Estatística Profa. Dra. Maria Ivanilde S. Araújo e-mail: [email protected] Estatística...

Estatística

Profa. Dra. Maria Ivanilde S. Araújoe-mail: [email protected]

Estatística Aplicada à Educação Física - UFAM

Tipos de Variáveis

Contínua

Discreta vaQuantitati

Ordinal

Nominal aQualitativ

Variável


Tipos de Variáveis

• Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou população.

• As variáveis podem ser classificadas como qualitativas ou quantitativas


Tipos de Variáveis

• Variáveis qualitativas (ou categóricas): Apresentam como possíveis resultados uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado.

• Estas variáveis ainda podem ser classificadas como qualitativa nominal ou qualitativa ordinal.


Tipos de Variáveis

• Variáveis qualitativas nominal: Quando não existe nenhuma ordenação nos possíveis resultados.

Exemplo: Gênero

• Variáveis qualitativas ordinal: Quando existe uma ordem nos seus resultados

Exemplo: Grau de instrução


Tipos de Variáveis

• Variáveis quantitativas: Apresentam como possíveis resultados números resultantes de uma contagem ou mensuração

• Estas variáveis ainda podem ser classificadas como quantitativas discretas ou quantitativas contínuas.


Tipos de Variáveis

• Variáveis quantitativas discretas: cujos resultados formam um conjunto finito ou enumerável de números e que frequentemente resultam numa contagem.

Exemplo: Número de filhos

• Variáveis quantitativa contínua: cujos resultados pertencem a um intervalo de números reais.

Exemplo: Peso e AlturaEstatística Aplicada à Educação Física - UFAM

Organização e apresentação dos dados

• Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o comportamento dessa variável.

• Para isso, analisa-se a ocorrência de suas possíveis realizações.

• Os dados podem ser organizados e apresentados através de tabelas e gráficos.


Distribuição de Frequências

• Uma maneira de sintetizar os dados é através da distribuição de frequência.

• Esta consiste na construção de uma tabela a partir dos dados brutos

• Onde se leva em conta a frequência com que cada observação ocorre.



• Frequência absoluta (): É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe.

• Frequência absoluta acumulada (): É a soma da frequência absoluta da classe com a frequência absoluta das classes anteriores.



• Frequência relativa (): indica a proporção de cada classe, onde:

é o número total de observações• Frequência relativa acumulada (): É o valor da

frequência acumulada dividido pelo número total de observações:


Tabelas

• O objetivo da tabela é apresentar os dados agrupados de forma que seu manuseio, visualização e compreensão sejam simplificados.


Tabelas• Elementos de uma tabela

Título

Cabeçalho

Corpo

Rodapé

O titulo deve responder as seguintes questões:O que? (Assunto a ser representado(Fato));Onde? (O lugar onde ocorreu o fenômeno (Local));Quando? (época em que se verificou o fenômeno (tempo)).

Corpo: conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo;

Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;

Rodapé: reservado para as observações pertinentes, bem como a identificação da fonte dos dados.


Tabelas

Título Distribuição dos pacientes segundo as escalas de ABVD e AIVDCabeçalho Variáveis f f (%)

Atividades Básica da Vida DiáriaIndependência (6 ou mais) 49 79,03%

Dependência Parcial (4 - 5) 9 14,52% CorpoColuna Dependência Importante (2 ou menos) 4 6,45%Indicadora

Atividades Instrumentais da Vida Diária

Independência (7 - 9) 26 41,94% CélulaDependência Parcial (4 - 6) 17 27,42%

Dependência importante (0 - 3) 19 30,65%

Rodapé: f: Freqüência; f(%): Freqüência Relativa


Tabelas

• As tabelas podem ser, dependendo do tipo de dados:

(a) Simples;

(b) Dupla Entrada;

(c) Distribuição de Frequência.


