ESTIMAESTIMAÇÇÃO PARA A MÃO PARA A MÉÉDIADIA

ObjetivoObjetivo

Estimar a média de uma variável aleatória X, que representa uma característica de interesse de uma população, a partir de uma amostra.

µ

Exemplos:: peso médio de homens na faixa etária de 20 a 30

anos, em uma certa localidade;

µ

: salário médio dos empregados da indústria metalúrgica em São Bernardo do Campo, em 2001;µ

: taxa média de glicose em indivíduos do sexo feminino com idade superior a 60 anos, em determinada localidade;

µ

: comprimento médio de jacarés adultos de uma certa raça.µ

: idade média dos habitantes do sexo feminino na cidade de Santos, em 1990;µ

• Vamos observar nn elementos, extraídos ao acaso e com reposição da população; • Para cada elemento selecionado, observamos o valor da variável X de interesse.

Obtemos, então, uma amostra aleatória de tamanho n de X, que representamos por X1, X2, ..., Xn.

sendo ε o erro amostral (margem de erro) calculado a partir da distribuição de probabilidade de .

. nX

n

1i

i n

nX ...

2X

1X

X ∑∑∑∑====

========++++++++++++

Uma estiestimadormador pontualpontual para é dado pela média amostral,

µ

[[[[ ]]]], X ; - X εεεε++++εεεε

Uma estimaestimadordor intervalarintervalar ou intervalo de confiança para tem a formaµ

X

DistribuiDistribuiçção amostral da mão amostral da méédiadia

Exemplo 1: Considere uma população em que uma variável X assume um dos valores do conjunto {1, 3, 5, 5, 7}. A distribuição de probabilidade de X é dada por

1/5

7

2/51/51/5P(X=x)

531x

É fácil ver que x = E(X) = 4,2 ,

σσσσx2 = Var(X) = 4,16.

µ

Vamos relacionar todas as amostras possíveis de tamanho n = 2, selecionadas ao acaso e com reposição dessa população, e encontrar a distribuição da média amostral

, 2X 1X

2X

++++====

sendo

X1: valor selecionado na primeira extração; e

X2: valor selecionado na segunda extração.

Amostra (X1,X2) Probabilidade Média Amostral

(1,1) 1/25 1

(1,3) 1/25 2(1,5) 2/25 3(1,7) 1/25 4(3,1) 1/25 2(3,3) 1/25 3(3,5) 2/25 4(3,7) 1/25 5(5,1) 2/25 3(5,3) 2/25 4(5,5) 4/25 5(5,7) 2/25 6(7,1) 1/25 4(7,3) 1/25 5(7,5) 2/25 6(7,7) 1/25 7

1

6/25

4

5/252/251/25

321

1/25

7

4/256/25

65

)P( x X =

x

A distribuição de probabilidade de para n = 2 éX

.2

2,08)XVar(

4,2)XE(caso,Neste2x

x

σσσσ========

µµµµ======== e

Repetindo o mesmo procedimento, para amostras de tamanho n = 3, temos a seguinte distribuição de probabilidade de ,X

1 1/1255/3 3/1257/3 9/1253 16/125

11/3 24/12513/3 27/125

5 23/12517/3 15/12519/3 6/125

7 1/12513/3

)P( x X=x

31,39)XVar(

4,2)XE(

caso,Neste

2x

x

σσσσ========

µµµµ======== e

.

Figura 1: Histogramas correspondentes às distribuições de X e de , para amostras de {1,3,5,5,7}.X

• para n suficientemente grande, a forma do histograma aproxima-se de uma distribuição normal.

• conforme n aumenta, os valores de tendem a se concentrar cada vez mais em torno de

X

E( ) = 4,2 = x ,

uma vez que a variância vai diminuindo;

X µ

Dos histogramas, observamos que

• os casos extremos passam a ter pequena probabilidade de ocorrência;

Figura 2: Histogramas correspondentes às distribuições de para amostras de algumas populações.

X

4ª 2002, 273

Esses gráficos sugerem que,

quando n aumenta, independentemente daforma da distribuição de X , a distribuição de probabilidade da média amostral aproxima-se de uma distribuição normal.

