Estatística - JusDecisum

Versão 2012.2

Curso: Banco Central - 2012 1

Índice

01- Conceitos Fundamentais...........................................................................................................51.1-Estatística....................................................................................................................................51.2-População....................................................................................................................................51.3-Censo...........................................................................................................................................61.4 Amostra........................................................................................................................................61.6 Variáveis e Atributos..................................................................................................................71.7 Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas...........................................................................81.8 Questões de Concursos............................................................................................................9

02- Organização de Dados Estatísticos......................................................................................112.1 Quadros e Tabelas...................................................................................................................112.2 Normas para Apresentação Tabular de Dados...................................................................112.3 Séries Estatísticas....................................................................................................................122.4 Distribuição de Frequências...................................................................................................122.4.1 Dados Brutos x Rol...........................................................................................................122.4.2 Distribuição de Frequência..............................................................................................132.5 Intervalos de Classe.................................................................................................................142.5.1 Classe.................................................................................................................................142.5.2 Limites de Classe..............................................................................................................142.5.3 Amplitude de um Intervalo de Classe............................................................................152.5.4 Amplitude Total da Distribuição......................................................................................152.5.5 Ponto Médio.......................................................................................................................152.6 Frequências Absolutas e Relativas.......................................................................................152.6.1 Frequência Simples ou Absoluta....................................................................................152.6.2 Frequência Relativa..........................................................................................................162.6.3 Frequência Acumulada....................................................................................................162.6.4 Frequência Acumulada Relativa.....................................................................................172.7 Gráficos......................................................................................................................................172.7.1 Gráfico em Colunas ou em Barras.................................................................................172.7.2 Histogramas.......................................................................................................................182.7.3 Polígono de Frequência...................................................................................................192.7.4 Polígono de Frequência Acumulada – Ogiva...............................................................192.7.5 Curva de Frequências......................................................................................................192.7.6 Formas Notáveis das Curvas de Frequências.............................................................202.7.7 Gráfico de Setores............................................................................................................212.7.8 Gráfico Polar......................................................................................................................222.8 Questões de Concursos..........................................................................................................23

03- Medidas de Posição.................................................................................................................273.1-Conceito.....................................................................................................................................273.2-Média Aritmética ( ).................................................................................................................273.2.1- Princípio fundamental..........................................................................................................273.2.2- Média aritmética para dados simples (não agrupados):................................................273.2.3- Média aritmética para dados agrupados:.........................................................................28


3.2.4- Média aritmética para dados agrupados em intervalos de classe:..............................283.2.5- Propriedades da média.......................................................................................................293.2.6- Cálculo Simplificado da Média...........................................................................................303.3- Mediana (Md)...........................................................................................................................313.3.1- Cálculo da Mediana: dados simples (não agrupados):..................................................313.3.2- Cálculo da Mediana: dados agrupados sem intervalos de classe:..............................323.3.3- Cálculo da Mediana: dados agrupados em intervalos de classe:................................333.4-Moda (Mo)..................................................................................................................................343.4.1- Dados não Agrupados.........................................................................................................343.4.2- Dados Agrupados sem Intervalos de Classe..................................................................343.4.3- Dados Agrupados com Intervalos de Classe..................................................................353.4.4- Determinação Gráfica da Moda.........................................................................................373.5-Posição Relativa da Média, Mediana e Moda.....................................................................373.6-Separatrizes..............................................................................................................................383.6.1- Quartis....................................................................................................................................383.6.2- Decis.......................................................................................................................................393.6.3- Percentis................................................................................................................................403.7-Médias Geométrica e Harmônica..........................................................................................413.7.1- Média Geométrica (G).........................................................................................................413.7.2- Média Harmônica (H)...........................................................................................................413.7.3- Relação entre as Médias....................................................................................................413.8 Questões de Concursos..........................................................................................................42

04- Medidas de Dispersão.............................................................................................................474.1-Introdução..................................................................................................................................474.2-Amplitude Total (At)..................................................................................................................484.3-Desvio Médio (Dm)...................................................................................................................484.4-Variância (S²)............................................................................................................................494.4.1- Fator de correção de Bessel..............................................................................................494.4.2- Cálculo da variância.............................................................................................................504.4.3- Propriedades da Variância.................................................................................................524.4.4- Cálculo da variância através da variável transformada.................................................534.5-Desvio Padrão (S)....................................................................................................................544.6-Desvio Quartil............................................................................................................................564.7-Variância Relativa e Coeficiente de Variação......................................................................574.7.1- Coeficiente de Variação de Pearson.................................................................................574.7.2- Outras Medidas de Dispersão Relativa............................................................................584.8 Questões de Concursos..........................................................................................................59

05- Probabilidade............................................................................................................................645.1- Nomenclatura e Notações......................................................................................................645.1.1- Extrações com reposição e sem reposição.....................................................................645.1.2- Experimento Aleatório.........................................................................................................645.1.3- Espaço Amostral e Evento.................................................................................................655.1.4- Nomes de alguns eventos..................................................................................................655.1.5- Evento complementar..........................................................................................................655.1.6- Interseção e União de Eventos..........................................................................................665.1.7- Eventos mutuamente exclusivos.......................................................................................66


5.2- Distribuição de Probabilidades..............................................................................................675.2.1- Distribuição uniforme...........................................................................................................675.2.2- Probabilidade de ocorrer um evento.................................................................................685.3- Propriedades da Probabilidade.............................................................................................705.3.1- Probabilidade de não ocorrer um evento.........................................................................705.3.2- Probabilidade de ocorrer um evento A ou B....................................................................715.4- Probabilidade Condicional.....................................................................................................745.5- Independência..........................................................................................................................765.6- Questões de Concursos.........................................................................................................78

06- Distribuições de Probabilidades.............................................................................................836.1-Distribuição Binomial................................................................................................................846.2-Distribuição Normal..................................................................................................................856.3-Intervalos de Confiança...........................................................................................................896.3.1- Erro Amostral........................................................................................................................896.3.2- Intervalo de Confiança (utilizando z).................................................................................896.3.3- Intervalo de Confiança para a Média Utilizando t...........................................................906.3.4- Intervalo de Confiança para Proporções..........................................................................936.4 Questões de Concursos..........................................................................................................94

07- Anexos........................................................................................................................................99Anexo 01...........................................................................................................................................99Anexo 02.........................................................................................................................................100

O conteúdo dessa apostila está de acordo com programa para o cargo de Analista e Técnico do Banco Central do Brasil, conforme os editais:

Edital BACEN Nº 1, de 25 de Outubro de 2005:

Edital BACEN Nº 1, de 18 de Novembro de 2009:

ESTATÍSTICA I

1. Histogramas e Curvas de Frequência.

2. Distribuição de frequências: absoluta, relativa, acumulada.

3. Medidas de posição: média, moda, mediana e separatrizes.

4. Medidas de Dispersão.

4.1. Desvio padrão.

4.2. Coeficiente de variação.

5. Distribuições de probabilidade.

5.1. Distribuição binomial.

5.2. Distribuição normal.


0101- Conceitos Fundamentais

1.1- EstatísticaEstatística é uma seção da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, sistematização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

A Estatística está dividida em:

a) Estatística Descritiva – se encarrega da coleta, sistematização (organização), e a descrição dos dados;

b) Estatística Indutiva ou Inferencial – responsável pela análise e a interpretação dos dados.

A palavra estatística também é frequentemente usada como sinônimo dos próprios dados estatísticos ou das relações estatísticas calculadas a partir destes dados. Assim, são estatísticas: a média aritmética, a mediana, a moda, o desvio padrão etc.

Vale destacar que o aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.

1.2- PopulaçãoPopulação ou Universo estatístico - é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum.

Exemplos:

a) os alunos de um determinado Curso de Estatística;

b) os candidatos ao Concurso do AFRF/2008;

c) A população das alturas dos alunos da universidade X.

Entretanto, pode-se restringir o universo de acordo com os aspectos que sejam relevantes em nosso estudo. Dessa forma, também são exemplos de universo ou população estatística:

a) os alunos de um determinado curso de estatística que tenham formação acadêmica em Ciências Sociais;

b) os candidatos inscritos no Concurso AFRF/2008 na área de Tributação e Julgamento.

Quanto ao número de elementos que possam compor uma população, esta pode ser definida como finita, como é o caso da população das alturas dos alunos da universidade X, ou infinita, como, por exemplo, a população de todos os resultados produzidos por sucessivos lançamentos de uma moeda (cara, cara, coroa, cara, coroa ....).

Na prática, todavia, consideramos como infinitas também as populações que, embora, sejam realmente finitas tenham um número muito grande de elementos. Da mesma forma, se uma população tem uma quantidade finita de elementos, mas se a amostragem for feita com reposição então a população será entendida como infinita.


1.3- CensoCenso é um procedimento que consiste em determinar os valores que constituem uma população. Assim, na realização de um censo são consultados todos os elementos da população.

Em outras palavras, denomina-se censo à pesquisa estatística onde todos os elementos da população são observados. O exemplo mais comum é o censo demográfico, através do qual é feita periodicamente, entre outras coisas, a contagem de todos os habitantes do país.

1.4 AmostraAmostra é um subconjunto finito e não vazio de uma população, que não coincida com a própria população.

População

Amostra

Na maioria das situações é praticamente impossível a análise da totalidade dos elementos que compõem uma determinada população (limitações econômicas os temporais). Assim, temos que limitar nossas observações a apenas uma parte da população (amostra).

Dizemos que uma amostra é representativa quando ela contém todas as características essenciais da população, nas mesmas proporções desta.

Se uma amostra é representativa, então as conclusões obtidas a partir do seu estudo poderão ser generalizadas ou transferidas para a população com alto grau de certeza, isto é, com um risco pequeno de estarmos errados a respeito das afirmações que fizemos sobre a população.

Quando uma pesquisa estatística leva em consideração apenas uma amostra da população, ela é chamada de pesquisa por amostragem. Entretanto, para que a conclusões tiradas deste estudo sejam confiáveis, faz-se necessário que a amostra ou as amostras que vão ser usadas sejam obtidas por processos adequados.

a) Processo de amostragem Aleatória Simples, Casual ou Randômica: neste tipo de amostragem, todos os elementos da população devem ter a mesma chance de serem escolhidos para fazer parte da amostra. Assim, a escolha deverá ser feita sorteando-se, por um dispositivo aleatório qualquer, os elementos que pertencerão à amostra.Por exemplo, para se obter uma amostra representativa da estatura dos 150 funcionários de uma repartição pública poder-se-ia proceder da seguinte forma:

Anotamos o número da matrícula de cada servidor (de 001 a 150) em pedaços iguais de papel e os colocamos dentro de uma caixa.

Agitando sempre a caixa para garantir a mistura dos papéis, vamos retirando um a um, quinze números para formar a amostra. Neste caso, a amostra será formada por 10% da população.

No entanto, quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse processo fica deveras trabalhoso. Nesse contexto, alternativamente, poderemos utilizar uma tabela de números aleatórios (construída de modo que os dez algarismos – 0 a 9 – são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas). Com a utilização da tabela, para obtermos os elementos da amostra, sorteamos um algarismo qualquer da mesma, a partir do qual iremos considerar dois, três ou mais algarismos, conforme nossa necessidade. Assim, o resultado obtido pelo uso da tabela é semelhante ao de um sorteio imparcial.


b) Amostragem Sistemática: é o processo de obtenção de amostras no qual os elementos são selecionados por algum sistema preestabelecido como, por exemplo, seguindo-se intervalos regulares de tempo ou após certa contagem de elementos.Esta técnica é conveniente sempre que a população se encontrar previamente ordenada segundo algum critério (peças em uma linha de montagem, fichas em um fichário, nomes em uma lista telefônica, prédios em uma rua etc.).Exemplo: Imaginemos uma linha de produção onde são fabricados 1500 parafusos em um dia dos quais desejamos obter uma amostra formada por 60 peças. Podemos proceder nesse caso da seguinte forma: como 1500/60 = 25, escolhemos por sorteio casual um número de 1 a 25 (inclusive), o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 25 em 25.

O inconveniente deste processo é ele pode produzir amostras que não detectem eventos cíclicos tais como falhas que ocorram periodicamente em uma linha de produção.

c) Amostragem Estratificada, por Quotas, ou Proporcional: neste procedimento, diversas características da população, tais como idade, sexo, classe social e etnia, são amostradas nas mesmas proporções em que figuram na população. Cada um destes grupos nos quais a população se subdivide é chamado extrato.

Exercício de Aprendizagem 01: COD.

Supondo que dos 150 funcionários de determinada repartição pública, 90 sejam do sexo masculino, obter uma amostra proporcional estratificada de 10% da população.

1.6 Variáveis e Atributos

Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

Uma variável pode ser representada por um símbolo (a, b, c, x, y, z), que pode assumir qualquer um de um conjunto de valores que lhe são atribuídos, conjunto este chamado domínio da variável. Se a variável só pode assumir apenas um valor é denominada constante.

As variáveis são classificadas de acordo com o que se propõe a medir.

Variáveis qualitativas – quando seus valores representam qualidades ou atributos: As variáveis qualitativas são sempre distribuídas em grupos mutuamente excludentes: sexo (masculino e feminino), religião (católica, protestante etc.), estados brasileiros (Pernambuco, Paraíba etc.);

Variáveis quantitativas – quando seus valores são expressos em números, ou seja, uma variável é quantitativa quando ela representa uma quantidade ou uma grandeza medida em uma escala qualquer que permita a identificação da magnitude das diferenças entre dois valores quaisquer. Exemplos: salários de empregados, número de filhos de uma família, peso de um indivíduo etc.


1.7 Variáveis Aleatórias Discretas e ContínuasPodemos definir variável aleatória como sendo uma propriedade de um elemento que está sendo medido, assumindo diferentes valores ou atributos.

Variável Contínua – diz-se que uma variável quantitativa é contínua quando pode assumir, teoricamente, qualquer valor (qualquer número Real) entre dois limites. O peso de um indivíduo pode assumir valores como 71kg, 71,4kg, 71,43kg, 71,43261kg, dependendo este valor da precisão da medida.

Variável Discreta – é a variável quantitativa que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável. O número N de crianças, em uma família, pode assumir qualquer um dos valores 0, 1, 2, 3, ... mas não pode ser 2,5 ou 3,856, logo é uma variável discreta.

De modo geral, as medições dão origem a dados contínuos e as contagens ou enumerações, a dados discretos.

Os dados que podem ser descritos por meio de uma variável discreta ou contínua são chamados de dados discretos ou contínuos, respectivamente.

Para representar a variável e os valores ou atributos assumidos por ela, é comum o uso da notação . E, aos valores ou atributos assumidos pela variável, damos o nome de categorias ou classes da variável.


1.8 Questões de Concursos

QUESTÃO 01 CÓD.:

Assinale a opção correta.

a) Em estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas.

b) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo.

c) Frequência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa variável.

d) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo.

e) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo.

Solução:

TC-DF 1995 CESPE GAB.: D

QUESTÃO 02 CÓD.:

Assinale a opção correta.

a) A Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados numéricos.

b) O processo utilizado para se medirem as características de todos os membros de uma dada população recebe o nome de censo.

c) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra.

d) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus componentes.

e) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma amostra aleatória.

Solução:

TC-DF 1995 GAB.: B


QUESTÃO 03 CÓD.:

Julgue os itens seguintes.

I) Por Estatística Descritiva, entende-se um conjunto de ferramentas, tais como gráficos e tabelas, cujo objetivo é apresentar, de forma resumida, um conjunto de observações.

II) Quando aplicada em uma população de pessoas formada pelo mesmo número de homens e de mulheres, uma amostra aleatória simples também apresenta o mesmo número de homens e mulheres.

Solução:

TCDF 2002 AFCE CESPE GAB.: C E

QUESTÃO 04 CÓD.:

Julgue os seguintes.

I) Um censo consiste no estudo de todos os indivíduos da população considerada.

II) Como a realização de um censo tipicamente é muito onerosa e(ou) demorada, muitas vezes é conveniente estudar um subconjunto próprio da população, denominado amostra.

Solução:

Alagoas 2002 FTE CESPE GAB.: C C

QUESTÃO 05 CÓD.:

Uma pesquisa de opinião dos usuários acerca de qualidade do atendimento em um hospital foi realizada com o seguinte desenho: a quinta pessoa que chegou ao hospital, num certo dia, foi selecionada e pesquisada; depois, a décima pessoa a chegar foi pesquisada; depois, a décima quinta; e assim sucessivamente, sempre de cinco em cinco pessoas. Esse desenho caracteriza uma amostragem:

a) sistemática. b) aleatória simples. c) estratificada. d) por conglomerados. e) por sorteios aleatórios sucessivos.

