Estatística

Distribuições Contínuas

Prof. Walter Sousa

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Uma variável aleatória 𝑋𝑋 é contínua se assumir um número infinito não numerável de valores. Assim, fica definida uma função, denotada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥), e denominada função densidade de probabilidade (𝑓𝑓.𝑑𝑑.𝑝𝑝) da variável, representando, fisicamente, a curva das probabilidades de todos os infinitos valores de 𝑋𝑋, a qual deve satisfazer às seguintes condições: • f(x) ≥ 0, para todo x.

• P a ≤ x ≤ b = ∫ f x dxba (representando, fisicamente, a área abaixo de f x ,

no intervalo [a,b].

• ∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥+∞−∞ = 1, ou seja, a área total abaixo de f(x) é igual a 1

DISTRIBUIÇÃO NORMAL É uma das mais importantes distribuições de probabilidades para variáveis contínuas. Sua função densidade de probabilidade é dada por:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1𝜎𝜎 2𝜋𝜋

∙ 𝑒𝑒−12𝑥𝑥−𝜇𝜇𝜎𝜎

2

Notação: 𝑋𝑋 ~𝑁𝑁 (𝜇𝜇,𝜎𝜎2) μ e σ2 são parâmetros da distribuição normal, média e variância, respectivamente.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL – CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS a) A variável aleatória pode assumir qualquer valor real ao longo do eixo 𝑥𝑥

(abscissas). b) O gráfico é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média. 𝜇𝜇 = 𝑚𝑚𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 Curva normal ou curva de Gauss.

Eixo de simetria

DISTRIBUIÇÃO NORMAL c) A área total limitada pela curva e o eixo das abscissas é igual a 1, pois indica a probabilidade de a variável assumir qualquer valor. µ

DISTRIBUIÇÃO NORMAL d) A probabilidade de ocorrer um valor à direita da média é igual a 50% e a probabilidade de ocorrer um valor a esquerda da média é 50% 𝑃𝑃 𝑥𝑥 > 𝜇𝜇 = 𝑃𝑃 𝑥𝑥 < 𝜇𝜇 = 50% 𝜇𝜇

DISTRIBUIÇÃO NORMAL e) A curva é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, não intersecta o eixo do x. 𝜇𝜇

DISTRIBUIÇÃO NORMAL f) A probabilidade de uma variável pertencer a um intervalo de valores, [a,b], corresponde à área limitada pela curva e o eixo do x no intervalo. 𝜇𝜇

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA A distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade com média 0 e Variância 1, com variável Z, transformada. 𝑍𝑍 ~ 𝑁𝑁 (0,1). z Z = escore padronizado. 0

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA 𝑍𝑍 ~ 𝑁𝑁 (0,1). 𝑍𝑍 é o número de desvios padrão (𝜎𝜎) a contar da média (𝜇𝜇) e 𝑥𝑥 é um valor arbitrário. Exemplo Os salários semanais dos trabalhadores da construção civil seguem uma distribuição normal, com média de R$ 300,00 e desvio padrão de R$ 50,00. Encontre os escores padronizados dos salários do trabalhadores com salários semanais de:

a) R$ 400,00. b) R$ 280,00. c) R$ 300,00.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA A variável Z (escore reduzido) possui probabilidades tabeladas, que podem ser empregadas para calcular probabilidades associadas à variável normal X. Exemplo: a) 𝑃𝑃(𝑍𝑍 > 1,96) = b) 𝑃𝑃 𝑍𝑍 < 1,65 =

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA Observação: A tabela fornece valores positivos de Z. Para valores negativo de z, as áreas são encontrada por simetria. Exemplo 𝑃𝑃(𝑍𝑍 < − 1,64) = 𝑃𝑃 (𝑍𝑍 > 1,64)

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Distribuições Contínuas Exercícios

Prof. Walter Sousa

Questão 1 (CESGRANRIO) Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de que X > 5, aproximadamente, vale: a) 0,25 b) 0,28 c) 0,33 d) 0,37 e) 0,46 Gab: d)

Questão 2 (FCC) Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é a) 87% b) 89% c) 92% d) 96% e) 98% Gab.: a)

Questão 3 (ESAF/AFPS) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745. a) 3,3490 b) 0,6745 c) 2,6745 d) 2,3373 e) 2,7500 Gab.: a)

Questão 4 (FCC) A distribuição das medidas dos cabos fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros. A média das medidas destes cabos é igual a a) 7,8 metros b) 8,0 metros c) 8,2 metros d) 8,4 metros e) 9,4 metros Gab: d)

