DECivil Seco de Mecnica Estrutural e Estruturas

ESTATIA E EQUILBRIO

I. Cabrita Neves

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Abril, 2002

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ndice Pg. 1. ANLISE DA ESTATIA DE UM CORPO RGIDO 3 1.1 Graus de liberdade 3 1.2 Estatia de um corpo rgido 5 1.3 Ligaes mal distribudas 7 2. ANLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA 9 2.1 Estatia exterior 9 2.2 Estatia interior 10 2.3 Estatia global 11 2.4 - Exemplos 11 2.5 Anlise da estatia de uma estrutura pelo mtodo das estruturas arborescentes 18 2.6 Mtodo misto 19 2.7 Anlise da estatia de estruturas trianguladas 21 2.8 Casos especiais 22 2.9 Consideraes finais 26

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1. ANLISE DA ESTATIA DE UM CORPO RGIDO 1.1 Graus de liberdade A posio de uma partcula livre de se mover no espao tridimensional pode ser definida, por exemplo, atravs das suas trs coordenadas independentes x, y, z, num referencial ortonormado. Neste caso, comprimento a dimenso comum destes trs parmetros. Mas se utilizarmos coordenadas cilndricas, por exemplo, uma delas ser um ngulo. Quer dizer, a posio de uma partcula livre de se mover no espao tridimensional ser sempre definida atravs de trs parmetros independentes. Diz-se que a partcula tem trs graus de liberdade e aos parmetros independentes escolhidos para definir a sua posio chama-se coordenadas generalizadas. Um sistema de n partculas livres ter 3n graus de liberdade e a sua posio ser definida atravs de 3n parmetros independentes ou coordenadas generalizadas. Uma partcula obrigada a mover-se sobre uma superfcie j s ter dois graus de liberdade. As suas 3 coordenadas cartesianas j no constituiro parmetros independentes, uma vez que entre elas existe uma relao ou equao de ligao, que ser traduzida pela equao da superfcie sobre a qual a partcula est obrigada a mover-se. E se a partcula estiver obrigada a mover-se sobre uma linha j s ter um grau de liberdade. Entre as suas 3 coordenadas cartesianas existiro duas relaes ou equaes de ligao, traduzidas pelas duas equaes que definem a linha. Um corpo rgido um sistema de partculas em que as distncias entre elas se mantm inalteradas. Trata-se de uma abstraco, mas uma abstraco til em vrias situaes, nomeadamente na resoluo de problemas de equilbrio de sistemas constitudos por corpos pouco deformveis. O corpo rgido tridimensional mais simples que se pode conceber um corpo constitudo por quatro partculas, A, B, C, D, formando um tetraedro (Fig. 1).

Fig. 1 Se estas quatro partculas estivessem livres de se mover no espao tridimensional teramos um sistema com 4x3=12 graus de liberdade, representados por exemplo pelas 12 coordenadas cartesianas xA, yA, zA, xB, yB, zB, xC, yC, zC, xD, yD, zD. Tratando-se de um corpo rgido, estes doze parmetros no so independentes. Entre eles existem 6 relaes ou equaes de ligao que traduzem a invariabilidade das distncias entre as 4 partculas. ( ) ( ) ( ) 2AB2BA2BA2BA dzzyyxx =-+-+- (1)

A

B

C

D

5

( ) ( ) ( ) 2AC2CA2CA2CA dzzyyxx =-+-+- (2) ( ) ( ) ( ) 2AD2DA2DA2DA dzzyyxx =-+-+- (3) ( ) ( ) ( ) 2BC2CB2CB2CB dzzyyxx =-+-+- (4) ( ) ( ) ( ) 2BD2DB2DB2DB dzzyyxx =-+-+- (5) ( ) ( ) ( ) 2CD2DC2DC2DC dzzyyxx =-+-+- (6) Isto significa que s 6 parmetros independentes so necessrios para definir a posio do corpo. O corpo rgido tem portanto 6 graus de liberdade no espao tridimensional representveis por 6 coordenadas generalizadas. Consideremos um corpo rgido qualquer (Fig. 2) e um referencial a ele rigidamente ligado com origem num dos seus pontos (A, x, y,z).

Fig. 2

Podemos escolher para coordenadas generalizadas deste corpo, por exemplo, as trs coordenadas xA, yA, zA de um dos seus pontos (ponto A) num referencial exterior fixo (O, x, y, z), e os ngulos a, , ?, que os eixos x, y, z formam com os eixos desse mesmo referencial. Se um corpo rgido se move por forma que as trajectrias de todos os seus pontos estejam contidas em planos todos paralelos a um determinado plano (plano do movimento) diz-se que o corpo se move em movimento plano. Um corpo rgido obrigado a mover-se em movimento plano j no tem 6 graus de liberdade, uma vez que lhe foram impostas restries. Ter somente 3 graus de liberdade, que podem ser interpretados como duas translaes, segundo eixos perpendiculares x e y existentes no plano do movimento, e uma rotao em torno de um eixo z perpendicular ao plano do movimento. Um corpo rgido com um ponto fixo tem 3 graus de liberdade. Um corpo rgido obrigado a mover-se em torno de um eixo tem somente um grau de liberdade.