Tabelas

• Tabelas simples

Gênero frequência Porcentagem

Feminino 58 80,56

Masculino 14 19,44

Total 72 100,00


Tabelas

• Tabelas de dupla entrada

Município Ano

Total 2004 2005 2006 2007

Apuí 132 62 37 27 258

Boca do Acre 35 19 51 20 125

Canutama 39 25 59 53 176

Humaitá 23 15 5 4 47

Lábrea 96 115 153 136 500

Manicoré 42 35 29 12 118

Novo Aripuanã 29 31 11 15 86

Total 396 302 345 267 1310

Nº de Alertas de Desmatamento no Sul do Amazonas (2004 - 2007)


Tabelas

• Tabela de distribuição de frequênciaConsidere o seguinte conjunto de dados: 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 30. Construa uma distribuição com todas as frequências. Solução:


Tabelas

X fi fac fr far

21 3 3 3/17 3/17

22 2 5 2/17 5/17

23 2 7 2/17 7/17

24 1 8 1/17 8/17

25 4 12 4/17 12/17

26 3 15 3/17 15/17

28 1 16 1/17 16/17

30 1 17 1/17 17/17 17 1


Tabelas

• Para a construção de tabelas de frequências para variáveis contínuas necessita que os dados sejam agrupados em intervalos de classes.

• Para a construção das classes algumas definições são necessárias:


Tabelas

• Amplitude Total ou “Range” (R): É a

diferença entre o maior e o menor valor

observado.

Ex.: R = 30 - 21 = 9.


Tabelas

• Intervalos de Classe: Conjunto de

observações apresentadas na forma

contínua, sem superposição de intervalos, de

tal modo que cada valor do conjunto de

observação possa ser alocado em um, e

apenas um, dos intervalos.


TabelasO número k de intervalos para cada conjunto de observações com n valores pode ser calculado como:

k = 1 + 3,322(log10 n) (fórmula de Sturges)Ex.: para um conjunto com 50 observações obtemos log10(50) ≈ 1,699;

k = 1 + 3,322 x 1,699 ≈ 6,6 ≈ 7 intervalos

O tamanho w de cada intervalo é obtido pela divisão do valor da diferença entre o maior e o menor valor, R, pelo número de intervalos k: w = R/k


Tabelas

• Etapas para a construção de tabelas de frequência para dados agrupados:

1) Encontrar o menor e o maior valor (mínimo e máximo) do conjunto de dados.

2) Calcular o número de classes que englobem todos os dados sem haver superposição dos intervalos.


Tabelas

3) Contar o número de elementos que pertencem a cada classe.

4) Determinar a frequência relativa de cada classe.


Tabelas

Exemplo:O conjunto de dados abaixo representa as idades de pacientes. Construa intervalos de classes para o mesmo.19 19 20 21 23 23 23 23 24 24 25 25 26 26 26 27 27 27 29 29 29 29 30 31 31 31 33 33 33 34 37 37 37 37 40 40 40 40 43 43 44 44 47 48 48 48 51 52 52 53


Tabelas

Solução:se utilizar a fórmula de SturgesR = 53 – 19 = 34 e n = 50Então:K = 1 + 3,322 x 1,699 ≈ 7 intervalosW = 34/7 ≈ 5 idades em cada

Intervalo de classe Freqüência

19 |------- 24 8

24 |------- 29 10

29 |------- 34 11

34 |------- 39 5

39 |------- 44 6

44 |------- 49 6

49 |------- 54 4


Tabelas

Ou construir intervalos empiricamente:

Intervalo de classe Freqüência

10 |------- 20 2

20 |------- 30 20

30 |------- 40 12

40 |------- 50 12

50 |------- 60 4


Tabelas

• Os extremos dos intervalos são conhecidos como limites de classes.

• Procedendo-se desse modo, ao resumir os dados referentes a uma variável contínua perde-se informações.


Gráficos

• Os gráficos são representações pictóricas dos dados.

• Tem por finalidade dar uma ideia, a mais imediata possível, dos resultados obtidos, permitindo chegar se a conclusões sobre a ‑evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série.


Gráficos

• A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista.

• Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração de um gráfico.


Gráficos

• Gráficos para variáveis qualitativas

Dentre os gráficos para representar variáveis qualitativas temos o gráfico de barras e de composição em setores (gráfico de pizza).


