Estatística Aplicada

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UniverCidade Estatística Aplicada - Prof. Célio Cayres ___________________________________________________________________________________ 1 ESTATÍSTICA APLICADA - Apresentação Geral do Caderno de Estudo A palavra ESTATÍSTICA provém do latim status, que significa estado. A primitiva utilização da estatística envolvia compilações de dados e gráficos que descreviam vários aspectos de um estado ou país. As famílias, os governos e as empresas se apóiam largamente em dados estatísticos para tomarem decisões. A simples observação de um conjunto de dados não permite que sejam tomadas decisões ou, quando muito possibilitarão decisões eivadas de princípios empíricos. Vivemos uma era em que a ciência deve prevalecer sobre o empirismo, em que a lógica deve prevalecer sobre o “achismo”. A estatística abrange muito mais do que o simples traçado de gráficos e o cálculo de médias. Neste caderno será visto como tirar conclusões gerais e significativas que vão além dos dados originais. Os diversos assuntos serão abordados de forma objetiva, visando a aplicação direta dos conceitos. Os únicos conhecimentos matemáticos necessários para a compreensão do texto é a aritmética e elementos de álgebra básica. Quando houver a necessidade de algum conceito um pouco mais avançado, o mesmo será abordado de forma sintética e objetiva. Nos casos em que forem necessários cálculos mais complexos será utilizado o Microsoft Excel, poderosa ferramenta que reduz muito o tempo necessário para a determinação de valores. Familiarize-se com esta ferramenta. Havendo necessidade, utilize o Ajuda.

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ESTATÍSTICA APLICADA

- Apresentação Geral do Caderno de Estudo

A palavra ESTATÍSTICA provém do latim status, que significa estado. A

primitiva utilização da estatística envolvia compilações de dados e gráficos que

descreviam vários aspectos de um estado ou país. As famílias, os governos e as

empresas se apóiam largamente em dados estatísticos para tomarem decisões.

A simples observação de um conjunto de dados não permite que sejam

tomadas decisões ou, quando muito possibilitarão decisões eivadas de princípios

empíricos.

Vivemos uma era em que a ciência deve prevalecer sobre o empirismo, em

que a lógica deve prevalecer sobre o “achismo”.

A estatística abrange muito mais do que o simples traçado de gráficos e o

cálculo de médias. Neste caderno será visto como tirar conclusões gerais e

significativas que vão além dos dados originais.

Os diversos assuntos serão abordados de forma objetiva, visando a

aplicação direta dos conceitos. Os únicos conhecimentos matemáticos necessários

para a compreensão do texto é a aritmética e elementos de álgebra básica. Quando

houver a necessidade de algum conceito um pouco mais avançado, o mesmo será

abordado de forma sintética e objetiva.

Nos casos em que forem necessários cálculos mais complexos será utilizado

o Microsoft Excel, poderosa ferramenta que reduz muito o tempo necessário para a

determinação de valores. Familiarize-se com esta ferramenta. Havendo

necessidade, utilize o Ajuda.

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1. Variáveis e Gráficos

1.1 – Estatística

O termo ESTATÍSTICA provém da palavra Estado e foi utilizado

originalmente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar

o Estado em suas decisões.

Neste sentido foi utilizado em épocas remotas para determinar o valor dos

impostos cobrados dos cidadãos, para determinar a estratégia de uma nova batalha

em guerras que se caracterizavam por uma sucessão de batalhas – era

fundamental aos comandantes saber de quantos homens, armas, cavalos, etc.

dispunham após a última batalha.

Atualmente, a ESTATÍSTICA é definida da seguinte forma:

A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII, com os

estudos de BERNOULLI, FERMAT, PASCAL, LAPLACE, GAUSS, GALTON, PEARSON,

FISHER, POISSON e outros que estabeleceram suas características atuais (da

SILVA, et al.; 1996,11).

Uma outra definição para ESTATÍSTICA (VIEIRA; 1999,6):

A Estatística tem importante papel no pensamento crítico, seja no trabalho,

na pesquisa, ou no dia-a-dia. Então o tempo que você usar estudando essa matéria

será um investimento para seu futuro. É verdade que algumas pessoas pensam que

as estatísticas mentem. Ou, como já disse alguém, “ os números dizem qualquer

coisa quando bem torturados”. Mas qualquer ciência produz resultado contrário ao

desejado, quando é mal aplicada. Então as estatísticas “mentem” apenas quando

estão erradas ou, no mínimo, estão sendo mal interpretadas.

Estatística é um conjunto de métodos e

processos quantitativos que serve para

estudar e medir os fenômenos coletivos.

Estatística é a ciência dos dados. Envolve a

coleta, a classificação, o resumo, a organização,

a análise e a interpretação da informação

numérica.

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A Estatística trata dados. Todo dado se refere a uma variável. Então a

Estatística trabalha com variáveis. A Estatística não trata constantes. As variáveis

assumem diferentes valores, nas diferentes unidades.

Exemplo:

A coordenação de um colégio pretende levantar dados sobre os alunos do 3º

ano do ensino médio, candidatos ao vestibular. O que você acha que a coordenação

pode anotar, porque é variável e o que você acha que não deve anotar, porque é

constante?

Solução:

A coordenação pode levantar dados sobre a renda familiar, sobre as

carreiras pretendidas, que são variáveis, mas não deve levantar dados sobre a

alfabetização porque, entre candidatos ao vestibular, a resposta seria uma

constante, já que todos possuem, no mínimo o ensino médio!

Os dados são freqüentemente selecionados de um conjunto maior, cujas

características é preciso estimar.

Exercícios:

1 – Um colégio pretender realizar uma festa de fim de ano. A maior queixa

dos responsáveis é com relação aos preços cobrados nas “barraquinha” pelos

alimentos disponibilizados. Que dados deverão ser coletados visando atender

melhor aos responsáveis?

2 – Há a necessidade de iniciar um ciclo de palestras para tratar de assuntos

como uso de drogas e sexualidade infantil. O profissional contratado para proferir

as palestras deseja preparar um material adequado ao perfil cultural dos

responsáveis. Que levantamento seria necessário para distribuir melhor os

responsáveis por turma e maximizar o resultado das palestras?

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1.2 – População e amostra

Conforme ficou claro na definição, a Estatística tem por objetivo o estudo

dos fenômenos coletivos e das relações que existem entre eles. Entende-se como

fenômeno coletivo aquele que se refere à população, ou universo, que compreende

um grande número de elementos, sejam pessoas ou coisas.

Note que a população é definida em função da informação que interessa ao

pesquisador. Se você quiser informações sobre estudantes com faixa etária entre 7

e 14 anos de um município do interior do estado, esta será a sua população,

mesmo que você só disponha dos alunos de uma única escola pala coletar os

dados.

Precisamos, também da definição de amostra:

Uma característica numérica estabelecida para toda uma população é

denominada parâmetro.

Uma característica numérica estabelecida para uma amostra é denominada

estimador.

Utilizando o exemplo citado acima, a população seria a totalidade dos alunos

com idades entre 7 e 14 anos do município pesquisado. Utilizando a população

poder-se-ia concluir como parâmetro que, por exemplo, 60 % dos alunos são do

sexo feminino. Podemos indicar como uma amostra somente os alunos do turno da

manhã da mesma escola. Utilizando somente a amostra, poder-se-ia estimar que,

por exemplo, 57 % dos alunos são do sexo feminino.

População é o conjunto de elementos sobre o qual

desejamos obter informação.

População é o conjunto de todos os itens (pessoas,

coisas) que interessam ao estudo de um fenômeno

coletivo segundo alguma característica.

Amostra é qualquer subconjunto não vazio de uma população,

ou, é todo subconjunto de elementos retirados da população para

obter a informação desejada.

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Quando os dados são obtidos de toda uma população, diz-se que foi feito

um recenseamento. Quando são obtidos dados de apenas parte da população, diz-

se que foi feita uma amostragem. O conjunto de dados obtidos de toda a população

é denominado censo.

Censo é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os

componentes da população.

Estimação é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em um

estimador através do cálculo de probabilidades.

As principais propriedades do censo são:

• admite erro processual zero e tem confiabilidade 100 %;

• é caro;

• é lento;

• é quase sempre desatualizado;

• nem sempre é viável.

As principais propriedades da estimação são:

• admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que

100 %;

• é barata;

• é rápida;

• é atualizada;

• é sempre viável.

População – todos oselementos do conjuntoque interessa.

Amostra – subconjuntonão vazio de umapopulação

Parãmetro

Estimador

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Comentário Importante:

Estatisticamente, a precisão de um valor numérico é avaliada através do

binômio: confiança e erro processual.

Se admitirmos que podemos retirar do Censo todo tipo de erro de natureza

humana (erro de cálculo de avaliação, de anotação), restará apenas outro tipo de

erro devido ao procedimento empregado.

Este erro é chamado erro processual. No caso de um Censo, o erro

processual é zero, pois avaliamos um por um, todos os elementos componentes da

População.

Como o erro processual na avaliação é zero, a confiabilidade no parâmetro

obtido é 100 %. A precisão, no Censo é total.

Na estimação, como avaliamos apenas parte e não todos os elementos que

compõem a população, admitimos um erro processual positivo na avaliação do

valor numérico e por conseqüência uma confiabilidade menor que 100 %, sendo,

portanto, menos precisa que o Censo. (da SILVA; 1996,13)

A população pode ser, segundo o seu tamanho, finita ou infinita. É finita a

população que possui um número determinado de elementos; aa população infinita

possui um número infinito de indivíduos. Esta definição existe somente no campo

teórico, uma vez que, na prática, nunca encontraremos populações com infinitos

elementos mas, sim, populações com grande número de componentes e, nestes

casos, tais populações são tratadas como se fossem infinitas.

Quando a população é muito grande, torna-se difícil a observação dos

aspectos a serem estudados de cada um dos elementos, devido ao alto custo, ao

intenso trabalho e ao tempo despendido para levar a cabo uma exaustiva

observação de todos os componentes da população. Nessas circunstâncias, fazemos

a seleção de uma amostra suficientemente representativa da população e, através

da observação dessa amostra, estaremos aptos a analisar os resultados, da mesma

No Brasil, os censos são feitos pela Fundação

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

(Fundação IBGE), que obtém dados de toda a

população.

O censo demográfico é realizado a cada dez anos e

os seus resultados são corrigidos periodicamente

através da PNAD – Pesquisa Nacional por Amostra

Domiciliar.

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forma que se estudássemos toda a população, só que nesse caso sem os

inconvenientes anteriormente descritos.

Exercícios:

1 – Uma pesquisa foi realizada entre os alunos de um colégio. Considerando

os indicadores apresentados, identifique se o resultado foi baseado em uma

amostra ou em uma população:

a) todos os alunos foram abordados e indicaram a necessidade de

instalação de ventiladores nas salas de aula;

b) 75 % das meninas responderam os questionários e solicitaram

aulas de balé;

c) para obter informações sobre os inspetores responsáveis pelos

alunos do ensino médio foram consultadas somente as turmas da

manhã, sendo que existem turmas à tarde;

d) todos os alunos responderam que 80 % dos professores são muito

rigorosos nos critérios de avaliação.

2 – Para os casos acima, identifique se as características numéricas obtidas

são parâmetros ou estimativas.

3 – Em que situações será necessária a realização de um censo? Justifique.

1.3 – Estatística Indutiva e Descritiva

O tratamento estatístico de um conjunto de dados pode envolver dois

processos diferentes, isto é, a descrição dos dados e o estabelecimento de

conclusões sobre a população a partir dos dados obtidos por amostragem.

Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado a lidar

com grande número de valores numéricos resultantes de um Censo ou de uma

estimação.

Estes valores numéricos são chamados de dados estatísticos.

A definição do tamanho da amostra vai depender do

universo que estiver sendo pesquisado. Em alguns

casos, coma nas pesquisas eleitorais, utiliza-se uma

pequena fração da população e verifica-se resultados

bem positivos. A definição do tamanho da amostra é

objeto de estudo mais aprofundado.

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A Estatística ensina métodos racionais para a obtenção de informações a

respeito de um fenômeno coletivo, além de obter conclusões válidas para o

fenômeno e também permitir tomada de decisões, através de dados estatísticos

observados.

A Estatística pode ser dividida em duas áreas:

a) Estatística Descritiva, e

b) Estatística Indutiva.

Necessitamos, também, conceituar Estatística Indutiva:

Quando é realizado um Censo Demográfico, obtém-se informações sobre a

totalidade da população em um determinado período. Por exemplo, verifica-se qual

é a proporção entre homens e mulheres. Pode-se, através destes dados, verificar-

se qual foi a evolução do crescimento de homens e mulheres em relação a um

período anterior, pela simples comparação entre os dados. Neste caso são

utilizados conceitos de Estatística Descritiva.

Entretanto, se forem coletadas amostras em populações das capitais, por

exemplo, e a partir dos dados obtidos forem verificadas as proporções entre

Estatística Descritiva ou Dedutiva é aquela que tem por

objetivo descrever e analisar determinada população, sem

pretender tirar conclusões de caráter mais genérico.

Estatística Descritiva utiliza métodos numéricos e gráficos

para mostrar os padrões de comportamento dos dados, para

resumir a informação contida nesses dados e apresentar a

informação de forma conveniente.

Estatística Indutiva ou Inferência Estatística é a parte da

Estatística que, baseando-se em resultados obtidos da análise

de uma amostra da população, procura inferir, induzir ou

estimar as leis de comportamento da população da qual a

amostra foi retirada.

Estatística Indutiva é a parte da Estatística que tem por

objetivo obter e generalizar conclusões para a população a

partir de uma amostra, através do cálculo de probabilidade.

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homens e mulheres, poder-se-á, através de Estatística Indutiva, generalizar a

relação entre os sexos para a população como um todo.

A Estatística Descritiva, na sua função de descrição dos dados, tem as

seguintes atribuições:

a) obtenção dos dados estatísticos.

É normalmente feita através de um questionário ou de observação direta

de uma população ou amostra.

b) a organização dos dados.

Consiste na ordenação e crítica quanto à correção dos valores

observados, falhas humanas, omissões, abandono de dados duvidosos, etc.

c) a redução dos dados.

O entendimento e compreensão de grande quantidade de dados através

da simples leitura de seus valores individuais é tarefa extremamente árdua e difícil

mesmo para o mais experimentado pesquisador.

A Estatística Descritiva apresenta duas formas básicas para a redução do

número de dados com os quais devemos trabalhar, chamadas variável discreta e

variável contínua, que serão objeto de definições mais adiante.

d) A representação dos dados.

Os dados estatísticos podem ser mais facilmente compreendidos quando

apresentados através de uma representação gráfica, o que permite uma

visualização instantânea de todos os dados

Os gráficos – que serão objeto de estudo mais adiante, quando bem

representativos, tornam-se importantes instrumentos de trabalho.

São, ainda, atributos da Estatística Descritiva, visando facilitar a descrição

dos fenômenos observados: obtenção de médias, proporções, dispersões,

tendências, índices, taxas e coeficientes.

Exercícios:

1 – Quais são as principais atribuições da Estatística Descritiva?

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2 – Dados amostrais foram coletados e em função deles um pesquisador

concluir fatos para abranger toda a população. Em que ramo da Estatística este

pesquisador está atuando?

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1.4 – Var iáveis Qual i tat ivas. Var iáveis

Quantitativas:contínuas e discretas

Quando se realiza um levantamento, de um modo geral, para cada elemento

investigado, tem-se associado um resultado ( ou mias de um resultado)

correspondendo à realização de uma certa variável (ou variáveis). Vamos, para

exemplificar, supor que você deseje efetuar um levantamento sobre alguns

aspectos sócio-econômicos das famílias dos alunos matriculados no colégio em que

trabalha. Para cada família investigada tem-se associado um resultado (ou mais de

um resultado) correspondendo à realização de uma certa variável (ou variáveis).

No exemplo em questão, serão consideradas as seguintes variáveis: estado civil do

responsável, educação do responsável, número de filhos, salário familiar, idade do

responsável e estado de procedência.

Algumas variáveis como sexo, educação, estado civil, etc. apresentam como

possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado, ao

passo que outras como número de filhos, salário, estatura, etc. apresentam como

possíveis realizações números resultantes de uma contagem ou mensuração.

Tabela 1

Informação sobre dados sócio-econômicos das famílias dos alunos do Colégio XXX.

Responsável

Família

Estado

Civil

Educação

Número

de

Filhos

Idade

(anos/meses)

Estado de

Procedência

Salário

Familiar

(R$)

01 Casado Superior 02 39 a 05 m RJ 1.250,00

02 Solteiro Fundamental 03 40 a 07 m BA 2.152,00

03 Solteiro Fundamental 02 37 a 03 m RJ 1.870,00

04 Casado Médio 03 40 a 10 m SE 1.470,00

05 solteiro superior 04 38 a 02 m MG 1.120,00

Fonte: Dados Hipotéticos

As variáveis que possibilitam como realizações qualidade

ou atributos são denominadas de variáveis qualitativas.

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No caso acima, as variáveis estado civil, educação, estado de procedência,

são variáveis qualitativas, ao passo que as variáveis número de filhos, idade e

salário familiar são variáveis quantitativas.

