Estados Topológicos de Fônons em Quasicristais ...

universidade federal do rio grande do norte

centro de ciências exatas e da terra

departamento de física teórica e experimental

programa de pós-graduação em física

Estados Topológicos de Fônons em Quasicristais

Unidimensionais

José Roberto Moreira da Silva

Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva de Vasconcelos

natal-rn

- 2018 -



Unidimensionais

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Ex-

perimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte

como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre

em Física.

Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva de Vasconcelos

Natal-RN

- 2018 -

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Silva, José Roberto Moreira da.

Estados topológicos de fônons em quasicristais

unidimensionais / José Roberto Moreira da Silva. - 2018.

67 f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do

Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-

Graduação em Física. Natal, RN, 2018.

Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva de Vasconcelos.

1. Espectro de fônons - Dissertação. 2. Quasicristais

unidimensionais - Dissertação. 3. Borboleta de Hofstadter -

Dissertação. 4. Estados de borda - Dissertação. I. Vasconcelos,

Manoel Silva de. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 539.2(043)



Unidimensionais

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa

de Pós-Graduação em Física do Departamento de

Física Teórica e Experimental da Universidade Fe-

deral do Rio Grande do Norte como requisito par-

cial para a obtenção do grau deMestre em Física.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Manoel Silva de Vasconcelos - Orientador (UFRN)

Prof. Dr. Dory Hélio Aires De Lima Anselmo (UFRN)

Prof. Dr. José de Miranda Henriques Neto (UFCG)

Aprovada em: 30/09/2018

Para:

Meus estimados pais e a

minha família.

iii

Pensamento:

"One, remember to look up at the stars and not down at your feet.

Two, never give up work.

Work gives you meaning and purpose and life is empty without it.

Three, if you are lucky enough to nd love, remember it is rare and don't throw it away."

(Hawking, 2010)

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha família, pelo apoio e compreensão em todas as horas, proporcionando-

me um porto seguro.

Ao longo desta etapa várias pessoas contribuíram para minha formação. Alguns de forma

técnica, outros como amigos que tornam mais fácil as batalhas e deixam nas conquistas ainda

mais motivos para celebrar.

Quero agradecer a todos os professores do curso, que foram essenciais para minha formação

acadêmica neste período. Agradeço também aos professores do CES-UFCG, onde iniciei os

estudos nesta área de pesquisa e me direcionaram para este caminho.

Agradeço especialmente ao Prof. Dr Manoel Silva de Vasconcelos, pela orientação e dedi-

cação na elaboração deste trabalho e ao longo de todo este meu percurso na pós-graduação.

Aos amigos que conheci durante estes dois anos e que foram de grande apoio, em especial

João Carlos, Renato, João e Allyson. No decorrer destes dois anos muitas coisas aconteceram,

mas tive a honra de estar ao lado das melhores pessoas para enfrentar os desaos, muito

obrigado.

v

RESUMO

Modelos teóricos para predição das propriedades de materiais quasicristalinos têm

apresentado bastante interesse da comunidade cientíca. No entanto eles se resumem princi-

palmente a características ópticas e eletrônicas do sistema, sendo necessário ainda um estudo

das oscilações elementares das redes quasicristalinas unidimensionais, tais como fônons. Tra-

balhos publicados recentemente mostraram que as propriedades de localização do modelo de

Harper podem ser modeladas em um quasicristal através do hamiltoniano de Aubry-André,

considerando o potencial incomensurável com o parâmetro de rede. Este modelo apresenta-

se como um isolante topológico, exibindo estados de borda e fases não triviais para o caso

eletrônico. Motivados por esses resultados, neste trabalho, apresentamos um estudo sobre

as propriedades vibracionais de quasicristais unidimensionais, destacando os estados topo-

lógicos de borda. Para isso, modelamos um quasicristal unidimensional através do modelo

de Aubry-André com o parâmetro de potencial denido pela razão áurea (b = (1 +√

5)/2).

Efetuamos os cálculos a partir da diagonalização numérica exata do Hamiltoniano. Em

nossos resultados, encontramos o espectro multifractal de frequências conhecido como bor-

boleta de Hofstadter, que surge para o valor crítico de 1.0 na amplitude de modulação

da constante de força adimensional, caracterizando uma transição de estados tipo metal-

isolante. Também mostramos através do cálculo de deslocamentos individuais que os estados

cruzando os gaps maiores do espectro (em função da fase φ) correspondem a estados de

borda no sistema, onde apresenta propriedades de localização em sítios especícos na rede.

Palavras-chave: espectro de fônons em quasicristais unidimensionais, borboleta de Hofs-

tadter, estados de borda.

vi

ABSTRACT

Theoretical models for predicting the properties of quasicrystalline materials have

been of considerable interest to the scientic community recently. However, they are mainly

related to the optical and electronic characteristics of the system, and a study of the ele-

mentary oscillations, such as phonons, of one-dimensional quasicrystalline lattices is still ne-

cessary. Recently published works have shown that the localization properties of the Harper

model can be modeled in a quasicrystal through the Hamiltonian of Aubry-André, considering

the immeasurate potential with the lattice parameter. This model proved to present itself as

a topological insulator, exhibiting border states and nontrivial phases for the electronic case.

Motivated by these results, in this work, we present a study on the vibrational properties of

one-dimensional quasi-crystals, highlighting the topological edge states. For this, we model a

one-dimensional quasicristal through the Aubry-André model with the potential parameter

dened by the golden ratio (b = (1 +√

5)/2). We performed the numerical calculations

from the exact numerical diagonalization of the Hamiltonian. In our results, we nd the

multifractal frequency spectrum known as the "Hofstadter's buttery", which emerges as a

critical state of a transition from metal-insulating type states to the value of modulation of

the dimensionless spring constant equal to 1.0. We also show by calculating the wavelength,

that there exist certain states that cross the largest gaps of the spectrum (as a function of

the phi phase) and are edge states in the system, where there are state localizations in them.

Keywords: phonon spectrum in quasicrystals 1d, Hofstadter's buttery, edge-states.

vii

CONTEÚDO

Agradecimentos v

Resumo vi

Abstract vii

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xiv

1 Introdução 1

1.1 Quasicristais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Motivação da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Organização da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Estados topológicos da Matéria 6

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

viii

2.2 Aproximação de tight-binding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Efeito Hall Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 O modelo de Aubry-André . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 25

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Modos vibracionais em uma rede periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Cadeia linear monoatômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Cadeia linear diatômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Modulação quasiperiódica para fônons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Espectro de fônons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Conclusões e Perspectivas 45

ix

LISTA DE FIGURAS

1.1 Exemplos da distribuição atômica dos sólidos: a) cristalina , onde podemos

ver os átomos dispostos em estrutura periódica e bem ordenada. b) material

amorfo, com distribuição atômica em posições aleatórias por todo o material. 1

1.2 Figura de difração de elétrons de um quasicristal icosaédrico, onde podemos

ver a presenta de pentágonos perfeitos a direita e a escala linear entre cada

pentágono é dada pela razão áurea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Esquema do potencial cristalino com cada átomo localizado no sítio tn, onde

a interação entre os orbitais atômicos e seu vizinhos de energia E0 formam as

bandas de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Banda de energia dada pela equação (2.7) para o modelo tight-binding com um

único orbital por sítio e interação entre os primeiros vizinhos. Consideramos

γ = 1.0 e E0 = 2.0eV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 a) Resistividade em verde e resistência Hall em vermelho como função do

campo magnético aplicado. b) Esquema da corrente eletrônica nas bordas do

material sobre a ação de um intenso campo magnético. . . . . . . . . . . . . 11

x

2.4 Ilustração dos estados da matéria e relação com os números de Chern. Nas

guras de (a-c) observamos um sistema cristalino com gap de energia caracte-

rizando o isolante e uma esfera como seu equivalente topológico em que g = 0.

