Estatística Descritiva

1Prof. Dr. Hercules de Souza

ESTATÍSTICA

DESCRITIVA

1


O que é Estatística?

• Poder-se-ia sintetizar como sendo a

ciência dos dados. Historicamente

surgiu a partir de dois fenômenos

distintos: a necessidade de dados

censitários e o desenvolvimento da

teoria do cálculo das probabilidades.

2


ALGUNS CONCEITOS

ESTATÍSTICOS IMPORTANTES

• ESTATÍSTICA DESCRITIVA Sugere a organização, sumarização e descrição de um conjunto de dados. Com a construção de gráficos, tabelas, e com o cálculo de medidas com base em uma coleção de dados numéricos.

3


• por exemplo, com as idades dos

alunos, poderemos melhor

compreender o comportamento da

variável expressa no conjunto de dados

sob análise.

4


ALGUNS CONCEITOS


• ESTATÍSTICA INFERENCIAL Pode-

se definir como sendo os métodos que

tornam possível a estimação de

características de uma população

baseadas nos dados amostrais.

5


ALGUNS CONCEITOS


• POPULAÇÃO É a totalidade de

itens, objetos ou pessoas sob

consideração.

• AMOSTRA É uma parte da

população que é selecionada para

análise.

6


SUPONHA A SEGUINTE

TABELA

EMPRESA

BOLSA DE

VALORES

SÍMBOLO DO

PAINEL

VENDAS

ANUAIS

(milhões de

reais)

PREÇO DA AÇÃO

(R$)

Petrobrás ON Peb 215,70 11,5

Ford PN Fd 107,5 9,2

Arisco PP Ar 23,7 3,5

Microsoft ON Mft 89,9 9,8

Intel PN Itl 323,8 8,7

Cosipa PP Cpa 157,2 12,7

Açominas ON Mas 79,3 6,6

7


• ELEMENTOS São as entidades

sobre os quais os dados são coletados,

por exemplo, na tabela anterior, cada

empresa é um elemento.

• VARIÁVEL É uma característica de

interesse para os elementos (quatro

variáveis na tabela anterior).

8


• VARIÁVEL QUALITATIVA Bolsa de

valores constitui uma variável

qualitativa. O símbolo do painel

eletrônico também constitui uma

variável qualitativa.

• VARIÁVEL QUANTITATIVA Vendas

anuais denotam uma variável desse

tipo.

9


• DADOS QUANTITATIVOS Indicam

quantidade, ex: 215,70 milhões de

reais.

• DADOS QUALITATIVOS Podem ser

numéricos ou não, por exemplo,

podemos especificar que um significa

uma ação comercializada na Bolsa de

valores de SP.

10


DESCRIÇÃO GRÁFICA DE

VARIÁVEIS QUALITATIVAS

• Coluna, Pizza e Barra são os gráficos

mais comuns para a descrição de

dados oriundos de variáveis

qualitativas.

11


Preço das ações de três

empresas em um determinado

ano (R$)

1° Trim 2°Trim 3° Trim 4° Trim

Petrobrás 20,4 27,4 90,0 20,4

Açominas 30,6 38,6 34,6 31,6

Arisco 45,9 46,9 45,0 43,9

12


COLUNA

13


PIZZA

Petrobrás

14


BARRA

15


• EXEMPLOS DE

APRESENTAÇÕES DE

DADOS

• Exemplo: Características do

eleitor nordestino. (Veja

16/08/2006)

16

17Prof. Dr. Hercules de Souza 17


Compensação salarial em

relação ao nível de instrução

(Veja 06/09/2006)

18


DESCRIÇÃO GRÁFICA DE

VARIÁVEIS QUANTITATIVAS

TABELA 1

21

7,2 4,9 10,7 10,4 6,4 4,8 4,7 4,6 6,0 5,4

4,8 4,7 8,3 3,9 4,8 8,3 6,4 6,6 4,5 8,0

3,6 2,4 8,5 8,8 7,7 4,9 8,6 12,0 4,9 7,0

11,0 4,9 3,9 4,9 4,4 4,9 4,9 8,0 3,6 7,4

7,9 4,9 5,8 3,9 11,6 10,3 3,4 3,9 5,0 3,9

8,0 3,5 4,9 5,8 4,1 3,9 3,5 4,8 5,9 3,6


• Ao arranjo dos dados numéricos brutos

da tabela anterior em ordem crescente

(poderia ser decrescente) chama-se de

ROL, e denomina-se como

AMPLITUDE TOTAL dos dados como

sendo a diferença entre o maior e o

menor número do ROL.