O

x

y

z

A y'

x'

z'

?

a

6

1.2 Estatia de um corpo rgido Considere-se o corpo rgido representado na Fig. 3a), ligado ao exterior por um apoio fixo e um apoio mvel. Com base no seu diagrama de corpo livre (Fig. 3b) podemos estabelecer, como se sabe, um sistema de 3 equaes de equilbrio com o qual possvel determinar as 3 incgnitas HA, VA e VB.

=

=

=

0M

0F

0F

A

y

x

==+

-=

qq

q

senPbVasenPVV

cosPH

B

BA

A

(7)

possvel escrever este sistema matricialmente

-=

qqq

senPbsenPcosP

VVH

a00110001

B

A

A

(8)

ou [ ]{ } { } { }0QRC =+ (9) Este sistema de equaes ser sempre um sistema determinado qualquer que seja o carregamento a que o corpo est submetido. Por outras palavras, as suas ligaes ao exterior so as necessrias e suficientes para assegurar o equilbrio. O corpo diz-se isosttico. Na Eq. (9), { }R representa o vector das reaces, que constituem as incgnitas, { }Q um vector que representa o carregamento, e na matriz [ ]C esto reunidos os coeficientes das incgnitas. O elemento Cij desta matriz pode ser entendido como representando a contribuio da reaco j para o equilbrio i do corpo (j=1, HA; j=2, VA; j=3, VB; i=1, no-translao segundo x; i=2, no-translao segundo y; i=3, no-rotao em torno de A). Os dois zeros na primeira linha de [ ]C mostram que VA e VB no contribuem para impedir a translao do corpo segundo x . De igual modo, a terceira linha de [ ]C mostra que s a reaco VB est em condies de impedir a rotao em torno de A. Fig. 3a) Fig. 3b) Mas admitamos agora que o apoio B um apoio fixo em vez de mvel (Fig. 4a). Passmos a ter 4 incgnitas em vez de 3 e no entanto o nmero de equaes de equilbrio da Esttica contnua a ser 3 (Fig. 4b).

A B

C

P

HA

VA VB

A B C

P

?

b a

y

x

7

=

=

=

0M

0F

0F

A

y

x

==+

-=-

qq

q

senPbVasenPVV

cosPHH

B

BA

BA

(10)

Fig. 4a) Fig. 4b) Isto resulta de termos mais ligaes do que as estritamente necessrias e suficientes para assegurar o equilbrio. O sistema de equaes resulta indeterminado e o corpo diz-se hiperesttico ou estaticamente indeterminado. O nmero de ligaes (ou incgnitas) a mais define o grau de hiperestatia. O corpo diz-se hiperesttco do 1 grau. A indeterminao do sistema s pode ser levantada com base no conhecimento das leis que regem o comportamento mecnico do material de que o corpo constitudo. Voltemos ainda a considerar o mesmo corpo mas agora ligado ao exterior por dois apoios mveis, em A e em B (Fig. 5).

Fig. 5a) Fig. 5b)

As equaes de equilbrio sero

=

=

=

0M

0F

0F

A

y

x

==+

-=

qq

q

senPbVasenPVV

cosP0

B

BA (11)

Destas 3 equaes de equilbrio h uma que impossvel, o que torna o sistema de equaes impossvel. Trata-se, como evidente, da equao de projeco de foras segundo a horizontal. O sistema no pode portanto estar em equilbrio, a menos que a carga P seja vertical, caso em que a equao impossvel passa a ser uma equao trivial (0=0). Neste caso particular o sistema encontrar-se- em equilbrio. No entanto a anlise da estatia de um corpo rgido deve ser feita para um carregamento genrico, isto , pretende-se que o corpo se encontre sempre em equilbrio, independentemente do

A B C

P

?

b a

A B

C

P

HA

VA VB

HB

y

x

A B

C

P

VA VB

y

x A B C

P

?

b a

8

carregamento. No caso em estudo pode portanto concluir-se que temos menos ligaes do que as necessrias e suficientes para assegurar o equilbrio. O corpo diz-se hipoesttico. O nmero de ligaes a menos define o grau de hipoestatia. No caso presente temos um corpo hipoesttico do 1 grau. Com efeito, bastaria introduzir mais uma ligao (restrio translao horizontal), para que o equilbrio ficasse sempre assegurado. Aos sistemas hipoestticos tambm se d a designao de mecanismos cinemticos. 1.3 Ligaes mal distribudas Seja a viga sobre 3 apoios mveis representada na Fig 6a). Para qualquer corpo rgido em equilbrio plano possvel escrever um mximo de 3 equaes, com o que se poder determinar um mximo de 3 incgnitas. Pareceria portanto primeira vista que estaramos em condies de poder determinar as 3 foras de ligao da viga, ou seja, que ela seria isosttica. No entanto isso no se verifica, pois embora se disponha efectivamente de 3 ligaes, elas esto mal distribudas. A translao horizontal da viga no est impedida. No sistema de equaes de equilbrio a equao de projeco de foras segundo a horizontal uma equao impossvel.

Fig. 6a) Fig. 6b)

=

=

=

0M

0F

0F

A

y

x

=+=++

-=

qq

q

senPbaV2VasenPVVV

cosP0

CB

CBA (12)

No entanto tambm no faz sentido classificar a viga como hipoesttica do 1 grau. Isso significaria que nos bastava introduzir uma ligao para que ela se transformasse em sosttica. Vejamos o que sucede ao transformarmos o apoio A em apoio fixo (Fig. 7a).