Dentre as variáveis qualitativas, ainda podemos fazer distinção entre dois

tipos:

a) variável qualitativa nominal – para a qual não existe nenhuma

ordenação nas possíveis realizações, como é o caso do estado de

procedência;

b) variável qualitativa ordinal – para a qual existe uma certa ordem

nos possíveis resultados, como é o caso da educação, pois a

classificação em fundamental, médio ou superior correspondem a

uma ordenação baseada no número de anos de escolaridade.

As variáveis quantitativas também possuem classificação dicotômica:

a) variáveis quantitativas discretas – aquelas cujos possíveis valores

formam um conjunto finito ou enumerável de números e que

resultam, freqüentemente, de uma contagem, como por exemplo o

número de filhos. Como exemplo, temos o número de filhos (0, 1,

2, 3 ...).

b) variáveis quantitativas contínuas – aquelas cujos possíveis valores

formam um intervalo de números reais e que resultam,

normalmente, de uma mensuração, como por exemplo o salário

familiar.

Classificação de uma variável

As variáveis que apresentam como possíveis realizações

números resultantes de uma contagem ou mensuração

são denominadas variáveis quantitativas.

Nominal Qualitativa

Ordinal

Variável

Discreta Quantitativa

Contínua

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Para cada tipo de variável existem técnicas mais apropriadas para resumir

as informações.

1.5 – Arredondamento de Dados

Uma das questões que mais comumente interfere nos resultados de

questões envolvendo números é o arredondamento. Qual será a regra mais

adequada? Maior do que cinco arredonda para mais, menor do que cinco arredonda

para menos?

Vejamos uma regra bem simples:

a) em primeiro lugar precisamos determinar para quantas casas

decimais queremos arredondar o número;

b) vamos utilizar a regra do número par que precede.

Por exemplo:

- o resultado do arredondamento de um número como 72,8 para o inteiro

mais próximo é 73, posto que 72,8 é mais próximo de 73 do que de 72. De forma

semelhante, 72,8146 arredondado para o centésimo mais próximo, ou com duas

decimais, é 72,81, porque 72,8146 é mais próximo de 72,81 do que de 72,82.

- ao arredondarmos 72,465 para o centésimo mais próximo, entretanto,

deparamo-nos com um dilema pois 72,465 dista igualmente de 72,46 e de 72,47.

Utilizemos, então, a regra do número para que precede o cinco. Assim, 72,465 é

arredondado para 72,46; 183,575 é arredondado para 183,58.

A prática do arredondamento é especialmente valiosa para reduzir ao

mínimo os erros acumulados por arredondamento, quando trata-se de grande

número de operações.

1.6 – Notação Científica

Ao escrever números, especialmente aqueles que comportem muitos zeros,

antes ou depois da vírgula, é conveniente empregar a notação científica que utiliza

as potências de 10.

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Exemplos:

Número Notação Científica Número Notação Científica

10 101 0,00021 21 x 10-5

1.000 103 856.000.000 856 x 106

100.000 105 0,0000001 10-8

Note que, por exemplo, multiplicando-se 0 número 846 por 106, tem-se o

mesmo resultado que os deslocar a vírgula, para a direita, 6 (seis) casas. Já

multiplicando-se 21 por 10-5, tem-se o mesmo resultado do que deslocando-se a

vírgula para a esquerda 5 (cinco) casas.

A notação científica facilita a operação em muitos casos.

Por exemplo:

- sem o auxílio de uma máquina de calcular, vamos determinar o resultado

de (4.000.000) x (0,0000000002).

Em primeiro lugar:

4.000.000 = 4 x 106 e 0,0000000002 = 2 x 10-10

Desta forma, passamos a ter:

(4)x(106)x(2)x(10-10)

= (4)x(2)x(106)x(10-10)

= 8 x (106-10)

= 8 x 10-4 = 0,0008

Um exemplo utilizando a divisão:

- Qual será o resultado de 20.000 dividido por 0,005?

Na operação acima foi efetuada uma multiplicação com

potências de mesma base, ou seja, números em potência

de 10. Na multiplicação de potências de mesma base,

repete-se a base e soma-se os expoentes, respeitando-se

os sinais dos expoentes.

No caso de divisão, repete-se a base e subtrai-se os

expoentes, respeitando-se os sinais dos expoentes.

Talvez seja necessário que você efetue uma revisão nos

conceitos fundamentais de matemática, para tanto

consulte livros de Matemática Básica.

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20.000 = 20 x 103

0,005 = 5 x 10-3

(20)x(103) : (5)x(10-3) = (20):(5)x(103:10-3) = 4 x (10 3-(-3)) = 4 x 106

1.7 – Gráficos

Um gráfico é uma representação gráfica da relação entre variáveis. Muitos

tipos de gráficos são empregados na estatística, dependendo da natureza dos

dados pertinentes e da finalidade para a qual ele é destinado.

Um gráfico corresponde à representação dos dados sob diferentes formas

gráficas, a fim de permitir uma visão rápida e global do fato estudado. De uma

maneira geral, pode-se dizer que os gráficos devem ser confeccionados de maneira

simples e clara, de tal sorte que o observador entenda claramente aquilo que o

gráfico busca evidenciar, sem necessidade de ficar procurando adivinhar o que ele

representa. É extremamente importante que o gráfico seja construído com

honestidade buscando retratar a realidade.

A maioria dos gráficos são construídos no plano cartesiano, ou seja entre

eixos coordenados – abscissas e ordenadas.

A abscissa é o eixo horizontal e a ordenada o eixo vertical. Ambos são

representativos de escalas de grandeza e o ponto onde se encontram é denominado

origem.

Exemplo:

Para a construção de um gráfico é necessário que sejam seguidas algumas

regras:

1 – todo gráfico deve ter título e escala;

2 – o título deve ser escrito acima do gráfico;

Ordenada

Abscissa

Origem

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3 – no eixo das abscissas a escala cresce da esquerda para a direita e é

escrita embaixo do eixo;

4 – no eixo das ordenadas a escala cresce de baixo para cima e é escrita à

esquerda do eixo;

5 – nos dois eixos devem estar identificadas as variáveis ali representadas;

6 – as linhas auxiliares (grade) são opcionais, mas ajudam a leitura;

7 – os gráficos podem exibir, em rodapé, a fonte, isto é, a instituição, o

pesquisador, ou o grupo de pesquisadores que forneceu o gráfico ou os dados que

permitiram a construção do gráfico.

Os principais tipos de gráficos são:

a) gráfico de linhas;

b) gráfico de colunas;

c) gráfico de barras e,

d) gráfico de setores.

Para que possamos construir os gráficos enumerados acima, vamos utilizar

um exemplo hipotético.

Exemplo:

Um levantamento feitos na Secretaria de uma escola, com relação ao

número de alunos que não adimpliram o pagamento das mensalidades, no

vencimento, no primeiro semestre do ano 20XX, possibilitou a elaboração da tabela

abaixo:

Outros tipos de gráficos são utilizados. Na estatística é

extremamente utilizado o HISTOGRAMA. Adiante será verificada a

técnica de construção do histograma, após as definições relativas

às distribuições de freqüência.

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Número de alunos que não adimpliram as mensalidades,

no vencimento, no primeiro semestre de 20XX.

Meses Número de alunos

Janeiro 17

Fevereiro 12

Março 09

Abril 19

Maio 13

Junho 16

Fonte: dados hipotéticos.

Com base nos dados apresentados vamos construir cada um dos gráficos

enumerados.

a) Gráfico de Linhas

Para a construção do gráfico de linhas, siga os seguintes passos:

1 – trace o sistema de eixos cartesianos;

2 – apresente a variável (meses) no eixo das abscissas e as freqüências

(número de alunos) no eixo das ordenadas;

3 – marque as interseções de cada par ordenado (mês x número de alunos);

4 – para cada interseção faça um ponto bem visível;

5 – uma os pontos, e

5 – coloque o título na figura.

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Número de alunos que não adimpliram, no vencimento, as mensalidades do primeiro

semestre de 20XX

0510

1520

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

Junho

Meses

mer

o d

e A

lun

os

Observe que o gráfico permite visualizar a evolução dos dados, permitindo

que sejam efetuadas conclusões, tais como:

a) há um decréscimo da inadimplência entre janeiro e março;

b) acentua-se a inadimplência no mês de abril.

Vamos, agora, construir, para o mesmo exemplo, um gráfico de colunas.

b) Gráfico de Colunas

Para construir um gráfico de colunas, siga os seguintes passos:

a) trace o sistema de eixos cartesianos;

b) apresente a variável no eixo das abscissas e as freqüências nos eixos das

ordenadas;

c) para representar a variável, construa colunas com bases de mesma

largura, mas alturas iguais às respectivas freqüências, e

d) coloque o título na figura.

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Número de alunos que não adimpliram as mensalidades, no vencimento, no primeiro

semestre de 20XX

0

5

10

15

20

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho

Meses

mer

o d

e al

un

os

Veja que o Gráfico de Colunas permite visualizar, também, os mesmos

elementos descritos no gráfico de linhas.

Pode-se, com o auxílio do Microsoft Excel, construir algumas variações do

gráfico de colunas, como, por exemplo, o gráfico de colunas em três dimensões

(3D). As informações obtidas são as mesmas, somente a aparência muda.

Gráfico de Colunas em 3D

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

Junho

S105101520

mer

o

de

alu

no

s

Meses

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades, no vencimento, no primeiro

semestre de 20XX

c) Gráfico de Barras

A construção do Gráfico de barras é muito similar à construção do gráfico de

colunas, o que ocorre é uma inversão dos eixos, ou seja, no gráfico de barras as

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20

variáveis são representadas no eixo das ordenadas e as freqüências nos eixos das

abscissas.

Para construir um gráfico de barras, siga os seguintes passos:

1 – trace o sistema de eixos cartesianos;

2 – apresente a variável no eixo das ordenadas e as freqüências no eixo das

abscissas;

3- para representar a variável, construa barras com bases de mesma

largura, mas comprimentos iguais às respectivas freqüências;

4 – coloque o título da figura.

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades, no vencimento, no primeiro

semestre de 20XX

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

Junho

Meses

mer

o

de

alu

no

s

d) Gráfico de Setores

O gráfico de setores, também denominado de “gráfico de pizza” , possibilita

visualizar a importância relativa de cada variável no conjunto. Em outras palavras,

permite verificar qual é a participação percentual de cada elemento na formação do

conjunto avaliado.

Para a construção de um gráfico de setores inicialmente é necessário que

seja determinada a participação relativa de cada variável e para tal utiliza-se o

princípio das proporções.

Vejamos a tabela inicial:

Page 21: Estatística Aplicada

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21

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades,

no vencimento, no primeiro semestre de 20XX.

Meses Número de alunos

Janeiro 17

Fevereiro 12

Março 09

Abril 19

Maio 13

Junho 16

Fonte: dados hipotéticos.

Vamos efetuar a soma dos número de alunos que não adimpliram a

mensalidade, em todo o semestre:

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades,

no vencimento, no primeiro semestre de 20XX.

Meses Número de alunos

Janeiro 17

Fevereiro 12

Março 09

Abril 19

Maio 13

Junho 16

TOTAL 86

Fonte: dados hipotéticos.

O total, ou seja 86 alunos, corresponde a 100 % dos eventos.

Pode-se determinar através da Regra de Três, a participação de cada mês na

formação total. Desta forma estaremos calculando a freqüência relativa de cada

mês.

Para o mês de Janeiro, teremos:

86 -------- 100 %

17 --------- X %

Sabendo-se que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, têm-

se que:

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22

86 x X = 17 x 100 %

logo,

X = (17 x 100%) / 86

X = 19,8 %

O valor encontrado indica que 19,8 % das ocorrências verificados no

semestre foram no mês de janeiro.

Vamos calcular os valores para os outros meses:

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades,

no vencimento, no primeiro semestre de 20XX.

Fonte: dados hipotéticos.

Para a construção de um gráfico de setores, deve-se seguir os seguintes

passos:

1 – trace uma circunferência. A área do círculo representará o total, isto é,

100 %;

2 –lembre-se de que uma circunferência tem 360º. Então, se aos 100%

correspondem 360º, a freqüência relativa de cada mês (no exemplo),

corresponderá um setor cujo ângulo será calculado através de :

Yº = (360º x freqüência relativa) / 100

3– marque os valores dos ângulos calculados na circunferência (com o

auxílio de um transferidor) e trace raios separando os setores;

4 – faça um tracejado ou utilize cores diferentes para cada setor, para

facilitar a visualização;

5 – coloque o título na figura.

Meses Número de alunos

Freqüência

Relativa

Janeiro 17 19,8

Fevereiro 12 14,0

Março 09 10,5

Abril 19 22,0

Maio 13 15,1

Junho 16 18,6

TOTAL 86 100,0

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23

Vamos calcular os ângulos de cada um dos setores do exemplo:

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades,

no vencimento, no primeiro semestre de 20XX.

Meses Número de alunos

Freqüência

Relativa

Ângulo

Janeiro 17 19,8 71,28

Fevereiro 12 14,0 50,40

Março 09 10,5 37,80

Abril 19 22,0 79,20

Maio 13 15,1 54,36

Junho 16 18,6 66,96

TOTAL 86 100,0 360,00

Fonte: dados hipotéticos.

Após calculados os ângulos, tem-se que:

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades, no vencimento, no primeiro

semestre de 20XX

Janeiro Fevereiro

Março Abril

Maio Junho

Na construção do gráfico de setores, pode-se utilizar alguns artifício, visando

facilitar a visualização dos valores. Pode-se indicar no próprio gráfico o percentual

aproximado de cada setor, ou efetuar-se a “explosão” dos setores.

Veja os exemplos abaixo:

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24

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades, no vencimento, no primeiro

semestre de 20XXJaneiro20%

Fevereiro14%

Março10%Abril

22%

Maio15%

Junho19%

ou

Número de alunos que não adimpliram as mensalidades, no vencimento, no primeiro

semestre de 20XXJaneiro20%

Fevereiro14%

Março10%Abril

22%

Maio15%

Junho19%

A utilização do Microsoft Excel facilitará sobremaneira

a construção dos gráficos. Procure familiarizar-se com

a planilha eletrônica e utilize o tutorial gráficos para a

construção.

Page 25: Estatística Aplicada

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25

2 – Distribuições de Freqüência

2.1 – Dados brutos

Quando são realizados levantamentos estatísticos normalmente são obtidos

um número muito grande de dados, o que dificulta a visualização dos resultados.

É necessário que os dados sejam “arrumados”, postos em ordem, para que

se possa tirar as conclusões que levaram a obtenção dos dados.

Quando um conjunto de dados é coletado, os dados estão geralmente em

forma bruta, isto é, as observações numéricas não estão arrumadas em qualquer

ordem ou seqüência específica.

Conforme o número de observações cresce, vai-se tornando muito difícil

focalizar os principais aspectos em um conjunto de dados; assim precisamos de

meios para organizar as observações de modo que possamos compreender melhor

que informações os dados estão comunicando.

Vamos supor, por exemplo, que sejam coletadas as notas de 20 alunos em

um trabalho de História e que se obtenha os seguintes valores:

X: 2; 3; 2; 1; 2; 1; 2; 3; 2; 2; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 3; 2; 3; 1.

Não está importando, para a análise, a correlação entre que aluno tirou qual

nota, ou seja, o que está em observação são as notas.

Deve-se, então, para facilitar a observação, ordenar os dados.

Vamos ordena-los em ordem crescente:

X: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3.

Os dados coletados estão originalmente na forma

bruta, ou seja, são DADOS BRUTOS, que necessitam

ser “lapidados” para que se possa obter conclusões

sobre eles.

Dados brutos são aqueles que não foram

numericamente organizados.

Page 26: Estatística Aplicada

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26

2.2 – Rol

Os dados ordenados são denominados de ROL.

A construção de um rol é imprescindível para que se possa efetuar análises e

observações nos dados coletados.

É a partir do rol que poder-se-á verificar qual será a forma mais eficiente de

representar de forma tabular os dados obtidos.

Quando os valores distintos forem em número reduzido pode-se optar pela

representação através de uma variável discreta. Quando o número de valores

distintos for grande, normalmente a melhor opção será a construção de uma

variável contínua.

2.3 – Distribuição de Freqüência

Representar os dados obtidos em um levantamento através de uma

distribuição de freqüência é o passo inicial para que se possa efetuar as análises

necessárias dos dados.

Representar os dados de forma tabular – através de uma tabela, é dispor os

dados de maneira ordenada.

Vamos necessitar de um conceito:

Observe que no conjunto apresentado, o número de elementos distinto da

série – no caso as notas, é pequeno (1, 2 e 3). Neste caso, torna-se fácil reduzir o

conjunto em uma única tabela.

Como o número de elementos distinto é pequeno, podemos utilizar uma

variável discreta para a representação da série de valores.

Neste caso, vamos dispor o conjunto em duas colunas: na primeira iremos

colocar os valores distintos em ordem crescente e na segunda coluna colocaremos

FREQÜÊNCIA SIMPLES de um elemento é o

número de vezes que este elemento figura no

conjunto de dados.