Solução:

SAD/PE 2009 Analista de Planejamento, Orçamento e Gestão

FGV GAB.: A


0202- Organização de Dados Estatísticos

2.1 Quadros e TabelasNa organização de dados estatísticos, na prática, diferenciamos quadros de tabelas, da seguinte forma:

a) Os quadros apresentam dados exclusivamente descritos de um conjunto de variáveis ou de apenas uma variável;

b) As tabelas apresentam informações cruzadas de variáveis ou permitem comparações mais elucidativas.

2.2 Normas para Apresentação Tabular de DadosUm dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. E isso ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos.

Assim, tabela é um quadro que resume um conjunto de informações.

Uma tabela compõe-se de:

Título PRODUÇÃO DE MILHO

NORDESTE – 2000-2004

Cabeçalho ANOS PRODUÇÃO (1.000 t)

2000 150 Casa ou célula

Corpo 2001 243

2002 212 Linhas

2003 350

2004 207

FONTE: Instituto Imaginário de Estatística

Rodapé

Coluna indicadora Coluna numérica

De acordo com a Resolução 866 do IBGE, nas casas ou células deve-se colocar:

Um traço horizontal (-) quando o valor é zero;

Três pontos (...) quando não se têm dados;

Um ponto de interrogação (?) quando se tem dúvida quanto à exatidão de determinado valor;

Zero (0) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada.


2.3 Séries EstatísticasA descrição da estrutura ou da variação dos fenômenos estatísticos é feita através de séries estatísticas, isto é, por conjunto de dados homogêneos, discriminados segundo diversas modalidades, ou ordenados de acordo com as medidas de uma circunstância da observação.

Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. Os dados que constituem a série estatística chamam-se termos da série.

Conforme varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em: histórica, geográfica e específica.

a) Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas: Descrevem os valores da variável, em determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo variável.

b) Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização: Descrevem os valores da variável, em determinado instante, discriminados segundo regiões.

c) Séries específicas ou categóricas: Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e local, discriminados segundo especificações ou categorias.

SÉRIE HISTÓRICA: SÉRIE GEOGRÁFICA: SÉRIE ESPECÍFICA:

PREÇO DO ACÉM NO VAREJO SÃO PAULO

1989-93

DURAÇÃO MÉDIA DOS CURSOS SUPERIORES

1994

REBANHOS BRASILEIROS – 1992

ANOS PREÇO

MÉDIO (US$) PAÍSES

NÚMERO DE ANOS

ESPÉCIES QUANTIDADE

(1.000 cabeças)

1989 2,24 Itália 7,5 Bovinos 154.440,8

1990 2,73 Alemanha 7,0 Bubalinos 1.423,3

1991 2,12 França 7,0 Eqüinos 549,5

1992 1,89 Holanda 5,9 Suínos 34.532,2

1993 2,04 Inglaterra Menos de 4 Ovinos 19.955,9

FONTE: APA FONTE: Revista Veja FONTE: IBGE

2.4 Distribuição de Frequências

2.4.1 Dados Brutos x RolDados brutos são aqueles que ainda não foram numericamente organizados. Um exemplo é o conjunto de alturas de 100 estudantes do sexo masculino, tirado de uma lista alfabética do registro de uma universidade.

Um Rol é um arranjo de dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente de grandeza.

Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A, resultando a seguinte tabela de valores:


TABELA 2.1

ETATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A

166 160 161 150 162 160 165 167 164 160

162 161 168 163 156 173 160 155 164 168

155 152 163 160 155 155 169 151 170 164

154 161 156 172 153 157 156 158 158 161

Este tipo de tabela é denominada tabela primitiva ou tabela de dados brutos.

Como se pode notar, os dados desta tabela encontram-se desorganizados. A maneira mais simples de organizar os dados é através de certa ordenação (crescente ou decrescente). A tabela obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de rol.

TABELA 2.2

ETATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A

150 154 155 157 160 161 162 164 166 169

151 155 156 158 160 161 162 164 167 170

152 155 156 158 160 161 163 164 168 172

153 155 156 160 160 161 163 165 168 173

2.4.2 Distribuição de FrequênciaChamamos de frequência absoluta simples (f) de um valor, o número de ocorrências deste valor numa amostra ou numa população.

Por exemplo: Considerando a seguinte amostra: 1, 3, 5, 7, 1, 5, 7, 5, as frequências absolutas simples de 1, 3, 5 e 7 são, respectivamente, 2, 1, 3, 2, já que:

O número 1 apareceu 2 vezes

O número 3 apareceu 1 vez



É comum nas provas de concursos a utilização simplesmente do termo frequência para indicar a frequência absoluta simples de um valor da variável em estudo.

Em referência a situação do item acima (TABELA 2.2), denominamos frequência absoluta simples o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de frequência:

TABELA 2.3

ESTAT. (cm) FREQ. ESTAT. (cm) FREQ. ESTAT. (cm) FREQ.

150 1 158 2 167 1

151 1 160 5 168 2

152 1 161 4 169 1

153 1 162 2 170 1

154 1 163 2 172 1

155 4 164 3 173 1

156 3 165 1 TOTAL 40

157 1 166 1


2.5 Intervalos de ClasseQuando se resumem grandes massas de dados, costuma-se frequentemente distribuí-los em classes ou categorias e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma das classes - frequência da classe.

Intervalo de classe é a forma mais comum de agrupar dados. Veja os tipos de intervalos existentes:

150 154 inclui o limite inferior, exclui o superior, intervalo fechado à esquerda;

150 154 exclui o limite inferior, inclui o superior, intervalo fechado à direita;

150 154 inclui os dois limites, intervalo fechado nos dois limites;

150 154 exclui os dois limites, intervalo aberto nos dois limites;

Chamando de frequência de uma classe o número de valores da variável pertencentes à classe, os dados da Tabela 2.3 podem ser dispostos como na Tabela 2.4, denominada distribuição de frequência com intervalos de classe.

TABELA 2.4

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A

ESTAT. (cm) FREQ.

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

TOTAL 40

Na tabela 2.4 acima, os valores da variável Estatura estão agrupados em seis classes.

O que se pretende com a construção desta nova tabela é realçar o que há de essencial nos dados e, também, tornar possível o uso de técnicas analíticas para sua total descrição, até porque a Estatística tem por finalidade específica analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados.

OBS: Quando os dados estão organizados em uma distribuição de frequência, são comumente denominados dados agrupados.

2.5.1 ClasseClasses de frequência ou, simplesmente, classes são intervalos de variação da variável, ou seja, são os conjuntos de valores obtidos a partir do agrupamento dos dados de um rol.

As classes são representadas simbolicamente por ‘i’, sendo i = 1, 2, 3, ..., k (onde ‘k’ é o número total de classes da distribuição).

Assim no exemplo acima (tabela 2.4), o intervalo 154 158 define a segunda classe (i = 2). Como a distribuição é formada de seis classes, podemos afirmar que K = 6. Cada classe é representada por um intervalo onde são indicados apenas os valores limites.

2.5.2 Limites de ClasseDenominam-se limites de classe os extremos de cada classe.


O menor número é o limite inferior da classe ( ) e o maior número, o limite superior da classe ( ).

Na segunda classe, na tabela 2.4, temos:

= 154 e = 158

Estes são os chamados limites reais de classe, pois o limite superior da classe coincide com o limite inferior da classe seguinte. Caso não ocorresse, os limites seriam chamados de limites aparentes.

2.5.3 Amplitude de um Intervalo de ClasseAmplitude de um intervalo de classe ( ) é a diferença entre os limites superior e inferior dessa classe.

Na distribuição da Tabela 2.4, temos:

=> =>

2.5.4 Amplitude Total da DistribuiçãoAmplitude total de uma distribuição ( ) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo):

Na Tabela 2.4, temos:

=>

É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, se verifica a seguinte relação:

2.5.5 Ponto MédioPonto médio de uma classe ( ) é, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.

Desta forma o ponto médio da segunda classe, em nosso exemplo (Tabela 2.4) é:

=>

2.6 Frequências Absolutas e Relativas

2.6.1 Frequência Simples ou AbsolutaFrequência simples ou frequência absoluta ( ) de uma classe ou de um valor individual é o número de observações correspondentes a essa classe ou a este valor, ou seja, é o número de ocorrências dos valores compreendidos naquela classe, incluindo-se na contagem as eventuais repetições de um mesmo valor.


Assim, de acordo com a distribuição de frequência da Tabela 2.4 temos, por exemplo:

, ,

Desta forma podemos concluir que a soma de todas as frequências absolutas de uma tabela de distribuição de frequências é chamada de frequência total (normalmente indicada por n) e corresponde ao tamanho do conjunto pesquisado.

, ou de uma forma mais simples,

Do exemplo acima (Tabela 2.4), temos:

2.6.2 Frequência RelativaFrequências relativas ( ) são os valores das razões entre as frequências simples e a total, ou seja, é a frequência de uma classe dividida pelo total de todas elas.

É muito comum transformarmos os valores das frequências relativas em percentuais. Isto pode ser feito pela multiplicação do valor das frequências relativas simples por 100:

e

O propósito das frequências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as comparações.

Logo, a frequência relativa da terceira classe, em nosso exemplo (Tabela 2.4), é:

=> =>

=>

2.6.3 Frequência AcumuladaFrequência acumulada ( ) é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe:

Assim no exemplo da Tabela 2.4, a frequência acumulada correspondente à terceira classe é:

= =>

Interpretando o resultado: significa existirem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira classe).

É comum nos depararmos com a seguinte classificação das frequências acumuladas:

a) Frequência acumulada “abaixo de” ( ): sua definição se confunde com o conceito estudado acima, isto é, frequência acumulada “abaixo de” para uma classe é a soma da frequência absoluta simples desta classe com as frequências absolutas simples de todas as classes que tenham valores abaixo dos da classe considerada.As frequências acumuladas “abaixo de” também são denominadas “frequências acumuladas crescentes”, pois seus valores crescem com o número da classe considerada;

b) Frequência acumulada “acima de” ( ) para uma classe é a soma da frequência absoluta simples desta classe com as frequências absolutas simples de todas as classes que tenham valores acima dos da classe considerada.

As frequências acumuladas “acima de” também são denominadas “frequências acumuladas decrescentes”.


2.6.4 Frequência Acumulada RelativaFrequência acumulada relativa ( ) de uma classe é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição:

Assim, para a terceira classe do nosso exemplo (Tabela 2.4), temos:

=>

De acordo com os conceitos até aqui estudados, podemos montar a seguinte tabela a partir dos dados da Tabela 2.4:

TABELA 2.5

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A

i ESTAT. (cm) fi xi fri Fi Fri

1 150 154 4 152 0,100 4 0,100

2 154 158 9 156 0,225 13 0,325

3 158 162 11 160 0,275 24 0,600

4 162 166 8 164 0,200 32 0,800

5 166 170 5 168 0,125 37 0,925

6 170 174 3 172 0,075 40 1,000

TOTAL Σ = 40 Σ = 1,000

2.7 GráficosO gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo. Um gráfico é uma representação geométrica da relação entre variáveis. Muitos tipos de gráficos são empregados em estatística, dependendo da natureza dos dados pertinentes e da finalidade para a qual ele é destinado.

Os gráficos mais utilizados são:

Colunas e Barras => normalmente utilizados para variáveis qualitativas ou para uma série temporal;

Histogramas e Polígonos de Frequência => para variáveis quantitativas e também para uma série temporal.

2.7.1 Gráfico em Colunas ou em BarrasÉ a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras).

a) quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. No eixo das abscissas (x), representa-se a variável ( ), enquanto no eixo das ordenadas coloca-se a frequência da distribuição;

b) quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados. No eixo das abscissas, representa-se a frequência da distribuição, enquanto no eixo das ordenadas coloca-se a variável ( ).


Exemplos:

a) Gráfico em colunas b) Gráfico em barras

ANOS PRODUÇÃO (t) REGIÃO Nº DE ESTADOS

1990 12.000 Centro-oeste 3

1991 10.000 Nordeste 9

1992 6.000 Norte 7

1993 8.000 Sudeste 4

Sul 3

a) Gráfico em colunas b) Gráfico em barras

10.000

Centro-oeste

8.000

Nordeste

6.000

Norte

4.000

Sudeste

2.000

Sul

1989 1990 1991 1992 2 4 6 8 10

2.7.2 HistogramasO histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que deus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.

As larguras dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe. As alturas são proporcionais às frequências das classes.

Veja o exemplo abaixo: 6

ESTATURAS Fi 5

154 158 2 4

158 162 4 3

162 166 6 2

166 170 4 1

0

154 158 162 166 170

Observações importantes:

a) A área de um histograma é proporcional à soma das frequências;

b) No caso de se usar freqüências relativas, obtém-se um gráfico de área unitária;

c) Quando queremos comparar duas distribuições, o ideal é fazê-lo pelo histograma de frequências relativas.


2.7.3 Polígono de FrequênciaO polígono de frequência é um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre as perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos e classe.

Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior a primeira e posterior à última, da distribuição.

A distribuição do exemplo acima corresponde ao seguinte polígono de frequência:

Polígono de Freqüência

0

1

2

3

4

5

6

7

152 156 160 164 168 172 x

f

OBS: Note que os pontos médios dos intervalos de classe são: 156, 160, 164 e 168.

2.7.4 Polígono de Frequência Acumulada – OgivaO polígono de frequência acumulada ou ogiva é traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

Assim, ao exemplo acima corresponde o seguinte polígono de frequência acumulada:

Polígono de Freqüência Acumulada

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

154 158 162 166 170

2.7.5 Curva de Frequências A curva de frequências de uma distribuição é análoga ao polígono de frequências da distribuição, mas apresenta um contorno mais suave, sem as angulosidades que ocorrem no polígono de frequências.


2.7.6 Formas Notáveis das Curvas de Frequências

a) Curvas em forma de Sino

As curvas em forma de sino caracterizam-se pelo fato de apresentarem um valor máximo na região central.

São muitos os fenômenos que oferecem distribuições em forma de sino: a estatura de adultos, o peso de adultos, a inteligência medida em testes mentais, os preços relativos, entre outros.

As curvas em forma de sino podem ser:

Curvas Simétricas: Esta curva caracteriza-se por apresentar o valor máximo no ponto central e os pontos equidistantes desse ponto terem a mesma frequência.

Curvas Assimétricas: Na prática, não encontramos distribuições perfeitamente simétricas. As distribuições obtidas de medições reais são mais ou menos assimétricas, em relação à frequência máxima. Assim, as curvas correspondentes a tais distribuições apresentam a cauda de um lado da ordenada máxima mais longa do que do outro. Se a cauda mais alongada fica à direita, a curva é chamada assimétrica positiva ou enviesada à direita. Se a cauda se alonga à esquerda, a curva é chamada assimétrica negativa ou enviesada à esquerda.

Curva assimétrica positiva Curva assimétrica negativa

b) Curvas em forma de jota:

As curvas em forma de jota são relativas a distribuições extremamente assimétricas, caracterizadas por apresentarem o ponto de ordenada máxima em uma das extremidades.

São curvas comuns aos fenômenos econômicos e financeiros: distribuição de vencimentos ou rendas pessoais.


c) Curvas em forma de U:

São caracterizadas por apresentarem ordenadas máximas em ambas as extremidades.

Como exemplo de distribuição que dá origem a esse tipo de curva podemos citar a de mortalidade por idade.

d) Curvas Multimodais:

Caracterizam-se por terem mais de um máximo.

Curva Bimodal Curva Multimodal

2.7.7 Gráfico de Setores Empregado quando se deseja ressaltar a participação do dado no total.


2.7.8 Gráfico Polar Empregado para representar séries cíclicas (normalmente temporais).

Exemplo: Precipitação pluviométrica durante o ano;

Temperatura ao longo do dia;

Consumo de energia durante o mês.

Exemplo: A tabela a seguir mostra dados de frequência de alunos em um ano letivo.

MESES FREQUÊNCIA

Março 79

Abril 74

Maio 80

Junho 77

Agosto 83

Setembro 73

Outubro 69

Novembro 59

Sendo 8 parcelas (meses), divide-se o círculo em 8 setores, estabelecendo-se valores proporcionais para cada raio. Estabelece-se um valor também de comparação (média das frequências) e o gráfico terá a aparência abaixo



QUESTÃO 01 CÓD.:

Para visualizar mais apropriadamente quanto às partes de uma população representam em relação ao todo, a partir de dados estatísticos, é mais adequado utilizar o

a) histograma. b) gráfico por setores. c) diagrama de dispersão. d) polígono de frequências. e) gráfico polar.

