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Estatística GeralEstatística GeralEstatística Descritiva 1: Estatística Descritiva 1: - Medidas de Posição - Medidas de Posição
(Medidas de tendência central)(Medidas de tendência central)
ICET/CUA/UFMTICET/CUA/UFMT
Profº: Glauco Vieira de OliveiraProfº: Glauco Vieira de Oliveira
Cap. 8 – Martins, G. A. & Donaire, D. Princípios de Estatística. 1990.Cap. 29 –Dante, L. R. Matemática: contexto e aplicações . Vol. Único, 2009.Cap. 3.- Barbetta et al, Estatística para Cursos de Engenharia e Informática, 2004
Medidas de posição ou medidas de tendência centralIntrodução
Objetivo da estatística:– Encontrar leis do comportamento para todo o conjunto, sem se preocupar com cada um dos dados elementos em particular.
Medidas de posição ou medidas de tendência central:– Valores médios (exemplos)
a partir da idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo;
Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma idéia aproximada de todo o período.
Nota de vários trabalhos em um semestre: sintetizado em uma só nota
USO MAIS COMUM: MÉDIA ARITMÉTICA– OUTRAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MEDIANA e MODA
Nota: o uso da média, moda ou mediana é mais ou menos conveniente conforme a situação
MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS NÃO-AGRUPADOS
Ex 1: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:
MA = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 = 107 = 21,4 anos
5 5
Ex 2: registro de temperaturas em um determinado local:
14°C às 6h, 15º as 7h, 15ºC às 8h, 18º às 9h, 20º às 10h e 23º às 11h, observamos que:
MA = 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 = 105 = 17,5ºC
6 6
Ex 3: um aluno realizou diversos trabalhos durante um bimestre e obteve as notas: 7,5; 8,5; 10,0; 7,0– Generalizando:
MA = x1 + x2 + x3 + ...+xn = x n n n
xx
n
1ii
MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS(média aritmética ponderada)
Ocorre Quando:– Os dados possuem “pesos” diferentes– Os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüências
Ex 1: média aritmética ponderada. Um aluno recebeu a seguinte pontuação no semestre: Prova: 6,5 (peso 2); Trabalho Individual: 7,0 (peso 3); debate: 6,0 (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2). Sua média será:
Quando calculado a média aritmética de nº que se repetem (dados por sua frequencia absoluta):
Ex 2: calcule a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, e 11
n
Fxx
i
n
1ii
MA = 2 . 6,5 + 3 . 7,0 + 1 . 6,0 + 2 . 7,0 = 54 = 6,752 + 3 + 1 + 2 8
MA = 3 . 7 + 5 . 9 + 2 . 11 = 88 = 8,83 + 5 + 2 10 iFn
MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS(média aritmética ponderada)
Exemplo dada a seguinte distribuição amostral: Determine a média
Dispositivo Prático:
6,210
26
n
Fxx
i
n
1ii
Xi 1 2 3 4
Fi 1 3 5 1
Xi Fi xiFi
1 1 1
2 3 6
3 5 15
4 1 4
10 26
Exemplo: Determine o peso médio de um grupo de pessoas (média de uma distribuição populacional)
Peso(kg)
40 a 44
44 a 48
48 a 52
52 a 56
56 a 60
Fi 1 3 7 6 3
Classes FiXi
(PM)
40 |--- 44 1 42
44 |--- 48 3 46
48 |--- 52 7 50
52 |--- 56 6 54
56 |--- 60 3 58
Total 20
xiFi
42
138
350
324
174
1028
Transformação de dadosA transformação de dados é um método utilizado para facilitar e padronizar um conjunto de dados em vários tipos de procedimentos estatísticos. Um método utilizado abaixo é utilizado quando a amplitude dos dados é constante.
fórmula:
xi 17 19 21 23 25
Fi 8 12 15 7 5
h
x- xz 0ii
Onde:Xi = valores da variávelX0 = constante arbitrária tomada convenientementeH = amplitude entre os valores ou intervalo de classesZi = “valores transformados”
Exemplo: Dada a distribuição abaixo calcule os zi correspondentes aos xi considerando x0 = 21, (h=2) .