22


ROL CRESCENTE

da TABELA 1

23

2,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,6 3,9 3,9 3,9

3,9 3,9 3,9 4,1 4,4 4,5 4,6 4,7 4,7 4,8

4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9

4,9 4,9 5,0 5,4 5,8 5,8 5,9 6,0 6,4 6,4

6,6 7,0 7,2 7,4 7,7 7,9 8,0 8,0 8,0 8,3

8,3 8,5 8,6 8,8 10,3 10,4 10,7 11,0 11,6 12,0


Descrição dos dados inicialmente a partir

da chamada:DISPOSIÇÃO

RAMO-E-FOLHA

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4

969694995956

9876878599994999918

48089

4046

27049

33058600

743

06

0

24


DISTRIBUIÇÃO DE

FREQÜÊNCIA

• É um sumário tabular de dados que

mostra a freqüência de observações em

cada uma das diversas classes não

sobrepostas.

25


DISTRIBUIÇÃO DE

FREQÜÊNCIA

• Freqüência absoluta de cada classe Total de elementos em cada classe.

• Freqüência relativa Para um conjunto de dados com N observações, a freqüência relativa de cada classe é como segue:

• Freqüência relativa = freqüência absoluta da classe/N

• A freqüência percentual de uma classe é a freqüência relativa multiplicada por 100.

26


Exemplo: Empresas

(número de funcionários)

27

Empresa Frequência abs. Frequência rel. Frequência Perc.

Empresa 01 380 0,38 38,00 %

Empresa 02 160 0,16 16,00 %

Empresa 03 100 0,10 10,00 %

Empresa 04 260 0,26 26,00 %

Empresa 05 100 0,10 10,00 %

Total 1000 1,00 100,00 %


Para a construção de uma distribuição de

frequência são necessários alguns cálculos

iniciais:

1. Amplitude total (R) = maior valor da

amostra menos o menor valor da

amostra.

29


2. Número de classes São formadas

especificando-se os intervalos que

serão usados para agrupar as

observações no conjunto de dados.

Número de Classes (Fórmula de

Sturges): k 1+3,33log n (n = número

de elementos que se deseja

representar).

30


3. Tamanho do intervalo de cada classe

(h): (pode ser representado por

intervalo fechado, aberto ou misto)

h R/k

31


Com isso é possível construir um

histograma, que é uma representação

gráfica de frequência por meio de

retângulos justapostos ou um gráfico

denominado polígono.

32


O histograma pode ser de freqüências

absolutas, de freqüências relativas ou

de freqüências percentual ou um

polígono de freqüência que seria a

ligação, através de retas, do ponto

médio de cada retângulo.

33

35

EXEMPLO PARA ELABORAÇÃO

DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE

FREQUÊNCIA

2,1 4,8 5,5 10,4

3,3 3,5 4,8 5,8

5,3 5,5 2,8 3,6

5,9 6,6 7,8 10,5

7,5 6,0 4,5 4,8

Prof. Dr. Hercules de Souza

36

ROL CRESCENTE


37

Número de classes:

k = 1+3,33 log20=5,33 ~ 6 classes

Amplitude: R = 10,5 -2,1= 8,4

Largura da classe:

h ~ R/k = 8,4/(1+3,33 log20)= 1,58 ~ 1,6


38

OBSERVAÇÃO:

O número de classes e a largura das

mesmas deve ser tal que todos os

elementos da amostra estejam contidos

nessas classes e a última classe deve

conter pelo menos um elemento.



Faça uma distribuição de freqüência

absoluta, relativa, percentual e

percentual acumulada e em

seguida construa um histograma

de freqüência absoluta e um

polígono com os dados da

TABELA 1

42


ROL CRESCENTE

da TABELA 1

43

2,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,6 3,9 3,9 3,9

3,9 3,9 3,9 4,1 4,4 4,5 4,6 4,7 4,7 4,8

4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9

4,9 4,9 5,0 5,4 5,8 5,8 5,9 6,0 6,4 6,4

6,6 7,0 7,2 7,4 7,7 7,9 8,0 8,0 8,0 8,3

8,3 8,5 8,6 8,8 10,3 10,4 10,7 11,0 11,6 12,0


Gráfico de ogiva

Os gráficos chamados de ogivas

correspondem a um polígono de

freqüências acumuladas, nas quais

estas freqüências são localizadas sobre

perpendiculares levantadas nos limites

inferiores ou superiores das classes,

dependendo se a ogiva representar as

freqüências acumuladas.

