MEDIDAS DE DISPERSÃO

Medidas de tendência central fornecem um resumo parcial das informações de um conjunto de dados. A necessidade de uma medida de variação é aparente, para que nos permita, por exemplo, comparar conjuntos diferentes de valores. Algumas característica desta medida devem ser atendidos como veremos a seguir.

MEDIDAS DE DISPERSÃOAmostragem A: 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12Média 10; Mediana 10 e Bimodal (8, 12)

Amostragem B: 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15Média 10; Mediana 10 e sem Moda

Amostragem C: 1, 2, 5, 10, 15, 18, 19Média 10; Mediana 10 e sem Moda

As medidas de tendência central pouco ou nada informam a respeito da dispersão dos dados

O conceito de medida de dispersão é relativamente difícil. O quanto informativo é dizer que as três amostragens possuem dispersão 4, 10 e 18 (Y7-Y1)?

MEDIDAS DE DISPERSÃOAmostragem D: 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12

Média 10; Mediana 10 e Modal 10

Amostragem E: 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15Média 10; Mediana 10 e sem Moda

Amostragem F:1, 5, 8, 10, 12, 15, 19Média 9; Mediana 10 e sem Moda

Estes três conjuntos de dados também possuem dispersão máxima igual a 4, 10 e 18, respectivamente. As amostras A, B e C apresentam um maior número de observações mais distantes da média, enquanto nas amostras D, E e F ocorre um maior número de observações concentradas em torno da média. Torna-se interessante que haja uma definição a qual use todas as observações e que seja um pequeno valor quando as observações se aproximam da média e grande quando estas são espaçadas.

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Por fim considere os dados destas duas amostras:

Amostra A: 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15

Amostra B: 105, 106, 108, 110, 112, 114, 115

A dispersão (Y7-Y1) é igual nas duas amostra e, portanto, independe do tamanho dos números.

MEDIDAS DE DISPERÇÃOO critério geralmente utilizado é aquele que mede a concentração dos dados em torno da média, e algumas medidas são as mais usadas: desvio médio, variância, desvio padrão e Coeficiente de Variação.

Ex: 3, 4, 5, 6, 7 (média 5), os desvios xi-x, são: -2, -1, 0, 1 ,2.

1, 3, 5, 7, 9 (média 5), os desvios xi-x, são: -4, -2, 0, 2, 4.

É fácil observar que a soma dos desvios é igual a zero, o que torna inviável esta medida. As opções são:

a)Considerar o total dos desvios em valor absoluto (módulo) ou,

b)Considerar o total dos quadrados dos desvios. Assim teríamos:

Para a amostra: 3, 4, 5, 6, 7

= 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6 (a)

2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 (b)

xixni

i

5

1

xixni

i

5

1

DESVIO MÉDIOO desvio médio (DM) refere-se à média dos desvio em valor absoluto, como na fórmula a seguir, aplicada a amostra 3, 4, 5, 6, 7.

DM(x) = /n , usando o exemplo anterior DM(x) = 6/5 = 1,2

Para a amostra 1, 3, 5, 7, 9 teríamos:

DM(x) = /n , DM(x) = 12/5 = 2.4

Baseado nos dados, pode-se dizer que a primeira amostra é mais homogênea.

xixni

i

5

1

xixni

5

1

1

VARIÂNCIAA medida que contempla os aspectos apresentados e que é mais utilizada é a Variância. A variância é representada por dois símbolos: 2 (letra grega sigma) para população e s2 para uma amostra. As fórmulas para a variância da população e da amostra são apresentadas abaixo.