Em (d-f) temos uma ilustração dos estados Hall, com elétrons se movimen-

tando na frequência de ciclotron e a estrutura de bandas com energias bem

denidas caracterizando uma mudança de fase para g = 1. Os números de

Chern são uma maneira de representar esta distinção, semelhante ao g neste

exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Espectro de energia para o modelo diagonal de Auby-André como função de

β para diferentes valores de λ com N = 400 átomos da rede. Para o valor

onde λ = 2.0 é reproduzida a borboleta de Hofstadter indicando a estrutura

multifractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Autovalores como função do parâmetro λ e b = β. A gura da direita está

reescalada para destacar o comportamento no ponto crítico λ = 2.0. . . . . . 16

2.7 Modelo de Aubry-André para λ = 2.0 e o β = (1+√

5)/2 com destaque para a

natureza fractal do espectro de energia, onde cada gráco ao lado corresponde

a uma ampliação do quadrado em destaque. Apresentamos apenas os dados

onde o parâmetro é β − 1 pois a rede tem periodicidade unitária. . . . . . . . 17

2.8 Espectro de Aubry-André com o valor ϕ = 0 xo em torno de b = β, desta-

cando os estados que cruzam os gaps maiores. No painel superior temos um

espectro altamente fragmentado devido a λ ser o valor crítico. . . . . . . . . 18

2.9 Espectro de energia para o modelo diagonal de AA, calculado para 1000 valores

de ϕ entre 0 e 2π, com o N = 100, λ = 1.0 e t = 1.0, as linhas coloridas

representam os estados de borda. No gráco ao lado temos os valores de |ψ|2

em função do sítio da rede para cada valor marcado no gráco. . . . . . . . . 19

2.10 Autovalores calculados em função da fase ϕ a medida que variamos a precisão

de b na terceira casa decimal, com os parâmetros λ = 1.0, N = 100 e t = 1.0. 20

xi

2.11 IPR para alguns valores de λ entre 0 e 4 para N = 200 com valores de energia

em torno de 0 e b = β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.12 Espectro de energia em função da fase ϕ com 200 sítios da rede λ = 1.0 e

β = (1 +√

5)/2. A escala de cores indica o IPR calculado para cada estado

correspondente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.13 Espectro de energia em função da amplitude do potencial λ com 200 sítios

da rede ϕ = 0. O esquema de cores representam os valores de IPR em todo

espectro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Cadeia monoatômica linear com N átomos separados por uma distância a. . 27

3.2 Relação de dispersão (3.4) para fônons em uma cadeia linear monoatômica na

primeira zona de Brillouin, onde Ω =√

4K/m. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Cadeia linear com dois átomos de base separados entre si pela distância a. . 29

3.4 Fônons ópticos e acústicos para a primeira zona de Brilloiun em uma cadeia

linear diatômica onde os modos de oscilação são dados pela equação (3.14). . 30

3.5 Ilustração para os modos de vibração ópticos e acústicos de uma rede diatômica

linear. Os átomos oscilam no mesmo sentido nos modos acústicos enquanto

que no modo óptico os sentidos de oscilação são contrários. . . . . . . . . . . 31

3.6 Diagrama esquemático para a interação do potencial incomensurável com uma

rede unidimensional de átomos, simulando as interações de um sistema quasi-

periódico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.7 Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em três intensidades

para o potencial quasicristalino com n = 100 e ϕ = 0. Podemos notar que

em λ = 1, 0 o espectro apresenta uma quantidade considerável de bandas

separadas por gaps cada vez mais estreitos caracterizando o multifractal. . . 35

xii

3.8 Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em um quasicristal

como função do parâmetro b. Utilizamos N = 400, ϕ = π/2 e λ = 1.0. Em

destaque vemos a ampliação para a região onde b ≈ 0, 618 para evidenciar o

padrão de replicação das frequências, onde o espectro se repete de maneira

similar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.9 Espectro de frequências em torno de b = 1, 618 para λ = 0, 5 e λ = 1, 0

modicando a quantidade de sítios na rede. Podemos ver que a localização

dos estados que cruzam os gaps é modicada aumentando a quantidade de

sítios e as bandas se estreitam a medida que modicamos λ. . . . . . . . . . 37

3.10 Frequências encontrada para o espectro de fônons no nosso modelo. Os pa-

râmetros utilizados foram: N = 100, λ = 0, 5. Ao lado apresentamos os

autovetores encontrados nos pontos demarcados com um X vermelho do es-

pectro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.11 Frequências em função da fase ϕ e obtidas para alterações no valor de b na

terceira casa decimal com n=100 e λ = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.12 Dispersão de frequência em função do parâmetro de amplitude λ, com 100

átomos na rede considerando a fase inicial ϕ = 0. Podemos ver que para

valores maiores que 1.0 o espectro se apresenta em estreitas bandas dispersas,

caracterizando este como um ponto de transição. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.13 Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala

de cores para λ = 0.5 em uma rede com 100 átomos. . . . . . . . . . . . . . . 41

3.14 Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala

de cores para λ = 1.0 em uma rede com 100 átomos. . . . . . . . . . . . . . . 42

3.15 Inverso da taxa de participação para os deslocamentos com N=100 com frequên-

cias no gap (1.7 até 3.0 ), mostrando uma transição entre os deslocamentos

mais generalizada para valores de λ maior que 1.0. . . . . . . . . . . . . . . . 43

xiii

LISTA DE TABELAS

xiv

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Os avanços tecnológico tem se desenvolvido nos últimos anos com base na compreensão

do comportamento de elétrons e fótons, permitindo a construção dos mais diversos disposi-

tivos. O estudo destes elementos fundamentais do sistema atômico possibilita a predição de

propriedades e controle dos materiais em que interagem com os mesmos.

Figura 1.1: Exemplos da distribuição atômica dos sólidos: a) cristalina , onde podemos ver os átomos

dispostos em estrutura periódica e bem ordenada. b) material amorfo, com distribuição atômica em posições

aleatórias por todo o material.

1

Capítulo 1. Introdução 2

Os materiais podem ser divididos com relação a disposição atômica em: cristalinos e amor-

fos. Os sistemas cristalinos possuem uma estrutura completamente ordenada de modo que

os átomos possuem completa simetria e replicação a partir de uma célula unitária, enquanto

o nível de completa desordem é composto por materiais amorfos, como ilustrado na gura

(1.1). A denição nestas duas classes se mostrou insuciente para caracterizar a estrutura

dos sólidos com a descoberta de Shechtman et al em seus estudos com difração de elétrons

num cristal icosaédrico [1]. A gura de difração indicava propriedades presentes em estru-

turas amorfas como também cristalina. Os seus trabalhos lhe renderam o Prêmio Nobel de

Química de 2011 pela descoberta dos quasicristais [2].

1.1 Quasicristais

A nova classe corresponde aos materiais quasicristalinos, descobertas no trabalho publi-

cado em Novembro de 1984 pelos pesquisadores Shechtman et al [1] em guras de difração.

Shechtman estudou uma liga de Alumínio e Manganês resfriada muito rapidamente, de forma

que alterou a organização entre os átomos formando a gura de difração (1.2) (Adaptado de

[2]). Neste espectro podemos ver que os pontos mais brilhantes formam pentágonos regulares,

mas lados dos pentágonos vizinhos com tamanho diferente. Os quasicristais apresentam a

estrutura com uma ordem de longo alcance em um experimento de difração mas não pos-

suem periodicidade translacional como os cristais. Em vez disso os quasicristais apresentam

a propriedade de auto-similaridade por escalonamento. Para quasicristais icosaédricos e de-

cagonais a auto-similaridade está relacionada ao escalonamento por propriedades da razão

áurea (1+√

5)/2, de modo que as posições sucessivas entre cada átomo na rede correspondem

a termos da sequência de Fibonacci. Os quasicristais apresentam-se como materiais rígidos

e quebradiços com características de transporte incomum [3] e energias superciais muito

baixas podendo ser utilizados como bons isolantes térmicos, com propriedades fotônicas [4]

e como materiais termoelétricos, dentre outras aplicações [5, 6, 7].

A descobertas de estruturas quasicristalinas representou um novo campo de crescente

pesquisa, emergindo um campo de pesquisa extremamente amplo com uma nova classe de


Figura 1.2: Figura de difração de elétrons de um quasicristal icosaédrico, onde podemos ver a presenta de

pentágonos perfeitos a direita e a escala linear entre cada pentágono é dada pela razão áurea.

materiais com propriedades no limite entre a de estruturas periódicas e amorfas. O crescente

estudos sobre materiais quasicristalinos possibilitou a síntese cada vez mais controlada de

materiais com átomos dispostos em uma sequência não periódica. Os trabalhos de Levine

sintetizando um quasicristal denido pela sequência de Fibonacci [8] inspirou Merlin et al

para criação do primeiro quasicristal unidimensional [9]. Desde então quasicristais unidimen-

sionais tem gerado bastante interesse na comunidade cientíca resultando diversos trabalhos

teóricos e experimentais [10, 11, 12, 13, 14, 15]. As pesquisas tem mostrado propriedades

de fractalidade em seus espectros e transição de fase não trivial (como a fase metal-isolante

[16, 17]), apenas ajustando alguns parâmetros da sequência de geração e possibilitando o

controle nas propriedades dos materiais, visto que representa uma estrutura com disposição

atômica intermediária entre um cristal e materiais amorfos.

1.2 Motivação da Pesquisa

Os modelos teóricos para predição das propriedades de materiais quasicristalinos tem

apresentado bastante interesse da comunidade cientíca. No entanto eles se resumem prin-


cipalmente a características ópticas e eletrônicas do sistema, sendo necessário ainda um tra-

tamento mais aprofundado para entender o comportamento das oscilações elementares das

redes quasicristalinas unidimensionais.

