Estatística aplicada à Educação

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pro uncionrio - Curso Tcnico de Formao para os Funcionrios da Educao / Tcnico em Gesto Escolar: Estatstica aplicada Educao

pro uncionrioCurso Tcnico de Formao para os Funcionrios da Educao

Estatstica aplicada Educao

TCNICO EM GESTO ESCOLAR

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Braslia 2009

Governo Federal Ministrio da EducaoSecretaria de Educao Bsica Diretoria de Polticas de Formao, Materiais Didticos e de Tecnologias para a Educao Bsica

Universidade de Braslia(UnB)

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Brasil. Ministrio da Educao. Secretaria de Educao Bsica.

M488e Medeiros, Carlos Augusto de. Estatstica aplicada educao. / Carlos Augusto de Medeiros. Braslia : Universidade de Braslia, 2009. 136 p. : il. ISBN 978-85-230-0990-8 1. Conceitos matemticos: razes e propores. 2. Distribuio de freqncia: dados brutos e rol. 3. Medidas de resumo: medidas de tendncia central (mdia, mdia aritmtica ponderada, mediana e moda). I. Ttulo. II. Universidade de Braslia. Centro de Educao a Distncia. CDU 519.2:37(81)

ApresentaoSou professor! No h outra atividade profissional em minha vida. Iniciei minha carreira h, aproximadamente, 15 anos, como professor de Matemtica, no Ensino Fundamental, na Rede Pblica de Ensino do Distrito Federal. Nos ltimos 5 anos, tenho me dedicado docncia no nvel superior, atuando em cursos de Formao para Docentes, basicamente, com componentes como Metodologia Cientfica; Metodologia da Pesquisa; Mtodos e Tcnicas de Pesquisa; Organizao da Educao Brasileira e Planejamento e Polticas Educacionais. Fiquei muito feliz com o convite para escrever este Mdulo de Estatstica aplicada Educao. bem verdade que, como professor de Matemtica, sei por experincia prpria que trabalhar com clculos repele mais do que atrai o leitor. Mas, tambm, da forma como tm sido trabalhadas as cincias exatas nas escolas, no de se estranhar. Foi nesse contexto que resolvi apresentar aos Funcionrios da Educao uma ferramenta valiosa, fincada na Matemtica, que auxilia na interpretao da realidade. Sem ela, nossas aes se pautam por bases outras que no a cincia. E isso implica acertar, algumas vezes, mas errar, outras tantas vezes. claro que no h receita segura para o acerto, isso todos sabemos. Mas existem ferramentas que, por fora do nosso percurso individual, vo sendo oferecidas a alguns poucos que se tornam detentores dos saberes e isso no posso aceitar. Dentre essas ferramentas, a Estatstica figura como (quem sabe!) uma dessas que, se no observada, confina nossas aes ao campo da sorte. Mas ainda assim, reconhecendo sua importncia, preciso lidar com as resistncias e limitaes de todos ns, com o traquejo algbrico, isto , com nmeros, nmeros e nmeros. Pois bem, estava ciente disso tudo quando escrevi esse Mdulo. Tudo que escrevi buscou responder seguinte pergunta: o que da Estatstica Bsica pode ser oferecido aos Funcionrios da Educao de modo que os auxiliem em suas atividades diuturnas, caminhando no sentido de uma educao de qualidade? Com isso em mente, procurei colocar em um prato da balana aquilo que efetivamente poderia contribuir para alcanar a to sonhada qualidade da educao e, no outro prato, metodologias e procedimentos de resoluo, com os fundamentos para aqueles que desejarem se aprofundar no futuro, pautados em estratgias que levem aos resultados.

Por isso, caro leitor, algumas vezes possvel que voc tenha que recorrer a recursos externos para a melhor compreenso dos contedos. Mas se isso acontecer, sero poucas vezes, j que me empenhei para consolidar os contedos no interior deste Mdulo. As frmulas, leitor, deixe que as calculadoras e as planilhas eletrnicas resolvam. A ns cabe, contudo, saber o que representam os resultados, bem como de que maneira organizar os dados para que cheguemos a eles. A ns compete identificar as ferramentas que contribuem para dar mais qualidade s nossas atividades profissionais. Transformar dados em informao: esse o desafio!

Objetivo do MduloRefletir a partir da Estatstica Bsica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e pela cincia, disponveis a todos, que auxiliam na tomada de deciso.

EmentaConceitos matemticos: razes e propores; grandezas e medidas; regra de trs simples; porcentagem; coeficientes, taxas e ndices; sistema de coordenadas cartesianas; arredondamento. Variveis, tabelas e grficos: populao e amostra; estatstica descritiva e estatstica indutiva ou inferencial; variveis; tabelas; grficos: diagramas, cartogramas e pictogramas. Distribuio de freqncia: dados brutos e rol; distribuio de freqncia: grficos de uma distribuio; curvas de freqncia. Medidas de resumo: medidas de tendncia central (mdia, mdia aritmtica ponderada, mediana e moda); medidas de disperso (disperso e variao, desvio padro e coeficiente de variao); medidas de posio (quartis, decis e percentis).

Lista de FigurasFigura 1: Estatstica: Pirmide da definio 18 Figura 2: Razo: Comparao 24 Figura 3: Razo: Exerccio 25 Figura 4: Razo: Representao 25 Figura 5: Propores: Conceito 26 Figura 6: Razes: Propores: Escala 27 Figura 7: Razes e Propores: Exerccio 27 Figura 8: Grandezas 28 Figura 9: Medida de Comprimento: Segmento de reta 29 Figura 10: Regra de Trs: Exerccio 31 Figura 11: Coeficiente e Taxa 34 Figura 12: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Origem 37 Figura 13: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Eixos 38 Figura 14: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Pontos 38 Figura 15: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Exerccio 39 Figura 16: Arredondamento de Nmeros 40 Figura 17: Arredondamento: Fluxograma 40 Figura 18: Estatstica Dedutiva e Estatstica Indutiva: Fluxograma 46 Figura 19: Variveis: Definies 48 Figura 20: Pictograma: Exemplo 61 Figura 21: Modelo de Histograma 69 Figura 22: Polgono de Freqncia: Esboo 70 Figura 23: Curvas de Freqncia 76 Figura 24: Mdia Aritmtica: Exemplo 83 Figura 25: Linha Mediana 92 Figura 26: Curvas Modais 95 Figura 27: Mdia, Mediana, Moda: Curva Simtrica 96 Figura 28: Mdia, Mediana, Moda: Curva Assimtrica 96

Figura 29: Desvio Padro: Grficos: Exerccio 101 Figura 30: Quartis: Representao 111 Figura 31: Tabela de Freqncia: Ilustrao 115 Figura 32: Exerccio: Quartis 117 Figura 33: Exerccio: Quartis: Freqncia Acumulada Anterior 118

Lista de FrmulasFrmula 1: Mdia Aritmtica 81 Frmula 2: Mdia Aritmtica Ponderada 85 Frmula 3: Mediana 91 Frmula 4: Desvio Padro: Dados No-Agrupados: 99 Frmula 5: Desvio Padro: Dados Agrupados 102 Frmula 6: Coeficiente de Variao 106 Frmula 7: Medidas de Posio: Dados No-Agrupados: Quartil 112 Frmula 8: Medidas de Posio: Quartil 112 Frmula 9: Medidas de Posio: Dados No-Agrupados: Decil 122 Frmula 10: Medidas de Posio: Dados No-Agrupados: Percentil 122 Frmula 11: Medidas de Posio: Percentil 123

Lista de GrficosGrfico 1: No de matrculas no Ensino Mdio: Brasil: Urbano 53 Grfico 2: Matrculas na pr-escola: Brasil: 1999-2004 56 Grfico 3: Evoluo das matrculas na creche: Brasil: 1999-2004 56 Grfico 4: Evoluo das matrculas na educao infantil: creche e pr-escola: Brasil: 1999-2004 57 Grfico 5: Usurios de transporte pblico do Estado: 1a a 4a sries: Brasil: rea urbana 59 Grfico 6: O despovoamento da Amaznia 60 Grfico 7: Exerccio: Polgono de Freqncia 74 Grfico 8: Mediana 93

Lista de QuadrosQuadro 1: As fases de desenvolvimento da Estatstica 17 Quadro 2: Tipos de variveis 49 Quadro 3: Nveis de medidas 80 Quadro 4: Quartil e Percentil: Frmula Geral: Comparao 124

Lista de TabelasTabela 1: Populao: Brasil 32 Tabela 2: Aprovao: Ensino Fundamental: Brasil: 2005 35 Tabela 3: Funo Docente: Educao Bsica: Brasil: 2005 36 Tabela 4: Aprovao: Ensino Fundamental: Rural: Brasil: 2005 37 Tabela 5: Populao Escolar: Sexo 44 Tabela 6: Clculo da amostragem proporcional estratificada 45 Tabela 7: Populao Mundial: Srie Histrica 51 Tabela 8: Matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie: Diurno: Brasil 52 Tabela 9: Nmero de matrculas na pr-escola 52 Tabela 10: No de matrculas no Ensino Mdio: Brasil: Urbano 53 Tabela 11: Matrculas na Educao Infantil: Brasil 55 Tabela 12: Usurios de transporte pblico do Estado: 1a a 4a sries: Brasil: rea urbana 57 Tabela 13: Pictograma: Exerccio 61 Tabela 14: Exemplo de Tabela Primitiva 64 Tabela 15: Exemplo de Rol 65 Tabela 16: Exemplo de Tabela de Freqncia 66 Tabela 17: Exemplo de Tabela de Distribuio de Freqncia 66 Tabela 18: Exemplo de Tabela de Distribuio de Freqncia 68 Tabela 19: Exerccio: Tabela Primitiva 71 Tabela 20: Exerccio: Rol 72 Tabela 21: Exerccio: Tabela de Freqncia 72 Tabela 22: Exerccio: Tabela de Freqncia com intervalos de classe 74

Tabela 23: Srie Histrica: Exerccio 84 Tabela 24: Distribuio de Freqncia: Exerccio 85 Tabela 25: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Ponderao 86 Tabela 26: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Ponderao: Ponto Mdio 87 Tabela 27: Vtimas de Acidentes de Trnsito, por 10.000 veculos, em 2002 88 Tabela 28: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Mediana: Freqncia Acumulada 91 Tabela 29: Desvio Padro: Exerccio 100 Tabela 30: Desvio Padro: Dados Agrupados: Sem Intervalos de Classe: Exerccio 102 Tabela 31: Desvio Padro: Exerccio: Continuao 103 Tabela 32: Desvio Padro: Dados Agrupados: Com Intervalos de Classe: Exerccio 104 Tabela 33: Desvio Padro: Exerccio: Continuao 105 Tabela 34: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Quartis 113 Tabela 35: Medidas de Posio: Quartis: Exerccio: Tabela-Resposta 113 Tabela 36: Medidas de Posio: Quartis: Exerccio: Tabela-Resposta: Preenchimento: 2a etapa 114 Tabela 37: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Quartis: Primeiro Quartil 117 Tabela 38: Medidas de Posio: Quartis: Exerccio: Tabela-Resposta: Preenchimento: 3a etapa 118 Tabela 39: Medidas de Posio: Quartis: Exerccio: Tabela-Resposta: Preenchimento: 4a etapa 119 Tabela 40: Medidas de Posio: Quartis: Exerccio: Tabela-Resposta: Preenchimento: 5a etapa 119 Tabela 41: Medidas de Posio: Quartis: Exerccio: Tabela-Resposta: Preenchimento: 6a etapa 120 Tabela 42: Exerccio: Quartis 121 Tabela 43: Medidas de Posio: Percentil: Tabela-Resposta 123 Tabela 44: Medidas de Posio: Percentis: Exerccio: Tabela-Resposta: Preenchida 124

Sumrio

UniDADE 1 Introduo ao estudo da estatstica 15 UniDADE 2 Conceitos matemticos 23 UniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos 43 UniDADE 4 Distribuio de freqncia 63 UniDADE 5 Medidas de resumo 79 COnSiDERAES FinAiS 126 REFERnCiAS 127 APnDiCE: Respostas dos exerccios Pratique! 130

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introduo ao estudo da estatstica

A populao mundial est estimada hoje em mais de seis bilhes e meio de habitantes (6.600.000.000). Para daqui a trinta anos est estimada uma populao de mais de oito bilhes e meio de habitantes no planeta (8.547.874.779). Fonte: U.S. CENSUS Bureau, 2006.