44


Minutos gastos ao telefone

102 124 108 86 103 82

71 104 112 118 87 95

103 116 85 122 87 100

105 97 107 67 78 125

109 99 105 99 101 92

45


Fazendo uma distribuição de

freqüência com 5 classes, teremos:

Classe Ponto

médio

Freqüência relativa

Freqüência cumulativa

67–78

79–90

91–102

103–114

115–126

72,5

84,5

96,5

108,5

120,5

0,10

0,17

0,27

0,30

0,17

3

8

16

25

30

46


Gráfico de ogiva e um gráfico de freqüência cumulativa

que mostra o número de valores, em um conjunto de

dados, que são iguais ou inferiores a um dado valor x.

Fre

qüência

cum

ula

tiva

minutos

66,5 78,5 90,5 102,5 114,5 126,50

10

20

30

0

3

8

16

25

30

47

48

SETE FERRAMENTAS DA

QUALIDADE

1. Diagrama de causa-efeito (espinha de peixe ou Ishikawa);

2. Diagrama de Pareto;

3. Histogramas;

4. Folhas de verificação;

5. Gráficos de dispersão;

6. Fluxogramas;

7. Cartas de controle.


Diagrama de causa-efeito

(espinha de peixe ou Ishikawa) Fonte: Internet

Prof. Dr. Hercules de Souza 49


DIAGRAMA DE PARETO

O diagrama de Pareto é uma

homenagem ao engenheiro,

economista, filósofo e sociólogo italiano

Vilfredo Frederico Samaso Pareto

(1848 – 1923).

50

51

DIAGRAMA DE PARETO

Também conhecido como diagrama

ABC,80-20, é um gráfico de barras que

ordena as frequências das ocorrências,

da maior para a menor, permitindo a

priorização dos problemas, procurando

levar a cabo o princípio de Pareto.


52

PRINCÍPIO DE PARETO

Afirma que para muitos fenômenos, 80%

das consequências advêm de 20% das

causas. A lei foi sugerida por Joseph

Moses Juran, (1904-2008) que deu o

nome em honra ao economista italiano

Vilfredo Pareto.



DIAGRAMA DE PARETO

Considere uma amostra com 23

elementos: 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6,

6, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 10, 10.

54


Classe Freqüência

%

cumulativo Classe Freqüência

%

cumulativo

2 ├ 4 2 8,70% 6├ 8 9 39,13%

4├ 6 5 30,43% 4├ 6 5 60,87%

6├ 8 9 69,57% 8├ 10 5 82,61%

8├10 5 91,30% 2├ 4 2 91,30%

10├ 12 2 100,00% 10├ 12 2 100,00%

55

Como fazer um diagrama de

Pareto no Excel?

• 1º Passo: Construção da tabela: 1ª

coluna a descrição do problema ou

causa, na 2ª coluna teremos os valores

absolutos de cada problema e na 3ª

coluna o percentual acumulado.


Pareto no Excel?

• 2º Passo: Definição do tipo gráfico: a)

Selecione os valores na tabela. b)

Clique no ícone assistente de gráfico. c)

Na pasta “tipos personalizados”

selecione o gráfico “Lins – Cols. em 2

eixos” e clique em avançar. Na próxima

janela clique em avançar novamente.


Pareto no Excel?

• 3º Passo: Opções iniciais: a) Na pasta

título digite o título do gráfico. b) No

espaço “Eixo dos valores (x)” digite o

título para os problemas ou causas. c)

No espaço “Eixo dos valores (y)” digite

o título para os valores absolutos.


Pareto no Excel?

• 4º Passo: Na pasta Rótulos de dados

marque a opção “Mostrar rótulo”. Na

pasta Legenda desative a opção

“Mostrar legenda”. Clique em avançar e

concluir.


Exemplo da utilização de um diagrama de Pareto para tipos de

defeitos que ocorreram no processo de produção de placas de

circuito impresso.

Fonte: Internet

61

Exemplo da utilização de um diagrama de

Pareto para tipos de defeitos que

ocorreram em caixas de marcha de

veículos no processo de produção.

Fonte: Internet


65

FATORES DE MORTANDADE NO TRÂNSITO

DE BRASÍLIA (fonte: Detran - DF – 2001)

Atropelamento de pedestre 163

Colisão 122

Capotamento 36

Choque com objeto fixo 43

Queda 17

Atropelamento de animal 01

Demais tipos 04

Total 386


Motivos dos atrasos em cirurgias marcadas

Fonte: balancedscorecard.blogspot.com

Prof. Dr. Hercules de Souza68

• Governo do Estado de São Paulo

elaborou um relatório baseado nos

dados do PROCON em 2010. Uma das

informações levantadas foi a

participação das “Áreas de Assuntos”

nas reclamações procedentes

recebidas em 2010.