Os trabalhos publicados sobre quasicristais unidimensionais mostraram que as propriedade

de localização do modelo de Harper [18] podem ser encontradas em um quasi-cristal através

do hamiltoniano de Aubry-André considerando o potencial incomensurável com o parâmetro

de rede [19] [20] [21]. Este modelo provou se apresentar como um isolante topológico, exibindo

estados de borda e fases não triviais, como apresentados nos trabalhos de Yaacov et al [22],

onde utilizaram guias de onda para o espectro de frequências em um quasicristal indicando a

existência de um gap fotônico [23][24]. A grande maioria dos trabalhos utilizam super-redes,

mostrando um espectro de energia fragmentado da famosa "borboleta de Hofstadter"a nível

eletrônico, como também para o caso óptico [25].

Estudos relacionados a outras quasi-partículas ainda são necessários para compreender

como se dá a dinâmica do sistema composto pelos quasicristais. Os fônons, por exemplo, são

vibrações coletivas de átomos com energia quantizada em uma rede, semelhante ao que ocorre

com partículas. No entanto o estudo de sistemas fonônicos é muito dicultado devido a não

possuir carga ou fonte geradora coerente para produzí-los, como ocorre com os fótons. Esta

problemática geral diculta seu estudo, diferentemente dos fótons e elétrons. A localização

de fônons em redes unidimensionais já foi estudadas para o potencial de Frankel-Kontorova

e Lenard Jones [26], como também em sistemas quasiperiódicos pelo formalismo da matriz

transferência [27], no entanto nossa proposta consiste em estudar esta localização com a

interação quasiperiódica do tipo Aubry-André [28]. Alguns artigos fazem este paralelo [29]

[30], mas se resume a fractalidade do espectro de energia/frequências em cada sítio [30] [29],

não proporcionando uma visão mais geral do espectro de frequência para oscilações de um

quasicristal.


1.3 Organização da Dissertação

Este trabalho consiste em um modelo teórico-computacional para estudar quasicristais

unidimensionais. Efetuamos uma pesquisa teórica e simulação numérica baseada no modelo

de tight-binding para encontrar as propriedades eletrônicas e vibracionais e adaptar o sistema.

No segundo capítulo apresentamos o formalismo do método tight-binding para encontrar

as auto-energias de um sistema. Destacamos a condutância anômala no efeito Hall e a

participação da topologia neste processo. Simulamos computacionalmente o hamiltoniano de

um sistema quasi-cristalino para encontrar as características do sistema eletrônico denido

pelo hamiltoniano de Aubry-André, que reproduz o espectro fractal.

O terceiro capítulo consiste na abordagem das vibrações de um sistema quasicristalino,

onde a incomensuralidade é dada por alterações na constante de força. Iniciamos com um

sistema clássico de fônons em uma rede periódica e estendemos este conceito para tratar um

sistema quasicristalino, comparando os resultados com o caso eletrônico.

CAPÍTULO 2

ESTADOS TOPOLÓGICOS DA MATÉRIA

2.1 Introdução

A inuência da topologia nos estados da matéria tem despertado grande interesse da

comunidade cientíca, desde a observação do Efeito Hall Quântico (EHQ) em 1980 [31]. As

propriedades dos estados topológicos consistem na vericação de características singulares

que determinados materiais apresentam devido ao comportamento dos elétrons dentro do

material e na superfície, tais como transporte eletrônico e térmico.

Neste capítulo apresentaremos o formalismo do modelo de Aubry-André que simula as

características eletrônicas de um sistema quasiperiódico. Analisaremos o espectro de energia

e estados de borda presentes na inclusão de uma fase ao sistema como também a sensibilidade

dos estados de borda em função dos parâmetros do potencial e rede.

6

Capítulo 2. Estados topológicos da Matéria 7

2.2 Aproximação de tight-binding

As propriedades eletrônicas de um material podem ser denidas pelas funções de onda e

correspondentes níveis de energia na presença de um potencial característico do sistema. A

natureza e forma deste potencial dene o modo como os estados eletrônicos estão distribuídos

no material.

O problema consiste em encontrar auto-funções Ψ(~r, t) e auto-energias E que satisfaçam

a equação de Schrödinger [32] em (2.1).Para demostração é suciente considerar a sua forma

unidimensional e independente do tempo, visto que estamos interessados nas características

de um potencial unidimensional.(− h2

2m

d2

dx2+ V (x)

)ψ(~x) = Eψ(~x) (2.1)

O termo da esquerda corresponde ao hamiltoniano do sistema, reduzindo o problema a en-

contrar autovetores ψn(x) e autovalores En que satisfação a equação (2.2):

Hψn(x) = Enψ(x) (2.2)

Esta equação tem soluções analíticas apenas para formas especícas de potencial, visto a com-

plexidade dos sistemas eletrônicos1. Soluções numéricas para estes sistemas são encontradas

mediante aproximações. Um dos métodos mais utilizados é a aproximação tight-binding [33],

que consite em propor o hamiltoniano de um cristal como a soma do hamiltoniano de um

único átomo com todas as interações do potencial cristalino.

Neste sistema, o elétron pode tunelar através do potencial periódico constituído por N

átomos, como mostra a gura (2.1).

Os átomos estão dispostos em posições tn = na, onde a representa a distância interatômica

e os elétrons são descritos por funções de onda ψna, de modo que o valor esperado da energia

1Por exemplo, um sólido cristalino com N átomos possui no hamiltoniano termos de energia cinética dos

N núcleos e NZ elétrons juntamente com potenciais do núcleo e de interação entre elétron-núcleo cuja a

forma é desconhecida e que impedem a solução analítica.


Figura 2.1: Esquema do potencial cristalino com cada átomo localizado no sítio tn, onde a interação entre os

orbitais atômicos e seu vizinhos de energia E0 formam as bandas de energia.

entre os sítios ψa(x− tn) e ψa(x− tn±1) são dados por;

〈ψa(x− tn)|H |ψa(x− tn)〉 = E0 〈ψa(x− tn)|H |ψa(x− tn±1)〉 = γ (2.3)

onde γ corresponde a energia da região entre os átomos.

Para que as funções de onda propostas neste sistema sejam sicamente aceitáveis elas

devem satisfazer o teorema de F.Bloch [34]. Este teorema arma que as funções de onda,

para uma partícula submetida ao potencial periódico consiste no produto de uma função

u(x) por uma onda plana ei~k.~c com a periodicidade da rede.

ψ(x+ a) = u(x)ei~k.~c (2.4)

Desta forma, necessitamos considerar Ψa como uma combinação linear de orbitais atômicos

do tipo:

Ψ(k, x) =1

N

n∑N

exp(−iktn)ψa(x− tn) (2.5)


De modo que a dispersão de energia no sistema é dada pela soma de todos os estados aces-

síveis, resultando na seguinte relação:

〈Ψ(x, k)|H |Ψ(x, k)〉 =1

N

n,j∑N

exp(−ik(tj − tn)) 〈ψa(x− tj)|H |ψa(x− tn)〉 (2.6)

=n∑N

exp(iktn) 〈ψa(x− tj)|H |ψa(x− tn)〉

= 〈ψa(x− tn)|H |ψa(x− tn)〉+ 2 〈ψa(x− tn)|H |ψa(x− tn+1)〉

Onde consideramos tj = 0 pois representa a posição do átomo central, desconsideramos N e

os elementos da matriz H foram dados como mostra (2.3). Assim a dispersão de energia se

torna

E(k) = E0 + 2γ cos(ka) (2.7)

indicando que os níveis elementares dos N estados degenerados são espalhados em uma banda

contínua de largura 4γ, como representado na gura (2.2).

Figura 2.2: Banda de energia dada pela equação (2.7) para o modelo tight-binding com um único orbital por

sítio e interação entre os primeiros vizinhos. Consideramos γ = 1.0 e E0 = 2.0eV .

Este modelo é facilmente generalizado para o caso 2D pois os únicos fatores que se


modicam são os vetores de onda de Bloch ~k e os parâmetros γ da rede [33].

E(k) = E0 + 2γ(a) cos(kxa) + 2γ(b) cos(kyb) (2.8)

O método tight-binding e suas modicações são amplamente utilizadas atualmente, pois

exige um custo computacional relativamente baixo e permite a análise muito próxima do

sistema real para energias mais profundas. O modelo de Anderson [18], por exemplo, utiliza

a aproximação tight-binding para simular o hamiltoniano de elétrons em metais prevendo o

comportamento na presença de imperfeições e potencial aleatório.

2.3 Efeito Hall Quântico

A estrutura de bandas dene os estados acessíveis aos elétrons para determinado mate-

rial, apresentando características como condução e transporte eletrônico. Um exemplo de

condução não usual é dada pelo efeito Hall, proporcionando uma condutividade em funçao

do campo magnético aplicado. Um caso ainda mais interessante ocorreu com a descoberta

do Efeito Hall Quântico (EHQ) em 1980 [31], consistindo no primeiro exemplo de topolologia

não trivial. Nos estados do EHQ um material bidimensional sujeito a um campo magnético

externo intenso tem sua condutividade denida apenas nas bordas do material. Os elétrons

na borda sujeitos a este campo magnético apresentam uma condutividade quiral, conforme

representado na gura (2.3), juntamente com os valores encontrados para a resistência Hall

em função do campo magnético [35].

