Estatistica Nocoes Estatistica

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NOÇÕES DE ESTATÍSTICA (RESUMO) Frequentemente assistindo à televisão, lendo jornais ou revistas, nos deparamos com gráficos, tabelas que nos dão muitas informações, como índices de inflação, consumo de água, taxa de desemprego, taxa de mortalidade infantil. A todas essas informações devemos inicialmente colher dados, em seguida organizá-los e analisá-los. Para chegarmos ao resultado desejado utilizamos a Estatística. A estatística pode ser entendida como sendo um campo da matemática aplicada que tem por objetivo: coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados. POPULAÇÃO É o conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrência na observação de grupos. Exemplos: Conjunto de estudantes do ensino fundamental de uma escola. Conjunto de pessoas que moram num condomínio fechado. AMOSTRA É uma parte dessa população; isto é, um subconjunto do universo estudado. FREQÜÊNCIA ABSOLUTA Freqüência absoluta de uma variável é dada pelo número de vezes que essa variável aparece no conjunto considerado. FREQÜÊNCIA RELATIVA É a razão entre a freqüência absoluta e o número total de elementos do conjunto. A freqüência relativa é dada em porcentagem.

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  • 1. NOES DE ESTATSTICA (RESUMO) Frequentemente assistindo televiso, lendo jornais ou revistas, nos deparamos com grficos, tabelas que nos do muitas informaes, como ndices de inflao, consumo de gua, taxa de desemprego, taxa de mortalidade infantil. A todas essas informaes devemos inicialmente colher dados, em seguida organiz-los e analis-los. Para chegarmos ao resultado desejado utilizamos a Estatstica. A estatstica pode ser entendida como sendo um campo da matemtica aplicada que tem por objetivo: coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados. POPULAO o conjunto de objetos, de indivduos ou de ocorrncia na observao de grupos. Exemplos: Conjunto de estudantes do ensino fundamental de uma escola. Conjunto de pessoas que moram num condomnio fechado. AMOSTRA uma parte dessa populao; isto , um subconjunto do universo estudado. FREQNCIA ABSOLUTA Freqncia absoluta de uma varivel dada pelo nmero de vezes que essa varivel aparece no conjunto considerado. FREQNCIA RELATIVA a razo entre a freqncia absoluta e o nmero total de elementos do conjunto. A freqncia relativa dada em porcentagem.
  • 2. FREQNCIA ABSOLUTA ACUMULADA A freqncia absoluta acumulada obtida adicionando-se a cada freqncia absoluta os valores das freqncias anteriores. Exemplo: A tabela mostra a distribuio das idades dos jogadores de um time de futebol. Nmero de Idade Freqncia Freqncia absoluta Freqncia jogadores (em anos) absoluta acumulada relativa 4 18 4 4 14 % 6 20 6 10 20 % 3 21 3 13 10 % 7 23 7 20 24 % 2 24 2 22 6% 8 25 8 30 26 % TOTAL 30 30 100 % GRFICOS Podemos representar graficamente a distribuio de freqncias de um levantamento estatstico. As representaes grficas mais utilizadas so: Grfico de segmentos. representado pela unio dos segmentos de reta. 200 150 Norte Grficos de setores 100 Oeste Leste 50 0 1 2 3 4 Trim Trim Trim Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 Trim