Sistema de atendimento ao cliente da

livraria virtual


MEDIDAS DE

TENDÊNCIA

CENTRAL OU DE

POSIÇÃO

72


São medidas que possibilitam representar

um conjunto de dados relativos à

observação de determinado fenômeno

de forma resumida. Estas medidas nos

orientam quanto à posição da

distribuição no eixo dos números reais,

possibilitam comparações de conjuntos

de dados. Enfim, representam os

fenômenos pelos seus valores médios.

74


n

1i i

i

n Fn

n

2F

2

1F

1

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

ii_

x

F

nmh)harmônicaMédia(

xxxmg)geométricaMédia(

w

xw

x)ponderadaMédia(

n

Fx

x)amostralmédiaouaritméticaMédia(

75


EXERCÍCIO

• Dada a seguinte distribuição: Calcule a

média aritmética ou média amostral.

Xi 1 2 3 4

Fi 1 3 5 1

76


EXERCÍCIO

Sejam X1, X2, X3,.........,Xn, valores de X

associados às freqüências absolutas

F1, F2, F3,......Fn.

Calcule as médias geométricas

para as tabelas a seguir:

77


Xi 1 2 3 5

Fi 8 6 5 3

Xi 3 6 12 24 48

78


EXERCÍCIO

Sejam X1, X2, X3,.........,Xn, valores de X

associados às freqüências absolutas

F1, F2, F3,......Fn, respectivamente.

Calcule a média harmônica e

geométrica para a mostra: 2, 2, 2, 5,

5, 5, 5, 8, 8.

79

Utilizando uma calculadora científica

padrão Casio, HP ou similar

Antes de iniciar qualquer inserção de

dados na calculadora é interessante

limpar a memória. No caso da Casio o

procedimento é o seguinte:

• SHIFT

• MODE

• ALL

• =


Inserindo os dados na

calculadora

• 1- selecione em MODE a opção SD.

• 2- Insira o ponto médio de cada classe

seguido de ponto e vírgula (;) e a

frequência absoluta da mesma classe,

em seguida tecle M+.

• Siga esse procedimento até finalizar

com a última classe.


Observação: Como é vital a correta

inserção dos dados de ponto médio

e frequência absolutas na

calculadora, é recomendável

verificar se não houve nenhuma

inserção errada.


Como visto, a média aritmética amostral pode

ser calculada pela expressão:

O somatório do numerador da expressão acima

pode ser obtido clicando a tecla SHIFT e em

seguida a tecla 1. No display da calculadora

aparecerão 3 opções:

Escolha a opção 2

e em seguida divida

por n


n

FxX ii

321

2 nxx

A média aritmética amostral também

pode ser obtida diretamente seguindo o

seguinte procedimento:

• Teclar SHIFT e em seguida a tecla 2.

• Deverá aparecer no display da

calculadora 3 opções:

• 1- Média aritmética amostral:

• 2 – Desvio padrão populacional:

• 3 – Desvio padrão amostral:


X

n

nn Sou1


MEDIANA

É uma medida de posição que divide a

amostra ou a população em duas

partes iguais.

86


CÁLCULO DA MEDIANA PARA

UMA VARIÁVEL DISCRETA

Se o número n de elementos for ímpar, a

mediana será o elemento central, de

ordem (n+1)/2. Se o número n de

elementos for par, a mediana será a

média entre os elementos centrais de

ordem n/2 e n/2 +1.

87


EXEMPLO

Xi Fi Fac

1 1 1

2 3 4

3 5 9

4 2 11

=11

Como existem 11 elementos a mediana pode ser calculada

por (n+1)/2, logo (11+1)/2=6º elemento.

Nesse caso a mediana será o número 3.

88


EXEMPLO

Como existem 42 elementos a mediana pode ser calculada:

42/2 = 21º elemento e 42/2 +1=22º elemento. O 21º elemento

é o 87 e o 22º também, logo a mediana será (87+87)/2=87.

Xi Fi Fac

82 5 5

85 10 15

87 15 30

89 8 38

90 4 42

=42

89


CÁLCULO DA MEDIANA PARA

UMA VARIÁVEL CONTÍNUA

• Calcule a ordem N/2. Como a variável

é contínua não se preocupe se n é par

ou ímpar.

• Pela freqüência acumulada (Fac)

identifique a classe que contém à

mediana (classe Md).

90


1- Utilize a equação:

md

mdF

hf2

N

LMediana

Lmd = limite inferior da classe Md;

N = tamanho da amostra;

f = soma das freqüências anteriores à classe Md;

h = amplitude da classe Md;

Fmd = freqüência da classe Md.