Experimentalmente, para a surpresa da comunidade cientíca na época, a condutividade

Hall admite apenas valores quantizados como a relação a seguir [35]:

σxy =e2

hν (2.9)

para ν inteiro, onde e corresponde a carga do elétron e h a constante de Planck. Uma vez

que a quantização se dá na condutividade do material, seus efeitos podem ser medidos de

maneira macroscópica e portanto a ordem topológica que o material apresenta inuencia


Figura 2.3: a) Resistividade em verde e resistência Hall em vermelho como função do campo magnético

aplicado. b) Esquema da corrente eletrônica nas bordas do material sobre a ação de um intenso campo

magnético.

signicativamente na maneira que este conduz a corrente elétrica quiral. Posteriormente foi

descoberto que ν poderia assumir também valores racionais especícos2.

Os materiais que apresentam condutividade através do efeito Hall Quântico possuem

estados isolantes no interior com capacidade de transporte de carga na superfície ou borda do

material devido a interação spin-órbita. Isto caracteriza uma nova fase da matéria de acordo

com a sua topologia, como pode ser visto nos trabalhos de Thoules et al [39], motivando

diversos estudos sobre predição de estados isolantes topológicas e observação em materiais

sintetizados [40, 41, 42, 22].

Uma estrutura de bandas 2D corresponde ao mapeamento do momento cristalino ~k dentro

de um Hamiltoniano. Estruturas de bandas com gaps podem ser classicadas topologicamente

pela equivalência entre as classes do seu hamiltoniano, contanto que permaneçam com os

gaps de energia. Estas classes são diferenciadas entre si por um número n, inteiro que é

topologicamente invariante, denido pelos números de Chern. Estes números podem ser

entendidos sicamente como fases de Barry associados a funções de onda de Bloch [43]. Os

2Como o estudo experimental para EHQ semi-inteiro para ν = 1/3 e ν = 2/5 [36, 37, 38]


invariantes de topológicos Chern é o uxo de Berry total na zona de Brillouin [42].

nm =1

2π

∫d2~k(∇× Am) (2.10)

onde, Am corresponde as fases de Barry denidas pela integral de linha 〈um|∇k |um〉 e o

somatório n =N∑

m=1

nm sobre todas as bandas ocupadas, apresentando-se invariante sempre

que há degenerescência entre elas, proporcionando uma distinção topológica entre bandas

ocupadas e vazias. Desta forma o número de Chern é um invariante topológico, ou seja, não

muda quando o hamiltoniano varia de maneira suave e pode assumir apenas valores inteiros,

ajudando a entender a signicativa quantização de σxy.

Figura 2.4: Ilustração dos estados da matéria e relação com os números de Chern. Nas guras de (a-

c) observamos um sistema cristalino com gap de energia caracterizando o isolante e uma esfera como seu

equivalente topológico em que g = 0. Em (d-f) temos uma ilustração dos estados Hall, com elétrons se

movimentando na frequência de ciclotron e a estrutura de bandas com energias bem denidas caracterizando

uma mudança de fase para g = 1. Os números de Chern são uma maneira de representar esta distinção,

semelhante ao g neste exemplo.

Os números de Chern nos permitem classicar os estados da matéria, de acordo com

sua topologia. Na gura (2.4) observamos um exemplo da analogia entre classe dos materi-


ais. Considere uma superfície em duas ou três dimensões, que pode ser classicada quanto ao

número de buracos g, em (2.4) c temos g = 0 e em (2.4) f temos g = 1. Contanto que a super-

fície fechada englobe o mesmo número de buracos, este é invariante sobre a curvatura. Desta

forma, podemos classicar todos os isolantes atômicos, semicondutores e vácuo na mesma

classe topológica (a classe dos isolantes triviais). A fronteira entre duas classes distintas se

apresenta quando aparece um estado condutor, visto que um gap deve se fechar para permitir

a transição. Estas transições de fase não triviais são encontradas nos materiais quasicrista-

linos, tanto teórica [13] quanto experimentalmente [22, 25], possibilitando uma manipulação

nas propriedades dos materiais através de alteração apenas em alguns parâmetros.

2.4 O modelo de Aubry-André

O modelo de sistema eletrônico proposto por Serge Aubry e Gilles André que corresponde

a uma adaptação para o modelo de Harper, onde se apresenta uma forma para o hamiltoniano

de um sistema eletrônico na presença de um campo magnético perpendicular [44]. O modelo

unidimensional para este potencial é conhecido por modelo de Aubry-André (AA) [45], com

um potencial que tem sido muito estudado devido a presença de localização nos estados e

uma transição de fase metal-isolante, tanto no caso eletrônico [20] [22] quanto fotônico[25]

[14]. Neste modelo as energias obedecem a uma modulação periódica mas incomensurável

do potencial com o parâmetro de rede, devido ao valor de β em (2.12) que corresponde a

razão áurea 3. O limite de precisão é aproximado para um número racional sem afetar os

resultados como descrito por [22].

Deste modo, o modelo de AA possui a seguinte forma em Tight-Binding:

EnΨn = t(Ψn+1 + Ψn−1) + ViΨn (2.11)

Onde o potencial tem a seguinte modulação:

Vi = λ cos(2πβn+ ϕ) β =1 +√

5

2(2.12)

3O espectro fractal de um quasicristal só se apresenta para valores irracionais deste parâmetro [22], neste

caso β = (1 +√

5)/2 com precisão de 16 casas decimais.


Aqui t corresponde a amplitude do holping e adotamos t = 1, para nossos cálculos, λ é a

amplitude de modulação do potencial, n representa o sítio de cada átomo, β é o inverso

do período, correspondendo a razão áurea. O potencial varia em função de ϕ, que é a fase

denida no início da rede, quando n = 0.

A nossa matriz base para diagonalizar o problema tem a forma tridiagonal:V1 t 0 0 0

t V2 t 0 0

0. . . . . . . . . t

0 0 0 t VN

ψ0

ψ1

:

ψN

= E

ψ0

ψ1

:

ψN

(2.13)

Nesta matriz a diagonal superior e inferior são formadas pelos termos de holping e os ele-

mentos da diagonal principal denidos pelo potencial (2.12). O problema se resume em

diagonalizar a matriz para encotrar os seus autovalores e correspondentes autovetores. A di-

mensão da matriz é denida pela quantidade N de átomos dispostos na rede e os autovalores

nos dão a energia permitida em cada sítio.

O espectro de energia no modelo de Aubry-André tem sido estudado em diversos trabalhos

teóricos [45, 41, 13, 22, 46, 47]. Para entender a forte inuência da amplitude do potencial

esboçamos as características do espectro de energia em função do inverso do período b para

três valores de λ , mostrados na gura (2.5). Desta forma podemos entender melhor a forte

inuência para b = β, ou seja, a razão áurea no espectro de Aubry-André. O valor de λ

indica a intensidade do potencial que interage com a rede, podemos notar que na primeira

gura onde λ = 0.5 o espectro se organiza em bandas cada vez mais estreitas separadas por

minigaps semelhante ao que ocorre para λ = 4.0. Quando λ = 2.0 temos ao valor crítico para

a amplitude do potencial, formando a estrutura de uma borboleta de Hofstadter [48] que

caracteriza um espectro de energia multifractal e indica o hamiltoniano de um elétron dentro

de um cristal na presença de um campo magnético intenso. A existência deste espectro indica

uma mudança drástica na forma do Hamiltoniano do sistema, consistindo em um indicador

de transição.


Figura 2.5: Espectro de energia para o modelo diagonal de Auby-André como função de β para diferentes

valores de λ com N = 400 átomos da rede. Para o valor onde λ = 2.0 é reproduzida a borboleta de Hofstadter

indicando a estrutura multifractal.

A distribuição das bandas em função de β apresenta detalhes que caracterizam o espectro

fractal para determinados parâmetros do potencial. As energias permitidas em função de λ

são mostrados na gura (2.6). Podemos ver que para λ se aproximando de 2.0 os gaps de

energia se estreitam com o valor crítico, se alargando após este ponto que é exatamente 2.0.


Figura 2.6: Autovalores como função do parâmetro λ e b = β. A gura da direita está reescalada para

destacar o comportamento no ponto crítico λ = 2.0.

O ponto onde o espectro mais se aproxima de um fractal, onde os gaps de energia são mais

espaçados e denidos correspondem ao valor crítico de λ. Desta forma analisamos os valores

de energias para β equivalente a razão áurea expre λ crítico na gura (2.7), onde reescalamos

os valores para β − 1 devido a periodicidade apresentada pela equação de Schrödinger no

espectro deste modelo4 e em recentes estudos [47] [28] [50]. O modelo de Harper apresenta

características diferentes do espectro para valores racionais e irracionais de β, onde destaca-

mos o caso em que se aproxima da razão áurea. Para estes cálculos consideramos 400 sítios

na rede com fase ϕ nula. O espectro de energia se repete a medida que reescalamos a energia

em um fator 1/10, indicando que o elétron sujeito a este tipo de potencial ocupa níveis de

energia característico de um sistema quasiperiódico.