2
4 -
2
21 - 17
h
x- xz 01
1
Xi Fi Zi
17 8 -2
19 12 -1
21 15 0
23 7 1
25 5 2
47
ziFi
-16
-12
0
7
10
-11
Transformação de dadosExercício 2: Recalcule o valor de zi e ziFi, considerando
x0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior.
Utilize:
h
x - xz 0ii
Xi Fi
17 8
19 12
21 15
23 7
25 5
47
Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de
uma População ou Amostra
Zi ziFi
-1,77 -14,13
-0,77 -9,19
0,234 3,51
1,234 8,64
2,234 11,17
1,17 0
XiFi
136
228
315
161
125
965
n
Fxx
i
n
1ii
...53,2047
965
2
20,53 - 17
h
x - xz 01
1
Transformação de dadosExercício 3: Recalcule o valor de zi e ziFi, considerando x0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior.
Utilize:
Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de
uma População ou Amostra
0i x - xz i
Xi Fi xiFi Zi ziFi
17 8 136 -3,53 -28,26
19 12 228 -1,53 -18,38
21 15 315 0,47 7,02
23 7 161 2,47 17,28
25 5 125 4,47 22,34
47 965 2,34 0
Desvio em relação a média
Média Geral
FórmulaEm que:
XG = Média geral
nj = nºs de termos de cada série
Xj = médias aritméticas de k séries
A média aritmética de várias séries estatísticas diferentes chama-se de Média Geral
j
j
n
1jj
k21
kk2211G n
Xn
n ... n n
xn...xnxnX
ExemploSejam as séries: (Obs: MA = Média Aritmética)
1) 4, 5, 6, 7, 8 onde n1 = 5 e MA = 6
2) 1, 2, 3 onde n2 = 3 e MA = 2
3) 9, 10, 11, 12, 13 onde n3 = 5 e MA = 11
A média Geral será:
75 3 5
1152365XG
Média Geométrica
Fórmula Em que:
Mg = Média geométrica
n = Fi
x1, x2, x3, ..., xn = valores de X, associados às frequencias absolutas (F1, F2, ...Fn)
A média geométrica é muito utilizada para resolver problemas de que envolvem calculo de áreas ou quando os dados se
desenvolvem segundo uma progressão geométrica.
n Fn
FFFFii
n
i
nxxxxx
...M ou X 321321
1gg
Quando F1 = F2 = F3 = ... = Fn = 1, temos: nn
ni
n
ixxxxx
...M 321
1g
Exemplo 1Calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48.
.
1248241263M 5g
Média GeométricaExemplo 2
Calcular a média geométrica para a distribuição:
Solução 1 (aplicando a fórmula direta)
Solução 2 (uso de logaritmos)
Aplicando log de Mg temos:
Assim:
Xi 1 2 3 5
Fi 8 6 5 3
22/322/522/622/822 3568
1g 53215321M n Fi
i
n
ix
Obs. A aplicação direta da fórmula
acarreta um grande nº de operações
n
xFxFxFxF nn log...logloglogM log 332211
g
3568
5log33log52log61log8M log g
log Mg = 0,2858 → utilizando a função 10x da calculadoraMg = 1,9311
Média GeométricaExemplo 3
Apresentado os dados de determinado produto e seu respectivo consumo em um período inflacionário, calcule o preço médio por trimestre do artigo durante o ano.
Solução 1 (aplicando a fórmula direta)
Solução 2 (faça o cálculo de Mg aplicando a forma logarítimica)
Consumo Preço
1º Trimestre 200 caixas $ 30,00
2º Trimestre 100 caixas $ 100,00
3º Trimestre 200 caixas $ 200,00
4º Trimestre 100 caixas $ 500,00
167,0333,0167,0333,0600 100200100200
1g 5002001003050020010030M
n Fi
i
n
ix
26,110817,2848,5154,2107,3Mg
Média Harmônica
FórmulaEm que:
Mh = Média Harmônica
nj = nºs de termos de cada série
Xi = valores de X (x1, x2, ...xn), associados às frequencias absolutas (F1, F2, ...Fn)
A média Harmônica é particularmente recomendada para série de valores que são inversamente proporcionais, como por exemplo: velocidade média, tempo médio de escoamento de estoques, custo médio de bens comprados com uma quantia fixa etc
n
1i i
i
n
n
2
2
1
1hh
xF
xF
... xF
xF
MXnn
ou
Exemplo 1
Calcular a média harmônica para 2, 5, 8. Então:
.