Gráficos

• Gráfico de barras: consiste em construir retângulos ou barras, em que uma das dimensões é proporcional à magnitude a ser representada ().

Estas barras são dispostas paralelamente umas às outras, horizontal ou verticalmente.


Gráficos

10

76

2

5

Nº de casos

Distribuição de melanomas por localização anatômica


Gráfico

• Gráfico de composição em setores: Destina-se a representar a composição, usualmente em porcentagem, de partes de um todo.

Consiste num círculo de raio arbitrário, representando o todo, dividido e setores, que corresponde as partes de maneira proporcional.


Gráficos

Ensino fundamen-

tal33%

Ensino médio

50%

Ensino su-perior17%

Grau de intrução


Gráficos

• Gráfico para variáveis quantitativas: Os tipos de gráficos geralmente são utilizados nesse caso: Gráfico de dispersão, Histograma, polígono de frequência e gráfico de linhas.


Gráficos

• Gráfico de dispersão: Os valores são representados por pontos ao longo da reta.

Exemplo: Taxa de glicemia dos idosos que procuram atendimento no Centro de Atenção Integrada da Melhor Idade – CAIMI.


Gráficos

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Glicemia


Gráficos

• Histograma: É um gráfico de barras contíguas, com bases proporcionais aos intervalos das classes e a área de cada retângulo proporcional à respectiva frequência.Exemplo: Idade dos idosos que procuram atendimento no Centro de Atenção Integrada da Melhor Idade – CAIMI.


Gráficos

Histograda da Idade

Idade

Fre

qu

ên

cia

60 65 70 75 80 85 90

02

06

0

81

49

27

12 7 3


Gráficos

• Polígono de frequência: É um gráfico em linha, onde as frequências são marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para conseguir um polígono, ligamos os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição.


Gráficos


Gráficos

• Gráfico de linhas: É indicado para dados coletados ao longo do tempo, ou de medidas repetidas.

• Através desse gráfico é possível constatar algum tipo de tendência e identificar alguns eventos inusitados, como por exemplo, o surto de uma determinada doença.


Gráficos

0 1 a 9 10 a 49 50 a 99 100 a 199 200 ou mais02468

101214161820

Mortes por leucemia

Radiação

Número de mortos por leucemia expostos a diferentes dosagens de radiação


Medidas de tendência central

• Muitas vezes queremos resumir mais ainda os resultados de uma variável do que a própria tabela ou gráfico.

• Apresentando u ou alguns valores que sejam representativos da série toda.

• Usualmente emprega-se uma das seguintes medidas de posição (ou localização) central:



• Média• Mediana • Moda


Média (): É a soma das observações dividida pela quantidade das mesmas.

n

1ii

n4321 Xn

1

n

x...xxxxX



Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20.

1210

120

10

2020181512712853X


Medidas de Tendência Central

Se os dados estiverem num intervalo de classe, neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média, por meio da fórmula:

onde xi é o ponto médio da classe.

i

ii

f

fXX



Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de 40 pacientes de um estudo, resultando a seguinte tabela de valores.


i Estaturas (cm) fi xi xifi

1 150 |---- 154 4 152 608

2 154 |---- 158 9 156 1404

3 158 |---- 162 11 160 1760

4 162 |---- 166 8 164 1312

5 166 |---- 170 5 168 840

6 170 |---- 174 3 172 516

Σ = 40 Σ = 6440Fonte: dados hipotéticos

Como, neste caso,Σ xifi = 6440, Σ fi = 40

temos: cm161X16140

6440X




Mediana (Md): É a realização que ocupa a posição central da série de observações quando estão ordenadas.

50% dos valores estão abaixo e 50% acima da mediana.

parnse,2

xx

ímparnse,x

Md(X)1

2

n

2

n

2

1n


Exemplo: Determinar a mediana do conjunto X: 2, 20,

12, 23, 20, 8, 12.

Ordenando os termos: 2, 8, 12, 12, 20, 20 ,23.

A mediana será o número 12, pois ele divide o conjunto

em duas partes iguais. Portanto, Md = 12.