Na gura (2.7) temos o espectro de energia bastante estudado pela comunidade cientíca,

provando ser auto-similar e desta forma possui a característica de se repetir por ampliação.

Portanto as suas propriedades podem ser descritas utilizando o formalismo da geometria

multifractal. A estrutura é tão fragmentada quanto o número de átomos presentes na cadeia

4Como podemos ver em detalhes no trabalho de Hiramoto e Kohmoto [49]


Figura 2.7: Modelo de Aubry-André para λ = 2.0 e o β = (1 +√

5)/2 com destaque para a natureza fractal

do espectro de energia, onde cada gráco ao lado corresponde a uma ampliação do quadrado em destaque.

Apresentamos apenas os dados onde o parâmetro é β − 1 pois a rede tem periodicidade unitária.

(em nosso caso N=400), com níveis de energia aparecendo em sub-bandas concentrados em

um grande número de estados separados por gaps consideravelmente grandes [51].

A borboleta de Hofstadter é mostrada gura (2.8) para o intervalo de 1, 60 < b < 1, 63

em duas diferentes quantidades de átomos na rede. Podemos ver que três bandas cruzam os

gaps maiores quando N = 100, mas à medida que aumentamos para N = 206 o número de

bandas também aumenta. No gráco superior temos o espectro para λ crítico, mostrando as

energias altamente fragmentadas da gura (2.7). Os estados claramente cruzam o centro da

banda (E = 0) para ambos os casos e os gaps maiores não mudam de posição.

A origem das bandas cruzando os gaps é a conservação do número de partículas, apresentando-

se proporcional a quantidade de átomos na cadeia e o passo em b escolhido. Desta forma é


Figura 2.8: Espectro de Aubry-André com o valor ϕ = 0 xo em torno de b = β, destacando os estados que

cruzam os gaps maiores. No painel superior temos um espectro altamente fragmentado devido a λ ser o valor

crítico.

possível regularmos também a quantidade de átomos para controlar os gaps de energia com

o estado condutor-isolante bem denido pelos parâmetros do potencial na rede [14].

Para estudar a natureza dos estados que cruzam os gaps maiores, esboçamos na gura (2.9)

as autoenergias permitidas em função da fase ϕ do potencial na rede com n variando entre

−49 até 49 para uma rede com N = 100 átomos. Devido a característica incomensurável do

potencial, ou seja, o potencial apresenta valores diferentes mais consideravelmente próximos

para cada átomo na rede. O espectro é quebrado em bandas e gaps selecionados para apenas

alguns valores da fase ϕ [48].


Figura 2.9: Espectro de energia para o modelo diagonal de AA, calculado para 1000 valores de ϕ entre 0 e

2π, com o N = 100, λ = 1.0 e t = 1.0, as linhas coloridas representam os estados de borda. No gráco ao

lado temos os valores de |ψ|2 em função do sítio da rede para cada valor marcado no gráco.

As bandas de energia quase não mudam com a alteração da fase ϕ, exceto por alguns

modos localizados em sítios especícos. Estes estados referem-se ao contorno do sistema

caracterizam a borda do quasicristal e como consideramos um sistema nito, observamos

a presença de duas bordas em sentidos diferentes. Na gura (2.9) a direita, analisamos os

autovetores para determinado ϕ e E dentro do gaps (Ψ3), na borda direita e esquerda (Ψ1

e Ψ2, respectivamente) e podemos ver que os estados que cruzam o gap se concentram nas

bordas do sistema, enquanto no centro das bandas a função de onda apresenta-se estendida

sobre todos os sítios n. Desta forma um quasicristal descrito pelo hamiltoniano de Aubry-

André pode apresentar estados condutores ou isolantes a medida que variamos a fase ϕ.


Na gura (2.10), modicamos os valores de β em torno da razão áurea e podemos ver

que os estados que cruzam o gap se deslocam e modicam a sua forma. Podemos constatar

também que a classe topológica é invariante sobre os valores do inverso de período mostrados

na gura, pois permanece o mesmo espectro com dois gaps maiores e poucas bandas que

cruzam, caracterizando mesmas propriedades do Hamiltoniano.

Figura 2.10: Autovalores calculados em função da fase ϕ a medida que variamos a precisão de b na terceira

casa decimal, com os parâmetros λ = 1.0, N = 100 e t = 1.0.

A natureza da função de onda pode se apresentar distribuída sobre todos os sítios ou

localizada em apenas alguns. Deste modo podemos obter um parâmetro que mede o quanto

as funções de onda em determinadas faixas de energia se concentram nos sítios para determi-

nados parâmetros. A localização dos estados pode ser obtida por um parâmetro observável


que consiste no inverso da taxa de participação (IPR)[52]. O IPR para um dado estado ψk é

denido como:

IPRk =

∑l |ψk,l|4

(∑

l |ψk,l|2)2(2.14)

onde o índice l representa o somatório sobre todos os sítios da rede. O IPR nos indica o

inverso do número de sítios L ocupados pela função de onda, deste modo quando o sistema

estiver igualmente distribuído o número máximo de sítios estão ocupados e o IPR≈ 1/L, o

caso contrário de extrema localização quando a função de onda está localizada em um único

sítio temos que IPR≈ 1. Na gura (2.11) esboçamos o IPR em função da amplitude do

potencial.

Figura 2.11: IPR para alguns valores de λ entre 0 e 4 para N = 200 com valores de energia em torno de 0 e

b = β.

Este parâmetro é extremamente sensível a natureza da função de onda, tornando-se um

bom indicativo para estudar a localização dos autovetores. Como podemos ver na gura


(2.11) para λ = 2.0 o valor de IPR muda entre estados estendidos e localizados, indicando o

parâmetro crítico entre os dois estados.

Ao modicarmos a fase ϕ do potencial de Aubry-André obtemos bandas que cruzam

os gaps maiores, representando estados de borda no material.O IPR destes autovalores nos

mostra que todos os auto-estados cruzando os gaps maiores são localizados, como podemos

ver na gura (2.12). As bandas central, superior e inferior os estados se distribuem por todos

Figura 2.12: Espectro de energia em função da fase ϕ com 200 sítios da rede λ = 1.0 e β = (1 +√

5)/2. A

escala de cores indica o IPR calculado para cada estado correspondente.

os sítios (IPR< 0, 05) exceto por alguns estados que cruzam os gaps menores.

Na gura (2.13), esboçamos os autovalores com os IPRs correspondentes a cada autoes-

tado. Podemos ver claramente a distinção entre os estados estendidos e localizados em torno

de λ = 2.0.

O IPR representado no sistema de cores indica que em valores maiores a função de onda

está totalmente localizada enquanto para menores de λ = 2.0, permanece distribuída em


Figura 2.13: Espectro de energia em função da amplitude do potencial λ com 200 sítios da rede ϕ = 0. O

esquema de cores representam os valores de IPR em todo espectro.

todo espectro. Esta transição é sensível a alteração dos holppings da equação (2.12), como

mostrado por Biddle et al [19], que analisou o espectro de Aubry-André para diferentes

holppings.

2.5 Conclusões

Neste trabalho, utilizamos o método de diagonalização exata do hamiltoniano para es-

tudar as propriedades do sistema eletrônico caracterizado por uma rede unidimensional de

átomos, cujo hamiltoniano foi expresso pelo modelo de Aubry-André na aproximação tight-

binding. Este modelo possui elementos de matriz que simulam o potencial de um sistema

quasiperiódico para valores especícos de β, que consiste na razão áurea e resultando em um

potencial incomensurável em relação ao parâmetro de rede.


As características do potencial denem totalmente a natureza do sistema. Efetuamos um

ajuste nos parâmetros de amplitude λ e encontramos os valores esperados para a transição

entre os estados para λ = 2.0 em que a energia em função de λ apesenta uma variação na

forma de dispersão, começando a se espalhar. Neste ponto, as bandas tornam-se muito es-

treitas e fragmentadas. O espectro de energia em função do inverso do período (b) representa

uma estrutura multifractal, conhecida como a famosa borboleta de Hofstadter, indicando que

é innitamente fragmentado em gaps e bandas que cruzam os mesmos com um padrão de

repetição quasiperiódico. Para valores maiores e menores de λ, constatamos que a energia se

abre em gaps e o espectro fractal se desfaz. A borboleta de Hofstadter foi obtida para este

potencial com o método de diagonalização exata, podemos ver que realmente se trata de um

espectro multifractal no limite da precisão computacional para tratar β como número irra-

cional. Encontramos também que o tamanho do sistema considerado (valor de n) inuencia

na quantidade de estados que cruzam os gaps do espectro de energia, indicando uma forte

correlação com o espectro multifractal.

