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Estatística

Estatística Descritiva

Ivonete Melo de Carvalho

• Definições; Tabelas e Gráficos; Medidas de tendência central; Medidas de dispersão.

Conteúdo

Objetivos

• Diferenciar população e amostra.• Elaborar tabelas e gráficos.• Calcular média, moda e mediana.• Calcular amplitude total, variância,desvio padrão, coeficiente de variação e erro padrão da média.

O que é Estatística?Uma parte da matemática aplicada que fornecemétodos para: Coleta, Organização, Descrição,Análise, Interpretação de dados e a utilização dosmesmos na tomada de decisão.

Estatística pode ser:

Descritiva:Organização, Tabulação, Representação, Gráficos, Tabelas

Inferencial: Análise e Interpretação dados, Testes de Probabilidade

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Para calcular o tamanho da amostra

Onde• n = tamanho da amostra• N = população• n0 = número índice• E = percentual de erro admitido

0

02

0 nNn*N

nee1

n

Amostragem poderá ser:

• Amostragem aleatória simples;• Amostragem sistemática;• Amostragem estratificada proporcional.

Definições• Dados são qualquer característica que possa ser

observada ou medida. Podem ser:• Primários quando as informações são colhidas

diretamente pelo pesquisador ou por seusauxiliares.

• Secundários quando os pesquisadores recorrema relatórios, revistas, livros oudados já coletados porinstituições especializadas.

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Outras definições:

• Elementos são as entidades sobre as quais osdados são pesquisados, por meio de umavariável.

• Variável é um item do elemento da pesquisa eas respostas de todos os itens fornecerão osdados que representarão o grupo pesquisado.

Como trabalhar dados qualitativos

“O meio de transporte que você utiliza entre sua casa e o polo de ensino:

( ) Carro ( ) Motocicleta( ) Ônibus municipal( ) Ônibus intermunicipal

Meios de transporte

Meio de transporte Quantidade de alunosCarro 71

Moto 30Ônibus municipal 21

Ônibus intermunicipal 8Pesquisa realizada em 2007 com alunos do polo Rio Grande

4

Meios de transporte

Meio de transporte f fr f%Carro 71 0,546 54,62

Moto 30 0,231 23,08Ônibus municipal 21 0,162 16,15

Ônibus intermunicipal 8 0,062 6,15Pesquisa realizada em 2007 com alunos do polo Rio Grande

Tipos de gráficos

0

10

20

30

40

50

60

70

80

carr o moto ônibus mun ônibus int0 20 40 60 80

carro

moto

ônibus mun

ônibus int

carro

moto

ônibus mun

ônibus int

Análise de dados quantitativos

Ao perguntar para um grupo de acadêmicos:- Qual a sua altura?Obtivemos as seguintes respostas:

1,60 1,91 1,74 1,65 1,65 1,54 1,65

1,72 1,65 1,85 1,60 1,63 1,72

1,56 1,55 1,52 1,65 1,78 1,78

1,65 1,87 1,55 1,67 1,83 1,69 1,66

1,63 1,60 1,70 1,62 1,68 1,58 1,72

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Obtidos os dados, vamos à técnica:

• O primeiro passo é construir o rol (dados brutos em ordem crescente ou decrescente).

• Sendo os dados quantitativos, o rol será construído em ordem numérica crescente.

1,55 1,60 1,65 1,66 1,72 1,78

1,56 1,62 1,65 1,67 1,72 1,83

1,52 1,58 1,63 1,65 1,68 1,72 1,85

1,54 1,60 1,63 1,65 1,69 1,74 1,87

1,55 1,60 1,65 1,65 1,70 1,78 1,91

Preparando a tabela:

Maior altura = 1,91Menor altura = 1,52Calcular a :

- amplitude total: 1,91 – 1,52 = 0,39

- quantidade de classes- amplitude da classe

Quantidade de classes

• Quantidade de classes é a raiz quadrada da quantidade de elementos da amostra (n ≤ 50).

• Caso a amostra seja maior que 50,para encontrar a quantidade declasse utilize a fórmula deSturges: k ≈ 1 +3,22 log n, sendo n o números de elementos da amostra.

91,535K

6

Amplitude da classe

07,0065,0639,0

AK

classesdequanttotalamplitudeAK

Construção da tabela:

• Antes de partir para a construção da tabela, é conveniente verificar se os cálculos necessitam de ajuste. Verifique se:

K * AK > AT

Neste exemplo:6 * 0,07 = 0,42 (>0,39)

Frequência Relativa e Percentual

Estaturas obtidas

Classe f* Fr** f%*** F

1,52 |--- 1,59 6 0,1714 17,14 6

1,59 |--- 1,66 12 0,3429 34,29 18

1,66 |--- 1,73 8 0,2286 22,86 26

1,73 |--- 1,80 3 0,0857 8,57 29

1,80 |--- 1,87 2 0,0571 5,71 31

1,87 |--- 1,94 2 0,0571 5,71 33

N Resp. 2 0,0571 5,71 35

Total 35 1,0000 100* Frequência ** Relativa *** percentual

7

Representação gráfica

0

2

4

6

8

10

12

14

1,52 |--- 1,59

1,59 |--- 1,66

1,66 |--- 1,73

1,73 |--- 1,80

1,80 |--- 1,87

1,87 |--- 1,94

NResp.