Exemplo: Determinar a mediana da série X: 7, 21, 13,

15, 10, 8, 9, 13.

Ordenando os termos: 7, 8, 9, 10, 13, 13, 15, 21.

A mediana será:

5,112

1310

Md



Com Intervalos de Classe

Se os dados estiverem agrupados em classe:

Determinamos as frequências acumuladas.

Calculamos

Marcamos a classe onde está a frequência

acumulada = classe mediana.

2f i

2f i


Medidas de tendência centralem seguida, empregamos a fórmula:

na qual:• l* é o limite inferior da classe mediana;• F(ant) a freqüência acumulada da classe anterior

à classe mediana;• f* a freqüência simples da classe mediana;• h* é a amplitude da classe mediana.

*

*i

*

f

h.)ant(F2flMd


i Estaturas (cm) fi fac

1 150 |---- 154 4 4

2 154 |---- 158 9 13

3 158 |---- 162 11 24

4 162 |---- 166 8 32

5 166 |---- 170 5 37

6 170 |---- 174 3 40

Σ = 40Fonte: dados hipotéticos

Temos: = 40 / 2 = 20

Tomemos à tabela da estatura dos alunos completando-a com a coluna correspondente à freqüência acumulada:

Classe Mediana

2f iEstatística Aplicada à Educação Física - UFAM


a mediana será dada por:

Logo: Md = 160,5 cm

54,16054,2158

11

1281584x

11

1320158Md


Moda (Mo): Observação mais "provável" da distribuição dos dados (em uma amostra, é o valor que aparece com maior freqüência).




Exemplo (a): Determinar a moda dos conjuntos de

dados: X: 2, 8, 3, 5, 4, 5, 3, 5, 5, 1.

O elemento de maior frequência é 5. Portanto, Mo

= 5. É uma sequência unimodal, pois só temos uma

moda.



Exemplo (b): X: 6, 10, 5, 6, 10, 2.

Este conjunto de dados apresenta o elemento 6 e

10 como elementos de maior frequência. Portanto,

Mo = 6 e Mo = 10. Por isso é chamada de bimodal.



• Se os dados estiverem em classe:

A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal.

A moda é o valor dominante da classe modal.



Fórmula de Czuber

Onde:• l* é o limite inferior da classe modal• h* é a amplitude da classe modal• D1 = f* – f (ant) • D2 = f* – f (post) sendo:• f* a freqüência simples da classe modal• f (ant) a freqüência simples da classe anterior à classe modal• f (post) a freqüência simples da classe posterior à classe modal

*

21

1* hDD

DlMo


i Estaturas (cm) fi

1 150 |---- 154 4

2 154 |---- 158 9

3 158 |---- 162 11

4 162 |---- 166 8

5 166 |---- 170 5

6 170 |---- 174 3


temos:D1 = f* - f (ant) D1 = 11 – 9 D1 = 2D2 = f* - f (post) D2 = 11 – 8 D2 = 3

Tomemos a distribuição relativa à tabela da estatura dos alunos:

Classe Modal



e como:

vem:

Logo: Mo = 159,6 cm

6,1596,1158

5

8158

5

4x21584x

32

2158Mo

*

21

1* hDD

DlMo


Separatrizes

São medidas que estão ligadas à mediana, já que elas se baseiam em sua posição na série. Essas medidas são:Os quartis e os percentis.


Os Quartis

São os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.

1º quartil (Q1) é valor que uma quarta parte (25%) dos dados é menor e as três restantes (75%) maiores do que ele;

2º quartil (Q2) coincidente com a mediana;

3º quartil (Q3) é o valor que as três quartas partes (75%) dos dados são menores e a outra restante (25%), maior que ele.