Voc sabe quantas pessoas existem na sua casa? Com certeza. Mas em toda a sua famlia, voc sabe? Bem... Quantas pessoas existem na sua rua? E no seu bairro? E na sua cidade? E no seu estado? E no Brasil? E no mundo, afinal? Bem, pode ser que voc considere essas preocupaes bastante exageradas, mas nem sempre o mundo foi to populoso. Se pararmos para pensar na populao mundial de um tempo atrs, digamos, no sculo XV, veremos que a quantidade de pessoas era bem menor. Se voltssemos Grcia Antiga, menor ainda. Pois bem, esse crescimento acelerado de habitantes foi verificado no mundo moderno, com a sociedade de massas. A partir da, a Estatstica se tornou, juntamente com a cincia da economia, a cincia social por excelncia.1 Por qu? Porque lidamos com grandes nmeros. A Estatstica ou mtodos estatsticos, como chamada algumas vezes, nasceu com os negcios do Estado, da seu nome. Mas, hoje, sua influncia pode ser encontrada nas mais diversas atividades: agricultura, biologia, comrcio, qumica, comunicaes, economia, educao, medicina, cincias polticas e muitas outras.2 A Estatstica se interessa pelos mtodos cientficos para coleta, organizao, resumo, apresentao e anlise de dados, bem como na obteno de concluses vlidas e na tomada de decises razoveis baseadas em tais anlises. Algumas vezes, o termo Estatstica empregado para designar os prprios dados ou nmeros, por exemplo, estatstica de empregos, de acidentes etc.3 Se a Estatstica ganha importncia com a moderna sociedade de massas, como vimos, no significa que, antes disso, no existissem preocupaes com os clculos de grandes nmeros. Na histria, vemos que a palavra Estatstica apareceu pela primeira vez no sculo XVIII e foi sugerida pelo alemo Gottfried Achemmel (1719-1772); palavra esta que deriva de statu (estado, em latim). Como se pode perceber, Estatstica um nome que deriva de Estado; de fato, na origem, as atividades da Estatstica eram, basicamente, atividades de Estado. Mas hoje isso mudou bastante.

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UniDADE 1 Introduo ao estudo da estatstica

Estatstica uma parte da Matemtica Aplicada que fornece mtodos para a coleta, organizao, descrio, anlise e interpretao de dados. Ela dividida em: 1) Estatstica Descritiva: parte da Estatstica que apenas coleta, descreve, organiza e apresenta os dados. Nela no so tiradas concluses. 2) Estatstica Indutiva ou Inferncia: analisa os dados e obtm as concluses.

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ARENDT (2005, p. 51). SPIEGEL (1975, Prefcio). SPIEGEL (1975, p. 1).

O primeiro levantamento estatstico de que se tem conhecimento se deve a Herdoto e se refere a um estudo da riqueza da populao do Egito, cuja finalidade era averiguar quais eram os recursos humanos e econmicos disponveis para a construo das pirmides, isso no ano de 3050 a. C. No ano de 2238 a. C., o imperador Chins Yao ordenou a realizao de uma Estatstica com fins industriais e comerciais. No ano de 1400 a. C., o famoso fara egpcio Ramss ii ordenou um levantamento das terras do Egito. Existem ainda, outros casos de Estatsticas no perodo antigo4 da civilizao. Em perodos mais recentes, podemos sintetizar as preocupaes com a Estatstica em quatro fases:

Herdoto (gr. H) o mais importante dos historiadores gregos mais antigos. Foi o primeiro prosador a reunir diversas narrativas histricas ou quase-histricas em um relato coerente e vivo e , por isso, considerado o pai da Histria.

Primeira Fase

Pepino, no ano de 758, e Carlos Magno, em 762, realizaram estatsticas sobre as terras que eram propriedade da Igreja. Essas foram as nicas estatsticas importantes desde a queda do Imprio Romano. Na Inglaterra, no sculo XVII, j se analisavam grupos de observaes numricas referentes sade pblica, nascimentos, mortes e comrcio. Destacam-se, nesse perodo, John Graunt (1620-1674) e William Petty (1623-1687) que procuraram leis quantitativas para traduzir fenmenos sociais e polticos. Tambm no sculo XVII, inicia-se o desenvolvimento do Clculo das Probabilidades que, juntamente com os conhecimentos estatsticos, redimensionou a Estatstica. Nessa fase, destacam-se: Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) e Huygens (1629-1695). No sculo XIX, inicia-se a ltima fase do desenvolvimento da Estatstica, alargando e interligando os conhecimentos adquiridos nas trs fases anteriores. Nesta fase, a Estatstica no se limita apenas ao estudo da Demografia e da Economia, como antes; agora, o seu campo de aplicao se estende anlise de dados em Biologia, Medicina, Fsica, Psicologia, Indstria, Comrcio, Meteorologia, Educao etc., e ainda, a domnios aparentemente desligados, como Estrutura de Linguagem e estudo de Formas Literrias. Destacam-se, no perodo, Ronald Fisher (1890-1962) e Karl Pearson (1857-1936).

Segunda Fase

Terceira Fase

Quarta Fase

Yao era descendente do Imperador Amarelo, o primeiro antepassado dos chineses e bem respeitado por sua inteligncia e caridade. Aos 16 anos de idade, Yao foi eleito como lder da tribo. Segundo registros histricos, Yao fundou seu pas em Pingyang, como capital (atual cidade de Linfen, na Provncia de Shanxi ao norte da China). At hoje pode-se encontrar nesta cidade o Templo de Yao, que foi construdo durante a Dinastia Jun (265 a.C. - 420 d.C.) e o Tmulo de Yao construdo na Dinastia Tang (618 d.C. - 907 d.C.). (OS IMPERADORES Yao e Yun, 2006).

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Fonte: Histria da Estatstica (2006)

Quadro 1: As fases de desenvolvimento da Estatstica

Como se v, a Estatstica possui sua histria na Histria do homem. Nessa ltima fase, com a Estatstica consolidada, as4 Podemos considerar os perodos da Histria com alguns marcos cronolgicos: 1) PrHistria: at 4000 a. C., perodo do surgimento da escrita; 2) idade Antiga: do aparecimento da escrita e das primeiras civilizaes, por volta de 4000 a. C., at a queda de Roma, em 476 d. C.; 3) idade Mdia: da queda de Roma at a tomada de Constantinopla pelos turcos otomanos, em 1453; 4) idade Moderna: da queda de Constantinopla at a tomada da Bastilha, em 1789 (Revoluo Francesa); 5) idade Contempornea: da tomada da Bastilha aos dias atuais.

[...] Filho e neto de guerreiros, Ramss II assumiu o poder com 25 anos, em 1290 a.C., e desde o incio de seu reinado o jovem general lanou-se em um esforo militar indito. O Egito j havia sido o maior imprio do mundo cerca de 200 anos antes e, sob a batuta de Tutmoss III (a quem seu av, Ramss I, servira como general), havia controlado a Palestina e a Mesopotmia.


Mas, agora, essas regies haviam se rebelado, algumas estavam sob domnio hitita e as fronteiras do imprio ameaavam ruir. Em sua primeira campanha militar, com apenas 10 anos e ao lado do pai, Sethi I, participou da retomada do litoral do Lbano. A expanso atribuda a Ramss comeou com Sethi, que saneou a economia, abriu novas minas de ouro e criou as condies para que o filho recuperasse o terreno perdido, diz a historiadora francesa Bernadette Menu, autora de Ramss II, o Soberano dos Soberanos [...] (ARANHA, 2006).

tabelas tornaram-se mais complexas, surgiram as representaes grficas e o clculo de probabilidades. Desde essa poca, a Estatstica deixou de ser a simples catalogao de dados numricos coletivos e se tornou o estudo de como chegar a concluses sobre o todo, partindo da observao e anlise de partes desse todo.5 Essa sua maior riqueza. Para tanto, seu ponto de partida so os dados, os quais so expresses numricas de observaes que se fazem de elementos com, pelo menos, uma caracterstica comum.6 Por isso,

A Estatstica uma parte da Matemtica Aplicada que fornece mtodos para a coleta, organizao, descrio, anlise e interpretao de dados e para a utilizao dos mesmos na tomada de decises (CRESPO, 1995, p. 13).

De um lado, a Estatstica, basicamente, coleta, organiza e descreve os dados e, de outro, analisa e interpreta esses dados.7 Veja a Figura 1, abaixo:

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Figura 1: Estatstica: Pirmide da definio

A Pirmide da definio da Estatstica nos revela que no topo, isto , o mais importante interpretar. Normalmente,5 6 7 CRESPO (1995, p. 11). CRESPO (1995, p. 13). Ver Seo 2: Estatstica Descritiva e Estatstica Indutiva, p. 42.

por meio da anlise e interpretao dos dados estatsticos que possvel o conhecimento de uma realidade, de seus problemas, bem como, a formulao de solues apropriadas por meio de um planejamento objetivo da ao8, para alm dos achismos e casuismos comuns. Parece evidente, a partir da Pirmide, acima, que as etapas da Estatstica devem obedecer s fases da base para o topo, ou seja: 1) Coleta de Dados. Aps a definio do problema a ser estudado e o estabelecimento do planejamento do trabalho (forma de coleta dos dados, cronograma das atividades, custos envolvidos, levantamento das informaes disponveis, delineamento da amostra etc.), o passo seguinte o da coleta de dados, que consiste na busca ou compilao dos dados das variveis, componentes do fenmeno a ser estudado9. A coleta de dados poder ser realizada de maneira direta ou indireta. A coleta ser direta quando os dados forem obtidos de fonte primria, isto , sobre elementos informativos de registro obrigatrio, como, por exemplo, elementos pertinentes aos pronturios dos alunos de uma escola. A coleta ser indireta quando proveniente de elementos j conhecidos (coleta direta)10. 2) Crtica dos dados. procura de falhas e imperfeies, os dados devem ser cuidadosamente criticados, a fim de no incorrermos em erros grosseiros que possam influenciar nos resultados.11 3) Apurao dos dados. Criticados os dados, agora, eles devem ser processados, isto , mediante algum critrio de classificao, eles sero objeto de operaes matemticas.8 9 10 11 CRESPO (1995, p. 13). CLEMENTE (2003, p. 4). CRESPO (1995, p. 14). CRESPO (1995, p. 14). UniDADE 1 Introduo ao estudo da estatstica

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iMPORTAnTE

as pessoas limitam o termo Estatstica organizao e descrio dos dados, desconhecendo, portanto, o que ela oferece de mais importante: [...] o aspecto essencial da Estatstica o de proporcionar mtodos inferenciais, que permitam concluses que transcendam os dados obtidos inicialmente. (CRESPO, 1995, p. 13, grifo do autor).

4) Exposio ou apresentao dos dados. Os dados devem ser apresentados sob a forma de tabelas ou grficos, a fim de tornar mais fcil o exame daquilo que est sendo estudado. 5) Anlise dos resultados. Todas as fases anteriores se limitam descrio. A anlise dos resultados obtidos tem por base a induo ou a inferncia com o intuito de tirarmos concluses e fazermos previses. Desse modo, buscamos atingir o fim ltimo da Estatstica, qual seja: tirar concluses sobre o todo a partir de informaes fornecidas por parte representativa do todo.12 Diante de tudo isso, podemos afirmar que A Estatstica est interessada nos mtodos cientficos para coleta, organizao, resumo, apresentao e anlise de dados bem como na obteno de concluses vlidas e na tomada de decises razoveis baseadas em tais anlises. (SPIEGEL, 1975, p. 1, grifo nosso).