  • 3. Grficos de barras Grficos de colunas 100 4 Trim 80 3 Trim Norte 60 Leste Oeste Oeste 2 Trim Leste 40 Norte 1 Trim 20 0 50 100 0 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 Trim DISTRIBUIO DE FREQNCIAS COM DADOS AGUPADOS Observando-se as mesadas dos alunos da Turma A do colgio X, foram obtidos os seguintes valores em reais: 800 500 700 400 200 400 800 200 800 200 400 700 400 800 700 500 700 300 900 1000 Com esses dados, vamos construir uma tabela de freqncias absoluta e relativa. Para determinarmos a distribuio absoluta, organizaremos as mesadas em ordem crescente (rol). 200 200 200 300 400 400 400 400 500 500 700 700 700 700 800 800 800 800 900 1000 Observamos que a menor mesada de 200 reais e a maior 1 000 reais. A variao de mesadas 1 000 200 = 800. Esse valor chamado de amplitude total. Podemos agrupar esses valores em intervalos de classe (so intervalos de variao dos dados observados) da seguinte forma:
  • 4. Como a menor mesada de 200 reais e a maior de 1 000 reais, podemos agrup-los em intervalos de amplitude 200, ou seja: 200 400 4 alunos 400 600 6 alunos 600 800 4 alunos 800 1000 6 alunos Nesse caso, 200 o limite inferior e 1 000 o limite superior da classe. A diferena entre o limite superior e o limite inferior igual amplitude da classe. No intervalo 400 600, por exemplo, podemos determinar o ponto mdio do intervalo. (400 + 600) 2 = 500. Assim, podemos construir a tabela de freqncia com classes. Mesadas (reais) Freqncia Freqncia Freqncia Freqncia absoluta absoluta relativa relativa acumulada acumulada 200 400 4 4 20 % 20 % 400 600 6 10 30 % 50 % 600 800 4 14 20 % 70 % 800 1 000 6 20 30 % 100 % 20 100 % REPRESENTAO GRFICA DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIAS Uma distribuio de freqncias, ao ser representada graficamente, tem por objetivo fornecer informaes analticas de uma maneira mais rpida. A sua representao grfica se faz atravs do histograma, ou polgono de freqncia.
  • 5. HISTOGRAMA formado por um conjunto de retngulos justapostos, onde no eixo das abscissas temos os intervalos de classes e no eixo das ordenadas, as freqncias. Exemplo: Consideremos a tabela que representa as mdias de 100 alunos do 3 ano do ensino mdio do Colgio Alfa, em Matemtica. Classes fi fa 0 2 40 40 2 4 30 70 4 6 10 80 6 8 15 95 8 10 5 100 Fonte: Secretaria do Colgio fi: freqncia absoluta. fa: freqncia acumulada. POLGONO DE FREQNCIA o grfico em linha, sendo as freqncias marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos mdios dos intervalos de classe.
  • 6. MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL (OU DE POSIO) As medidas de posio nos mostram a localizao dos elementos da amostra quando esta disposta em rol. MDIA ARITMTICA ( X ) Considerando um grupo de 20 pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que: 22 + 20 + 21 + 24 + 20 107 x= = = 21,4 5 5 Calcular a mdia aritmtica ponderada de um aluno que obteve no bimestre 8,0 (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 9,0 no debate (peso 1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2). 8x2 + 7x3 + 9x1 + 5x2 56 x= = =7 8 8 LEMBRETE: SOMATRIO Exemplo: 5 1) Calcular o somatrio n . n =1 Resoluo: 5 n n =1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 55
  • 7. ATENO ! Usa-se tambm o smbolo de somatrio para representar mdia aritmtica. 1. Para valores discretos: n xi x= i =1 n Exemplo: 1) As alturas dos jogadores de um time de basquete so 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 1,92 m e 1,95 m. Qual a mdia de altura desse time? Resoluo: 5 xi 1,98 + 2,02 + 2,08 + 1,92 + 1,95 x= i =1 = = 1,99 m 5 5 2 . Para valores agrupados em classes. Quando os dados esto agrupados, aceita-se, por conveno, que as freqncias se distribuem uniformemente ao longo da classe e que, portanto, o ponto mdio da classe o valor representativo do conjunto. Nesse caso, a mdia calculada partindo-se do ponto mdio da classe. n fi.xi x= i =1 n fi i =1 Onde: fi: freqncia da classe. xi: ponto mdio da classe.