Fig. 7a) Fig. 7b)

A B C

P A B C

P

VA VB VC

HA

A B C

P

?

b a

a

A B C

P

VA VB VC

y

x

9

A translao horizontal fica efectivamente impedida e o sistema fica em equilbrio, mas no se tornou isosttico. Ele passou a ser hiperesttico do 1 grau. Sempre que isto sucede sinal seguro de que as ligaes do sistema inicial estavam mal distribudas e neste caso no faz sentido classific-lo quanto estatia. Diz-se simplesmente que as ligaes do sistema esto mal distribudas. O equilbrio no em geral possvel. Como poderamos ento ter feito uma boa distribuio de ligaes no sistema inicial? Colocando pura e simplesmente um dos apoios em posio vertical, por exemplo o apoio C (Fig. 8).

Fig. 8 Vejamos o aspecto do sistema de equaes (12) quando escrito em forma matricial.

-=

qqq

senPbsenPcosP

VVV

a2a0111000

C

B

A

(13)

O facto de a primeira linha da matriz dos coeficientes das incgnitas ser constituda exclusivamente por zeros indicao segura de que nenhuma das reaces est em condies de impedir a translao horizontal, apesar de serem em nmero suficiente para assegurarem o equilbrio. O determinante da matriz dos coeficientes [ ]C nulo, ou seja a matriz [ ]C uma matriz singular. Sempre que tal sucede pode concluir-se que a distribuio das ligaes no a adequada para assegurar o equilbrio num carregamento genrico, isto , pode concluir-se que as ligaes esto mal distribudas. O equilbrio contudo possvel para carregamentos particulares, como se pode concluir se P for vertical. Nesse caso a primeira equao de (13) passa a ser uma equao possvel (0=0). Outro caso de m distribuio de ligaes o apresentado na Fig. 9a). Neste caso a equao de momentos que impossvel. Como todas as foras de ligao concorrem em B, no produzem momento relativamente a este ponto, sendo evidente que a fora F produz. Nada se ope portanto ao efeito de rotao que F provoca em torno de B, e o sistema rodar. Embora tenha 3 ligaes estas encontram-se mal distribudas. Bastaria colocar o apoio A em posio vertical para resolver o problema. Resumindo, diremos que em todos os casos em que as ligaes, embora em nmero suficiente, correspondam a reaces concorrentes todas num mesmo ponto ou todas paralelas, o equilbrio no em geral possvel, concluindo-se que as ligaes esto mal distribudas.

A B C

P

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Fig. 9a) Fig. 9b) 2. ANLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA Quando se pretende fazer a determinao das foras de ligao exteriores ou interiores de uma estrutura, interessa antes de mais saber se essa determinao pode ser efectuada exclusivamente atravs das equaes da Esttica. Tal s ser possvel para estruturas isotticas (nmero de ligaes estritamente necessrio para assegurar o equilbrio da estrutura) e para as estruturas hipoestticas (ligaes em nmero insuficiente para assegurar o equilbrio da estrutura) submetidas a casos particulares de solicitao. A determinao de foras de ligao em estruturas hiperestticas (nmero de ligaes superabundante para assegurar o equilbrio da estrutura) s pode efectuar-se a partir do conhecimento das leis de comportamento mecnico do prprio material de que as vrias partes da estrutura so constitudas. Por aqui se v a importncia da anlise prvia da estatia de uma estrutura. Chama-se a ateno para que a anlise da estatia de uma estrutura deve ser efectuada independentemente do carregamento a que esta est submetida ou seja, a classificao deve ser vlida qualquer que seja o carregamento que se considere. Assim, por exemplo, estruturas com ligaes a menos no esto em geral em equilbrio e devem ser consideradas hipoestticas mesmo que para um carregamento particular exista equilbrio. Por outro lado, quando as ligaes so em nmero suficiente mas esto mal distribudas, existem zonas da estrutura que ficam com ligaes a mais (zonas hiperestticas) e zonas com ligaes a menos (zonas hipoestticas), no estando a estrutura geralmente em equilbrio. Nestes casos no far sentido estabelecer uma classificao, dizendo-se simplesmente que a estrutura tem as ligaes mal distribudas. No deve portanto confundir-se no-equilbrio com hipoestatia. 2.1 Estatia exterior Uma estrutura, constituda por vrios corpos ligados entre si e ao exterior, pode no estar em equilbrio por duas razes. Ou o nmero de ligaes entre as vrias partes insuficiente para assegurar a rigidez do conjunto e a estrutura no mantm a sua geometria ou ento o nmero de ligaes ao exterior que insuficiente e a estrutura