Com intervalos de Classe

Usa-se a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da

mediana,

sendo k o número de ordem do quartil.Assim, temos:

4

fkpor

2

f ii

*

*i*

3

*

*i*

1

f

h.)ant(F4f3lQ

ef

h.)ant(F4flQ


i Estaturas (cm) fi fac

1 150 |---- 154 4 4

2 154 |---- 158 9 13

3 158 |---- 162 11 24

4 162 |---- 166 8 32

5 166 |---- 170 5 37

6 170 |---- 174 3 40


Tomemos à tabela da estatura dos alunos:

Q3

Q1


Primeiro quartil Temos:

Q1 = 156,7 cm

66,15666,21549

24154

9

4x)410(154Q

104

40

4

f

1

i


Terceiro quartil Temos:

Q3 = 165 cm

16531628

24162

8

4x)2430(162Q

304

40x3

4

f3

3

i


Medidas de Variabilidade

O resumo de um conjunto por uma única medida representativa de posição central esconde toda a informação sobre a variabilidade do conjunto de observações.

É necessário medidas que sumarizem a variabilidade de um conjunto de observações.



Amplitude Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação



Amplitude total: É a diferença entre o maior e o menor valor observado.

AT = X(máx.) – X(mín.)

Com intervalos de classe:É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe.

AT = L(máx.) – L(mín.)

Exemplo:



Temos:

AT = 174 – 150 = 24

Logo:

AT = 24 cm

i Estaturas (cm) fi

1 150 |-------- 154 4

2 154 |-------- 158 9

3 158 |-------- 162 11

4 162 |-------- 166 8

5 166 |-------- 170 5

6 170 |-------- 174 3

Σ = 40

Fonte: dados hipotéticos



Variância: É a soma dos quadrado dos desvios em relação à média. Com ela estabeleceremos uma medida de variabilidade para um conjunto de dados.

Com intervalos de classe

1n

XXXVar

n

1i

2

i

2n

1i ii

n

1i

2ii

n

Xf

n

XfVar(X)



Exemplo: Calcule a Variância da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20.

22,38

9

344

110

1220125123S

222

2

1210

120

10

2020181512712853X


Tomemos à tabela da estatura dos pacientes:

i Estaturas (cm) fi xi xifi xi2fi

1 150 |---- 154 4 152 608 92.416

2 154 |---- 158 9 156 1.404 219.024

3 158 |---- 162 11 160 1.760 281.600

4 162 |---- 166 8 164 1.312 215.168

5 166 |---- 170 5 168 840 141.120

6 170 |---- 174 3 172 516 88.752

Σ = 40 Σ = 6440Σ =

1.038.080

2

2

cm961259212595240

6440

40

1038080XVar



Desvio Padrão: É a raiz quadrada positiva da variância

Com intervalo de classe

XVarXdp

2n

1i ii

n

1i

2ii

n

Xf

n

Xfdp(X)



Exemplo: Calcule Desvio Padrão da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20.

22,38

9

344

110

1220125123S

222

2

1210

120

10

2020181512712853X

18,622,38SSS 2


Tomemos à tabela da estatura dos pacientes:

i Estaturas (cm) fi xi xifi xifi2

1 150 |---- 154 4 152 608 92.416

2 154 |---- 158 9 156 1.404 219.024

3 158 |---- 162 11 160 1.760 281.600

4 162 |---- 166 8 164 1.312 215.168

5 166 |---- 170 5 168 840 141.120

6 170 |---- 174 3 172 516 88.752

Σ = 40 Σ = 6440Σ =

1.038.080

cm57,5259212595240

6440

40

1038080Xdp

2



Coeficiente de variação: É uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média.

100)(

X

XdpCV



A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação da variabilidade de diferentes conjuntos de dados.Se:

CV < 15% Baixa dispersão – Homogênea, estável, regular.

15% < CV< 30% Média dispersão.

CV > 30% Alta dispersão – Heterogênea.


Praticando no Minitab

• Estatística Descritiva no Minitab


• Digite o conjunto de dados em uma coluna;• Clique em Stat / Basic Statistics / Display

Descriptive Statistics...• Selecione a coluna em Variables. Se desejar

gráficos Clique em Graphs.• Marque as opções que aparece no Slide

seguintes e clique em OK.


• Digite o conjunto de dados em uma coluna• Clique em Graph / Histogram • Selecione a coluna em Graph Variables. Se

desejar intervalos de freqüências Clique em Options...

• Marque as opções que aparece no Slide seguintes e clique em OK.


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