  • 8. Exemplo: Consideremos a tabela que representa as notas de 45 alunos do 3 Colegial em Fsica, no Colgio Alfa. Classes Xi fi n 0 2 2 4 1 3 3 9 fi.xi 4 6 5 10 x= i =1 n 6 8 8 10 7 9 15 8 fii =1 3.1+ 9.3+10.5+15.7+ 8.9 x= = 5,71 45 MODA ( Mo) Define-se como moda de uma srie de nmeros ao valor que ocorre com a maior freqncia. Exemplo: 15, 17, 15, 18, 17, 16, 18, 17, 14, 17, 15 Mo = 17. ATENO: Amodal: Distribuio que no tem moda. Exemplo: 4, 8, 7, 13, 12, 21 Bimodal: Distribuio que apresenta duas ou mais modas. Exemplo: 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, Mo = 3 e 4 Distribuies com intervalos de classe: A classe de maior freqncia a classe modal. Moda bruta a mdia aritmtica dos extremos da classe modal.
  • 9. Exemplo: Consideremos a tabela que representa as notas de 45 alunos do 3 Colegial em Fsica, no Colgio Alfa. Classes Xi fi 0 2 1 3 2 4 3 9 Classe modal: 6 8 4 6 5 10 Moda bruta: (6 + 8) 2 = 7 6 8 7 15 8 10 9 8 MEDIANA (Md) Considerando-se um conjunto de dados dispostos em ordem crescente, define-se como mediana ao valor que ocupa a posio central. 1. O nmero de dados mpar: Exemplo: 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 6, 5 (9 elementos) A posio ocupada pela mediana : 2k + 1 = 9 k = 4. Posio: k + 1 k = 5. Colocando em ordem crescente: 2, 3, 3, 4, , 4, 5, 5, 6 Md = 4. 2. O nmero de termos par: Neste caso a mediana ser a mdia entre os valores centrais. Exemplo: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. Md = (4 + 5) 2 Md = 4,5
  • 10. Aplicaes: 01) Foi analisada uma amostra com 10 latas de um determinado refrigerante e registrados os volumes em mililitros dos lquidos dessas latas, obtendo- se os valores: 298, 300, 302, 303, 299, 301, 297, 300, 300, 300 Calcular a mdia, a moda e a mediana dessa amostra. Resoluo: Ordem crescente: 297, 298, 299, 300, 300, 300, 300, 301, 302, 303 Mdia Aritmtica. 297 + 298 + 299 + 4.300 + 301 + 302 + 303 3000 x= = = 300 10 10 Mediana. Md: (300 + 300) 2 = 300. Moda. Mo: 300. 02) (UFBA) De acordo com o Boletim do Servio de Meteorologia de 07 de junho de 2000, o quadro abaixo representa a temperatura mxima, em graus Celsius, registrada em Fernando de Noronha e nas capitais da Regio Nordeste do Brasil. Aracaju Fernando de Fortaleza Joo Pessoa Macei Noronha 27C 30C 31C 30C 27C Natal Recife Salvador So Lus Teresina 30C 30C 26C 32C 32C Com base nessas informaes, pode-se afirmar: (01) O grfico ao lado representa a distribuio de freqncia das temperaturas.
  • 11. (02) A freqncia relativa da temperatura de 31C igual a 10%. (04) Representando-se a freqncia relativa por meio de um grfico de setores, a regio correspondente temperatura de 27C tem ngulo de 36. (08) A mdia aritmtica das temperaturas indicadas no quadro corresponde a 29,5C. (16) A mediana das temperaturas registradas igual temperatura modal. (32) A amplitude das temperaturas de 32 C. Resoluo: (01) Verdadeira. Freqncia o nmero de vezes que ocorre cada observao. Logo, podemos resumir o quadro acima na seguinte tabela: Temperatura Freqncia 26C 1 (Salvador) 27C 2 (Aracaju e Macei) 30C 4 (Fernando de Noronha, Joo Pessoa, Natal e Recife) 31C 1 (Fortaleza) 32C 2 (So Lus e Teresina) Total de observaes 10 (02) Verdadeira. Freqncia relativa a razo entre a freqncia e o nmero total de observaes (10). Para a temperatura de 31C, temos 1/10, ou seja, 10%. (04) Falsa. A freqncia relativa, para a temperatura de 27C, 2/10, isto , 20%. Para determinar o ngulo da regio corresponde temperatura de 27C usaremos a seguinte regra de trs: 100 360 x = 72. 