A

B C

F

A

B C

F

VA

VB

HC

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mover-se- em bloco. A anlise da estatia exterior de uma estrutura faz-se considerando-a como um corpo rgido e averiguando se as ligaes ao exterior so em nmero estritamente necessrio (exteriormente isosttica), insuficiente (exteriormente hpoesttica) ou superabundante (exteriormente hiperesttica) para assegurar a imobilidade do conjunto. O grau de hiperestata ou hipoestatia define-se como o nmero de ligaes a mais ou a menos em relao ao nmero de ligaes que tornam a estrutura isosttica. A anlise da estatia exterior pois feita tal como para o corpo rgido, pelo que uma estrutura plana ser exteriormente isosttica se tiver 3 ligaes ao exterior (bem distribudas) e a tridimensional se tiver 6 (tambm bem distribudas). Como sabido, o corpo rgido tem 3 graus de liberdade no movimento plano (2 translaes e 1 rotao nesse plano) e 6 graus de liberdade no movimento geral (3 translaes e 3 rotaes), pelo que o nmero de ligaes correspondentes isostatia exterior pode ser encarado como o nmero mnimo de restries a esses graus de liberdade, de modo a impedir os movimentos de conjunto. 2.2 Estatia interior Como se disse, a estatia interior de uma estrutura relaciona-se com a possibilidade de deslocamentos relativos entre as vrias partes constituintes. Se as ligaes interiores so em nmero estritamente necessrio para impedir esses deslocamentos a estrutura diz-se interiormente isosttica. Se esse nmero de ligaes insuficiente teremos uma estrutura interiormente hipoesttca e no caso de ser superabundante a estrutura diz-se hiperesttica interior. O que est aqui em causa averiguar se as ligaes entre as partes da estrutura so insuficientes, suficientes ou em excesso para conseguir que a estrutra se comporte como um corpo rgido. A definio dada anteriormente para o corpo rgido, de grau de hiperestatia ou hipoestatia, vlida tambm para o caso das estruturas. Como bvio, se queremos estudar os movimentos das vrias peas umas em relao s outras, deveremos tomar uma delas para referncia, considerando-a como fixa. Se a estrutura for constituda por b peas comearemos por considerar (b-l) livres, o que corresponder a 3x(b-l) graus de liberdade para o conjunto, no caso plano, e a 6x(b-l) no caso do espao tridimensional. Se tivermos r ligaes interiores, ou seja, r restries aos 3x(b-l) graus de liberdade, ficaremos com n=3x(b-l)-r graus de liberdade. Se n = 0, o nmero de ligaes interiores o estritamente necessrio para impedir a deformabilidade da estrutura e esta diz-se interiormente isosttica. Se n positivo porque o nmero de ligaes interiores insuficiente e a estrutura ser interiormente hipoesttica de grau n. Se n for negativo isso quer dizer que as ligaes so superabundantes e a estrutura dir-se- interiormente hiperesttica de grau n . Tambm aqui preciso no esquecer que isto s ser assim se as ligaes estiverem bem distribudas, pelo que uma anlise cuidadosa da distribuio das ligaes interiores sempre indispensvel.

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2.3 Estatia global O grau de hiperestatia ou hipoestatia global de uma estrutura define-se como a soma algbrica dos graus de hiperestatia ou hipoestatia interior e exterior. Assim, pode dizer-se que uma estrutura interiormente hipoesttica do 1 grau e exteriormente hiperesttica do 1 grau ser uma estrutura globalmente isosttica se as ligaes estiverem bem distribudas. A hiperestatia exterior compensou a hipoestatia interior. No entanto o inverso j no verdadeiro, pois uma hipoestatia exterior nunca pode ser compensada por um nmero superabundante de ligaes interiores. A estrutura ter inevitavelmente deslocamentos de corpo rgido e a sua classificao no far sentido, dizendo-se simplesmente que as ligaes esto mal distribudas (a menos no exterior e em excesso no interior). 2.4 - Exemplos Determinar os graus de hiperestatia ou hipoestatia interior, exterior e global das estruturas seguintes. Exemplo 1

Fig. 10 Estatia exterior Considerando a estrutura como corpo rgido podemos traar o respectivo diagrama de corpo livre (Fig. 11) Fig. 11

A B C D

E

3 incgnitas para 3 equaes de equilbrio: isosttica exterior A

B C D

E

RBx RBy RC

13

Estatia interior Tomando uma das barras para referncia, por exemplo a barra AD, podemos traar diagramas de corpo livre para as outras duas barras, AE e ED. Fig. 12 Fig. 13 Dispomos portanto no total de 6 equaes para 6 incgnitas e todas as foras de ligao interiores ficaro determinadas. A estrutura isosttica interior e, evidentemente, isosttica global. Exemplo 2