Rol é o arranjo dos dados brutos em ordem de

grandeza crescente ou decrescente.

Page 27: Estatística Aplicada

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27

os valores das freqüências simples – número de vezes que cada valores é

verificado.

Os valores distintos, ou seja as variáveis, serão representados pela notação

xi, ou seja – x índice i, onde i representa a ordem do valor, a classe.

As freqüências serão representadas por fi, ou seja – f índice i,

Desta forma, teremos:

Notas dos alunos no trabalho de História

Notas (xi) Freqüência (fi)

1 6

2 8

3 6

Fonte: dados hipotéticos.

Observe que conseguiu-se reduzir um conjunto de 20 elementos que

constituíam a série original, para apenas 6, distribuídos em pares que possibilitam

uma perfeita visualização dos elementos observados.

Ocorre, entretanto, que o número de elementos distinto é muito grande.

Nestes casos, a construção de uma variável discreta não é aconselhável, pois

dificultaria a análise.

Nestes casos, deve-se utilizar a variável contínua.

Vamos, por exemplo, identificar as notas atribuídas para os alunos de uma

turma em uma prova de Língua Portuguesa:

A opção pela variável discreta só é possível quando

o número de elementos distintos da série for

pequeno.

A construção de uma variável discreta é

bastante simples. Basta observar quais são os

elementos distintos da seqüência, ordena-los, e

coloca-los na primeira coluna da tabela. Em

seguida computar a freqüência simples de cada

elementos distinto e colocá-la na segunda coluna

da tabela.

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28

Y: 7,2 4,9 9,8 6,4 4,8 4,6 6,8

5,9 8,5 8,7 1,2 2,5 4,3 6,7

9,5 5,4 1,3 7,6 5,9 6,7 8,6

9,5 9,3 7,4 8,6 8,1 5,9 1,8

7,8 7,2 8,4 6,8 8,2 6,9 7,4

6,3 4,6 4,9 8,7 9,3 8,8 5,8

Observando os valores nota-se grande número de elementos distintos, o que

significa que neste caso a variável discreta não é aconselhável na redução de

dados.

Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixas de valores,

ficando a série com a seguinte apresentação:

Tabela XXX

Notas dos alunos da Turma XX em Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência (fi)

1 0 __ 2 3

2 2 __ 4 1

3 4 __ 6 11

4 6 __ 8 13

5 8 __10 14

Fonte: Dados hipotéticos

Esta apresentação da série de valores é denominada variável contínua.

Deve-se optar por uma variável contínua na

representação de uma série de valores quando o

número de elementos distintos da série for grande.

A construção de uma variável contínua requer que

sejam abordados alguns conceitos: intervalos e limites

de classe, limites de classes e amplitude do intervalo

de classe. Inicialmente serão abordados estes

conceitos, para depois verificar-se a metodologia para

a construção de uma variável contínua.

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29

2.4 – Intervalos e Limites de Classe

Uma variável contínua é disposta através de classes, isto é, os dados são

dispostos em grupos distintos, que, entretanto, apresentam características

semelhantes.

Um bom exemplo para demonstrar a divisão de um conjunto de dados em

classes é a divisão de um grupo de crianças para um torneio esportivo.

Normalmente as crianças são divididas por grupos de idades: até 7 anos; maiores

do que 7 anos até 9 anos; maiores do que 9 anos até 11 anos.

O que foi feito foi a divisão em classes.

Neste caso, ter-se-ia:

Classe 1 Até 7 anos

Classe 2 > 7 anos até 9 anos

Classe 3 > 9 anos até 11 anos

Observa-se que as classes representam grupos de crianças com idades

diferentes, mas que os intervalos de idades são iguais, exceto para a primeira

classe que inclui todas as crianças com idades inferiores a 7 anos.

Existes várias maneiras de apresentar-se o intervalo de classe: iguais ou

diferentes entre si. Porém, sempre que possível, deve-se optar por intervalos

iguais, o que facilitará os cálculos posteriores. Mas mesmo com intervalos iguais, as

distribuições poderão apresentar-se das seguintes formas: (a Classe 2 do exemplo

acima servirá como modelo)

7 __ 9 Compreende todas as idades entre 7 e 9, exclusive os extremos.

7 ___ 9 Compreende todas as idades entre 7 e 9, inclusive os extremos.

7 __ 9 Compreende todas as idades entre 7 e 9, inclusive o 9 e exclusive

o 7.

7 __ 9 Compreende todas as idades entre 7 e 9, inclusive o 7 e

exclusive o 9.

Em um intervalo, quando diz-se inclusive, quer se dizer

que o número pertence ao intervalo considerado, ou seja,

o número está contido no intervalo.

Quando diz-se exclusive, quer se dizer que o número não

pertence ao intervalo, ou seja, o número não está contido

no intervalo.

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30

Vamos optar pelo último tipo (7 __ 9), e desta forma podemos definir

como intervalo de classe a diferença entre o limite superior e o limite inferior

da classe. Portanto, no exemplo, 9 – 7 = 2 é o intervalo ou amplitude do

intervalo de classe.

Será utilizado L para representar o limite superior de uma classe, e l para

representar o limite inferior de uma classe.

2.5 – Amplitude do Intervalo de Classe

A definição da amplitude do intervalo de classe é de suma importância para

a construção de uma variável contínua.

Para identificar a amplitude do intervalo de classe será utilizado h.

Desta forma, então, tem-se que:

As classes possuem LIMITES. Como limite podemos

interpretar onde inicia e onde termina uma classe. O

LIMITE INFERIOR é onde começa uma classe, é o

ponto de partida; o LIMITE SUPERIOR é onde

termina a classe.

AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE é a diferença

entre o limite superior e o limite inferior da classe.

H = L - l

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31

Necessita-se um conceito adicional: o de amplitude total de uma

seqüência.

Representando

a amplitude total por At, o maior elemento da seqüência por Xmáx e o menor

elemento da seqüência por Xmin, a amplitude total será denotada por

At = Xmáx - Xmin

2.6 – Ponto Médio de uma Classe

O ponto médio de uma classe (mi), é o ponto intermediário do intervalo de

classe.

É obtido somando-se o limite inferior ao limite superior e dividindo-se por 2.

Na realidade, as classe não precisam necessariamente ter a mesma

amplitude. Porém, sempre que possível devemos trabalhar com

classes de mesma amplitude. Isto facilita sobremaneira os cálculos

posteriores.

Note que foi usado para representar a classe, intervalo real semiaberto

à direita. Isto significa que o intervalo contém o limite inferior, mas

não contém o limite superior. No caso da classe 2, significa dizer que

ela contém os valores reais maiores ou iguais a 7 e os valores menores

que 9.

A adoção dos intervalos semiabertos pode gerar algum empecilho para

a definição e interpretação dos valores da última classe, em especial

para a definição do seu limite superior. A prática favorecerá o melhor

entendimento.

AMPLITUDE TOTAL DE UMA SEQÜÊNCIA é a diferença

entre o maior e o menor elemento de uma seqüência.

É importante verificar que, quando não dispusermos dos

dados, o cálculo da amplitude se fará levando-se em

consideração a diferença entre o limite superior da

última classe e o limite inferior da primeira classe.

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32

Assim, o ponto médio da Classe 2 do exemplo é (7 + 9)/2 = 16/2 = 8.

O ponto médio de uma classe (mi) é a média aritmética

entre o limite inferior (l) e o limite superior da classe

(L).

Para as finalidades das análise posteriores, admitir-se-á

quer todas as observações relativas a um determinado

intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.

Quando é possível analisar os dados bruto ou o rol que

deram origem à distribuição de freqüência, é fácil efetuar-

se a contagem de cada um dos elementos que formam a

distribuição. Entretanto, quando só de dispõe da

distribuição (através de variável contínua), é impossível

determinar-se quantitativamente cada um dos

componentes da distribuição. Desta forma a utilização do

ponto médio é de fundamental importância para a análise

dos dados.

Page 33: Estatística Aplicada

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33

2.7 – Regras Gerais para Elaborar uma Distribuição de

Freqüência – variável contínua.

Utilizando tanto os dados brutos, como uma distribuição ordenada – rol, o

pesquisador deseja construir as tabelas e gráficos apropriados que irão possibilitar

as conclusões.

É necessário que se organize os dados, à medida em que o número de

observações aumenta, ou seja, faz-se necessário condensar ainda mais os dados

nas tabelas adequadas.

Assim, precisa-se organizar os dados em grupos de classes, de acordo com

as divisões do intervalo de observações estabelecidas de modo conveniente. Tal

organização dos dados em tabelas é chamada de distribuição de freqüência.

Quando as observações são agrupadas ou condensadas em tabelas de

distribuição de freqüência , o processo de análise e interpretação de dados torna-se

mais fácil de manejar e mais significativo. Nesta forma resumida, as principais

características dos dados podem ser aproximadas, compensando desse modo o fato

de que, quando os dados estão demasiadamente agrupados, as informações iniciais

pertinentes a observações individuais, que se encontravam anteriormente

disponíveis, são perdidas ao longo do processo de agrupamento ou condensação.

A construção de uma distribuição de freqüência – variável contínua, deve

atentar para os seguintes detalhes:

a) seleção do número apropriado de grupos de classes;

b) a obtenção de um intervalo de classe e amplitude apropriados para cada

grupo de classe, e

c) o estabelecimento de limites para cada grupo de classe a fim de evitar a

sobreposição.

Uma distribuição de freqüência é uma tabela resumida

na qual os dados são organizados em grupos de classe

ou categorias convenientemente estabelecidas e

numericamente ordenadas. (LEVINE; 2000,60)

Page 34: Estatística Aplicada

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34

O número de classe a ser utilizado depende muito da experiência do

pesquisador e das questões que ele pretende responder com a variável contínua.

Utilizando o exemplo das notas atribuídas aos alunos em uma prova de

Língua Portuguesa, verifica-se que o total de observações é de 42 dados.

Não estaria errado a construção da tabela abaixo:

Tabela XXX

Notas dos alunos da Turma XX em Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência (fi)

1 0 __ 10 42

Fonte: Dados hipotéticos

Entretanto, através de uma tabela tão resumida, não se obtém nenhuma

informação adicional que já não fosse conhecida a partir do exame dos dados

brutos ou da análise do rol. Uma tabela com uma concentração muito grande de

dados não é significativa.

É necessário que o número de classes seja bem definido para análises

realmente conclusivas.

Vamos verificar o critério para a determinação do número de classes de uma

distribuição de freqüência pelo denominado critério da raiz.

- Critério da Raiz

Se a seqüência estatística contém n elementos e se indicarmos por K o

número de classes a ser utilizado, então pelo critério da raiz:

Como o número K de classes deve ser necessariamente um número inteiro e

como dificilmente o resultado é um número inteiro, deixa-se como opção para o

valor de K o valor inteiro mais próximo do resultado, uma unidade a menos ou a

mais que este valor.

No exemplo (notas de alunos em uma prova de Língua Portuguesa), verifica-

se que n (número de elementos) é igual a 42.

nK =

O número de elementos total de uma

distribuição é, conforme será abordado mais

adiante, a freqüência total da distribuição.

Page 35: Estatística Aplicada

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35

Para a determinação do número de classes deve-se proceder o cálculo:

Tem-se que K = 6,4807406984, portanto o valor inteiro mais próximo do

resultado é 6. As opções para K então são: 5, 6 e 7.

Necessita-se verificar qual é a amplitude total da seqüência, e para tanto,

inicialmente, necessita-se verificar qual é o valor mínimo e qual é o valor máximo,

e para tanto é aconselhável que os dados brutos estejam organizados em ordem

crescente (rol).

Dados Brutos

Y: 7,2 4,9 9,8 6,4 4,8 4,6 6,8

5,9 8,5 8,7 1,2 2,5 4,3 6,7

9,5 5,4 1,3 7,6 5,9 6,7 8,6

9,5 9,3 7,4 8,6 8,1 5,9 1,8

7,8 7,2 8,4 6,8 8,2 6,9 7,4

6,3 4,6 4,9 8,7 9,3 8,8 5,8

Dados Organizados em ordem crescente (ROL)

Y: 1,2 4,6 5,9 6,7 7,4 8,4 8,8

1,3 4,8 5,9 6,8 7,4 8,5 9,3

1,8 4,9 5,9 6,8 7,6 8,6 9,3

2,5 4,9 6,3 6,9 7,8 8,6 9,5

4,3 5,4 6,4 7,2 8,1 8,7 9,5

4,6 5,8 6,7 7,2 8,2 8,7 9,8

Desta forma verifica-se que Xmáx = 9,8 e que Xmín = 1,2.

Logo, como At = Xmáx - Xmin,

têm-se At = 9,8 – 1,2

At = 8,6.

42=K

Page 36: Estatística Aplicada

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36

A amplitude do intervalo de classe que é designada por h, é determinada da

seguinte forma:

Utilizando o critério do par mais próximo para o arredondamento, verifica-se

que h = 1,4.

O critério adotado para o intervalo de classe é o semi-aberto à direita,

deve-se, então, proceder o ajuste dos valores.

Para que todos os valores sejam alocados na distribuição, passaremos a

considerar que Xmin = 1 e que Xmáx = 10, logo At = 9. Desta forma, considerando

K = 6, h = 1,5.

Então, a variável contínua terá a seguinte forma:

K

Ah t=

O número de classes a ser utilizado depende muito

da experiência do pesquisador e das questões que

ele pretende responder com a variável contínua.

Quando foram ampliados os valores mínimos e

máximos, não foram alteradas as características da

distribuição, pois, conforme será verificado, em uma

variável contínua o que vai identificar uma classe

será o seu ponto médio.

Page 37: Estatística Aplicada

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37

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência

1 1 __ 2,5 3

2 2,5 __ 4 1

3 4 __ 5,5 7

4 5,5 __ 7 11

5 7 __ 8,5 9

6 8,5 __ 10 11

Total 42

Fonte: dados hipotéticos.

A variável contínua é conceituada como uma representação tabular em que

coloca-se na primeira coluna os intervalos de classe e na segunda coluna os valores

das freqüências simples correspondentes.

A coluna “classe” tem a finalidade apenas de facilitar a referência às classes,

não fazendo parte da variável contínua.

O quadro final tanto da variável discreta como da variável contínua é

denominado de distribuição de freqüência.

A representação tabular final apresenta intervalos

e freqüências diferentes da apresentada

inicialmente, pois agora foram utilizadas as

técnicas corretas para sua elaboração.

Page 38: Estatística Aplicada

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38

2.8 – Freqüência : simples, acumulada e relativa.

A distribuição de freqüência deve ser utilizada como elemento que possibilite

a análise dos dados.

Verifica-se que os dados devidamente distribuídos permite a melhor

visualização de como, no exemplo apresentado, as notas foram distribuídas entre

os alunos. Pode ser constatado que 11 alunos obtiveram notas iguais ou superiores

a 5, 5, porém inferiores à 7.

a) Freqüência Simples (fi).

A freqüência simples é resultante da “contagem” dos dados pertencentes à

cada classe.

A freqüência simples é a que aparece na forma original da distribuição de

freqüência.

b) Freqüência acumulada ( facm)

A freqüência acumulada irá representar o número de elementos até a classe

que está sendo visualizada, ou seja, é a soma da freqüência simples desta classe

com as freqüências simples das classes anteriores.

No exemplo, tem-se que:

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência Freqüência

Acumulada

1 1 __ 2,5 3 3

2 2,5 __ 4 1 4

3 4 __ 5,5 7 11

4 5,5 __ 7 11 22

5 7 __ 8,5 9 31

6 8,5 __ 10 11 42

Total 42

Fonte: dados hipotéticos.

Page 39: Estatística Aplicada

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39

Os valores representados na coluna FREQUÊNCIA ACUMULADA representam

o número de eventos que estão contidos nas classes de forma cumulativa. Desta

forma, verifica-se que 22 alunos obtiveram notas inferiores a 7, ou seja, a

freqüência cumulada da Classe 3.

A freqüência acumulada da última classe da distribuição deve ser igual à

freqüência total, pois estarão sendo considerados todos os dados da distribuição.

c) Freqüência relativa (frel ou f %)

A freqüência relativa permitirá que sejam verificadas a participação

percentual de cada grupo de notas.

Qual foi o percentual de alunos com notas iguais ou superiores a 5,5, porém

inferiores a 7?

Para que se possa responder a esta pergunta, é necessário que lembremos

que a totalidades dos dados dispostos corresponde à 100 % da distribuição. Logo,

no exemplo, o total de alunos – 42, corresponde à 100 %.

A freqüência relativa de cada classe é a relação percentual da freqüência

simples de cada classe para a formação da freqüência total.

Mais uma vez necessita-se da Regra de Três:

f total .................... 100 %

f i ......................... f %

Então, para a determinação da freqüência relativa de cada classe, basta que

multiplique-se a freqüência simples da classe por 100 e divida-se o resultado pela

freqüência total.

Desta forma, as freqüências relativas da distribuição ficarão assim dispostas:

total

irel f

xff

100=

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40

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência Freqüência

relativa

1 1 __ 2,5 3 7,14 %

2 2,5 __ 4 1 2,38 %

3 4 __ 5,5 7 16,67 %

4 5,5 __ 7 11 26,19 %

5 7 __ 8,5 9 21,43 %

6 8,5 __ 10 11 26,19 %

Total 42 100,00 %

Fonte: dados hipotéticos.