0

2

4

6

8

10

12

14

1,52 |---1,59

1,59 |---1,66

1,66 |---1,73

1,73 |---1,80

1,80 |---1,87

1,87 |---1,94

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1,52 |--- 1,59

1,59 |--- 1,66

1,66 |--- 1,73

1,73 |--- 1,80

1,80 |--- 1,87

1,87 |--- 1,94

NResp.

• das frequências descrevem os dados originais,entretanto, as medidas de tendência centraltêm como objetivo representar resumidamentea informação da distribuição de frequência.

Principais medidas de tendência central:• Média aritmética média.• Média ponderada ou média geral.• Mediana.• Moda.

As representações gráficas

Média Aritmética Simples

• É a soma de todos os valores dividida o número de dados.

Onde:x = Média. = Somatório.xi = Variável.

nx

x

oun

x...xxx n21

8

Média Aritmética Simples

• É a soma de todos os valores dividida o número de dados.

Média aritmética ponderada

nx

xoun

x...xxx n21

i

ii

n

nn

fxf

MPou

fffxfxfxfMP

......

21

2211

Qual a média?

• Qual é a média aritmética entre os números 10, 20 e 30?

• A média é:

20360

3302010

x

Mediana

• É o valor do meio de uma série de dados em ordem (ROL). Quando n for ímpar, a mediana fica locada no item do meio. Quando n for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.

Exemplos• Rol: 3, 5, 6, 9 e 10: med = 6• Rol: 3, 5, 6, 10, 12 e 14:

82

162106

med

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• É o valor que apresenta em maior frequência (valor que mais se repete).

Uma distribuição pode ser:• AMODAL: não tem moda.

Ex.: 5, 12, 17, 18 (não tem moda).• UNIMODAL: possui uma moda.

Ex.: 5, 12, 12, 17 e 18 moda 12. • BIMODAL: possui duas modas.

Ex.: 5, 12, 12, 17, 18 e 18 modas: 12 e 18.

Moda

Amostras de diâmetros de parafusos (em milímetros) obtidas em três diferentes máquinas:

A: 120; 122; 118; 124; 121 – xA (média) = 121B: 121; 121; 121; 121; 121 – xB (média) = 121C: 116; 125; 124; 120; 120 – xC (média) = 121

Para evitar o possível erro na análise dos dados, utilizaremos as medidas de dispersão.

Se considerar a média

Amplitude total

No exemplo dos parafusos:Amostra A: 120; 122; 118; 124; 121Amostra B: 121; 121; 121; 121; 121Amostra C: 116; 125; 124; 120; 120

Amplitude totalA = 124 - 118 = 6B = 121 - 121 = 0C = 125 - 116 = 9

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Desvio

• Diferença entre a média aritmética e os valoresobservados para a variável em estudo.

Variância• É a soma dos quadrados dos desvios em

relação à média, dividida pelonúmero de dados, para umapopulação e um número de dados,

menos a unidade para uma amostra.

1nsqd

σ2

Exemplo do cálculo de variânciaDada a amostra: 124, 118, 122, 120 e 121, vamos calcular o desvio dos elementos em relação à média que é igual a 121 e n = 5

124 – 121 = 3 x1

118 – 121 = -3 x2

120 – 121 = -1 x3

122 – 121 = 1 x4

121 – 121 = 0 x5

5420

401199

40)1()1(3)3(

2

2

222222

σ

σ

σ

Outra forma de calcular a variânciaConsideremos a amostra do exemplo anterior:124 118 122 120 121 com média = 121 e n = 5

x x2

124 15.376118 13.924122 14.884120 14.400121 14.641

Total: 605 73.225

515

732251n

x

2

5366025

2

n

2)x(22

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Desvio Padrão

• é a raiz quadrada da variância.

• Para o exemplo dos parafusos, o desvio padrão será dado por:

23,2σ

5σ

Coeficiente de variação

É uma medida de dispersão relativa que expressa o desvio padrão em forma de porcentagem, ou seja, transforma a medida de dispersão absoluta em relativa.

médiaσ100

cv

cvσ%100média

Exemplo

• Suponhamos que em uma determinada sala de aula a média de notas na disciplina de estatística foi de 7,5, com um desvio padrão de 3,9, calcular o coeficiente de variação.

%52cv5,7

3905,7

9,3*100cv

média100

cv

σ

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Erro padrão da média

• Medida indicadora da precisão em que a média foi estimada. É inversamente proporcional à raiz quadrada do número de observações, portanto, quanto maior for o n, menor será o erro.

