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II DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS 2.1 INTRODUO O delineamento completamente casualizado pode ser utilizado quando as parcelas disponveis formam um conjunto homogeneo de parcelas , suficiente para acomodartodo o experimento; entretanto, so as condies experimentais existentes e os objetivos do experimento que vo guiar o pesquisador na seleo do delineamento apropriado. Pode ocorrer que aps a seleo dos tratamentos e do numero de repeties, o pesquisador no tenha disponvel n=rv parcelas homogneas (v o nmero de tratamentos e r o de repeties); isto frequente em experimentos de campo, na agricultura, onde a topografia e a fertilidade diferenciam as parcelas, ou em experimentos com animais, onde idade, sexo, peso, por exemplo, diferenciam os animais. Em ambos os casos no h n parcelas homogneas embora seja possvel dividi-las em subgrupos homogneos. Para solucionar este problema, Fisher (1935) introduziu o delineamento em blocos ao acaso, no qual as n parcelas so divididas em r conjuntos de v parcelas homogeneas, de acordo com a interveno do pesquisador. A cada um destes conjuntos Fisher chamou de bloco , derivado da viso compacta das v parcelas no campo experimental; finalizando, as v parcelas em cada bloco so alocadas aleatoriamente aos v tratamentos. Exemplo 2.1 Atualmente existe interesse em se avaliar os danos causados por pesticidas que so aplicados na superfcie do solo e dentro de um programa de pesquisa sobre o assunto, foram conduzidos experimentos num Centro de Pesquisa . Um deles consistia em se aplicar o principio ativo e monitorar o seu efeito sobre as propriedades do solo no tempo e no espao; foram selecionados quatro princpios ativos mais uma testemunha, com 5 repeties. Numa rea com leve declive foram selecionados 6 blocos de 5 parcelas cada um, ao longo de uma curvas de nvel e separados por 1 metro, as parcelas dentro de cada bloco foram alocadas aleatoriamente aos 5 tratamentos. Espera-se que haja diferena entre blocos e homogeneidade de parcelas dentro de blocos. A diviso de n parcelas em r blocos denominada de blocagem e constitui o terceiro princpio da experimentao, conhecido tambm como controle local , estratificao, etc.; nos delineamento em blocos ao acaso introduzidos por Fisher, no h repetio dos tratamentos dentro de blocos, isto , cada tratamento aparece uma vez em cada bloco, e por isso vale a pena elaborar sobre os modelos de representao existente e a origem do erro experimental, que so os tpicos das prximas sees. Vale enfatizar, entretanto, que a finalidade da blocagem diminuir o erro experimental e evitar vizes na comparao entre tratamentos.

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2.2 MODELOS E CARACTERIZAES Assim como no delineamento inteiramente casualizado, existem dois modelos normal com erros independentes e o induzido pela casualizao que so aplicados aos delineamentos em blocos ao acaso; no desenvolvimento que se segue r o nmero de repeties ( ou de blocos) e v o de tratamentos, cada tratamento aparecendo uma vez em cada bloco. No modelo normal com erros independentes tem-se:

y ij = + b j + t i + eij

onde: y ij o valor da resposta Y na parcela do bloco j que recebeu o tratamento i;

b j o efeito do bloco j;

t i o efeito do tratamento i; e ij um erro aleatrio, com mdia zero, varincia 2 .Os erros so independentes e tm distribuio normal com mdia zero e varincia . O erro experimental, embora sempre representado por e ij , origina-se da2

desigualdade das parcelas dentro do bloco e da aditividade; no modelo normal o fato de

2 refletir o erro experimental no to aparente e veremos uma definio mais precisa 2 de mais adiante. Se o efeito do tratamento i o mesmo em qualquer parcela doexperimento, ento os efeitos dos tratamentos so aditivos ou dizemos que ocorre aditividade; o efeito do bloco j uma constante que significa que o conjunto de parcelas do bloco possui um efeito sistemtico, com magnitude b j , que atua sobre a resposta Y; por exemplo, se h diferena na fertilidade de bloco para bloco , ento b j representa o efeito da fertilidade em todas as parcelas do bloco j. a media de Y quando b j e t i so nulos. Complementando, o modelo aditivo, significa tambm que a diferena esperada entre dois efeitos de tratamentos a mesma dentro de cada bloco (no interao entre blocos e tratamentos). O delineamento em blocos ao acaso um dos mais utilizados e os conceitos de bloco e efeito de bloco merecem mais referncias. Um bloco, em experimentao, um subconjunto de parcelas homogneas e existem r subconjuntos diferentes, o efeito de bloco reflete no modelo estas diferenas. Em experimentao de campo os efeitos de blocos captam numericamente a diferena entre os blocos; por exemplo, se h diferena na fertilidade de bloco para bloco , ento b j representa o efeito da fertilidade em todas as parcelas do bloco j; entretanto, outros fatores vo contribuir, dependendo do local e da natureza do experimento, por exemplo, blocos internos no campo experimental sofrem menos influncia do meio ambiente do que os de fronteira. Em experimentos com animais, raa, idade , maternidade e peso podem fazer parte do efeito de bloco. Com o intuito de definir mais claramente o erro experimental vamos examinar o modelo induzido , sob atividade; seja