Fig. 14

4 incgnitas para 3 equaes de equilbrio

A

E

RAx RAy

RAy

2 novas incgnitas para mais 3 equaes de equilbrio

D

E

RAx

RAy

RDx RDy

A B

C

14

Estatia exterior Considerando a estrutura como um corpo rgido, e uma vez que se trata de um problema plano, ela ter 3 graus de liberdade se no estiver ligada ao exterior. Como as ligaes ao exterior consistem em 2 apoios fixos temos 4 ligaes, ou seja, 4 restries aos 3 graus de liberdade anteriores. Isto quer dizer que temos uma ligao a mais e a estrutura diz-se exteriormente hiperesttica do 1 grau. Estatia interior Tomando uma das barras para referncia, por exemplo a barra AC, e considerando a outra livre ela ter 3 graus de liberdade. Como ligao interior temos simplesmente a articulao C que vai restringir apenas 2 dos 3 graus de liberdade da barra BC ficando esta simplesmente com a possibilidade de rodar em torno de C. A estrutura diz-se interiormente hipoesttica do 1 grau. Estatia global Este um caso em que a hiperestatia exterior do 1 grau compensa a hipoestatia interior do 1 grau e a estrutura diz-se globalmente isosttica. Na verdade, considerando todas as ligaes, interiores e exteriores, v-se que a estrutura no pode ter quaisquer movimentos. Uma estrutura deste tipo conhecida por arco de 3 articulaes. Exemplo 3 Fig. 15 Estatia interior Seccionemos a estrutura por um plano vertical de modo a ficarmos com dois corpos rgidos sem malhas fechadas (Fig. 16). Se tomarmos uma das partes para referncia a outra constitui um corpo rgido com 3

Estatia exterior Estrutura isosttica

A B

C D

E F

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graus de liberdade. As ligaes interiores, neste caso, correspondem a duas ligaes rgidas em G e H e portanto restringindo 2x3 graus de liberdade. Estamos perante um nmero de ligaes superabundante. A estrutura 2x3-3 = 3 vezes hiperesttica interior. Globalmente ser tambm hiperesttica do 3 grau.

Fig. 16 Exemplo 4 Fig. 17 Estatia interior Se tomarmos a barra AB para referncia podemos traar diagramas de corpo livre para as restantes (Fig. 18), e por comparao entre o nmero de equaes de equilbrio e o nmero de incgnitas (foras de ligao interiores) concluiremos que a estrutura interiormente isosttica. interessante notar que na ligao de 2 barras atravs de uma rtula s esto em jogo 2 incgnitas (2 foras de ligao interior ou, em linguagem de graus de liberdade, 2 restries ao nmero total de graus de liberdade) e que na ligao de 3 barras por uma articulao s esto em jogo 4 incgnitas. Isto evidentemente no caso plano. Daqui se pode inferir a seguinte regra geral: a ligao de n barras por meio de uma articulao restringe ao conjunto (n-l)x2 graus de liberdade. No espao, a ligao de n corpos por meio de uma articulao esfrica restringe ao conjunto (n-l)x3 graus de liberdade.

MH

A B

C D

E F

G

RGx RGy

G MG MG

RGx RGy

H

RHx RHy

H

RHx RHy

MH

Estatia exterior Estrutura isosttica

A B

C D

16

Fig. 18

3 equaes 4 incgnitas

A

C

RAx

RAy

RCy

RCx

3 equaes 4 incgnitas

A

D

RAx

RAy

RDy

RDx

3 equaes 2 novas incgnitas

C RCx

RCy

RDy

RDx D

3 equaes 2 novas incgnitas

B

D

RBx

RBy

RDx RDx

RDy

RDy

Total 12 equaes

12 incgnitas

17

Exemplo 5

Fig. 19 Estatia exterior Estrutura hiperesttica do 1 grau Estatia interior Tome-se AB como barra de referncia. Nmero de graus de liberdade para 10-1 = 9 barras livres no plano = 9x3 = 27 Nmero de restries Rtula A ------------------- (3-1)x2=4 Rtula B ------------------- (3-1)x2=4 Rtula E ------------------- (3-1)x2=4 Rtula F ------------------- (4-1)x2=6 Rtula G ------------------- (3-1)x2=4 Rtula C ------------------- (2-1)x2=2 Rtula D ------------------- (2-1)x2=2

Total 26 Concluso: estrutura interiormente hipoesttica do 1 grau Estatia global Hipoesttica interior do 1 grau + hiperesttica exterior do 1 grau = isosttica global. Esta concluso no vlida, pois v-se perfeitamente que a estrutura no est em geral em equilbrio. Isso resulta de haver uma parte da estrutura com ligaes a mais, enquanto que outra fica com ligaes a menos. A parte ABEF comporta-se como um corpo rgido mas hiperesttica do 1 grau, enquanto que a parte restante tem dois graus de liberdade em relao a ABEF. A barra FG pode rodar em torno de F e o tringulo CDG pode rodar em torno de G. Estes dois graus de liberdade no so compensados

A C B

F G

D

E

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pela hiperestatia exterior do 1 grau e nestas circunstncias o conjunto de ligaes interiores e exteriores no est em condies de assegurar o equilbrio da estrutura, pelo que a estrutura classificada globalmente como tendo ligaes mal distribudas . Neste caso trata-se de uma estrutura triangulada, e se admitirmos que as cargas s sero aplicadas nos ns, o sistema de equaes que traduzem o equilbrio da estrutura constitudo pelas equaes de equilbrio dos ns. Ser portanto um sistema de 2x7=14 equaes de equilbrio que incluiro todas as incgnitas (4 foras de ligao exteriores e 10 foras de ligao interiores correspondentes aos esforos normais nas 10 barras que constituem a estrutura). Teremos portanto um sistema de 14 equaes a 14 incgnitas, aparentemente determinado. Ou seja, a estrutura seria aparentemente globalmente isosttica. Contudo, a m distribuio de ligaes seria facilmente detectada atravs de uma anlise mais cuidada matriz dos coeficientes das incgnitas. Na verdade, tal como se viu no 1.3 a propsito da anlise da estatia do corpo rgido, o determinante da matriz dos coeficientes das incgnitas seria neste caso nulo. Esta uma indicao clara de impossibilidade de equilbrio, apesar de as ligaes serem teoricamente em nmero suficiente. A concluso inevitvel que as ligaes esto mal distribudas. Conseguir-se-ia uma boa distribuio de ligaes e a estrutura passaria a ser globalmente isosttica transferindo por exemplo a barra AF para a posio FC.