Questão 5 (ESAF/AFRF) O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem há muito tempo acompanhando os dados sobre custos e faturamento do restaurante de sua filha Cecília. O restaurante funciona todos os dias da semana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo diário do restaurante segue uma distribuição normal, com média igual a R$ 500,00 e desvio- padrão igual a R$ 10,00 e que o faturamento diário, também, apresenta uma distribuição normal, com média R$ 800 e desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito bem os princípios básicos da estatística, ele sabe que, se uma variável Z seguir uma distribuição normal padrão, então Z tem média 0 e variância 1. Ele também sabe que a probabilidade dessa variável Z assumir valores no intervalo entre 0 < Z < 2 ─ ou seja, entre a média 0 e 2 desvios-padrão ─ é, aproximadamente, igual a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o futuro de seu restaurante, perguntou a seu pai se ele poderia verificar a probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 520,00 e o faturamento cair no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em termos percentuais, iguais a a) 2,28; 95,44. b) 52,28; 95,44. c) 2,28; 98,69. d) 98,69; 95,44. e) 98,65; 2,28. Gab.: A)

X: custo diário do restaurante . 𝑋𝑋~𝑁𝑁(500,100) Y: faturamento. 𝑌𝑌~𝑁𝑁(800,400) Dado P( 0 < Z < 2) = 0,4772. Pede-se: Probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 520,00 e o faturamento cair no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em termos percentuais, iguais a

Questão 6 (FCC) O tempo que um sistema computacional leva para executar certa tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal com média 100 segundos e desvio padrão 10 segundos. Se a tarefa é realizada 3 vezes, a probabilidade de ela ser executada em mais do que 108,4 segundos em pelo menos uma dessas 3 vezes é: Dado: Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,84) = 0,8; P(Z < 1,96) = 0,975 (A) 0,356. (B) 0,488. (C) 0,512. (D) 0,536. (E) 0,544. Gab. B)

Dado: P(Z < 0,84) = 0,8; P(Z < 1,96) = 0,975

Questão 7 Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,5) = 0,691; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,28) = 0,90. (FCC) Suponha que a nota em conhecimentos gerais dos indivíduos que prestaram um determinado concurso público tenha distribuição normal com média 5 e desvio padrão 1,5. Suponha, ainda, que foram selecionados, ao acaso e com reposição, 4 indivíduos que prestaram o referido concurso. Nessas condições, a probabilidade de que exatamente 2 indivíduos dessa amostra tenham obtido nota maior do que 6,92 é igual a (A) 5,95% (B) 4,96% (C) 5,15% (D) 4,86% (E) 3,84% Gab.: D

Questão 8 (ESAF/AFRF) Suponha que o tempo que a Receita Federal leva no processo de devolução do imposto pago a mais tenha distribuição normal com média de 12 semanas e desvio-padrão de 3 semanas. Assinale a opção que estima a proporção de contribuintes que recebem a devolução em no máximo 6 semanas. A tabela abaixo dá os valores de P{0<X<Z} quando X tem distribuição normal padrão para valores selecionados de Z. Por exemplo, P{0<X<1,56}=0,4406. a) 50,00% b) 05,56% c) 43,32% d) 02,28% e) 47,72% Gab.: D

Questão 9 (ESAF) Uma pessoa está indecisa se compra uma casa agora ou se espera para comprar daqui a um ano. A pessoa acredita que o aumento do preço da casa em um ano tenha distribuição normal com média de 8% e desvio-padrão de 10%. Se o preço aumentar mais de 25% a pessoa não terá dinheiro para adquirir o imóvel. Por outro lado, se o preço da casa cair, a pessoa sairá lucrando. Assinale a opção que dá as probabilidades de ocorrência de cada um desses eventos, respectivamente. Nos cálculos use a tabela dos valores das probabilidades P(Z > z) para a distribuição normal padrão dada a seguir. a) 4,5% e 10,4% b) 6,7% e 24,2% c) 4,5% e 24,2% d) 2,9% e 18,4% e) 4,5% e 21,2% Gab.: E

Questão 10 P (Z < 0,67) = 0,75; P (Z < 0,84) = 0,80; P (Z < 1,5) = 0,933; P (Z < 2) = 0,977; P (Z < 2,5) = 0,994; P (Z < 2,94) = 0,998 (FCC) O tempo de vida, X, de um aparelho elétrico tem distribuição normal com media μ, desvio padrão de 500 dias e primeiro quartil igual a 1500 dias. Se o aparelho tem garantia de 365 dias, a porcentagem das vendas que exigirá substituição é igual a (A) 2%. (B) 1%. (C) 0,5%. (D) 0,3%. (E) 0,2%. Gab. E)

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