Neste modelo de Aubry-André, encontramos estados de borda localizados que cruzam os

gaps maiores em função da fase ϕ implementada no potencial. Para valores especícos de ϕ

as funções de onda estão bem localizadas nos sítios da borda do sistema e podemos movê-los

a medida que alteramos o valor de b em pequenas casas decimais, possibilitando o controle na

aparição destes estados. Podemos constatar que estes estados localizados, com o cálculo do

IPR, apresentam a transição de fase em λ = 2.0, como esperado e constatado na literatura.

A junção destes valores com o espectro de energia em escala de cores, nos apresenta um

gráco de transição de fase que permite constatar a predominância dos estados estendidos

para λ < 2.0 e localizados para λ > 2.0, como esperado e encontrado na literatura.

CAPÍTULO 3

ADAPTAÇÃO DO MODELO DE

AUBRY-ANDRÉ PARA FÔNONS

3.1 Introdução

Um sólido apresenta diversos átomos dispostos em uma estrutura característica, seja

ela cristalina, amorfa ou quasi-periódica. Admitindo-se que estes átomos estejam livres para

oscilar em torno da posição de equilíbrio temos uma faixa de frequência de oscilação possíveis,

que caracterizam os fônons, que correspondem aos quanta de vibração da rede [53].

A análise de como um sistema admite frequências de oscilação é de estrema importância

para entender fatores como as propriedades térmicas de um material, visto que a energia

está diretamente relacionada com os estados vibracionais da rede. Considerando um sis-

tema atômico composto por vários osciladores acoplados em uma dimensão, temos a energia

quantizada no modelo do Sólido de Eistein:

εn =

(n+

1

2

)hω (3.1)

25

Capítulo 3. Adaptação do modelo de Aubry-André para Fônons 26

onde ω representa a frequência do modo elástico dos fônons.

Neste capítulo, apresentaremos o formalismo para estudar um sistema fonônico dispos-

tos em redes unidimensionais. A partir desta análise, adaptaremos as interações para as

oscilações dos átomos no sistema quasi-periódico.

3.2 Modos vibracionais em uma rede periódica

Os modos vibracionais correspondem as frequências de oscilação do sistema atômico.

Quando uma rede possuí periodicidade cristalina, podemos calcular mais facilmente as frequên-

cias permitidas para vibrações do sistema, visto que a rede possui um vetor de translação

característico. Estudaremos como os modos vibracionais se apresentam em cadeias unidimen-

sionais para uma rede com base de um e dois átomos com o objetivo de destacar os aspectos

relevantes para o estudo dos fônons em sistemas quasi-cristalinos.

3.2.1 Cadeia linear monoatômica

Consideremos uma rede unidimensional formada por um átomo de base, como mostra

a gura (3.1). Esta rede possui um número N de átomos de massa m e com as mesmas

características que estão distribuídos ao longo do eixo z com vetor de translação ~R = naz.

Cada átomo pode vibrar em torno da posição de equilíbrio zn = na, de forma que sua posição

é un, e consequentemente o movimento de um afeta os outros pelas interações potenciais entre

eles. A força sobre o átomo n tem principais contribuições de seus vizinhos mais próximos,

deste modo a equação de Newton para o sistema é dada pelos deslocamentos provocados em

relação a cada átomo vizinho na rede,

mun = K[(un+1 − un)− (un − un−1)] (3.2)

onde K é uma constante de força elástica entre os íons que depende da natureza das ligações

atômicas como se os átomos estivessem ligados por "molas". A equação (3.2) consiste numa

equação diferencial que descreve o movimento dos átomos na rede, deste modo podemos


Figura 3.1: Cadeia monoatômica linear com N átomos separados por uma distância a.

propor soluções do tipo ondas planas que obedecem a condição de Bloch (2.4).

un = u exp(i(kna− ωt)) (3.3)

Substituindo esta relação na equação (3.2) temos a dispersão de frequências:

ω2 =2K

m(1− cos(ka)) =

4K

msin2(ka/2) (3.4)

e a razão entre dois deslocamentos sucessivos é dada por:

un+1

un= exp(ika) (3.5)

desta forma os deslocamentos podem sempre ser descritos por um vetor de onda dentro da

primeira zona.

Podemos ver que as frequências permitidas tem periodicidade ka e os vetores com resul-

tados físicos estão situados na primeira zona de Brillouin, como mostrado na gura (3.2),

onde Ω =√

4K/m é a frequência fundamental. No limite em que ka tende a zero a ω é

proporcional a função |ka| e nas fronteiras da zona de Brillouin temos que a velocidade de

grupo tende a zero, visto que é denida como a inclinação desta curva v = dω/dk.

Podemos também generalizar este resultado para adicionar a interação de todos os átomos

da rede e não apenas seus vizinhos mais próximos, obtendo uma relação de dispersão dada

pelo somatório em todos os p átomos.

ω2 =2

m

∑p>0

Kp(1− cos(kpa)) (3.6)

Onde a contante Kp pode apresentar-se de forma diferente para cada átomo p na rede.


Figura 3.2: Relação de dispersão (3.4) para fônons em uma cadeia linear monoatômica na primeira zona de

Brillouin, onde Ω =√

4K/m.

3.2.2 Cadeia linear diatômica

Os átomos na célula primitiva na cadeia monoatômica eram idênticos entre si, oscilando

de acordo com a mesma equação de movimento do sistema. Quando consideramos uma rede

com dois átomos na base da célula primitiva, como ilustrado na gura (3.3), a rede possui

2N átomos com massa m1 e m2 intercalados em um sistema linear periódico com a constante

de força elástica K. As equações de movimento para os dois tipos de átomos apresentam a

mesma forma da equação anterior, com uma pequena diferença.

m1un = K[(vn − un)− (un − vn−1)] (3.7)

m2vn = K[(un+1 − vn)− (vn − un)] (3.8)


Figura 3.3: Cadeia linear com dois átomos de base separados entre si pela distância a.

As duas equações anteriores estão acopladas, de modo que podemos procurar soluções na

forma de onda progressiva com amplitudes diferentes.

un = uei(kna−ωt) vn = vei(kna−ωt) (3.9)

Substituindo estas relações nas equações de movimento temos as condições a seguir para a

frequência:

−m1ω2u = Kv(1 + e−ika)− 2Ku (3.10)

−m2ω2v = Ku(1 + e−ika)− 2Kv (3.11)

O sistema acima admite soluções não triviais apenas quando o determinante formado pelos

coecientes u e v se anula.∣∣∣∣∣∣ 2K −m1ω2 −K(1 + e−ika)

−K(1 + eika) 2K −m2ω2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (3.12)

Deste modo, temos a seguinte relação:

m1m2ω4 − 2K(m1 +m2)ω

2 + 2K2(1− cos(ka)) = 0

ω4 − 2(Ω1 + Ω2)ω2 + 4Ω1Ω2 sin2(ka/2) = 0 (3.13)

onde zemos Ωi = K/mi e utilizamos a relação sin2(θ) = (1 + cos(2θ))/2.

Os valores de frequências que satisfazem esta equação resultam na seguinte expressão:

ω2± = Ω1 + Ω2 ±

√(Ω1 + Ω2)2 − 4Ω1Ω2 sin2(ka/2) (3.14)


Figura 3.4: Fônons ópticos e acústicos para a primeira zona de Brilloiun em uma cadeia linear diatômica

onde os modos de oscilação são dados pela equação (3.14).

A partir desta relação, podemos ver que no término de cada zona (ka = ±π) as soluções para

a equação (3.14) se resume a 2K/m1 e 2K/m2. Para regiões próximas ao centro da zona

(ka→ 0), temos que as duas soluções são aproximadamente :

ω2+ = 2(Ω1 + Ω2) (Ramo óptico) (3.15)

ω2− =

(Ω1 + Ω2)

2(ka)2 (Ramo acústico) (3.16)

A dispersão de frequência se divide em dois ramos que são ilustrados na gura (3.4). O ramo

inferior tem a mesma forma para o caso de uma cadeia monoatômica unidimensional (gura

(3.2)).

Para uma rede linear diatômica a dispersão de frequências não admite valores reais para

o intervalo de 2√

Ω1 até 2√

Ω2, formando uma lacuna (gap) de frequências. O ramo inferior

é conhecido como ramo acústico devido a frequência ser proporcional a ka para valores

pequenos, observado na equação (3.16) que é característico de ondas sonoras (ω = vk). O


Figura 3.5: Ilustração para os modos de vibração ópticos e acústicos de uma rede diatômica linear. Os átomos

oscilam no mesmo sentido nos modos acústicos enquanto que no modo óptico os sentidos de oscilação são

contrários.

ramo superior é conhecido como ramo óptico devido à alta frequência de oscilação da onda

transversal. Nos cristais iônicos este ramo interage com a radiação eletromagnética pois os

átomos estão vibrando em direções opostas não alterando a posição do centro de massa.

Podemos vericar isto substituindo a equação (3.15) em (3.10), obtendo a relação entre os

deslocamentos u = −(m2/m1)v. Este movimento é ilustrado na gura (3.5), onde os modos

se propagam na mesma direção com destaque para o sentido da oscilação dos átomos na

cadeia.