Fig. 20 Exemplo 6 Seja a determinao da estatia interior da seguinte estrutura (Fig. 21).

Fig. 21

A C B

F G

D

E

A

B C

D E

F

19

Podemos consider-la constituda por 5 barras de eixo rectilneo ligadas rigidamente entre si. Tomando AB como barra de referncia teremos que 5-1=4 barras livres no plano tm 4x3=12 graus de liberdade. As ligaes rgidas em B, C, D e E restringem 4x3=12 desses graus de liberdade e o resultado isostatia. Trata-se de facto de um corpo rgido, constitudo por peas lineares, sem malhas fechadas. Mas se ligarmos os pontos A e F o corpo continuar a ser rgido. Mais do que rgido, poder-se-ia talvez dizer. E com este mais do que rgido queremos significar hiperestatia. Com efeito o nmero de graus de liberdade no se alterou (=12) e o nmero de restries passou a ser 5x3=15. Temos portanto 3 restries a mais e a estrutura diz-se hiperesttica do 3 grau. Um anel tambm o . 2.5 Anlise da estatia de uma estrutura pelo mtodo das estruturas arborescentes Para as estruturas interiormente hiperestticas em geral e para as estruturas reticuladas (em forma de rede) muito particularmente, torna-se normalmente fastidioso e susceptvel de erros determinar o grau de hiperestatia pelos processos anteriormente descritos. Recorre-se ento muitas vezes ao chamado mtodo das estruturas arborescentes. Este mtodo consiste em, atravs de cortes que se praticam na estrutura, fornecer-lhe o nmero de graus de liberdade necessrio e suficiente para a tornar isosttica. O nmero de libertaes efectuadas dar-nos- ento o grau de hiperestatia. O nome do mtodo deve-se ao aspecto de rvore com que ficam as estruturas depois de efectuados os cortes. Tome-se o exemplo da figura seguinte (Fig. 22).

Fig. 22 Fig. 23

Trata-se de uma estrutura reticulada plana em que existem, como se pode ver, vrias malhas fechadas, pelo que de prever que a estrutura seja hiperesttica. Vamos efectuar cortes na estrutura de modo a transform-la num corpo rgido sem malhas fechadas (isosttico). Poderemos por exemplo efectuar os cortes representados na Fig. 23. Por cada corte efectuado forneceram-se estrutura 3 graus de liberdade. No total forneceram-se 6x3 = 18 graus de liberdade. A estrutura inicial era portanto interiormente hiperesttica do 18 grau. Note-se que o mtodo pode ser utilizado para determinar o grau de hiperestatia global de

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uma estrutura. Para tanto devero fornecer-se ao sistema os graus de liberdade necessrios e suficientes para o transformar num conjunto de estruturas isostticas (rvores). Seja por exemplo a seguinte estrutura reticulada espacial ligada ao exterior por intermdio de encastramentos (Fig. 24a). Com 4 cortes obtm-se 4 estruturas isotticas (Fig. 24b).

Fig. 24a) Fig. 24b) Cada corte forneceu ao sistema 6 graus de liberdade, por conseguinte a estrutura globalmente hiperesttica do 24 grau. 2.6 Mtodo misto A ideia base que preside ao mtodo das estruturas arborescentes pode ser aproveitada para generalizar o mtodo a outros tipos de estruturas. Com efeito, o essencial que tem que se chegar no fim a uma estrutura isosttica. E estruturas h em que, para alm dos cortes que se torna necessrio efectuar, haver ainda que restringir alguns graus de liberdade da estrutura a fim de se obter a isostatia que se procura. Claro que ento o grau de hiperestatia ser a diferena entre o nmero de libertaes efectuadas e o nmero de restries impostas. Se esta diferena for positiva a estrutura ser de facto hiperesttica. Mas pode acontecer que seja negativa e ento isso significar que a estrutura de partida era hipoesttica. Mas concretizemos atravs de alguns exemplos. Procuremos ento determinar a estatia global da seguinte estrutura plana (Fig. 25).

Fig. 25 Efectuemos os dois cortes representados na Fig. 26. Se no fizermos mais nada conclui-

A

C B

D

21

se que cada uma das estruturas obtidas hipoesttica do 1 grau, j que as barras BG e HC podem rodar em torno de B e C respectivamente. Para se obterem estruturas isostticas teremos que impedir essas rotaes, ligando rigidamente as barras BG e HC ao resto da estrutura. Fornecemos portanto 2x3 = 6 graus de liberdade estrutura atravs dos cortes efectuados e impusemos duas restries. Temos portanto que a estrutura 6-2 = 4 vezes hiperesttica global.

Fig. 26 Consideremos ainda o exemplo seguinte (Fig. 27).