91


EXEMPLO

Classes Fi Fac

35├45 5 5

45├55 12 17

55├65 18 35

65├75 14 49

75├85 6 55

85├95 3 58

=58

92


67,61

18

10172955Mediana

93


MODA

É o valor que mais se repete

na distribuição.

94


Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a identificação da moda se

faz simplesmente pela observação do elemento que apresenta maior freqüência.

Nesse caso a moda é 28

Xi 20 25 28 21 30

Fi 2 9 10 4 5

95


Para dados agrupados em classes pode-se utilizar a fórmula de Czuber:

1- Identificar a classe modal, ou seja, aquela que possui a maior freqüência.

2- Aplica-se a fórmula:

21

1 hinf.limModa

lim. Inf = limite inferior da classe modal.

1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior.

2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior.

h = amplitude da classe.

96


EXERCÍCIO: Calcule a moda da

seguinte distribuição:

1- A classe modal é a 3ª

2- 44,297

172Moda

Classes 0├ 1 1├ 2 2├ 3 3├ 4 4├ 5

Fi 3 10 17 8 5 43

97


Utilize os dados da TABELA 1

para calcular: a média, a moda,

e a mediana amostrais.

98


Separatrizes

A principal característica das

medidas separatrizes consiste na

separação da série em partes iguais

que apresentam o mesmo número

de valores.

99


Separatrizes

AS PRINCIPAIS SÃO OS

QUARTIS, DECIS E

PERCENTIS.

100


Quartis

• Os quartis são valores de um conjunto

de dados ordenados, que os dividem

em quatro partes iguais. É necessário,

portanto, três quartis (Q1, Q2 e Q3) para

dividir um conjunto de dados ordenados

em quatro partes iguais.

101


Quartis

• Q1 : deixa 25% dos elementos abaixo

dele.


dele e coincide com a mediana.


dele.

102


Quartis

• A fórmula para o caso da mediana (Q2)

pode ser adaptada para o cálculo de Q1

(n/4) e Q3 (3n/4).

103


Decis e percentis

• Identicamente para o caso do cálculo

dos quartis, os decis e os percentis

podem ser obtidos pela adaptação da

equação para o cálculo da mediana, o

que muda é:

• D1 = n/10, D2 = 2n/10 ......D9 = 9n/10

• P1 = n/100, P2 = 2n/100... P99 = 99n/100

104



para calcular:

Q1, Q2, Q3, D4, D7, P20, P60.

105


BOX-PLOT

• Visto as chamadas medidas de posição

de dados estatísticos, vamos retornar a

uma representação gráfica da síntese

desses dados chamada de Box-plot. É

um tipo gráfico muito utilizado,

representando a dispersão dos dados,

a mediana e os quartis.

106


200 – 11 - 2,5 - 5 – 5 - 5,5 – 3 - 3,5 – 3 - 0,4 - 3,2 – 5 – 3 - 3,2 - 7,4 - 6

0,4 - 2,5 - 3 - 3 - 3 - 3,2 - 3,2 - 3,5 - 5 - 5 - 5 - 5,5 - 6 - 7,4 - 11 - 200

•25% dos dados estão abaixo de 3, assim, o Primeiro Quartil é Q1=3;

•50% dos dados estão abaixo de 4,25, assim, o Segundo Quartil, (Q2) que também é a

Mediana é Q2=M=4,25;

•75% dos dados estão abaixo de 5,75, assim, o Terceiro Quartil é Q3=5,75

Exemplo: a seguinte amostra de dados colocados fora de ordem:

107


• Assim sendo podemos sumarizar esses

dados simplesmente fornecendo

apenas 5 valores:

valor mínimo = 0,4,

Q1=3,

mediana = 4,25,

Q3=5,75

Valor máximo = 200

108


Suponha os dados

sumarizados por sexo

Sexo F M

Q1 1,60 1,72

Min 1,52 1,62

Mediana 1,66 1,75

Max 1,79 1,90

Q3 1,70 1,82

109


1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

F M

110



para construir um Box-plot.

111


MEDIDAS DE

DISPERSÃO

112

• As medidas de variabilidade mais

conhecidas são:

• Amplitude total;

• Desvio simples;

• Desvio médio;

• Variância;

• Desvio padrão;

• Coeficiente de variação

de Pearson (CVP).



Amplitude total

É a diferença entre o maior e o menor

valor de uma distribuição.

Amplitude = Maior Valor – Menor Valor

114

Desvio simples

È a diferença entre cada valor da amostra

e a sua média aritmética.


xxdi

Desvio médio

Corresponde a média aritmética dos

valores absolutos dos desvios simples.


n

diDM


Variância

Trata-se da média aritmética dos

quadrados dos desvios. Pode ser

calculada tanto para uma amostra

quanto para uma população.