Solução:

Pref. de São Paulo 2008 Assistente de Suporte Técnico FCC GAB.: B

QUESTÃO 02 CÓD.: 17

Em relação aos tipos de gráficos, assinale a opção correta.

a) Uma série categórica é melhor representada por um gráfico de linha.

b) Uma série cronológica é melhor representada por um gráfico de setores.

c) Se uma distribuição de frequências apresenta intervalos de tamanhos desiguais, o melhor gráfico para representá-las é um polígono de frequências.

d) O gráfico de barras é usado somente para séries geográficas.

e) O gráfico de setores é usado para comparar proporções.

Solução:

TCDF CESPE GAB.: E


Os intervalos de classes podem ser apresentados de várias maneiras. Dentre as situações abaixo, a correta é:

a) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive os extremos;

b) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive os extremos;

c) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive o 2 e inclusive o 6;

d) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, inclusive o 2 e exclusive o 6;

e) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, inclusive os extremos;

Solução:

Receita Federal TTN ESAF GAB.: A



Considere a distribuição de frequência transcrita a seguir para responder à questão.

Diâmetro(cm) Freqüências Simples Absolutas

4 6

6 8

8 10

10 12

12 14

6

8

12

10

4

a) 75% das observações estão no intervalo 6 12;

b) a soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior à soma das frequências absolutas simples;

c) 28% das observações estão no quarto intervalo de classe;

d) menos de 25 observações têm diâmetro abaixo de 10cm;

e) mais de 85% das observações têm diâmetro não inferior a 6cm.

Solução:

Receita Federal TTN ESAF GAB.: A


Marque a assertiva correta:

a) Em uma distribuição de frequência existe uma frequência relativa acumulada unitária, ou no primeiro, ou no último intervalo de classe.

b) intervalo de classe que contém a mediana é o de maior frequência absoluta simples.

c) Os intervalos de classe de uma distribuição de frequência têm o ponto médio equidistante dos limites inferior e superior de cada classe e sua amplitude ou é constante ou guarda uma relação de multiplicidade com frequência absoluta simples da mesma classe.

d) intervalo de classe que contém a moda é o de maior frequência relativa acumulada (crescentemente).

e) A frequência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das frequências simples em ordem decrescente.

Solução:

Receita Federal 1994 TTN ESAF GAB.: A



Ouvindo-se 300 pessoas sobre o tema “Reforma da previdência, contra ou a favor?”, foram obtidas 123 respostas a favor, 72 contra, 51 pessoas não quiseram opinar, e restante não tinha opinião formada sobre o assunto. Distribuindo-se esses dados numa tabela, obtém-se:

Opinião Freqüência Freqüência relativa Favorável 123 X Contra 72 Y Omissos 51 0,17 Sem opinião 54 0,18 TOTAL 300 1,00

Na coluna Frequência relativa, os valores de X e Y são respectivamente:

a) 0,41 e 0,24.

b) 0,38 e 0,27.

c) 0,37 e 0,28.

d) 0,35 e 0,30.

e) 0,30 e 0,35.

Solução:

FMG GAB.: A


A distribuição a seguir indica o número de acidentes ocorridos com 40 motoristas de uma empresa de ônibus.

No de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 No de motoristas 13 7 10 4 3 2 1

O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes é:

a) 3.

b) 6.

c) 10.

d) 27.

e) 30.

Solução:

FMG GAB.: B


QUESTÃO 08 CÓD.:

No campo estatístico, ogivas são:

a) polígonos de frequência acumulada. b) polígonos de frequência acumulada relativa ou percentual. c) histograma de distribuição de frequência. d) histograma de distribuição de frequência relativa ou percentual. e) o equivalente à amplitude do intervalo.

Solução:

IRB 2006 Analista ESAF GAB.: A


0303- Medidas de Posição

3.1- ConceitoMedidas de posição são elementos estatísticos que representam e ao mesmo tempo resumem uma série de dados de acordo com seu posicionamento (orientação) em relação ao eixo das abscissas.

As medidas de posição podem ser classificadas basicamente de duas formas:

Medidas de tendência central: se caracterizam pelo fato de seus valores tenderem, em geral, a se localizar em torno de valores centrais da série estudada. Neste grupo estão a média aritmética, a mediana e a moda.

Separatrizes: têm a característica de separar a série estatística em grupos, levando em consideração apenas o número de elementos desta série. Neste grupo destacam-se a própria mediana, os quartis e os percentis.

3.2- Média Aritmética ( )

3.2.1- Princípio fundamental.Média aritmética é a razão entre o somatório dos valores da variável e a quantidade deles.

, onde:

=> média aritmética;

=> os valores da variável;

=> o número de valores.

3.2.2- Média aritmética para dados simples (não agrupados):Neste caso aplicamos diretamente o princípio fundamental visto acima. Veja o seguinte exemplo:

EXEMPLO......................................... 01 CÓD.:

As notas de um certo grupo, em um determinado concurso, foram as seguintes: 8,0 ; 9,0 ; 7,0 ; 7,5 ; 8,5 ; 9,5 ; 6,0 ; 9,5 ; 9,0 ; 7,0 ; 6;5 ; 8,0 ; 7,5 ; 6,5, e 7,5. Calcular a média aritmética das notas deste grupo.

Solução:


3.2.3- Média aritmética para dados agrupados:Neste caso aplicamos a chamada média aritmética ponderada:

onde

EXEMPLO......................................... 02 CÓD.:

As notas de um certo grupo de alunos em um determinado concurso foram as seguintes: 8,0 ; 9,0 ; 7,0 ; 7,5 ; 8,5 ; 9,5 ; 6,0 ; 9,5 ; 9,0 ; 7,0 ; 6;5 ; 8,0 ; 7,5 ; 6,5, e 7,5. Calcular a média aritmética das notas deste grupo, a partir de sua distribuição de frequência.

Solução:

3.2.4- Média aritmética para dados agrupados em intervalos de classe:Neste caso específico convenciona-se tomar como o valor representativo do intervalo de classe o seu ponto médio. Identificado este valor, aplica-se o princípio utilizado no cálculo da média aritmética ponderada:

Valor representativo da classe:

Média aritmética:

EXEMPLO......................................... 03 CÓD.:

Dividir os dados do exemplo 02 em intervalos de classe com h = 1,0 ponto e calcular a média aritmética das notas do grupo, a partir de sua distribuição de frequência em intervalos de classe.

Solução:


3.2.5- Propriedades da média. Propriedade I: O somatório dos desvios tomados em relação à média é igual a zero.

Desvio em relação à média ( ) é a diferença entre cada elemento de um dado conjunto de valores e sua respectiva média aritmética.

EXEMPLO......................................... 04 CÓD.:

Calcular o desvio em relação à média e seu somatório para os seguintes dados: 24, 26, 28, 30 e 32.

Solução:

Propriedade II: Somando-se ou subtraindo-se uma constante “a” de todos os valores de uma variável ( ), a média aritmética do conjunto ( ) fica aumentada ou subtraída desta constante. Desta forma:

Se = a =>

EXEMPLO......................................... 05 CÓD.:

Adicionar a constante 5 a cada um dos seguintes valores e calcular a média aritmética do conjunto: Valores: 24, 26, 28, 30 e 32.

Solução:

Propriedade III: Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável ( ) por

uma constante “a”, a média aritmética do conjunto ( ) fica multiplicada ou dividida por esta constante. Desta forma:

Se => ; se =>


EXEMPLO......................................... 06 CÓD.:

Multiplique cada um dos seguintes valores pela constante 5 e calcule a média aritmética do conjunto. Valores: 24, 26, 28, 30 e 32.

Solução:

Propriedade IV: A soma dos quadrados dos desvios em relação à Média Aritmética de uma série é sempre um mínimo. Isto é, a soma dos quadrados dos desvios em relação à Média Aritmética é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios em relação à outra constante. Desta forma:

Se , então: <

EXEMPLO......................................... 07 CÓD.:

Verifique a Propriedade IV utilizando o seguinte conjunto de valores e a constante 30. Valores: 24, 26, 28, 30 e 32.

Solução:

3.2.6- Cálculo Simplificado da Média.Este processo é baseado nas propriedades da média aritmética e é utilizado com o objetivo de simplificar os cálculos da mesma.

Consiste basicamente em substituir o valor da variável por outra de forma que: ,

onde é uma constante qualquer, escolhida convenientemente dentre os pontos médios dos intervalos de classe (é preferível que se escolha o ponto de maior frequência).

Feito isto, segundo as propriedades da média aritmética, a média encontrada ao final deste processo de cálculo (média fictícia) estará diminuída de e dividida por em relação ao seu valor real. Portanto, para chegarmos a este valor real é o bastante multiplicar a média fictícia por

e adicionamos a constante . Desta forma:

ou


EXEMPLO......................................... 08 CÓD.:

Calcular pelo processo simplificado a média aritmética da distribuição abaixo.

ESTAT. (cm) FREQ.

160 164 4

164 168 9

168 172 11

172 176 8

176 180 5

180 184 3

Solução:

Observações:

a) Este tipo de processo simplificado só pode ser utilizado quando as classes da distribuição tiverem a mesma amplitude;

b) Este processo também pode ser utilizado em distribuições de frequência com dados agrupados sem intervalos de classe. Para tanto, fazemos h = 1.

3.3- Mediana (Md)Mediana é uma medida de tendência central cujo valor divide o rol em dois conjuntos com o mesmo número de elementos.

A mediana ocupa a posição central do rol, deixando para trás o mesmo número de elementos que se encontra a frente de seu valor numa série estatística devidamente ordenada (em ordem crescente ou decrescente).

Dessa forma, a mediana depende apenas da posição dos elementos na série e não do seu valor. Esta é a principal diferença entre a mediana e a média aritmética.

3.3.1- Cálculo da Mediana: dados simples (não agrupados):a) Número ímpar de elementos: quando se tem um conjunto com um número ímpar de

elementos, sabemos de antemão que a mediana ou valor mediano será um dos valores da distribuição estudada.

Passos para determinação da mediana:

1º.- Organizar os valores na forma de um rol;

2º.- Contar o número (N) de elementos da distribuição;

3º.- Determinar na distribuição o termo de ordem (N + 1) / 2;


EXEMPLO......................................... 09 CÓD.:

Identifique a mediana do seguinte conjunto de valores. Valores: 2, 7, 13, 15, 8, 10, 9, 12, 4, 6, 18.

Solução:

b) Número par de elementos: quando se tem um conjunto com um número par de elementos, a mediana ou valor mediano será qualquer um dos valores localizados entre os termos centrais da série. Convencionou-se então usar o ponto médio ou a média aritmética dos dois termos centrais como valor representativo da mediana.


1º.- Organizar os valores na forma de um rol;

2º.- Contar o número (n) de elementos da distribuição;

3º.- Determinar na distribuição o termos de ordens N / 2 e (N / 2) + 1;

4º.- Determinar a média aritmética dos termos de ordens N / 2 e (N / 2) + 1;

EXEMPLO......................................... 10 CÓD.:

Identifique a mediana do seguinte conjunto de valores. Valores: 2, 7, 13, 15, 8, 10, 9, 12, 4, 6.

Solução:

3.3.2- Cálculo da Mediana: dados agrupados sem intervalos de classe:Nesse caso, o processo de determinação da mediana é semelhante ao do primeiro caso estudado e recai também na identificação do termo central da distribuição de frequências. Note que a utilização das frequências acumuladas neste caso será de grande ajuda.


1º.- Determinar o termo que divide a distribuição em duas partes iguais (N / 2):

onde N = (se N for ímpar usar (N+1) no lugar de N);

2º.- Verificar o termo mediano. O termo mediano será o primeiro que apresentar pelo menos N /2 elementos na coluna de frequências acumuladas;


3º.- No caso de haver uma frequência acumulada ( ) exatamente igual a ou

(N/2) o termo mediano será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a esta frequência acumulada e o valor seguinte da variável. Assim,

EXEMPLO......................................... 11 CÓD.:

Calcular a mediana da distribuição abaixo.

Solução:

3.3.3- Cálculo da Mediana: dados agrupados em intervalos de classe:Nesse caso o problema de identificação da mediana é dividido em duas partes: a determinação da Classe Mediana e a Interpolação dentro desta classe para determinação da mediana propriamente dita.


1º.- Identificar a classe mediana. A classe mediana será aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a . Assim, comparamos o valor de com os valores da frequência acumulada , iniciando da F da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta: esta frequência acumulada é maior ou igual a ? Se a resposta for NÃO, passamos à frequência acumulada da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente. Essa será a classe mediana.

2º.- Verificar a que valor dentro da classe mediana corresponde o termo central da distribuição . Aplica-se a seguinte expressão:

Onde:

=> limite inferior da classe mediana;

=> frequência acumulada da classe anterior à mediana;

=> frequência simples absoluta da classe mediana; => amplitude da classe mediana.

=> frequência total => .

3º.- No caso de haver uma frequência acumulada ( ) exatamente igual a , a mediana será o limite superior da classe correspondente.


xi fi

12 2

16 4

18 9

22 8

23 7

EXEMPLO......................................... 12 CÓD.:

Calcular a mediana da distribuição abaixo.

20 25 5

15 20 8

10 15 11

5 10 9

0 5 4Estaturas (cm) fi

Solução:

3.4- Moda (Mo)

Moda é o valor da variável de maior frequência da distribuição.

3.4.1- Dados não Agrupados.Quando os dados não estão agrupados, procede-se o seu agrupamento e em seguida a identificação dos elementos de maior frequência.

Note que podem existir distribuições:

a) bimodais, trimodais, multimodais: quando dois, três ou mais valores da variável têm frequências iguais à maior frequência absoluta da distribuição;

b) Amodais: quando todos os elementos da distribuição possuem frequências iguais.

EXEMPLO......................................... 13 CÓD.:

Identifique a moda do seguinte conjunto de valores. 2, 7, 10, 13, 15, 8, 13, 8, 10, 13, 9, 12, 4, 6.

Solução:

3.4.2- Dados Agrupados sem Intervalos de Classe.Neste caso, a determinação da moda se dá pela simples observação da distribuição de frequências e identificar o termo de maior frequência. Ele será a moda.


EXEMPLO......................................... 14 CÓD.:

Identifique o valor modal da distribuição abaixo:

xi fi

12 2

16 5

18 9

23 3

Solução:

3.4.3- Dados Agrupados com Intervalos de Classe.Para determinação da moda para um conjunto de dados agrupados com intervalos de classe, primeiro faz-se necessário a identificação da classe modal (a classe modal é aquela que apresenta maior frequência absoluta simples), em seguida procede-se o cálculo do valor modal.

O valor modal ou moda pode ser calculado de diferentes formas, entre elas:

a) Moda Bruta: considera-se moda bruta o ponto médio da classe modal. É o método mais rudimentar do cálculo da moda;

onde: = limite inferior da classe modal;

= limite superior da classe modal

b) Moda segundo Czuber: a moda é determinada aplicando-se a fórmula de Czuber. É o método considerado mais preciso para o cálculo da moda. É ele, salvo indicação em contrário, que utilizaremos para calcular a moda nas provas de concurso.

onde: e ,

onde:

= limite inferior da classe modal;

= amplitude da classe modal;

= frequência simples da classe modal;

= frequência simples da classe anterior à classe modal;

= frequência simples da classe posterior à classe modal.

c) Moda Segundo King: a moda é determinada aplicando-se a fórmula de King.

onde:

= frequência simples da classe anterior à classe modal;


= frequência simples da classe posterior à classe modal

= limite inferior da classe modal;

= amplitude da classe modal;

EXEMPLO... 15 CÓD.:

Calcular a moda bruta da distribuição abaixo:

20 25 7

15 20 8

10 15 9

5 10 4

0 5 2

xi fi

Solução:

EXEMPLO......................................... 16 CÓD.:

Calcular a moda da distribuição abaixo utilizando a fórmula de Czuber:

20 25 7

15 20 8

10 15 9

5 10 4

0 5 2

xi fi

Solução:

EXEMPLO......................................... 17 CÓD.:

Calcular a moda da distribuição abaixo utilizando a fórmula de King:

20 25 7

15 20 8

10 15 9

5 10 4

0 5 2

xi fi

Solução:

3.4.4- Determinação Gráfica da Moda.A moda pode ser determinada graficamente a partir do histograma de distribuição de frequências simples. Utiliza-se para tanto o princípio da fórmula de Czuber:


1º-No retângulo correspondente a frequência máxima (frequência modal), traça-se os segmentos de retas AC e BD, conforme mostra a figura abaixo;

2º-Em seguida, do ponto de intersecção destes dois segmentos de reta, traça-se uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas. O ponto onde esta reta cortar o eixo das abscissas é o valor modal ou a moda da distribuição.