Fig. 27 Fig. 28

Vamos transformar a estrutura numa estrutura arborescente atravs dos cortes e restries seguintes (Fig. 28). Foram efectuados 3 cortes. Forneceram-se portanto 3x3 = 9 graus de liberdade estrutura. Em A houve que impedir as rotaes das barras AE e AB. Em B houve que impedir as rotaes das barras BF e BG. Em C impediram-se as rotaes das barras CJ, CI e CD e alm disso foi necessrio impedir a translao horizontal do conjunto. Finalmente em D houve que impedir a rotao da barra DH. Foram portanto impostas 9 restries no total. Como o nmero de libertaes igual ao nmero de restries impostas conclui-se que a estrutura globalmente isosttica. Como resulta evidente, este mtodo no parece ser o mais adequado para estruturas deste tipo, dado o grande nmero de restries que necessrio impor. Tenha-se em mente que o exemplo apresentado dos mais simples.

A

C B

D

E F

G H

A

B D

C A

B D

C E

F

G H

I

J

1 1

1

1 1 1

1 1

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2.7 Anlise da estatia de estruturas trianguladas A estrutura articulada triangulada plana mais simples que se pode conceber o tringulo (Fig. 29).

Fig. 29 Embora os apoios estejam em posio diferente, esta estrutura a mesma que foi apresentada no exemplo 1 do 2.4, onde se concluiu que era interiormente, exteriormente e globalmente isosttica. Se aos ns B e C juntarmos mais duas barras ligadas entre si por uma articulao obteremos a estrutura do ltimo exemplo apresentado no 2.6, a qual, como vimos, isosttica. Se continuarmos a ampliar a estrutura seguindo sempre este processo, duas novas barras e uma articulao, temos a garantia de ir obtendo sucessivamente estruturas que so sempre isostticas. Pode tirar-se partido disto para fazer a anlise da estatia de estruturas trianguladas. Seja por exemplo a estrutura seguinte (Fig. 30).

Fig. 30 Fig. 31

Se no existisse a barra AD teramos a estrutura que j anteriormente considermos e a qual se pode obter, como vimos, partindo de um tringulo base inicial ao qual se adicionam duas barras e uma articulao. A barra AD est portanto a mais. Ela est a estabelecer uma ligao suplementar entre os pontos A e D. Cortemo-la em duas (Fig. 31). Para obtermos uma estrutura isosttica teremos que restringir simultaneamente as

A

B

C

A

B D

C A

B D

C

1

1

E

F

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rotaes das barras resultantes AE e FD. Fornecemos portanto 3 graus de liberdade e impusemos 2 restries. Conclui-se pois que a estrutura de partida hiperesttica do 1 grau. Por este mtodo fcil agora verificar que a estrutura que a seguir se apresenta (Fig. 32) interiormente hiperesttica do 3 grau.

Fig. 32

2.8 Casos especiais Considere-se a seguinte estrutura (Fig. 33).

Fig. 33 Trata-se de uma estrutura do mesmo tipo da apresentada no exemplo 2 do 2.4 mas simplesmente com as barras horizontais. Se fizermos a anlise da sua estatia chegaremos pois concluso que isosttica global. Sendo assim, ela encontrar-se- em equilbrio. Vamos no entanto ver que na realidade no assim. As barras AB e BC so ambas biarticuladas sem foras aplicadas ao longo do eixo. S podero portanto estar em equilbrio sob a aco de foras axiais aplicadas nas extremidades.

Fig. 34

A

B

C

F

A B

R1 R1

C B

R2 R2

B

F

R2 R1

24

Como se pode ver imediatamente a partir do diagrama de corpo livre da articulao B (Fig. 34), esta no pode estar em equilbrio, visto que no h foras de ligao que equilibrem a fora aplicada F, que vertical. Embora no visvel imediatamente, este de facto um caso de m distribuio de ligaes. As duas restries impostas pelo apoio fixo C poderiam por exemplo distribuir-se por dois apoios mveis, um localizado em B e outro em C (Fig. 35).

Fig. 35

Consideremos agora a seguinte estrutura tridimensional e faamos a anlise da sua estatia (Fig. 36).

Fig. 36

Estatia exterior 3 apoios fixos no espao restringem 3x3 = 9 graus de liberdade. Estrutura 9-6 = 3 vezes hiperesttica exterior. Estatia interior 3-1 = 2 corpos rgidos livres no espao tm 2x6 = 12 graus de liberdade. Estrutura 12-6 = 6 vezes hipoesttica interior. Estatia global Estrutura 6-3 = 3 vezes hipoesttica global. Isto significa que a estrutura tem 3 graus de liberdade e fcil de ver que eles

A

B

C

F

A B

C

D

E

F

G H

I

J

25

correspondem a rotaes das barras AD, BD e CD em torno dos respectivos eixos. A existncia das barras FE, HG e IJ rigidamente ligadas s anteriores sugere a possibilidade de nelas serem aplicadas foras susceptveis de provocarem as rotaes referidas, e a classificao da estrutura estar correcta. Consideremos no entanto agora a estrutura seguinte que difere da anterior por no existirem as barras FE, HG e IJ (Fig. 37).

