Estatística

Aplicada

Prof. Afonso Chebib

Estatística Aplicada(Aula 4)

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Ramo da Estatística que estuda como fazer afirmações sobre características de uma população baseando-se em resultados de uma amostra.

Exemplos do dia a dia do uso de informações da amostra para concluir sobre o todo: Como a cozinheira verifica a quantidade de sal na comida ou como a dona de casa decide sobre a compra de uma fruta na feira após provar um pedaço.

Pode ser razoável supor que a distribuição das alturas dos brasileiros adultos possa ser representada por um modelo normal, mas como descobrir seus parâmetros (média e variância)?

Medir a altura de todos os brasileiros, assim como determinada caracteristica de qualquer população é quase sempre inviável por apresentar: Alto custo, tempo muito grande ou até pois consiste num processo destrutivo (durabilidade de lampadas por exemplo).

Inferência Estatística

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Solução: selecionar parte dos elementos da população (amostra), analisá-la e inferir propriedade para o todo.

Exemplos: População e amostra 1- Pesquisar os salários dos 5000 funcionários de uma empresa

através de uma amostra de 300 funcionários escolhidos cuidadosamente.

2- Estudar a proporção de indivíduos favoráveis a execução de um projeto na cidade X. Sorteia-se 200 moradores aleatoriamente para fazer a questão.

3- Investigar o tempo de duração de um novo modelo de lâmpadas através do teste de 100 unidades.

Investigar se uma moeda é ‘honesta’ jogando-se 50 vezes e anotando a proporção de caras e coroas

Inferência Estatística

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Inferência Estatística

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Distribuição amostral da média - Teorema do Limite Central

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X1/X2

1 3 5 5 7 X1/X2

1 3 5 5 71 (1,1) (1,3) (1,5) (1,5) (1,7)3 (3,1) (3,3) (3,5) (3,5) (3,7)5 (5,1) (5,3) (5,5) (5,5) (5,7)5 (5,1) (5,3) (5,5) (5,5) (5,7)7 (7,1) (7,3) (7,5) (7,5) (7,7)

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Distribuição amostral da média - Teorema do Limite Central

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1 3 5 5 71 1 2 3 3 43 2 3 4 4 55 3 4 5 5 65 3 4 5 5 67 4 5 6 6 7

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Conforme n vai aumentando o histograma vai se aproximando de uma curva normal.

Mesmo a população não apresentando distribuição normal de algum parâmetro, as médias amostrais se distribuirão normalmente para um n tendendo ao infinito.

Para populações com distribuição normal, qualquer n já garante uma distribuição normal das médias amostrais.

Considera-se que para qualquer distribuição populacional, um n>=30 já apresenta uma boa aproximação a uma curva normal.

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Deseja-se estimar a média populacional, μ de uma determinada variável, pela média amostral, X.

Qual a magnitude do erro que cometemos nesta estimação?

Erro Amostral

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O gerente de operações de um grande banco, desejando determinar o tempo médio que os clientes gastam no auto atendimento, realizou a medição do tempo gasto por um grande número de clientes e obteve uma população normalmente distribuída com média de 3,68 minutos e desvio padrão de 0,15 minutos.

Se uma amostra de 25 clientes for escolhida ao acaso entre milhares dos que utilizam os auto atendimentos por dia, que resultado podemos esperar para o tempo médio dessa amostra? 3,70 min? 2,00 min? 3,68 min?

Exemplo

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Qual a probabilidade de uma observação X entre 3,65 e 3,68 min?

Qual a probabilidade de se obter uma média amostral X entre 3,65 e 3,68?

Exemplo

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Distribuição de médias amostrais

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Simulação de populações normais

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Qual a probabilidade de se obter uma média amostral X entre 3,65 e 3,68 min?

Logo, 34,13% de todas as amostras possíveis de tamanho igual a 25 teriam uma média amostral entre 3,65 e 3,68 minutos

Exemplo (cont.)

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Como esses resultados seriam alterados se a amostra contivesse 100 clientes, ao invés de 25?

Exemplo

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Ao invés de determinar a proporção de médias amostrais que espera-se que caiam dentro de um certo intervalo, o gerente de operações está interessado em encontrar um intervalo simétrico em torno da média populacional que incluísse 95% das médias amostrais.

Deseja-se determinar uma distância acima e abaixo da média μ que contenha uma área especificada da curva normal

Intervalo de confiança

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Intervalo de confiança

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Se, para cada amostra de tamanho n, construirmos um intervalo de confiança como mostrado acima, 95% dos intervalos conterão a média populacional.

E se não conhecemos μ?

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Média populacional desconhecida– A satisfação dos clientes de uma instituição financeira pode ser

avaliada através de um score, que segue uma distribuição aproximadamente normal, com média desconhecida. Sabe-se, de estudos anteriores, que o desvio padrão desse score é 10. Sorteada uma amostra de 50 clientes, obteve-se um score médio (amostral) de 70. Qual o intervalo de 95% de confiança para o score médio populacional?

Intervalo de confiança

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Intervalo de confiança

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A margem de erro será tão menor, quanto maior for o tamanho da amostra (n) e o desvio padrão populacional

Margem de Erro

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