Fi A B

D C

x

Mo

3.5- Posição Relativa da Média, Mediana e ModaNuma distribuição simétrica os valores da média, da mediana e da moda são iguais.

Se a distribuição for assimétrica os valores da média, mediana e moda se comportam da seguinte forma:

Mo Md MoMd x x

, no caso de curva assimétrica positiva

, no caso de curva assimétrica negativa

Relação de Pearson:A relação de Pearson é uma expressão que relaciona os valores da média, mediana e moda. Para que esta expressão seja válida se faz necessário que a distribuição de frequência analisada seja unimodal, pouco assimétrica e tenha N muito grande em relação a h.


3.6- Separatrizes

3.6.1- Quartis.Quartis são medidas separatrizes, cujos valores dividem o rol em quatro conjuntos com o mesmo número de elementos.

Existem, dessa forma, três quartis:

25% dos dados 25% dos dados 25% dos dados 25% dos dados

Q1 Q2 Q3

a) Primeiro quartil ( ): valor que divide a série, deixando para trás 25% número de elementos e, à frente, 75% do total de elementos da série estatística devidamente ordenada (em ordem crescente ou decrescente).

b) Segundo quartil ( ): valor que divide a série, deixando para trás metade do número de

elementos. O segundo quartil coincide com a mediana ( ).

c) Terceiro quartil ( ): valor que divide a série, deixando para trás 75% número de elementos e, à frente, 25% do total de elementos da série estatística devidamente ordenada.

Dessa forma, o quartis, assim como a mediana, depende apenas da posição dos elementos na série e não dos seus valores.

Cálculo dos Quartis:O processo de cálculo dos quartis é semelhante ao utilizados para a mediana.

Assim o problema de identificação dos quartis é dividido em duas partes: a determinação da classe do quartil e a interpolação dentro desta classe para determinação do quartil propriamente dito.

Passos para determinação do primeiro quartil ( ):

1º.- Identificar a classe do . A classe será aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a . Assim, comparamos o valor de com os valores da frequência acumulada , iniciando da frequência acumulada da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta: esta frequência acumulada é maior ou igual a ? Se a resposta for NÃO, passamos à frequência acumulada da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente. Essa será a classe do primeiro quartil.

2º.- Verificar a que valor dentro da classe do primeiro quartil corresponde o termo da distribuição através da aplicação da expressão:

Onde: => limite inferior da classe do primeiro quartil;

=> frequência acumulada da classe anterior à do primeiro quartil;

=> frequência simples absoluta da classe do primeiro quartil; => amplitude da classe do primeiro quartil;



Para o cálculo dos demais quartis, procedemos da mesma forma, apenas substituindo o valor por (para o segundo quartil) ou por (para o terceiro quartil).

EXEMPLO......................................... 18 CÓD.:

Calcular para a seguinte distribuiçãoEstaturas (cm) fi

170 174

4

9

11

8

5

3

162 166

166 170

154 158

158 162

150 154

Solução:

3.6.2- DecisDecis são medidas separatrizes, cujos valores dividem o rol em dez partes com o mesmo número de elementos.

Existem, dessa forma, nove decis:

D1 D2 ... D5 ... ...D3 ... D9

Dessa forma, os decis dependem apenas da posição dos elementos na série e não dos seus valores.

Cálculo dos Decis:O processo de cálculo dos decis é semelhante ao utilizados para a mediana.

Assim o problema de identificação dos decis é dividido em duas partes: a determinação da classe do decil e a interpolação dentro desta classe para determinação do decil propriamente dito.

Passos para determinação do primeiro decil ( ):

1º.- Identificar a classe do . A classe será aquela correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior a . Assim, comparamos o valor de com os valores da freqüência acumulada , iniciando da frequência acumulada da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta: esta frequência acumulada é maior ou igual a ? Se a resposta for NÃO, passamos à frequência acumulada da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente. Essa será a classe do primeiro decil.

2º.- Verificar a que valor dentro da classe do primeiro decil corresponde o termo da distribuição através da aplicação da expressão:

Onde: => limite inferior da classe do primeiro decil;

=> frequência acumulada da classe anterior à do primeiro decil;


=> frequência simples absoluta da classe do primeiro decil; => amplitude da classe do primeiro decil;


Para o cálculo dos demais decis, procedemos da mesma forma que a descrita acima, apenas substituindo o valor por , ... conforme se deseje calcular respectivamente o segundo, terceiro... decis.

EXEMPLO......................................... 19 CÓD.:

Calcular para a seguinte distribuição

6

40 50 3

5

20 30 8

fi0 10 2Estaturas (cm)

10 20

30 40

Solução:

3.6.3- PercentisPercentis são medidas separatrizes, cujos valores dividem o rol em cem partes com o mesmo número de elementos.

Existem, dessa forma, nove percentis:

P1 P2 ... P50 ... ...... ...

... ... P99

Os percentis dependem apenas da posição dos elementos na série e não dos seus valores.

Cálculo dos Percentis : O processo de cálculo dos percentis também é semelhante ao utilizados para a mediana.

Assim, o problema de identificação dos percentis é dividido em duas partes: a determinação da classe do percentil e a interpolação dentro desta classe para determinação do percentil propriamente dito.

Passos para determinação do primeiro percentil ( ):

1º.- Identificar a classe do . A classe será aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a . Assim, comparamos o valor de

com os valores da frequência acumulada , iniciando da frequência acumulada da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta: esta frequência acumulada é maior ou igual a ? Se a resposta for NÃO, passamos à frequência acumulada da classe seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente. Essa será a classe do primeiro percentil.


2º.- Verificar a que valor dentro da classe do primeiro percentil corresponde o termo da distribuição, através da aplicação da expressão:

Onde: => limite inferior da classe do primeiro percentil;

=> frequência acumulada da classe anterior à do primeiro percentil;

=> frequência simples absoluta da classe do primeiro percentil; => amplitude da classe do primeiro percentil;


Para o cálculo dos demais percentis, procedemos da mesma forma que a descrita acima, apenas substituindo o valor por , ... conforme se deseje calcular respectivamente o segundo, terceiro... percentis.

3.7- Médias Geométrica e Harmônica

3.7.1- Média Geométrica (G)A média geométrica de uma série com “n” termos é calculada por:

3.7.2- Média Harmônica (H)A média harmônica é definida como o inverso da média aritmética dos inversos:

3.7.3- Relação entre as MédiasPara qualquer série de dados a seguinte relação é verdadeira:



QUESTÃO 01 CÓD.:

Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que média, pode-se afirmar que se trata de uma curva

a) Simétrica. b) Assimétrica, com frequências desviadas para a direita. c) Assimétrica, com frequências desviadas para a esquerda. d) Simétrica, com frequências desviadas para a direita. e) Simétrica, com frequências desviadas para a esquerda.

Solução:

IRB 2006 Analista ESAF GAB.: B

QUESTÃO 02 CÓD.:

O gráfico acima mostra a distribuição percentual de veículos de acordo com suas velocidades aproximadas, registradas por meio de um radar instalado em uma avenida. A velocidade média aproximada, em km/h, dos veículos que foram registrados pelo radar foi

a) inferior a 40. b) superior a 40 e inferior a 43. c) superior a 43 e inferior a 46. d) superior a 46.

Solução:

CEHAP/PB 2009 Assistente Administrativo CESPE GAB.: C


QUESTÃO 03 CÓD.:

Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.

a) 13,5 b) 14 c) 17 d) 15,5 e) 14,5

Solução:

SEFAZ/SP 2009 Analista de Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas

ESAF GAB.: C

QUESTÃO 04 CÓD.:

No gráfico abaixo, as colunas representam as frequências relativas do número de aparelhos de rádio por domicílio em uma certa área da cidade:

O exame da forma da distribuição das frequências relativas permite concluir corretamente que, nesse caso, e para essa variável:

a) A moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média. b) A média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana. c) A média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda. d) A moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana. e) A mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que média.

Solução:

Receita Federal 2006 Técnico da Receita Federal ESAF GAB.: C


QUESTÃO 05 CÓD.:

Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a velocidade média, em quilômetros por hora, em cada uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida-e-volta. Para tanto, ele deve calcular a média

a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas. b) geométrica das velocidades médias observadas. c) aritmética das velocidades médias observadas. d) harmônica das velocidades médias observadas. e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas.

Solução:

Receita Federal 2006 Técnico da Receita Federal ESAF GAB.: D

QUESTÃO 06 CÓD.:

Considere a seguinte distribuição das frequências absolutas dos salários mensais, em R$, referentes a 200 trabalhadores de uma indústria [os intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita]. Classes de Salários Frequências Absolutas de R$ 400 até R$ 500 50 de R$ 500 até R$ 600 70 de R$ 600 até R$ 700 40 de R$ 700 até R$ 800 30 de R$ 800 até R$ 900 10 Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que:

a) O salário modal encontra-se na classe de R$ 800 até R$ 900. b) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 600 até R$ 700. c) O salário modal encontra-se na classe de R$ 600 até R$ 700. d) O salário modal encontra-se na classe de R$ 700 até R$ 800. e) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 500 até R$ 600.

Solução:

Receita Federal 2006 Técnico da Receita Federal ESAF GAB.: E


QUESTÃO 07 CÓD.:

A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1 500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2 500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de

a) R$ 1 375,00 b) R$ 1 350,00 c) R$ 1 345,00 d) R$ 1 320,00 e) R$ 1 300,00

Solução:

Banco Central 2006 Analista – Área 5 FCC GAB.: A

QUESTÃO 08 CÓD.:

O histograma de frequências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada:

Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à esquerda e abertos à direita. Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou- se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a

a) R$ 100,00 b) R$ 400,00 c) R$ 800,00 d) R$ 900,00 e) R$ 1.000,00

Solução:

SEFAZ/SP 2006 Agente Fiscal de Rendas FCC GAB.: A


QUESTÃO 09 CÓD.:

O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método da interpolação linear, é igual a

a) R$ 3 500,00 b) R$ 3 625,00 c) R$ 3 650,00 d) R$ 3 800,00 e) R$ 4 000,00

Solução:

Banco Central 2006 Analista – Área 5 FCC GAB.: B

QUESTÃO 10 CÓD.:

A amplitude do intervalo entre o primeiro decil e o terceiro quartil, encontrados pelo método da interpolação linear, é

a) R$ 2 500,00 b) R$ 2 400,00 c) R$ 2 150,00 d) R$ 2 000,00 e) R$ 1 400,00

Solução:

Banco Central 2006 Analista – Área 5 FCC GAB.: C


0404- Medidas de Dispersão

4.1- IntroduçãoAs medidas de dispersão são utilizadas para quantificar o grau de homogeneidade ou de heterogeneidade de uma dada distribuição. Ou seja, as medidas de dispersão têm como objetivo medir a variabilidade dos valores de uma variável em relação a um valor fixo escolhido dentre os elementos de uma série.

Em estatística, recorre-se às medidas de dispersão ou de variabilidade para qualificar os valores de uma dada variável, em função de sua maior ou menor dispersão ou variabilidade em relação a uma determinada medida de posição.

Analisemos as seguintes séries:

A: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18);

B: (8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12);

C: (10,10, 10, 10, 10, 10, 10, 10).

Como pode-se notar, as três séries acima possuem médias aritméticas iguais a 10. Entretanto, nota-se também que a série “A” possui dados mais dispersos em relação à média do que a série “B” e que a série “B” possui seus dados mais dispersos em relação à mesma média do que a série “C”.

Então, chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação, podemos dizer que a série C apresentou dispersão ou variabilidade nula e que a série “A” apresenta uma dispersão ou variabilidade maior que a série “C”.

As medidas de dispersão podem ser classificadas como:

a) Absolutas – quando seu resultado é expresso em alguma unidade de medida

Ex: - amplitude total;

- desvio médio;

- variância;

- desvio padrão;

- desvio quartil;

b) Relativas – quando seu resultado é adimensional, ou seja, é expresso por um valor sem unidade de medida.

Ex: - coeficiente de variação de Pearson ;

- coeficiente de variação de Thorndike;

- coeficiente quartílico de variação;

- desvio quartil reduzido.


4.2- Amplitude Total (At)Amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado na série de dados. Assim:

a) Para dados não-agrupados:

b) Para dados agrupados:

sem intervalos de classe:

com intervalos de classe:

A amplitude total é pouco representativa como uma medida de dispersão porque só leva em consideração os valores extremos do rol ou da distribuição de frequência, esquecendo a variação dos demais termos intermediários da distribuição. Assim a amplitude total funciona apenas como uma indicação aproximada da dispersão ou da variabilidade.

4.3- Desvio Médio (Dm)Desvio médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios calculados em relação à média aritmética da série.

Pode-se interpretar o desvio médio como a média aritmética das distâncias de cada valor de x à média aritmética da série.

EXEMPLO......................................... 01 CÓD.:

Calcular o desvio médio do seguinte conjunto de valores. X = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18).

Solução:

EXEMPLO......................................... 02 CÓD.:

Calcular o desvio médio da distribuição abaixo:

Classes fi

0 5 2

5 10 4

10 15 8

15 20 4

20 25 2

Solução:


4.4- Variância (S²)A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e pode ser definida como sendo a média aritmética dos quadrados dos desvios calculados em relação à média aritmética dos valores da série.

4.4.1- Fator de correção de BesselJá estudamos que, em uma pesquisa estatística, podemos trabalhar com duas alternativas distintas: o estudo por censo (considera-se toda a população do conjunto) e o por amostragem (apenas um subconjunto representativo – amostra – é utilizado).

Nesse sentido, apenas quando trabalhamos com toda a população do conjunto, utilizamos a fórmula descrita acima.

Por outro lado, a qualidade da estimativa do valor da variância a partir dos dados de uma amostra sofre influência do número de elementos disponíveis na mesma, tendendo a apresentar resultados menos precisos para amostras com pequeno número de elementos.

Portanto, quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados mas, partindo da amostra, visamos tirar inferências válidas para a respectiva população, convém efetuar uma modificação, que consiste em utilizar o divisor (n-1) em lugar de n. Dessa forma:

Este processo consiste no emprego do Fator de Correção de Bessel ( ) multiplicado ao

valor da variância, usualmente indicado pela expressão:

Na prática, quando n é grande (n > 30) não há diferença significativa entre os valores obtidos por e por , possibilitando, assim, a não utilização do fator de correção. Entretanto, deve-se dar

preferência ao cálculo de sempre que estivermos trabalhando com uma amostra com menos de 30 elementos, pois desta forma teremos uma estimativa melhor para a variância.

Resumindo, temos:

Variância para a população:

Variância para uma amostra:


4.4.2- Cálculo da variância

a) Variância para o Rol No caso do rol, aplicaremos as fórmulas descritas no item anterior, ou seja:

Variância para a população:

Embora a fórmula acima seja a que torna mais fácil a compreensão do conceito de variância, ela não é uma boa fórmula para fins de computação, pois, em geral, a média aritmética ( ) é um

número fracionário, o que torna pouco prático o cálculo das quantidades . Pode-se

demonstrar que a fórmula dada acima é equivalente à seguinte:

População (fórmula desenvolvida):

Além de ser mais prático, este método (fórmulas desenvolvidas) também é mais preciso, já que, no primeiro caso, quando a média não é exata, tem de ser arredondada, e cada desvio fica afetado ligeiramente do erro devido a esse arredondamento, o que torna o resultado menos preciso.

EXEMPLO......................................... 03 CÓD.:

Calcular a variância do seguinte conjunto de valores. X = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18).

Solução:

b) Variância para dados agrupados (sem intervalos de classe)

Como, neste caso, temos a presença de frequências, devemos levá-las em consideração, resultando nas fórmulas:

Fórmulas População

Reduzida

Desenvolvida


EXEMPLO......................................... 04 CÓD.:

Calcular a variância da distribuição abaixo:xi fi

12 2

16 5

18 9

22 6

23 3

Solução:

c) Variância para dados agrupados em intervalos de classe Neste caso procede-se da mesma forma que na situação anterior, sendo necessária, entretanto, a determinação do ponto médio ( ) de cada classe.

Fórmulas População

Reduzida

Desenvolvida

EXEMPLO......................................... 05 CÓD.:

Calcular a variância da distribuição abaixo:

Classes fi

0 5 2

5 10 4

10 15 8

15 20 4

20 25 2

Solução:


4.4.3- Propriedades da VariânciaA variância goza de algumas propriedades, dentre as quais destacamos:

PROPRIEDADE 01:

Adicionando-se (ou subtraindo-se) uma mesma constante a (de) todos os valores de uma variável, a variância não se altera.