• É mais utilizado para cálculo deintervalo de confiança, no qual a média mais o erro-padrão e a médiamenos o erro-padrão compreenderãoa verdadeira média da população.

n

σSx

Exemplo

• Seja n = 10 e σ = 14,37

31,4Sx10

37,14Sx

Estatística

Probabilidade

Conteúdo• Definições.• Probabilidade: regras e aplicações.

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Objetivos• Utilizar a probabilidade como estimador de

valor.• Minimizar os riscos causados em investimentos,

negócios, vendas etc.• Compreender a importância do estudo da

probabilidade.• Analisar as distribuições de probabilidade.

Modelos• Determinísticos: quando somos capazes de

calcular com exatidão uma variável.• Probabilísticos: Quando se baseia em resultados

possíveis ou probabilidades.

Experimento aleatório• É aquele que poderá serrepetido indefinidamente e cujoresultado não pode ser previsto comcerteza, mas todos os resultados sãopossíveis.

Espaço amostral• É o conjunto de todos os possíveis resultados

de um experimento.Evento• É um subconjunto do espaço amostral.

Um evento pode ser:Certo;Composto;Dependente;Elementar;Mutuamente exclusivos;Impossível.

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Evento certo e evento impossível

• Aprendemos que evento é um conjunto de resultados do experimento, isto é, um subconjunto S.

• Em particular, S (espaço amostral) e Φ (conjunto vazio) são eventos.

• Nestas condições:– S é dito o evento certo (evento que deve ocorrer;

tem probabilidade 1), e – Φ é o evento impossível (tem probabilidade 0)

Eventos mutuamente exclusivos

• São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = Φ

• Ao jogar um dado, observamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Então, sejam os eventos A = ocorrer número par e B = ocorrer números impar. Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}

• A e B são considerados mutuamente exclusivos pois A ∩ B = Φ

Evento elementar

• Evento que contém um único ponto amostral.

Evento composto• Evento que consiste de dois ou mais eventos

simples .

Eventos dependentes• Dois eventos são ditos dependentesse a probabilidade de um ocorreraltera a probabilidade do outro ocorrer,

isto é, P(A/B) = P(A).

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Eventos independentes

• Dois eventos de um espaço amostral S, são denominados de independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afeta a probabilidade do outro ocorrer.

Probabilidade da ocorrência de um evento

NCT)A(NCF

)A(P

Onde:• P(A) = probabilidade de um

evento;• CNF(A) = número de casos

favoráveis ao evento A• NCT = número de casos totais

Exemplo• Em um lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3?.• P(A) = 1/6 = 0,1667 = 16,67%

Probabilidade de evento

• Sempre será uma fração entre 0 e 1

• Probabilidade de evento. • Mutuamente exclusivos.• Probabilidade de evento não

mutuamente exclusivos.• Probabilidade de evento Complementar.• Probabilidade independente.

Regras da Probabilidade

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Eventos mutuamente exclusivos• São tais que a ocorrência de um exclui a

possibilidade da ocorrência do outro.

)B(P)A(P)BA(P

Exemplo: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número par?

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {3} e B = {2, 4, 6}P(A U B) = 1/6 + 3/6 = 4/6 P(A U B) = 66,67%

Probabilidade de evento não mutuamente exclusivos.

• A ocorrência de um evento particular qualquer não elimina a ocorrência de todos os outros possíveis. )BA(P)B(P)A(P)BA(P

ExemploNo lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número ímpar?

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {3} e B = {1, 3, 5}P(A U B) = 1/6 + 3/6 - 1/6P(A U B) = 3/6 = 50%

Probabilidade de evento complementar• A regra para o evento complementar é:

)A(P1)A(P

• No lançamento de um dado, qual a probabilidade de não sair a face 3?

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}P(A) = 1 - 1/6 = 5/6P(A) = 83,33%

Exemplo

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Probabilidade independente.

• Dois ou mais eventos são ditos independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência dos outros.

)B(P*)A(P)BA(P

Exemplo• No lançamento de um dado 2 vezes,qual a probabilidade de sair a face 6em ambas as vezes?

P(A U B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 P(A U B) = 2,77%

Os eventos independentes podem ser: com reposição

• Uma urna contém 7 bolas vermelhas, 4 amarelas e 3 azuis. Ao retirarmos duas bolas, qual a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas (com reposição)?

P(A U B)= P(A) x P(B)P(A U B)= 7/14 x 7/14P(A U B)= 49/196 = 25%

Os eventos independentes podem ser: sem reposição

Considerando o exemplo anterior sem reposição:P(A U B) = 7/14 x 6/13P(A U B) = 42/182 = 23,07%

Supondo agora, sem reposição, retirar duas bolas, qual a probabilidade de uma ser vermelha e outra azul?

P(A U B) = 7/14 x 3/13P(A U B) = 21/182 = 11,54%