Assim é possível verificar-se que, por exemplo, 26,19 % dos alunos

obtiveram notas maiores ou iguais a 5,5 e menores do que 7 (Classe 3).

d) Freqüência relativa acumulada (frel acm)

A freqüência relativa acumulada irá representar a participação percentual

dos elementos até a classe que está sendo visualizada, tomando por base a

freqüência acumulada da classe.

Da mesma forma que é feito para a determinação da freqüência relativa,

toma-se por base que o total da distribuição corresponderá à 100 %.

Desta forma, tem-se que:

A soma das freqüências relativas deve ser

igual a 100 %, já quem estarão sendo

consideradas todas as classes da

distribuição de freqüência.

Page 41: Estatística Aplicada

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41

f total .................... 100 %

f acm ......................... f rel acm %

Então, para a determinação da freqüência relativa acumulada de cada

classe, basta que multiplique-se a freqüência simples da classe por 100 e divida-se

o resultado pela freqüência total.

No exemplo, tem-se que:

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência

Freqüência

Acumulada

Freqüência

Relativa

acumulada

1 1 __ 2,5 3 3 7,14 %

2 2,5 __ 4 1 4 9,52 %

3 4 __ 5,5 7 11 26,19 %

4 5,5 __ 7 11 22 52,38 %

5 7 __ 8,5 9 31 73,81 %

6 8,5 __ 10 11 42 100,00 %

Total 42

Fonte: dados hipotéticos.

Observe que a freqüência relativa acumulada da última classe deve ser igual

à 100 %, por estar considerando a distribuição como um todo.

Assim, a distribuição de freqüência, considerando os elementos que foram

determinados até agora, ficará disposta da seguinte forma:

total

acmrelacm f

xff

100=

Page 42: Estatística Aplicada

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42

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência

Freqüência

Acumulada

Freqüência

relativa

Freqüência

Relativa

acumulada

1 1 __ 2,5 3 3 7,14 % 7,14 %

2 2,5 __ 4 1 4 2,38 % 9,52 %

3 4 __ 5,5 7 11 16,67 % 26,19 %

4 5,5 __ 7 11 22 26,19 % 52,38 %

5 7 __ 8,5 9 31 21,43 % 73,81 %

6 8,5 __ 10 11 42 26,19 % 100,00 %

Total 42 100,00 %

Fonte: dados hipotéticos.

É aconselhável ao se dispor os dados sob a

forma de uma distribuição de freqüência, que

sejam determinadas as freqüências acumulada,

relativa e relativa acumulada, pois desta forma

ter-se-á um volume de informações muito úteis

para o pesquisador.

Page 43: Estatística Aplicada

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43

3 . Medidas de Tendência Central e

Separatrizes

Nos capítulos anteriores foi visto com apresentar dados numéricos tanto em

forma de tabelas quanto na forma de gráficos. Agora, como pode-se fazer essas

informações terem sentido?

A apresentação gráfica dos dados é um componente essencial da Estatística

Descritiva, porém não retrata toda a sua abrangência. A boa análise dos dados não

envolve somente apresentar os dados numéricos e observar o que os dados estão

tentando transmitir, mas também envolve calcular e resumir as funções-chave e

analisar os resultados encontrados. (LEVINE; 2000,118)

Em qualquer análise e/ou interpretação, várias medidas descritivas

representado as propriedades de tendência central, variação e formato podem ser

utilizadas para extrair e resumir as principais características do conjunto de dados.

Se essas medidas descritivas forem calculadas através de uma amostra de dados,

elas serão chamadas de estatísticas; caso sejam calculadas através de toda uma

população de dados, elas serão chamadas de parâmetros. (LEVINE; 2000,119)

As três principais propriedades que descrevem um conjunto de dados

numéricos são:

a) Tendência central

A maioria dos dados apresenta uma diferente tendência de se agrupar ou

concentrar em torno de um ponto central. Assim sendo, para um conjunto de

dados, em particular, geralmente se torna possível selecionar um valor típico ou

média para descrever todo o conjunto. Tal valor típico é uma medida de

localização ou tendência central.

b) Variação

Uma segunda propriedade importante que descreve um conjunto de dados

numéricos é a variação. Variação é a quantidade de dispersão nos dados. Dois

conjuntos de dados podem divergir tanto na medida central como na variação, da

mesma forma que dois conjuntos de dados podem ter as mesmas medidas de

tendência central, porém divergir bastante em termos de variação.

Page 44: Estatística Aplicada

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44

c) Formato

O formato da população é obtido através de uma comparação relativa entre

algumas medidas de tendência central.

Para facilitar o entendimento de diversas fórmulas que serão apresentadas,

faz-se necessário que sejam apresentados alguns conceitos, dentre os quais:

índice, notação por índice e notação em somatório.

3.1 – Índices ou notação por índices.

Suponha uma série com os seguintes elementos:

Y = { 2, 3, 4, 6, 7, 9 }

Há, na disposição dos dados, uma correlação entre o elemento e a posição

que ele ocupa da série.

O número 2 ocupa a primeira posição na série; o número 6 ocupa a quarta

posição na série.

Pode-se, então, convencionar que uma série pode ser identificada por

simbologias que representem o elemento e a posição que ele ocupa.

Supondo que o conjunto de dados Y seja representativo das notas de um

aluno.

Então, o conjunto Y é formado por variáveis notas, que podem ser

representadas pela letra X. Cada nota ocupa uma posição no conjunto, e cada

posição passará a ser representada pelo índice i.

Desta forma, o conjunto Y pode ser identificado pela seguinte notação:

Y = { X1, X2, X3, X4, X5, X6 }

Onde X é a variável (nota) e 1, 2, etc, a posição de cada nota no conjunto.

Pode-se dizer que o conjunto Y é formado por um conjunto de variáveis Xi

(leia-se X índice i ).

A notação em índice é muito útil pois possibilita a identificação imediata do

elemento que está em foco, sem a necessidade de grandes textos. A constância do

uso possibilitará uma familiarização com a simbologia.

Page 45: Estatística Aplicada

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45

3.2 – Notação em somatório.

Muitas vezes é necessário escrever expressões que envolvem somas com

muitos termos, ou cujos termos obedecem uma certa formação, como por exemplo,

os dados numéricos disposto na forma de um rol.

Tomando como exemplo o conjunto de notas dos alunos, em uma prova de

Língua Portuguesa:

Y: 1,2 4,6 5,9 6,7 7,4 8,4 8,8

1,3 4,8 5,9 6,8 7,4 8,5 9,3

1,8 4,9 5,9 6,8 7,6 8,6 9,3

2,5 4,9 6,3 6,9 7,8 8,6 9,5

4,3 5,4 6,4 7,2 8,1 8,7 9,5

4,6 5,8 6,7 7,2 8,2 8,7 9,8

Verifica-se que são 42 notas, dispostas em ordem crescente.

Para identificar a soma, seria necessário a seguinte indicação:

Soma = 1,2 + 1,3 + 1,8 + 2,5 + .... + 9,5 + 9,8

Ora, o que verifica-se é que as variáveis (notas) estão dispostas em ordem:

a primeira nota ´2 1,2, a segunda nota é 1,3, a terceira nota é 1,8, e assim

sucessivamente.

Se for simbolizado por X a variável nota e por i o índice que indica a posição

da variável na série, pode-se passar a indicar a soma da série da seguinte forma:

ou seja, estariam sendo indicadas as variáveis e seu posicionamento na

série.

Supondo uma série onde não se saiba o número de variáveis, convenciona-

se que o último elemento da série será o enésimo termo, ou seja, o termo de

ordem n.

Desta forma, a soma de uma série onde não se conheça o número de termo

poderá ser indicada da seguinte forma:

42321 ... xxxxSoma ++++=

Page 46: Estatística Aplicada

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46

Matematicamente a expressão indicada acima pode ser reduzida, utilizando-

se a notação em somatório e para tanto será utilizada a letra grega sigma - Σ que

corresponde, no nosso alfabeto à letra S (de soma).

Desta forma, a expressão acima poderá ser indicada da seguinte forma:

É necessário que se identifique cada parte da notação em somatório:

A forma correta de lê-se a expressão acima é:

“Somatório de xi para i variando de 1 a n” ou soma de xi, para i variando de

1 a n”.

Se houvesse o interesse de indicar somente a soma dos 15 primeiros

elementos da série, a notação em somatório seria:

nxxxxSoma ++++= ...321

∑=

=++++n

iin xxxxx

1321 ...

∑=

n

iix

1

X é o “nome” dostermos a seremsomados

i é u m aobservaçãoindividual dasérie, ou seja, ap o s i ç ã o d otermo na série

n é o últimoelemento a sersomado

Σ é a simbologiaque indica soma.

i=1 indica oprimeiro elementoda série que serásomado

∑=

15

1iix

Page 47: Estatística Aplicada

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47

IMPORTANTE:

Para que uma soma possa ser

representada pela notação em somatório

é fundamental que i assuma todos os

valores inteiros consecutivos entre dois

valores dados (o termo inicial e o termo

final da soma).

Page 48: Estatística Aplicada

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3.3 – Médias e medidas de tendência central.

Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados,

os estatísticos definem medidas que descrevem, através de um só elemento,

características dos dados.

Algumas medidas descrevem a tendência central, isto é, a tendência que os

dados têm de se agrupar em torno de certos valores.

No dia-a-dia utiliza-se com freqüência o sentido de medidas de tendência

central. Por exemplo, pode-se, ao identificar-se um grupo de idosos, referir-se ao

grupo como tendo “ em torno de 65 anos”. O que se quer dizer com isso? Por certo

que as idades dos membros que formam o grupo estão próximas de 65 anos, para

mais ou para menos.

Tecnicamente as medidas de tendência central possuem metodologia própria

para sua determinação.

As principais medidas de tendência central são:

a) média aritmética (simples ou ponderada);

b) a mediana;

c) a moda.

Será verificado também o cálculo da média geométrica e da média

harmônica.

Inicialmente serão determinadas as formas para a determinação das

medidas de tendência central levando em consideração um conjunto de dados

dispostos sob a forma de uma variável discreta. Posteriormente será verificada a

metodologia para a determinação das medidas quando for utilizado um conjunto de

dados dispostos sob a forma de variável contínua.

3.4 – Média Aritmética.

A média aritmética, também comumente denominada somente de média, é

a mais comum das medidas de tendência central.

A facilidade de sua obtenção popularizou o seu uso.

Page 49: Estatística Aplicada

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A média aritmética pode ser calculada através de duas metodologias:

a) a média aritmética simples ;

b) a média aritmética ponderada.

A média aritmética simples é calculada somando-se todos os termos de uma

série e dividindo-se o resultado pelo número total de itens envolvidos.

Supondo que um conjunto de dados, representativo das idades dos alunos

da Turma 201, em anos, esteja disposto na seguinte forma:

A = { 8, 8, 7, 9, 9, 10, 8, 9, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 9, 9, 8, 8, 8, 9, 8 }

Para o cálculo da média aritmética, procede-se a soma das idades e divide-

se pelo número de observações (número de alunos da Turma, no exemplo). Desta

forma:

Logo, a média das idades será de 8,6 anos.

Identificando o que foi feito através de uma fórmula, tem-se que:

(média é igual a soma dos n termos de uma série, do primeiro até o último,

dividido pelo número total de termos).

Apresentado os dados sob a forma de variável discreta, têm-se que:

Idades, em anos, dos alunos da Turma 201.

Idades Número de Alunos

7 2

8 8

9 7

10 4

21

8988899101010987981099788 ++++++++++++++++++++=Média

n

xMédia

n

ni∑

== 1

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50

Fonte: dados hipotéticos.

Verifica-se que a variável (x) é a idade dos alunos, e que cada variável

possui uma freqüência (fi).

A freqüência total (n) é a soma do número de alunos.

Pode-se calcular a média aritmética diretamente na tabela.

Inicialmente, em uma nova linha, efetua-se a soma do número de alunos,

para que se obtenha a freqüência total (n)

Em seguida, em uma nova coluna, coloca-se o resultado da multiplicação de

cada idade pela freqüência respectiva. Desta forma, a nova tabela ficará assim

disposta:

Idades, em anos, dos alunos da Turma 201.

Idades (xi) Número de Alunos (fi) Idade x Número de

alunos (xifi)

7 2 14

8 8 64

9 7 63

10 4 40

TOTAL 21 181

O resultado será a divisão dos dois totais:

Média = (181) / 21 , logo Média = 8,6 anos.

A média aritmética de dados disposto em uma distribuição discreta é

indicada através da seguinte fórmula:

n

fxMédia

n

iii∑

== 1

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(leia-se: média é igual à soma das variáveis i, multiplicadas pelas

respectivas freqüências i, da primeira até a última, dividido pelo número de

elementos).

Alguns autores indicam a fórmula para o cálculo da média aritmética da

seguinte forma:

(leia-se: média é igual à soma das variáveis i, multiplicadas pelas

respectivas freqüências i, da primeira até a última, dividido pela soma das

freqüências, da primeira até a última).

3.5 - A média aritmética Ponderada.

Algumas vezes, em especial nos colégios, é comum que sejam atribuídos

“pesos” às notas de determinadas provas. A atribuição de pesos visa fazer com que

determinados valores tenham mais influência no resultado final do que outros.

Considere-se o seguinte exemplo:

As provas bimestrais de um colégio são ponderadas com pesos 1, 2, 3 e 4,

respectivamente para o primeiro bimestre, segundo bimestre, terceiro bimestre e

quarto bimestre.

Um aluno, em Geografia, obteve as seguintes notas:

Notas em Geografia

Bimestre Nota

1º 6,0

2º 7,2

3º 5,5

4º 7,8

=

== n

iii

n

iii

f

fxMédia 1

Page 52: Estatística Aplicada

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52

Fonte: dados hipotéticos.

Como é calculada a média, para a disciplina, do aluno?

Procede-se a multiplicação da nota de cada bimestre pelo peso respectivo,

soma-se os resultados das multiplicações e divide-se pela soma dos pesos.

Notas em Geografia

Bimestre Nota Pesos Nota x Peso

1º 6,0 1 6,0

2º 7,2 2 14,4

3º 5,5 3 16,5

4º 7,8 4 31,2

TOTAL 10 68,1

Fonte: dados hipotéticos.

A média aritmética ponderada, então, será igual a:

Média = 68,1 / 10 , logo Média = 6,81.

A notação (indicação através de uma fórmula) da média aritmética

ponderada é feita da seguinte forma:

(leia-se: média é igual à soma do produtos dos i elementos multiplicados

pelos respectivos pesos i, do primeiro até o último, dividido pela soma dos pesos,

do primeiro até o último).

=

==n

ii

n

iii

p

pxMédia

1

1

Page 53: Estatística Aplicada

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53

3.6 – Cálculo da Média Aritmética para dados grupados

Até então foi verificada a metodologia para o cálculo da média aritmética

(simples ou ponderada) considerando-se os dados isolados, ou aqueles que estão

dispostos em um variável discreta.

Entretanto muitas vezes o pesquisador necessita efetuar o cálculo de médias

e somente disporá dos dados dispostos em variável contínua.

Como proceder?

É necessário que para cada classe seja identificado um elemento que a

represente. Este elemento é denominado de ponto médio da classe (mi).

Então, o ponto médio de uma classe é:

(leia-se: o ponto médio da classe i é igual à média aritmética da soma do

limite inferior da classe i e o limite superior da classe i).

Para exemplificar será utilizada a variável contínua construída – as notas dos

alunos em uma prova de Língua Portuguesa.

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência Ponto médio

1 1 __ 2,5 3 1,75

2 2,5 __ 4 1 3,25

3 4 __ 5,5 7 4,75

4 5,5 __ 7 11 6,25

O ponto médio de uma classe (mi) é a média

aritmética entre o limite inferior (li) e o limite

superior (Li) da classe.

2ii

i

Llm

+=

Page 54: Estatística Aplicada

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5 7 __ 8,5 9 7,75

6 8,5 __ 10 11 9,25

Total 42

Fonte: dados hipotéticos.

Ponto Médio da Classe 3 = 4,75

Ponto Médio da Classe 4 = 6,25

Distância = (Ponto Médio da Classe 4 – Ponto Médio da Classe 3)

Distância = m4 – m3

Distância = 6,25 – 4,75 , logo Distância = 1,5

A amplitude das classe também é igual a 1,5.

Para o cálculo da média aritmética de dados agrupados, os pontos médios

das classe serão ponderados pelas freqüências simples das respectivas classes.

Desta forma, apresentado a média aritmética para dados agrupados através

de uma fórmula, tem-se:

A “distância” entre os pontos médios de

classes consecutivas é igual à amplitude do

intervalo de classe.

=

==n

ii

n

iii

f

mfX

1

1_

Page 55: Estatística Aplicada

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55

(leia-se: média aritmética é igual ao somatório dos produtos das freqüências

das classes i pelos pontos médios das classes i, dividido pelo somatório das

freqüências das classes i).