Se =>

PROPRIEDADE 02:

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), a variância ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado do valor daquela constante.

Se =>

EXEMPLO......................................... 06 CÓD.:

Calcular a variância do seguinte conjunto de valores. X = (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Em seguida adicionar a constante c = 2 a cada um dos valores do conjunto dado e verificar a 1ª Propriedade

Solução:

EXEMPLO......................................... 07 CÓD.:

Calcular a variância do seguinte conjunto de valores. X = (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Em seguida multiplicar cada um dos valores do conjunto dado pela constante c = 2 e verificar a 2ª Propriedade.

Solução:

Observações:

1) A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.

2) A unidade de medida de uma variância é igual ao quadrado da unidade de medida da variável estudada.


4.4.4- Cálculo da variância através da variável transformadaEste processo assemelha-se ao utilizado no cálculo da média aritmética e, como naquele caso,

consiste na substituição da variável x por outra y, tal que

Assim, para transformar uma variável em outra, é necessário apenas realizar uma ou mais operações (adição, subtração, multiplicação ou divisão) com os elementos do conjunto.

Passos para o cálculo da variância pelo Processo Breve:

a) Abrir uma coluna para os valores de (ponto médio);

b) Escolher um dos pontos médios (de preferência o de maior frequência) para valor de ;

c) Calcular a variável transformada . Para isso, por conta das constantes

utilizadas ( e ), basta abrir uma coluna para os valores de e escrever zero na

linha correspondente à classe onde se encontra o valor de , a sequência –1, -2, -3,..., logo acima do zero, e a sequência 1, 2, 3,..., logo abaixo;

d) Calcular a variância para a variável transformada ( ) utilizando uma das fórmulas

indicadas no item “4.4.2 – c” acima, utilizando os valores de no lugar de .

Calculado o valor da variância para a variável transformada ( ), devemos percorrer o caminho de

volta, ou seja, efetuar as operações contrárias às realizadas no cálculo de , lembrando as propriedades da variância estudadas no item 4.4.3. Assim:

e) Como as operações de divisão/multiplicação da variável influenciam a variância, a variância para os dados originais será ;

f) Como as operações de soma e subtração não interferem na variância, não é necessário somar o valor de . Assim .

EXEMPLO......................................... 08 CÓD.:

Considerando a transformação , sabendo que a variância do atributo é

, determine a variância da variável .

Solução:


EXEMPLO......................................... 09 CÓD.:

Calcular a variância da distribuição abaixo utilizando o processo breve de cálculo:

Estaturas (cm)

fi

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Solução:

4.5- Desvio Padrão (S)Foi visto que a unidade de medida de uma variância é igual ao quadrado da unidade de medida da variável estudada. A fim de se eliminar este inconveniente, foi criada uma nova medida de dispersão, o desvio padrão, que é definido como sendo a raiz quadrada da variância, e representado por ou , conforme seu cálculo use o fator de correção ou não, respectivamente. Logo:

e

O desvio padrão indica, em termos absolutos, o afastamento dos valores observados e relação à média aritmética da série estudada.

A variância e o desvio padrão levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, portanto, os mais comumente empregados.

O desvio padrão goza de propriedades semelhantes à da variância:

PROPRIEDADE 01:

Adicionando-se (ou subtraindo-se) uma mesma constante a (de) todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera.

Se =>

PROPRIEDADE 02:

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) pelo valor absoluto daquela constante.

Se =>

OBS: vale para o cálculo do desvio as mesmas instruções utilizadas no cálculo da variância.


EXEMPLO......................................... 10 CÓD.:

Calcular o desvio padrão da distribuição abaixo utilizando o processo da variável transformada.

Estaturas (cm)

fi

160 164 4

164 168 9

168 172 11

172 176 8

176 180 5

180 184 3

Solução:

PROPRIEDADE 03:

a) Em uma distribuição simétrica, ou muito próxima da simetria, no intervalo compreendido sob a curva de frequência, limitada pelos valores ( ) e ( ), haverá aproximadamente 68% dos elementos do conjunto.

aprox. 68%

XSX SX

b) Em uma distribuição simétrica, ou muito próxima da simetria, no intervalo compreendido sob a curva de frequência, limitada pelos valores ( ) e ( ), haverá aproximadamente 95% dos elementos do conjunto.

aprox. 95%

X SX 2SX 2


c) Em uma distribuição simétrica, ou muito próxima da simetria, no intervalo compreendido sob a curva de frequência, limitada pelos valores ( ) e ( ), haverá aproximadamente 99% dos elementos do conjunto.

aprox. 99%

X SX 3SX 3

OBSERVAÇÃO: Deve restar claro que essa é uma propriedade com algumas limitações. Trata-se de uma propriedade de aproximação e não de exatidão. Dessa forma, não poderá ser aplicada em uma questão numérica. No entanto, poderemos precisar dela numa questão teórica.

4.6- Desvio QuartilO desvio quartil ou amplitude semi-interquartílica é a metade da diferença entre os valores do 3º quartil, Q3, e do 1º quartil, Q1.


4.7- Variância Relativa e Coeficiente de VariaçãoO desvio padrão por si não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; no entanto, se a média for 20, o mesmo não pode ser dito. Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes.

Para contornar estas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada coeficiente de variação (CV).

4.7.1- Coeficiente de Variação de PearsonO coeficiente de variação de Pearson é o quociente entre o desvio padrão e o valor absoluto da média aritmética do conjunto de valores estudados:

Por tratar-se de uma medida de dispersão relativa, é adimensional, isto é, não apresenta unidade de medida. Seu resultado pode ser apresentado na forma percentual, bastando para tanto multiplicar o seu resultado por 100.

PROPRIEDADES:

a) Propriedade 01: se multiplicarmos (ou dividirmos) por uma mesma constante todos os elementos de uma série, o coeficiente de variação permanecerá inalterado;

b) Propriedade 02: Se adicionarmos ou (subtrairmos) uma mesma constante positiva a todos os valores de uma série, o coeficiente de variação de Pearson ficará, respectivamente:

menor (ou maior), se a média for positiva;

maior (ou menor), se a média for negativa.

EXEMPLO......................................... 12 CÓD.:

Determinar o coeficiente de variação das medidas abaixo referentes a um mesmo grupo de indivíduos:

x S

Estaturas 180 cm 5,0 cm

Pesos 70 kg 2,0 kg

Solução:


4.7.2- Outras Medidas de Dispersão Relativa

Coeficiente de Variação de Thorndike

O coeficiente de variação de Thorndike é o quociente entre o desvio padrão e o valor absoluto da mediana.

Coeficiente Quartílico de Variação

O coeficiente de quartílico de variação é o quociente entre a diferença positiva e o valor absoluto da soma dos quartis extremos (Q1 e Q3):

Desvio Quartil Reduzido

O desvio quartil reduzido é o quociente entre o desvio quartil e o valor absoluto da mediana:



QUESTÃO 01 CÓD.:

A tabela a seguir apresenta a distribuição dos preços de revenda de gasolina comum, por litro, observados no levantamento realizado pela Agência Nacional do Petróleo (ANP) em outubro de 2008, na região Sudeste. A amostra consistiu de 46 valores; o menor valor observado foi R$ 2,15/litro; a média aritmética dos preços observados foi igual a R$ 2,45/litro. Essa média foi apenas 0,5% maior do que a média aritmética dos preços observados no levantamento realizado em maio de 2008.

CDC/ANP – Relatório mensal de acompanhamento de mercado. Outubro/2008 ( com adaptações ).

Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens que se seguem.

01- A variação de 0,5% entre os preços médios de revenda nos levantamentos feitos em maio e outubro de 2008 corresponde à variância amostral dos preços de revenda nesse período.

Solução:

SEGER/ES 2009 Analista Administrativo e Financeiro CESPE GAB.: E

QUESTÃO 02 CÓD.:

Com relação às medidas de posição e de dispersão, é correto afirmar:

a) Dobrando todos os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, tem-se que o salário médio destes funcionários e a respectiva variância também ficam dobrados.

b) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma sequência de números é nula somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero.

c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre maior ou igual a zero.

d) Multiplicando todos os valores de uma sequência de números positivos por um número positivo tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera.

e) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é igual à divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância.

Solução:

Banco Central 2006 Analista – Área 5 FCC GAB.: D


QUESTÃO 03 CÓD.:

Considerando que as observações apresentadas na questão anterior constituem uma amostra aleatória simples de uma variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância de X. Considere que:

e

Dados da “questão anterior”:17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.

a) 90,57 b) 96,85 c) 94,45 d) 92,64 e) 98,73

Solução:


ESAF GAB.: B

QUESTÃO 04 CÓD.:

A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f') de uma variável X. X f' -1 3k 0 k +1 6k

Sabendo que "k" é um número real, a média e o desvio padrão de X são, respectivamente,

a) 0,3; 0,9. b) 0,0; 0,3. c) 0,3; 0,3. d) k; 3k. e) 0,3k; 0,9k.

Solução:

Receita Federal 2006 Técnico da Receita Federal ESAF GAB.: A


QUESTÃO 05 CÓD.:

Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120 rapazes é de m centímetros com uma variância de d² centímetros quadrados (d > 0). A média aritmética das alturas das 80 moças é de (m-8) centímetros com um desvio padrão igual a 20d/21 centímetros. Se o correspondente coeficiente de variação encontrado para o grupo de rapazes é igual ao coeficiente de variação encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos reunidos é de

a) 162,0 cm b) 164,6 cm c) 164,8 cm d) 166,4 cm e) 168,2 cm

Solução:

Banco Central 2006 Analista – Área 5 FCC GAB.: C

QUESTÃO 06 CÓD.:

Analise as cinco amostras de números a seguir:

Assinale a alternativa que indique a amostra de maior variância.

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

Solução:


FGV GAB.: E


QUESTÃO 07 CÓD.:

A receita tributária de uma região, em um determinado mês, apresentou média aritmética de R$1.200,00 por contribuinte, com variância igual a R$ 14.400,00, e, no mês seguinte, sofreu um acréscimo de 10%. Então,

I) a média aritmética aumentou em 10%.

II) o desvio-padrão permaneceu inalterado.

III) a variabilidade em torno da média aritmética, medida pelo coeficiente de dispersão, permaneceu inalterada.

IV) a média harmônica permaneceu inalterada.

V) a nova variância assumiu o valor de R$ 17.424,00.

Solução:

TCU 1996 CESPE GAB.:V F V F V

QUESTÃO 08 CÓD.:

Do estudo do tempo de permanência no mesmo emprego de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes resultados para as médias e e desvios-padrão e :

Grupo A: meses = 24 meses

Grupo B: meses = 15 mesesÉ correto afirmar que:

a) a dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo B.

b) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A .

c) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B.

d) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B.

e) a média entre os dois grupos é de 180 meses.

Solução:

FT 1994 CESPE GAB.: D


QUESTÃO 09 CÓD.:

Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de frequências seguintes:

Classe de Preços Mi fi [5 – 9) 7 3 [9 – 13) 11 5

[13 – 17) 15 7 [17 – 21) 19 6 [21 – 25) 23 3 [25 – 29) 27 1

As quantidades Mi e fi representam o ponto médio e a frequência da classe de preços i. Sabendo-se que:

694

Assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostra.

a)

b) 6

c)

d) 28,91

e) 8

Solução:

1998 ACE CESPE GAB.: A

QUESTÃO 10 CÓD.:

No contexto da questão anterior deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra.Assinale a opção que melhor aproxima este valor.

a) 16.

b) 19.

c) 17.

d) 11.

e) 14,2.

Solução:

1998 ACE CESPE GAB.: E


0505- ProbabilidadeNa Análise Combinatória estudam-se regras de contagem do número de modos de ocorrência de certos acontecimentos e do número de agrupamentos que podem ser feitos com uma quantidade finita de objetos dados. Na Teoria da Probabilidade procuramos quantificar numericamente a chance de que tais acontecimentos ocorram de determinadas maneiras e de que tais agrupamentos obedeçam a determinadas condições.

5.1- Nomenclatura e NotaçõesA seguir vamos colocar alguns nomes e notações que usaremos neste capítulo.

5.1.1- Extrações com reposição e sem reposiçãoMuitas situações práticas podem ser comparadas com extrações sucessivas de bolas de uma urna (como, por exemplo, selecionar peças de uma produção ou indivíduos de uma população). Por este motivo é comum nos textos de probabilidade encontrarmos muitos exemplos e exercícios baseados neste modelo. Ao fazer tais extrações podemos utilizar os esquemas com reposição ou sem reposição.

Extração com reposição: neste esquema, cada bola retirada é examinada e devolvida à urna antes da extração da bola seguinte.

Extração sem reposição: neste esquema, uma bola retirada não é devolvida à urna.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01 CÓD.:

Numa urna há três bolas numeradas, 1, 2 e 3. Duas bolas são retiradas, sucessivamente, e seus números são anotados formando-se um par ordenado. Determinar os possíveis pares que podem ser formados nos casos:

a) fazendo-se extrações com reposição;b) fazendo-se extrações sem reposição

Solução:

5.1.2- Experimento AleatórioDenominamos experimento aleatório (ou casual) a todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar resultados diferentes. A variabilidade dos resultados é devida ao que chamamos de acaso.


EXEMPLO 01 CÓD.:

São experimentos aleatórios: i. o lançamento de um dado e a observação do número de pontos

obtidos;ii. a retirada de uma bola de uma urna que contenha bolas de várias

cores e observação da cor da bola retirada;iii. o arremesso de um dardo, de uma certa distância, num alvo

circular dividido em setores coloridos e observação da cor do setor atingido;iv. sorteio de um aluno de uma classe para resolver um problema;v. etc.

5.1.3- Espaço Amostral e EventoDenominamos espaço amostral de um experimento aleatório ao conjunto de todos os resultados possíveis deste experimento. Qualquer conjunto formado por parte destes resultados é denominado um evento. Mais precisamente, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

Indicaremos o espaço amostral pela letra grega (ômega) e os eventos pelas letras A, B, C, D etc.

Dizemos que ocorre um evento A quando o resultado do experimento é um elemento de A.

EXEMPLO 02 CÓD.:

No lançamento de um dado e observação do número de pontos obtidos o espaço amostral é = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eis alguns eventos:

números ímpares de pontos: A = {1, 3, 5} números de pontos maiores que 4: B = {5, 6} números de pontos menores que 4: C = {1, 2, 3} Se, por exemplo, o resultado do lançamento for “três pontos”, ocorre o evento A

(porque ) , não ocorre o evento B (porque ) e ocorre C (porque ).

5.1.4- Nomes de alguns eventos O conjunto Ø é chamado de evento impossível.

O próprio espaço amostral é um evento. Ele é chamado de evento certo.

Os subconjuntos unitários de são chamados de eventos elementares ou eventos simples. No exemplo do lançamento do dado, os eventos simples são {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6}.

5.1.5- Evento complementarSe A é um evento, o conjunto complementar de A em é também um evento. O complementar de A é formado pelos elementos de que não pertencem a A. Indicamos por .

Observamos que o evento ocorre quando o evento A não ocorre. Também chamamos de evento não A.

EXEMPLO 03 CÓD.:

Sendo = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Se A = {1, 3, 5}, então = {2, 4, 6}Se B = {5, 6}, então = {1, 2, 3, 4}


5.1.6- Interseção e União de EventosSe A e B são dois eventos, o conjunto interseção e o conjunto união também são eventos. O evento só ocorre quando os eventos A e B ocorrem simultaneamente. Também chamamos de evento A e B.

O evento ocorre quando o evento A ocorre ou o evento B ocorre ou ambos ocorrem. Também chamamos de evento A ou B.

A A

B B

Evento Evento

BA

BA BA

EXEMPLO 04 CÓD.:

Se A = {1, 3, 5} e B = {5, 6}, então = {5} e = {1, 3, 5, 6}

Se A = {1, 2, 5, 6} e B = {1, 5} então = B e = A

5.1.7- Eventos mutuamente exclusivosQuando = Ø dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos.

A B

EXEMPLO 05 CÓD.:

Os eventos A = {1, 3, 5} e B = {4, 6} são mutuamente exclusivos, pois = Ø

Se A = {1, 2, 5, 6} e B = {1, 5} então = B e = A


Numa classe de 20 alunos será sorteado um ingresso para uma peça teatral. Para concorrer ao sorteio cada aluno recebeu um número de 1 a 20. Determine:

a) o espaço amostral do experimento;

b) o evento B formado pelos números múltiplos de 3;

c) o evento C formado pelos números maiores que 6;


d) o evento D formado pelos números primos;

e) o evento E formado pelos divisores de 20;

f) o evento complementar de B;

g) o evento ;

h) o evento ;

i) os dois eventos, entre B, C, D e E, que são mutuamente exclusivos.