3.3 Modulação quasiperiódica para fônons

A propagação de vibrações numa rede é denida pela constante de força entre os átomos

vizinhos, de modo que podemos simplicar o sistema como de molas acopladas e os átomos

vibrando em torno da posição de equilíbrio. Para um sistema cristalino, consideramos as

distâncias entre os planos de átomos periódicas e o mesmo tipo de ligação entre eles e assim

a constante de força é permanece a mesma para cada rede e a interação é dada apenas pelos

vizinhos mais próximos. No entanto, em sistemas reais as forças de interação sofrem outras


interferências devido ao tipo de ligação química e fatores da rede atômica, de modo que é

necessário adicionar um potencial que englobe estas interações para sistemas mais complexos.

Um dos primeiros modelos propostos para este tipo de formulação para sistemas atômicos

é o de Frenkel-Kontorova [54], onde formula-se um potencial quasiperiódico para simular a di-

nâmica de cadeias não-lineares e discretas de uma forma mais simples, correspondendo a uma

rede cristalina na vizinhança de um núcleo de deslocamento [55]. Este modelo foi estudado

posteriormente por Serge Aubry, exibindo propriedades de localização para determinados

parâmetros do potencial incomensurável com a rede[56, 57].

Figura 3.6: Diagrama esquemático para a interação do potencial incomensurável com uma rede unidimensi-

onal de átomos, simulando as interações de um sistema quasiperiódico.

Consideremos o sistema unidimensional de átomos dispostos numa rede, como mostrado

na gura (3.6). Cada átomo possui massa mn, conectados por molas de constantes de força

Kn, dada por:

Kn =C

mn

(1 + λcos(2πβn+ ϕ)) β =1 +√

5

2(3.17)

O termo senoidal de Kn provém da interação com o potencial externo de amplitude λ sobre a

constante de força C para o caso independente do potencial. O potencial interage de maneira

diferente para os átomos em cada sítio n quando o inverso do período é racional ou irracional

[58, 59] e a fase ϕ corresponde ao primeiro sítio, quando n = 0


Na equação de movimento para este sistema temos uma forma semelhante de (3.2), onde

admitimos pequenas variações na constante de rede C, dadas pela interação com o potencial

[30].

ω2un = −Kn+1un+1 −Knun−1 + Vnun onde Vn = Kn+1 +Kn (3.18)

Onde ω corresponde as frequências e Vn = Kn+1 + Kn foi substituído para simplicar a

notação.

A equação de movimento na forma matricial dos N átomos neste sistema corresponde a:V0 −Kn 0 0

−Kn V1 −Kn+1 0

0. . . . . . :

0 0 −KN+1 VN

u0

u1

:

uN

= ω2

u0

u1

:

uN

(3.19)

Aqui os valores un representam a posição dos sucessivos átomos na cadeia em determinado

sítio n, vibrando em torno do estado de equilíbrio com frequência ω, o que indica a energia de

cada fônon na rede. Os resultados numéricos foram obtidos a partir da diagonalização desta

equação e análise dos seus resultados para diferentes parâmetros do potencial, considerando

C = 1 e um sistema com massa unitária (mn = 1).

3.4 Espectro de fônons

A partir da diagonalização da matriz do sistema de fônons (3.19), encontramos o espectro

de frequência para estudar a propagação de fônons em meios quasiperiódicos. Nos trabalhos

de You, J. Q et al foi estudado este modelo para o caso em que as massas dos sucessivos

átomos obedecem a uma sequência de Fibonaci, utilizando o formalismo da matriz de trans-

ferência [30]. Eles mostraram que o espectro é truncado em um fractal para uma quantidade

maior de átomos também evidenciado nos trabalhos de Kohomoto et al [60] e nos trabalhos

de F. Salazar et al [27], que propõem uma modulação na equação de movimento. Em nosso

modelo, utilizamos o pacote computacional do Gnu Scientic Library (GSL), implementados


em rotinas c++ para encontrar as propriedades do espectro de fônons em meios quasipe-

riódicos a partir de uma modulação do tipo senoidal na constante de força entre os átomos

vizinhos, variando com uma fase ϕ.

O sistema considerado aqui, como função dos deslocamentos em torno da posição de

equilíbrio e frequências de oscilação apresenta um espectro semelhante ao caso eletrônico em

função do inverso do período b. Na equação (3.18) temos que o espectro de um quasicristal

é mostrado apenas para valores em que b = β, aqui consideremos valores arbitrários para b.

Como podemos ver na gura (3.7) a borboleta de Hofstadter para três diferentes valores da

amplitude do potencial λ.

A forma do espectro para valores menores que λ = 0.5 apresentam-se em bandas muito

próximas enquanto que para λ = 1.0 temos o parâmetro crítico. Neste valor de λ as frequên-

cias permitidas são denidas por diversas bandas compostas de intervalos cada vez mais

estreitos localizados entre os quatro gaps maiores. Para maiores valores de λ há uma defor-

mação entre os gaps e o espectro perde as características do multifractal, uma vez que os

gaps maiores se deformam quando λ = 3, 0, portanto a interação se torna muito forte.

Os estados que cruzam os gaps maiores são sensíveis ao número de átomos na rede, uma

vez que representam limitações no espectro de frequências. Em nossa comparação utilizamos

N = 100 sítios a rede, apresentando determinadas frequências cruzando os autovalores. Na

gura (3.8) calculamos o espectro de frequências em função do inverso do período b, obtendo

mais denição na borboleta de Hofstadter. Podemos ver que variações em b apresenta uma

característica similaridade no espectro de frequências, mantendo a estrutura composta pelos

gaps maiores e alguns modos cruzados. Na região em destaque vemos que os três gaps

maiores são replicados e o espectro de frequências segue o mesmo padrão. O limite para esta

replicação consiste na precisão do passo b, onde consideramos um incremento de 10−3 para

uma fase onde ϕ = π/2.


Figura 3.7: Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em três intensidades para o potencial

quasicristalino com n = 100 e ϕ = 0. Podemos notar que em λ = 1, 0 o espectro apresenta uma quantidade

considerável de bandas separadas por gaps cada vez mais estreitos caracterizando o multifractal.


Figura 3.8: Borboleta de Hofstadter para o espectro de frequências em um quasicristal como função do

parâmetro b. Utilizamos N = 400, ϕ = π/2 e λ = 1.0. Em destaque vemos a ampliação para a região

onde b ≈ 0, 618 para evidenciar o padrão de replicação das frequências, onde o espectro se repete de maneira

similar.

Para as energias em torno da razão áurea a quantidade de bandas que cruzam os gaps

depende do números de sítios na rede e parâmetro λ, diferentemente do caso eletrônico onde

encontramos uma dependência apenas na quantidade de sítios. Na gura (3.9), apresentamos

este espectro para diferentes valores de λ, que é alterado a medida que adicionamos mais

átomos. ParaN = 100 as bandas cruzam apenas os gaps menores, independente do parâmetro

λ enquanto que para 206 sítios as bandas se estreitam e estes estados cruzam todos os gaps.

Para os valores de λ = 1, 0 e N = 100 da gura (3.9) vericamos a presença de bandas

proibidas para qualquer valor de aproximação para b = β − 1 dentro do intervalo analisado

(1, 615 até 1, 62).

A fase ϕ também modica a forma do espectro, como mostrado na gura (3.10), onde

consideramos uma rede com 100 átomos e λ = 0, 5. Podemos notar que as frequências se


Figura 3.9: Espectro de frequências em torno de b = 1, 618 para λ = 0, 5 e λ = 1, 0 modicando a quantidade

de sítios na rede. Podemos ver que a localização dos estados que cruzam os gaps é modicada aumentando

a quantidade de sítios e as bandas se estreitam a medida que modicamos λ.

distribuem em quatro intervalos separados com gaps maiores. Os intervalos de frequências

proibidas são cruzados por apenas alguns modos com uma dispersão quase senoidal.

Ao lado, mostramos os deslocamentos innitesimais calculados para os modos que

cruzam à esquerda (u1) e à direita (u2) que estão muito localizados nas bordas do sistema

enquanto o modo calculado para o centro (u3) possui distribuição estendida por toda a rede.


Figura 3.10: Frequências encontrada para o espectro de fônons no nosso modelo. Os parâmetros utilizados

foram: N = 100, λ = 0, 5. Ao lado apresentamos os autovetores encontrados nos pontos demarcados com

um X vermelho do espectro.

O valor do inverso da frequência no potencial altera consideravelmente as frequências

permitidas no espectro de energia em função da fase do potencial, conforme é mostrado na

gura (3.11). Desta forma, podemos ver que os estados permanecem cruzando os gaps no

entanto ocorre a translação nos modos e uma deformação suave.

Na gura (3.10) apresentamos os autovalores calculados em função da fase do potencial

ϕ, onde podemos notar alguns modos cruzando os gaps de bandas maiores e menores. Es-

tes estados corresponde a deslocamentos em sítios localizados nas bordas do sistema, como

podemos ver ao lado os deslocamentos em torno da posição de equilíbrio para átomos que

oscilam nas frequências entre os gaps.