117


Desvio padrão

Baseia-se nos desvios dos elementos

amostrais ou populacionais em torno

da média aritmética. Ou seja,

corresponde à raiz quadrada da

variância.

118

119

O desvio padrão é definido desta

forma de maneira a dar-nos uma

medida da dispersão que:

1. Seja um número não-negativo;

2. Use a mesma unidade de medida dos

dados fornecidos inicialmente.

120

n

1i

2n

1i

ii

i

2

i

2

n

1i

i

2_

i

2

22

n

1i

2_

i

n

1i

2

i

n

Fx

Fx1n

1Sou

1n

F)xx(

S.)agrup.amosdados/pVar(

S)amostralVariância(alpopulacionVariância(

1n

)xx(

S)amostral.P.D(n

)x(

)alpopulacion.P.D(

121

Porque o desvio padrão costuma ser

mais apropriado que o desvio médio?

O cálculo do desvio médio considera apenas o módulo da diferença entre o

valor e sua média, enquanto que o desvio padrão considera o dobro dessa

diferença. Isso faz com que o desvio padrão tenha uma sensibilidade maior e capte melhor a variação dos números

em relação a sua média.

122

Observe as amostras abaixo:

1. (-1,5; -1,5; 0; 1,5; 1,5)Média= 0; DM = 1,2 e DP = 1,5000

2. (-2; -1; 0; 1; 2)Média= 0; DM = 1,2 e DP = 1,5811

3. (-2,5; -0,5; 0; 0,5; 2,5)

Média= 0; DM = 1,2 e DP = 1,8028

As amostras são diferentes, mas o desvio médio é sempre o mesmo; enquanto que o desvio padrão

varia de amostra para amostra e apresenta um valor maior naquela cujos números estão mais distantes

da média.

Exemplo

• Calcular o desvio padrão e a variância

para a seguinte amostra de dados não

agrupados: S2 = 10,267, S = 3,204


5 7 10 9 11

12 15 6 8 13

Obtendo o desvio padrão

amostralApós a inserção dos dados, como feito para o

cálculo da média aritmética amostral.

• Teclar SHIFT e em seguida a tecla 2.

• Deverá aparecer no display da calculadora 3

opções:

• 1- Média aritmética;

• 2 – Desvio padrão populacional;

• 3 – Desvio padrão amostral.



Coeficiente de variação de Pearson

É uma medida útil para a comparação

entre séries distintas, mesmo quando

essas se referem a fenômenos

distintos inclusive com unidades de

medidas diferentes.

125

100Média

PadrãoDesvioCVP

126

Exemplo

• Considere a tabela abaixo que contem a média

do comprimento e a massa de determinada

peça.

Média Desvio Padrão

Comprimento

(cm)8,0 2,0

Massa (g) 50,0 10,0

127

Qual das duas medidas possuem maior

homogeneidade?

Essa resposta pode ser respondida pelo cálculo

do Coeficiente de variação de Pearson.

CVP (comprimento) = (2,0 x 100)/8 = 25%

CVP (massa) = (10,0 x 100)/50 = 20 %

Logo a massa por possuir menor CVP

apresenta menor grau de dispersão


Classe Ponto médio Freqüência XiFi Xi2Fi

0 ├ 10 5 2 10 50

10 ├ 20 15 1 15 225

20 ├ 30 25 5 125 3125

30 ├ 40 35 8 280 9800

40 ├ 50 45 4 180 8100

n=20 Σ=610 Σ=21300

Exemplo


84,141S

20

61021300

19

1S

5,30X

2

22

129


%05,395,30

10091,11

91,11

CV

S

130


• Utilize os dados da TABELA 1

para calcular: A variância, o

desvio padrão amostrais e o

coeficiente de variação.

131

Outlier

O que é? É uma observação que

apresenta um grande afastamento das

demais da série[1] (que esta "fora" dela),

ou que é inconsistente.


http://pt.wikipedia.org/wiki/Outlier


TEOREMA DE TCHEBYCHEV

Pafnuti Lvovitch Tchebychev, matemático

russo que realizou vários trabalhos, no

século XIX na área de probabilidade e

Estatística, dentre eles esse famoso teorema.

Esse teorema diz que muitas vezes é

interessante descobrirmos, utilizando a

média e o desvio padrão, a posição relativa

de uma observação com relação a uma

amostra.

133


• O Teorema de Tchebychev permite

fazer observações sobre o percentual

dos dados que estão dentro de um

número específico de desvios padrões

da média.