64,3
81
51
21
3Mh
Média HarmônicaExemplo 2
Um vendedor viaja da cidade A para a cidade B a 50 km/h e volta a 90 km/h. Determinar a velocidade de toda a viagem.
hkm /28,64 59
)450(2
901
501
2Mh
Para pensar: e quando as
distancias percorridas não são iguais?
Exemplo 3Em uma pesquisa sobre a duração de certa pasta dental junto a 50 famílias
do mesmo tamanho e classe social os resultados foram os abaixos descritos. Calcular a duração média da pasta dental. (PM = Ponto médio)
Dias Nº de famílias Xj (PM)
10/12 8 11
12/14 12 13
14/16 50 15
16/18 10 17
dias99,13
1710
1520
1312
118
1020128Mh
Média HarmônicaExemplo 4
Uma pessoa comprou em três trimestres consecutivos combustível aos seguintes preços: $ 5,00, $ 6,00 e $ 8,00 o litro respectivamente. Determinar o custo médio (CM) em todo o período considerado.
Para pensar: A pergunta acima não oferece alguns dados importantes para o calculo da média, qual ou quais seriam eles?
Hipótese 1: Considerando o mesmo consumo em litros (ex: 40 litros de combustível) temos:
Este valor corresponde a média aritmética dos preços dos litros:
33,6$ 201
)8($40)6($40)5($40C
M
33,6$ 3
8$6$5$
X
Hipótese 2: Considerando o mesmo consumo monetário (ex: $240/trimestre) temos:
Este valor corresponde a média harmônica dos preços dos litros:
10,6$
8$240$
6$240$
5$240$
720$C
M
10,6$
81
61
51
3
HM
Mediana Colocados os dados em ordem crescente ou decrescente, é o
elemento que ocupa a posição central. A mediana será:a) O elemento que ocupar a posição central se n for impar;b) A média aritmética dos dois elementos que estiverem no centro se n for par Exemplo 1
Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7
Em ordem crescente temos:
0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7
(7 elementos) Me (7 elementos)
Como 15 é impar, o termo médio é o 8º
Generalizando:
- Quando n é impar a mediana será o elemento de ordem (n + 1)/2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 posição das variáveis ordenadas
Mediana
Exemplo 2
As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos
Em ordem crescente temos:
12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17
(duas posições centrais)
Como temos um nº par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termos.
Logo a mediana é dada por: Me = (14 + 16)/2 = 30/2 = 15
Generalizando:
- Quando n é par a mediana será a média entre os elementos centrais de ordem n/2 e (n/2 + 1).
Moda A moda (Mo) é a medida de tendência central definida como
valor mais frequente de um grupo de valores observados
Exemplos
Pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. Mo = 2
Notas obtidas: 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0. Neste caso dizemos que a moda é 6,0 e 7,5, e que a distribuição é bimodal.
Observação: Quando não há repetição de números, como por exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há Moda.
Mediana e Moda a partir das tabelas de frequencias e dados agrupados em classes
Exemplo Anterior: Pesquisa sobre o “peso” (kg) de um grupo de pessoas
MA = 1028/20 = 51,4 kg
Moda: A maior frequencia, 7, indica que o intervalo 48 |--- 52, representado pelo ponto médio (PM = 50) logo Mo = 50
Classes Fi
40 |--- 44 1
44 |--- 48 3
48 |--- 52 7
52 |--- 56 6
56 |--- 60 3
Total 20
Xi (PM) xiFi
42 42
46 138
50 350
54 324
58 174
1028
Mediana:- Total das freqüências é par
(20);- Valores centrais estão na 10ª
e 11ª posição- Com auxílio da tabela abaixo
- Me = 50 + 50 = 50 kg
2Fac: freq. acum. crescente
PM Fac
42 1
46 4
50 11
54 17
58 20