Conhea mais sobre a histria da estatstica no Brasil no site: http://www.redeabe.org.br/

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Resulta claro que a Estatstica uma valiosa ferramenta nas tentativas humanas de interpretao da realidade. Privilegiadamente til para o exame de fenmenos de massa, teria a Estatstica utilizao na educao?


Bem, naturalmente, a Estatstica como qualquer outra cincia, eu suponho, aplica-se educao, na medida em que lidamos com grandes quantidades. A despeito do que possa ser considerado grande quantidade, no restam dvidas quanto sua frtil aplicao no campo educacional, como ferramenta para a formulao de planos, programas e projetos nos sistemas de ensino, bem como, no interior da prpria escola. Vamos supor que voc, amigo Trabalhador da Educao, esteja desconfiado que os alunos estejam chegando muito12 CRESPO (1995, p. 15).

atrasados para o incio das aulas. Estar desconfiado um importante incio, mas ainda insuficiente para a tomada de alguma deciso que reverta esse quadro. Por isso, com os recursos da Estatstica, voc poderia, por exemplo, coletar dados sobre o comportamento de toda a escola, com um simples questionrio, perguntando aos alunos (ou melhor, a uma parcela da escola13) sobre quantas vezes eles chegaram atrasados no ltimo ms: a) de 0 a 2; b) de 3 a 5; c) mais de 6. Observe que a partir desses dados, voc pode analisar se essa desconfiana condiz com a realidade e que medidas, caso necessrio, devem ser tomadas. Esse um pequeno exemplo das infinitas possibilidades que a Estatstica nos possibilita. Nesse sentido, recorrer aos ensinamentos da Estatstica implica, necessariamente, em melhorar a qualidade dos nossos servios. Talvez, o uso constante da matemtica assuste alguns de ns. Eu compreendo que a matemtica tem sido considerada uma cincia que promove a excluso social, em virtude de sua ainda rgida forma de trabalho nos bancos escolares. No entanto, ainda assim, no posso concordar que, de maneira definitiva, ela sentencie a populao completa ignorncia, como se s a alguns fosse permitida sua apropriao. Pensando nisso, esforcei-me para que esse Mdulo tornasse a Estatstica (e a matemtica) acessvel a todos, explicando fundamentos, apresentando frmulas e metodologias apropriadas para as resolues, tudo isso porque, o que nos interessa so anlises consistentes que levem melhoria de nossas aes. Nosso estudo inicia na Unidade ii: Conceitos Matemticos com uma breve retomada daqueles conceitos matemticos que diretamente condicionam o aprendizado da Estatstica. Assim, na seo 1, estudaremos um pouco as razes e as propores; na seo 2, estudaremos medidas e grandezas, com enfoque na chamada regra de trs simples; depois, na seo 3, retomaremos o conceito de porcentagem; na seo 4, veremos uma aplicao direta do conceito de porcentagem em coeficientes, taxas e ndices; com a seo 5, retomaremos o importante sistema de coordenadas cartesianas e encerraremos, na seo 6, com uma tcnica de arredondamento de nmeros.13 Ver Unidade 3: Variveis, Tabelas e Grficos, Seo 1: Populao e Amostra, p. 45.

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iMPORTAnTE

Depois, na Unidade iii: Variveis, Tabelas e Grficos estudaremos na seo 1, populao e amostra; na seo 2, examinaremos mais detidamente os conceitos de Estatstica Indutiva e Estatstica Dedutiva; na seo 3, aprenderemos sobre variveis; nas sees 4 e 5, veremos como apresentar de maneira prtica nossos dados por meio de tabelas e grficos, respectivamente. Na Unidade iV: Distribuio de Freqncia estudaremos a organizao dos dados. Primeiro, na seo 1, identificaremos dados brutos e dados organizados (rol); depois, na seo 2, veremos uma especificidade da organizao dos dados a chamada distribuio de freqncia; a seguir, na seo 3, propomos um exerccio completo envolvendo os contedos da Unidade de estudo; por fim, na seo 4, apenas para conhecimento, apresentaremos alguns tipos de curvas possveis, muito utilizadas em apresentaes de dados organizados com essa natureza especfica distribuio de freqncia. Na nossa ltima etapa de estudo, Unidade V: Medidas de Resumo exploraremos com maior aproximao os recursos da Estatstica, por meio da seo 1, introduo, onde apontaremos algumas ressalvas desse estudo; depois, na seo 2, trabalharemos, de fato, com mdias e medidas chamadas de tendncia central (mdia aritmtica, mediana e moda); a seguir, na seo 3, trabalharemos com medidas de outra natureza chamadas de medidas de disperso (desvio padro e coeficiente de variao), mas igualmente teis para a tomada de decises; por ltimo, na seo 4, estudaremos as chamadas medidas de posio (quartis, decis e percentis). Lembro, ainda, que, ao longo dos nossos estudos, existem, aqui e ali, algumas atividades propostas para voc exercitar um pouco (Pratique!) e, no final do Mdulo, voc encontrar as respostas dessas atividades. Desejo a todas e a todos um bom estudo!

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Conceitos matemticos

Veja mais sobre fraes no site da Wikipedia: http:// pt.wikipedia.org/wiki/ Fra%C3%A7%C3%A3o

Antes de adentrarmos ao mundo da Estatstica, alguns conceitos so convenientes resgatar da matemtica. Nosso objetivo ser o de to somente relembr-los, por isso, no nos deteremos muito tempo neles. A idia que como para o estudo da Estatstica eles so pressupostos, ou seja, sem eles impossvel compreender a proposta da Estatstica, pode ser til retom-los, sem exagerarmos a dose. Nesse sentido, retomaremos os conceitos de razo e proporo; a seguir, grandezas e medidas; depois, porcentagem; e ainda, coeficientes, taxas e ndices; enfim, sistema de coordenadas cartesianas. Boa leitura!

Seo 1: Razes e ProporesChamamos de razo a uma maneira de comparar quantidades. Por exemplo, se um determinado conjunto A possui 10 elementos e, outro conjunto B possui 5 elementos, podemos comparar esses conjuntos. Veja Figura 2, abaixo:

Uma diviso nada mais do que uma simplificao de fraes. Observe que 10 5 o mesmo que 10 . 5 Essa diviso fcil: 10 = 2 5

24Figura 2: Razo: Comparao

Voc reparou que para cada elemento do conjunto B existe um elemento do conjunto A? Reparou, ainda, que sobraram 5 elementos do conjunto A? Pois bem, a comparao dos conjuntos A e B, da Figura 2, acima, indica que: 10 = 10 5 = 2 5 Dizemos que a comparao dos 10 elementos do conjunto A com os 5 elementos do conjunto B a razo de 10 para 5. De outra forma, para os 5 elementos de B existem 5 elementos mais 5 elementos de A, existem, portanto, 2 vezes elementos em A comparados a B.

UniDADE 2 Conceitos matemticos

Figura 3: Razo: Exerccio

Observe que se voc possui R$ 2,00 e eu possuo R$ 8,00, dizemos que eu possuo 4 vezes aquilo que voc possui ou 2 1 8 = 4 Desse modo, dizemos que 2 est para 8 ou 1 est para 4. A Figura 4, abaixo, talvez ajude a compreender que 2 representa 8 a mesma poro que 1 . Quando isso ocorre, dizemos que as 4 razes so semelhantes.Sempre que temos razes semelhantes, prefervel usar a mais simples, a qual, em matemtica, chama-se razo irredutvel.

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Figura 4: Razo: Representao


i M P O R TA n T E

Vejamos outro exemplo: Suponha que voc possua R$ 2,00 e eu R$ 8,00. Qual a razo do que voc possui para o que eu possuo?

Propores, por sua vez, so tambm comparaes. Mas so comparaes entre duas razes. Veja Figura 5, abaixo:

Figura 5: Propores: Conceito

Observe que na Figura 5, acima, temos dois desenhos. O primeiro desenho proporcional ao segundo. Por qu? Vamos representar o primeiro desenho por meio de uma razo: 5 10 = 5 = 1 , ou seja, 1 est para 2. O segundo desenho 2 10 pode ser representado como 2 4 = 2 = 1 , isto , 1 est 2 4 para 2. Voc notou? Quando duas razes so iguais, estamos diante de uma proporo: 5 = 2 , 4 10 dizemos que: 5 est para 10 assim como 2 est para 4. Um bom uso das razes e propores com mapas, plantas e maquetes. Veja a planta de um bairro de uma cidade, abaixo:

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Figura 6: Razes: Propores: Escala

distncia no desenho Escala = distncia real

Assim, supondo que voc v em linha reta do Edifcio 1 at a Escola e a distncia no desenho de 12 cm, qual a distncia real? Fcil: Soluo: 1 = 12 x = 12 x 300.000 = 3.600.000 x 300.000 x = 3.600.000 cm x = 36 km Logo, a distncia real de 36 Km.

Verifique quais figuras, abaixo so proporcionais, sabendo que as medidas esto em milmetros (mm).

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Figura 7: Razes e Propores: Exerccio


i M P O R TA n T E

A Figura 6 anterior apresenta o mapa de um bairro em escala. Isso significa que a escala do mapa indica a razo entre as distncias representadas e as distncias reais. Isto , a escala 1:300000 indica que cada cm no desenho corresponde a 300.000 cm reais. Veja:

Seo 2: Grandezas e MedidasO professor Dante14 inicia sua aula sobre grandezas e medidas fazendo algumas perguntas, como por exemplo: Qualasuaaltura? Qualseratemperaturamximahoje? Qualasuamassa? Quantotempoduraseutrabalho? O professor mostra que para responder a essas perguntas preciso usar medidas. Para isso, precisamos usar instrumentos, bem como reconhecer as grandezas. Veja:

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No se esquea: em uma medida, deve sempre aparecer o nmero acompanhado da unidade de medida usada: 5 palmos, 10 cm etc. (DANTE, 2003, p. 112).

Figura 8: Grandezas


Em Matemtica, entendese por grandeza tudo que suscetvel a aumento ou diminuio. Assim, podemos falar em grandezas como: tempo, velocidade, peso, nmero de pessoas, nmero de objetos etc. (PARENTE; CARIB, 1996, p. 44).

Medir comparar grandezas de mesmo tipo. Professores de matemtica adoram dizer: no se pode somar laranjas com limes!. Eles tm razo: s podemos operar com grandezas iguais. Isso quer dizer que no posso somar 2 horas com 2 Km, pois, as grandezas so diferentes (no primeiro caso, a grandeza tempo; no segundo, comprimento).

14 DANTE (2003, p. 111).

Quando eu tomo a medida do comprimento de uma mesa, por exemplo, eu digo: a mesa possui 1 metro de comprimento. Isso quer dizer que eu comparei a unidade metro com o comprimento da mesa. Observe a Figura 9, abaixo:

Figura 9: Medida de Comprimento: Segmento de reta

O segmento de reta AB mede 5 cm; podemos dizer que o segmento AB igual a 5 unidades de medida cm; ou ainda, = 5 cm. Quando se mede uma grandeza sempre se compara com um padro de referncia estabelecido. Por exemplo, dizer que uma corda tem 30 metros de comprimento dizer que ela 30 vezes maior do que um objeto cujo comprimento foi definido como sendo um metro.15

Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais quando o aumento do valor de uma leva ao aumento do valor da outra e so inversamente proporcionais quando, ao contrrio, o aumento de uma leva diminuio de outra. Para resolvermos problemas envolvendo grandezas direta ou inversamente proporcionais, recorremos regra de trs. Regra de Trs Simples Quando colocamos gasolina em um automvel, o preo que pagamos diretamente proporcional ao volume de gasolina colocado. Observe que se o preo do litro de gasolina custa R$ 2,59, possvel saber quanto custar para encher um tanque de 55 litros. Veja:Litros de gasolina 15515 SEARS; ZEMANSKY; YOUNG (1985, p. 3).