População: 2= 2/n

Amostra: s2= 2/n-1,

O denominador n-1 tem o propósito de tornar a variância da amostra a estimativa da variância da população. N-1 é conhecido como grau de liberdade e refere-se ao número de somas independentes lineares numa soma de quadrados.A variância é uma medida que expressa um desvio quadrático médio. A unidade da variância é portanto o quadrado dos dados originais. Ex: para dados expressos em centímetros a variância será expressa em centímetros quadrados.

k

i

i ixn1

xixnk

i

i 1

VARIÂNCIA

Para as amostras 3, 4, 5, 6, 7 e

1, 3, 5, 7, 9

As variâncias seriam:

S12 = (3-5)2+ (4-5)2 + (5-5)2+ (6-5)2+ (7-5)2/4 S1

2 =2,5

S22 = (1-5)2+ (3-5)2+ (5-5)2+ (7-5)2+ (9-5)2/4 S2

2 =10

A amostra 3, 4, 5, 6, 7 é mais homogênea.

VARIÂNCIA

Média = (0*4)+(1*5)+(2*7)+(3*3)+(5*1))/20=1,65

DM(x) = 4*(0-1,65) + 5* (1-1,65) + 7* (2-1,65) + 3* (3-1,65) + 1* (5-1,65)/20 = 0,98

Variância S2 = 4*(-1,65)2 + 5* (-0,65)2 + 7* (0,35)2 + 3* (1,35)2 + 1* (3,35)2/19 = 1,6

DESVIO PADRÃOSendo a variância uma medida que expressa um desvio quadrático médio, esta pode causar alguns problemas de interpretação. Para evitar isto, costuma-se usar o desvio padrão, que é definido como a raiz quadrada positiva da variância. Desta forma, tem-se uma medida de variabilidade expressa na mesma unidade dos valores do conjunto de dados. O desvio padrão (, para população e s para amostras) pode ser calculado através das seguintes fórmulas:

= e s =

O DESVIO PADRÃO DAS AMOSTRAS 3, 4, 5, 6, 7 e 1, 3, 5, 7, 9 seria:

S1= =1,58

S2= =3,16

k i

n

xin1

2 k i

n

xxin1

2

1

5,2

10

COEFICIENTE DE VARIAÇÃOA variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio padrão, ou qualquer outra medida de dispersão, é denominada dispersão absoluta. Entretanto, uma variação ou dispersão de 10 cm, na medida de uma distância de 1.000 m, é inteiramente diferente, quanto ao efeito, da mesma variação em uma distância de 20 cm. A medida desse efeito é proporcionada pela dispersão relativa, definida por:Dispersão relativa = Dispersão absoluta/médiaSe a dispersão absoluta é o desvio padrão s e a média é a aritmética, a dispersão relativa é denominada Coeficiente de Variação ou de Dispersão.

CV=

x

s100

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

O coeficiente de variação é geralmente expresso em percentagem. O C.V. é independente das unidades adotadas. Por essa razão, é vantajosa para a comparação de distribuições cujas unidades podem ser diferentes. Uma desvantagem do C.V. é que ele deixa de ser útil quando a média esta próximo de zero.

Baixa dispersão: CV 15%Média dispersão: CV 15-30%

Alta dispersão: CV 30%

ERRO PADRÃO DA MÉDIA(Sx)

Quando se obtém uma amostra aleatória de tamanho n, estima-se a média populacional. É bastante intuitivo supor que se uma nova amostra aleatória for realizada a estimativa obtida será diferente daquela primeira. Desta forma, reconhece-se que as médias amostrais estão sujeitas à variação e formam populações de médias amostrais, quando todas as possíveis amostras são retiradas de uma população.

O erro padrão analisa a variabilidade de uma média

Erro padrãoFornece um mecanismo de medir a precisão com que a média

populacional foi estimada

n

SSx

ExercíciosDada a tabela abaixo, calcule:

Desvio médio, Variância, Desvio padrão, Coeficiente de variação e erro padrão da média

33 35 35 39 41 41 42 45 47 48

50 52 53 54 55 55 57 59 60 60

61 64 65 65 65 66 66 66 67 68

69 71 73 73 74 74 76 77 77 78

80 81 84 85 85 88 89 91 94 97