Na gura (3.12) apresentamos a dispersão de frequência em função da amplitude do

potencial incomensurável, onde a escala de cores representa o inverso da taxa de participação


Figura 3.11: Frequências em função da fase ϕ e obtidas para alterações no valor de b na terceira casa decimal

com n=100 e λ = 0, 5.

de cada deslocamento para a frequência total. Podemos ver que para λ < 1, 0 as frequências

apresentam-se em sistema de bandas separadas por intervalos maiores enquanto que em

λ > 1, 0 o espectro se resume a modos de vibração em frequências especícas e bem denidas.


Figura 3.12: Dispersão de frequência em função do parâmetro de amplitude λ, com 100 átomos na rede

considerando a fase inicial ϕ = 0. Podemos ver que para valores maiores que 1.0 o espectro se apresenta em

estreitas bandas dispersas, caracterizando este como um ponto de transição.

Os deslocamentos em torno da posição de equilíbrio estão localizados apenas para alguns

modos de oscilação especícos, não apresentando uma transição de fase mais generalizada

como o que ocorre para o caso eletrônico. Isto acontece devido aos átomos vibrarem em

frequências muito especícas mas em conjunto, apresentando uma pequena taxa de locali-

zação quando o parâmetro é maior que 1,0. Para valores superiores de frequência, o ramo

superior, temos a presença de uma intensa localização.

A localização dos deslocamentos no espectro de fônons também é modicada em função da

fase adicionada no potencial senoidal, como podemos notar na gura (3.13) onde adicionamos

a escala de cores para um sistema com 100 sítios e λ = 0, 5. Os estados que cruzam o


segundo gap maior apresenta localização mais intensa entre os sítios enquanto o restante está

totalmente estendido, representando oscilações pequenas e generalizadas por toda a rede. Ao

Figura 3.13: Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala de cores para

λ = 0.5 em uma rede com 100 átomos.

variarmos o parâmetro de λ para o valor crítico (λ = 1, 0), as bandas se estreitam e os estados

que cruzam os gaps maiores são mais localizados, como visto na gura (3.14). O intervalo

que os gaps se localizam é uma fase ϕ muito próxima que a da gura (3.13) principalmente

no gap superior.


Figura 3.14: Espectro de frequência em função da fase ϕ do potencial com IPR em escala de cores para

λ = 1.0 em uma rede com 100 átomos.

Nesta escala de cores, temos um aumento considerável na localização de frequência

entre os gaps, indicando que apenas alguns átomos vibram neste modo com uma amplitude

de oscilação consideravelmente elevada. Notamos também que o número de gaps aumentam

para frequências menores e o espectro se torna mais fragmentado devido ao parâmetro do

potencial. Para valores de frequência menores que 0, 5 não temos localização considerável

dos deslocamentos por sítio, no entanto o espectro se repete com gaps e estados isolados

quebrados por alguns modos, representando modos normais de vibração da cadeia atômica.

Esta característica de localização para intervalos de frequência dentro do gap superior

depende fortemente do parâmetro λ. Na gura (3.15) apresentamos o inverso da taxa de par-


Figura 3.15: Inverso da taxa de participação para os deslocamentos com N=100 com frequências no gap (1.7

até 3.0 ), mostrando uma transição entre os deslocamentos mais generalizada para valores de λ maior que

1.0.

ticipação para os valores de frequência localizados dentro do gap maior (valores de frequência

superior a 1, 7). Podemos ver que em função do parâmetro λ o IPR apresenta uma transição

nas oscilações dos deslocamentos na rede. Para valores menores que λ = 1, 0 os desloca-

mentos são generalizados, não apresentando localização em determinado sítio mas a medida

que aumentamos o valor de λ o IPR mostra uma intensa localização, representando uma

transição nas oscilações innitesimais do sistema.


3.5 Conclusões

O sistema que estudamos aqui consiste numa adaptação para a interação incomensurável

do parâmetro de rede para um sistema de fônons. Como a equação do autovalor para o

caso fonônico consiste no sistema acoplado das oscilações em cada rede, interagindo por

uma constante de força dada na acoplando com os átomos vizinhos, implementamos nela

o potencial incomensurável de Aubry-André para representar interações com um potencial

quasi-cristalino na rede.

Utilizamos a aproximação tight-binding e o método de diagonalização para encontrar

os deslocamentos innitesimais e as frequências de oscilação permitidas. O seu espectro é

modicado em função do parâmetro de interação λ, apresentando a forma da borboleta de

Hofstadter para o valor crítico de λ = 1, 0, mantendo a simetria e os gaps maiores largos em

um formato próximo ao obtido no caso eletrônico. O número de átomos na rede inuencia

na quantidade de gaps que cruzam este espectro em torno de b = 1, 618 e λ possibilita o

controle das faixas de frequência.

A interação com este potencial quasi-cristalino pode ser modulada pela fase ϕ, fazendo

que os átomos de borda vibrem com a frequência modulada entre os gaps. Os deslocamentos

individuais nos mostra que a oscilação não é generalizada para todos o espectro e sim para

valores de λ maiores que 1.0, como podemos ver a contribuição no cálculo do IPR. A transição

de fase não ocorre em todo o sistema para o caso fonônico, constituindo apenas valores críticos

especícos em λ = 1, 0. Mas há presença desta transição quando consideramos frequências

maiores no sistema com ponto crítico λ = 1.0. Para este valor de λ, vemos que representa uma

extrema localização entre os gaps em função de ϕ o que não se verica com tanta intensidade

em λ = 0, 5.

CAPÍTULO 4

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Neste trabalho efetuamos um estudo de sistemas quasicristalinos dado pela aproximação

tight-binding do ponto de vista eletrônico e de fônons. Os resultados foram obtidos com base

na simulação computacional destes sistemas, onde a equação matricial dos auto-valores foi

resolvida através do método de diagonalização exata com base de rotinas na biblioteca Gnu

Scientic Library(GSL).

Inicialmente efetuamos uma revisão teórica sobre o método de tight-binding e como adaptá-

lo para um sistema quasicristalino. A forma do hamiltoniano de Aubry-André demostrou

estas propriedades, com uma energia dada pelo espectro multi-fractal e o potencial incomen-

surável com o parâmetro de rede. As propriedades do quasicristal são totalmente denidas

pelos parâmetros do potencial, aparecendo estados de borda em determinados valores da fase

φ, que é sensível a quantidade de átomos considerados na rede e a precisão do inverso do

período β. O espectro de energia multifractal se apresenta no limite em que λ = 2.0, como

constatado na literatura. O parâmetro de amplitude λ é importante também para localização

dos estados da função de onda. O cálculo do IPR nos mostra que neste ponto temos uma

transição de fase onde o sistema evolui de completamente estendido para localizado.

45

Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas 46

A partir do hamiltoniano de Aubry-André também formulamos um sistema de fônons com

interações incomensuráveis, modelando a constante de força entre os átomos do quasicristal.

Semelhante ao que ocorre para o caso eletrônico as auto-frequências se apresentam como

um espectro fractal da "Hofstadter Buttery" em casos que a amplitude do potencial λ se

aproxima do parâmetro crítico. Para valores maiores ou menores que 1, 0 as gura se modica

consideravelmente, desfazendo-se dos quatro gaps característicos. Mostramos também que

estados cruzando os gaps em torno de β são sensíveis a variações na quantidade de átomos

na rede. A modicação da fase do potencial também permite controlar os auto-estados para

alguns valores especícos. Cada estado representa um deslocamento individual nas bordas do

material, havendo uma taxa de localização considerável para modos de vibração especícos.

Os sistemas tratados aqui, tanto eletrônicos quanto fonônicos apresentam estados de borda

com uma localização em determinado parâmetro crítico. Calculamos o espectro de frequência

ou energia para ambos os casos, mostrando as características fractal destes sistemas estendido

para o caso de fônons. O sistema eletrônico apresenta uma transição de fase muito clara

para λ = 2 enquanto para o caso de fônons esta transição ocorre apenas para as frequências

maiores. O papel da fase φ no potencial permite também a abertura e controle de um gap em

ambos os casos, onde a condução ou transmissão se dá exclusivamente por estados de borda.

Deste modo os sistemas propostos podem ser controlados para representar características

especícas a partir da modulação desta fase.

A partir deste trabalho podemos observar o espectro de fônons no sistema quasi-

cristalino unidimensional. Obtivemos um controle no surgimento dos estados de borda para

o sistema de fônons a partir da alteração de alguns parâmetros no modelo, o que permite

diversas outras análises. Este modelo pode ser utilizado para entender como se apresenta a

condução do calor, capacidade térmica e entropia em quasicristais, estendendo os resultados

para caso da transição dos modelos de Harper e Fibonnacci no quasicristal unidimensional.

Outra possibilidade consiste em vericar a condução de uma corrente de spin e identicar a

quais fases de Barry está relacionado o espectro de frequências juntamente com os respectivos

números de Chern.

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