29

Preo (R$) 2,59x

Conhea mais sobre regra de trs simples no site: http://www.somatematica. com.br/fundam/regra3s.php


Note que conhecemos trs nmeros e queremos conhecer um nmero: x. Esse quarto nmero conhecido como quarta proporcional e, para encontr-lo, utilizamos o procedimento conhecido como regra de trs. Solucionando nosso problema, temos que:

30

Ento, para encher um tanque de 55 litros, gastarei R$ 142,45. Voc notou que a regra de trs nada mais do que uma proporo?


Para o caso de grandezas inversamente proporcionais, preciso tomar um pequeno cuidado na hora de montar a proporo. O restante igual ao caso anterior. Um problema clssico desse tipo o dos pedreiros construindo um muro: 3 pedreiros trabalhando constroem um muro em 10 dias. Em quantos dias 6 pedreiros construiriam o mesmo muro trabalhando no mesmo ritmo? Vamos responder:

Nmero de pedreiros 3 6

Tempo (em dias) 10 x

Observe que utilizamos duas setas: uma para o nmero de pedreiros e outra para o tempo. A seta para cima indica que o nmero de pedreiros aumentou (de 3 para 6); a seta para baixo indica que o tempo diminuiu (de 10 para x). Veja que mesmo eu no sabendo, ainda, quanto tempo ser, eu posso garantir que o tempo ser menor do que 10 dias, se com 3 pedreiros eu preciso de 10 dias, com mais pedreiros eu precisarei de menos de 10 dias, no mesmo? Quando as setas esto orientadas para sentidos diferentes, estamos diante de grandezas inversamente proporcionais. Na prtica, isso mudar nossa proporo: Soluo: 3 = x 10 6 Ento, 6 x = 3 x 10 x = 30 6 x =5 Aumentando o nmero de pedreiros de 3 para 6, o muro seria construdo em 5 dias.Note que a segunda razo foi invertida.

preciso estar sempre atento s grandezas: se so diretamente ou inversamente proporcionais.

31Sabendo que a altura da mulher de 1,60m, quanto mede seu cachorro?

Figura 10: Regra de Trs: Exerccio


Seo 3: PorcentagemPorcentagem uma razo com o denominador sempre igual a 100.

Desse modo, 25 , por exemplo, uma porcentagem e pode 100 ser expressa como 25% (vinte e cinco por cento). Na prtica, calculamos as porcentagens em diversas situaes. Suponha que meu salrio seja de R$ 400,00 e eu receberei um aumento de 12%. Quanto passarei a receber? Soluo: 12% de 400 = 12 x 400 = 48 100 Passarei a receber, portanto, R$ 400,00 + R$ 48,00 = R$ 448,00. Sempre vemos nos supermercados o uso das porcentagens. Por exemplo: um produto de R$ 32,00 est com desconto de 7%. Por quanto ele est sendo vendido? Soluo: 7% de 32 =

32

7 x 32 100

= 2,24. Ento,

32,00 2,24 = 29,76 Logo, o produto est sendo vendido a R$ 29,76. Vamos realizar um outro tipo de exerccio muito comum, com o uso de porcentagens. A Tabela 1, abaixo, apresenta a populao total brasileira, por sexo. Pergunta-se: qual a porcentagem de mulheres na populao total brasileira?Tabela 1: Populao: Brasil


Populao residente, por sexo Grupos por idade TotalFonte: IBGE, Censo 2000

Total 169 872 856

Homens 83 602 317

Mulheres 86 270 539

Para responder a essa pergunta, tenho que ter clareza de que a populao total brasileira corresponde a 100%. Assim,

100% = 169.872.856 O que quero descobrir qual a porcentagem desse total que corresponde a 86.270.539. Veja:i M P O R TA n T E

Porcentagem 100 x

Populao 169.872.856 86.270.539

Para resolver o problema, usaremos o conceito de propores, assim: 100 = 169.872.856 169.872.856x = 100 x 86.270.539 x 86.270.539 x = 8.627.053.900 = 50,78% 169.872.856 Assim, no Brasil, a populao de mulheres corresponde a 50,78% da populao total.

Sabendo que a populao total brasileira de 169.872.856 e que a populao brasileira em idade escolar de 30.502.425*, pergunta-se: qual o percentual de brasileiros em idade escolar? Em outras palavras, quantos por cento da populao total brasileira est em idade escolar? Registre a atividade em seu memorial.*Fonte: IBGE, Censo Demogrfico 2000

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Seo 4: Coeficientes, taxas e ndicesCoeficiente, outro importante conceito matemtico que queremos resgatar, tambm o resultado de uma diviso de uma quantidade por outra. Por exemplo, se numa escola com 400 alunos, 80 ficaram reprovados, ento, o coeficiente de reprovao foi de 0,2, porque nmero de reprovados nmero de alunos = 0,2.Os coeficientes so razes entre o nmero de ocorrncias e o nmero total (nmero de ocorrncias e nmero de no-ocorrncias). (CRESPO, 1995, p. 34).


As taxas so os coeficientes multiplicados por uma potncia de 10 (10, 100, 1.000 etc.) para tornar o resultado mais inteligvel. (CRESPO, 1995, p. 35).

Para facilitar os clculos, comum transformarmos o coeficiente em taxa. Para isso, basta multiplicarmos o coeficiente por 10, 100, 1000 ou qualquer outra potncia de 10. Normalmente, usamos 100. Observe:

0,2 x 100 = 20%

Coeficiente de reprovaoFigura 11: Coeficiente e Taxa

Taxa de reprovao

Nosso coeficiente de reprovao (0,2) multiplicado por 100 igual taxa de 20%, pois, 0,2 x 100 = 20%. Mas o que isso significa? Significa que de que cada 100 alunos, 20 ficaram reprovados.

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Observe como fcil comprovar isso. Vamos agrupar os 400 alunos em grupos de 100. Assim, teramos 4 grupos de 100 alunos. Cada grupo possui 20 reprovados. Logo, 20 vezes 4 igual a 80 alunos reprovados. Bem, isso mostra que nosso coeficiente de reprovao (20%) est correto.

Como se v coeficiente e taxa so conceitos muito parecidos. A nica diferena a multiplicao do coeficiente pela potncia de 10 que dar a taxa. O conceito de ndice, por sua vez, no muito diferente, seno por uma nica razo: dividimos grandezas diferentes. Observe que no nosso exemplo, o coeficiente de reprovao 0,2 e a taxa de reprovao de 20%; nos dois exemplos estamos tratando do nmero de alunos. Assim,


Os ndices so razes entre duas grandezas tais que uma no inclua a outra. (CRESPO, 1995, p. 34).

Coeficiente de reprovao = no de alunos reprovados no total de alunos

Vamos realizar um exerccio. Veja a Tabela 2, abaixo:Tabela 2: Aprovao: Ensino Fundamental: Brasil: 2005Alunos aprovados no Ensino Fundamental Unidade da Federao Total Brasil 26.368.619 Federal 23.172 Total Estadual 9.752.502 Municipal 13.434.669 Privada 3.158.276

Fonte: Censo Escolar 2005

Essa Tabela apresenta o total de alunos aprovados no ensino fundamental brasileiro, por dependncia administrativa. Vamos calcular coeficiente e taxa utilizando essa Tabela.

Primeiro: qual o coeficiente de aprovao no ensino fundamental dos alunos que freqentam escolas da rede municipal?

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total de aprovados na rede municipal coeficente de aprovao da rede municipal = total de aprovados no Brasil

Assim,

coeficente de aprovao da rede municipal =

13.434.669 26.368.619

= 0,5


Para responder a essa pergunta faremos a seguinte diviso:

i M P O R TA n T E

Mas suponha que queiramos saber a relao entre o nmero de alunos reprovados e o nmero de alunos reprovados em matemtica. Nesse caso, estamos diante de duas grandezas diferentes. Assim, essa comparao de grandezas diferentes chama-se ndice (por exemplo, ndice de reprovados por disciplina).

Isso tem algum significado muito importante para a educao? Pouco provvel, a no ser pelo fato de que o coeficiente de 0,5 (que representa uma taxa de 0,5 x 100 = 50%) corresponde a dizer que de cada 100 alunos aprovados no pas, 50 so da rede municipal. Veja que trabalhamos com coeficiente e taxa no exemplo acima. Agora, para trabalharmos com ndice, precisaremos comparar grandezas diferentes. Relembrando, se voc ainda tiver dvidas sobre grandezas, retome a Seo 2: Grandezas e Medidas, desta Unidade. Vamos supor que queiramos estabelecer o ndice de densidade professor-aluno aprovado no ensino fundamental na rede municipal de ensino. Precisaremos, portanto, da Tabela 3, abaixo.Tabela 3: Funo Docente: Educao Bsica: Brasil: 2005Unidade da Federao Brasil Funes Docentes Exercendo Atividades em Sala de Aula Total 2.589.688 Federal 14.980 Estadual 940.039 Municipal 1.110.132 Privada 524.537


36Nesse caso, estamos diante de duas grandezas diferentes: professores e alunos. Assim,1.110.132 13.434.669

ndice de densidade professor aluno da rede municipal =

= 0,08


Observe que um ndice tambm pode ser transformado em taxa.

Isso representa uma taxa de 0,08 x 100 = 8%; ou seja, para cada 100 alunos aprovados na rede municipal, h 8 professores.

Calcule o coeficiente de aprovao no Ensino Fundamental da rede privada, da zona rural brasileira utilizando a Tabela 4, abaixo. Depois, transforme esse coeficiente em taxa. Registre os resultados em seu memorial.

Tabela 4: Aprovao: Ensino Fundamental: Rural: Brasil: 2005i M P O R TA n T EFamoso por ter proferido a frase penso, logo existo, Descartes (1596-1658) escreveu o Discurso do Mtodo, em 1637, que ir marcar profundamente a realizao da cincia no mundo. O nome cartesianas vem do nome do seu autor, Descartes.

Alunos Aprovados no Ensino Fundamental Unidade da Federao Total Brasil 4.085.448 Federal 499 Rural Estadual 499.117 Municipal 3.553.931 Privada 31.901


Seo 5: Sistema de Coordenadas CartesianasOs professores Jakubo e Lellis (1995) contam uma histria bastante interessante sobre o famoso filsofo e matemtico francs Ren Descartes:

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Figura 12: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Origem

Esse teria sido o incio do sistema de coordenadas cartesianas. Descartes imaginou duas retas: uma horizontal e outra vertical. Se ele marcasse nmeros nessas retas, ficaria fcil localizar a mosca. Veja Figura 13, abaixo:


Dizem que ele estava descansando na cama, quando viu uma mosca pousada na parede. A mosca voou, mas Descartes ficou pensando. Como poderia explicar a uma outra pessoa qual era a posio exata da mosca na parede? (JAKUBOVIC; LELLIS, 1995, p. 210).

Figura 13: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Eixos

Dessa forma, para localizar um ponto em um plano, usamos:16 Asretasnumeradasx e y chamam-se eixos cartesianos: o eixo x horizontal, o eixo y vertical; Oplanocomesseseixoschama-seplano cartesiano; Osparesordenadossoascoordenadas cartesianas do ponto;

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Opontocorrespondenteorigem o par ordenado (0; 0). Veja a Figura 14, abaixo:


Figura 14: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Pontos16 JAKUBOVIC; LELLIS (1995, p. 211).

Figura 15: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Exerccio

Como localizar o carro B, por exemplo? Claro! O carro B est na Rua 1 com a Avenida 1, ou seja, B (Rua 1; Avenida 1). O carro A est na origem de nosso sistema; as Ruas indicam o primeiro nmero do par ordenado (x) e as Avenidas o segundo nmero (y). Desse modo, A (Rua 0; Avenida 0); o carro C est na Rua 2, Avenida 3, isto , C (Rua 2; Avenida 3). Pronto!

