ESTRUTURAS ALGÉBRICAS Seja S um conjunto e # uma operação binária em

S tal que (S,#) tem as propriedades:1. Associativa: x # (y # z) = (x #y) #z.2. Elemento Identidade: x # i = i # x = x.3. Elemento inverso: para todo x de S existe

inverso de x, denotado por x-1, tal que x # x-1 = x-1 # x = i.

Dessa forma, dizemos que (S,#) é GRUPO.

Se a propriedade comutativa: x # y = y # x for satisfeita também, dizemos que o grupo é comutativo ou abeliano.

EXEMPLOS DE ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

(Z, +), (Q, +) e (R, +) são grupos comutativos.

Verifique que (C,+) e (C-{0}, ∙), onde C é o conjunto dos números complexos, são grupos comutativos.

(R, ∙ ) é grupo comutativo? E (R-{0}, ∙ ) ?

O conjunto das matrizes quadradas, cujas entradas são números inteiros,(M2(Z)- 0, ∙), com a operação de multiplicação é grupo? Comutativo? E se seus elementos forem números reais? Que condição precisa ser satisfeita para termos um grupo?

MONÓIDE E SEMIGRUPOQuando (S,#) tem apenas a propriedade de

associatividade então dizemos que o par (S,#) é semigrupo.

Quando (S,#) tem as propriedades associativa e elemento identidade dizemos que o par (S,#) é um monóide.

Identifique nos exemplos citados os monóides e semigrupos.

EXEMPLO IMPORTANTE , n >1, é o conjunto

formado pelos possíveis restos da divisão inteira por n. Ele é dito classe de restos.

Define-se, para todo Zn

Para temos que ( , +) é um grupo comutativo, mas com respeito à operação de multiplicação, temos que não será grupo, uma vez que nem todos os elementos possuirá inverso. Quais são esses?

+=+ baba baba .=.

ba,

},1-,,1,0{= nnZ n

}3,2,1,0{4 Z 4Z

*4Z

SUBGRUPOS

Seja (G, #) um grupo. Dizemos que H, um subconjunto não vazio de S, é dito subgrupo de G se e somente se:

1. H é fechado com respeito à operação #.2. (H, #) é um grupo.

Ou seja, para verificar que um dado subconjunto de G é subgrupo, basta ver que ele é fechado na operação dada e o elemento identidade está neste subconjunto, juntamente com o inverso de cada elemento de lá.

PROPOSIÇÃO

Uma proposição simplifica tudo: Seja (G, #) um grupo. Para que um

subconjunto não vazio de G seja seu subgrupo é necessário e suficiente que para quaisquer a e b

a # b-1 H.

EXEMPLOS

1. (Z,+) é subgrupo de (R,+).

2. ({1,4}, .) é subgrupo de (Z5*, .).

3. ({0,2,4,6}, +) é subgrupo de (Z8,+).

● A ordem de um subgrupo H de um grupo G finito divide a ordem do grupo.

TEOREMA DE LAGRANGE

● Sejam (G, #) e (J, *) grupos quaisquer. Dizemos que uma função f: G → J é um homomorfismo de G em J se e somente se para todo a, b de G tem-se

f(a # b) = f(a)* f(b).

Se a função acima for bijetora diz-se que f é um isomorfismo.

ISOMORFISMO

EXEMPLO

A função f: Z → C* dada por f(m) = im (onde i é o imaginário tal que i2= -1) para todo m de Z é um homomorfismo de (Z,+) em (C*, .), pois para todo m, n de Z tem-se

f(m + n) = im+n = im . in = f(m) . f(n).

No entanto f não é injetora, pois f(0) = f(4)=1 e muito menos sobrejetora, uma vez que o conjunto imagem de f é {1,-1,i,-i}. Assim f não é isomorfismo.

EXEMPLO

Considere f: R+ → R tal que f(x) = logb x, (sendo b real positivo e diferente de1). Observe que f é um isomorfismo.

Temos então a importância dos isomorfismos:

Dados dois grupos, A e B, é possível trabalhar com B ao invés de com A, se tivermos a existência de um isomorfismo entre eles. Algumas importantes propriedades matemáticas são mantidas em grupos isomorfos.

OUTRAS ESTRUTURAS ALGÉBRICAS:ANÉIS

Anel.Um conjunto A com respeito a duas operações, # e *, é dito anel se

1. (A, #) é um grupo abeliano,2. Com respeito a operação * temos a

associatividade.3. Com respeito a # e * a distributividade é

válida:a*(b # c) = a * b # a * c.

(Zn,+,.) , n > 1, é um anel

OUTRAS ESTRUTURAS ALGÉBRICAS:CORPOS

Um anel A, ((A, #, *) ), comutativo e com identidade (com respeito a *) é dito corpo quando para todo a, b de A tivermos

a * b = 0 → a = 0 ou b = 0.

Z, Q, R e C com respeito a + e . São exemplos clássicos de corpos.

M2(R) não é corpo, pois pode-se encontrar matrizes A e B onde A . B = 0 (matriz nula), sem que nenhuma

delas seja a matriz nula. Verifique isso!