ESTATÍSTICAProfessor: Rodrigo

Carvalho

Ao pesquisarmos uma dada população estatística, freqüentemente, não é possível fazermos um levantamento de todos os elementos que a compõem.

Nesse caso, procuramos obter dados diferentes de uma parte da população estatística, que

denominaremos Amostra.

Distribuição de FreqüênciaFez-se uma pesquisa com 25 jovens de um bairro baiano, a respeito do time de futebol para o qual torciam. O resultado obtido aparece na lista seguinte:

Ipitanga Camaçari Ipitanga Vitória Ipitanga

Bahia Vitória Bahia Bahia Camaçari

Vitória Ipitanga Bahia Camaçari Bahia

Catuense Bahia Camaçari Vitória Bahia

Bahia Vitória Vitória Ipitanga Camaçari

Construindo uma tabela...

TimeFreqüência Absoluta

Ipitanga 5

Bahia 8

Vitória 6

Juazeiro 1

Camaçari 4

Catuense 1

Total ƒ = 25

As freqüências absolutas são os nos de elementos da população ou amostra pesquisada que correspondem à faixa do fenômeno estudado.

Continuando . . .Chamamos de freqüência relativa (ƒr), a razão entre a freqüência absoluta correspondente (ƒ) e o nº total de pesquisados (ƒ), ou seja:

ƒr =ƒ

ƒ

É comum a apresentação da freqüência relativa em porcentagem:

ƒp = (100 . ƒ1) %

Continuando . . .

Na situação que estamos examinando, a porcentagem de torcedores do Ipitanga é:

ƒp = (100 . 0,2) = 20%

Construindo uma nova tabela

Time

Freqüência

Absoluta (ƒ)

Freqüência Relativa

(ƒr)

Porcentagem

Ipitanga 5 5/25 = 0,20 20%

Bahia 8 8/25 = 0,32 32%

Vitória 6 6/25 = 0,24 24%

Juazeiro 1 1/25 = 0,04 4%

Camaçari 4 4/25 = 0,16 16%

Catuense 1 1/25 = 0,04 4%

Total ƒ = 25 1 100%

ENEM

Construindo uma nova tabela

Obs.: São sempre válidos os seguintes resultados:

ƒ

Total ƒ = 25 1 100%

Somatório da

Frequência Absoluta

ƒr ƒp

Somatório da

Frequência Relativa

Somatório da Frequência Relativa em

Porcentagem

Gráfico de Barras e de ColunasNo gráfico de barras, colocamos as freqüências num eixo horizontal usando retângulos de mesma largura, cujos comprimentos são proporcionais às frequências.

Gráfico de Barras

5

8

6

1

4

1

0 2 4 6 8 10

Palmeiras

Santos

São Paulo

Tim

es

Freqüência

CatuenseCamaçari

JuazeiroVitória

BahiaIpitanga

Gráfico de Barras e de ColunasGráfico de Colunas

5

8

6

1

4

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Palmeiras Corinthhians Santos Juventude São Paulo Portuguesa

Times

Freq

uênc

ia

Ipitanga Bahia Vitória Juazeiro Camaçari Catuense

Gráfico de Setores

Nos gráficos de setores, desenhamos um círculo e o dividimos em setores que tenham áreas proporcionais às porcentagens (ou frequências).

Gráfico de Setores

Palmeiras

20%

Corinthhians

32%Santos

24%

J uventude

4%

São Paulo

16%

Portuguesa

4%

Bahia: 32% de 360° é 115,2°

Vitória: 24% de 360° é 86,4°

Camaçari: 16% de 360° é 57,6°

Ipitanga: 20% de 360° é 72,0°

Juazeiro: 4% de 360° é 14,4°

Catuense: 4% de 360° é

14,4°

Média

Chamamos de média (M) de uma distribuição a média aritmética dos valores dados.

Exemplo:Numa pesquisa foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8M =8

= 4,5

Consideremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:

1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9

Mediana

Chamamos de mediana (Md) de uma distribuição o valor que ocupa a posição central quando todos os valores são colocados em ordem(ROL).Exemplo:

21 observações

10 observações de um lado

10 observações do outro ladoMd

Mediana

Nº de Pontos

Freqüência

0 7

2 10

4 12

6 11

8 7

10 2

Total 49

Exemplo: Determine a mediana da distribuição da freqüência dada pela tabela abaixo:

Solução:Neste caso, em que há 49 valores, a posição central é a 25ª, observando as freqüências, percebemos que:

7 + 10 < 25 e 7 + 10 + 12 > 25; logo, temos: Md = 4.

Obs.: Se o nº dos valores da lista for par, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais quando todos eles são colocados em ordem.

Exemplo:Consideraremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na seguinte lista:

1 2 3 4 5 6 7 8

Mediana

4 observações do outro lado

4 observações de um lado

Temos:4+5Md = 2 = 4,5

ENEM

ENEM

Moda“O mais frequente”

Exemplo 1:

1 2 3 3 3 4 5 6 Moda = 3

Exemplo 2:

1 2 2 2 3 3 4 4 4 Moda = 2 e 4 (bimodal)

Exemplo 3:

1 2 3 4 Moda = Não existe (estado amodal)

ENEM

DesvioConsideraremos a distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:

4 6 7 8 10

Sabemos que a média desta distribuição é:

4 + 6 + 7 + 8 + 10M =

5= 7

Chamamos de desvio de cada valor a diferença entre esse valor e a média da distribuição. Assim:

•o desvio do valor 4 é 4 - 7 = - 3;•o desvio do valor 6 é 6 – 7 = - 1;•o desvio do valor 7 é 7 – 7 = 0;•o desvio do valor 8 é 8 – 7 = 1;•o desvio do valor 10 é 10 – 7 = 3.

Desvio Médio

Chamamos de desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo analisado, o desvio médio:

DM = | -3 | + | -1 | + | 0 | + | 1 | + | 3 |

5=1,6

Generalizando:

Tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista x1, x2, ..., xn , e cuja média é M, define-se como desvio médio dessa distribuição a expressão:

DM = | x1 – M| + | x2 – M| + . . . + |xn – M|

n

VariânciaChamamos de variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios. No exemplo em questão, a variância é:

V =(-3)2 + (-1)2 + (0)2 + 12 + 32

5= 4

Generalizando:

Tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista , e cuja média é M, define-se como Variância dessa distribuição a expressão:

x1, x2, ..., xn

V = (x1 – M)2 + (x2 – M)2 + . . . + (xn – M)2

n

Desvio - Padrão

Chamamos de desvio-padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:

DP = Vv

No nosso exemplo, o desvio-padrão é:

DP = Vv = V4 = 2

ENEM