39

Seo 6: ArredondamentoCom essa Seo 6 encerramos nossa Unidade II. Entendemos por arredondamento de dados a tcnica utilizada para suprimir unidades inferiores, isto , arredondar um nmero significa reduzir a quantidade de algarismos aps a vrgula.


Na Figura 15, acima, identifique todos os cruzamentos que no possuem carros.

i M P O R TA n T E

De maneira mais completa, podemos localizar qualquer ponto no plano: o ponto A se encontra em (6; 6), isto , x 6 e y vale 6; o ponto B (4; 2); e assim por diante. Viu? Na prtica, usamos o sistema de coordenadas cartesianas em diversas situaes diferentes quando queremos localizar um ponto em um plano. Veja a Figura 15, abaixo:

Um nmero apresenta uma parte inteira e uma parte fracionria. Veja:

Na matemtica, muitas vezes, deparamo-nos com situaes onde o clculo nunca d certo se no transformarmos esse nmero em frao.

Figura 16: Arredondamento de Nmeros

s vezes, queremos trabalhar com nmeros com, digamos, uma casa decimal, mas o que fazer quando o resultado encontrado for um nmero com muito mais casas depois da vrgula? A rigor, na Estatstica, precisamos seguir um critrio rgido de arredondamento a fim de no comprometermos os resultados. Por exemplo, suponha que queiramos trabalhar com duas casas decimais e nosso resultado foi 1,1417. Como fazer?

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Conforme a Resoluo n 886/66 do IBGE, o arredondamento realizado da seguinte maneira:


Figura 17: Arredondamento: FluxogramaFonte: Adaptado de: CRESPO (1995, p. 174)

Caso haja necessidade de alterao, nossa ateno deve recair sobre o primeiro algarismo a ser abandonado. Teremos trs caminhos possveis: 1) Seguimos o primeiro caminho (i) quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4. Nesse caso, o algarismo a permanecer ficar sem alterao. Por exemplo, 4,84 passa a 4,8; 2) Seguimos o segundo caminho (ii) quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9. Nesse caso, o ltimo algarismo a permanecer ser aumentado de um. Por exemplo, 4,87 passa a 4,9; 3) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, seguimos o iii caminho. Nesse caso, temos que prestar muita ateno, pois, o caminho se divide em dois percursos: a) Quando o nmero a ser abandonado for 5 e ele for o ltimo ou seguido de zeros, aumentaremos uma unidade apenas quando o ltimo algarismo a permanecer for mpar. Por exemplo: 5,85 passa a 5,8; b) Quando o nmero a ser abandonado for 5 seguido de algum nmero diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer. Por exemplo, 8,55000000002 passa a 8,6.Observe que o ltimo algarismo a permanecer 8 (par). Nesse caso, no sofrer alterao.

Observe que o ltimo algarismo a permanecer 5 e o primeiro a ser abandonado tambm 5. O ltimo algarismo a permanecer (5) foi aumentado de 1 porque havia, aps o algarismo a ser abandonado (5) um algarismo diferente de zero.

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Casos de arredondamento no so difceis, mas requerem muita prtica at compreendermos bem os processos. No h outra alternativa. Ressalto que, em nosso Mdulo, simplesmente abandonamos a parte fracionria sem todo esse rigor. Por isso, esteja vontade para fazer correes s respostas, caso voc julgue pertinente.UniDADE 2 Conceitos matemticos

1) Arredonde cada um dos dados abaixo, deixando-os com apenas uma casa decimal (CRESPO, 1995, p. 174): 2,38 = 4,24 = 6,829 = 24,65 = 0,351 = 328,35 = 2,97 = 5,550 = 89,99 =

2) Arredonde cada um dos valores abaixo para o centsimo mais prximo (CRESPO, 1995, p. 174): 46,727 = 123,842 = 253,65 = 299,951 = 28,255 = 37,485 =

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UniDADE 4 Distribuio de freqncia

3

Variveis, tabelas e grficos

Nessa Unidade III, nosso objetivo estudar algumas maneiras de organizao e exposio dos dados de um fenmeno sob estudo. Para isso, preciso compreender o significado de populao e amostra (seo 1); a seguir, na seo 2, retomaremos a distino j iniciada nesse estudo, entre a Estatstica voltada para a descrio (Estatstica Descritiva) e a voltada para interpretao (Estatstica Indutiva ou Inferencial); na seo 3, aprenderemos sobre como trabalhar com os fenmenos a partir de sua representao numrica conseguida com a aplicao do conceito de varivel; depois, na seo 4, iremos formalizar a exposio dos dados em uma Tabela, como forte recurso visual da Estatstica; para, enfim, na seo 5, reconhecermos os grficos como poderosas ferramentas para rpida e eficiente compreenso do comportamento da(s) varivel(eis) em estudo. Boa leitura!

Seo 1: Populao e AmostraAo examinar um grupo qualquer, considerando todos os seus elementos, estamos tratando da populao ou universo. Nem sempre isso possvel. Nesse caso, examinamos uma pequena parte chamada amostra. Uma populao pode ser finita (isto , possuir fim) ou infinita (no possuir fim). Por exemplo, a populao dos alunos de sua escola finita e a populao constituda de todos os resultados (cara ou coroa) em sucessivos lances de uma moeda infinita. Se uma amostra representativa de uma populao, podemos obter concluses importantes sobre a populao. Mas tambm, podemos analisar e descrever um certo grupo sem tirar concluses ou inferncias sobre um grupo maior, nesse caso, a parte da Estatstica que se preocupa com isso a chamada estatstica descritiva ou estatstica dedutiva . Vamos realizar um exerccio. Observe a Tabela 5, abaixo.UniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos

44

Para que as concluses sejam vlidas preciso observar alguns critrios; quem estuda esses critrios a estatstica indutiva ou inferncia estatstica. Dizemos inferncia quando queremos nos referir a uma concluso sobre uma populao a partir do exame da amostra dessa populao.

Tabela 5: Populao Escolar: SexoEscolas A B C D E F No de Estudantes Masculino Feminino 80 102 110 134 150 300 95 120 92 228 130 290

Fonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 24).

Essa Tabela se refere populao escolar, por sexo e por escola, de uma determinada localizao. Um exerccio interessante retirar uma amostra, digamos, de 10% da populao. Bem, para isso, precisaremos considerar escola por escola.Tabela 6: Clculo da amostragem proporcional estratificadaEscolas Populao M = 80 A F = 95 10% Amostra 8

10 x 80 = 8 100 10 x 95 = 9,5 100 10 x 102 = 10,2 100 10 x 120 = 12 100 10 x 110 = 11 100 10 x 92 = 9,2 100

Muitas vezes, a populao se divide em subpopulaes chamadas estratos. A amostragem proporcional estratificada considera os estratos para a amostra, de maneira anloga Tabela 6, ao lado.

9

M = 102 B F = 120

10

12

M = 110 C F = 92

11

9

D

45

E

F

Procedendo assim, temos que na escola A, devemos considerar 8 alunos e 9 alunas; na escola B, 10 alunos e 12 alunas; na escola C, 11 alunos e 9 alunas.

Complete a Tabela 6, acima, e registre o resultado em seu memorial.

UniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos

Seo 2: Estatstica Descritiva e Estatstica indutiva ou inferencialComo j afirmamos, a Estatstica interessa-se pelo tratamento de fenmenos por meio de mtodos cientficos capazes de auxiliar a tomada de decises.

O principal objetivo da Estatstica tirar concluses sobre o todo (populao), a partir de informaes fornecidas por parte representativa do todo (amostra).

O primeiro passo consiste em coletar, criticar, apurar e expor os dados.17 Essas so etapas da Estatstica Descritiva. Observe que cumpridas essas etapas, ainda no possvel tirar concluses muito seguras, mas possvel, por exemplo, conhecer a realidade da escola, bem como conhecer seus problemas. O passo seguinte consiste na Estatstica indutiva ou inferencial. Basicamente, nessa etapa, ocorre a anlise e a interpretao do fenmeno em estudo, com o intuito de tirar concluses e fazer previses.18 Agora, possvel formular solues consistentes sobre os problemas levantados de uma dada realidade. A Estatstica, portanto, comea com a descrio para, s depois, chegar a concluses. Veja:

46


Figura 18: Estatstica Dedutiva e Estatstica Indutiva: Fluxograma17 Ver Unidade 1: Introduo ao Estudo da Estatstica, p. 15. 18 CRESPO (1995, p. 15).

A Figura acima revela que o ponto de partida um problema. Seria muito bom se pudssemos pegar o atalho e do problema fssemos, imediatamente, para a ao. Embora alguns gestores (do setor pblico e do setor privado) ajam assim, isso no muito seguro. O interessante observar as duas etapas (i e ii), a fim de garantir um mnimo de segurana de que estamos no caminho correto para a soluo do problema evidenciado. Dessa maneira, uma vez identificado onde se deseja atuar, o passo seguinte o do planejamento (Que recursos possuo? Que mtodos de coleta de dados irei utilizar? Que tempo possuo? Qual o universo? Qual a amostra? etc.). Feitas as escolhas, entramos na Etapa i: Estatstica Descritiva. Nessa etapa I, todos os passos devem ser observados: coleta, crtica, apurao e exposio dos dados. S depois disso, estamos preparados para a Etapa ii: Estatstica Indutiva ou Inferencial. Nessa etapa da soluo do problema, podemos tirar concluses e fazer algumas previses com maiores chances de acertar do que se pegssemos o atalho. A propsito, essa talvez a maior contribuio da Estatstica para nossas atividades no ambiente de trabalho: apresentarse como uma poderosa ferramenta para a soluo de problemas.

47 Seo 3: VariveisSe consideramos o fenmeno sexo, haveria, pois, dois resultados possveis: masculino ou feminino. O fenmeno total de filhos tambm possui um nmero determinado: 0, 1, 2, 3... Mas o fenmeno estatura apresenta uma situao diferente: 1m64cm, 1m58cm, 1m75cm...UniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos

Chamamos de varivel o conjunto de resultados possveis de um fenmeno19. A varivel pode ser qualitativa (masculinofeminino) ou quantitativa (expressa por nmeros: salrios, idade etc.). A varivel quantitativa pode ser contnua ou discreta. Por exemplo, o nmero de crianas de uma famlia pode ser 0, 1, 2, 3... Mas, jamais, pode ser 2,5 ou 3,842. Chamamos essa varivel de discreta. J a altura de um indivduo pode ser 1,65m,19 CRESPO (1995, p. 17).

iMPORTAnTE

1,662m ou 1,6722m, conforme a preciso da medida, e uma varivel contnua.20 Assim,

Uma varivel quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de varivel contnua; uma varivel que s pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumervel recebe o nome de varivel discreta.21

Veja:

48Figura 19: Variveis: Definies


Explicando melhor, a Figura acima mostra que varivel corresponde aos resultados possveis de um conjunto. Ser varivel qualitativa, quando seus valores forem expressos por atributos (qualidades), como, por exemplo, sexo, cor da pele etc. e ser varivel quantitativa quando seus valores forem expressos por nmeros. Nesse ltimo caso, varivel quantitativa, poder ser discreta, quando assumir, apenas, um dos valores do conjunto como, por exemplo, o nmero de alunos de uma escola. Ser uma varivel quantitativa contnua, quando puder assumir qualquer valor entre dois limites, por exemplo, peso, estatura etc.22

20 SPIEGEL (1975, p. 2). 21 CRESPO (1995); SPIEGEL (1975). 22 CRESPO (1995).

Sejam 2, 3, 5 e 8 todos os resultados possveis de um dado fenmeno. Fazendo uso da letra x para indicar a varivel relativa ao fenmeno considerado, temos: x {2, 3, 5, 8}.24 Isso significa que x pertence ao conjunto.