Fig. 37 No h possibilidade de aplicar cargas a esta estrutura que sejam susceptveis de produzir rotaes das barras em torno dos respectivos eixos. Assim, embora de facto aquelas rotaes sejam teoricamente possveis, elas no tm interesse prtico e a estrutura deve ser considerada isosttica. Vimos que o elemento isosttico bsico para as estruturas trianguladas planas era o tringulo. Para as estruturas trianguladas espaciais o elemento isosttico bsico um tetraedro (Fig. 38). Faamos a anlise da sua estatia interior. Se considerarmos a barra AD como barra de referncia, temos que 6-1 = 5 barras livres no espao tm 5x6 = 30 graus de liberdade. 4 articulaes esfricas ligando 3 barras cada restringem 4x(3-1)x3 = 24 graus de liberdade. Logo a estrutura 30-24 = 6 vezes hipoesttica. Tem 6 graus de liberdade que correspondem s rotaes das barras AB, BC, AC, DB e DC e rotao do conjunto em torno da barra de referncia AD. Por outras palavras, correspondem s rotaes das barras em torno dos respectivos eixos. Tal como as estruturas trianguladas planas, as estruturas trianguladas espaciais destinam-se a suportar cargas directamente aplicadas nos seus ns. Ora estas cargas em caso algum provocaro rotaes das barras em torno dos seus eixos. Por isso, embora em rigor a estrutura seja hipoesttica do 6 grau, ela deve ser classificada na prtica como isosttica. Obtm-se uma estrutura triangulada espacial que ser sempre isosttica se, a partir do tetraedro base, se forem sucessivamente acrescentando 3 barras e uma articulao (Fig. 39). Consideremos de novo a estrutura reticulada espacial apresentada no 2.5, a qual era, como se viu, hiperesttica do 24 grau (Fig. 40).

A B

C

D

26

Fig. 38 Fig. 39

Fig. 40

Por vezes necessrio aumentar a rigidez destas estruturas no que se refere deformabilidade horizontal, introduzindo-se ento barras biarticuladas em diagonal, como se mostra a seguir (Fig. 41). Pretende-se saber de quanto aumenta o grau de hiperestatia da estrutura pela introduo de uma destas barras. Consideremos ento a barra AB livre no espao, desligada da estrutura. O seu diagrama de corpo livre mostra que nela esto envolvidas 6 novas incgnitas (Fig. 42).

Fig. 41

C

B

A

D

C

A

D

A

B

27

Fig. 42 Como novas equaes podemos estabelecer as equaes de equilbrio da barra AB que, como sabemos, so 6, 3 de projeco de foras e 3 de momentos. Se parssemos por aqui o nosso raciocnio concluiramos que a barra AB introduziria no sistema 6-6=0 novas restries. No entanto, analisemos as 3 equaes de momentos. Elas podero representar por exemplo as 3 componentes do momento resultante de todas as foras que actuam na barra AB em relao ao ponto A. Nestas foras estaro includas no s as reaces em A e B, como tambm todas e quaisquer possveis foras exteriores aplicadas barra AB. A componente do referido momento segundo o eixo y representa, como se sabe, o momento de todas as foras em relao ao eixo y. Se repararmos, nenhuma das reaces produz momento em relao a y, e nenhuma fora exterior que se aplique barra o far tambm. Ento esta equao de equilbrio resultar numa equao trivial (0=0) e ela no nos auxiliar na determinao das 6 novas foras de ligao interiores. Ficaremos assim reduzidos a 5 equaes para 6 incgnitas e concluiremos dizendo que, por cada barra biarticulada como a barra AB, que se inclua na estrutura, o seu grau de hiperestatia aumentar de uma unidade. 2.9 Consideraes finais A melhor forma de fazer a anlise da estatia global de uma estrutura atravs da identificao de partes da estrutura cuja estatia seja conhecida. Por exemplo, em estruturas trianguladas planas, se a estrutura puder ser reconstruda partindo de um tringulo base, que se sabe que isosttico, juntando sucessivamente a dois dos seus ns duas barras ligadas entre si por uma articulao, fica-se com a certeza de estar perante uma estrutura interiormente isosttica.

Fig. 43

A B

x

z

y

RAx

RAy

RAz RBx

RBy

RBz

28

Se ligarmos dois pontos de uma estrutura de estatia conhecida atravs de uma barra bi-articulada estaremos a aumentar o seu grau de hiperestatia em uma unidade.

Fig. 44 Uma estrutura interiormente isosttica ou hiperesttica comporta-se como um corpo rgido e poder ser considerada como tal na anlise da estatia de estruturas mais complexas em que esteja integrada. Um arco de trs articulaes uma estrutura globalmente isosttica. Se for montado sobre uma estrutura pr-existente no alterar a estatia dessa estrutura.

Fig. 45

Fig. 46

Estrutura interiormente hiperesttica do 4 grau

Dois corpos rgidos (isostticos) ligados entre si por uma articulao e ao exterior por apoios fixos = arco de trs articulaes = globalmente isosttico

Arco de trs articulaes sobre estrutura globalmente isosttica = estrutura globalmente isosttica

29

Um corpo rgido (isosttico) ligado ao exterior por um apoio fixo e um apoio mvel uma estrutura globalmente isosttica.

Fig. 47

A B C D

ABC = viga simplesmente apoiada C = apoio fixo CD = viga simplesmente apoiada Estrutura globalmente isosttica