y jku = X ju + t k

onde

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y jku o valor da resposta Y ao tratamento k aplicado na parcela u do bloco j; X ju o valor da resposta na parcela u do bloco j sem aplicao de tratamentos; X ju oefeito da parcela u do bloco j. tk o efeito do tratamento k.. Mediante desenvolvimento algbrico, chega-se ao modelo induzido pela casualizao: y ij = + b j + t i + eij . O significado dos termos o mesmo que no modelo normal; entretanto, os erros no so independentes e no se conhece sua distribuio. Com o desenvolvimento encontrado em Hinkelmann e Kempthorne (1994), tem-se que: 1 1 2 = ( X ju X j. ) 2 r j (v 1) u claro que quanto maior a homogeneidade dentro do bloco , menor o erro experimental; se dentro dos blocos todas as parcelas fossem iguais, ento X ju seria constante e no

haveria erro experimental, ou seja, a diferena esperada entre duas observaes dentro de um bloco seria devido diferena entre seus respectivos tratamentos. A aditividade do modelo implica que a diferena entre dois tratamentos a mesma em cada bloco e resulta na no interao entre blocos e tratamentos; interao um conceito relacionado aos experimentos fatoriais, entretanto, precisamos falar dele aqui. Dizemos que no h interao entre blocos e tratamentos , se o comportamento dos tratamentos o mesmo em todos os blocos; evidente que sob aditividade no ocorre interao. Continuaremos a admitir aditividade, mas abordaremos. em outros captulos, o caso em que ela no ocorre .2.3. ANALISE DA VARIANCIA

Sob o ponto de vista de clculos a anlise de varincia de um experimento em blocos casualizados igual nos dois modelos(aleatrio e normal), entretanto, as distribuies das estatsticas obtidas diferem. No modelo normal os resultados bsicos advm da aplicao do mtodo dos quadrados mnimos e, as somas de quadrados e quadrados mdios tem distribuio conhecida, a estatstica F para tratamentos tem tambm distribuio conhecida, denominada distribuio F de Fisher (embora Snedecor tenha derivado a distribuio e em homenagem a Fisher chamou-a de F). A tabela de anlise da varincia para este delineamento a seguinte: FV Blocos Tratamentos Erro Total Neste caso Gl r-1 v-1 (r-1)(v-1) rv-1 SQ SQBL SQTRAT SQERRO SQT QM QMBL QMTRAT QMERRO F QMTRAT/QMERRO

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( yij y ) 2 = ( y. j y )ij

2

ij

+ ( yi. y ) 2 +ij

2 eij , ouij

SQTOTAL = SQBL + SQTRAT + SQERRO. SQBL= soma de quadrados de blocos= v y.j y..)2 . (j

Como os resultados do modelo normal se aproximam satisfatoriamente dos do modelo aleatrio no continuaremos a discusso sobre esse modelo; particularmente, a estimativa de 2 a mesma nos dois modelos, independentemente da sua definio .Exemplo 2.3

Um experimento para se avaliar a diferena entre 6 formulas de adubao foi conduzido com uma forrageira num Centro de Pesquisa; o delineamento foi um blocos ao acaso, os dados constam do quadro 2.1 e a varivel resposta o peso da matria seca em um ano de experimento. A anlise de varincia de um experimento em blocos casualizados consiste em se decompor a variabilidade total em 3 componentes; uma devida aos blocos, outra aos tratamento e a ltima ao erro experimental. No exemplo em discusso, a anlise foi feita mediante um programa SAS (modelo normal) e os resultados so os seguintes: Anlise da Varincia FV BLOCO TRAT ERRO TOTAL GL 4 7 28 39 SQ 14.09 784.51 63.18 861.78 QM 3.52 112.07 2.26 F 49.67 Pr > F