5.2- Distribuição de ProbabilidadesConsideremos uma experiência aleatória que pode apresentar n resultados distintos,

.

A cada resultado , , podemos associar um número , probabilidade de

ocorrência de , de tal modo que sejam válidas as duas condições seguintes:

1) A probabilidade de cada resultado é um número positivo ou nulo, isto é,

, , , ..., .

2) A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é igual a 1, isto é,

+ + +...+ = 1.

Nestas condições dizemos que os números , , ,..., formam uma distribuição de

probabilidades sobre o espaço amostral .

Também indicamos , , , ...,

5.2.1- Distribuição uniformeEm muitas aplicações da teoria da probabilidade, podemos adaptar o experimento considerado a um modelo onde o espaço amostral é formado por elementos que têm a mesma chance de ocorrer. Nesse caso, dizemos que o espaço amostral é equiprovável.

Se é um espaço amostral equiprovável, adotamos a distribuição de

probabilidades em que = = = ... = , denominada distribuição uniforme.

Como + + +...+ = 1, vem que:

, , , ...,

CONCLUSÃO: Num experimento com n resultados distintos que tenham chances iguais de

ocorrer, a probabilidade de ocorrência de cada resultado é .

EXEMPLO 06 CÓD.:

Ao jogar uma moeda equilibrada e observar a face superior, há dois resultados possíveis e equiprováveis: cara e coroa. A probabilidade de ocorrência de cada resultado é ½.


EXEMPLO 07 CÓD.:

Quando jogamos um dado duas vezes e anotamos o par ordenado dos números de pontos obtidos, há 36 resultados possíveis e equiprováveis

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

A probabilidade de ocorrência de cada resultado é 1/36

5.2.2- Probabilidade de ocorrer um eventoConsideremos novamente o experimento aleatório com n resultados distintos, de espaço amostral

onde está definida uma distribuição de probabilidades , , , ..., com

, para todo .

Denominamos probabilidade de ocorrência de um evento A à soma das probabilidades de ocorrência dos elementos de A. Indicamos por

Utilizando o símbolo de somatório, podemos colocar esta definição assim:

onde o somatório é feito nos índices i tais que .

Por exemplo, se A = , então P(A) = + + ;

se A = , então P(A) = + + + ;

se A = , então P(A) =

Quando A = Ø, definimos P(A) = 0.

EXEMPLO 08 CÓD.:

Ao jogar um dado, cada resultado possível tem probabilidade 1/6. A probabilidade de ocorrer um número ímpar, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A = {1, 3, 5} é:

P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = + + = =

A probabilidade de ocorrer o evento B = {5, 6} é:

P(B) = P(5) + P(6) = + = =

Consequência importanteQuando o espaço amostral é equiprovável, isto é, o experimento aleatório tem n resultados possíveis todos com chances iguais de ocorrer, se um evento A é constituído de k elementos, então a probabilidade de ocorrer A é


k vezes

n

k

nnnnAP

1...

111)(

Neste caso, indicando por n(A) e n( ) os números de elementos de A e de , respectivamente, podemos escrever:

Levando em conta que ocorrer o evento A significa ocorrer um dos elementos que pertencem a A, também chamamos os elementos de A de casos favoráveis a A. Assim, num espaço equiprovável temos que.

EXEMPLO 09 CÓD.:

Ao sortear ao acaso um dos números naturais de 0 a 99, qual a probabilidade de ser sorteado um número maior que 50?

O espaço amostral do experimento é = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 99}. Temos então n( ) = 100.

O evento A formado pelos números maiores que 50 é A = {51, 52, 53, ..., 99}. Temos n(A) = 49.

Sendo o espaço amostral equiprovável, temos:

EXEMPLO 10 CÓD.:

Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos menor que 6?

Anotando-se os pares de números de pontos obtidos nos dois lançamentos, o número de resultados possíveis é 36 (veja EXEMPLO 02), sendo todos equiprováveis.

Os casos com a soma dos pontos menor que 6 são: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) e (4, 1). Portanto, há 10 casos favoráveis à ocorrência deste evento.

Logo, a probabilidade pedida é:

=



Numa urna há 3 bolas numeradas de 1 a 3. Duas bolas são extraídas sucessivamente, sem reposição. Calcule a probabilidade de a primeira bola extraída apresentar número maior que a segunda.

Solução:


Um casal pretende ter 3 filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade que venha a ter os 3 filhos do mesmo sexo?

Solução:

5.3- Propriedades da Probabilidade

Consideremos um experimento aleatório com espaço amostral e a

distribuição de probabilidades , , , ..., .

Já sabemos que se A = Ø, então P(A) = 0

Tomemos A = . Neste caso,

P(A) = + + + ... + = + + +...+ = 1

a) A probabilidade de ocorrer um evento impossível é zero.

P(Ø) = 0

b) A probabilidade de ocorrer um evento certo é um

P( ) = 1

c) Qualquer que seja o evento A, a probabilidade de ocorrer A é um número real compreendido entre zero e um, inclusive.

)

5.3.1- Probabilidade de não ocorrer um eventoSeja A um evento formado de k resultados dentre os n possíveis.


A probabilidade de não ocorrer A é a probabilidade de ocorrer um dos “n - k” resultados possíveis que não pertencem a A. Portanto, a probabilidade de não ocorrer A é a probabilidade de ocorrer o evento complementar .

Como a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é 1, temos que:

P(A) + P( ) = + + + ... + = 1

P( ) = 1 - P(A)

A probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer A.

EXEMPLO 11 CÓD.:

Numa urna há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Extraindo uma delas ao acaso, a probabilidade de sair a bola de nº 7 é 1/10. Logo a probabilidade de não sair a bola nº 7 é de:

P( ) = 1 - P(A) => P( ) = => P( ) =

EXEMPLO 12 CÓD.:

Se a probabilidade de um atirador acertar um alvo é 0,60 (60%), então a probabilidade de não acertar é de 1 - 0,60, que é igual a 0,40 (40%).

5.3.2- Probabilidade de ocorrer um evento A ou BDados dois eventos A e B, calcular a probabilidade de ocorrer A ou ocorrer B significa calcular a probabilidade de ocorrer o evento .

Temos dois casos a considerar:

1º Caso: = Ø (eventos mutuamente exclusivos)Quando A e B são eventos mutuamente exclusivos, = Ø, a ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro.

Vejamos:

A = => P(A) = + +

B = => P(B) = +

=

P( ) = + + + +

Temos = Ø e P( ) = P(A) + P(B)

Neste caso, como A e B não têm elementos em comum, e é formado reunindo num conjunto só os elementos de A e de B, temos que

P( ) = P(A) + P(B)

Se A e B são mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é igual a soma da probabilidade de A com a de B.


EXEMPLO 13 CÓD.:

No lançamento de um dado, a probabilidade de obter um número ímpar de pontos é a probabilidade do evento A = {1, 3, 5}, ou seja,

P(A) =

A probabilidade de obter mais do que 5 pontos, é a probabilidade do evento B = {6}, isto é,

P(B) =

Como = Ø, temos P( ) = P(A) + P(B) = + = =

Assim, a probabilidade de obter um número ímpar de pontos ou mais de 5 pontos é igual a

.

EXEMPLO 14 CÓD.:

Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul ou amarela é:

P(azul ou amarela) = P(azul) + P(amarela) =

2º Caso: Ø Veja o diagrama abaixo:

A

BBA

A probabilidade de ocorrer A ou B é igual a soma da probabilidade de A com a de B, menos

a probabilidade da interseção .

P( ) = P(A) + P(B) - P( )

Note que na soma P(A) + P(B) as probabilidades dos elementos de estão somados duas vezes. Assim, tomando P(A) + P(B) – P( ) teremos somadas as probabilidades de todos os elementos de A com as de todos os elementos de B, estando somadas uma só vez as probabilidades dos elementos comuns aos dois eventos.


EXEMPLO 15 CÓD.:

No sorteio de uma número natural de 1 a 100, a probabilidade de sair um número múltiplo de 10 é a probabilidade do evento A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}. Temos então:

P(A) =

A probabilidade de sair um número múltiplo de 15 é a probabilidade do evento B = {15, 30, 45, 60, 75, 90}, isto é,

P(B) =

Como = {30, 60, 90}, temos P( ) =

Então, P( ) = P(A) + P(B) - P( ) => + - =

Assim, a probabilidade de sair um múltiplo de 10 ou de 15 é igual a


Numa urna há seis bolas azuis numeradas de 1 a 6 e cinco bolas brancas numeradas de 1 a 5. Extraindo uma bola ao acaso, qual a probabilidade de sair uma bola azul ou com número ímpar?

Solução:


No lançamento de um dado, determine as probabilidades:

a) de não obter 6 pontos;b) de obter 5 pontos ou 6 pontos

Solução:


5.4- Probabilidade CondicionalVamos supor que no lançamento de um dado alguém aposte que vai obter mais do que 3 pontos. A probabilidade de que ele ganhe esta aposta é a probabilidade de ocorrer o evento A = {4, 5, 6}. Como o espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é equiprovável, temos

P(A) =

Após lançar o dado, uma pessoa avisa que o resultado obtido é um número ímpar de pontos. Com esta informação, o apostador já sabe que o resultado foi 1 ou 3 ou 5 pontos e ele só terá ganhado se o resultado foi 5 pontos. Assim, ele tem uma chance em três de ter ganhado a aposta, ou seja, a probabilidade de ganhar a aposta, depois da informação dada, fica sendo 1/3.

Esta probabilidade, 1/3, chama-se probabilidade condicional de ganhar a aposta (ocorrer o evento A= {4, 5, 6}) dada a informação de que o resultado foi ímpar (ocorreu o evento B = {1, 3, 5}). Também falamos probabilidade condicional de A dado B e indicamos por P(A/B) (leia: P de A dado B). Assim, neste exemplo, P(A/B) = 1/3.

Agora, repare que para escrever a probabilidade 1/3 levamos em conta que tínhamos 3 chances após saber que ocorreu B = {1, 3, 5} e, destas três, a única chance do apostador ganhar é ocorrer o evento = {5}. Então, neste caso,

P(A/B) = , de onde se deduz que P(A/B) = , se .

EXEMPLO 16 CÓD.:

Se dois eventos A e B são tais que P(A) = 0,40, P(B) = 0,60 e P( ) = 0,20, então:

P(A/B) = = =

P(B/A) = = =

Regra da multiplicação

De P(B/A) = , vem: P( ) = P(A) x P(B/A)

Em palavras, temos a seguinte regra para a probabilidade de ocorrência ao mesmo tempo de dois eventos:

A probabilidade de ocorrer A e B é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade condicional de B dado A.

Esta regra pode ser estendida para mais de dois eventos, sendo muito útil especialmente no caso de experimentos compostos de várias etapas (extrações com ou sem reposição, lançamentos sucessivos etc.). Nesses casos, se queremos calcular a probabilidade de ocorrer uma sucessão de eventos A, B, C etc., basta multiplicar a probabilidade de A pela probabilidade de B, supondo que A ocorreu, pela probabilidade de C, supondo que A e B ocorreram etc.


EXEMPLO 17 CÓD.:

Uma urna contém três bolas amarelas e duas brancas. Retirando sucessivamente duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de saírem as duas brancas?

Considerando os eventos:

: a primeira bola retirada é branca;

: a segunda bola retirada é branca.

A probabilidade de saírem as duas bolas brancas é exatamente P( ). Temos:

P( ) = 2/5, porque na urna há duas bolas brancas no total de 5 bolas.

P( / ) = 1/4, porque supondo que ocorreu (a primeira bola retirada foi branca), para a segunda extração ficaram na urna 4 bolas sendo apenas uma branca.

Então, P( ) = P( ) x P( / ) = =


De uma classe onde há 15 rapazes e 15 moças serão escolhidos dois alunos ao acaso. Qual a probabilidade de:a) serem escolhidas duas moças;b) serem escolhidos um rapaz e uma moça, em qualquer ordem.

Solução:


5.5- IndependênciaNo experimento constituído de dois lançamentos sucessivos de uma moeda, com espaço amostral equiprovável

= {(C, C), (C, ), ( , C), ( , )} onde C = cara e = coroa

vamos considerar os eventos A, formado pelos resultados que apresentam cara no 1º lançamento, e B, formado pelos que apresentam cara no 2º lançamento:

A = {(C, C), (C, )} B ={(C, C), ( , C)} temos que:

P(A) = ,

P(B) = e

= {(C, C)} => P( ) = então,

P(A/B) = = e P(B/A) = = =

Observamos que P(A/B) = 1/2 = P(A), isto é, a probabilidade condicional de A dado B é igual à probabilidade de A sem a informação de ter ocorrido B. E também, P(B/A) = P(B), ou seja, a probabilidade condicional de B dado A é igual a probabilidade de B sem a informação de que A tenha ocorrido. Quando isto ocorre, a regra da multiplicação de probabilidades

P( ) = P(A) x P(B/A) pode ser escrita da forma P( ) = P(A) x P(B)

Assim, dois eventos A e B são chamados eventos independentes quando vale a igualdade

P( ) = P(A) x P(B)

Se P( ) P(A) x P(B) dizemos que A e B são eventos dependentes.

Nas aplicações, reconhecemos a independência de dois eventos quando percebemos que a informação da ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Por exemplo, a informação que deu cara no 1º lançamento de uma moeda não altera a probabilidade de dar cara no 2º lançamento.

EXEMPLO 18 CÓD.:

Em dois lançamentos de um dado, qual a probabilidade de obter número par no primeiro e número ímpar no segundo lançamento?Solução:A: o resultado do primeiro lançamento é parB: o resultado do segundo lançamento é ímpar.Queremos calcular P( ). Notando que A e B são independentes, pois a informação da ocorrência de A não altera a probabilidade de ocorrer B, temos:

P( ) = P(A) x P(B) =


EXEMPLO 19 CÓD.:

Fazendo lançamentos sucessivos de uma dado até obter 6 pontos num lançamento, qual a probabilidade de que sejam necessárias 3 tentativas.Solução:Para que sejam necessárias três tentativas, a 1ª não deve obter 6 pontos, a 2ª também e a 3ª sim. Como o resultado de cada lançamento é independente dos resultados dos demais lançamentos, a probabilidade pedida é:

P =

IMPORTANTE: Eventos mutuamente exclusivos não são eventos independentes

Vimos anteriormente que dois eventos A e B são chamados mutuamente exclusivos quando = Ø. Neste caso, a ocorrência de um dos eventos implica a não ocorrência do outro. Logo a informação de que ocorreu um deles altera a probabilidade de ocorrência do outro (a menos que ela já fosse nula). Daí concluímos que eventos mutuamente exclusivos não são eventos independentes (a menos que um deles tenha probabilidade nula).

Observe também que se P(A) > 0, P(B) > 0, e A e B são mutuamente exclusivos, temos P( ) = P(Ø) = 0 e 0. Logo P( ) e, então, A e B não são independentes.

Esta nota é feita para que possamos distinguir bem os conceitos de “mutuamente exclusivos” e “independentes”, pois estes nomes na linguagem comum podem até ser confundidos.


Se P(A) = e P(B) = , calcule P( ) em cada caso:

a) sendo A e B independentes;b) sendo A e B mutuamente exclusivos.

Solução:


A probabilidade de que o filho de um casal nasça com olhos azuis é 1/4. Se o casal tiver dois filhos, qual a probabilidade

a) de ambos terem olhos azuis;b) nenhum ter olhos azuis.

Solução:


5.6- Questões de Concursos

QUESTÃO 01 CÓD.:

Considere-se que a secretaria de saúde de uma prefeitura municipal tenha realizado um estudo sobre a utilização de medicamentos sem prescrição médica e que esse estudo tenha mostrado que a probabilidade de uma pessoa (homem ou mulher) se automedicar é igual a 0,8 e, ainda, que a probabilidade de uma mulher se automedicar é 4 vezes maior que a de um homem.Com base nessa situação hipotética e nas informações apresentadas, julgue os itens que se seguem.

01- A probabilidade de uma pessoa não se automedicar é inferior a 0,25.

02- Do conjunto de pessoas que se automedicam, 20% são do sexo masculino.

03- No espaço amostral considerado pelo estudo em questão, de 16% a 36% das pessoas são do sexo masculino.

Solução:

Pref. Vila Velha/ES 2008 Técnico Municipal – Administração CESPE GAB.: C C C

QUESTÃO 02 CÓD.:

Os eventos E1 e E2 são os conjuntos de pontos que podem estar tanto em E1 quanto em E2, como em ambos, simultaneamente. Então, a probabilidade de uma ocorrência ser do evento E1 ou E2 é dada por:

a) P (E1 + E2) = P(E1) + P(E2). b) P (E1 + E2) = P(E1) + P(E2) - P (E1 e E2). c) P (E1 + E2) = P(E1) + (1 - P(E2). d) P (E1 + E2) = P(E2) + (1 - P(E1)). e) P (E1 + E2) = P(E1) * P(E2).