X

Teorema do Limite CentralTeorema do Limite Central

Seja X uma v. a. que tem média e variância σσσσ2. Para uma amostra X1, X2, ..., Xn , retirada ao acaso e com reposição de X, a distribuição de probabilidade da média amostral aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal, com média e variância σσσσ2 / n , ou seja,

X

µ

µ

mente.aproximada grande, n para , n

2, N ~X

σσσσµµµµ

Comentários:

• Se a distribuição de X é normal, então tem distribuição normal exata, para todo n.

X

• O desvio padrão , que é

o desvio padrão da média amostral, também édenominado erro padrão.

n

σ

n

2σ

=

Intervalo de ConfianIntervalo de Confianççaa

Pergunta: Como determinar εεεεεεεε ?

[ ]ε+ε X ; - X

Como vimos, o estimador por intervalo para amédia tem a formaµ

Seja P(εεεε) = γγγγ, a probabilidade da média amostral

estar a uma distância de, no máximo εεεε, da média populacional (desconhecida), X

µ

(((( )))) (((( ))))

, n

Z n

P

n

n

- X

n

P

X P - X P

σσσσ

εεεε≤≤≤≤≤≤≤≤

σσσσ

εεεε−−−−≅≅≅≅

σσσσ

εεεε≤≤≤≤

σσσσ

µµµµ≤≤≤≤

σσσσ

εεεε−−−−====

εεεε++++µµµµ≤≤≤≤≤≤≤≤εεεε−−−−µµµµ====εεεε≤≤≤≤µµµµ====γγγγ

sendo Z ~ N(0,1) .

ou seja,

que temos , zn

Denotando =σ

ε

Assim, conhecendo-se o coeficiente de confiança γγγγ obtemos z.

. z) Z (-z P ≤≤=γ

Erro na estimativa intervalarErro na estimativa intervalar

por dado é amostral erro o

que segue , n

z igualdade Da

εεεε

σσσσ

εεεε====

N(0,1). ~ Z com , z) Z (-z P que tal z sendo ≤≤=γ

, n

σ z ε ====

µO intervalo de confianintervalo de confiançça a para a mpara a méédiadia , com com coeficiente de confiancoeficiente de confiançça a γγγγγγγγ fica, então, dado por

, n

σ z X ;

n

σ z - X

++++

X. de padrão desvio o sendo σ

Exemplo 2:Não se conhece o consumo médio de combustível de automóveis da marca T. Sabe-se, no entanto, que o desvio padrão do consumo de combustívelde automóveis dessa marca é 10 km/l. Na análisede 100 automóveis da marca T, obteve-se consumo médio de combustível de 8 km/l. Encontre um intervalo de confiança para o consumo médio de combustível dessa marca de carro. Adote um coeficiente de confiança igual a 95%.

n = 100 ⇒⇒⇒⇒ (média amostral) = 8 km/lx

X: consumo de combustível de automóveis da marca Tσσσσ = 10 km/l

γγγγ = 0,95 ⇒⇒⇒⇒ z = 1,96

Observe que o erro amostral εεεε é 1,96 km/l.

[ ][ ] 9,96 ; 6,04

1,96 8 ; 1,96 - 8 +

Pelo Teorema do Limite Central, o intervalo de confiança de 95% é dado, aproximadamente, por

=+

n

z X ;

n

z - X

σσ

=+

100

10 1,96 8 ;

100

10 1,96 - 8

Exemplo 3:

Deseja-se estimar o tempo médio de estudo (em anos) da população adulta de um município. Sabe-se que o tempo de estudo tem distribuição normal com desvio padrão σσσσ = 2,6 anos. Foram entrevistados n = 25 indivíduos, obtendo-se para essa amostra, um tempo médio de estudo igual a 10,5 anos. Obter um intervalo de 90% de confiança para o tempo médio de estudo populacional.

n = 25 ⇒⇒⇒⇒ = 10,5 anosγγγγ = 0,90 ⇒⇒⇒⇒ z = 1,65

x

X : tempo de estudo, em anos e X ~ N( ; 2,62)µ

[ ][ ].11,36;9,64

0,8610,5;0,86-10,5 +

A estimativa intervalar com 90% de confiança é dada por (em anos):

