ME623APlanejamento e Pesquisa

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4. Experimentos em Blocos

1. Blocos Completos e Aleatorizadosa) Definiçãob) Análise Estatísticac) Decomposição da Soma de Quadradosd) Tabela Anovae) Estimação dos Parâmetros

2. Quadrados Latinos3. Quadrados Greco-Latinos4. Blocos Balanceados Incompletos5. Delineamento Cruzados

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Blocos Completos AleatorizadosFator A Bloco 1 Bloco 2 Bloco b

1 y11 y12 y1b

2 y21 y22 . . . y2b

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a ya1 ya2 yab

Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos

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Exemplo da PonteiraAs observações para cada ponteira e

placa de metal estão na Tabela abaixo

Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal

Ponteira

Placa de Metal(Bloco)

1 2 3 4

1 9.3 9.4 9.6 10.0

2 9.4 9.3 9.8 9.9

3 9.2 9.4 9.5 9.7

4 9.7 9.6 10.0 10.2

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Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras

Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada

ponteira

Queremos testar se:

1. Calcular SST, SSA, SSBlocos e SSE

2. Encontrar a tabela ANOVA

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Tabela ANOVABlocos Completos AleatorizadosExemplo Ponteiras

No R> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados)> anova(fit)Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 ***factor(Placa) 3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 ***Residuals 9 0.080 0.008889 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

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Análise EstatísticaExemplo Ponteiras

Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05

Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

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Tabela ANOVAExperimento com Um FatorExemplo Ponteiras

No R, desconsiderando o efeito dos blocos> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados)> anova(fit)

Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196Residuals 12 0.905 0.075417

Não Rejeita

H0

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Análise Estatística – Ignorando Efeito dos BlocosExemplo Ponteiras

Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22

Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

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Análise de DiagnósticoJá vimos anteriormente a importância de

checar se as suposições do modelo são satisfeitas

Isso é feito através da análise dos resíduos

No caso de experimentos com blocos, devemos verificar se existe algum problema com:

1. Normalidade

2. Variância dos erros não constante (em relação aos tratamentos ou blocos)

3. Interação entre tratamento e bloco

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Análise de DiagnósticoInteração:

◦Ver gráfico de resíduos vs valores estimados

◦Se houver curva:◦Valores baixos(negativos) dos

resíduos com valores baixos e altos ajustados; baixos para valores medianos ajustados.

◦Isso pode indicar intereção

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Análise de ResíduosExemplo das Ponteiras

• Alguma indicação de não-normalidade? E outliers?• Gráfico resíduos x ajustados: se houver uma tendência curvilínea, pode ser indício de interação entre tratamentos e blocos

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Análise de ResíduosExemplo das Ponteiras

É razoável assumir igualdade de variância tanto por tratamento quanto por bloco?

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Estimação dos ParâmetrosNo modelo com blocos completos

aleatorizados

os parâmetros são estimador por:

O valor ajustado é então calculado como:

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Estimação dos Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadrados

Voltemos aos experimentos com um único fator, em que temos o modelo

Exercício: Os estimadores de mínimo quadrados (EMQ) de μ e τi são valores que minimizam a soma de quadrados dos erros

em que é o vetor de parâmetros

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Os estimadores são então soluções das equações normais:

que simplificando resultam em

Estimadores de Mínimos Quadrados

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Note que a 1ª equação é a soma das demais, isto é, as equações normais não são linearmente independentes

Com isso, não temos uma solução única para os parâmetros do modelo

Mas lembram-se da restrição linear do modelo? Então é razoável aplicar o contraste

E assim obtemos a seguinte solução

Estimadores de Mínimos Quadrados

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Exercício: De forma semelhante, mostre que no caso do experimentos com blocos completos, cujo modelo é

os estimadores de mínimos quadrados são dados por

Estimadores de Mínimos Quadrados

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Alguns Aspectos sobre os BlocosO modelo linear que usamos para

o desenho de blocos aleatorizado é completamente additivo

Ou seja, os blocos e os tratamentos tem um efeito additivo na v.a. resposta

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Alguns Aspectos sobre os BlocosEm algums situações o modelo

aditivo não é adequado.

Pode haver interações entre os blocos e os tratamentos: lotes e fórmulas químicas

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Alguns Aspectos sobre os BlocosPode ocorrer quando a resposta

foi medida na escala errada

Podemos usar modelos fatoriais

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Alguns Aspectos sobre os BlocosComo escolher o tamanho

amostral?

Como escolher quantos blocos?

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Alguns Aspectos sobre os BlocosComo escolher o tamanho

amostral?

Como escolher quantos blocos?

Note que quanto mais blocos aumenta o número de réplicas e o número de graus de liberdade do erro, fazendo o desenho mais sensitivo.

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Alguns Aspectos sobre os BlocosPodemos escolher através das

curvas características (operacionais) usando

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Alguns Aspectos sobre os BlocosEficiênciaVamos estimar a eficiência do

desenho com blocos contra sem blocos

Uma maneira é usar

onde e são as variâncias dos erros do modelo básico e com blocos, respect.

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Alguns Aspectos sobre os BlocosValores faltantes!

As vezes uma observação em um dos blocos está faltando

Quais poderiam ser os motivos?

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Alguns Aspectos sobre os BlocosValores faltantes!

Introduz um problema: não temos mais tratamentos ortogonais aos blocos

Isto é, nem todo tratamento ocorre em todo bloco.

Aproximação ou análise exata(no futuro)

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Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Suponha que a resposta do tratamento i bloco j está faltando. Denote ela por x

Seja o total com a obs. faltante, o total do trat. com a obs faltante

o total do bloco com a obs faltante

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Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Queremos estimar x tal que tenha uma contribuição mínima a soma dos quadrados dos erros. Já que

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Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Equivalente à

Ou

Derivar em x!

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Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Derivando em x temos

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Exercícios

Exercícios do Montgomery, 6ª edição

Capítulo 3:3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-

16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32

Capítulo 4:4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18