Vamos realizar um exerccio? Complete o Quadro 2, abaixo, classificando as variveis em qualitativas ou quantitativas (contnuas ou discretas).Universo Alunos de uma escola. Casais residentes em uma cidade. Varivel Cor dos cabelos Varivel qualitativa. Nmero de filhos Varivel quantitativa discreta.

As jogadas de um dado.

O ponto obtido em cada jogada .........................................................

Peas produzidas por certa mquina.

Nmero de peas produzidas por hora .........................................................

49

Peas produzidas por certa mquina.

Dimetro externo .........................................................

Quadro 2: Tipos de variveis

Fonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 18). UniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos

Classifique as variveis abaixo em (1) varivel qualitativa, (2) varivel quantitativa discreta e (3) varivel quantitativa contnua, relacionando as duas colunas

23 CRESPO (1995, p. 18). 24 CRESPO (1995, p. 18).

iMPORTAnTE

De modo geral, as medies do origem a variveis quantitativas contnuas e as contagens ou numeraes, a variveis discretas.23 Alm disso, comum designar as letras x, y e z para representar as variveis. Por exemplo:

( (

) )

Coluna 1 Populao: alunos de uma cidade Varivel: cor dos olhos P: estao meteorolgica de uma cidade V: precipitao pluviomtrica durante um ano P: Bolsa de Valores de So Paulo V: nmero de aes negociadas P: funcionrios de uma empresa V: salrios P: pregos produzidos por uma mquina V: comprimento P: casais residentes em uma cidade V: sexo dos filhos P: propriedades agrcolas V: produo de algodo P: segmentos de reta V: comprimento P: bibliotecas da cidade de So Paulo V: nmero de volumes

Coluna 2 ( 1 ) varivel qualitativa

( 2 ) varivel quantitativa discreta ( 3 ) varivel quantitativa contnua

( ( ( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) ) ) ) )

P: aparelhos produzidos em uma linha de montagem V: nmero de defeitos por unidade P: indstrias de uma cidade V: ndice de liquidez

50

Fonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 18-19).

Seo 4: TabelasUma das preocupaes da estatstica, como j vimos, analisar dados, para isso, preciso compreender o comportamento deles. E isto, a estatstica consegue apresentando valores em tabelas e grficos, que iro fornecer informaes rpidas e seguras a respeito das variveis em estudo. At aqui, em nosso estudo, lidamos com tabelas e quadros, qual a diferena? Quadros apresentam informaes no numricas, isto , informaes que no so objeto de tratamento numrico. Diferentemente, as tabelas so numricas e servem para clculos. As tabelas so muito teis para a construo de sries estatsticas. Denominamos srie estatstica toda tabela que apresenta a distribuio de um conjunto de dados estatsticos em funo da poca, do local ou da espcie (CRESPO, 1995, p. 26).


As tabelas apresentam informaes tratadas estatisticamente, conforme IBGE (1993) (BRASIL, 2002).

1

Tabela 7: Populao Mundial:

Srie Histrica2 Ano 2002 2003 3 2004 2005 2006 Populao 6.229.629.168 6.303.112.453 6.376.863.118 6.451.058.790 6.525.486.603

5 6

4

Fonte: U.S. CENSUS (2006)

A Tabela 7, acima, apresenta: 1) Ttulo: Conjunto de informaes, o mais completo possvel. Responde a perguntas como: o qu? Quando? Onde? No nosso exemplo: Tabela 7: Populao Mundial: Srie Histrica. 2) Cabealho: Parte superior da tabela que especifica o contedo das linhas. No nosso exemplo: Ano e Populao. 3) Linhas: Retas imaginrias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas. Por exemplo, no ano de 2002 havia 6.229.629.168 de habitantes no planeta. 4) Casa ou clula: Espao destinado a um s nmero. Por exemplo, 6.525.486.603 um nmero que ocupa uma casa ou clula. 5) Coluna indicadora: Parte da tabela que especifica o contedo das linhas. No nosso exemplo, a coluna indicadora a do Ano (2002 a 2006). 6) Coluna numrica: Parte da tabela que contm os dados apresentados. Em nosso exemplo, a coluna numrica a da Populao.

51


iMPORTAnTE

Por exemplo:

Agora que conhecemos a constituio de uma tabela simples, vamos estudar uma srie estatstica. Observe a Tabela 8, abaixo:Tabela 8: Matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie: Diurno: BrasilUnidade da Federao BrasilFonte: MEC/Inep

Matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie Diurno Total 13.629.874 Federal 18.183 Estadual 7.386.348 Municipal 4.664.840 Privada 1.560.503

O ttulo da tabela Matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie: Diurno: Brasil. Observe que, pelo ttulo, possvel apreender diversas informaes, tais como: a tabela se refere a matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie; na tabela encontraremos dados referentes ao ensino diurno; e se refere ao Brasil como um todo, no a um estado da federao em particular. Mas, apenas pelo ttulo no possvel saber todo o contedo (como por exemplo, no sabemos se encontraremos dados do sistema privado de ensino), mas ele j nos informa muito. Agora...

52

Identifique os demais componentes da Tabela 8: Matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie: Diurno: Brasil (acima). Algumas vezes, necessrio apresentar em uma nica tabela a variao de valores de mais de uma varivel, isto , fazer a conjugao de duas ou mais sries. Tabelas contendo srie geogrfica e srie histrica so muito comuns no campo da educao. Vamos trabalhar com uma tabela parecida com a anterior. Observe a Tabela 9, abaixo:Tabela 9: Nmero de matrculas na pr-escolaUnidade da Federao Acre Alagoas Distrito Federal So PauloFonte: MEC/Inep (2006)


Conjugando duas ou mais sries em uma nica tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificao: uma horizontal (linha) e uma vertical (coluna) (CRESPO, 1995, p. 28).

2002 21.737 57.671 71.985 1.276.434

Matrculas na Pr-Escola 2003 21.682 57.981 76.926 1.325.507

2004 23.148 73.741 81.786 1.391.238

Essa uma tpica tabela conjugada de dupla entrada. Observe que ela possui uma srie histrica (2002, 2003 e 2004) e uma srie geogrfica (Acre, Alagoas, Distrito Federal e So Paulo). Podemos dizer que a horizontal (linha) e a vertical (coluna) formam duas ordens de classificao. Por exemplo, no Distrito Federal (linha horizontal srie geogrfica), o nmero total de alunos matriculados na pr-escola variou no perodo de 2002 a 2004 (colunas verticais srie histrica). Sem dvida, estamos diante de uma tabela conjugada de dupla entrada.

Sries compostas de trs ou mais entradas podem existir, mas so raras devido a dificuldade de representao.

Visite o stio do Inep e procure a Tabela de Matrcula no Ensino Fundamental de 5 a 8 srie (ou outra Tabela qualquer) do seu municpio e identifique os componentes dessa tabela. Monte duas tabelas: uma simples e uma de dupla entrada.

Seo 5: GrficosObserve a comparao abaixo, sobre a exposio dos mesmos dados por estratgias diferentes: Tabela e Grfico.Tabela 10: No de Matrculas no Ensino Mdio: Brasil: UrbanoUnidade da Federao Matrculas no Ensino Mdio Diurno Total 8.824.397 Federal 56.464 Estadual 7.528.326 Municipal 149.917 Privada 1.089.690Conhea o stio do INEP : http://www.inep.gov.br

53

Brasil


Grfico 1: No de Matrculas no Ensino Mdio: Brasil: UrbanoFonte: Censo Escolar 2005


Tanto a Tabela 10, quanto o Grfico 1, acima, possuem a mesma finalidade: sintetizar os valores que a varivel matrculas no Ensino Mdio brasileiro, urbano pode assumir, para que tenhamos uma viso global da variao dessa varivel. Ambos, Tabela e Grfico, so maneiras vlidas de apresentao dos dados de tal forma que podemos, de maneira clara, explor-los. Na comparao acima, por exemplo, vemos com mais clareza e mais rapidamente no Grfico 1 que a maioria dos alunos do Ensino Mdio brasileiro encontra-se na rede estadual de ensino. Essa a finalidade da disposio dos dados quer seja em Tabelas ou em Grficos: apresentar de maneira simples, com eficincia e rigor, os dados de um conjunto em estudo. Como j vimos muito sobre Tabelas, iremos nos concentrar, agora, em Grficos. Por definio: O grfico estatstico uma forma de apresentao dos dados estatsticos, cujo objetivo o de produzir, no investigador ou no pblico em geral, uma impresso mais rpida e viva do fenmeno em estudo, j que os grficos falam mais rpido compreenso que as sries. (CRESPO, 1995, p. 38).

54Um Grfico estabelece uma relao entre os termos de uma srie e determinada figura geomtrica, como no nosso Grfico 1, acima, no qual a srie estatstica (Tabela 10) foi apresentada na forma de grfico de pizza. Mas ateno: uma das formas mais eficazes de transmitir uma informao com certo rigor usando grficos. No entanto, um grfico que no seja claro pode confundir o leitor25. Por isso, a representao grfica de um fenmeno dever obedecer a certos critrios fundamentais:26


1) Simplicidade; 2) Clareza; 3) Veracidade (o grfico deve expressar a verdade sobre o fenmeno).25 PEREIRA (2004, p. 51) 26 CRESPO (1995, p. 38).

Diagramas Os diagramas, normalmente, possuem duas dimenses, onde fazemos uso do sistema de coordenadas cartesianas27. Podem ser dos seguintes tipos: grfico em linha ou em curva; grfico em colunas ou em barras; grfico em colunas ou em barras mltiplas; grfico em setores. Vejamos um exemplo de grfico em linha. Consideremos a seguinte srie histrica apresentada na Tabela abaixo:Tabela 11: Matrculas na Educao Infantil: BrasilMatrculas na Educao infantil: Brasil. Modalidade 1999 Creche 831.978 2000 2001 2002 2003 2004

916.864 1.093.347 1.152.511 1.237.558 1.348.237

Pr-Escola 4.235.278 4.421.332 4.818.803 4.977.847 5.155.676 5.555.525Fonte: MEC/Inep

55Vamos construir o grfico em linha, por exemplo, do nmero de alunos matriculados na Pr-Escola, no perodo considerado. Para isso, precisaremos montar o sistema de coordenadas cartesianas. muito simples, como j vimos, nesse sistema, para cada ano do eixo x, encontraremos uma quantidade de matrculas correspondente y, formando, assim, o par ordenado (x; y). Em 1999, temos 4.235.278 matrculas, formando o par ordenado (1999; 4.235.278); em 2000, o par ordenado ser (2000; 4.421.332); e assim sucessivamente. Pronto, a tarefa est realizada! Veja o resultado, abaixo.

27 Ver Unidade 2: Conceitos Matemticos, Seo 5: Sistema de Coordenadas Cartesianas, p. 37.


iMPORTAnTE

Os principais tipos de grficos so: diagramas, cartogramas e pictogramas.