Desta forma, para o cálculo da média aritmética das notas, proceder-se-á a

multiplicação do ponto médio de cada classe pela freqüência da respectiva classe.

Em seguida, será efetuada a soma dos produtos obtidos e este resultado dividido

pela soma das freqüências (freqüência total).

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas

Freqüência

(fi)

Pontomédio

(mi)

fi mi

1 1 __ 2,5 3 1,75 4,75

2 2,5 __ 4 1 3,25 3,25

3 4 __ 5,5 7 4,75 33,25

4 5,5 __ 7 11 6,25 68,75

5 7 __ 8,5 9 7,75 69,75

6 8,5 __ 10 11 9,25 101,75

Total 42 281,50

Fonte: dados hipotéticos.

A média aritmética das notas, então, será:

A utilização da simbologia X barra (x com uma

barra horizontal sobreposta) é comumente

utilizada para identificar a média aritmética.

7,642

50,281_

==X

Page 56: Estatística Aplicada

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56

Se você efetuar a soma do rol das notas, chegará a

um total de 279. Dividindo-se o valor por 42

(freqüência total), ou seja, calculando-se a média

aritmética simples, obter-se-á 6,64. A diferença, ou

seja 0,06, é inexpressiva, não importando para a

análise dos valores.

Quando os dados são agrupados na disposição de

uma variável contínua, passa-se a trabalhar com os

dados sem conhecimento de seus valores individuais.

Note no exemplo utilizado, que o máximo que se

pode afirmar com respeito ao menor valor desta

série é que ele é um valor maior ou igual a 1,0 e

menor do que 10. Mas não é possível, sem a

visualização do rol, conhecer-se os valores

individualizados.

Este fato é que leva a substituição das classes pelos

seus pontos médios para o cálculo da média da série.

Page 57: Estatística Aplicada

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57

3.7 – A Mediana ( md)

A mediana é um valor real que separa o rol em duas partes, deixando em

cada parte o mesmo número de elementos. A mediana é um valor que ocupa a

posição central de uma série.

Para o cálculo da mediana devem ser consideradas algumas condições:

a) se os dados estiverem dispostos sob a forma bruta:

Neste caso, os dados deverão ser ordenados, gerando um rol.

Se o número de dados for impar, o rol admitirá apenas um termo central.

Para o cálculo do termo central, deve-se, inicialmente, determinar qual é a sua

posição.

Para tanto, deve-se adicionar uma unidade ao número de termos e dividir-se

o resultado por dois.

Posição = (n + 1) /2

O valor que ocupar a posição definida será a mediana.

Veja o exemplo:

Qual será a mediana das idades de um grupo de alunos?

Sejam as idades:

Y = { 8, 9, 10, 11, 7, 6, 12 }

Inicialmente os dados devem ser ordenados, gerando um rol:

Y = { 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

Verifica-se que o número de elementos é impar ( n = 7 ).

A posição do termo central é:

Posição = ( n + 1 ) / 2

Posição = ( 7 + 1 ) / 2

Posição = 4

Page 58: Estatística Aplicada

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58

A mediana (md), então, será aquele termo que ocupar a 4ª posição no rol,

ou seja, md = 9 anos.

O valor 9 deixa à sua esquerda e à sua direita o mesmo número de

elementos, sendo, portanto, o elemento central da série.

Y = { 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

Se o número de termo for par, convenciona-se que a mediana é a média

aritmética dos valores que ocupam as posições centrais.

Acrescentando-se uma idade ao rol utilizando anteriormente:

Y = { 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }

Passa-se a ter um rol com 8 elementos ( n = 8).

Neste caso, procede-se da seguinte forma:

Calcula-se a posição central (n/2), o que no exemplo será igual a 4.

Verifica-se qual é a posição seguinte, ou seja (n/2)+1 = 4 + 1 = 5.

O termo que ocupa a posição central (mediana) é definido com sendo aquele

que for igual à média aritmética dos elementos que ocuparem as posições

anteriormente definidas.

Veja no exemplo:

Termo que ocupa a 4ª posição = 9

Termo que ocupa a 5ª posição = 10

Mediana (md) = ( 9 + 10 ) /2

Termos àesquerda damediana

Termos àdireita damediana

Mediana

Page 59: Estatística Aplicada

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59

Mediana (md) = 9,5.

Ora, não há na série apresentada idade igual à 9,5.

Como interpretar o resultado.

Deve-se lembrar que a mediana é o termo que divide a série em duas partes

iguais. Desta forma, a interpretação será de que 50 % (metade) dos valores do rol

são valores menores ou iguais a 9,5 e 50 % (metade) dos valores do rol são

valores maiores ou iguais a 9,5.

Y = { 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }

b) Cálculo da mediana para dados apresentados sob a forma de variável

contínua.

Conforme já foi explicado anteriormente, muitas vezes ao pesquisador

somente são disponibilizados os dados sob a forma de uma variável contínua, o que

impossibilita a adoção da metodologia verificada para o cálculo da mediana para os

dados dispostos sob a forma de rol (variável discreta), pois mesmo que seja

identificada a posição da mediana na série, o valor do elemento da série que ocupa

esta posição não é identificável.

Como proceder para o cálculo da mediana neste caso?

Será utilizado, como exemplo, a distribuição que indica as notas dos alunos

em uma prova de Língua Portuguesa.

Termos à esquerda damediana são menoresou iguais à 9,5

Termos à direita damediana são maiores ouiguais a 9,5

Mediana = 9,5

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60

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas

Freqüência

(fi)

Ponto médio

(mi)

1 1 __ 2,5 3 1,75

2 2,5 __ 4 1 3,25

3 4 __ 5,5 7 4,75

4 5,5 __ 7 11 6,25

5 7 __ 8,5 9 7,75

6 8,5 __ 10 11 9,25

Total ( Σ ) 42

Fonte: dados hipotéticos.

O número de elementos da série é 42, ou seja, n = Σ fi = 42.

A mediana, por definição, separa o número de elementos da série em dois

grupos, cada um deles contendo 50 % dos elementos.

Portanto, a posição da mediana na série é (n/2) ou (Σ fi /2 ). No caso

apresentado (42 / 2) = 21.

Sabe-se, então, que a posição da mediana é a 21ª posição da série.

É necessário que sejam evidenciadas as freqüências acumuladas das classes

para a interpretação da posição.

Page 61: Estatística Aplicada

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61

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas

Freqüência

(fi)

Freqüênciaacumulada

Pontomédio

(mi)

1 1 __ 2,5 3 3 1,75

2 2,5 __ 4 1 4 3,25

3 4 __ 5,5 7 11 4,75

4 5,5 __ 7 11 22 6,25

5 7 __ 8,5 9 31 7,75

6 8,5 __ 10 11 42 9,25

Total ( Σ ) 42

Utilizando, por exemplo, a freqüência acumulada da 3ª Classe, a

interpretação que se deve ter é a seguinte:

- estão contidos na terceira classe os elementos da 5ª posição, até o

elemento da 11ª posição (inclusive).

Usando a disposição tabular para indicar a explicação acima:

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas

Freqüência

(fi)

1 1 __ 2,5 3

2 2,5 __ 4 1

3 4 __ 5,5 7

4 5,5 __ 7 11

5 7 __ 8,5 9

6 8,5 __ 10 11

Do 1º até o 3º

Do 4º até o 4º

Do 5º até o 11º

Do 12º até 0 22º

Do 23º até o 31º

Do 32º até o 42º

Total ( Σ ) 42

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62

Desta forma, considerando que a posição da mediana é a 21ª, pode-se,

inicialmente afirmar que a mediana está contida na 4ª Classe ( que contém os

elementos que ocupam deste a 12ª até a 22ª posições).

A quarta classe, por conter a mediana, é denominada como classe mediana.

O intervalo de classe (1,5) possui, então 11 termos (freqüência da classe

mediana).

Para o cálculo da mediana será utilizada a seguinte fórmula:

Onde:

md = mediana

lmd = limite inferior da classe mediana

n = número de elementos da série

Fant = freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana

fmd = freqüência simples da classe mediana

h = amplitude do intervalo de classe.

Na distribuição, verifica-se:

lmd = 5,5

n = 42

Fant = 11 (freqüência acumulada da 3ª classe)

fmd = 11

h = 1,5

Então:

xhf

Fn

lmdm

ant

mdd

−+= 2

5,111

11242

5,5 xmd−

+=

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63

Resolvendo a expressão:

a) inicialmente efetua-se a divisão que aparece no numerador:

b) efetua-se a adição do numerador:

c) efetua-se a divisão:

d) efetua-se a multiplicação

e) efetua-se a adição.

A mediana, ou seja, o elemento que dividirá a distribuição em duas partes

iguais é a nota 6,87.

Verificando o rol que deu origem à variável contínua, é possível observar

que não há uma nota 6,87.

O termo em destaque no rol é o termo que ocupa a posição mediana, ou

seja, o 21º termo da série, e é igual a 6,8.

Y: 1,2 4,6 5,9 6,7 7,4 8,4 8,8

1,3 4,8 5,9 6,8 7,4 8,5 9,3

1,8 4,9 5,9 6,8 7,6 8,6 9,3

2,5 4,9 6,3 6,9 7,8 8,6 9,5

4,3 5,4 6,4 7,2 8,1 8,7 9,5

4,6 5,8 6,7 7,2 8,2 8,7 9,8

O que ocorreu?

De um modo geral, todas as medidas calculadas para uma variável contínua

serão valores aproximados para estas medidas, uma vez que ao agrupar-se os

5,1111121

5,5 xmd−

+=

5,11110

5,5 xmd +=

5,191,05,5 xmd +=

37,15,5 +=dm

87,6=dm

Page 64: Estatística Aplicada

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64

dados segundo uma variável contínua, há perda de informações quanto a

identidade dos dados.

Entretanto verifica-se que, para o conceito de divisão da distribuição, o valor

calculado procede, pois 50 % (metade) das notas são inferiores à 6,87 e 50 % das

notas são superiores à 6,87.

Observe que o valor da média aritmética é

diferente do valor da mediana !!!!

Page 65: Estatística Aplicada

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65

3.8 – Moda (mo)

A interpretação da moda é bastante simples se utilizarmos o dia-a-dia.

Dentre os adolescentes, de maneira geral, estar na moda significa estar em

evidência, utilizando as roupas, sapatos e cores que a maioria está usando.

Estatisticamente, moda tem um significado semelhante.

O cálculo da moda, da mesma forma que o cálculo da mediana, dependerá

da forma com a qual os dados forem apresentados.

- Cálculo da Moda para dados em ROL

Se os dados estiverem em forma de ROL, a identificação da moda é feita

verificando-se o elemento de maior freqüência (se os dados estiverem sob a forma

bruta, deve proceder a determinação do ROL).

Por exemplo:

Considere um conjunto de notas:

Y = { 2, 8, 7, 7, 9, 5, 7, 4, 2, 5, 6 }

Dispondo em ROL, tem-se:

Y = { 2, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 }

O elemento de maior freqüência é a nota 7. Portanto a moda (mo) = 7.

As séries, quando às moda, podem ser classificadas das seguintes formas:

a) unimodais – possuem apenas uma moda, ou seja, somente um

elemento se destaca na série;

b) bimodais – possuem duas modas. Dois elementos destacam-se

na série, possuem as mesmas freqüências, que são as maiores;

c) polimodais – possuem mais de duas modas. Podem ser trimodais

(três modas), tetramodais (quatro modas), etc.

d) amodais – todos os elementos da série possuem a mesma

freqüência. Não há um elemento que se destaque pela maior

freqüência.

MODA é o valor de maior freqüência em um

conjunto de dados, isto é, é o valor mais

comum.

Page 66: Estatística Aplicada

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66

Se os dados de um rol forem dispostos sob a forma de uma variável

discreta, a identificação do rol é ainda mais simples.

Utilizando o mesmo conjunto acima, sob a forma de uma variável discreta.

Y = { 2, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 }

Xi Fi

2 2

4 1

5 2

6 1

7 3

8 1

9 1

Observa-se que na apresentação da variável discreta, as freqüências já

estão computadas na segunda coluna. Basta identificar o elemento de maior

freqüência.

A maior freqüência observada na segunda coluna é 3 e corresponde ao

elemento 7. Portanto a série é unimodal com mo = 7.

- Cálculo da moda para dados em variável contínua

A determinação da moda em uma variável contínua pode ser efetuada

através de algumas metodologias.

Considerando a natureza do curso, será abordado somente o cálculo da

MODA DE KING.

Segundo KING, a determinação da moda de uma variável contínua pode ser

calculada através da freqüência simples da classe anterior e da freqüência simples

da classe posterior à classe modal, do limite inferior da classe modal e da amplitude

do intervalo de classe.

Onde:

xhff

flm

postant

postmo o ++=

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67

mo = moda

lmo = limite inferior da classe modal

fpost = freqüência simples da classe posterior à classe modal

fant = freqüência simples da classe anterior à classe modal

h = amplitude do intervalo de classe

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas

Freqüência

(fi)

1 1 __ 2,5 3

2 2,5 __ 4 1

3 4 __ 5,5 7

4 5,5 __ 7 11

5 7 __ 8,5 9

6 8,5 __ 10 11

Total ( Σ ) 42

Fonte: dados hipotéticos.

No exemplo verifica-se uma distribuição bimodal, onde as Classes 4 e 6

apresentam as maiores classes (com valores iguais), onde n = 11.

Considerando o processo de KING, será necessário o cálculo das duas

modas.

- Cálculo da 1ª moda (Classe 4)

lmo = 5,5

fpost = 9 (freqüência da Classe 5)

fant = 7 (freqüência da Classe 3 )

h = 1,5.

Logo, aplicando-se a Fórmula da King:

Page 68: Estatística Aplicada

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68

A primeira moda é igual a 6,34.

- Cálculo da 2ª moda (Classe 6)

lmo = 8,5

fpost = 0 (freqüência da Classe 7)

fant = 9 (freqüência da Classe 5 )

h = 1,5.

Logo, aplicando-se a Fórmula da King:

5,197

95,5 xmo ++=

5,1169

5,5 xmo +=

5,156,05,5 xmo +=

84,05,5 +=om

34,6=om

5,1900

5,8 xmo ++=

5,1160

5,8 xmo +=

No exemplo, a moda encontra-se na última

classe da distribuição. Desta forma, para que se

possa proceder o cálculo é necessário que seja

interpretada a existência de uma classe posterior

(7ª Classe), com freqüência igual a zero.

Page 69: Estatística Aplicada

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69

Verifica-se a existência de uma fração com numerador igual a zero. Zero

dividido por qualquer número é igual a zero. Zero multiplicado por qualquer número

é igual a zero.

Logo:

Desta forma, a distribuição, que é bimodal, apresenta como modas 6,34 e

8,5.

Geralmente não é necessário calcular as três medidas de tendência central.

Normalmente precisa-se de apenas uma das medidas para caracterizar o

centro da série.

Então, surge a questão: Qual medida deve ser utilizada?

A medida ideal em cada caso é aquela que melhor representa a maioria dos

dados da série.

Quando todos os dados de uma série são iguais ( o que dificilmente ocorrerá

na prática), a média, a mediana e a moda coincidirão com este valor e, portanto,

qualquer uma das medidas representará bem a série.

Na maioria das vezes, tem-se valores diferenciados para a série e

conseqüentemente a medida irá representar bem apenas os dados da série que se

situam próximos a este valor. Os dados muito afastados em relação ao valor da

medida não serão bem representados por ela.

Desta forma, se uma série apresenta forte concentração de dados em sua

área central, a média, a mediana e a moda ficam também situadas em sua área

central, representando bem a série. Como a mais conhecida é a média, opta-se por

esta medida de tendência central.

Se uma série apresenta forte concentração de dados em seu início, a

mediana e a moda estarão posicionadas mais no início da série, representando

bem esta concentração. A média que é fortemente afetadas por alguns valores

5,8=om

Observe que os valores encontrados pertencem

efetivamente às classe modais determinadas, ou seja 6,34

pertence à 4ª Classe, ao intervalo 5,5 __ 7 e 8,5 pertence

à 6ª Classe, ao intervalo 8,5 __ 10.

Page 70: Estatística Aplicada

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70

posicionados no final da série se deslocará para a direita desta concentração, não a

representando bem.

Como a mais conhecida entre a mediana e a moda é a mediana, esta será a

medida mais indicada deste caso.

A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração de dados

em seu final.

Logo, deve-se optar pela mediana quando houver forte concentração de

dados no início ou no final da série.

A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas em

séries que apresentam um elemento típico, isto é, um valor cuja freqüência é muito

superior à freqüência dos outros elementos da série.

Além das medidas de tendência central (média aritmética, mediana e

moda), também existem algumas medidas úteis de localização “não-central”, que

são empregadas particularmente ao se resumirem ou descreverem as propriedades

de grandes conjuntos de dados numéricos. São elas: o quartil, o decil e o percentil.

Estas medidas são denominadas MEDIDAS SEPARATRIZES.

Page 71: Estatística Aplicada

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71

3.9 – O QUARTIL (Qn)

A mediana é o valor que divide a disposição ordenada pela metade ( 50%

das observações são menores que a mediana e 50% das observações são maiores).

