

Regra 1. Se P(z) não tem nenhuma raiz no círculo unitário, (R(u), T (u)) não tem

nenhuma raízes comuns em [-1, 1] e R(+/-1)≠0.

Prova. Note que 0)( ≠θjeP para Ө∈ [0,π] e portanto 0)( ≠uPc para u ∈[-1,1],

provando o resultado.

Fazendo )]([)( θθφ jePArgP = nota-se que para a fase de P(z) atribui-se θjez =

e fazendo-se )]([21 θφθ

θ P∆ nota-se a mudança na decomposição de fase de )( θjeP com o

incremento de θ para 1θ a 2θ . Analogamente, faze-se )]([:)( uPcArguPc =φ , nota-se

que a fase de Pc(u) e )]([21 uPcu

u φ∆ , nota-se a mudança em decomposição de fase de

)(uPc com o incremento de u para u1 e u2. Notação similar é usada para a função

racional Q(z).

Regra 2. Que o polinômio real P(z) tenha i-raízes no interior do círculo unitário,

e nenhuma raiz no círculo unitário.

Prova. De considerações geométricas é visto que cada raiz interior contribui aos

pares, e então por causa da simetria de raízes sobre o eixo real as raízes interiores

contribuem de i a zero.

A segunda igualdade segue da representação de Tchebyshev, declaramos o

resultado correspondente para uma função racional.

Regra 3. Seja Q(z) = P1(z)/P2(z), onde os polinômios reais P1(z) e P2(z) tenham

i1 e i2 raízes, respectivamente, no interior do círculo unitário e nenhuma raiz no círculo

unitário.

63

Decomposição de Fase e representação de Tchebyshev

Nesta seção, desenvolvem-se fórmulas para calcular a fase decomposta de um

polinômio de um sistema ou função racional em cima do círculo unitário, com sua

representação de Tchebyshev.

Seja:

>+=<−

=0:,1

0:,00:,1

][xse

xsexse

xSgn

Declaram-se os principais resultados para contagem das raízes.

teorema 1.

Seja P(z) um polinômio real com nenhuma raiz sobre o circulo unitário, e seja:

)(1)()( 2 uTujuRuPc −+=

a sua representação de Tchebyshev. Seja ktt ,...,1 os zeros reais e distintos de T(u) com

multiplicidade impar, para u ∈(-1,1), ordenados como segue:

,1...1 21 <<<<<− kttt

e suponha que T(u) tenha p zeros em u=-1. Seja )1()( −pT a p-ésima derivada de T(u)

avaliada em u=-1.Então o numero de raízes i de P(z) no interior do círculo unitário é

dado por:

+−+−+−−= ∑

=

+k

j

kj

jp RSgntRSgnRSgnTSgni

1

1)( )]1([)1()])([()1(2)]1([)]1([

21

Onde:

p é o numero de zeros de T(u) em u= -1,

k é o numero de zeros de T(u) de multiplicidade impar ( ,1...1 21 <<<<<− kttt )

Anotação semelhante é usada para a função racional Q(z). O resultado

correspondente para funções racionais é dado pela Regra 2:

+−+−+

++−−−=

+ )]1([)1()([2)1(

...)])([2)])([(2)]1([)]1([

2 121

)( RSgntRSgn

tRSgntRSgnRSgnTSgni k

kkp

ππ

64

O resultado correspondente para funções racionais é:

teorema 2.

Façamos Q(z) = P1(z)/P2(z) seja uma relação de dois polinômios reais P1(z) e

P2(z) cada um sem raízes no círculo unitário, com i1 e i2 raízes, respectivamente, no

interior do círculo unitário. Façamos Qc(u) denotar a representação de Tchebyshev de

Q(z).

R(u) = R1(u)R2(u) + (1. u2)T1(u)T2(u),

T (u) = T1(u)R2(u). R1(u)T2(u).

Suponha que T (u) tem “p” zeros de “u” = .1. Façamos t1,. . . , tk denotam os

zeros reais distintos de T (u) de multiplicidade ímpar, para “u” no intervalo¸ (-1, 1),

ordenados como segue:

-1 <t1 <t2 <.... <tk <+1.

Então:

+−+−+−−=− ∑

=

+k

j

kj

jp RSgntRSgnRSgnTSgnii

1

1)(21 )]1([)1()])([()1(2)]1([)]1([

21

Prova. Note que o denominador não contribui para as mudanças de fase desde

que é real e positivo para “u” no intervalo [-1,+1]. Assim, aplicando a Regra 3 e usando

argumentos idênticos a esses no teorema 1, chega-se ao resultado.

Comentário 1. As fórmulas dadas acima são resultados de caracterização. Neste

momento elas não parecem ser computacionalmente vantajosas em métodos para contar

raízes existentes como Jury, Raible e a matriz de Schur Cohn, se está interessado em

contar as raízes de uma função polinomial ou racional com determinados coeficientes

numéricos. Porém, vê-se que estas fórmulas são muito úteis em linearização e

estabilização de problemas, onde encontramos combinações de polinômios ou funções

racionais que contêm parâmetros desconhecidos determinados. Isto é análogo à situação

onde o teorema de Hermite Biehler que não tem nenhuma vantagem computacional

aparente em cima do teste de Routh Hurwitz para um determinado polinômio, onde foi

utilizado para resolver o problema de estabilidade robusta para intervalos de polinômios

por meio de Kharitonov [G. HEINIG and U. JUNGNICKEL, 1984].

65

6.2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Estabilizacao de PIDs Em Processos Modelados Por Algoritmos

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