=+

n

z x ;

n

z - x

σσ

=+

25

2,5 1,65 10,5 ;

25

2,5 1,65 - ,510

DimensionamentoDimensionamento dada amostraamostra

conhecendo-se o desvio padrão σσσσσσσσ de X, o erroεεεε da estimativa e o coeficiente de confiança γγγγ

do intervalo, sendo z tal que

,σε

zn 2

2

====

, n

z relação da partirA

σσσσ====εεεε

N(0,1). ~ Z e z) Z (-z P ≤≤=γ

o tamanho da amostra nn é determinado por

n = ?? tal que εεεε = 50 reais,γγγγ = 0,95 ⇒⇒⇒⇒ z = 1,96

Exemplo 4:A renda per-capita domiciliar numa certaregião tem distribuição normal com desviopadrão σ = 250 reais e média µ desconhecida. Se desejamos estimar a renda média µ com erro ε = 50 reais e com uma confiança γγγγ = 95%, quantos domicílios devemos consultar?

X : renda per-capita domiciliar na regiãoX ~ N( ; 2502)µ

Aproximadamente 97 domicílios devem ser consultados.

( )

96,04

25050

1,96 2

2

=

=

22

z n

Então,

σ

ε=

Exemplo 5:A quantidade de colesterol X no sangue das alunasde uma universidade segue uma distribuição de probabilidades com desvio padrão σσσσ = 50 mg/dl e média µ desconhecida. Se desejamos estimar a quantidade média µ de colesterol com erro εεεε = 20 mg/dl e confiança de 90%, quantas alunas devemrealizar o exame de sangue?

X: quantidade de colesterol no sangue das alunasda universidadeσσσσ = 50 mg/dl

n = ?? tal que εεεε = 20 mg/dlγγγγ = 0,90 ⇒⇒⇒⇒ z = 1,65

Assim, aproximadamente 207 alunas devemrealizar o exame de sangue.

( )

206,25

5020

1,65 2

2

=

=

Supondo que o tamanho da amostra a ser selecionada é suficientemente grande, pelo Teorema do Limite Central temos:

22

z n σ

ε=

Na prática, a variância populacional σσσσ2 édesconhecida e é substituída por sua estimativa,

A estimativa amostral do desvio padrão σσσσé . s s 2

=

(((( )))) . n

1i X - iX

1-n1

S22

∑∑∑∑====

====

Temos duas opções ao padronizar a variável

Se σσσσ for desconhecido, usamos seu estimador, o desvio padrão amostral S , e consideramos a seguinte variável padronizada

Se σ σ σ σ , o desvio padrão populacional, for conhecido, usamos

σ

µ

σ

µ −=

−=

Xn

n

XZ

S

Xn

n

S

XT

µµ −=

−=

X

• Se a variável na população tem distribuição normal, então

• Se o tamanho n da amostra é grande, então

Z tem distribuição N(0,1)

e T tem distribuição t de Studentcom n-1 graus de liberdade.

Z e T têm distribuição aproximadamente N(0,1).

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T1

T5

T30

Z

Assim, uma estimativa intervalar aproximadapara a média populacional , quando o tamanho da amostra é grande e σσσσ édesconhecido , é

µ

, n

s z x ,

n

s z - x

++++

sendo ss o desvio padrão amostral e z tal que N(0,1). ~ Z com z) Z (-z P ≤≤=γ

Exemplo 6:Para estimar a renda semanal média de garçons de restaurantes em uma grande cidade, é colhida uma amostra da renda semanal de 75 garçons. A média e o desvio padrão amostrais encontrados são R$ 227 e R$ 15 respectivamente. Determine um intervalo de confiança, com coeficiente de confiança de 90%, para a renda média semanal.

n = 75 ⇒⇒⇒⇒ = 227 e s = 15γγγγ = 0,9 ⇒⇒⇒⇒ z = 1,65

x

X: renda semanal de garçons da cidade

=+

57

51 1,65 227 ;

57

51 1,65 - 227

[[[[ ]]]][[[[ ]]]] 229,86 ; 224,14

2,86 227 ; 2,86 - 227 ====++++

====++++

n

s z x ,

n

s z - x

O intervalo de 90% de confiança é dado, aproximadamente, por (em reais).