Grfico 2: Matrculas na Pr-Escola: Brasil: 1999-2004Fonte: MEC/Inep

Considerando ainda a srie estatstica representada pela Tabela 11, acima, realizaremos, agora, outra representao grfica: o grfico em barras. Nesse tipo de grfico, a representao ser em forma de retngulos, dispostos horizontalmente (em barras). Poderamos tambm, dispor a srie histrica verticalmente, ento, teramos um grfico em colunas. Vamos representar desta vez, a evoluo das matrculas na Creche. Dessa vez, o eixo x ser representado pelo nmero de matrculas na Creche e o perodo est representado no eixo y. Veja como fica o grfico:

56


Grfico 3: Evoluo das matrculas na creche: Brasil: 1999-2004Fonte: MEC/Inep

Vamos juntar as duas informaes, a evoluo das matrculas na Creche e na Pr-Escola, em um s grfico? Para isso, iremos considerar, novamente, a srie estatstica representada pela Tabela 11. Observe o resultado:

Grfico 4: Evoluo das matrculas na educao infantil: creche e pr-escola: Brasil: 1999-2004Fonte: MEC/Inep

O Grfico 4, acima, um exemplo de grfico em colunas ou barras mltiplas. Nele, podemos comparar, rapidamente e com clareza, a evoluo das matrculas na educao infantil brasileira, na Creche e na Pr-Escola, ao mesmo tempo. Como voc j notou, as diversas representaes grficas servem para apresentar os dados com rigor metodolgico e de maneira clara; seus usos dependem da finalidade da exposio. s vezes, podemos utilizar diversas representaes grficas, mas, algumas vezes, existem representaes ideais para os dados a serem expostos. assim que, por exemplo, o grfico em setores empregado sempre que desejamos ressaltar a participao do dado no total, dessa maneira, ele serve para mostrar propores relativas; o total representado pelo crculo, que fica dividido em tantos setores quantas so as partes.28 Vejamos na prtica: considere a seguinte srie estatstica:Tabela 12: Usurios de transporte pblico do estado: 1a a 4a sries: Brasil: rea urbanaAlunos do Ensino Fundamental de 1 a 4 sries, rea urbana, que utilizam transporte escolar do poder pblico estadual e municipal rea Urbana Total Brasil 447.847 Federal 324 Estadual 81.482 Municipal 363.994 Privada 2.047UniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos

57

Unidade da Federao

Fonte: Censo Escolar 2005 28 CRESPO (1995); PEREIRA (2004).

iMPORTAnTE

A Tabela 12, acima, apresenta os alunos de 1 a 4 sries do ensino fundamental que freqentam escolas urbanas e fazem uso do transporte pblico oferecido pelo Poder Pblico estadual e/ou municipal, de acordo com a dependncia administrativa (Federal, Estadual, Municipal e Privada). Para trabalharmos com setores, precisaremos estabelecer as propores para cada esfera administrativa. Assim, Soluo: Para encontrar as propores de cada dependncia administrativa, usaremos o procedimento da regra de trs simples:29 1) Encontrando a poro da esfera federal: 1a etapa: preparando a regra de trsAlunos 447.847 324 % 100 x

2a etapa: montando a proporo 447.847 = 324 100 x

58

3a etapa: resolvendo a equao 447.847 x x = 324 x 100 x 32.400 = 0,072% 447.847

2) Encontrando a poro da esfera estadual: 1a etapa: preparando a regra de trsAlunos 447.847 81.482UniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos

% 100 x

2a etapa: montando a proporo 447.847 = 324 100 x

29 Ver Unidade 2: Conceitos Matemticos, Seo 2: Grandezas e Medidas, Regra de trs simples, p. 28.

447.847 x x = 81.482 x 100 x 8.148.200 = 18,19% 447.847 Viu como fcil? Agora a sua vez!

Continue o exerccio e encontre as pores municipal e privada.

Aps encontrar as propores de cada esfera administrativa (federal, estadual, municipal e privada), basta, agora, construir o grfico em setores. Veja o resultado abaixo:

59

Grfico 5: Usurios de transporte pblico do estado: 1 a 4 sries: Brasil: rea urbanaFonte: Censo Escolar 2005


Observe como interessante a comparao das partes com o todo. No nosso exemplo, o grfico em setores apresenta, com inigualvel clareza, que as participaes federal e privada so insignificantes (tanto que nem aparecem) e a participao municipal esmagadora. Convenhamos, essa demonstrao mais interessante que a srie estatstica na forma de tabela, no mesmo?

iMPORTAnTE

3a etapa: resolvendo a equao

Cartogramas Cartogramas so representaes sobre uma carta geogrfica. Eles so muito teis quando queremos relacionar dados estatsticos com reas geogrficas ou polticas. Essas representaes so muito teis para expressarem populao e densidade.30

Vejamos um exemplo:

60

Grfico 6: O despovoamento da AmazniaFonte: FELIX NETO (2006, p. 5).

Observe que o Grfico 6, acima uma apresentao agradvel aos olhos e de fcil interpretao tambm. Esse o objetivo.

PictogramasUniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos

Os pictogramas so os processos grficos de maior aceitao pblica por sua forma atraente e sugestiva.31

Em sua representao encontram-se figuras, desenhos etc. Seja a srie estatstica abaixo:

30 CRESPO (1995, p. 46). 31 CRESPO (1995, p. 48).

Vtimas Fatais Idade (anos) Local 0a9 808 10 a 12 13 a 17 18 a 29 30 a 59 60 e mais 307 891 5006 6950 1666 Ignorado 3249

Brasil

Fonte: Adaptado do Anurio Estatstico de Acidentes de Trnsito (2002)

A Tabela acima, revela o nmero de vtimas fatais em acidentes de trnsito no Brasil, no ano de 2002. Em forma de pictograma, poderia ser assim representada:

Figura 20: Pictograma: Exemplo

61

Observe que os carros so representativos para a srie estatstica de vtimas fatais em acidentes de trnsito. Naturalmente, na confeco de grficos pictricos temos que utilizar muita criatividade, procurando obter uma otimizao na unio da arte com a tcnica (CRESPO, 1995, p. 49).APnDiCE: Respostas dos exerccios pratique!

Procure, em jornais, revistas, livros e outros, um exemplo de cada representao grfica estudada, isto , um grfico em setores (em forma de pizza), um grfico em linha, um grfico em barras, um grfico em colunas mltiplas, um cartograma e, por fim, um pictograma. Recorte ou tire uma cpia (se possvel) e cole em seu memorial.

iMPORTAnTE

Tabela 13: Pictograma: Exerccio

4

Distribuio de freqncia

O objetivo desta Unidade partir dos dados brutos, isto , desorganizados, para uma apresentao formal. Nesse percurso, seo 1, destacaremos a diferena entre tabela primitiva e rol, bem como a importncia do resumo dos dados por meio de uma tcnica que agrupa as repeties, chamadas de freqncia (seo 2). Voltaremos s Tabelas e Grficos, na seo 3, porque, agora, aparecer algo novo: os dados agrupados. Em funo disso, as Tabelas apresentaro diferenas das anteriores e os Grficos assumem formatos j consagrados pelo uso (histograma e polgono de freqncia). Boa leitura!

Seo 1: Dados Brutos e RolNa Unidade anterior, trabalhamos com exposio de dados. Mas, infelizmente, os dados, raramente, apresentam-se organizados. Por exemplo, vamos supor que um professor entregue as notas de seus alunos, conforme a Tabela 14, abaixo:Tabela 14: Exemplo de Tabela Primitivanotas de 40 alunos de uma disciplina 8,0 5,0 7,5 9,8 7,8 3,0 6,3 9,7 8,5 3,5 6,6 3,5 6,6 4,0 7,8 3,8 9,9 10,0 4,0 5,0 10,0 5,6 2,5 3,7 2,6 3,0 5,0 4,9 2,9 2,5 7,0 5,4 5,2 1,5 8,0 6,8 8,8

64

9,5 10,0 6,3


Observe que, nessa Tabela, as notas no esto numericamente organizadas. Esse tipo de tabela denomina-se Tabela Primitiva.32 Partindo dessa Tabela, difcil identificar o comportamento das notas, isto : onde se concentram? Qual a maior? Qual a menor? Quantos alunos esto abaixo ou acima de uma determinada nota? Esses dados esto, de fato, desorganizados, por isso, vamos organiz-los. A maneira mais simples realizando uma ordenao (crescente ou decrescente). Aps essa ordenao dos dados, a Tabela recebe o nome de rol. Veja como fica:

32 CRESPO (1995, p. 54).

notas de 40 alunos de uma disciplina 1,5 2,5 2,5 2,6 2,9 3,0 3,0 3,5 3,5 3,7 3,8 4,0 4,0 4,9 5,0 5,0 5,0 5,2 5,4 5,6 6,3 6,3 6,6 6,6 6,8 7,0 7,5 7,8 7,8 8,0 8,0 8,5 8,8 9,5 9,7 9,8 9,9 10,0 10,0 10,0

De fato, com os dados assim organizados, podemos saber, com facilidade, qual a menor nota (1,5) e qual a maior (10,0). E tambm, podemos encontrar a amplitude de variao, isto , a diferena entre o maior valor e o menor valor: 10,0 1,5 = 8,5. Alm dessas informaes, com um pequeno esforo, podemos ainda identificar que as notas se concentram em dois valores (5,0 e 10,0) e que 6,0 o valor que divide as notas. Convm destacar que os dados so teis, apenas, se conseguirmos transform-los em informao. Mais frente, discutiremos essas medidas. Enfim, Dados brutos so aqueles que no foram numericamente organizados e rol um arranjo de dados numricos brutos em ordem: crescente ou decrescente. Em um rol, a diferena entre o maior e o menor nmero chama-se amplitude total.33

65

Seo 2: Distribuio de FreqnciaVamos continuar estudando as notas entregues por um professor apresentadas acima. Para estudarmos melhor a varivel, construiremos uma Tabela apresentando os valores de maneira mais resumida. Com os dados organizados em um rol, identificamos que existem repeties de muitos valores. Essa repetio recebe o nome de freqncia. Vejamos:

33 SPIEGEL (1975, p. 43).


iMPORTAnTE

Tabela 15: Exemplo de Rol

Tabela 16: Exemplo de Tabela de Freqncianotas 1,5 2,5 2,6 2,9 3,0 3,5 3,7 3,8 4,0 4,9 Freqncia 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 notas 5,0 5,2 5,4 5,6 6,3 6,6 6,8 7,0 7,5 7,8 Freqncia 3 1 1 1 2 2 1 1 1 2 notas 8,0 8,5 8,8 9,5 9,7 9,8 9,9 10,0 Total Freqncia 2 1 1 1 1 1 1 3 40

Classes de freqncia ou, simplesmente, classes so intervalos de variao da varivel. (CRESPO, 1995, p. 57).

Dispor os dados dessa maneira melhor do que da forma anterior, mas ainda inconveniente. Isso porque exige muito espao. Uma alternativa agrupar os dados. Para desenvolver tal tarefa, comum, em primeiro lugar, distribuir os dados em classes ou categorias em uma Tabela. Essa Tabela receber o nome de Distribuio de Freqncia ou Tabela de Freqncia. Para construir a tabela de freqncia das notas, consideraremos, por exemplo, quatro classes: da nota 0,0 at a nota 4,9 (0,04,9); da nota 5,0 at a nota 6,9 (5,06,9); da nota 7,0 at a nota 8,9 (7,08,9); por fim, da nota 9,0 at a nota 10,0 (9,0 10,0). Agrupando os dados dessa maneira, comum chamlos de dados agrupados. Vejamos:Tabela 17: Exemplo de Tabela de Distribuio de Freqncianotas de 40 alunos de uma disciplina Notas Nmero de estudantes (freqncia) 14 11 8 7 Total 40

66

A Tabela de Distribuio de Freqncia uma Tabela como outra qualquer, mas que apresenta o nmero de repetio dos valores ao invs de repet-los integralmente. Por exemplo, ao invs de expor 2, 2, 2 , 2 e 3, em uma Tabela de Freqncia colocamos 2 (4 vezes) e 3.

0,0 4,9UniDADE 4 Distribuio de freqncia

5,0 6,9 7,0 8,9 9,0 10,0

A distribuio de freqncia, acima, apresenta uma disposio mais amigvel. Nela, podemos observar que 14 alunos tiraram

Aprofundamento: regras para a elaborao de uma distribuio de freqncia Na construo de uma distribuio de freqncia, a determinao do nmero de classes e da amplitude dessas classes sempre uma preocupao. No nosso exemplo anterior, as classes escolhidas no foram de maneira aleatria, mas, de qualquer forma, existem regras que podem ser observadas se quisermos maior rigor no estudo de um evento. Assim, Spiegel (1975, p. 45-46) sugere as seguintes regras gerais:

1) Determinam-se o maior e o menor nmero de dados brutos e, ento, calcula-se a amplitude total do rol (diferena entre o maior e o menor daqueles nmeros); 2) Divide-se a amplitude total em um nmero conveniente de intervalos de classe que tenham a mesma amplitude. Nem sempre isso possvel; nesse caso, usamos intervalos de classe de amplitudes diferentes. O nmero de intervalo de classes normalmente entre 5 e 20, dependendo dos dados; 3) Os intervalos de classe so escolhidos de maneira que seus pontos mdios coincidam com dados realmente observados. Isso tende a diminuir erros; 4) Determina-se o nmero de observaes que caem dentro de cada intervalo de classe, isto , calculam-se as freqncias de classe.