Solução:

SUSEP 2006 Analista Técnico – Controle e Fiscalização ESAF GAB.: B


QUESTÃO 03 CÓD.:

Uma urna contém: 1 bola amarela; 4 bolas azuis; 10 bolas brancas; 15 bolas vermelhas; e 20 bolas pretas. Dado que na primeira extração foi retirada uma bola vermelha, a probabilidade de na segunda tentativa retirar uma bola vermelha, novamente, é:

a) maior que retirar uma bola branca ou azul. b) maior que retirar uma bola preta. c) menor que retirar uma bola branca. d) menor que retirar uma bola azul. e) menor que retirar uma bola amarela ou branca ou azul.

Solução:

Prefeitura de Natal 2008 Auditor do Tesouro Municipal ESAF GAB.: E

QUESTÃO 04 CÓD.:

A probabilidade de um associado de um clube pagar sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem atraso é

a)

b)

c)

d)

e)

Solução:

Banco Central 2006 Analista – Área 5 FCC GAB.: E


QUESTÃO 05 CÓD.:

Do total de títulos em poder de um investidor, 1/8 é do tipo T1, 1/4 é do tipo T2 e o restante do tipo T3. Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real de juros positiva com estas aplicações são 0,60 com T1, 0,70 com T2 e 0,80 com T3. Se for escolhido um título aleatoriamente entre estes em poder do investidor e verificarem-se que apresentou uma taxa real de juros não positiva, a probabilidade dele ser do tipo T3 é

a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50%

Solução:

Banco Central 2006 Analista (Área 03) FCC GAB.: E

QUESTÃO 06 CÓD.:

Um investidor avalia que, num investimento, ganha 5000 reais com probabilidade p, perde 2500 reais com probabilidade e não ganha nada caso contrário. Se, nessas condições, o ganho esperado do investidor for de 1600 reais, o valor de p é

a) b) c) d) e)

Solução:

Estado de SP 2009 Especialista em Políticas Públicas FCC GAB.: C


QUESTÃO 07 CÓD.:

Numa sala estão reunidos quatro pernambucanos e quatro paraibanos. Se escolhermos ao acaso duas pessoas distintas desse grupo, a probabilidade de que os dois sejam pernambucanos é igual a:

a) 1/4. b) 2/5. c) 3/14. d) 4/15. e) 5/16.

Solução:


FGV GAB.: C

QUESTÃO 08 CÓD.:

Os projetos encaminhados a certo órgão de fomento são classificados como de tipos I ou II. Por experiências anteriores, sabe-se que 70% dos projetos encaminhados são do tipo I e os 30% restantes são do tipo II. Considerando que a probabilidade de sucesso na execução de um projeto depende da sua classificação, conforme apresentado no quadro acima, julgue os itens subsequentes.

01- Um projeto que tenha sido encaminhado ao órgão mas que ainda não tenha sido classificado, tem probabilidade de sucesso na sua execução igual a 0,87.

02- Em uma amostra aleatória de 100 projetos executados com sucesso, espera-se que 90 desses projetos tenham sido classificados como sendo do tipo I.

03- Considerando-se uma amostra aleatória de 3 projetos do tipo I, a probabilidade de que apenas um desses projetos seja executado com sucesso é inferior a 0,1.

Solução:

SEGER/ES 2009 Analista Administrativo e Financeiro CESPE GAB.: C E C


QUESTÃO 09 CÓD.:

Uma urna contêm 5 bolas amarelas e 4 bolas azuis, todas do mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Caso se retirem 2 bolas sucessivamente da urna, sem repô-las, a probabilidade de que sejam retiradas 2 bolas amarelas será

a) inferior a 0,2. b) superior a 0,2 e inferior a 0,25. c) superior a 0,25 e inferior a 0,3. d) superior a 0,3.

Solução:

CEHAP/PB 2009 Assistente Administrativo CESPE GAB.: C

QUESTÃO 10 CÓD.:

Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos, Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de danças. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é:

a)b)c)d)e)

0,100,120,150,200,24

Solução:

SERPRO 2001 ESAF GAB.: D


0606- Distribuições de Probabilidades

Consideremos como exemplo ilustrativo a distribuição de frequências relativa ao número diário de atendimento na enfermaria de uma empresa:

Número de Atendimentos

Total = 60

4 2

3 6

2 12

1 16

0Freqüências

24

Assim, em um dia qualquer, a probabilidade de:

Não ser realizado atendimento algum na enfermaria é de: Ser realizado apenas um atendimento é de: Serem realizados dois atendimentos é de: Serem realizados três atendimentos é de: Serem realizados quatro atendimentos é de:

Construindo então uma tabela de distribuição de probabilidades, temos:

Total = 1,00

4

Número de Atendimentos (X)

0,03

3 0,10

2 0,20

1 0,27

0

Probabilidades P(X)0,40

Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência (função) entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P, de modo que os valores de X são o domínio da função e os de P seu conjunto imagem. Essa função, assim definida, é denominada função probabilidade, sendo representada por:


EXEMPLO......................................... 01 CÓD.:

Construir a tabela de distribuição de probabilidade relativa ao número de filhos homens que um casal poderá ter, se o mesmo pretende ter dois filhos.

Solução:

6.1- Distribuição Binomial

Imaginemos um problema do tipo: “Calcular a probabilidade de serem obtidas 2 caras em 4 lançamentos sucessivos de uma moeda honesta”.

Sabemos que em um experimento como o do lançamento de uma moeda, se a probabilidade de realização (sucesso) de um evento (obtenção de cara, por exemplo) é p, a probabilidade de não realização (insucesso) é 1-p = q.

Dessa forma, no caso de realização desse experimento n vezes sucessivas, a probabilidade de que o evento de realize k vezes é dada por:

onde:

é a probabilidade de que o evento se realiza k vezes em n repetições do experimento;

é a probabilidade de que o evento se realize em um único experimento (probabilidade de sucesso do evento);

é a probabilidade de que o evento não se realize em um experimento (probabilidade do insucesso do evento);

é o coeficiente binomial de n sobre k, que é igual a

Portanto, essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial.

As distribuições binomiais resolvem problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem “k” sucessos em “n” tentativas.

Assim os experimentos devem satisfazer os seguintes requisitos:

1- O experimento deve ser repetido um número finito de vezes (n vezes), nas mesmas condições;

2- Os experimentos devem ser independentes, ou seja, o resultado de um não pode interferir nos resultados seguintes;

3- Em cada repetição do experimento deve aparecer um dos dois resultados possíveis: sucesso ou insucesso;


4- No decorrer do experimento, a probabilidade do sucesso (p) e do insucesso (q) devem permanecer constantes.

EXEMPLO......................................... 02 CÓD.:

Calcular a probabilidade de serem obtidas 2 caras em 4 lançamentos sucessivos de uma moeda honesta.

Solução:

EXEMPLO......................................... 03 CÓD.:

Considerando iguais as probabilidades de um time ganhar, empatar ou perder um jogo, qual a probabilidade da Equipe A ganhar 5 do 8 jogos que serão disputados com a Equipe B?

Solução:

6.2- Distribuição NormalComo já estudado, as distribuições de frequência podem assumir uma diversidade de formas. Algumas são perfeitamente simétricas, outras são assimétricas, seja negativa ou positivamente, outras ainda têm mais de um pico e assim por diante. Isso é válido igualmente para distribuições de probabilidade.

Uma dessas distribuições, a distribuição normal (baseada na curva normal), é um modelo teórico ou ideal obtido a partir de uma equação matemática, e não de uma pesquisa de coleta de dados. Entretanto, a utilidade da curva normal para o pesquisador pode ser detectada em suas aplicações a situações efetivas de pesquisa.

Assim, a curva normal pode ser usada, por exemplo, para descrever distribuições de escores, interpretar o desvio padrão e fazer afirmações probabilísticas. Veremos, adiante, que a curva normal é um ingrediente essencial da tomada de decisão estatística, em que o pesquisador generaliza seus resultados de amostras para populações.

Características da curva normal


A curva normal é um tipo de curva suave, simétrica, cuja forma lembra um sino. Além disso, a curva normal é unimodal, apresentando apenas um pico ou ponto de freqüência máxima – o ponto no meio da curva em que a média, a mediana e a moda coincidem. A partir do pico central arredondado da distribuição normal, a curva decai gradativamente em direção a ambas as caudas, estendendo-se indefinidamente em ambas as direções e aproximando-se cada vez mais da reta base sem atingi-la efetivamente.

Curva normal

Área sob a curva normalPara utilizar a distribuição normal na resolução de problemas, devemos conhecer a área sob a curva normal.

A área limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que é essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.

Podemos determinar uma parcela dessa área total traçando segmentos de reta de dois pontos do eixo-base até a curva. Por exemplo, tomando a média como ponto de partida, podemos traçar uma reta na média ( ) e outra no ponto que está a 1 (1 desvio padrão) acima da média. Assim, conforme ilustrado na figura a seguir, essa parte delimitada da curva norma inclui 34,13% da freqüência total.

Também podemos dizer que 47,72% dos casos sob a curva normal situam-se entre a média e 2 acima da média e que 49,87% estão entre a média e 3 acima da média.

Verifica-se que existe uma proporção constante da área total sob a curva normal compreendida entre a média e qualquer distância a contar desta, medida em unidades de desvio padrão. Isso é verdadeiro independentemente da média e do desvio padrão da distribuição particular e aplica-se de maneira universal a todos os dados que são distribuídos normalmente.


Para determinar a porcentagem da área sob a curva, para afastamentos da média diferentes dos múltiplos exatos do desvio padrão, utilizamos a tabela da distribuição normal reduzida (Tabela A - Anexo A dessa apostila) que representa uma distribuição normal de média 0 (zero) e desvio padrão 1 (um).

A Tabela A mostra a percentagem sob a curva normal entre a média e várias distâncias (medida em unidades de desvio padrão) a contar da média. Essas distâncias (de 0,00 a 4,00 ) são rotuladas como z na coluna da esquerda da tabela. A seguir reproduzimos parte da referida tabela.

TABELA A

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

Observe que a simetria da curva permite dar porcentagens para apenas um lado da média, isto é, apenas metade da curva (50%). Os valores da Tabela A representam uma ou outra metade.

Observe na tabela acima que para determinar a área sob a curva normal situada entre a média de a distância de 0,65 , foi necessário apenas acharmos a interseção da linha 0,6 com a coluna 5. Nesse exemplo, verifica-se que a área procurada é 0,2422.

Determinação de Probabilidades sob a Curva NormalA curva normal é uma distribuição de probabilidades em que a área total sob a curva é igual a 100%. Essa curva possui, como já visto, uma área central circundando a média, em que os valores ocorrem com maior frequência, e áreas menores em cada cauda, onde se verifica um achatamento gradativo, havendo uma menor proporção de valores extremamente altos e extremamente baixos. Em termos de probabilidade, então, podemos dizer que a probabilidade diminui à medida que percorremos o eixo base, afastando-nos da média em cada direção. Assim, dizer que 68,26% da frequência total sob a curva normal situa-se entre -1 e +1 a contar da média equivale a dizer que há uma probabilidade de aproximadamente 68 em 100 (68%) de qualquer escore bruto dado situar-se no interior desse intervalo.

EXEMPLO......................................... 04 CÓD.:

Determine as probabilidades:

a) b)


EXEMPLO......................................... 05 CÓD.:

Determine as probabilidades:

a) b)

Escores Padronizados e a Curva NormalAté agora vimos como achar a porcentagem da área total sob a curva normal associada a qualquer distância (medida em unidades de desvio padrão) a contar da média. O próximo passo será determinar qualquer distância (medida em qualquer unidade) em unidades de desvio padrão.

Para transformar minutos em horas, dividimos o número de minutos por 60, porque uma hora tem 60 minutos. Precisamente do mesmo modo, podemos transformar qualquer escore bruto em unidades de desvio padrão dividindo a distância do escore à média pelo desvio padrão.

EXEMPLO......................................... 06 CÓD.:

Os salários de 800 operários de determinada indústria são normalmente distribuídos com média de R$950,00 e desvio padrão R$90,00. Determine o número de funcionários que ganham:a) entre R$800,00 e R$1.000,00 b) mais do que R$1.200,00

Solução:


6.3- Intervalos de Confiança

6.3.1- Erro AmostralUm pesquisador procura geralmente obter uma amostra que seja representativa da população em que está interessado. Como as amostras aleatórias dão a todo elemento da população a mesma chance de figurar na amostra, elas são, de modo geral, mais representativas das características populacionais do que métodos não científicos. No entanto, apenas pela chance podemos sempre esperar alguma diferença entre uma amostra, aleatória ou não, e a população da qual ela é extraída. Uma média amostral ( ) quase nunca será exatamente a mesma que a média populacional ( ); um desvio padrão ( ) da amostra dificilmente será o mesmo que o desvio padrão populacional ( ). Conhecida como erro amostral, essa diferença sempre ocorre, independentemente de quão bem o plano amostral tenha sido elaborado e posto em prática.

Por exemplo, ao divulgar os resultados, os pesquisadores de opinião pública costumam se referir a uma margem de erro. Pode-se ler na imprensa que a organização IBOPE (ou outra qualquer) prediz que o candidato X vai obter 56% dos votos, com uma margem de erro de . Em outras palavras, os pesquisadores confiam em que o candidato X receba entre 52% (56% - 4%) e 60% (56% + 4%) dos votos. A razão para essa incerteza por parte do pesquisador sobre o número exato de votos é efeito do erro amostral.

6.3.2- Intervalo de Confiança (utilizando z)Suponha que o reitor de certa universidade queira estimar o QI médio de seus estudantes sem o consumo de tempo e a despesa em que incorreria se fossem testar todos os 1000 estudantes da universidade. Em lugar disso, seleciona aleatoriamente 25 deles e aplica-lhes o teste. Constata que a média de sua amostra é 105. Como o valor de provém de uma amostra e não de toda a população de estudantes, o reitor não pode ter a certeza de que reflita efetivamente a população estudantil. Como já visto, o erro amostral é resultado inevitável do fato de trabalharmos apenas com uma fração da população.

Sabemos, entretanto, que 68,26% de todas as médias de amostras aleatórias na distribuição amostral de médias recaem entre -1 erro padrão e +1 erro padrão a contar da verdadeira média populacional. Em nosso caso (com escores QI para os quais =15), temos um erro padrão de

= = = 3

Portanto, tomando 105 como uma estimativa da média para todos os estudantes (uma estimativa da verdadeira média populacional), podemos estabelecer um intervalo dentro do qual há 68 chances em 100 (arredondando) de se situar a verdadeira média populacional:

Intervalo de 68% de confiança =

Onde:

= média amostral;

= erro padrão da média amostral

Assim,

Intervalo de 68% de confiança = = 102 a 108

O reitor pode, pois, concluir, com 68% de confiança, que o QI médio para toda a universidade ( ) é 105, com uma variação de 3, para mais ou para menos. Em outras palavras, há 68% de chance de a verdadeira média populacional estar no intervalo de 102 a 108.

Tecnicamente, é possível construirmos intervalos de confiança para qualquer nível de probabilidade.


Intervalo de 95% de Confiança Utilizando zRecorrendo à Tabela A, podemos afirmar que 1,96 erro padrão em ambas as direções abrange exatamente 95% das médias amostrais (47,5% de cada lado da média). Para achar o intervalo de 95% de confiança, devemos primeiro multiplicar o erro padrão da média por 1,96.


Logo,

Intervalo de 95% de confiança = =

Intervalo de 95% de confiança = 99,12 a 110,88

Assim, o reitor pode ter 95% de confiança em que a média populacional está no intervalo de 99,12 a 110,88.

Intervalo de 99% de Confiança Utilizando zRecorrendo também à Tabela A, vemos que o escore z = 2,58 representa 49,5% da área de um ou de outro lado da curva. Duplicando esse valor, obtemos 99% da área sob a curva; 99% das médias amostrais de enquadram nesse intervalo. Em termos probabilísticos, 99 em cada 100 médias amostrais se enquadram entre -2,58 e +2,58 a contar a partir da média.


Logo,

Intervalo de 99% de confiança = =

Intervalo de 99% de confiança = 97,26 a 112,74

Assim, o reitor pode ter 99% de confiança em que a média populacional está no intervalo de 97,26 a 112,74.