20 x (08) Verdadeira. Temos: (26 + 2.27 + 4.30 + 31 + 2.32) 10 = 29,5 A mdia aritmtica das temperaturas igual a 29,5C (16) Verdadeira. A mediana (Md): 26 27 27 30 30 30 30 31 32 32 (Md) = (30 + 30) 2 = 30 Md = 30C A temperatura modal (Mo) a mais freqente entre os valores observados. Mo = 30C (4 observaes)
  • 12. (32) Falsa. A amplitude (A): 32 6 = 6 A amplitude das temperaturas 6C. MEDIDAS DE DISPERSO As medidas de disperso indicam o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da regio central. Consideremos os conjuntos A = {6, 6, 6, 6, 6, 6, 6}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {1, 2, 3, 6, 9, 10, 11} As mdias aritmticas dos elementos desses conjuntos so iguais a 6. Entretanto nota-se que a disperso dos elementos de A em relao mdia (valores mais ou menos espalhados em relao mdia) nula. A disperso dos elementos de C maior que a disperso B, isto , B mais homogneo que C. As principais medidas de disperso so: DESVIO (Di) O desvio definido como sendo a medida do grau de disperso de cada valor da varivel em relao mdia. Exemplo: Seja o conjunto B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 42 x= =6 7 D1 = 3 6 = 3 D2 = 4 6 = 2 D3 = 5 6 = 1 D4 = 6 6 = 0 D5 = 7 6 = 1 D6 = 8 6 = 1 D7 = 9 6 = 3 VARINCIA Define-se por varincia como sendo a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios. n (xi x ) V= i =1 n
  • 13. No exemplo anterior: (3) + (2) + (1) + (0) + 1 + 2 + 3 v= =4 7 DESVIO PADRO O desvio padro definido com sendo a raiz quadrada da varincia. Dp = V. Exemplo: Vamos comparar o desvio padro dos Conjuntos B e C. B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {1, 2, 3, 6, 9, 10, 11} Conjunto B V = 4 (exemplo anterior) Dp = 4=2 Conjunto C 42 x= =6 7 (1 6) + (2 6) + (3 6) + (6 6) + (9 6) + 10 6) + (11 6) V= = 14,29 7 Dp = 14,29 = 3,78 Comparando o desvio padro de B (2,00) com o de C (3,78) nota-se que o conjunto B mais homogneo em relao mdia. O conjunto B menos disperso que o conjunto C.
  • 14. Aplicaes: 01) Numa pequena ilha, h 100 pessoas que trabalham na nica empresa ali existente. Seus salrios (em moeda local) tm a seguinte distribuio de freqncias: Salrios Freqncia $ 50,00 30 $ 100,00 60 $ 150,00 10 Qual o desvio padro dos salrios? Resoluo: Mdia aritmtica: x = (30.50 + 60.100 + 10. 150) 100 = 90. Varincia: [30.(50 90)2 + 60.(100 90)2 + 10.(150 90)2] 100 = 900. Desvio padro: Dp = 900 = 30 O desvio padro dos salrios $ 30,00 03) Dois jogadores de futebol de times diferentes marcaram os seguintes nmeros de gols em 5 partidas seguidas: Partida Jogador A Jogador B 1 0 3 2 1 3 3 2 2 4 6 4 5 6 3 Qual dos jogadores teve o desempenho mais regular? Resoluo: Mdia aritmtica: Jogador A: x = (0 + 1 + 2 + 6 + 6) 5 = 3 Jogador B: x = (3 + 3 +2 + 4 + 3) 5 = 3
  • 15. Varincia: Jogador A: V = [(0 3)2 + (1 3)2 + (2 3)2 +(6 3)2 + (6 3)2] 5 = 6,4 Jogador B: V = [(3 3)2 + (3 3)2 + (2 3)2 + (4 3)2 + (3 3)2] 5 = 0,4 Desvio Padro: Jogador A: Dp = 6,4 = 2,53 Jogador B: Dp = 0,4 = 0,63 O jogador B teve o desempenho mais regular.