134


Para qualquer distribuição amostral com média e desvio padrão S, tem-se:

• (X S) - O intervalo contém, no mínimo 68% de todas as observações amostrais.

• (X 2S) O intervalo contém, no mínimo 75% de todas as observações amostrais.

• (X 3S) O intervalo contém, no mínimo 89% de todas as observações amostrais.

135


ASSIMETRIA

• Assimetria é o grau de desvio, ou

afastamento de uma distribuição da

unidade de simetria.

136

137

• Se uma distribuição é simétrica então:

média = mediana = moda

• Se a distribuição é assimétrica positiva

então:

moda < Mediana < Média

• Se a distribuição é assimétrica negativa

então:

média < Mediana < Moda.X

X

X



Assimétrica negativa Assimétrica positiva

Simétrica

139

• Existem várias fórmulas para o cálculo do

coeficiente de assimetria, dentre elas, temos:

• 1º Coeficiente de Pearson:

• 2º Coeficiente de Pearson (Bowley):

s

MoxASou

MoxAS


13

d31

QQ

M2QQAS

140

• Se:

• AS = 0 diz-se que a distribuição é simétrica;

• AS > 0 diz-se que a distribuição é assimétrica

positiva (à direita);

• AS < 0 diz-se que a distribuição é assimétrica

negativa (à esquerda);



CURTOSE

• Curtose é o grau de achatamento de

uma distribuição, pode ser denominada

leptocúrtica (delgada), platicúrtica

(achatada) ou mesocúrtica (nem

delgada nem achatada).

141


Curva Leptocúrtica

Curva Mesocúrtica

Curva Platicúrtica

143

Índice Percentílico de Curtose:

Encontra-se este índice usando a

seguinte fórmula:


19

13

2 DD

QQC

144

• Se C<0,263 A distribuição é LEPTOCÚRTICA;

• Se C=0,263 A distribuição é MESOCÚRTICA;

• Se C>0,263 A distribuição é PLATICÚRTICA.



OBSERVAÇÃO

• O software Excel apresenta-se como uma

poderosa ferramenta de análise estatística,

permitindo ao seu usuário uma análise das

várias medidas estatísticas, vistas nesta

apostila.

• Para tanto basta que o usuário selecione a

opção Análise de Dados no menu

Ferramentas do Excel, e analise as várias

possibilidades estatísticas ali existentes.

145


EXERCÍCIOS

146


1. Suponha a idade de 50 funcionários de uma empresa, construa um histograma e

um polígono de freqüências absolutas. Calcule a média amostral, moda,

mediana, desvio padrão, Q1, Q3, P60 e D3. Faça um diagrama de Pareto e um

Box-plot, interpretando o seu significado. Interprete o Teorema de

Tchebychev.

18 20 20 21 22 24 25 25 26 27

29 29 30 30 31 31 32 33 34 35

36 36 37 37 37 37 38 38 38 40

41 43 44 44 45 45 45 46 47 48

49 50 51 53 54 54 56 58 62 65

147


2. Construa gráficos de barra e pizza, analise os dados e resuma seus resultados, a

partir das tabelas abaixo.

Causas de problemas de

coluna

Percentagem (%)

Quedas 20,8

Veículos 47,7

Esportes 14,2

Violência 14,6

Outros 2,7

Total 100,0

148


3. Construa gráficos de barra e pizza, analise os dados e resuma seus resultados, a

partir das tabelas abaixo.

Causas de problemas de

coluna por esporte

Percentagem (%)

Mergulho 66,0

Futebol 6,1

Ginástica 2,2

Equitação 2,0

Esportes de inverno 2,3

Esqui na neve 3,8

Surfe 3,1

Trampolim 2,6

Luta 2,3

Outros 9,6

Total 100,0

149


4. Dados relativos a uma amostra aleatória.

4,5 6,5 2,0 2,5 4,0 3,5 5,0 3,0 5,0 5,5

1,0 7,5 3,0 2,0 3,0 3,5 3,5 5,0 6,0 4,5

2,0 3,0 3,5 3,5 3,0 3,0 4,0 1,5 1,5 2,5

a) Posicione os dados em uma distribuição ramo-e-folha;

b) Elabore a distribuição de freqüência relativa e percentual;

c) Elabore um histograma de percentagem;

d) Elabore um polígono de percentagem.

e) Calcule a média aritmética a moda a mediana, Q1, Q3, P80 e D4, a variância e o

coeficiente de variação de Pearson e em seguida construa um diagrama de

Pareto e um box-plot. Interprete o Teorema de Tchebychev.