Os quartis são medidas descritivas que dividem os dados ordenados em

quatro partes.

É possível a determinação de três quartis:

a) o primeiro quartil, Q1, é o valor que faz com que 25 % das

observações seja menores do quem o valor calculado e 75 % das

observações sejam maiores;

b) o segundo quartil, Q2, é a própria mediana (Med), pois 50 % das

observações são menores do que o valor calculado e 50 % das

observações são maiores;

c) o terceiro quartil, Q3, é o valor que faz com que 75 % das

observações seja menores do quem o valor calculado e 25 % das

observações sejam maiores;

-Cálculo do QUARTIL de uma variável discreta

Para calcular os quartis de uma distribuição de freqüência em variável

discreta são utilizadas as fórmulas de ponto de posicionamento, conforme

indicado abaixo:

( )

( )4

13

2

1

4

12

2

1

3

2

1

+=

+=

+=

+=

nQ

nnQ

nQ

Page 72: Estatística Aplicada

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72

Há algumas regras que devem ser seguidas para a obtenção dos quartis

pelas fórmulas de ponto de posicionamento:

1 – se o ponto de posicionamento resultante for um número inteiro, a

observação numérica em questão, correspondente àquele ponto de posicionamento,

é escolhida como o quartil;

2 – se o ponto de posicionamento resultante estiver na metade entre dois

números inteiros, a média de seus respectivos valores é considerada como o

quartil;

3 – se o ponto de posicionamento resultante não se tratar de um número

inteiro, nem do valor correspondente a metade do caminho entre dois números

inteiros, uma regra simples utilizada para estimar o quartil em questão e fazer o

arredondamento até o ponto de posicionamento do número inteiro mais próximo e

selecionar o valor numérico da observação correspondente como o quartil.

Como exemplo será utilizada a distribuição:

Notas Número de alunos

5 3

6 5

7 8

9 5

10 2

Σ 23

Vamos calcular:

Não há sentido o cálculo do Q4, ou seja do

quarto quartil, pois o valor, por definição

indicaria que 100% dos valores seriam

menores do que o valor calculado, ou seja, o

valor calculado seria, na realidade o valor

imediatamente superior ao maior valor da série

representada.

Page 73: Estatística Aplicada

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73

Isto equivale dizer que Q1 pode ser determinado como sendo a sexta

observação ordenada, ou seja a terceira nota 6 (seis) divide a distribuição em duas

partes, onde à esquerda têm-se 25 % da distribuição e à direita 75 % da

distribuição.

Agora verifica-se que a décima segunda observação ordenada, ou seja a

quarta nota 7 (sete) divide a distribuição em duas partes iguais, com 50 % para

cada lado.

O ponto de posicionamento indica que a décima oitava observação, ou seja a

segunda nota 9 (nove) divide a distribuição em duas partes, sendo 75 % `a

esquerda e 25 % à direita.

Através da utilização do conceito de freqüência acumulada, pode-se

visualizar bem o posicionamento dos quartis:

Notas Número de alunos Freqüência

Acumulada

Observações

5 3 3 Da 1ª até a 3ª

6 5 8 Da 4ª até a 8ª

7 8 16 Da 9ª até a 16ª

9 5 21 Da 17ª até a 21ª

10 2 23 Da 22ª até a 23ª

Σ 23

64

24

4

123

4

11 ==

+=

+=n

Q

12448

4)24(2

4)123(2

4)1(2

2 ===+

=+

=n

Q

184

72

4

)24(3

4

)123(3

4

)1(33 ===

+=

+=

nQ

Verifique que o valor de Q2 é igual à mediana.

Page 74: Estatística Aplicada

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-Cálculo do QUARTIL de uma variável contínua

Para a determinação dos quartis em uma distribuição em variável contínua

utiliza-se inicialmente o mesmo procedimento efetuado para a variável discreta,

porém deve-se estar atento aos seguintes detalhes:

a) quando do cálculo para a variável discreta o valor encontrado

determinava a posição do elemento na distribuição, sendo

possível através da utilização do conceito de freqüência

acumulada determinar-se o valor da observação que ocupava tal

posição;

b) quando utiliza-se uma variável contínua, o valor calculado

indicará a observação que ocupa a posição determinada pelo

quartil.

A determinação do quartil em uma variável contínua é possível com a

utilização da seguinte fórmula:

Onde:

Qi = quartil i, ou seja o quartil que se deseja determinar ( os valores de i

podem ser 1, 2 ou 3)

li = limite inferior da classe que contém o quartil

in = o número do quartil que se deseja determinar multiplicado pela

freqüência total da distribuição

O cálculo do quartil em uma variável discretaindica a posição da observação na série, sendo adeterminação da observação fe i taposteriormente, com a análise da distribuição.

xhfclasse

fin

lQacmant

ii

−+= 4

Page 75: Estatística Aplicada

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75

f acmant = freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o

quartil desejado

f classe = freqüência da classe que contém o quartil

h = amplitude do intervalo de classe

Seja a seguinte hipótese:

A direção de uma escola deseja estabelecer um atendimento diferenciado,

para os alunos da turma XX e tomará como base as notas em Língua Portuguesa.

Serão implementadas as seguintes ações:

a) para o conjunto que representar as 25 % menores notas serão

oferecidas aulas de reforço;

b) para o conjunto que representar as 25 % maiores notas serão

oferecidas aulas de redação.

Foi apresentada a distribuição abaixo com as notas dos alunos da turma XX

em Língua Portuguesa.

Como efetuar a separação da turma?

Este caso pode ser resolvido por intermédio do conceito de quartil.

A resposta da primeira condição – os alunos que obtiveram as 25% menores

notas – representa o intervalo compreendido entre a menor nota indicada na

distribuição e a nota imediatamente inferior ao valor do Q1.

Lembre-se de que se a classe que estiver sendoobservada for a primeira, a freqüência anterior serázero.

Page 76: Estatística Aplicada

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76

Notas dos alunos da turma XX na prova de Língua Portuguesa

Classe Notas Freqüência

1 1 __ 2,5 3

2 2,5 __ 4 1

3 4 __ 5,5 7

4 5,5 __ 7 10

5 7 __ 8,5 8

6 8,5 __ 10 11

Total 40

Fonte: dados hipotéticos.

Inicialmente deve-se obter as freqüências acumuladas das classes:

Classe Notas Freqüência Freqüência

Acumulada

1 1 __ 2,5 3 3

2 2,5 __ 4 1 4

3 4 __ 5,5 7 11

4 5,5 __ 7 10 21

5 7 __ 8,5 8 29

6 8,5 __ 10 11 40

Total 40

Page 77: Estatística Aplicada

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77

Em seguida determina-se o ponto de posicionamento do quartil desejado (no

caso, o Q1 ).

A observação que ocupa a posição 10 na distribuição está contida na Classe

3. Desta forma, pode obter as seguinte informações:

li = 4

in = 1 x 40 = 40

f acmant = 4

f classe = 7

h = 1,5

Substituindo-se os valores na fórmula:

O valor encontrado indica que 25 % dos alunos obtiveram notas inferiores à

5,3. Desta forma, serão oferecidas aulas de reforço para os alunos com notas

inferiores à 5,3 em Língua Portuguesa.

104

401

41 ===xin

Q

3,5

28571,51

28571,14

5,185714,04

5,17

64

5,17

4104

5,17

44

40

4

1

1

1

1

1

1

=

+=

+=

+=

−+=

−+=

Q

Q

Q

xQ

xQ

xQ

xQ

O valor foi arredondado para uma casa decimal.A simbologia utilizada (≅) significa aproximadamente.

Page 78: Estatística Aplicada

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78

A resposta pode ser indicada, também, através da seguinte notação:

Ou seja, terão aulas de reforço os alunos com notas iguais ou maiores do

que 1 (um) e com notas menores do que 5,3.

E quais serão os alunos que terão aulas de redação?

Utilizando o conceito de Quartil pode-se concluir que o conjunto que se

deseja determinar representam as notas posteriores ao Q3.

Deve-se, inicialmente, determinar o ponto de posicionamento:

A observação que ocupa a posição 30 na distribuição está contida na Classe

6. Desta forma, pode obter as seguinte informações:

li = 8,5

in = 3 x 40 = 120

f acmant = 29

f classe = 11

h = 1,5

Substituindo-se os valores na fórmula:

Observe que o valor encontrado – 5,3 – está contidona Classe 3, conforme foi indicado pela observaçãodo ponto de posicionamento.

3,51 1 <≤ Q

304

120

4

4033 ===

xQ

Page 79: Estatística Aplicada

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79

Desta forma pode-se concluir que serão contemplados com aulas de redação

os alunos com notas superiores a 8,6 ( as 25 % maiores notas da turma).

6,8

63637,8

13637,05,8

5,109091,05,8

5,111

15,8

5,111

29305,8

5,111

294

120

5,8

5,111

294

403

5,8

3

3

3

3

3

3

3

3

=

+=

+=

+=

−+=

−+=

−+=

Q

Q

Q

xQ

xQ

xQ

xQ

x

x

Q

Quando é calculado o Q3 determina-se a observaçãoque coloca 75 % das observações à sua esquerda e25 % das observações à sua direita.

Page 80: Estatística Aplicada

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80

3.10 – O DECIL (Dn)

A mediana é o valor que divide a disposição ordenada pela metade ( 50%

das observações são menores que a mediana e 50% das observações são maiores).

Os quartis são medidas descritivas que dividem os dados ordenados em

quatro partes.

Em diversas situações tem-se a necessidade de determinar valores que

correspondem à, por exemplo, 40 % das observações.

Nestes casos, deve-se utilizar o conceito de DECIL, que possibilita a divisão

dos dados ordenados em 10 (dez) partes iguais.

É possível a determinação de nove decis:

a) o primeiro decil, D1, é o valor que faz com que 10 % das observações

seja menores do quem o valor calculado e 90 % das observações sejam

maiores;

b) o segundo decil, D2, é o valor que faz com que 20 % das observações

seja menores do quem o valor calculado e 80 % das observações sejam

maiores;

c) o terceiro decil, D3, é o valor que faz com que 30 % das observações

seja menores do quem o valor calculado e 70 % das observações sejam

maiores, e assim sucessivamente até o

d) o nono decil, D9, é o valor que faz com que 90 % das observações seja

menores do quem o valor calculado e 10 % das observações sejam

maiores.

-Cálculo do DECIL de uma variável discreta

Para calcular os decis de uma distribuição de freqüência em variável discreta

são utilizadas as fórmulas de ponto de posicionamento. De maneira genérica,

pode-se determinar que:

Não há sentido em falar-se em D10 (decil dez), poisseria o equivalente a determinar o valor queposiciona à sua esquerda 100 % das observações.Este valor, por certo será o último elemento dadistribuição.

O D5 (decil cinco) terá o mesmo valor da mediana(Méd) e o mesmo valor de Q2.

10)1( +

=ni

Di

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81

Onde:

i = decil que se deseja determinar

n = freqüência total

Pode-se então, utilizar, para a determinação da posição dos decis 3, 6 e 8,

por exemplo, as seguintes fórmula de ponto de posicionamento:

As regras que devem ser seguidas para a obtenção dos decis pelas fórmulas

de ponto de posicionamento são as mesmas as que foram apresentadas para a

obtenção dos quartis.

Vamos para um exemplo:

As idades (em anos) dos alunos de uma escola foram apuradas e

possibilitaram a elaboração da seguinte distribuição discreta:

Idades Número de Alunos

7 14

8 17

9 23

10 15

11 18

12 16

Determinar o conjunto de idades que representam 40 % do número de

alunos.

Verifica-se que a questão pode ser resolvida utilizando-se o conceito de

decis, pois 40 % dos alunos pode ser indicado através do D4, ou seja, a observação

10)1(8

10)1(6

10)1(3

8

6

3

+=

+=

+=

nD

nD

nD

Page 82: Estatística Aplicada

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82

que coloca 40 % das observações à sua esquerda e 60 % das observações à sua

direita.

Inicialmente deve-se determinar a freqüência total e as freqüências

acumuladas:

Classe Idades Número de

Alunos

Freqüência

Acumulada

Observações

1 7 14 14 Da 1ª até a 14ª

2 8 17 31 Da 15ª até a 31ª

3 9 23 54 Da 32ª até a 54ª

4 10 15 69 Da 55ª até a 69ª

5 11 18 87 Da 70ª até a 87ª

6 12 16 103 Da 88ª até a 103ª

Σ 103

A posição ocupada é a 41,6, ou seja, está compreendida entre a 41ª e a 42ª

observação. Verifica-se que neste caso que a observação encontra-se na Classe 3.

Apura-se que o décimo aluno com idade de 9 anos ocupa a posição 41 e que o

décimo primeiro ocupa a posição 42. Desta forma, seria viável afirmar-se que 40 %

dos alunos estão compreendidos entre 7 e 9 anos. (não seriam incluídos todos os

alunos com 9 anos, somente os dez primeiros observados).

-Cálculo do DECIL de uma variável contínua

Para a determinação dos decis em uma distribuição em variável contínua

utiliza-se inicialmente o mesmo procedimento efetuado para a variável discreta,

porém deve-se estar atento aos seguintes detalhes:

6,4110

416

10

104410

)1103(410

)1(4

4

4

4

4

=

==

+=

+=

D

xD

D

nD

Page 83: Estatística Aplicada

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83

c) quando do cálculo para a variável discreta o valor encontrado

determinava a posição do elemento na distribuição, sendo

possível através da utilização do conceito de freqüência

acumulada determinar-se o valor da observação que ocupava tal

posição;

d) quando utiliza-se uma variável contínua, o valor calculado

indicará a observação que ocupa a posição determinada pelo

decil.

A determinação do decil em uma variável contínua é possível com a

utilização da seguinte fórmula:

Onde:

Di = decil i, ou seja o decil que se deseja determinar ( os valores de i podem

ser 1, 2, 3, ..., até 9)

li = limite inferior da classe que contém o decil

in = o número do decil que se deseja determinar multiplicado pela

freqüência total da distribuição

f acmant = freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o

decil desejado

f classe = freqüência da classe que contém o decil

h = amplitude do intervalo de classe

Seja a seguinte hipótese:

O cálculo do decil em uma variável discreta indicaa posição da observação na série, sendo adeterminação da observação fe i taposteriormente, com a análise da distribuição.

xhfclasse

fin

lDacmant

ii

−+= 10

Lembre-se de que se a classe que estiver sendoobservada for a primeira, a freqüência anterior serázero.

Page 84: Estatística Aplicada

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84

O Colégio Sabetudo deseja oferecer bolsa de estudos parcial de 30 % para

parte de seus alunos, como forma de incentivo. Vai adotar como critério a renda

familiar bruta da família do aluno. A intenção é favorecer os alunos que tiverem 20

% das menores rendas. Um levantamento possibilitou a construção da distribuição

de freqüências abaixo. Qual será a renda familiar máxima para a obtenção da bolsa

de estudos?

Classe Renda Familiar

(em R$)

Número

de Alunos

1 600,00 __ 750,00 8

2 750,00 __ 900,00 6

3 900,00 __ 1.050,00 17

4 1.050,00 __ 1.200,00 19

5 1.200,00 __ 1.350,00 48

6 1.350,00 __ 1.500,00 32

7 1.500,00 __ 1.650,00 11

Pelo o que pode ser verificado, 20 % das menores rendas corresponde aos

valores que estiverem à esquerda do D2.

Para que se possa determinar o valor que ocupa tal posição, inicialmente

deve-se indicar as freqüência total e freqüências acumuladas da distribuição:

Classe Renda Familiar

(em R$)

Número de

Alunos

Freqüência

Acumulada

1 600,00 __ 750,00 8 8

2 750,00 __ 900,00 6 14

3 900,00 __ 1.050,00 17 31

4 1.050,00 __ 1.200,00 19 50

5 1.200,00 __ 1.350,00 48 98

6 1.350,00 __ 1.500,00 32 130

7 1.500,00 __ 1.650,00 11 141

Σ 141

Em seguida determina-se o ponto de posicionamento do decil desejado (no

caso, o D2 ).

Page 85: Estatística Aplicada

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85

A observação que ocupa a posição 28,2 na distribuição está contida na

Classe 3. Desta forma, pode obter as seguinte informações:

li = 900,00

in = 2 x 141 = 282

f acmant = 14

f classe = 17

h = 150,00

Substituindo-se os valores na fórmula:

Desta forma pode-se concluir que poderão ser contemplados com a bolsa de

estudos os alunos cuja renda familiar for inferior à R$ 1.025,29 ( ou seja ou valores

que estiverem à esquerda do D2 ).

2,2810

1412

102 ===xin

D

29,025.1

29,12500,900

00,15083529,000,900

00,15017

2,1400,900

00,15017

142,2800,900

00,15017

1410

282

00,900

2

2

2

2

2

2

=

+=

+=

+=

−+=

−+=

D

D

xD

xD

xD

xD

Observe que o valor encontrado está contido naClasse 3.

Page 86: Estatística Aplicada

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86

3.10 – O PERCENTIL (Pi) ou CENTIL (Ci)

A mediana é o valor que divide a disposição ordenada pela metade ( 50%

das observações são menores que a mediana e 50% das observações são maiores).