67

Seguindo as regras gerais acima, que alteraes teramos no nosso exerccio das notas? Bem, primeiro, vamos calcular a diferena entre o maior e o menor nmero: 10,0 1,5 = 8,5. Isso significa que entre a


iMPORTAnTE

notas entre 0,0 e 4,9; 11 alunos, entre 5,0 e 6,9; 8 alunos, entre 7,0 e 8,9; 7 alunos, entre 9,0 e 10,0. Identifica-se, de imediato, a maior e a menor concentrao das notas dos alunos e essa uma informao muito interessante.

maior nota e a menor nota h uma distncia de 8,5. Essa a amplitude total, isto , os valores variam, no mximo, 8,5. De outra forma, a distncia do menor valor para o maior valor de 8,5. OK! Agora, na segunda etapa das regras acima, vamos escolher o nmero de intervalos de classe.34 Vamos tentar o menor nmero sugerido: 5. Se quero 5 classes e minha amplitude total 8,5, basta dividir a amplitude total pelo nmero de classes escolhido para determinar os intervalos de classe. Assim,

8,5 Intervalo de classes = amplitude total = = 1,7 = 2 total de classes 5

Observe que arredondamos35 o valor para 2 (assim temos um nmero fcil de trabalhar). O que esse resultado significa? Significa que teremos cinco intervalos de amplitude 2. Desse modo, nossa nova tabela de distribuio de freqncia ser:Tabela 18: Exemplo de Tabela de Distribuio de Freqncianotas de 40 alunos de uma disciplina Nmero de estudantes (freqncia) 1 12 7 11 9 Total 40

68

Notas 0,0 2,0 2,1 4,1 4,2 6,2 6,3 8,3 8,4 10,0


Observe que alterando os intervalos de classes, as concentraes mudam.

Grficos de uma distribuio Graficamente, uma distribuio de freqncia pode ser representada pelo histograma ou pelo polgono de freqncia.34 Relembrando: no nosso exemplo utilizamos 4 intervalos: 0,04,9; 5,06,9; 7,08,9; 9,0 10,0. 35 Ver Unidade 2: Conceitos Matemticos, Seo 6: Arredondamento, p. 39.

Histograma Vejamos um modelo de histograma.

Figura 21: Modelo de Histograma

O modelo de histograma do grfico da Figura 21, acima, revela que o histograma formado por um conjunto de retngulos justapostos representados no sistema de coordenadas cartesianas, onde, o eixo x o eixo das variveis e o eixo y, o eixo das freqncias. As bases dos retngulos representam os intervalos de classe e o ponto mdio delas dever ser um valor observado no estudo das variveis. As alturas dos retngulos so proporcionais s freqncias das classes. Calculando a rea de um retngulo, encontramos a freqncia daquele intervalo de classe e calculando a rea de todos os retngulos, encontramos a soma de todas as freqncias. Formalmente, O histograma formado por um conjunto de retngulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos mdios coincidam com os pontos mdios dos intervalos de classe (CRESPO, 1995, p. 69).

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Ambos os grficos so representados no sistema cartesiano, sendo o eixo x (linha horizontal) a representao da varivel e no eixo y (linha vertical) a representao das freqncias.

Polgono de freqncia Polgono de freqncia um grfico de linha36. Na verdade, essa representao grfica nada mais do que a unio dos pontos de freqncia das variveis. Observe abaixo:

Figura 22: Polgono de Freqncia: Esboo

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Observando o esboo do polgono de freqncia da Figura 22, acima, identificamos que a linha construda a partir dos pontos mdios dos topos dos retngulos de um histograma. A rigor, no precisamos construir o histograma, basta levantar uma reta a partir do ponto mdio da base do tringulo (altura). Formalmente,

O polgono de freqncia um grfico de linha, sendo as freqncias marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos mdios dos intervalos de classe (CRESPO, 1995, p. 70).UniDADE 4 Distribuio de freqncia

Seo 3: Um exerccio completoVamos, agora, realizar um exerccio completo sobre distribuio de freqncia, envolvendo todos os fundamentos vistos at agora, incluindo a construo grfica. Nosso problema o seguinte:36 Ver Unidade 3: Variveis, Tabelas e Grficos, Seo 5: Grficos, Diagramas, p. 49.

Ana Maria ficou curiosa. Ela gostaria de analisar o desempenho dos alunos do professor Paulo, para saber se esses boatos eram verdade. Para realizar tal tarefa, ela seguiu 5 etapas. 1a Etapa: levantamento dos dados brutos. A primeira coisa a fazer era conseguir todas as notas dos alunos do professor Paulo. Isso foi fcil. O resultado est abaixo.Tabela 19: Exerccio: Tabela Primitivanotas dos alunos do professor Paulo 5 1 3 8 3 9 7 2 5 7 5 2 2 1 7 7 9 9 2 9 7 7 1 3 2 9 1 7 7 9 7 3 8 3 1 8 7 0 5 8 1 4 2 6 5 2 8 9 7 6 9 7 1 4 0 9 0 7 6 9 0 8 7 2 2 8 8 8 3 0 0 7 4 6 5 8 1 1 5 8 8 5 9 3 3 1 9 8 3 7 7 6 9 6 8 8 0 8 9 4 8 7 5 5 0 7 1 9 7 6 3 1 8 0 6 4 1 8 6 4 8 7 4 5 8 2 4 2 5 5 5 7 3 6 5 4 0 8 1 9 8 1 4 4 9 0 2 9 2 8 3 6 2 7 4 1 0 8 0 2 0 6 8 3 6 4 9 7

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Bem, como podemos notar, o professor Paulo possua muitas turmas e, por isso, muitas notas. O levantamento inicial foi organizado em uma Tabela Primitiva. Agora, preciso expor esses dados em um rol. 2a Etapa: construo de rol. Levantados os dados brutos, agora, preciso organiz-los. Ana Maria realizou a tarefa colocando as notas em ordem crescente, conforme Tabela 20, abaixo.UniDADE 4 Distribuio de freqncia

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Ana Maria, secretria de uma grande escola, ouve muitas conversas na secretaria. Em uma conversa dessas, ouviu uma reclamao do professor Paulo. As pessoas diziam que as notas dos seus alunos eram muito baixas; segundo a conversa, a maioria dessas notas eram abaixo da mdia.

Tabela 20: Exerccio: Rolnotas dos alunos do professor Paulo 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Mesmo depois de ter organizado os dados, Ana Maria sentiu necessidade de diminuir os espaos. Essa foi a tarefa da prxima etapa.

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3a Etapa: construo da Tabela de Freqncia. Ana Maria percebeu que trabalhar com o rol era melhor que trabalhar com a Tabela Primitiva. Mas, mesmo assim, sentiu necessidade de diminuir ainda mais a quantidade de dados. Para isso, ela construiu uma Tabela de Freqncia, j que percebeu que diversas notas se repetiam. Veja o resultado, abaixo:Tabela 21: Exerccio: Tabela de Freqncianotas dos alunos do professor Paulo Notas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Freqncia 14 16 15 13 13 15 13 24 26 19 0 Total 168


Quando Ana Maria construiu a Tabela de Freqncia das notas dos alunos do professor Paulo ela verificou com mais clareza onde se concentravam a maioria das notas. A partir desse momento, ela j pde dizer que as pessoas estavam enganadas, pois, embora parecesse que o professor Paulo atribua muitas notas baixas, na verdade, as notas se concentravam entre 7, 8 e 9. Ana Maria saiu da aparncia: j pensou se ela emitisse alguma opinio com base, apenas, no levantamento inicial dos dados (Tabela Primitiva)? Bem, a chance dela fazer um julgamento equivocado seria muito grande. Mas ela ainda se sentia insegura. Portanto, ela agrupou os dados para uma anlise mais apurada.

4a Etapa: construo da Tabela de Freqncia com intervalos de classe. Quando Ana Maria decidiu agrupar ainda mais os dados, a primeira dificuldade a enfrentar foi: quantas classes e qual o intervalo delas? A primeira tarefa que realizou foi a determinao da amplitude total de variao, pois, a partir dela seria possvel determinar os intervalos de classes. Ento, Ana Maria realizou a seguinte operao:

amplitude total = nota maior nota menor = 9 0 = 9

De posse da amplitude total, Ana Maria decidiu que seu estudo teria 5 classes. Portanto, o intervalo de classe deveria ser:

Ana Maria sabia que as classes, normalmente, variam de 5 a 20, conforme as regras para a elaborao de intervalos de classe.

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Intervalo de classes = amplitude total =

N de classeso

9 = 1,8 = 2 5UniDADE 4 Distribuio de freqncia

Naquele momento, Ana Maria estava pronta para elaborar sua nova Tabela de freqncia com intervalo de classes. O resultado foi:

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Tabela 22: Exerccio: Tabela de Freqncia com intervalos de classenotas dos alunos do professor Paulo Notas 0a2 2a4 4a6 6a8 8 a 10 Freqncia 30 28 28 37 45 Total 168

Convm reforar que se um intervalo de 0 a 2 e outro intervalo de 2 a 4, como fazer para no contar o 2 duas vezes? A sada considerar aquilo que na matemtica se chama pontos abertos e fechados. Assim, no caso de 0 a 2, consideraremos fechado esquerda e aberto direita; vale dizer: o zero entra e o 2 no. Da mesma forma, no intervalo de 2 a 4, o 2 entra e o 4 no; e assim sucessivamente.

Organizados os dados em uma tabela de freqncia com intervalos de classe, Ana Maria pde identificar, ao contrrio do que as pessoas andavam conversando, que as notas se concentravam no intervalo de 8 a 10. Alm disso, a segunda maior concentrao das notas de seus alunos pertencia ao intervalo de 6 a 8. Os resultados do seu estudo, at aqui, demonstraram uma situao diferente do que poderia parecer primeira vista. Depois, para apresentar os resultados, Ana Maria construiu um grfico.

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5a Etapa: representao grfica. A fim de expor os dados rapidamente e com clareza, Ana Maria optou pelo polgono de freqncia. Veja o resultado abaixo.


Grfico 7: Exerccio: Polgono de Freqncia

Chegamos ao fim do nosso exerccio. Voc observou que seguindo as etapas, no difcil estudar, com rigor, um fenmeno qualquer. Que tal voc realizar uma atividade parecida?

Selecione dois dirios de classe e realize todas as cinco etapas do nosso exerccio: 1) 1a etapa: levantamento dos dados brutos; 2) 2a etapa: construo do rol; 3) 3a etapa: construo da Tabela de Freqncia; 4) 4a etapa: construo da Tabela de Freqncia com Intervalos de Classe; 5) 5 etapa: representao grfica. Sugiro que voc realize a atividade com dirios de professores que no estejam na escola. Caso no consiga acesso aos Dirios de Classe, pea a algum para inventar algumas notas ou invente voc mesmo. Coloque os resultados em seu memorial.Os dados coletados podem, usualmente, ser considerados como pertencentes a uma amostra extrada de grande populao. Como se dispe de muitas observaes da populao, teoricamente possvel (para dados contnuos) a escolha de intervalos de classe muito pequenos e ter, at, nmeros convenientes de observaes que se situam dentro de cada classe. Assim, seria possvel contar com um polgono de freqncia [...] para uma grande populao que tenha tantos pequenos segmentos de linha quebrada que se aproximem bastante de

Estatística aplicada à Educação

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