150


5. Distribuições de freqüências para contas a receber.

MONTANTE

Freqüência (março)

Freqüência

(abril)

R$ 0,00 ├ R$ 2.000,00

6

10

R$ 2.000,00 ├ R$ 4.000,00

12 14

R$ 4.000,00 ├ R$ 6.000,00

17 13

R$ 6.000,00 ├ R$ 8.000,00

10 10

R$ 8.000,00 ├ R$ 10.000,00

4 0

R$ 10.000,00 ├ R$ 12.000,00

1 3

Total 50 50

a) Construa um histograma e um polígono de freqüência absoluta para cada mês;

b) Construa um diagrama de Pareto para cada mês interpretando-os;

c) Calcule a média aritmética a moda a mediana e o desvio padrão, amostrais;

d) Calcule o coeficiente de variação de Pearson interpretando o seu significado.

151


6. Suponha a seguinte tabela onde temos os dias gastos para auditorias em

empresas. Construa um histograma de freqüências absolutas, um histograma de

freqüências relativas e um histograma de freqüências percentual. Calcule a

média amostral, moda, mediana, desvio padrão. Calcule também qual a

probabilidade das observações amostrais estarem entre a média mais ou menos

dois desvios padrões.

12 14 19 18

15 15 18 17

20 27 22 23

22 21 33 28

14 18 16 13

152


7. Calcular a média geométrica e harmônica para as séries: a) 8, 15, 10, 12.

b) 3, 4, 5, 6, 7, 8. c) 5, 7, 12, 15. d) 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6.

8. Calcule a média geral das turmas de uma escola na disciplina de matemática,

cujas médias por turma são as seguintes: turma A (40 alunos), média 6,5, turma

B (35 alunos), média 6,0, turma C (35 alunos), média 4,0 e turma D (20 alunos),

média 7,5.

153


9. Uma determinada instituição financeira possui 3 operadores trabalhando na

bolsa de valores de São Paulo. A tabela abaixo apresenta uma amostra com o

número de operações fechadas por um desses operadores nos últimos dois anos.

Utilize o Excel para as conclusões estatísticas possíveis.

14 12 13 11 12 13 16 14 14 15 17 14 11

13 14 15 13 12 14 13 14 13 15 16 12 12

154


10. A classe média brasileira gasta em média R$ 65,88 por mês jantando fora de

casa. Uma amostra com adolescentes forneceu, no último mês, os seguintes

gastos em R$, que os mesmos gastam em refeições ou lanches feitos fora de

casa:

253 101 245 467 131

0 225 80 113 69

198 95 129 124 11

178 104 161 0 118

151 55 152 134 169

Calcule a média, mediana, moda, variância e o desvio padrão. Qual a conclusão que se

pode tirar com relação aos gastos desses adolescentes com relação à média da classe

média brasileira.

155


11. Um levantamento foi realizado com relação à habilidade dos fabricantes de

computadores de resolverem os problemas técnicos com rapidez. Foram obtidos

os seguintes resultados:

Empresa Dias p/ resolver Empresa Dias p/ resolver

Compaq 13 Gateway 21

Packard Bell 27 Digital 27

Quantex 11 IBM 12

Dell 14 HP 14

Nec 14 AT&T 20

Ast 17 Toshiba 37

Acer 16 Mícron 17

Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio padrão dessa distribuição. Qual a

conclusão que se chega a partir dessas medidas de posição e dispersão?

156


12. Suponha a seguinte distribuição com as notas obtidas por 50 alunos na

disciplina de português.

60,0 85,0 33,0 52,0 65,0 77,0 84,0 65,0 74,0 57,0

71,0 35,0 81,0 50,0 35,0 64,0 74,0 47,0 54,0 68,0

80,0 61,0 41,0 91,0 55,0 73,0 59,0 53,0 77,0 45,0

41,0 55,0 78,0 48,0 69,0 85,0 67,0 39,0 60,0 76,0

94,0 98,0 66,0 66,0 73,0 42,0 65,0 94,0 88,0 89,0

Calcule: a) Amplitude; b) Número de classes; c) Freqüência absoluta e relativa; d)

Ponto médio de cada classe; e) Freqüência acumulada; f)Histograma; g) Polígono de

freqüência; h) Diagrama de Pareto; i) Média; j) Moda; k) Mediana. l) desvio padrão.

m)Q1, Q3, P35 e D8, n)Box-plot. o) Interprete o Teorema de Tchebychev.

157

13. Calcule o desvio padrão, a variância e

o CVP para as seguintes amostras de

dados não agrupados.


13 15 16 12 18 19

14 11 13 17 12 20

2 5 9 3 7 8 6

1 4 3 7 3 8 1

Estatística Descritiva

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