Os quartis são medidas descritivas que dividem os dados ordenados em

quatro partes.

Os decis são medidas descritivas que dividem os dados em dez partes.

Em várias ocasiões faz-se necessário determinar valores com maiores

precisões, como por exemplo qual seria a nota mínima para um aluno pertencer ao

Quadro de Honra, sabendo-se que somente 8 % das maiores notas serão

contempladas?

Observa-se que neste caso serão excluídas do Quadro de Honra 92 % das

notas.

Nestes casos, deve-se utilizar o conceito de PERCENTIL, que possibilita a

divisão dos dados ordenados em 100 (cem) partes iguais.

É possível a determinação de noventa e nove percentis:

e) o primeiro percentil, P1, é o valor que faz com que 1 % das observações

seja menores do quem o valor calculado e 99 % das observações sejam

maiores;

f) o segundo percentil, P2, é o valor que faz com que 2 % das observações

seja menores do quem o valor calculado e 98 % das observações sejam

maiores;

g) o terceiro percentil, P3, é o valor que faz com que 3 % das observações

seja menores do quem o valor calculado e 97 % das observações sejam

maiores, e assim sucessivamente até o

h) o nonagésimo nono percentil, P99, é o valor que faz com que 99 % das

observações seja menores do quem o valor calculado e 1 % das

observações sejam maiores.

Não há sentido em falar-se em P100 (percentil cem),pois seria o equivalente a determinar o valor queposiciona à sua esquerda 100 % das observações.Este valor, por certo será o último elemento dadistribuição.

O P50 (decil cinqüenta) terá o mesmo valor damediana (Méd), o mesmo valor de Q2 e o mesmovalor de D5.

Page 87: Estatística Aplicada

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87

-Cálculo do PERCENTIL de uma variável discreta

Para calcular os percentis de uma distribuição de freqüência em variável

discreta são utilizadas as fórmulas de ponto de posicionamento. De maneira

genérica, pode-se determinar que:

Onde:

i = decil que se deseja determinar

n = freqüência total

Pode-se então utilizar, para a determinação da posição dos percentis 14, 39

e 77, por exemplo, as seguintes fórmula de ponto de posicionamento:

As regras que devem ser seguidas para a obtenção dos percentis pelas

fórmulas de ponto de posicionamento são as mesmas as que foram apresentadas

para a obtenção dos quartis e dos decis.

Vamos para um exemplo:

As idades (em anos) dos alunos de uma escola foram apuradas e

possibilitaram a elaboração da seguinte distribuição discreta:

100)1( +

=ni

Pi

100)1(77

100)1(39

100)1(14

77

39

14

+=

+=

+=

nP

nP

nP

Page 88: Estatística Aplicada

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88

Idades dos Alunos da Escola ABC

Idades Número de Alunos

11 25

12 19

13 38

14 41

15 16

16 8

Determinar o conjunto de idades que representam 22 % do número de

alunos com as menores idades.

Verifica-se que a questão pode ser resolvida utilizando-se o conceito de

percentis, pois 22 % dos alunos com as menores idades pode ser indicado através

do P22, ou seja, a observação que coloca 22 % das observações à sua esquerda e

78 % das observações à sua direita.

Inicialmente deve-se determinar a freqüência total e as freqüências

acumuladas:

Classe Idades Número de

Alunos

Freqüência

Acumulada

Observações

1 11 25 25 Da 1ª até a 25ª

2 12 19 44 Da 26ª até a 44ª

3 13 38 82 Da 45ª até a 82ª

4 14 41 123 Da 83ª até a 123ª

5 15 16 139 Da 124ª até a 139ª

6 16 8 147 Da 140ª até a 147ª

Σ 147

Calculando o ponto de posicionamento:

Page 89: Estatística Aplicada

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89

A posição ocupada é a 32,56, ou seja, está compreendida entre a 32ª e a

33ª observação. Verifica-se que neste caso que a observação encontra-se na Classe

2. Apura-se que o trigésimo segundo aluno tem idade de 12 anos e que o

trigésimo terceiro também possui 12 anos. Desta forma, seria viável afirmar-se que

17 % dos alunos estão compreendidos entre 11 e 12 anos. (não seriam incluídos

todos os alunos com 12 anos, somente os sete primeiros observados).

-Cálculo do PERCENTIL de uma variável contínua

Para a determinação dos percentis em uma distribuição em variável contínua

utiliza-se inicialmente o mesmo procedimento efetuado para a variável discreta,

porém deve-se estar atento aos seguintes detalhes:

a) quando do cálculo para a variável discreta o valor encontrado

determinava a posição do elemento na distribuição, sendo

possível através da utilização do conceito de freqüência

acumulada determinar-se o valor da observação que ocupava

tal posição;

b) quando utiliza-se uma variável contínua, o valor calculado

indicará a observação que ocupa a posição determinada pelo

percentil.

A determinação do percentil em uma variável contínua é possível com a

utilização da seguinte fórmula:

56,32100256.3

10014822100

)1147(22100

)1(22

22

22

22

22

=

==

+=

+=

P

xP

P

nP

O cálculo do percentil em uma variável discretaindica a posição da observação na série, sendo adeterminação da observação fe i taposteriormente, com a análise da distribuição.

Page 90: Estatística Aplicada

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90

Onde:

Pi = percentil i, ou seja o percentil que se deseja determinar ( os valores de i

podem ser 1, 2, 3, ..., até 99)

li = limite inferior da classe que contém o percentil

in = o número do percentil que se deseja determinar multiplicado pela

freqüência total da distribuição

f acmant = freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o

percentil desejado

f classe = freqüência da classe que contém o percentil

h = amplitude do intervalo de classe

Seja a seguinte hipótese:

O Colégio Bom Futuro deseja incentivar 15 % de seus alunos – os de

maiores idades, a efetuarem matrícula no turno da noite, oferecendo uma bolsa de

30 %. Um levantamento das idades de todos os alunos possibilitou a elaboração da

distribuição de freqüências abaixo. Qual será a idade mínima para o aluno ser

incentivado a efetuar matrícula no turno da noite?

Classe Idades

(anos)

Número

de Alunos

1 6 __ 8 37

2 8 __ 10 45

3 10 __ 12 46

4 12 __ 14 32

5 14 __ 16 29

6 16 __ 18 23

xhfclasse

fin

lPacmant

ii

−+= 100

Lembre-se de que se a classe que estiver sendoobservada for a primeira, a freqüência anterior serázero.

Page 91: Estatística Aplicada

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91

Pelo o que pode ser verificado, 15 % das maiores idades corresponde aos

valores que estiverem à direita do P85.

Para que se possa determinar o valor que ocupa tal posição, inicialmente

deve-se indicar as freqüência total e freqüências acumuladas da distribuição:

Classe Idades

(anos)

Número de

Alunos

Freqüência

Acumulada

1 6 __ 8 37 37

2 8 __ 10 45 82

3 10 __ 12 46 128

4 12 __ 14 32 160

5 14 __ 16 29 189

6 16 __ 18 23 212

Σ 212

Em seguida determina-se o ponto de posicionamento do percentil desejado

(no caso, o P85 ).

A observação que ocupa a posição 180,2 na distribuição está contida na

Classe 5. Desta forma, pode obter as seguinte informações:

li = 14

in = 85 x 212 = 18.020

f acmant = 160

f classe = 189

h = 2

Substituindo-se os valores na fórmula:

2,180100

21285

10085 ===xin

P

Page 92: Estatística Aplicada

UniverCidadeEstatística Aplicada - Prof. Célio Cayres

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92

Desta forma pode-se concluir que a idade mínima para que o aluno seja

incentivado am matricular-se no turno da noite é de 14,21376 anos.

21376,14

21376,014

210688,014

2189

2,2014

2189

1602,18014

2189

160100

18020

14

85

85

85

85

85

85

=

+=

+=

+=

−+=

−+=

P

P

xP

xP

xP

xP

Observe que o valor encontrado está contido naClasse 5.

O valor pode ser melhor determinado utilizando-sea Regra de Três:

1 ano ..................... 12 meses 0,21376 anos ............... x

onde x = 2,56 meses.

Ou seja, os alunos com idades iguais ou superioresa 14 anos e 2 meses se enquadram na situaçãodesejada.

Page 93: Estatística Aplicada

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93

4 - Medidas de dispersão – amplitude total, desvio médio e desvio padrão

A utilização de uma medida representativa de posição central (média,

mediana ou moda) para a representação de um conjunto de dados esconde toda a

informação sobre a variabilidade do conjunto de valores.

Seja o exemplo:

Três grupos de alunos (A, B e C), com cinco alunos cada, realizou um teste,

individual, sendo verificadas as seguintes notas:

Grupo A: 3, 4, 5, 6 e 7

Grupo B: 1, 3, 5, 7 e 9

Grupo C: 5, 5, 5, 5 e 5.

Se for utilizado o conceito de média aritmética, verifica-se que todos os

grupos possuem a mesma média, ou seja, 5 (cinco).

A simples informação da média não possibilita analisar o comportamento das

variáveis que formam os conjuntos.

É necessário, então, a adoção de um critério que possibilite, por exemplo,

comparar conjuntos diferentes de valores.

4.1 – A amplitude total

Considerando o exemplo acima, a simples informação da média não

possibilitaria uma interpretação do resultado. Sendo informada a média, sua

interpretação poderá ser melhor analisada se forem informados:

a) o número de alunos de cada grupo;

b) a nota mínima e a nota máxima de cada grupo.

A primeira informação já é sabida, ou seja, cada grupo é composto por cinco

alunos. Então a segunda informação possibilitará uma melhor análise do resultado.

Quanto menor for a distância entre a menor nota e a maior nota, maior será

a confiança na média.

As medidas de tendência central são tanto

mais apropriadas para descrever um conjunto de

dados:

a) quanto maior for o número de dados do

conjunto;

b) quanto menor for a dispersão.

Page 94: Estatística Aplicada

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94

Utilizando os valores do exemplo, tem-se que:

a) a amplitude total (At) do conjunto A é de 7-3 = 4;

b) a amplitude total (At) do conjunto B é de 9-1 = 8, e

c) a amplitude total (At) do conjunto C é igual a zero, pois todas as notas

são iguais.

A confiança na média dos grupos para resumir a informação contida nas

notas de todos os alunos que formam o grupo será maior quanto menor for a

distância entre a maior e a menor nota.

Verifica-se que a amplitude do grupo C é igual a zero, desta forma a média

aritmética resume melhor o conjunto de notas.

A amplitude é muito utilizada pois é fácil de entender e de ser calculada.

Entretanto, a amplitude não mede bem a variabilidade dos grandes conjuntos de

dados.

A amplitude não mede bem dispersão por uma simples razão: para o seu

cálculo usam-se apenas os valores extremos. É importante que todos os dados

sejam usados no cálculo da medida de dispersão.

O exemplo indica a amplitude de um conjunto de observações e nada mais é

do que a diferença entre o limite superior (Li) do conjunto e o limite inferior (li).

Desta forma, pode-se indicar a amplitude total através da seguinte notação:

- Amplitude Total em uma variável contínua

Quando a observação estiver disposta através de uma distribuição de

freqüência em variável contínua, a amplitude total será a diferença entre o ponto

médio (mi) da última classe e o ponto médio da primeira classe.

Ex:

Amplitude total (At) de um conjunto de dadosé a diferença entre o maior valor e o menorvalor observado.

liLiAt −=

Page 95: Estatística Aplicada

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95

Classe Idades Nº de Alunos Ponto médio

1 8 __ 12 15 10

2 12 __ 16 18 14

3 16 __ 20 36 18

4 20 __ 24 45 22

5 24 __ 28 10 26

Neste caso considerando as características já descritas das distribuições de

freqüência, a amplitude total será obtida através da diferença entre o ponto médio

da última classe e o ponto médio da primeira classe, ou seja,

Desta forma, para a distribuição de freqüências acima, a amplitude total

será:

At = 26 – 10

At = 16

4.2 – O desvio médio (DM)

Um forma de utilizar todos os dados é determinar a distância entre os dados

observados e a média aritmética. A distância será representada pela diferença

entre o dados observado e a média aritmética do conjunto.

Este é o conceito de desvio em relação à média:

Entretanto é necessário lembrar que a média aritmética é um ponto

eqüidistante entre os dados.

Desta forma, a soma das distâncias entre os dados observados e a média

aritmética será igual a zero.

Utilizando um dos grupos do exemplo:

Grupo B: 1, 3, 5, 7 e 9

Desvio em relação à média é a diferença entre ovalor observado e a média do conjunto.

)____()____( classeprimeiradamédiopontoclasseúltimadamédiopontoAt −=

Page 96: Estatística Aplicada

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96

Sabe-se que a média aritmética (média) é igual a 5 (cinco).

Pode-se indicar o Grupo B como sendo formado pelos seguintes elementos:

Grupo B : x1, x2, x3, x4, x5

Desta forma, pela definição, pode determinar o desvio em relação à média:

Substituindo os valores, tem-se:

Desvio = (1-5)+(3-5)+(5-5)+(7-5)+(9-5)

Desvio = (-4)+(-2)+(0)+(2)+(4)

Desvio =0

Se os desvio forem iguais a zero, de nada adianta para a análise.

Para que se tenha uma estatística que realmente meça a variação, pode-se

tomar a soma dos valores absolutos das distâncias.

Desta forma, pode-se aprimorar o conceito de desvio em relação à média.

Simbolizando:

Logo, o cálculo do desvio em relação à media do Grupo B, passaria a ser:

Desvio = (1-5)+(3-5)+(5-5)+(7-5)+(9-5)

Desvio = (-4)+(-2)+(0)+(2)+(4)

Desvio = 12

)()()()()( 54321 médiaxmédiaxmédiaxmédiaxmédiaxDesvio −+−+−+−+−=

Verifique que o desvio dos outros grupo também éigual a zero.

Valor absoluto ou módulo é o número sem sinal.Quando se deseja indicar o valor absoluto oumódulo, de uma operação, utiliza-se duas barrasparalelas: 5-9 = 4 ( o número sem sinal)

Desvio em relação à média é o valor absolutoda diferença entre o valor observado e a médiado conjunto.

)()()()()( 54321 médiaxmédiaxmédiaxmédiaxmédiaxDesvio −+−+−+−+−=

Page 97: Estatística Aplicada

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97

Para aprimorar o resultado, deve-se determinar a média do desvio,

passando-se a ter o conceito do desvio médio:

Simbolizando:

Utilizando a notação em somatório:

Desta forma, o desvio médio do grupo B seria:

-Desvio Médio em uma variável Contínua

Para a determinação do desvio médio de uma distribuição de freqüências

representada por uma variável contínua, as distâncias de cada observação deve ser

ponderada pela freqüência de cada observação.

Desvio médio é a média entre a soma do valorabsoluto da diferença entre cada valorobservado e a média do conjunto, e o númerode observações.

n

médiaxmédiaxmédiaxmédiaxmédiaxoDesvioMédi

)()()()()( 54321 −+−+−+−+−=

n

médiaxDM

n

ii∑

=

−= 1

4,25

125

)59()57()55()53()51(

=∴=

−+−+−+−+−=

DMDM

DM

Calcule o desvio médio dos outros grupos doexemplo.Qual foi o grupo com o menor desvio médio, ogrupo A ou o grupo B?O menor desvio médio indica que os dados estãomais concentrados em torno da média.

Page 98: Estatística Aplicada

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98

Foi verificado anteriormente que o número de termos de uma observação

representada por intermédio de uma variável contínua é, na verdade, a soma das

freqüências das classes.

Desta forma, o desvio médio para uma variável contínua pode ser indicada

da seguinte forma:

Ou, considerando que Σ fi é igual ao número de termos da distribuição (n),

que

Se o exemplo:

Classe Idades Nº de Alunos Ponto médio

1 8 __ 12 15 10

2 12 __ 16 18 14

3 16 __ 20 36 18

4 20 __ 24 45 22

5 24 __ 28 10 26

O objetivo é determinação o desvio médio (grau de dispersão) entre as

observações (idades) e a média aritmética das idades.

Deve-se, inicialmente calcular a média aritmética.

Sabe-se que a média aritmética é indicada por:

Então:

=

=

−=

n

ii

n

iii

f

médiaxfDM

1

1

n

médiaxfDM

n

iii∑

=

−= 1

∑∑=

i

ii

f

mfMédia

Page 99: Estatística Aplicada

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99

Classe Idades Nº de Alunos

(fi)

Ponto médio

(mi)

fimi

1 8 __ 12 15 10 150

2 12 __ 16 18 14 252

3 16 __ 20 36 18 648

4 20 __ 24 45 22 990

5 24 __ 28 10 26 260

Σ 90 2.300

Logo, a média aritmética é:

Precisa-se, então, determinar o módulos das distâncias entre cada

observação (idades) e a média aritmética da distribuição:

Classe Idades Nº de Alunos

(fi)

Ponto médio

(mi)

fimi fi (mi - média)

1 8 __ 12 15 10 150 234

2 12 __ 16 18 14 252 208,8

3 16 __ 20 36 18 648 273,6

4 20 __ 24 45 22 990 162

5 24 __ 28 10 26 260 4

Σ 90 2.300 882,4

Logo, do desvio médio será igual a:

anosMédia

Média

f

mfMédia

i

ii

6,2590

300.2

=

=

=∑∑

anosDMDM

f

médiaxfDM n

ii

n

iii

8,9904,882

1

1

=∴=

−=

=

=

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100

É necessário que sejam feitas algumas observações sobre o desvio médio:

a) o desvio médio resulta em um resultado mais vantajoso (para

análise da dispersão) do que a amplitude ou do que ao desvio,

principalmente pelo fato de, em seu cálculo, levar em consideração

todos os valores da distribuição;

b) apesar do desvio médio expressar aceitavelmente a dispersão de

uma amostra, não é tão freqüentemente empregado, pois o desvio

médio despreza o fato de alguns desvio serem negativos e outros

positivos, pois essa medida os trata como se fossem todos

positivos.