Limitação do modeloAté aqui lidamos apenas com situações em que o erro padrão da média era conhecido, podendo ser calculado, a partir do desvio padrão populacional, pela fórmula:

Encarando os fatos de maneira realista, não tem muito sentido conhecermos o desvio padrão de nossa variável na população ( ) e desconhecermos (precisando estimar) a média populacional (

). Na verdade, são raros os casos em que se conhece o desvio padrão da população (e, assim, o erro padrão da média ). Em geral, devemos estimar não só a média populacional com base em uma amostra, mas também o erro padrão, com base nessa mesma amostra.

6.3.3- Intervalo de Confiança para a Média Utilizando tPara obter uma estimativa do erro padrão da média, poderíamos ser tentados simplesmente a substituir o desvio padrão populacional ( ), na fórmula anterior do erro padrão, pelo desvio padrão amostral ( ). Isso, entretanto, tenderia a subestimar, por pouco que fosse, o vulto do verdadeiro erro padrão. Esse problema surge porque o desvio padrão amostral tende a ser um pouco menor do que o desvio padrão populacional.

Nesse caso para a determinação do intervalo de confiança utilizaremos a distribuição t (não mais a z), procedendo da seguinte forma:

1) após o cálculo da média e do desvio padrão da amostra, calculamos o erro padrão estimado da média, através da expressão:


2) Determinamos os graus de liberdade

Emprega-se, aqui, o conceito de grau de liberdade, para determinar qual das distribuições t se aplica a determinada instância. O número de graus de liberdade indica quão próxima da distribuição t está da curva normal aproximada. Ao estimarmos uma média populacional, o número de graus de liberdade é um a menos do que o tamanho da amostra, isto é:

Quanto maior o número de graus de liberdade, maior o tamanho da amostra e mais próxima da distribuição normal está a distribuição t.

3) Determinamos o valor de t pela Tabela B (Anexo 02 dessa apostila)

Ao trabalharmos com a distribuição t, utilizamos a Tabela B. Ao contrário da Tabela A, em que tínhamos de procurar valores de z correspondentes a áreas de 95% e 99% sob a curva, a Tabela B é elaborada para áreas determinadas. Mais precisamente, é adaptada a vários níveis de . O valor representa a área nas caudas da distribuição t. Assim, o valor

igual a um menos o nível de confiança. Isto é:

Por exemplo, para um nível de 95% de confiança, . Para um nível de confiança de 99%, .

Utilizamos a Tabela B com duas informações: (1) o número de graus de liberdade (que, para estimar uma média amostral, é ) e (2) o valor , á área nas caldas da distribuição.

Exemplo: se quiséssemos construir um intervalo de 95% de confiança com uma amostra de 20, teríamos 19 graus de liberdade ( ), área compreendida nas duas caudas e, como resultado, um valor t de 2,093 pela Tabela B.

4) Obtemos a margem de erro multiplicando o erro padrão da média pelo valor t apropriado extraído da Tabela B, conforme o nível de confiança e o número de graus de liberdade:

5) Somamos e subtraímos a margem de erro à média amostral, para obter o intervalo de confiança desejado:


TABELA B

0,950 0,900 0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,0011 0,079 0,158 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,6192 0,071 0,142 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,5993 0,068 0,137 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,9244 0,067 0,134 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,6105 0,066 0,132 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,8696 0,065 0,131 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,9597 0,065 0,130 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,4088 0,065 0,130 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,0419 0,064 0,129 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,064 0,129 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,58711 0,064 0,129 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,43712 0,064 0,128 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,31813 0,064 0,128 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,22114 0,064 0,128 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,14015 0,064 0,128 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,07316 0,064 0,128 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,01517 0,064 0,128 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,96518 0,064 0,127 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,92219 0,064 0,127 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,88320 0,063 0,127 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,85021 0,063 0,127 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

Distribuição t de StudentÁrea contida nas duas caudas laterais (bicaudal) da distribuição t de Student/z

EXEMPLO......................................... 07 CÓD.:

Suponha que um pesquisador queira examinar o alcance da cooperação entre crianças do jardim-de-infância. Para tanto, ele observa, durante 30 minutos, um grupo de crianças brincando e registra o número de atos de cooperação praticados por cada uma.

x 1 5 2 3 4 1 2 2 4 3

Determinar, com 95% e com 99% de certeza o número médio de ações de natureza cooperativa para todo o jardim-de-infância.

Solução:


6.3.4- Intervalo de Confiança para ProporçõesO pesquisador social freqüentemente procura fazer uma estimativa de uma proporção populacional estritamente baseada em uma proporção obtida em uma amostra aleatória.

Estimamos proporções pelo processo que acabamos de utilizar para estimar médias. Todas as estatísticas – inclusive médias e proporções – têm suas distribuições amostrais, e a distribuição amostral de uma proporção é normal. Assim como já calculamos o erro padrão da média, podemos agora achar o erro padrão da proporção, pela fórmula:

onde: = erro padrão da proporção (uma estimativa do desvio padrão da distribuição amostral

de proporções);

= proporção amostral;

= número total na amostra.

Utilizamos anteriormente a distribuição t para construir intervalos de confiança para a média populacional quando a média populacional ( ) e o desvio padrão populacional ( ) eram ambos desconhecidos e precisavam ser estimados. Ao trabalharmos com proporções, entretanto, apenas uma grandeza é desconhecida. Estimamos a proporção populacional ( ) pela proporção amostral

. Conseqüentemente, utilizamos a distribuição para construir intervalos de confiança para a proporção populacional ( ) (com para um intervalo de 95% de confiança e para um intervalo de 99% de confiança), e não a distribuição t.

Para achar o intervalo de 95% de confiança para uma proporção populacional, multiplicamos o erro padrão da proporção por 1,96, somamos e subtraímos esse produto à proporção amostral:


EXEMPLO......................................... 08 CÓD.:

Ao afirmar que 45% de uma amostra aleatória de 100 alunos de uma faculdade se declararam favoráveis à legalização de todas as drogas, o erro padrão e o intervalo de 95% confiança para a referida proporção.

Solução:




Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2, e a variância amostral foi 1,44. O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é:

a) 4,2 +/- 0,49

b) 4,2 +/- 0,64

c) 4,2 +/- 0,71

d) 4,2 +/- 0,75

e) 4,2 +/- 0,81

Solução:

SEFAZ/MS 2006 Fiscal de Rendas FGV GAB.: A


Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham que conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% de confiança para a proporção de torcedores na população que acreditam no hexacampeonato é:

a) 64% +/- 3,9%

b) 64% +/- 4,2%

c) 64% +/- 4,7%

d) 64% +/- 5,1%

e) 64% +/- 5,6%

Solução:

SEFAZ/MS 2006 Fiscal de Rendas FGV GAB.: C



Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o percentual da população favorável à eleição de um determinado ponto turístico para constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso, selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população infinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse ponto turístico. Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas, aproximadamente:

a) 50 pessoas. b) 100 pessoas. c) 1.200 pessoas. d) 2.400 pessoas. e) 4.800 pessoas.

Solução:

SEFAZ/RJ 2008 Fiscal de Rendas FGV GAB.: D


Um estatístico de uma companhia telefônica deseja estimar a proporção p de clientes satisfeitos com a introdução de um novo tipo de serviço. Suponha que o número de clientes da companhia seja grande. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p deve estar próxima de 0,50. O menor tamanho de amostra que ele deve considerar de modo a garantir com probabilidade de 95% um erro absoluto de estimação de no máximo 0,02 é:

a) 800.b) 1082.c) 1530.d) 1681.e) 2401.

Solução:

SENADO FEDERAL 2008 Analista Legislativo - Estatístico FGV GAB.: E



Instruções: Para responder à questão considere a tabela abaixo, que fornece os valores das probabilidades P(Z z) para a distribuição normal padrão.

O número de processos analisados em uma repartição pública por semana apresenta uma distribuição normal, com média igual a 50 processos e desvio padrão igual a 10 processos. A probabilidade de, em uma determinada semana, ser analisado um número de processos menor ou igual a 40 é igual a

a) 40%

b) 31%

c) 23%

d) 16%

e) 11%

Solução:

TRT/SP 2008 Analista Judiciário - Estatística FCC GAB.: D


Instruções: Para responder à questão considere a tabela abaixo, que fornece os valores das probabilidades P(Z z) para a distribuição normal padrão.

As alturas dos estudantes em uma escola apresentam uma distribuição considerada normal. Sabendo-se que apenas 16% dos estudantes apresentam uma altura igual ou superior a 170 cm e que 40% são iguais ou inferiores a 145 cm, tem-se que a média das alturas dos estudantes é igual a

a) 150,0 cm

b) 152,5 cm

c) 157,5 cm

d) 160,0 cm

e) 162,5 cm

Solução:

TRT/SP 2008 Analista Judiciário - Estatística FCC GAB.: A



A vida das lâmpadas fabricadas por uma empresa apresenta uma distribuição normal com uma variância populacional igual a 400 (horas)². Extrai-se uma amostra de 64 lâmpadas e verifica-se que a respectiva vida média é igual a 1.200 horas. Considerando a população de tamanho infinito e a informação da distribuição normal padrão (Z) que a probabilidade P(Z > 2) = 2,5%, tem-se que o intervalo de confiança de 95% para a vida média das lâmpadas é

a) [1.160 , 1.240]

b) [1.164 , 1.236]

c) [1.180 , 1.220]

d) [1.184 , 1.216]

e) [1.195 , 1.205]

Solução:

TRT/SP 2008 Analista Judiciário - Estatística FCC GAB.: E

QUESTÃO 08 CÓD.:

Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão. Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais próximo de P( -2,58 < Z < 1,96 ).

Z............ 1,96 2,17 2,33 2,41 2,58 P(Z < z)... 0,975 0,985 0,99 0,992 0,995

a) 0,99 b) 0,97 c) 0,98 d) 0,985 e) 0,95

Solução:


ESAF GAB.: B


QUESTÃO 09 CÓD.:

Se x é uma v. a. - variável aleatória com função densidade de probabilidade f(x), caracterizada pelo modelo normal, podemos afirmar que:

a) o desvio-padrão é igual a 1 (um). b) a média tem valor 0 (zero). c) a função de distribuição acumulada f(x) é igual a 1, para todos os valores acima de b. d) os parâmetros média, moda e mediana são iguais. e) a variância tem o valor do quadrado da média.

Solução:

Prefeitura de Natal 2008 Auditor do Tesouro Municipal ESAF GAB.: D

QUESTÃO 10 CÓD.:

A respeito de distribuição normal de probabilidades, analise as afirmativas a seguir:

I. Se uma variável tem distribuição normal com média e desvio padrão , então o intervalo contém cerca de 95% de seus valores possíveis.

II. Se uma variável aleatória X tem distribuição normal com média e variância então a

variável tem distribuição normal com média 0 e variância 1.

III. Se uma variável tem distribuição normal de probabilidades, então o valor de sua média é igual ao de sua mediana.

IV. Se uma variável X tem distribuição normal com média 0,1, então a probabilidade de que X assuma um valor negativo é maior do que 50%.

Assinale:

a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente as afirmativas II e IV estiverem corretas. c) se somente as afirmativas I, II e III estiverem corretas. d) se somente as afirmativas II, III e IV estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas.

Solução:


FGV GAB.: C


0707- Anexos

Anexo 01TABELA A

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO


Anexo 02TABELA B

0,950 0,900 0,200 0,100 0,050 0,250 0,020 0,010 0,005 0,0011 0,079 0,158 3,078 6,314 12,706 2,414 31,821 63,657 127,321 636,6192 0,071 0,142 1,886 2,920 4,303 1,604 6,965 9,925 14,089 31,5993 0,068 0,137 1,638 2,353 3,182 1,423 4,541 5,841 7,453 12,9244 0,067 0,134 1,533 2,132 2,776 1,344 3,747 4,604 5,598 8,6105 0,066 0,132 1,476 2,015 2,571 1,301 3,365 4,032 4,773 6,8696 0,065 0,131 1,440 1,943 2,447 1,273 3,143 3,707 4,317 5,9597 0,065 0,130 1,415 1,895 2,365 1,254 2,998 3,499 4,029 5,4088 0,065 0,130 1,397 1,860 2,306 1,240 2,896 3,355 3,833 5,0419 0,064 0,129 1,383 1,833 2,262 1,230 2,821 3,250 3,690 4,781

10 0,064 0,129 1,372 1,812 2,228 1,221 2,764 3,169 3,581 4,58711 0,064 0,129 1,363 1,796 2,201 1,214 2,718 3,106 3,497 4,43712 0,064 0,128 1,356 1,782 2,179 1,209 2,681 3,055 3,428 4,31813 0,064 0,128 1,350 1,771 2,160 1,204 2,650 3,012 3,372 4,22114 0,064 0,128 1,345 1,761 2,145 1,200 2,624 2,977 3,326 4,14015 0,064 0,128 1,341 1,753 2,131 1,197 2,602 2,947 3,286 4,07316 0,064 0,128 1,337 1,746 2,120 1,194 2,583 2,921 3,252 4,01517 0,064 0,128 1,333 1,740 2,110 1,191 2,567 2,898 3,222 3,96518 0,064 0,127 1,330 1,734 2,101 1,189 2,552 2,878 3,197 3,92219 0,064 0,127 1,328 1,729 2,093 1,187 2,539 2,861 3,174 3,88320 0,063 0,127 1,325 1,725 2,086 1,185 2,528 2,845 3,153 3,85021 0,063 0,127 1,323 1,721 2,080 1,183 2,518 2,831 3,135 3,81922 0,063 0,127 1,321 1,717 2,074 1,182 2,508 2,819 3,119 3,79223 0,063 0,127 1,319 1,714 2,069 1,180 2,500 2,807 3,104 3,76824 0,063 0,127 1,318 1,711 2,064 1,179 2,492 2,797 3,091 3,74525 0,063 0,127 1,316 1,708 2,060 1,178 2,485 2,787 3,078 3,72526 0,063 0,127 1,315 1,706 2,056 1,177 2,479 2,779 3,067 3,70727 0,063 0,127 1,314 1,703 2,052 1,176 2,473 2,771 3,057 3,69028 0,063 0,127 1,313 1,701 2,048 1,175 2,467 2,763 3,047 3,67429 0,063 0,127 1,311 1,699 2,045 1,174 2,462 2,756 3,038 3,65930 0,063 0,127 1,310 1,697 2,042 1,173 2,457 2,750 3,030 3,64631 0,063 0,127 1,309 1,696 2,040 1,172 2,453 2,744 3,022 3,63332 0,063 0,127 1,309 1,694 2,037 1,172 2,449 2,738 3,015 3,62233 0,063 0,127 1,308 1,692 2,035 1,171 2,445 2,733 3,008 3,61134 0,063 0,127 1,307 1,691 2,032 1,170 2,441 2,728 3,002 3,60135 0,063 0,127 1,306 1,690 2,030 1,170 2,438 2,724 2,996 3,59136 0,063 0,127 1,306 1,688 2,028 1,169 2,434 2,719 2,990 3,58237 0,063 0,127 1,305 1,687 2,026 1,169 2,431 2,715 2,985 3,57438 0,063 0,127 1,304 1,686 2,024 1,168 2,429 2,712 2,980 3,56639 0,063 0,126 1,304 1,685 2,023 1,168 2,426 2,708 2,976 3,55840 0,063 0,126 1,303 1,684 2,021 1,167 2,423 2,704 2,971 3,55150 0,063 0,126 1,299 1,676 2,009 1,164 2,403 2,678 2,937 3,49660 0,063 0,126 1,296 1,671 2,000 1,162 2,390 2,660 2,915 3,46070 0,063 0,126 1,294 1,667 1,994 1,160 2,381 2,648 2,899 3,43580 0,063 0,126 1,292 1,664 1,990 1,159 2,374 2,639 2,887 3,41690 0,063 0,126 1,291 1,662 1,987 1,158 2,368 2,632 2,878 3,402

100 0,063 0,126 1,290 1,660 1,984 1,157 2,364 2,626 2,871 3,390120 0,063 0,126 1,289 1,658 1,980 1,156 2,358 2,617 2,860 3,373

Distribuição t de StudentÁrea contida nas duas caudas laterais (bicaudal) da distribuição t de Student

As linhas indicam o número de graus de liberdade (gl) da distribuição t de Student e as colunas indicam a soma das áreascontidas nas caudas (bicaudal). Por exemplo, a linha com 16 gl e coluna 0,10 cujo valor tabelado é 1,746 indica que o valor1,746 deixa 10% de probabilidade nas duas caudas quando há 16 gl. Ou seja, dada a probabilidade bicaudal eu descubro ovalor t correspondente.

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Estatística - JusDecisum

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