Há uma outra medida de dispersão mais adequada, que é a mais conhecida

e a mais usada academicamente, que é o desvio padrão.

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101

4.3 – O desvio padrão

Há duas formas para eliminar sinais negativos: uma é a utilização dos

valores absolutos (ou módulos), outra é elevar-se o número ao quadrado.

Tratando-se de desvios (distâncias entre a observação e a média

aritmética) pode-se elevar-se ao quadrado o resultado da diferença.

Porém, surge um problema:

- todas as observações possuem unidades de medida, como por exemplo

anos, pesos em quilogramas, alturas em metros, etc.

A diferença entre a observação e a média (que mantém a unidade da

observação), possui uma unidade de medida.

Ao elevar-se ao quadrado um número que possui uma unidade, eleva-se ao

quadrado também a unidade de medida.

Desta forma, supondo que o desvio entre uma observação e a média

aritmética da amostra seja igual a - 2,3 anos (com valor negativo), o quadrado

deste valor será igual à 5,29 anos2 , o que não faz nenhum sentido.

Considerando o exemplo:

Grupo B: 1, 3, 5, 7 e 9

Sabe-se que a média aritmética (média) é igual a 5 (cinco).

Pode-se, para o cálculo do desvio, para eliminar os valores negativos,

elevar-se as distância (diferenças entre cada observação e a média aritmética) ao

quadrado.

Desta forma ter-se-á:

O valor encontrado deve ser interpretado com uma unidade que será o grau

ao quadrado. Não faz sentido.

Todo número elevado ao quadrado é positivo ou, nomínimo, igual a zero (já que zero ao quadrado éigual a zero).

40

1640416

)4()2()0()2()4(

)59()57()55()53()51(22222

22222

=

++++=

+++−+−=

−+−+−+−+−=

Desvio

Desvio

Desvio

Desvio

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102

Foi visto anteriormente que deve-se dividir o resultado pelo número de

observações, para o cálculo do desvio médio. Entretanto, considerando uma série

de conceitos que não são objeto deste estudo, o resultado será dividido pelo

número de observações menos um (n-1).

Desta forma, tem-se que:

O valor encontrado é, na realidade a variância.

A variância é indicada pela seguinte expressão:

A variância mede a dispersão média em torno da média aritmética, isto é,

como as observações maiores flutuam acima dela e as observações menores se

distribuem abaixo dela.

Desta forma, o valor anteriormente calcula é a variância, logo

δ2 = 10

Se o denominador for n em vez de n-1, a médiadas diferenças ao quadrado em torno da médiaaritmética seria obtida. No entanto, n-1 é utilizadodevido a certas propriedades matemáticasdesejáveis pela estatística que mostram que àmedida que cresce o tamanho da amostra, adiferença na divisão pó n ou n-1 vai se tornandocada vez menor.

1015

40

=−

=

Desvio

Desvio

Variância da amostra é aproximadamente amédia das diferenças ao quadrado entre cadauma das observações de um conjunto dedados e a média aritmética do conjunto.

Variância é simbolizada por δ2. ( δ - letragrega delta, em minúsculo)

1

)( 22

−= ∑

n

médiaxiδ

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103

No entanto seus cálculo resultam em unidades ao quadrado.

Para corrigir esta distorção, extrai-se a raiz quadrada da variância e passa-

se a ter a mais utilizada medida de dispersão – o desvio padrão.

O desvio padrão é assim definido:

O desvio padrão é indicado pela seguinte expressão:

O desvio padrão da amostra pode ser calculado:

Quanto menor for o desvio padrão, mais significativa será a utilização da

média para interpretar o conjunto.

Quanto menor for o desvio padrão menor será a variabilidade das

observações em torno da média aritmética.

- Cálculo da variância e do desvio padrão para dados dispostos em

variável contínua

O cálculo do desvio padrão para dados grupados segue procedimento

análogo ao utilizado para o cálculo do desvio médio.

Seja o exemplo:

Desvio padrão é a raiz quadrada da soma dasdiferenças ao quadrado em torno da médiaaritmética dividida pelo tamanho da amostramenos 1.

O desvio padrão é simbolizado por δ

1

)( 2

−= ∑

n

médiaxiδ

2,3

10

=

=

δ

δ

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104

Classe Idades Nº de Alunos Ponto médio

1 8 __ 12 15 10

2 12 __ 16 18 14

3 16 __ 20 36 18

4 20 __ 24 45 22

5 24 __ 28 10 26

Determinar a variância e o desvio padrão das idades em relação à média

aritmética.

Conforme foi verificado anteriormente, a média aritmética é de 25,6 anos.

Desta forma, utilizando a fórmula para a variância para dados grupados

E sabendo-se que o desvio padrão nada mais é do que a raiz quadrada da

variância, logo

Verifica-se:

Classe Idades Nº de

Alunos

Ponto

médio mi-média(mi-média)2

fi(mi-média)2

1 8 __ 12 15 10 -15,6 243,4 3654,0

2 12 __ 16 18 14 -11,6 134,6 2422,8

3 16 __ 20 36 18 -7,6 57,8 2080,8

4 20 __ 24 45 22 -3,6 13,0 585,0

5 24 __ 28 10 26 0,4 0,2 2,0

Σ 124 8744,6

( )1

22

−=∑

n

médiamf iiδ

2δδ =

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105

Então, substituindo-se os valores nas fórmulas, tem-se:

a) a variância

b) o desvio padrão

1,711124

6,8744

2

2

=−

=

δ

δ

anos4,8

1,71

=

=

δ

δ

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106

5. Correlação e Regressão

Nos capítulos anteriores foram mostrados dados que identificam a

característica de um determinado experimento, como por exemplo as notas dos

alunos em uma turma.

Entretanto muitas vezes busca-se determinar a relação de causa x efeito

entre duas variáveis, como por exemplo o número de anos de estudo e a renda

média dos indivíduos, ou a relação entre o peso e a altura dos indivíduos.

5.1 – Diagrama de Dispersão

A maneira mais simples de se estudar a relação entre duas variáveis é

fazendo um gráfico denominado diagrama de dispersão.

Para a construção de um diagrama de dispersão deve-se

seguir os seguintes passos:

a. colete pares de dados (X e Y) das variáveis que pretende estudar;

b. trace um sistema de eixos cartesianos e represente uma variável

em cada eixo;

c. estabeleça as escalas de maneira a dar ao diagrama o aspecto de

um quadrado;

d. faça um ponto para representar cada par de valores x e y.

Seja o exemplo:

- Foi efetuada uma pesquisa onde foram verificadas as alturas e os pesos

de um grupo de alunos, o que possibilitou a construção da seguinte

tabela:

Altura (X) 1,65 1,70 1,58 1,64 1,63 1,64 1,61

Peso (Y) 58 67 45 73 56 49 54

O diagrama de dispersão terá este formato:

O diagrama de dispersão é um gráfico quepermite visualizar a relação entre duasvariáveis.

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107

0

10

20

30

40

50

60

70

80

155 160 165 170 175

Alturas

Pesos

Feito o diagrama, observe a direção e a dispersão dos pontos.

No exemplo verifica-se que sendo constatado um aumento da altura, há um

aumento do peso.

Para a construção do diagrama de dispersão você poderá utilizar o

Assistente Gráfico do Microsoft Excel.

Siga os seguintes passos:

1 – abra o Microsoft Excel;

2 – digite os dados coletados, aos pares, em forma de coluna;

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108

3 – Marque o bloco com os valores ( clique com o mouse sobre o primeiro

valor, arraste para a direita e para baixo, até sombrear todos os valores );

4 – Ative o Assistente Gráfico (procure na Barra de Ferramentas) e selecione

DISPERSÃO;

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109

5 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre Avançar>, duas vezes, e sua

tela terá este formato

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110

6 – Posicione o cursor sobre a área Título, clique com o botão esquerdo do mouse

e preencha o título do gráfico. Repita a operação em Eixo de Valores X

(corresponde às alturas) e em Eixo de Valores Y (corresponde aos pesos);

7 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre Linhas de Grade e desmarque

as opções que estiverem ativadas. Repita a operação em Legenda. Em seguida

clique com o botão esquerdo do mouse sobre Avançar >;

8 – Clique em Concluir.

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111

9 – Seu gráfico de dispersão está concluído.

10 - Não se esqueça de salvar o arquivo.

5.2 – Correlação Linear

Vários são os formatos que podem ser observados em um diagrama de

dispersão e cada um deles deverá ter uma interpretação particular:

a) Correlação Positiva Fraca – indica que os itens analisados

possuem algum grau de dependência entre si, ou seja, sendo

constatada uma variação positiva de X (aumento do valor de X),

verifica-se alguma variação no mesmo sentido de Y, porém de

forma irregular;

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112

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 50 100 150 200 250

b) Correlação Positiva Forte – indica que os itens analisados possuem

forte grau de dependência, ou seja, sendo constatada uma

variação positiva em X, verifica-se uma variação bem acentuada

de Y, no mesmo sentido, porém não totalmente proporcional;

0

2

4

6

8

10

12

14

0 50 100 150 200 250

c) Correlação Positiva Perfeita – neste caso as variações de X

implicam em uma variação de Y, nas mesmas proporções. O

gráfico tem a aparência de uma linha reta ascendente;

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113

7,8

8

8,2

8,4

8,6

8,8

9

9,2

9,4

9,6

0 50 100 150 200 250

d) Correlação Negativa Fraca - indica que os itens analisados

possuem algum grau de dependência entre si, porém de maneira

inversa, ou seja, sendo constatada uma variação positiva de X

(aumento do valor de X), verifica-se alguma variação no sentido

contrário de Y (redução do valor de Y), porém de forma irregular;

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 50 100 150 200 250

e) Correlação Negativa Forte - indica que os itens analisados

possuem forte grau de dependência, de maneira inversa ou seja,

sendo constatada uma variação positiva em X, verifica-se uma

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114

variação bem acentuada de Y, no sentido contrário, porém não

totalmente proporcional;

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 50 100 150 200 250

f) Correlação Negativa Perfeita - neste caso as variações de X

implicam em uma variação de Y, no sentido inverso. O gráfico tem

a aparência de uma linha reta descendente;

0

10

20

30

40

50

60

0 50 100 150 200 250

g) Correlação Nula – não existe nenhuma relação entre as variáveis.

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115

0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100

Existem casos em que a relação entre as variáveis é considerada não linear,

ou seja, não se aproxima de uma linha reta, como por exemplo:

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 20 40 60 80 100 120

Muitas vezes, mesmo que não se disponha dos dados, é possível que sejam

interpretadas as correlações entre duas variáveis.

Identifique o tipo de correlação entre as seguintes variáveis:

a) preço de um produto e a quantidade consumida do produto;

b) número de horas de estudo e médias do aluno;

c) horas de treinamento e produtividade.

As soluções são:a) forte correlação negativa;b) correlação positiva fraca;c) correlação positiva fraca.

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116

A denominação forte e fraca poderá ser muito afetada em razão de questões

pessoais e pode ser afetada pela construção inadequada do diagrama de dispersão.

A estatística possibilita a análise através da determinação de um coeficiente que

indique como as variáveis X e Y estão se correlacionando.

5.3 – Coeficiente de Correlação ( r )

O coeficiente de correlação é uma medida do grau de associação linear entre

duas variáveis.

Seu valor varia entre –1 e 1.

Esquematizando:

-1 0 1

Quanto mais próximo de –1, mais negativa será a correlação entre as

variáveis. Para os valores compreendidos entre 0 e –0,5, diz-se que há fraca

correlação negativa. Para os valores menores do que –0,5, inclusive, diz-se que há

forte correlação negativa.

Quanto mais próximo de 1, mais positiva será a correlação entre as

variáveis. Para os valores compreendidos entre 0 e 0,5, diz-se que há fraca

correlação positiva. Para os valores maiores do que 0,5, inclusive, diz-se que há

forte correlação positiva.

Se o valor de r for igual a zero, diz-se que não há correlação entre as

variáveis.

Page 117: Estatística Aplicada

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117

Se o valor for igual a –1, diz que há correlação negativa perfeita entre as

variáveis.

Se o valor for igual a 1, diz-se que há correlação positiva perfeita entre as

variáveis.

O cálculo da correlação implica na utilização de uma fórmula, denominada

de coeficiente de correlação momento-produto de Pearson, um tanto complexa para

o nosso nível de estudos, conforme pode ser verificado:

Onde n representa o número de pares de dados.

Entretanto pode-se recorrer ao Microsoft Excel para o cálculo do Coeficiente

de Correlação.

Seja o exemplo:

Foi efetuado um levantamento sobre a renda das famílias dos alunos de uma

escola e o número de filhos de cada família, o que possibilitou a construção da

tabela abaixo:

Famílias Renda (R$) Nº de Filhos

A 1.500,00 5

B 1.800,00 4

C 1.200,00 3

D 3.800,00 1

E 4.300,00 2

F 1.700,00 3

G 2.000,00 2

H 3.400,00 2

I 1.800,00 4

J 3.400,00 1

Qual será a correlação entre a renda familiar e o número de filhos destas

famílias?

∑ ∑∑∑∑ ∑ ∑

−−

−=

2222 )()({})()({

))((

yynxxxn

yxxynr

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118

Pode-se inicialmente visualizar, através da construção do diagrama de

dispersão se há correlação positiva ou negativa.

0

1

2

3

4

5

6

0,00 1.000,00 2.000,00 3.000,00 4.000,00 5.000,00

Visualiza-se uma correlação negativa, ou seja, é possível verificar que o

número de filhos diminui à medida em que aumenta a renda.

Mas qual será o coeficiente de correlação?

- Utilizando o Microsoft Excel

1 – Digite os dados da tabela

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119

2 – Selecione, com o mouse, na Barra de Ferramentas fx. Na caixa de

diálogo selecione do lado esquerdo Estatística e do lado direito CORREL;

3 – Clique OK;

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120

4 – Na caixa de diálogo, clique com o botão esquerdo do mouse, no ícone

colorido da linha Matriz 1;

4 – Selecione os valores da coluna Renda, clicando com o mouse (botão

esquerdo) sobre o primeiro valor e arrastando até o último valor. Clique outra vez

sobre o ícone colorido que aparece na tela (após a linha em branco);

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121

4 – Na caixa de diálogo, clique com o botão esquerdo do mouse, no ícone

colorido da linha Matriz 2. Selecione os valores da coluna Filhos, clicando com o

mouse (botão esquerdo) sobre o primeiro valor e arrastando até o último valor.

Clique outra vez sobre o ícone colorido que aparece na tela (após a linha em

branco).

5 – Clique OK.

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122

O valor –0,749981433 indica forte correlação negativa entre as variáveis.

Desta forma pode-se afirmar que a renda familiar influencia negativamente o

número de filhos das famílias, ou seja, quanto maior for a renda das famílias,

menor será o número de filhos, para a amostra analisada.

Uma outra forma de ser efetuada a análise do coeficiente de correlação é

multiplicar o resultado por 100, onde o resultado será identificado por intermédio

de porcentagem.

No exemplo, -0,75 (já arredondando o valor), multiplicado por 100 é igual a

- 75. Logo, - 75 %.

Interpreta-se da seguinte maneira:

- a renda das famílias influencia de maneira inversa o número de filhos das

famílias em 75 %.

Page 123: Estatística Aplicada

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123

Referências:

DA SILVA, Ermes Medeiros, et al. Estatística 1 – 2. ed. São Paulo : Atlas,

1996.

MARTINS, Gilberto de Andrade;DONAIRE, Denis. Princípios de estatística.

São Paulo : Atlas, 1979.

LEVINE, David M.; BERENSON, Mark L.; STEPHAN, David. Estatística:teoria e

aplicações usando Microsoft Excel em português. Rio de Janeiro : LTC, 2000.

SPIEGEL, Murray Ralph. Estatística. 2. ed. São Paulo : McGraw-Hill do Brasil,

1985.

TOLEDO,Geraldo Luciano;OVALLE,Ivo Izidoro.Estatística Básica. 2. ed. São

Paulo : Atlas, 1985.

BUSSAB, Wilton de º;MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5. ed. São

Paulo : Saraiva, 2005.

TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 7. ed. Rio de Janeiro : LTC, 2004.

PEREIRA, Wilson;TANAKA,Oswaldo K. Elementos de Estatística. São Paulo :

McGraw-Hill do Brasil, 1984.